IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS DE UMA VIGA ENGASTADA UTILIZANDO TESTE DE IMPACTO. Wylson Zon Neto

Transcrição

1 IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS DE UMA VIGA ENGASTADA UTILIZANDO TESTE DE IMPACTO Wylson Zon Neto Projeto de Graduação apresentado no Curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: Ulisses Admar B. V. Monteiro Rio de Janeiro Março de 2015

2 ii

3 Zon Neto, Wylson Identificação de Parâmetros Modais de uma Viga Engastada Utilizando Teste de Impacto/Wylson Zon Neto. - Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, VII, 35 p.: il.; 29,7 cm. Orientador: Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro Projeto de Graduação UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2015 Referências Bibliográficas: p Parâmetros Modais. 2. Análise. 3. Frequências Naturais. 4. Amortecimentos. I. Barbosa Vicente Monteiro, Ulisses Admar. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e Oceânica. III. Identificação de Parâmetros Modais de uma Viga Engastada Utilizando Teste de Impacto. iii

4 DEDICATÓRIA. Aos meus pais, Wylson e Isabela, que me amaram, respeitaram e inspiraram ao longo de toda minha vida. Sem este apoio nada seria possível. iv

5 AGRADECIMENTOS Aos meus pais por acreditarem na minha capacidade, incentivarem a minha produção e também financiarem minha formação. Aos meus irmãos, Hugo e Saulo, que mesmo longe, mas nunca distantes, sempre me dão forças para continuar. À minha namorada, Carolina, pela dedicação, companheirismo e, principalmente, paciência, que mesmo durante os dias mais difíceis continuou ao meu lado. Aos meus familiares que me apoiaram durante esta trajetória. Em especial aos meus avós que estão sempre presentes para uma palavra de conforto e sabedoria. Aos meus amigos que entraram na minha vida por escolha, se mantiveram ao meu lado por afinidade e se tornaram parte da minha família. Ao professor, Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro, pela ajuda e ensinamentos durante as sessões que transformaram este projeto em realidade. Finalmente, a Petrobras pela ajuda financeira concedida para que eu pudesse me dedicar integralmente a este projeto. v

6 Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico. Identificação de Parâmetros Modais de uma Viga Engastada Utilizando Teste de Impacto Wylson Zon Neto Março/2015 Orientador: Ulisses Admar B. V. Monteiro Curso: Engenharia Naval e Oceânica Este projeto busca identificar os parâmetros modais de componentes de um simulador de máquinas rotativas a partir de testes de impacto utilizando dois métodos de identificação: no domínio do tempo (Decaimento Logarítmico) e no domínio da frequência (Meia Potência). Para realizar estes testes foram utilizados um martelo de impacto instrumentado para excitar a estrutura e um acelerômetro para a aquisição dos dados de resposta. Para a análise dos dados fornecidos pelos equipamentos foi utilizada a plataforma de programação gráfica LabVIEW. Após as análises descobriu-se que a frequência natural do primeiro modo de vibração do componente analisado é de 26 Hz e que seu amortecimento está em torno de 1,3%. Palavras-chave: Parâmetros Modais, Análise, Frequências Naturais, Amortecimentos. vi

7 Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as part of the fulfillment of the requirements for the degree of Engineer. Identification of Modal Data of a Cantilever Beam Using Impact Test Wylson Zon Neto March/2015 Advisor: Ulisses Admar B. V. Monteiro Course: Ocean Engineering The current project aims to identify the modal data of components from a rotating machinery simulator through an impact test using two identification methods: in the time domain (Logarithmic Decrement) and frequency domain (Half Power). In order to perform these tests we used an instrumented impact hammer to excite the structure and an accelerometer for the acquisition of response data. For the analysis of data provided by the equipment it was used the graphical programming platform "LabVIEW". After analysis it was found that the natural frequency of the first vibration mode of the analyzed component is 26 Hz and its damping is around 1.3%. Keywords: Modal Data, Analysis, Natural Frequencies, Damping. vii

8 ÍNDICE 1 - INTRODUÇÃO OBJETIVO DO PROJETO FINAL FUNDAMENTOS TEÓRICOS Introdução à Vibração Tipos de vibração Características físicas de um sistema vibratório Análise Modal Identificação dos Parâmetros Modais Formulação Função de Resposta em Frequência Análise Gráfica da Função de Resposta em Frequência MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS Decremento Logarítmico Meia Potência ESTUDO DE CASO Equipamentos Necessários Excitador Transdutor Conversor de Sinal Analisador Procedimento Experimental Obtenção dos Dados Tratamento dos Dados ANÁLISE DOS RESULTADOS Análise Numérica Decremento Logarítmico Meia Potência CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS viii

9 1 - INTRODUÇÃO O fácil acesso a informação e a globalização da produção são alguns dos motivos pelos quais o mundo contemporâneo é marcado pela competitividade, característica que impulsiona o mercado a produzir cada vez mais rápido e barato. Dessa forma, para tentar atingir estas metas, aumentou-se a velocidade de operação e diminuiu-se a quantidade de material na produção. Consequentemente, as estruturas atuais estão muito suscetíveis aos efeitos da vibração. Por outro lado, no mundo atual os requisitos de segurança e confiabilidade são cada vez mais restringentes. Novas leis e regulamentos que buscam dar mais segurança à população entram em vigor todos os dias. No entanto, tais leis são gerais e muitas vezes vagas quanto a parâmetros técnicos específicos. Fica, então, a cargo da produção definir os mínimos requisitos de segurança e conforto, como por exemplo espessura mínima de chapa e nível máximo de vibração e ruído produzidos por um motor. Assim, para conciliar competitividade e segurança, a análise modal tem ganho cada vez mais espaço. Dentre as suas aplicações, estão: a) resolução de problemas estruturais devido ao conhecimento preciso das características da estrutura conseguidos experimentalmente; correlação de modelos de elementos finitos com resultados experimentais, tornando os primeiros mais fidedignos à realidade; identificação preliminar dos efeitos de possíveis modificações estruturais de um sistema; b) definição das características físicas que devem ser alteradas para que se consiga uma determinada variação de um parâmetro modal, tal como a variação da frequência natural; c) simplificação de modelos matemáticos, identificando, por exemplo, que um número maior de graus de liberdade não irá representar melhor a realidade; d) previsão das respostas vibratórias devido a uma força excitadora; e) identificação de uma força excitadora através das respostas observadas do sistema; f) determinação do comportamento dinâmico de uma estrutura através do comportamento de suas partes; g) detecção de falhas estruturais através da comparação dos parâmetros presentes com os da estrutura intacta; h) determinação de controle ativo de vibração, também, graças a construção de modelos matemáticos precisos. O mercado de óleo e gás é um exemplo para a utilização destas aplicações, pois, com projetos desafiadores, a especulação do preço do petróleo e as questões ambientais em voga, a segurança e a competitividade devem estar sempre em primeiro plano. 1

10 2 - OBJETIVO DO PROJETO FINAL O objetivo deste projeto é desenvolver uma metodologia para a determinação das frequências naturais, dos coeficientes de amortecimento e dos modos de vibração de um sistema a partir de dados experimentais gerados por teste de impacto. A obtenção dos resultados foi realizada através de dois métodos matemáticos: decaimento logaritmo e meia potência, todos eles voltados para sistemas com um grau de liberdade, de análise local e que sofreram excitações simples. O primeiro dos métodos se utiliza do domínio do tempo e o outro do domínio da frequência. 2

11 3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS Introdução à Vibração Este tópico foi escrito baseado em informações contidas no livro texto Mechanical Vibrations [1]. É chamado de vibração ou oscilação qualquer movimento que se repete depois de um intervalo de tempo. Um sistema oscilatório, em geral, possui um meio de armazenar energia potencial e cinética e um meio para dissipar energia. Estes sistemas oscilatórios podem ter desde um a infinitos graus de liberdade. O número de graus de liberdade de um sistema é dado pelo menor número de coordenadas independentes necessário para determinar completamente as posições de todas as partes do sistema em qualquer instante. Um sistema com um número finito de graus de liberdade é chamado de sistema discreto e um sistema com infinitos graus de liberdade é chamado de sistema contínuo. Normalmente estes sistemas contínuos, reais, são aproximados por sistemas discretos para que soluções possam ser alcançadas de forma mais simples. Assim, a maior parte dos sistemas reais é modelada de forma discreta e, normalmente para aumentar sua precisão, aumenta-se o grau de liberdade. Além disso, para prever o comportamento de um sistema vibratório submetido a certas condições iniciais, muitas vezes um sistema físico é representado por um modelo bem simples. Tais modelos são compostos pelos seguintes elementos: massa, mola e amortecedor. A massa é assumida como um corpo rígido e serve para armazenar a energia cinética do sistema. A mola pode apresentar comportamento linear ou não, geralmente os sistemas físicos apresentam comportamento não linear, e armazena a energia potencial do sistema. Por último, o amortecedor é o elemento pelo qual o sistema dissipa a energia. Assim, após representados os componentes, são feitas as análises destes sistemas, que envolvem: modelagem matemática, derivação das equações governantes, solução das equações e interpretação dos resultados Tipos de vibração A vibração também pode ser classificada quanto aos seguintes aspectos: 3

12 Livre ou forçada: a livre refere-se àquele movimento que ocorre sem a presença de qualquer força externa e, a forçada, àquele movimento que sofre influência de uma força externa; Amortecida ou não amortecida: a não amortecida mantém a energia constante e a amortecida dissipa sua energia inicial com o tempo; Linear ou não linear: a vibração é considerada linear caso todos os elementos do sistema (mola; amortecedor) também o sejam, caso contrário ela é não linear; Regular ou irregular: a regular pode ser determinada facilmente por uma série temporal, como um pêndulo de relógio e a irregular não se consegue determinar. Como o movimento do solo durante um terremoto, por exemplo Características físicas de um sistema vibratório Como visto acima um sistema vibratório real pode ser simplificado por modelos simples constituídos por massa, mola e amortecedor, que, por sua vez, representam, respectivamente, as características físicas do sistema: massa, rigidez e constante de amortecimento Análise Modal Para suporte ao desenvolvimento deste tópico foi utilizado o livro Modal Analysis [2]. A análise modal determina as características dinâmicas inerentes a um sistema especificando as frequências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibração e as utiliza para construir um modelo matemático do comportamento dinâmico do sistema. Este modelo é conhecido como modelo modal e as características como parâmetros modais. A teoria clássica da vibração, que está preocupada com a resposta do sistema, a análise modal está preocupada com as características deste. Dessa forma, a utilização das chamadas funções de resposta em frequência (FRF) torna este estudo mais eficaz. Porém, isto não exclui a utilização de funções no domínio do tempo que, também serão abordadas ao longo deste trabalho. 4

13 Identificação dos Parâmetros Modais Frequência Natural: É a frequência com que um sistema sem dissipação de energia vibra livremente após ser excitado por uma perturbação inicial. Para um sistema massa mola de um grau de liberdade ela pode ser definida da seguinte forma: ω n = k m (3.1) ( Onde k é rigidez da mola e m é a massa. E para sistemas mais complexos como o que foi estudado neste projeto pode-se identificar a frequência natural graficamente. Além disso, um sistema não apresenta, necessariamente, somente uma frequência natural. Na verdade, o número de frequências naturais de um sistema é igual ao número de graus de liberdade do mesmo. Fator de Amortecimento: O fator de amortecimento é uma característica física do sistema que dificilmente pode ser calculada analiticamente, dessa forma a análise modal é de extrema importância para identificação do mesmo, possibilitando assim a construção do modelo modal. O fator de amortecimento é definido da seguinte forma: ζ = c c c ( Onde c é a constante de amortecimento e c c é o amortecimento crítico. Modo de Vibração: O modo de vibração é o padrão de deslocamento da vibração que o sistema assume para cada frequência natural Formulação Função de Resposta em Frequência Levando em consideração o sistema estudado neste projeto, foi feito o desenvolvimento matemático da FRF somente para o caso de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento viscoso. 5 (3.2)

14 Para uma força excitadora harmônica, f(t) = F(ω)e jωt, a resposta do sistema também é harmônica, x(t) = X(ω)e jωt, onde a amplitude X(ω) é complexa. Sendo assim, ao substituirmos estas equações nas equações do movimento para um sistema amortecido, pode-se determinar a razão entre o deslocamento da resposta {X(ω)} e a força excitadora {F(ω)} como: α(ω) = X(ω) F(ω) = 1 k ω 2 m + jωc (3.3) ( Onde j é a indicação de número complexo. Sendo esta razão denominada função de resposta em frequência (FRF) do sistema. Embora seja definida como a razão entre a força e resposta, a FRF independe destas. E quando o amortecimento é zero, nota-se que a função complexa se reduz a uma função real. Mesmo na teoria, a FRF, sendo dependente apenas do sistema, na realidade a acurácia na obtenção dos dados da FRF é crítica para que a análise modal seja feita com sucesso. A FRF definida acima, usando-se o deslocamento da resposta, é conhecida como receptância. Substituindo-se o deslocamento pela velocidade tem-se a FRF denominada como mobilidade, e, pela aceleração, tem-se a FRF denominada como acelerância. Y(ω) = X (ω) F(ω) = jω k ω 2 m + jωc (3.4) ( A(ω) = X (ω) F(ω) = ω 2 k ω 2 m + jωc (3.5) ( Observando-se as equações dos três tipos de FRF, α(ω), Y(ω) e A(ω) percebese que uma pode se transformar nas outras facilmente e que suas amplitudes e fases obedecem as seguintes relações: A(ω) = ω Y(ω) = ω 2 α(ω) (3.6) ( 6

15 θ A(ω) = θ Y(ω) + π 2 = θ α(ω) + π (3.7) ( Análise Gráfica da Função de Resposta em Frequência A análise gráfica da FRF é de suma importância para a análise modal. Para cada plano da FRF, diferentes informações do sistema sobressaem. A seguir, para exemplificar, foi realizado o estudo da FRF de um sistema de um grau de liberdade que, em um primeiro momento, pode parecer analiticamente simples, mas, mesmo assim, contém muita informação sobre o sistema. Primeiro fez-se a representação geral da Receptância, que, por ser uma função complexa no domínio da frequência, precisa de uma representação tridimensional. Figura 1 - Gráfico tridimensional da Receptância. Mesmo, sendo o gráfico tridimensional, Figura 1, o único capaz de representar a FRF por completo, na análise modal, faz-se o estudo através dos planos, Real x Frequência, Imaginário x Frequência e Real x Imaginário, pois, dessa maneira, as características do sistema se destacam visualmente. Figura 2 - Parte Real da Receptância FRF. 7

16 Figura 3 - Parte Imaginária da Receptância. Na Figura 2 pode-se obter a frequência natural do sistema quando a parte real é igual a zero e na Figura 3 pode-se obter a frequência natural quando a parte imaginária atinge o pico negativo. Figura 4 - Plano Real x Imaginário das três FRF. 8

17 Nos planos da Figura 4, a identificação das características do sistema não é tão clara, mas, mais adiante, demonstra-se que, para um sistema com amortecimento viscoso, pode-se obter diretamente do gráfico da Mobilidade a constante de amortecimento, o que não é possível nos outros dois planos. 9

18 4 - MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS A classificação dos métodos de identificação dos parâmetros modais descrita abaixo foi obtida do livro Theoretical and Experimental Modal Analysis [3]. Nas últimas décadas muitos métodos de identificação modal se consolidaram. Este avanço se deve, em grande parte, à introdução da transformada rápida de Fourier (FFT Fast Fourier Transform) e ao desenvolvimento de equipamentos potentes que possibilitam a aquisição e tratamento de grandes quantidades de dados. Para organizar os diferentes métodos, foi criada uma classificação. O primeiro nível de classificação dos métodos acontece quanto ao domínio, existindo métodos no domínio do tempo, da frequência e, em paralelo a estes grupos, o método de excitação sintonizados que não será tratado neste projeto. Os grupos dos domínios da frequência e do tempo são, então, subdivididos em métodos diretos e indiretos. Os diretos se baseiam diretamente no modelo espacial para identificação das FRF s; já os métodos indiretos se baseiam no modelo modal. A subdivisão seguinte se refere ao número de modos que podem ser analisados, podendo haver análises de sistemas com um grau de liberdade (SDOF Single Degree of Freedom) e análises de sistemas com múltiplos graus de liberdade (MDOF Multiple Degree of Freedom). Neste projeto foram abordados dois métodos de análise modal, decremento logarítmico, que utiliza o domínio do tempo, e meia potência, que utiliza o domínio da frequência Decremento Logarítmico Baseado no livro texto Mechanical Vibrations [1], desenvolveu-se o texto a seguir. O método do decremento logarítmico, diferentemente dos outros, que serão abordados, trabalha no domínio do tempo, mas utiliza-se o domínio da frequência para definir a frequência natural. A frequência natural é extraída diretamente dos gráficos da parte real e imaginária da FRF pela frequência, pois pode-se observar o comportamento específico da amplitude na frequência natural e sua vizinhança. Já o amortecimento modal é definido pelo decaimento da amplitude do deslocamento com o passar dos ciclos. Este procedimento consiste basicamente na 10

19 definição do logaritmo natural da razão entre duas amplitudes consecutivas, separadas por um ciclo, da resposta do sistema { x(t)}. Figura 5 - Resposta Subamortecida do Sistema. Da equação da resposta de um sistema subamortecido pode-se montar a razão entre as amplitudes dos pontos 1 e 2 (Figura 5), da seguinte forma: x 1 = X 0e ζωnt1cos (ω d t 1 φ 0 ) x 2 X 0 e ζω nt 2cos (ωd t 2 φ 0 ) (4.1) ( Onde: X 0 é a amplitude inicial; t 1 é um tempo qualquer; t 2 = t 1 + τ d ; τ d = 2π/ω d, é o período de uma vibração amortecida; ω d é a frequência de uma vibração amortecido; φ 0 é a fase inicial. Como cos(ω d t 2 φ 0 ) = cos(2π + ω d t 1 φ 0 ) = cos(ω d t 1 φ 0 ), pode-se reescrever: x 1 = e ζωnt1 x 2 e ζω n(t 1 τ d ) = eζω nτ d (4.2) ( Então o decremento logarítmico (δ) pode ser definida como: δ = ln x 1 x 2 = ζω n τ d = ζω n 2π 1 ζ 2 ω n = 2πζ 1 ζ = 2π 2 ω d c 2m (4.3) ( e, para amortecimentos pequenos, (ζ 1): δ 2πζ (4.4) ( 11

20 4.2 - Meia Potência O texto sobre o método da meia potência foi baseado no livro Engineering Vibration [4]. Este método utiliza a amplitude da FRF {H(ω)} para encontrar as frequências naturais, amortecimentos modais e modos de vibração para todos os picos observados na plotagem da mesma. Figura 6 - Gráfico da da FRF. Se o gráfico apresenta quatro picos de ressonância, recomenda-se modelar com 4 graus de liberdade. Dessa forma, uma maneira simples de se encontrar as características modais começa pela subdivisão do gráfico de H(ω) em segmentos onde cada um engloba um pico de ressonância, considerando-se então cada segmento como um problema de resposta-frequência de um grau de liberdade. Assim, as frequências das ressonâncias são os picos e a razão de amortecimento pode ser dada por: ζ = ω a ω b 2ω n ( (4.5) Devido à sua simplicidade, este método pode coletar resultados rapidamente. Contudo, considera-se que ele não obtém parâmetros modais muito precisos. A razão de amortecimento é estimada apenas pelos pontos de meia potência, deixando de lado muitas informações fornecidas pela FRF. 12

21 5 - ESTUDO DE CASO Equipamentos Necessários Para se realizar as medições da análise modal, os seguintes equipamentos foram necessários: um Excitador, que impõe uma força conhecida ao sistema, um transdutor, que converte o movimento físico do sistema em um sinal elétrico mensurável, um conversor de sinal para amplificar o sinal emitido pelo transdutor e um analisador para processar os dados transmitidos pelo conversor de sinal Excitador O excitador pode ser um vibrador eletromagnético ou um martelo de impacto. Neste estudo utilizou-se o segundo. O martelo de impacto vem acoplado com um sensor de força embutido na sua cabeça e, diferentemente do vibrador eletromagnético, não causa o problema de modificar a massa do sistema a ser testado. A força causada pelo martelo é medida pelo sensor em sua cabeça e a resposta do sistema é composta por excitações em cada uma das frequências naturais do sistema. Figura 7 - Martelo de Impacto. 13

22 Figura 8 - Dados do Martelo de Impacto Transdutor Um transdutor converte um tipo qualquer de energia em outro tipo qualquer de energia que facilite a mensuração. Dessa forma, existem diversos tipos de transdutores e eles podem ser classificados por diferentes critérios: quantidade a ser medida; princípio de operação; necessidade de fonte externa de eletricidade ou não. Dentre os transdutores o mais popular é o piezoelétrico. Este tipo utiliza a propriedade piezoelétrica de alguns cristais de gerarem tensão elétrica em resposta a uma pressão mecânica. No entanto, o transdutor utilizado no experimento é do tipo resistivo, composto por potenciômetros e extensômetros, que transforma a deformação em um sinal elétrico. 14

23 Figura 9 - Acelerômetro. Figura 10 - Dados do Acelerômetro Conversor de Sinal Conversores de sinal fazem a ligação entre o transdutor e o analisador. Como o sinal elétrico produzido pelo transdutor é muito pequeno, o conversor de sinal, que pode ser um amplificador de voltagem, é utilizado para adequar o sinal de saída do transdutor ao de entrada do analisador. 15

24 Figura 11 - Conversor e seus dados. No caso o conversor utilizado (Figura 11) também digitaliza o sinal, que pode ser transferido para um computador através de uma porta USB Analisador O analisador é o último equipamento da análise modal, ele recebe os sinais analógicos ou digitalizados do conversor de sinal e calcula os espectros de forma numérica ou gráfica, possibilitando, assim, a determinação dos parâmetros modais. Neste projeto foi utilizado como analisador um computador equipado com o software de programação gráfica LabVIEW, que recebe os dados digitalizados e se utiliza de funções internas para manipular os dados. 16

25 Figura 12 - Ferramenta de programação utilizada como Analisador Procedimento Experimental Obtenção dos Dados A Erro! Fonte de referência não encontrada. mostra o Rotor Kit instalado no aboratório de Ensaios Dinâmicos e Análise de Vibração (LEDAV) utilizado para simular máquinas rotativas, que teve sua haste do sistema de controle (Figura 14) submetida aos impactos. O sistema de controle e sua haste são um sistema em balanço que possui vibração longitudinal e facilmente excitável. 17

26 Figura 13 - Rotor Kit e haste do sistema de controle. Figura 14 - Haste do sistema de controle. Para produzir os dados experimentais (Figura 15 e Figura 16), foram realizados dois testes com um martelo de impacto, sendo, cada um dos testes, uma sequência de quatro impactos. Os dados foram obtidos através de um acelerômetro, para medir a resposta do sistema, e um transdutor de força, este já instalado na cabeça do martelo, para medir a força excitadora. Figura 15 - Impactos teste

27 Figura 16 - Impactos teste Tratamento dos Dados Após serem devidamente registrados, os dados gerados pelos impactos devem ser tratados. Para realizar o tratamento, foi utilizado um software simples, programado na plataforma do LabVIEW. O primeiro passo foi a separação dos dados da força excitadora, impacto do martelo, dos dados da resposta do sistema. Para isso foi utilizada a função Split Signals, interna da plataforma LabVIEW. Figura 17 - Função "Split Signals" interna do "LabVIEW". Para confirmar a separação dos dados com sucesso criou-se um gráfico para cada tipo de dado. Vale lembrar que, como os mecanismos utilizados para obtenção dos dados foram um acelerômetro e um transdutor de força, os dados originais correspondem à aceleração em função do tempo. 19

28 Dados Teste 01: Figura 18 Dados da força excitadora Teste 01. Figura 19 - Dados da resposta do sistema Teste

29 Dados Teste 02: Figura 20 - Dados da força excitadora Teste 02. Figura 21 - Dados da resposta do sistema Teste

30 6 - ANÁLISE DOS RESULTADOS Análise Numérica Para comparar os resultados experimentais foi realizada uma análise numérica do sistema estudado. Criou-se um modelo da haste do RotorKit no programa de modelação Rhinoceros e exportou-se este modelo para o Ansys, software de análise numérica, pelo método dos elementos finitos. Em um primeiro momento, exportou-se um modelo trivial baseado em elemento casca e constatou-se que a frequência do primeiro modo de vibração era de 41 Hz. Em seguida, foi criado um modelo mais fiel com todas as dimensões idênticas ao corpo real, elemento sólido, o que retornou a frequência natural do primeiro modo igual a 35 Hz. Enfim, percebeu-se que o tipo de engaste da haste que estava sendo utilizado, engaste completo, não era adequado, já que a haste é presa a estrutura pontualmente por dois parafusos. Dessa forma, ao modificar-se o tipo de engaste do modelo para pontual obteve-se a frequência natural do primeiro modo igual a 27,8 Hz (Figura 22). Figura 22 - Primeiro modo de vibração pelo Ansys. Além da frequência natural, o modelo também nos permitiu identificar os modos de vibração, o primeiro, como já dito antes, com frequência natural de 27,8 Hz, o segundo com frequência natural de 183,5 Hz (Figura 23) e os subsequentes. Dessa forma, ao comparar os dados numéricos com os experimentais sabe-se que modo de vibração o experimento está identificando. 22

31 Figura 23 - Segundo modo de vibração pelo Ansys Decremento Logarítmico Como visto anteriormente, a obtenção dos parâmetros modais a partir deste método utiliza informações presentes no deslocamento da resposta do sistema, ou seja, o gráfico de deslocamento x tempo da resposta do sistema. Porém o equipamento utilizado para obter os dados de resposta do sistema nos fornece a aceleração x tempo. Assim, para utilizar-se estes dados sem perda de detalhes, provamos na sequência que a relação do decremento logarítmico, apresentada na Equação 4.2, também é válida para a aceleração: x 1 = X 0 e ζω nt 1 cos(ω d t 1 φ 0 ) Fazendo-se u = X 0 e ζω nt 1 e v = cos(ω d t 1 ϕ 0 ), tem-se: x 1 = uv x 1 = u v + uv x 1 = u v + u v + u v + uv (6.1) (6.2) (6.3) (6.4) ( ( ( ( 23

32 Então, isolando u, obtém-se a relação mostrada na Equação 6.5: x 1 x 2 = e ζω nt 1 e ζω n(t 1 τ d ) = eζω nτ d (6.5) ( Abaixo segue-se o passo a passo para a definição dos parâmetros modais e a apresentação dos valores para os Testes 01 e 02. 1º Passo: transformar a resposta do sistema em FRF. Como visto, a resposta do sistema deve ser passada do domínio do tempo para o domínio da frequência e para isso aplica-se a função Frequency Response (Figura 24) para criar os gráficos da parte real e imaginária da Acelerância FRF. Figura 24 - Função Frequency Response, interna do LabVIEW. 2º Passo: encontrar a frequência natural. A partir dos gráficos plotados, a frequência natural, neste método, é encontrada através de uma média das frequências indicadas pelos gráficos da parte Real e Imaginária da FRF. A frequência natural na parte real é fornecida por uma interpolação entre os Pontos 1 e 2 (Figura 25 e Figura 26) para se descobrir a frequência de amplitude zero. 24

33 Figura 25 - Ponto 1 na Parte Real da Acelerância FRF. Figura 26 - Ponto 2 na Parte Real da Acelerância FRF. Tabela 1 - Interpolação da ω n no Teste 01 pela Parte real da FRF. Teste 01 Ponto 1 Ponto 2 ω n - Real ω: 25,96 26,01 25,97 Amp: 0,019-0,109 0 Tabela 2 - Interpolação da ω n no Teste 02 pela Parte real da FRF. Teste 02 Ponto 1 Ponto 2 ω n - Real ω: 25,96 26,01 25,97 Amp: 0,052-0,

34 Para descobrir a frequência natural pela Imaginária da Acelerância FRF, basta buscar o ponto de máxima amplitude (Figura 27). Figura 27 - Ponto de Máxima Amplitude na Parte Imaginária da Acelerância FRF. Agora, realiza-se a média entre os valores obtidos pela parte real e pela parte imaginária para se obter a frequência natural final por este método. Tabela 3 - Frequência Natural Média pelo Teste 01. Teste 01 ω n [Hz] ω n [Rad/s] FRF - Real: 25,97 163,16 FRF - Im.: 26,06 163,74 Média: 26,01 163,45 Tabela 4 - Frequência Natural Média pelo Teste 02. Teste 02 ω n [Hz] ω n [Rad/s] FRF - Real: 25,97 163,18 FRF - Im.: 26,01 163,43 Média: 25,99 163,30 3º Passo: encontrar o decremento logarítmico. Neste passo utiliza-se o gráfico de aceleração x tempo para se obter os pontos do cálculo do decremento. A relação requer que o intervalo entre os pontos seja sempre de períodos completos, assim, para aumentar a significância dos valores obtidos, usou-se o intervalo de um, quatro e seis períodos (Figura 28). 26

35 Figura 28 Exemplo de Pontos analisados em um Impacto. Após identificados os pontos, estes foram dispostos em tabelas e calculou-se o decremento dos Teste 01 (Tabela 5) e Teste 02 (Tabela 6). Tabela 5 - Cálculos decremento Teste 01. Teste 02 X1 [g] X2 [g] m [un] δ Impacto 1: 0,742 0, ,113 0,651 0, ,091 Impacto 2: 0,803 0, ,189 0,643 0, ,096 Impacto 3: 0,622 0, ,044 0,502 0, ,073 Impacto 4: 0,685 0, ,048 0,617 0, ,079 Média: 0,092 27

36 Tabela 6 - Cálculos decremento Teste 02. Teste 02 X1 [g] X2 [g] m [un] δ Impacto 1: 0,742 0, ,113 0,651 0, ,091 Impacto 2: 0,803 0, ,189 0,643 0, ,096 Impacto 3: 0,622 0, ,044 0,502 0, ,073 Impacto 4: 0,685 0, ,048 0,617 0, ,079 Média: 0,092 4º Passo: encontrar a razão de amortecimento. Pela Equação 4.4, tem-se: Tabela 7 - Razão de Amortecimento Testes. 5º Passo: encontrar amortecimento crítico. Da definição do amortecimento crítico: Cc = 2mω n sabendo que a massa medida do sistema é de 0,99 kg e com os valores das frequências naturais das Tabela 3 etabela 4: Teste 01 Teste 02 δ: 0,084 0,092 ζ: 0,013 0,015 Tabela 8 Amortecimento Crítico. Teste 01 Teste 02 Cc[N*S/m]: 323, ,336 6º Passo: definição do amortecimento do sistema. Logo, pela definição de razão de amortecimento: (6.6) ( ζ = C Cc (6.7) ( o que fornece: 28

37 Tabela 9 Amortecimento do Sistema. Teste 01 Teste 02 C [N*S/m]: 4,312 4, Meia Potência Este método é conhecido por sua simplicidade na obtenção dos parâmetros modais e isso fica provado no procedimento passo a passo que se segue: 1º Passo: transformar a resposta do sistema em FRF. Este método utiliza-se das informações presentes na representação gráfica da magnitude da Acelerância FRF. Como na manipulação utilizada para o decremento logarítmico, os dados de aceleração x tempo são transformados na Acelerância FRF pela função Frequency Response (Figura 29), para criar o gráfico da magnitude da Receptância FRF. Figura 29 Função Frequency Response, interna do LabVIEW. 2º Passo: definir frequência natural. Do gráfico da magnitude da Acelerância FRF (Figura 30 e Figura 31) obtém-se as ω n indicadas na Tabela 10 Frequências naturais pelas Figura 30 e Figura 31. Tabela 10: 29

38 Figura 30 - Magnitude da Acelerância FRF Teste 01. Figura 31 - Magnitude da Acelerância FRF Teste 02. Tabela 10 Frequências naturais pelas Figura 30 e Figura 31. Teste 01 Teste 02 ω n [Hz] 26,10 26,00 30

39 3º Passo: encontrar meia potência. A meia potência é encontrada a partir da amplitude máxima da FRF, correspondente a ω n, dividindo-a por raiz de dois. Assim, tem-se: Tabela 11 - Meia Potência dos Testes 01 e 02. 4º Passo: encontrar Frequências na meia potência. Com as meias potências encontradas, procura-se no gráfico que frequências são correspondentes a essas magnitudes. Como muitas vezes a meia potência não coincide com o um ponto do gráfico utilizou-se a interpolação linear pra se obter as frequências ω a e ω b de cada teste. Teste 01 Teste 02 H(ω)(max): 2,32 2,04 H(ω)(meia): 1,64 1,44 Figura 32 - Ponto 1 para obtenção ω b do Teste

40 Figura 33 - Ponto 2 para obtenção ω b do Teste 01. As Figura 32 e Figura 33 mostram a identificação dos pontos adjacentes à meia potência, ω b, que foram usados na interpolação mostrada na Tabela 12. O mesmo procedimento foi aplicado para a frequência, ω a, do Teste 01 (Tabela 13) e para a frequência, ω a, do Teste 02 (Tabela 15). No entanto, na definição da frequência, ω b, do Teste 02 não foi necessário este procedimento, já que havia um ponto do gráfico coincidente com o de meia potência, por isso as colunas em branco na Tabela 14. Tabela 12 - ω b - Teste 01. ω b - Teste 01 Ponto 1 Ponto 2 ω b - 1/2 ω: 25, ,93 Amp: 1,59 1,77 1,64 Tabela 13 - ω a - Teste 01. ω a - Teste 01 Ponto 1 Ponto 2 ω a - 1/2 ω: 26,3 26,4 26,31 Amp: 1,66 1,29 1,64 32

41 Tabela 14 - ω b - Teste 02. ω b - Teste 02 Ponto 1 Ponto 2 ω b - 1/2 ω: 25,70 Amp: 1,44 Tabela 15 - ω a - Teste 02. ω a - Teste 02 Ponto 1 Ponto 2 ω a - 1/2 ω: 26,3 26,4 26,36 Amp: 1,77 1,25 1,44 5º Passo: encontrar a razão de amortecimento. Enfim, com todas as frequências definidas, pode-se aplicar a Equação 4.4 demonstrada no item 4.2 -, para se obter as razões de amortecimento: Tabela 16 - Razões de Amortecimento - Testes 01 e 02. Teste 01 Teste 02 : 25,928 25,700 : 26,305 26,363 : 26,100 26,000 ζ: 0,007 0,013 ω a ω b ω n 6º Passo: encontrar o amortecimento crítico. Da mesma forma que no item 6.2 -, anterior, calcula-se o c c a partir da Equação 6.6, sabendo que a massa do sistema é de 0,99 kg: Tabela 17 - Amortecimento Crítico - Testes 01 e 02. Teste 01 Teste 02 c c[n*s/m]: 324,70 323,46 7º Passo: definição do amortecimento do sistema. Como já especificado no item 6.2 -, tem-se: Tabela 18 - Amortecimento do Sistema - Testes 01 e 02. Teste 01 Teste 02 c [N*S/m]: 2,35 4,13 33

42 7 - CONCLUSÕES O presente projeto nos permite identificar as dificuldades do processo de obtenção dos parâmetros modais e como superá-las. Nota-se o quão delicado é a correta obtenção de dados e também o tratamento destes. Os métodos que foram utilizados para análise são simples e devem ser usados com certas restrições. Sistemas mais complexos dificilmente seriam bem estudados através deles. Para isso deve-se fazer uso de outros métodos como os citados no item 4 - (Ex: o MIMO). Neste caso específico, ao comparar os dados experimentais com os dados numéricos, nota-se que a única frequência natural (26 Hz) detectada experimentalmente pertence ao primeiro modo de vibração da haste. A frequência natural do segundo modo de vibração e dos seguintes não foram detectadas, provavelmente, devido à posição e magnitude das forças aplicadas nos testes serem incapazes de excitar os modos de vibração seguintes. Assim, para detectar mais modos experimentalmente, em paralelo a utilização de métodos mais robustos, como dito acima, deve-se também aumentar o número de dados coletados e diversificar as posições de instalação dos equipamentos. 34

43 8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] SINGIRESU S. RAO. (2011), Mechanical Vibrations, Pearson Education, Inc. [2] HE, JIMIN; FU, ZHI-FANG. (2001), Modal Analysis, Butterworth-Heinemann. [3] MAIA, SILVA; HE, LIEVEN; LIN, SKINGLE; TO, URGUEIRA. (1997), Theoretical and Experimental Modal Analysis, Research Studies Press Ltd. [4] INMAN, DANIEL J. (2001), Engineering Vibration, Prentice-Hall, Inc. 35