BENEFICIAMENTO 1. INTRODUÇÃO

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1 1. INTRODUÇÃO 1.1 AGITAÇÃO MECÂNICA Em muitas indústias, a gaantia de seus podutos está dietamente ligada ao sucesso dos seus pocessos de fabicação e podução. Quando um poduto final ou intemediáio depende de opeações que envolvam MISTURA E AGITAÇÃO, tona-se fundamental a coeta especificação destes equipamentos e/ou pocessos. As técnicas de AGITAÇÃO e MISTURA são utilizadas num gande númeo de opeações físico-químicas pesentes em todas as indústias de tansfomação de mateiais. Obsevamos a utilização das mesmas nas industiais: Química, Petoquímica, de Alimentos, Mineação, Famacêutica, Cosméticos, de Tinta, Papel, etc. Estes pocedimentos e páticas são tão difundidos que podemos afima que aamente a AGITAÇÃO E MISTURA estão ausentes dos pocessos industiais. Emboa fequentemente confundidos, AGITAÇÃO e MISTURA não são sinônimos. Como acontece com as ideias comuns, estes dois temos são entendidos como sendo a mesma coisa. A palava MISTURA deve se aplicada às opeações onde temos componentes com distibuição aleatóia, opeações estas que pocuam apenas eduzi não unifomidades ou gandes gadientes de composição, popiedades ou tempeatua. A MISTURA vista nestes temos, pode se alcançada pela simples movimentação do mateial. A ação de mistua pode se ealizada de váias fomas. Uma melho compeensão, pode se dada pelos seguintes exemplos: Rotação de um tambo que contenha aeia, cimento, cascalho e água, po um deteminado tempo, como numa betoneia. Tanspote de dois gases difeentes po um mesmo conduto, objetivando sua completa mistua. 1/85

2 Nestes dois exemplos o poduto final é dito MISTURADO, emboa uma amosta dos gases seja mais homogênea que uma amosta de conceto. Já a AGITAÇÃO, é um modo muito paticula de mistua. Este temo é usado paa caacteiza uma movimentação de mateial líquido que esteja contido num ecipiente qualque. Um mateial homogêneo como, po exemplo, um tanque com água fia, pode se agitado, mas não podeá se mistuado até que acescentemos a ele outo mateial com caacteísticas difeentes, tais como: Água quente Óleo Um mateial sólido ou ocoa a dispesão de um gás neste meio Em esumo, MISTURA, é quando pocuamos eduzi heteogeneidades ente fases, caacteísticas físicas ou químicas. Já a AGITAÇÃO, quando queemos poduzi movimento numa deteminada fase, usualmente líquida. A agitação mecânica definida dento dos conceitos anteiomente expostos pode se encontada em pocessos com uma, duas ou mesmo tês fases distintas dos seus componentes. A natueza destas fases são aquelas definidas na Tabela I, a sabe; sólida, líquida ou gasosa, salientando-se que de modo geal, nunca se utiliza a agitação mecânica nos pocessos onde a fase pincipal é um gás. As tabelas I e II agupa os pincipais casos de agitação mecânica empegados, seus meios, as opeações Físico-Químicas envolvidas, os tipos de impelidoes ecomendados e as elações ótimas ente o diâmeto do impelido e o diâmeto do ecipiente (vaso ou tanque). Emboa tais tabelas não petendam se definitivas e categóicas, sua análise, mesmo que ápida dos divesos casos expostos pemite a classificação do tipo de agitação indicada paa os mais divesos poblemas existentes. /85

3 Os meios chamados miscíveis são em geal, a gande maioia dos casos encontados quando da aplicação da agitação mecânica. Neles, os fenômenos da difusão são mais eficazes e facilmente obtidos. São eles caacteizados po opeações hidodinâmicas tais como, bombeamento, ciculação de podutos e homogeneização. Ressalva-se, é clao, os casos onde os podutos a seem agitados foem de densidades ou viscosidades muito difeentes ente si. Nos meios imiscíveis, a agitação mecânica é caacteizada po opeações tais como: dispesão de líquidos, obtenção de emulsões gosseias e estáveis, etc. Nos meios onde temos sistemas bifásicos sólido/líquido, a agitação mecânica tem como pincipal vaiável, a velocidade de sedimentação das patículas da fase sólida, e seão exigidos níveis de agitação mais elevados, quanto maioes foem estas velocidades de sedimentação e suas concentações na fase líquida. Nos meios líquido/gás, a pincipal opeação hidodinâmica desejada, é a de pomove a dispesão da fase gasosa na fase líquida. Estas opeações equeem elevado gau de tubulência e cisalhamento po pate do sistema de agitação. Em alguns casos, onde a mistua possui um alto gau de coalescência, o fenômeno da tubulência e cisalhamento pode se pedominante no sistema de agitação, chegando a atingi níveis extemamente podeosos e violentos, pincipalmente nos casos onde se deseja dispesão fina e estável de bolhas de gás num meio líquido. 3/85

4 TABELA I PRINCIPAIS OPERAÇÕES FÍSICO-QUÍMICAS ONDE OS FENÔMENOS DA AGITAÇÃO INTERVEM NATUREZA DA OPERAÇÃO OPERAÇÃO HIDRODINÂMICA FENÔMENO FÍSICO-QUÍMICO LÍQUIDOS MISCÍVEIS Homogeneização Bombeamento Ciculação Tansfeência témica LÍQUIDOS IMISCÍVEIS LÍQUIDO/SÓLIDO LÍQUIDO/GÁS Dispesão líquido/líquido Emulsões estáveis Inicia suspensão Mante suspensão Dispesão de gás em líquido Reação em fase heteogênea Extação líquido/líquido Tansfeência témica Emulsificação Dissolução Cistalização Redução de tamanho de patícula Lavagem de patícula Floculação Tansfeência témica Absoção de gases em líquidos Dispesão de gases em líquidos Lavagem de gases Tansfeência témica 4/85

5 TABELA II ESCOLHA DE IMPELIDORES MEIO TRATADO OPERAÇÃO FÍSICO-QUÍMICA APLICAÇÃO PARTICULAR TIPO DE IMPELIDOR LÍQ/LÍQ (MISCÍVEIS) -Homogeneização -Ciculação -Homogeneização em concentação e temp. -Mante em movimento -Impelido tipo naval -Impelido pefilado D/T -0,1~0,3 (salvo entada lateal) LÍQ/LÍQ (IMISCÍVEIS) LÍQ/GÁS -Tansfeência témica -Reação Química -Dispesão -Emulsificação -Dispesão -Estocagem -Aquecimento -Resfiamento -Reação química -Extação líq/líq -Lavagem -Pé-emulsificação -Emulsificação gosseia -Emulsificação estável -Reação química -Absoção de gases -Dispesão de gases -Lavagem de gases -Oxigenação/Aeação -Hidogenação -0,3~0,65 -Impelido naval -0,3~0,65 -Impelido pefilado -0,~0,65 -Tubina adial tipo Flat Blade (FBT) -0,1~0,5 -Tubina adial tipo Flat Blade (FBT) -0,1~0,5 -Tubina adial tipo Flat Blade (FBT) -0,1~0,5 5/85

6 SÓL / LÍQ Facas Concentações de sólido Altas Concentações (meios não Newtoniamos) TABELA II ESCOLHA DE IMPELIDORES Continuação -Inicia e mante suspensào -Dissolução -Inicia e mante suspensões -Dissoluções -Dispesão -Mante suspensão -Estocagem -Cistalização -Tanspote -Mante suspensão -Estocagem -Tanspote -Incopoa sólidos em meios líquidos -Impelido naval -Impelido pás planas inclinadas (PBT) -Impelido pefilado -Impelido naval -Impelido PBT -Impelido pefilado -Impelido naval -Impelido PBT -Impelido pefilado -Impelido naval -Impelido PBT -Impelido pefilado -Impelido denteados tipo Cowles -0,3~0,65-0,3~0,65-0,4~0,6-0,3~0,65-0,3~0,60 1. LIMITES DESTE TRABALHO Este tabalho abodaá tão somente os sistemas onde há a AGITAÇÃO nos temos descitos anteiomente, em ecipientes cilíndicos veticais, e possuindo como meio de movimentação do fluído nele contido, impelidoes fixados a eixos veticais. Emboa não sendo abodados, a AGITAÇÃO E MISTURA de fluídos atavés de sistemas difeentes anteiomente citados, podemos enconta em liteatua especializada, um númeo de equipamentos destinados a poduzi estes efeitos, todos com concepção hidodinâmica e mecânica difeentes do poposto neste tabalho. Apenas paa efeito de conhecimento, apesentamos a segui alguns destes equipamentos consideados neste tabalho, não convencionais, todos eles utilizados em situações bem específicas de pocessos, que apesa de não se enquadaem nos nossos popósitos, meecem o conhecimento de suas aplicações: 6/85

7 Mistuadoes de Baços Duplos (Sigma), paa massas extemamente viscosas e pesadas (Fig. 1.1) Mistuadoes Estáticos, paa meios líquidos (Fig. 1.) Mistuadoes Planetáios, paa pastas, tintas, cosméticos, etc. (Fig. 1.3) Mistuadoes com impelidoes tipo âncoa e cowles, paa fluídos viscosos e incopoação de sólidos em meios viscosos. (Fig. 1.4) Mistuadoes do tipo Paafuso Vetical (Fig. 1.5) Agitação de meios líquidos atavés de bicos ejetoes, bocais injetoes, etc. (Fig. 1.6) Mistuadoes tipo V, paa homogeneização e mistua de mateial paticulado seco, ou empolpado, ou mesmo incopoação de pequenas quantidades de líquidos em sólidos paticulado (Fig. 1.7) Mistuadoes do tipo Duplo Cone, com a mesma função anteio (Fig. 1.8). Mistuado de fitas Ribbon Blende (Fig. 1.9 e 1.10) Estusoes de paafusos geminados (Fig. 1.11) Mistuado tipo Bambuy (Fig. 1.1) 7/85

8 EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS DE AGITAÇÃO E MISTURA Fig.1 Mistuado de Baços Duplos (Sigma) 8/85

9 Fig. Mistuado Estático EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS DE AGITAÇÃO E MISTURA Fig. 3 Mistuado Planetáio com Tanque Removível 9/85

10 EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS DE AGITAÇÃO E MISTURA Fig. 1.4 Mistuado com impelido tipo âncoa e cowles 10/85

11 EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS DE AGITAÇÃO E MISTURA Fig. 1.5 Mistuado tipo Paafuso Vetical 11/85

12 EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS DE AGITAÇÃO E MISTURA Fig /85

13 EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS DE AGITAÇÃO E MISTURA Fig. 1.7 Mistuado tipo V Fig. 1.8 Mistuado tipo Duplo Cone (com chicanas) 13/85

14 EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS DE AGITAÇÃO E MISTURA Fig Mistuado de Fitas Hoizontal (Ribbon Blende) Fig Mistuado de Fitas Vetical (Ribbon Blende) 14/85

15 CONCEITUAÇÃO PRELIMINAR \ DEFINIÇÕES.1 TERMINOLOGIA, NOMENCLATURA E SIMBOLOGIA [1] Pocuou-se neste tabalho, adota tanto quanto possível, as ecomendações do Gupo de Agitação de Fluídos do The Institution of Chemical Enginees, instituto note ameicano que pocua ecomenda temos padonizados e simbologia paa os pocessos de Agitação em que no mínimo uma das fases seja um líquido. A adoção destas ecomendações tem como objetivo eduzi as falhas de intepetações encontadas em liteatua e nas indústias que empegam pocessos de agitação. Esta lista não é definitiva e não petende cobi os métodos especializados tais como: os ulta-sônicos, mistua de pós, etc. Objetiva-se desta foma cobi as mais comuns situações nos pocessos de agitação. A teminologia elativa à Reologia, pate da Física que estuda o compotamento mecânico e as popiedades dos copos que não são sólidos nem líquidos, também não seá cobeta nesta pate do tabalho, devendo se definida à medida que fo necessáia..1.1 TERMOS GERAIS Agitação lamina - edução de escala de segegação ou espessua de estatificação (veja abaixo) po defomação de fluxo lamina (cotagem, dobamento, amassamento, cisalhamento e estiamento) sem tubulência ou movimento aleatóio. Agitação tubulenta edução de escala de segegação atavés de movimento tubulento. Mico-agitação agitação em pequena escala po difusão molecula. Maco-agitação agitação em gande escala po movimento lamina ou tubulento. Espessua de estatificação distância média ente intefaces adjacentes de mateiais a seem mistuados po mecanismos laminaes. 15/85

16 Blending agitação de líquidos miscíveis (de difeentes densidades, viscosidades, etc.) Dispesão Uma fase imiscível (gás, líquida ou sólida) distibuída em todo o fluído em foma de pequenas bolhas, gotículas ou patículas. Suspensão ou polpa a dispesão em líquido, de patículas que podem ou não sedimenta na ausência de agitação ou fluxo. Pasta uma dispesão não Newtoniana, de patículas sólidas em alta concentação em líquidos. Emulsão instável uma dispesão de bolhas de gás em líquidos, que podem sepaa-se na ausência de agitação ou geação de bolhas. Emulsão estável uma dispesão de bolhas de gás em líquidos com uma alta fação de gás, que pemanece estável po um longo peíodo mesmo na ausência de agitação ou geação de bolhas..1. GEOMETRIA Agitado um elemento otatóio de agitação em um ecipiente (nomalmente montado em um eixo vetical centado). Âncoa um agitado com lâminas veticais contonando o fomato do vaso, com folga pequena ente elas e a paede deste vaso Agitado inclinado agitado com o eixo inclinado em elação ao eixo do ecipiente. Defleto chapa vetical montada no ecipiente paa peveni a fomação de vótices. Calanda máquina paa mistua ente olos Tubina tipo disco tubina com lâminas (etas, inclinadas, etc.) montadas em tono de um disco hoizontal, pojetando-se acima e abaixo deste disco. 16/85

17 Dispeso disco otativo de alta otação, nomalmente em fomato de sea, utilizado paa a dispesão de pós ou fomação de emulsões. Daft tube tubo vetical, D < Diâm. Tubo > T, montado concenticamente com o agitado, paa pomove ciculação. Emulsificado dispositivo de alta enegia, que utiliza a enegia do fluxo paa cia finas dispesões. Extuso um ou mais paafusos otativos, opeando com pequena folga ente eles e as paedes. Bombeia e mistua po cisalhamento lamina. Flat blade tubine impelidoes com lâminas veticais etas. Fitas helicoidas (Helical ibbon) fitas helicóidas montadas em eixo que pode se vetical ou hoizontal, paa poduzi fluxo póximo das paedes do vaso. Pode te um segundo conjunto de fitas paa fluxo oposto póximo ao eixo cental. Paafusos helicoidais semelhante a um tanspotado de osca montado em um eixo vetical centalizado, fequentemente utilizado com daft tube. Impelido de alto cisalhamento impelido de fluxo adial envolvido po um estato com uma folga muito pequena ente eles, poduzindo um alto efeito cisalhante. Bambuy mixe mistuado com um ou dois otoes e folga muito pequenas ente eles e a câmaa de tabalho, poduzindo alto efeito cisalhante paa mistua pastas. Mistuado estático dispositivo sem elementos giantes, incopoados em tubulações. Jet mixe dispositivo montado em tanques, composto de distibuido cental e váios ejetoes de gás ou líquidos, paa pomove agitação tubulenta. 17/85

18 Pitched blade tubine (impelido de pás etas inclinadas) impelido com lâminas em ângulo com a vetical. Popelle (impelido naval) impelido com fomato de pás navais, poduzindo fluxo pedominantemente axial NOMENCLATURA Símbolo Descição Unidade Dimensão A Áea m L B Lagua do defleto m L c Folga ente impelido e a paede do vaso m L c B Folga ente defleto e a paede do vaso m L D Diâmeto do impelido m L D C Diâmeto da bobina m L D SH Diâmeto do eixo m L Z Altua do líquido a pati do fundo do tanque m L H Altua total do tanque ou vaso m L L SH Compimento do eixo m L L Compimento da pá do impelido ( ao eixo) m L n. Númeo de impelidoes - nb Númeo de pás do impelido - p Passo de osca, fita ou impelido m L T Diâmeto do vaso/tanque m L V L Volume de líquido no vaso tanque m 3 L 3 V Volume total do tanque/vaso m 3 L 3 W lagua da pá do impelido (paalela ao eixo) m L α Ângulo da pá do impelido em elação à vetical gaus 18/85

19 .1.3 PROPRIEDADES DOS FLUÍDOS NOMENCLATURA Símbolo Descição Unidade Dimensão μ Viscosidade dinâmica M/LT (FT/L ) μ a Viscosidade apaente M/LT (FT/L) ν Viscosidade cinemática L /T ρ Densidade M/L 3 (F/L 3 ) ρ M Densidade da mistua M/L 3 (F/L 3 ) τ y Tensão de escoamento N/m M/LT (F/L ) Ď Difusibilidade molecula m /s L /T Ď H Difusibilidade témica L 3 /T λ Tempeatua k ou λ Condutividade témica.1.4 DINÂMICA Aglomeação união de váias patículas (fote o suficiente paa se pemiti movimentação manual). Agegação união de váias patículas po foças elativamente facas. Coagulação união de váias gotículas (ou seja, emulsão) po foças atativas. Coalescência união de váias gotículas ou pequenas bolhas paa fomação de outas maioes. Floculação união de patículas suspensas em líquidos paa foma estutuas flutuantes (flocos). Umectação etiada de um gás ou vapo de uma supefície sólida, po um líquido. Tempo de ciculação intevalo de tempo ente sucessivas passagens de um elemento fluído po um tempo fixo. Tempo de mistua tempo consumido po mistuado a pati de um estado inicial até um estado final pevisto. 19/85

20 Tempo de esidência tempo consumido po um elemento de fluído ente a sua entada e a saída de um agitado, vaso, tanque, etc NOMENCLATURA Símbolo Descição Unidade Dimensão C concentação kg/m 3 M/L 3 kgmole/m3 M3/m 3 C D coeficiente de aaste - d diâmeto de patícula, bolha ou gotícula m L F foça N ML/T ( F ) FD foça de aaste (dag foce) N ML/T ( F ) g aceleação da gavidade m/s L/T Mt toque Nm FL N otação do agitado pm N JS N CH N CD otação do agitado apenas paa suspende as patículas do fundo do tanque otação do agitado paa completa homogeneização da suspensão otação do agitado paa completa dispesão de gás no vaso pm pm pm Símbolo Descição Unidade Dimensão P potência HP ML /T 3 (FL/T) Q azão volumética de fluxo m 3 /s L 3 /T Q P capacidade de bombeamento m 3 /s L 3 /T t tempo s T t c tempo de ciculação s T t M tempo de mistua s T t R tempo de esidência s T v velocidade linea m/s L 3 /T v S velocidade supeficial m/s L 3 /T v T velocidade teminal de queda m/s L 3 /T τ Tensão de cisalhamento N/m M/LT (F/L ) σ Tensão nomal de flexão N/m M/LT (F/L ) ω Velocidade angula ad/s 0/85

21 .1.5 ESTATÍSTICA E MEDIÇÕES NA AGITAÇÃO Intensidade de segegação a medida da difeença em concentação ente pates de um mesmo componente em uma mistua. Espessua de estatificação distância média ente intefaces adjacentes de mateiais a seem mistuados po mecanismos laminaes NOMENCLATURA Símbolo Descição Unidade Dimensão I S Intensidade de segegação - Ls Escala de segegação m L S ou σ Desvio padão - S ou σ Vaiância - δ Espessua de estatificação m L NA.1.7 GRUPOS ADIMENSIONAIS Númeo de Aquimedes 3 L. g. Δρ v. ρ Q NQ Númeo de Bombeamento 3 N.D NF Númeo de Foude N. D v ou g g. H Ne Númeo de Newton Ve númeo potência h.d Nu Númeo de Nusselt k P Npo Númeo de Potência 3 5 ρ. N. D 1/85

22 μ.c P NP Númeo de Pandt k Ney Númeo de Reynolds N. D.ρ μ NSh Númeo de Shewood Ď we Númeo de Webe 3 N. D. ρ σ. GL.1.8 SUBSCRITOS E SOBRESCRITOS Subscitos Sobescitos b. Bolhas Valo médio B Apaente ~ Valo apoximado c. Contínuo Equilíbio C Ciculação d. Fase dispesada f. Final g. Gasoso G Gás i. Inicial j. Inteface L Líquido M Mistua o. Saída p. Patícula S Sólido T Total u. desgaseificado /85

23 . DEFINIÇÃO DE FLUÍDO Um fluído é uma substância que se defoma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (i.e. tangencial) po meno que seja esta tensão. De acodo com os estados físicos da matéia, os fluídos compeendem as fases líquidas e gasosas (ou vapo). A distinção ente um fluído e os estados emanescentes da matéia (estado sólido) tona-se claa, se compaamos um fluído segundo a definição dada acima, com o compotamento de um sólido. Um sólido é uma substância que se defoma quando a tensão de cisalhamento é aplicada, mas que não se continua a se defoma. Na fig..1, o compotamento de um sólido e o de um fluído é contastado. Na fig..1a, a foça de cisalhamento é aplicada no sólido atavés das placas as quais ele foi ligado. Quando a foça de cisalhamento é aplicada ele se defoma confome mostado, e desde que o limite elástico do sólido não seja excedido, a defomação é dietamente popocional à tensão de cisalhamento τ aplicada, onde τ F/A, F é a foça aplicada e A a áea da supefície em contato com a placa. Cessada a tensão de cisalhamento, o copo volta a apesenta seu aspecto oiginal. Analogamente se ente as placas tivemos um fluído, obsevemos o compotamento deste fluído. Usamos um macado à base de coante paa delinea um elemento de fluído confome mostam as linhas sólidas (fig..1.b). Sob a aplicação da foça F à placa supeio, notamos que o elemento de fluído continua a se defoma duante todo o tempo que a foça é aplicada. O fomato do elemento de fluído, a instantes sucessivos de tempo t > t 1 > t 0, é mostado atavés das linhas tacejadas da fig..1.b, a qual epesenta as posições dos macadoes de coante. Nota que o fluído em contato dieto com o contono sólido possui a mesma velocidade que o pópio contono. Como o movimento do fluído continua sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento, podemos altenativamente, defini um fluído como sendo uma substância que não pode suste uma tensão de cisalhamento sem sofe defomação pemanente, mesmo em epouso. 3/85

24 Fig..1 Compotamento de (a) sólido e (b) fluído, ambos sob ação de uma foça de cisalhamento constante..3 VISCOSIDADE Podemos defini a viscosidade de um fluído como sendo a popiedade em vitude da qual os mesmos ofeecem uma maio ou meno esistência à defomação, quando sujeitos a esfoços de escoegamento, ou, viscosidade é a esistência de um fluído ao movimento, devido a seu atito inteno. Utilizando o modelo de Isac Newton, quem pimeio definiu a viscosidade. Imaginemos duas lâminas (dois planos) paalelas (Fig..) muito póximas uma da outa, ente as quais se enconta um fluído qualque. Fig.. Modelo Newtoniano paa definição de viscosidade 4/85

25 As duas lâminas se movem na mesma dieção, com velocidades difeentes, V 1 e V. Decoido um tempo t, a distibuição de velocidades na distância dy, seá linea, confome indicada na Fig..3. Fig..3 Distibuição de velocidades Expeimentos mostam que o gadiente de velocidades, dv/dx, é dietamente popocional à foça po unidade de áea, F/Aμ (dv/dx), onde μ é a viscosidade, uma constante paa um dado fluído. O gadiente de velocidades, dv/dx, epesenta o cisalhamento a que foi submetida às camadas de fluído ente as placas, devido ao movimento elativo das mesmas. Este gadiente de velocidade é chamada de azão ou taxa de defomação S. Também a foça po unidade de áea, F/A, pode se simplificada e denominada de foça de cisalhamento ou mais apopiadamente tensão de cisalhamento τ. Com esta simplificação podemos defini a viscosidade como τ/ S (tensão de cisalhamento / taxa de defomação). 5/85

26 .4 VISCOSIDADE FLUÍDO NEWTONIANO [3] Os chamados Fluídos Newtonianos são aqueles em que existe uma popocionalidade dieta ente a tensão de cisalhamento, τ e a defomação existente, S, ou seja, a viscosidade de um fluído a uma dada tempeatua independe da velocidade de defomação dv/dx (velocidade, agitação ou cisalhamento). A fig..4 mosta as elações ente a tensão de cisalhamento, τ e a viscosidade μ paa um fluído newtoniano. Em.4 b a viscosidade pemanece constante mesmo aumentando a velocidade de defomação. Em.4a, obseva-se a popocionalidade ente a tensão de cisalhamento τ, e a taxa de defomação S. Água, óleos leves, gasolina, etc., são bons exemplos de fluídos newtonianos. Fig..4 Fluído Newtoniano.5 VISCOSIDADE FLUÍDO NÃO NEWTONIANO Os chamados fluídos não Newtonianos são aqueles em que a viscosidade a uma dada tempeatua é dependente da azão de defomação, podendo cesce ou decesce, dependendo do tipo de fluído. 6/85

27 Os fluídos não Newtonianos podem se classificados como: Independentes do tempo Dependentes do tempo Viscoelásticos.5.1 FLUÍDOS NÃO NEWTONIANOS INDEPENDENTES DO TEMPO Um fluído não Newtoniano é independente do tempo se a tensão de cisalhamento a qualque taxa de defomação, pemanece constante em elação ao tempo, ou seja, as popiedades do fluído dependem da magnitude das tensões de cisalhamento e não do seu tempo de duação PSEUDO PLÁSTICOS A viscosidade diminui com o aumento da taxa de defomação. Este compotamento é gealmente estito a ceta faixa de azão de defomação. Em faixas mais altas ou mais baixas de defomação o fluxo podeá adquii compotamento Newtoniano. Exemplos podem se encontados em soluções de polímeos, polímeos semi-fluídos, suspensões de polpa de papel ou de pigmentos e algumas gaxas (Fig..5). Fig..5 Fluídos não Newtonianos Pseudo Plásticos 7/85

28 FLUÍDOS DILATANTES A viscosidade aumenta com o aumento da taxa de defomação. Exemplos de mateiais dilatantes são as suspensões de goma de amido, cetas polpas de agila, alguns compostos de confeitaia, etc. (Fig..5). Fig..6 Fluídos não Newtonianos Dilatantes PLÁSTICOS DE BINGHAN Estes fluídos possuem uma tensão de escoamento definida e uma tensão meno onde não ocoe nenhum fluxo (igual aos sólidos). Ceta foça deve se aplicada paa poduzi o movimento. 8/85

29 Exemplos de fluídos que exibem o compotamento de plástico de Bingham são: cetas suspensões de ocha em água, de gãos em água, ketchup, lodo, esgoto, etc. Fig..7 Fluídos não Newtonianos Plásticos de Binghan.5. FLUÍDOS NÃO NEWTONIANOS DEPENDENTES DO TEMPO Um fluído não Newtoniano é chamado de dependente do tempo, se a sua tensão de cisalhamento vaia com a duação da defomação, ou seja, a viscosidade em qualque tempo depende da quantidade de uma pevia agitação ou defomação do líquido TIXOTRÓPICOS São chamados de tixotópicos os fluídos onde a viscosidade diminui com o tempo a uma dada taxa de defomação, exemplos deles são: Asfalto Maionene Cetas tintas e venizes Colas Melaço Lamas paa sondagem e pefuação 9/85

30 .5.. REOPÉTICOS Os fluídos onde a viscosidade aumenta com o tempo a uma dada taxa de defomação, são chamados de eopéticos. Exemplos: Suspensões de gesso em água.5.3 FLUÍDOS NÃO NEWTONIANOs VISCOELÁSTICOS Estes fluídos exibem uma ecupeação elástica das defomações duante o escoamento, podendo mesmo se dito que os mesmos apesentam caacteísticas dos sólidos. No escoamento deste tipo de fluído, apaecem além das tensões tangenciais usuais, tensões nomais à dieção do fluxo..6 ESCOAMENTOS A obsevação do movimento dos fluídos mosta a existência de dois egimes de escoamento que apesentam caacteísticas notadamente divesas. Estes egimes de escoamentos foam denominados de Regime Lamina e Regime Tubulento. No compotamento das patículas do fluído em escoamento, esidem as difeenças que caacteizam um egime do outo. No egime lamina, as patículas de fluído apesentam tajetóias individuais bem nítidas, dando a impessão de imobilidade no meio da massa fluída, impessão essa, esultante do deslocamento das patículas em camadas ou lâminas que acompanham os contonos fixos que delimitam a coente de fluxo. No egime lamina, as flutuações de velocidade povocadas po obstáculos na coente, tendem a se amotece devido ao efeito das tensões tangenciais adicionais oiundas da pópia viscosidade do fluído, podendo inclusive volta a sua foma lamina oiginal. Na maioia dos casos, entetanto, as tensões tangenciais adicionais ciadas pela desodenação da coente não são suficientes paa evita as flutuações de velocidade, povocando assim um escoamento tubulento. 30/85

31 No egime tubulento a estutua do escoamento é caacteizada pelo movimento tidimensional aleatóio das patículas de fluído, sobepondo-se ao movimento da coente. A expeiência idealizada po Osbone Reynolds (engenheio bitânico, 1880, quem pimeio estudou o compotamento de escoamentos em tubulações), pemite visualiza com facilidade a estutua do escoamento lamina e tubulento (Fig..8). Todo o conjunto é feito de mateial tanspaente tipo plexiglass ou acílico. Deixando-se a válvula extena de saída, levemente abeta, foma-se um filamento etilíneo de coante que passa pelo tubo inteno ao tanque, sem sofe petubações, (fig..8a) caacteizando o movimento lamina. Aumentando-se a velocidade do escoamento atavés de uma abetua gadativa da válvula, atinge-se um ponto tal que o filamento, antes estável, começa a sofe petubações (fig..8.b e.8.c), paa segui e difundi-se com apidez po toda a massa fluída em consequência do movimento das patículas que passa a se desodenado. Esta maio ou meno estabilidade do escoamento, é definida pelo paâmeto adimensional chamado de Númeo de Reynolds (Ney). 31/85

32 Fig..8 Expeiência de Osbone Reynolds demonstando o compotamento lamina e tubulento de um escoamento (a), egime lamina (b), egime tansição/tubulento (c) e egime fancamente tubulento (d). 3/85

33 .7 TURBULÊNCIA Num sistema mecanicamente agitado, o tipo de escoamento que nele ocoe depende de uma séie de fatoes ineentes a esse mesmo sistema. De qualque modo, podemos estabelece que o tipo de escoamento que ocoeá é função das caacteísticas do fluído, bem como da geometia do impelido e sua velocidade de movimentação dento do fluído. Do ponto de vista hidodinâmico, uma pá de impelido em movimento de otação dento de um meio líquido, pode se consideada como sendo uma pá fixa dento de um escoamento, onde a velocidade deste escoamento é igual a velocidade linea da pá. Esta pá se compotaá como um obstáculo no escoamento, e a tubulência povocada dependeá ente outas coisas, da geometia da mesma e do Númeo de Reynolds do escoamento. Paa melho compeende o fenômeno da tubulência e suas implicações na agitação mecânica, seá necessáio ecapitula o conceito de camada limite e de escoamento viscoso ao edo de um cilindo. Em qualque escoamento viscoso, o fluído em contato dieto com uma supefície limite sólida, possuiá a mesma velocidade que a pópia supefície, ou seja, não ocoeá deslizamento de fluído nesta supefície. Como a velocidade do fluído numa supefície sólida estacionáia em uma coente fluída é nula, mas o fluído como um todo está se movendo, gadientes de velocidade, e consequentemente, tensões de cisalhamento, devem esta pesentes no escoamento. Imaginemos uma placa lisa, fixa, no meio de um escoamento confome indicado na Fig..9. Estamos inteessados em fonece uma imagem em váios locais ao longo da placa. 33/85

34 Fig..9 Escoamento lamina, viscoso e incompessível sobe uma placa fina Adotemos do eixo X, os pontos x 1 e x paa estudo do pefil de velocidades do fluído. Considee-se o pimeio x 1 na condição de não deslizamento da placa. Sabe-se que a velocidade no ponto A é nula, e assim, temos um ponto do pefil de velocidades. Sendo a placa estacionáia, ela exece, potanto, uma foça etadante no escoamento que desacelea o fluído na sua vizinhaça. Em uma posição no eixo Y qualque, suficientemente distante da placa, digamos em B, o escoamento não seá mais influenciado pela pesença da mesma. A velocidade neste ponto B seá denominada de V. Desta foma podemos imagina que a velocidade desde o ponto A até B, aumente suavemente, nos dando o pefil de velocidade semelhante ao da Fig..9 em x 1 Das caacteísticas do pefil de velocidades taçado, e a nossa definição de tensão de cisalhamento, podemos ve que na egião ente 0 Y Y B, as tensões de cisalhamento se fazem pesentes, e paa Y Y B o gadiente de velocidades é nulo, e, potanto não existem tensões de cisalhamento pesentes. Desta foma, é possível obseva que o escoamento pode se dividido em duas egiões pincipais. Uma, a egião adjacente à supefície limite, onde as tensões cisalhantes se fazem 34/85

35 pesentes, sendo denominada de camada limite. A outa egião foa da camada limite, onde o gadiente de velocidades é zeo, e, potanto, sem tensões cisalhantes. Consideemos agoa um escoamento incompessível e viscoso em edo de um cilindo, situação esta em que as foças viscosas estão pesentes. (Fig..10). Fig..10 Escoamento viscoso sobe um cilindo 35/85

36 Fig..10ª - Ampliação do local onde ocoe a sepaação da camada limite. Na zona de sepaação ocoe tubulência que povoca o destacamento. Uma vista na fig..10, indica que as linhas de fluxo são siméticas em elação ao eixo X. O fluído ao longo da linha de fluxo cental atinge o cilindo no ponto A, divide-se, e escoa ao edo do cilindo. O ponto A no cilindo é chamado de ponto de estagnação. Como acontece no escoamento sobe uma placa fina, uma camada limite desenvolve-se na vizinhança da supefície sólida. A velocidade ao edo do cilindo aumenta até atingi um máximo no ponto B, com consequente decéscimo da pessão. Um elemento de fluído dento da camada limite sofe uma foça de pessão esultante na dieção do escoamento. Na egião ente A e B, esta foça de pessão esultante é suficiente paa vence a foça de cisalhamento oponente, e o movimento do elemento na dieção do escoamento é mantido. Analisemos um elemento de fluído dento da camada limite, no lado de tás do cilindo, além do ponto B. Como a pessão aumenta no sentido do escoamento, o elemento de fluído sofe uma foça de pessão esultante, oposta ao seu sentido de movimento. Em ceto ponto ao edo do cilindo, o momentum (quantidade de movimento) do fluído na camada limite, não é mais suficiente paa caega o elemento na egião de pessão cescente, e o escoamento sepaa-se-á da supefície do cilindo. O ponto na qual isto acontece, é chamado de ponto de sepaação, na figua.10 indicada po C. O destacamento da camada limite pode se mais bem exemplificado na fig..10ª. A sepaação da camada limite esulta na fomação de uma egião de elativa baixa pessão atás do cilindo, a qual chamamos de esteia. Assim, paa o escoamento sepaado sobe o cilindo, haveá um desequilíbio esultante das foças de pessão no sentido do escoamento, tendo como consequência uma foça de aasto, F D, sobe o copo. Quanto maio a esteia atás do copo, tanto maio seá a foça de aasto. Podemos adapta as fomas do copo às linhas de fluxo, eduzindo-se a magnitude do gadiente de pessão desfavoável, distibuindo uma dada elevação de pessão sobe uma distância maio. A Fig..11 mosta a adaptação do copo às linhas de fluxo do escoamento. Esta adaptação pocua atasa o desenola da sepaação da camada limite, eduzindo-se, potanto o aasto. 36/85

37 Fig Escoamento sobe um objeto cuja foma foi moldada de acodo com as linhas de fluxo Tazendo estes dois conceitos anteiomente expostos paa o compotamento de um sistema mecanicamente agitado po um impelido, podemos agoa ve com claeza a influência da geometia de um impelido sobe este mesmo sistema. Na Fig..1 e.13, temos epesentado o escoamento que ocoe ao edo de uma pá, à medida que alteamos o ângulo de inclinação da mesma em elação à coente fluída. Obseva que mesmo pá com pefil aeodinâmico, povoca tubulência se inclinada em elação ao fluxo. Desta foma, e desde que as necessidades de pocesso pemitam, podemos otimiza a geometia dos impelidoes de modo a evita o destacamento antecipado da camada limite, evitando com isto uma tubulência excessiva, que como veemos no desenvolve deste tabalho, é uma das pincipais causas de uma maio absoção de potência nos sistemas agitados. 37/85

38 .1 Aasto sobe uma pá eta de um impelido em uma coente fluída com váios ângulos de ataque. 38/85

39 Fig..13 Aasto sobe pá de um impelido hidofoil em coente fluída.8 CAVITAÇÃO A cavitação definida de maneia pática é a fomação e colapso de bolhas de vapo num líquido em escoamento. Estas bolhas se fomam em qualque ponto da coente líquida onde a pessão total seja eduzida e iguale a pessão de vapo a tempeatua do líquido Em zona de baixa pessão as bolhas podem se poduzidas po um acéscimo local na velocidade da coente fluída, que no caso de agitadoes mecânicos, pode se a pate mais extena das pás dos impelidoes, mais pecisamente a sua boda de ataque, que possuem uma maio velocidade peiféica. Uma vez fomadas, quando as bolhas atingem uma egião onde a pessão fo novamente supeio a pessão de vapo do líquido (a tempeatua do mesmo), haveá o colapso das mesmas, com o seu etono a fase líquida. Sendo o volume específico do líquido meno que o volume específico do vapo, o colapso das bolhas implicaá na existência de um vazio, que po sua vez poduziá uma onda de choque (micojato) confome ilustado na figua /85

40 Fig..14 Colapso de bolhas em situações difeentes na coente fluída esponsaveis pela cavitação Na ealidade, confome pode se obsevado na Fig..14, o que ocoe é a penetação de líquido na depessão oiginada pela defomação da bolha, poduzindo um micojato na ocasião do colapso. O efeito deste colapso tona-se mais seveo quando ocoe em local póximo a uma supefície sólida metálica. Neste caso o micojato incide dietamente sobe a supefície. Quando o colapso se dá na coente líquida o impacto é tansmitido atavés de ondas de choque. Os pincipais inconvenientes da cavitação são: uídos, vibações e extensa eosão ou desgaste dos mateiais que limitam o líquido na egião do colapso. Pás de impelidoes que opeam em condições que pemitam a cavitação, pincipalmente, pedem eficiência de bombeamento e povocam desbalanceamento devido a peda localizada de mateial (Fig..15). 40/85

41 Fig..15 Combinação eosão cavitação em pá de impelido Salienta-se que a deteioação do mateial devido à cavitação nada tem a ve com os desgastes povenientes de eosão ou coosão, dois fenômenos muito comuns aos pocessos da indústia de mineação e química. A eosão decoe da ação de patículas sólidas em suspensão sendo deslocadas em velocidade, e a coosão decoe de incompatibilidade do mateial com o líquido, popiciando eação química destutiva. É possível a coexistência dos fenômenos da cavitação, eosão e coosão em um deteminado sistema, aceleando o pocesso de deteioação dos mateiais. 41/85

42 .9 DINÂMICA DE PARTÍCULAS Sempe que houve movimento elativo ente uma patícula e um fluído cicundante, esta patícula expeimenta a ação de uma foça esultante F, devido à ação do fluído. A natueza das foças que contibuem paa a esultante F são: Foça de cisalhamento Foça de Pessão F cis τ.a F pes P.A Podemos decompo esta esultante F em duas componentes, sendo uma paalela, F D (Foça de Aaste) e outa, F L ( Foça de Ascensão ), pependicula a dieção do movimento, confome indicado na Fig Fig..16 Foças atuantes numa patícula em movimento num fluído 4/85

43 Consideando-se uma esfea polida, com diâmeto d, movendo-se com velocidade V, atavés de um fluído viscoso e incompessível que possui uma densidade ρ e viscosidade μ. A foça de aaste, F D que é a componente em que estamos inteessados, pode se expessa como foma da seguinte função: F D f ( d, V, ρ, μ) Aplicando o método da análise dimensional, atavés do Teoema de Buckingham PI, teemos: I LISTAR OS PARÂMETROS ENVOLVIDOS, n Fd, V, d, μ, ρ potanto n5 paâmetos II SELECIONAR CONJUNTO DE DIMENSÒES FUNDAMENTAIS Inicialmente utilizaemos o Sistema Absoluto (SI), com as dimensões fundamentais de M, L, T (massa, compimento e tempo), com posteio veificação atavés do Sistema Gavitacional com as dimensões F, L, T, ( foça, compimento e tempo ). Quantidade Simbologia Sistema Absoluto MLT Sistema Gavitacional FLT Foça de Aasto M L T Velocidade da patícula V L T -1 Diâmeto da patícula D L Viscosidade μ F L - T Densidade ρ F L -4 T TABELA I Fómulas Dimensionais 43/85

44 III LISTAR AS DIMENSÒES DOS PARÂMETROS EM TERMOS DE DIMENSÒES PRIMÁRIAS.,. O númeo de dimensões seá designado po, sendo 3, confome Tabela II V d μ ρ M L T TABELA II IV SELECIONAR DA LISTA DE PARÂMETROS UM NÚMERO DE PARÂMETROS REPETITIVOS IGUAL AO NÚMERO DE PRIMÁRIOS m 3 paâmetos epetitivos, sendo eles: ρ (M L -3 ) V (L 1 T -1 ) D (L) V FORMULAR EQUAÇÕES DIMENSIONAIS, COMBINANDO OS PARÂMETROS SELECIONADOS COMO REPETITIVOS, COM CADA UM DOS PARÂMETROS RESTANTES, DE MODO A FORMAR GRUPOS ADIMENSIONAIS Sendo que n-m 5 3 (teemos dois gupos adimensionais esultantes ) Potanto Π1 (FD) seá: Π1 (FD) ρ α1. D α. V α3. F D 1 Π1 (FD) (M L -3 ) α1. (L) α. (L.T -1 ) α3. (M L T - ) 1 Π1 (FD) (M α1 L -3α1 ). (L α) (L α3. T -1α3 ). (M L T - ) Π1 (FD) (M α11 ). (L -3α1αα31 ). (. T -α3- ) 44/85

45 α110-3α1αα310 -α3-0 Resolvendo o sistema de equações, temos que: α1-1 ; α- ; α3- Potanto: Π1 (FD) ρ α1. D α. V α3 1. F D Π1 (FD) ρ -1. D -. V - 1. F D F D. 1FD [.] ρ. D V Da mesma foma, Π (μ) seá dado po: Π (μ) ρ β1. D β. V β3. μ 1 Π (μ) (M L -3 ) β1. (L) β. (L.T -1 ) β3. (M L -1 T -1 ) 1 Π (μ) (M β1 L -3β1 ). (L β ) (L β3.t -β3 ). (M L -1 T -1 ) Π (μ) (M β11 ). (L -3β1ββ31 ). (T -β3-1 ) β110-3β1ββ3-10 -β /85

46 BENEFICIAMENTO Resolvendo: β1-1 ; β-1 ; β3-1 Potanto: Π (μ) ρβ 1. Dβ. Vβ 3. μ 1 Π (μ) ρ -1. D -1. V -1. μ 1 μ μ ρ. V.D VI CONFERIR AS EQUAÇÕES DOS GRUPOS, UTILIZANDO O SISTEMA GRAVITACIONAL BRITÂNICO, (F, L, T) ρ (F 1 L -4 T ) V (L 1 T -1 ) D (L 1 ) Potanto Π1 (FD) seá: Π1 (FD) ρ α1. D α. V α3. F D 1 Π1 (FD) (F L -4 T ) α1. (L) α. (L.T -1 ) α3. (F) 1 Π1 (FD) (F α1-4α1 T α1 ). (L α ) (L α3.t -1α3 ). (F 1 ) Π1 (FD) (F α11 ). (L -4α1αα3 ). (T α1-α3 ) α110-4α1αα30 α1-α30 46/85

47 Resolvendo o sistema de equações, temos que: α1-1 ; α- ; α3- Potanto: Π1 (FD) ρ α1. D α. V α3 1. F D Π1 (FD) ρ -1. D -. V - 1. F D 1 FD F D. ρ. D V Da mesma foma, Π (μ) seá dado po: Π (μ) ρ β1. D β. V β3. μ 1 Π (μ) (F L -4 T ) β1. (L) β. (L.T -1 ) β3. (F L - T 1 ) 1 Π (μ) (F β1 L -4β1 T β1 ). (L β ) (L β3.t -β3 ). (F L - T 1 ) Π (μ) (F β11 ). (L -4β1ββ3 ). (.T β1-β31 ) β110-4β1ββ3-0 β1-β310 Resolvendo; β1-1 ; β-1 ; β3-1 Potanto: Π (μ) ρβ 1. Dβ. Vβ 3. μ 1 Π (μ) ρ -1. D -1. V -1. μ 1 μ μ ρ. V.D 47/85

48 A elação expessa pela função é: Π 1 f (Π ) ou F D ρ. D. V μ f ( ) ρ. V. D O pimeio gupo adimensional na equação [.5], F D /(ρ.d.v ), é chamado de Coeficiente de Resistência e é designado po C D. O segundo temo, μ / (ρ.v.d), é o Númeo de Reynolds da Patícula, NRey P. Ou seja, a equação [.5] indica que o Coeficiente de Resistência C D, é função do Númeo de Reynolds da patícula, NRey P C f ( N Re ) D y P Fazendo o estudo da esistência de foma de uma esfea qualque em um meio fluído, econhecemos quato tipos de egime de escoamento ao edo da mesma. Regime Lamina Regime de Tansição Regime Tubulento Regime Fancamente Tubulento Suponhamos um fluído qualque escoando ao edo de uma esfea, confome epesentado pela figua.17. Fig..17 Escoamento ao edo de uma esfea 48/85

49 Do ponto A aos pontos B e C, o fluído acelea, ganhando mais velocidade e consequentemente peda de pessão. Se o fluído fosse ideal, a passagem do mesmo dos pontos B e C paa o ponto D, pemitiia a ecupeação integal da pessão inicial, e consequentemente os pontos A e D teiam a mesma pessão. Num caso eal, haveá a sepaação da camada limite antes de se atingido o ponto D e as tubulências que se fomam daí paa diante, dissipaão enegia em foma de calo de atito, impedindo a ecupeação da pessão inicial. Desta foma teemos que, a pessão no ponto A seá maio que a pessão no ponto B o que caacteiza o que se chama de Resistência de Foma ou Pessão, ou ainda Coeficiente de Aaste C D. A esistência de foma poduziá esteias de tubulências à jusante do copo, que seá maio ou meno, confome a foma geomética do copo. Quando analisamos a Resistência de Foma, convenciona-se classificá-las em: fomas afiladas ou aeodinâmicas, fomas ombudas aedondadas e fomas ombudas a angulosas, confome mostado na figua Fig..18. O escoamento live em tono de objetos de foma afilada ou aeodinâmicas, pemite o tatamento matemático paa o fenômeno, que foi desenvolvido pincipalmente po D Alembet, Lagange e Eule. Fig..18 Escoamento live em tono de copos afilados e ombudos 49/85

50 De foma geal, o escoamento em tono de fomas afiladas, poduz esteia esteita, sendo a esistência de foma ou pessão muito pequena. Em condições nomais não há sepaação da camada limite ou, se houve, aconteceá este destacamento longe do copo. O escoamento live em tono de fomas ombudas poduz deslocamento do fluxo, e a esteia fomada é laga e tubulenta. Dento da foma ombuda, temos as aedondadas e angulosas. E escoamentos lives em tono de objetos de foma ombuda aedondada, tais como esfeas e cilindos, o deslocamento do fluxo depende muito das caacteísticas do fluído, da camada limite e das dimensões do copo, o que pode se descito como uma dependência do Númeo de Reynolds, da tubulência do fluxo e do estado da supefície deste copo. O caso do cilindo em escoamento bidimensional apesenta caacteísticas bem distintas de acodo com o Númeo de Reynolds (paa a esfea o fenômeno é análogo), confome nos indica a figua.19. Fig..19 Escoamento em função do Númeo de Reynolds 50/85

51 NRey < Regime Lamina O fluxo tem a foma de escoamento teóico, lamina. Não ocoe fomação de esteia, e as linhas de fluxo se fecham atás da esfea. A esistência é pedominantemente de atito devido as foças viscosas. Este egime é chamado de Regime de Stokes. < NRey < 40 Regime de Tansição Ocoe a sepaação da camada limite em ambos os lados da esfea, fomando dois tubilhões siméticos de movimentos lentos. As linhas de fluxo se fecham com esteia de pequeno compimento. Pesença de foças viscosas mais o apaecimento de foças de pessão (foças de esistência). 40 < NRey < x10 5 Regime de Tansição Os tubilhões destacam-se de um modo altenado e peiódico em ambos os lados. Os tubilhões ao se destacaem poduzem uma foça lateal peiódica e um tubilhonamento muito gande na esteia, caacteizado po uma gande peda de enegia. Estes vótices altenados são conhecidos como vótices de Kaman. A eles devem-se fenômenos de essonância causadoes de colapso de muitas estutuas. Notam-se a pesença de foças viscosas e um aumento consideável de foças de pessão NRey > 5 x 10 5 Regime de Tansição Não se fomam mais vótices altenados, mas sim de maneia aleatóia. O númeo de Reynolds em que se dá esta queda súbita de esistência chama-se de númeo de Reynolds cítico, não sendo popiamente um valo único, mas ceta faixa de Ney. As foças de pessão pedominam. Ë Chamado também de Regime de Newton. Já paa o caso de fomas ombudas angulaes, o deslocamento é independente do númeo de Reynolds (exceto paa Ney baixo). As esteias são ainda mais lagas que as de foma esféica, com tubulência mais acentuada. O coeficiente de aaste CD ou foça de esistência ou foça de pessão vaia de acodo com o númeo de Reynolds. Desta foma temos: 51/85

52 Númeo de Reynolds da Patícula Foça de Aaste Onde: N Re y F D P ρ. DP. V μ AP.. V CD.. g. ρ C D A P Coeficiente de aaste Áea pojetada da patícula V Velocidade ρ Densidade do fluído g Aceleação gavidade local D P Diâmeto patícula μ Viscosidade do fluído.10 VELOCIDADE TERMINAL DE PARTÍCULAS Uma patícula em queda em um fluído estagnado e quiescente, sob a ação da gavidade, acelea-se até que a foça de esistência F D se iguale a foça de gavidade local, após o que continuaá a cai com velocidade constante, que é chamada de Velocidade Teminal da Patícula. McCabe e Capente nos dão a seguinte fómula paa cálculo da Velocidade Teminal em m/s: Dp Vt 0, n ( ρf ( ρp ρf )) n. n b. μ. ρf 1 1 n 1 Onde as constantes b 1 e n dependem do egime do fluxo, confome abaixo: Lei Faixa b 1 Stokes K < 3,3 4,0 1,0 Intemediáia 3,3 K 43,6 18,5 0,6 Newton K > 43,6 0,44 0 5/85

53 Sendo que K é dado po: 1 ( ρp ρf ) 3 ρf K 0,14. DP. μ Onde: DP diâmeto da patícula, mm ρf densidade da fluído, kg/m 3 ρp densidade da patícula, kg/m 3 μ viscosidade fluído, CP b1 constante tabelada n constante tabelada Vt velocidade teminal paa patículas esféicas simples, m/s K constante dada pela equação [.10].11 OPERAÇÕES COM VETORES As gandezas físicas encontadas na mecânica dos fluídos e nos fenômenos de tanspote podem se classificadas nas seguintes categoias: Gandezas Escalaes: aquelas que ficam completamente deteminadas po um único valo numéico, tais como tempeatua, enegia, volume, massa, densidade, tempo, etc. Os escalaes são epesentados po letas do alfabeto, tais como a, b, c e assim po diante. Gandezas Vetoiais: são aquelas quantidades físicas que exigem, paa sua completa especificação, além do valo numéico, o conhecimento de uma dieção oientada. Aceleação, velocidade, momentum e foça, são exemplos de gandezas vetoias. Tais gandezas são chamadas de vetoes. Os vetoes são denotados po a, b, v, etc. Eventualmente, sua epesentação se dá atavés de letas em negito, tais como a, b, c, etc OPERAÇÕES COM VETORES DO PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO Dois vetoes a e b são iguais quando suas magnitudes são iguais e quando eles possuem a mesma dieção, ou seja, não podem se colineaes e nem possui o mesmo ponto de oigem. Se dois vetoes a e b possuem a mesma magnitude, mesma dieção, mas sentidos opostos, então os denotamos, a b. 53/85

54 a BENEFICIAMENTO Adição e Subtação de vetoes A adição de dois vetoes é feita levando em consideação ambas as suas magnitudes, e dieções (sentidos), po intemédio da ega do paalelogamo, ve Fig..0a. Fig..0 - (a) Constução de paalelogamo paa adição de vetoes (b) Constução paa subtação de vetoes Poduto escala de dois vetoes ( ) O poduto escala de dois vetoes ( a b ) a. b.cosφab e b é uma quantidade escala definida po: Onde ab é o ângulo (meno que 180º) ente os vetoes a e b. O poduto escala é então a magnitude do veto b multiplicada pela pojeção do veto a, ou vice-vesa, ve Fig..1. Obseva que o poduto escala de um veto po ele mesmo é o quadado da magnitude do veto. 54/85

55 Fig..1 Poduto escala ( ) de dois vetoes Poduto vetoial de dois vetoes ( X ) O poduto vetoial de dois vetoes [ a b ] { absenφ ab } n ab a e b é o veto definido po: Onde n ab é um veto unitáio (de compimento unitáio) nomal ao plano que contém e b e apontando paa a dieção dada pela chamada ega de saca olha da mão dieita (sentido de gio de paa b ). O poduto vetoial é exemplificado na Fig,.. A magnitude do poduto vetoial é áea do paalelogamo definido pelos vetoes e b. a a a 55/85

56 Fig.. Poduto vetoial ( X ) de dois vetoes.11. OPERAÇÕES COM VETORES DO PONTO DE VISTA ANALÍTICO Confome visto, um veto a é definido como sendo uma quantidade de uma dada magnitude e dieção. A magnitude de um veto é designada po a Os vetoes unitáios na dieção (sentido) das coodenadas x, y e z são dados po iˆ, ˆ, j kˆ, espectivamente. Um veto é epesentado em temos de seus componentes como, po exemplo: a a iˆ x a ˆ y j azkˆ, epesentado geometicamente na Fig..0. a é a magnitude ( módulo ) de a e pode se dada pela equação; a a a a a x y z 56/85

57 Fig..0 Magnitude do veto a em um sistema otogonal de coodenadas Os vetoes unitáios já intoduzidos possuem as seguintes popiedades: O poduto escala dos vetoes unitáios no sistema de coodenadas xyz são: i ˆ iˆ 1 ˆ j iˆ 0 k ˆ iˆ 0 i ˆ ˆj 0 ˆ j ˆj 1 k ˆ ˆj 0 i ˆ kˆ 0 ˆ j k ˆ 0 k ˆ k ˆ 1 O poduto vetoial dos vetoes unitáios no sistema de coodenadas xyz são confome abaixo, podendo paa facilita utiliza a ega dada pela figua.3. i ˆ iˆ 0 ˆj iˆ kˆ kˆ iˆ ˆj iˆ ˆj kˆ ˆ j ˆj 0 kˆ ˆj iˆ iˆ kˆ ˆj ˆ j kˆ iˆ k ˆ k ˆ 0 57/85

58 Fig..3 Rega visual paa o poduto vetoial de vetoes unitáios Poduto escala de dois vetoes ( ) Do ponto de vista analítico, poduto escala de dois vetoes é obtido, escevendose cada veto em temos de seus componentes e pocedendo a opeação do poduto escala nos seus vetoes unitáios. a b Sendo, a a iˆ x a ˆ y j azkˆ b b iˆ x b ˆ y j bzkˆ a b a iˆ x a ˆ y j azkˆ bxiˆ b ˆ y j bzkˆ a b a b a b a b ( ) ( ) x x y y Poduto vetoial de dois vetoes ( X ) z z O poduto vetoial de dois vetoes e b, denotado po veto com as seguintes popiedades: a b É um veto pependicula a ambos a a e b a b, consiste num 58/85

59 O sentido de a b é dado pela ega de mão dieita, ou seja, identificando o indicado e o médio da mão dieita com, e b, espectivamente, o sentido de a b seá o do polega dieito. Ve Fig..4. a Fig..4 Poduto vetoial ente dois vetoes O poduto vetoial, a b, é calculado atavés do deteminante. a b iˆ a b x x ˆj a b y y kˆ a b z z Expandindo a b ia ˆ ybz ˆja zbx ka ˆ xby ka ˆ yb ˆ x jaxbz ia ˆ zby a b iˆ a b a b ˆj a b a b kˆ a b a b ( ) ( ) ( ) y z z y z x x z x y y x 59/85

60 .11.3 OPERAÇÕES DIFERENCIAIS COM VETORES A definição de uma deivada pode se utilizada paa difeencia um veto. Considee-se um veto como função do tempo, a a( t), que em coodenadas etangulaes pode se decomposto em a a () t a a t a a t. A deivada tempoal do veto a é dada po: da lim a dt Δt 0 da lim a dt Δt 0 da dt, ( ) x x y ( t Δt) a( t) Δt y,, z z ( ) [ ( t Δt) a ( t) ] iˆ a ( t Δt) a ( t) da da x da iˆ y z ˆj dt dt dt x x [ ] ˆj a ( t Δt) a ( t) Δt kˆ y y [ ] Se agoa consideamos o veto como função do espaço, o que em coodenadas a a x, y, z a a x, y z a a x, y z, catesianas é dado po ( ), ou seja, ( ) x x,, y y(, ) a a ( x, y z), o que nos dá as chamadas deivadas paciais. z z, O veto em função do eixo dos x nos dá a seguinte deivada pacial: a lim a, x Δx 0 Δx ( x Δx, y, z) a( x, y z) z z kˆ a x a a x y iˆ x x ˆ az j kˆ x Similamente, em elação às outas coodenadas espaciais, eixos y e z, o veto seá as seguintes deivadas paciais: a y a a x y iˆ y y ˆ az j kˆ y a z a a x y iˆ z z ˆ az j kˆ z 60/85

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