PROFESSOR RIKEY FELIX

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1 PROFESSOR RIKEY FELIX

2 Mtemátic Instrumentl Introdução noções de medids numérics, rzão e proporção, porcentgem e princípio de equivlênci. Professor Rikey Pulo Pires Feli, Licencido em Mtemátic pel Universidde Estdul de Goiás, pós Grdudo em Gestão Empresril pel Fculdde Montes Belos - Goiás, funcionário concursdo em eercício do Bnco do Brsil, instrutor do SENAC, unidde de Sorriso MT, e professor de rede POSITIVO de ensino, e professor d rede Pitágors de ensino, e cursos preprtórios pr concursos púlicos e vestiulres. Ojetivos: Conhecer ssuntos introdutórios de Mtemátic Elementr, presentndo conceitos teóricos e plicções de rzões e proporções, resolução de eercícios, eemplos no cotidino, noção intuitiv e empíric, em como sus respectivs plicções n contilidde, dministrção e secretrido, trzendo um didátic e propost pedgógic voltd pr um curso profissionliznte.

3 Conteúdos orddos: Rzão de dois números Rzão de dus grndezs Proporção definição Elementos d proporção Propriedde fundmentl Cálculo de um termo desconhecido Recíproc d propriedde fundmentl Trnsformds Séries de rzões iguis. Grndezs diretmente proporcionis definição e gráfico Propriedde crcterístic Números diretmente proporcionis Grndezs inversmente proporcionis definição e gráfico Propriedde crcterístics Números inversmente proporcionis Grndezs proporcionis váris outrs definição e propriedde. Divisão em prtes proporcionis Divisão em prtes inversmente proporcionis Divisão proporcionl compost Regr d sociedde Regr de três simples e compost Percentgem t unitári, fórmul pr cálculo percentul Operção sore Mercdoris

4 Vends com lucro (sore o preço de custo) e (sore o preço d vend) Vends com prejuízo (sore o preço de custo) e (sore o preço d vend) Aumento sucessivo Atimento sucessivo Operções com porcentgem Resolução de eercícios 4

5 Rzão de dois números Os números e são os termos d rzão: O elemento é chmdo de ntecedente e o elemento é chmdo de conseqüente Clcule rzão entre os números: A) 6 e 960 B), e,7 C) e D) e 0, E) ( ) e Rzão de dus grndezs Se s grndezs forem d mesm espécie, sus medids devem ser epresss n mesm unidde. Neste cso, rzão é um número puro. Vej rzão de m pr m: m m Vej rzão de 0dm pr 6m: 0dm 6m m 6m

6 Se s grndezs não forem d mesm espécie, rzão é um conjunto cuj unidde depende ds uniddes ds grndezs prtir ds quis se determin rzão. Um utomóvel percorre 60 km em hors. A rzão entre distânci percorrid e o tempo gsto em percorrê-l é: 60km h 60 80km/ h Clcule rzão entre s seguintes grndezs: ) 7 km e l de álcool ) 40 g e cm³ c) 4kg e 80kg d) 0cm e 4dm e) 0d e me d Proporção (,, c, d) O conceito de proporção é sem dúvids de etrem importânci em nosss vids, ssim como em tod mtemátic finnceir e elementr. Sempre estmos fzendo comprções em relção às proporcionliddes ds forms, ojetos e tmnhos ds coiss, crros e etc. Por se trtr de um princípio de grnde viilidde n dministrção finnceir, começmos por qui ordgem do conteúdo. 6

7 A rzão de dois números ou rzão entre dois números de e ou que se lê rzão de pr ou rzão entre e ou está pr. O primeiro número (numerdor) é chmdo de ntecedente o segundo (denomindor) é chmdo de conseqüente Eemplo: Proporção e elementos Ddos, em cert ordem, qutro números (,, c, d) diferentes de zero, dizemos que eles formm um proporção qundo rzão entre os dois primeiros ( e ) é igul à rzão entre os dois últimos (c e d) Propriedde fundmentl c d K, e c são os meios, e d são os etremos, e c são ntecedentes, e d são conseqüentes. Então temos:.d=c. Eercício: Verifique se são ou não verddeirs s seguintes proporções: ) ) c) d) 4 6 e) 6 d) 9 0,8 7

8 Cálculo de um termo desconhecido (Cálculo d qurt proporcionl). Aplicndo propriedde fundmentl ds proporções, é sempre possível determinr o vlor de um termo qulquer qundo são conhecidos os outros três. E: Clcule ns proporções: ) 0 60 ) 7 6, plicndo propriedde fundmentl. Clcule, sendo que: ) 0,06 0, 0,8 ) 4 c) 4 4 Recíproc d propriedde fundmentl Consideremos qutro números reis quisquer (,, c, d), diferentes de zero, tis que o produto de dois dels sej igul o produto dos outros dois, quer dizer.d=.c, dividindo mos os menros dess iguldde pelo produto de um dos ftores do primeiro memro por um dos ftores do segundo (por eemplo d., temos:. d d.. c então temos: d. c d 8

9 Trnsformds Tod proporção possui oito trnsformds, ou proporções distints dus dus. Quer dizer, podemos escrever um proporção em um ordem diferente d originl, mntendo sempre mesm equivlênci. Eemplo: 8 0, podendo ser escrito com etidão dest form: * * * * É fácil perceer que podemos formr té oito trnsformds dus dus: Série de Rzões Iguis ou proporção múltipl O conceito d propriedde múltipl é de etrem importânci no estudo ds proporções, tmém conhecid como propriedde fundmentl ds proporções. Por este motivo, vmos fzer um nálise d fórmul, em como su formção. c d... K, proporção múltipl, 9

10 Em seguid demonstrção d Fórmul Sej série de rzões iguis. c d m n k Fzendo rzão comum igul k, otemos: k c, k d m,... k n Então: k, c dk, m nk, Somndo memro memro nesss igulddes, temos: c... m k dk... nk múltipl: Trlhndo est iguldde, chegmos à propriedde c d m n c d... m n k Em um série de rzões iguis, som dos ntecedentes está pr som dos conseqüentes ssim como qulquer ntecedente está pr o seu respectivo conseqüente. Sistem de medids: Sistem métrico deciml Km > hm > dm > m > dm > cm > mm Sistem de cpcidde kl > hl > dl > l > dl > cl > ml (Eemplos de metro cúico) 0

11 Relções importntes de cpcidde. m³ = 000 litros litro = dm³ cm³ = ml Medids gráris: h = hm² = dm² c = m² h = 00 = 00 c Eercício: ) Clcule, y e z, sendo que 9 y z e + y + z = 40 ) Determine os ntecedentes de um proporção sendo que su som é 47 e os conseqüentes são e 8. ) Determine dois números, sendo que su som é 60 e que rzão entre eles é. 4) Clcule,, e c, sendo que + + c = 80 c ) Determine os conseqüentes de um proporção, sendo que su som é 60 e que os ntecedentes são 08 e 7. 6) Determine dois números, sendo que rzão entre eles é 8 e que su som é 0. 90

12 7) Clcule rzão entre s seguintes grndezs: ) 80 m e 48 dm ) 0 m² e 4 res c) 0,7 m³ e 000 l d) 9 d 7 h 0 min e 8 d h 0 min 8)Escrev um rzão igul, cujo ntecedente sej 4 9) Clcule dois números, sendo que som é 69 e que rzão é 9 4? 0) A idde de um pi está pr o seu filho como 7 está pr. Se som ds iddes é, qul é idde de cd um? Grndezs diretmente proporcionis A miori dos prolems que se presentm em nosso di di ssoci dus grndezs relcionds de tl form que, qundo um dels vri, como conseqüênci vri tmém outr. Assim, quntidde de comustível consumido por um utomóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gsto num construção depende do número de operários empregdos e etc. Grndezs diretmente proporcionis Eemplo: Um rr de lumínio de 00 cm de volume pes 70 g, ns mesms condições, um rr de 00 cm pesrá 40 g e um de 00 cm, 80 g. Então podemos dizer que s grndezs citds são diretmente proporcionis.

13 Dus grndezs vriáveis são diretmente proporcionis, se os vlores e y são epressos por um função do tipo: y k, onde k é um número rel constnte chmdo de coeficiente de proporcionlidde diferente de zero. Como função desse tipo é um função liner, o gráfico que represent proporcionlidde diret de dus grndezs é um ret pssndo pel origem. Lemrndo que pr 0temos y 0. y k y y Em se trtndo de Administrção de Empress, é mis comumente, utilizção do conjunto do domínio dom R, e como conseqüênci tempos um imgem Im R, por se trtr de ojetos e quntiddes, custos, consumo e tods esss medids são quntittivs miores que zero. É importnte lemrr, que proporcionlidde entre dus grndezs é plicd dentro de certos limites. Assim, n compr por tcdo, por eemplo, o preço por unidde é com certez menor do que s comprs feits vrejo. Pr crcterizrmos proporcionlidde de dus grndezs, não é suficiente verificr se o umento de um dels crret o umento d outr. É necessário que, o multiplicrmos um dels por um número rel k diferente de zero, grndez correspondente tmém fique multiplicd por k. Outro eemplo, o ldo de um qudrdo e su áre não são grndezs proporcionis, pois, multiplicndo se o ldo por, áre fic multiplicd por 4. Eemplos:

14 ) O comprimento de um peç de tecido e o seu preço são grndezs diretmente proporcionis? Por que? ) O número de dis gstos n construção de um muro é diretmente proporcionl o número de operários empregdos nesse serviço? Por que? ) Determine os vlores de e ns seqüêncis de números proporcionis (6,, ) e (,, ) 4) Quis são os menores números inteiros proporcionis os números, e 4 6 Grndezs inversmente proporcionis Um distnci de 00 km pode ser percorrid por um vião, um velocidde de 00 km/ h, em hors, um velocidde de 00 km/ h, em 6 hors, e um velocidde de 00 km/ h, em 4 hors. Então podemos dizer que s grndezs citds são inversmente proporcionis. Neste cso temos que velocidde e o tempo são grndezs inversmente proporcionis. Dus grndezs vriáveis são inversmente proporcionis se os vlores correspondentes e y são epressos por um função do tipo: y k.. Números inversmente proporcionis tmém podem ser epressos d seguinte mneir:. y k ou y y ou. y. y. y k 4

15 Sendo função y k. um função recíproc, o gráfico representtivo d proporcionlidde invers de dus grndezs é um rmo de um hipérole. 0 = y-/ Em se trtndo de Administrção de Empress, é mis comumente, utilizção do conjunto do domínio dom R, e como conseqüênci tem um imgem Im R, por se trtr de ojetos e quntiddes, custos, consumo e tods esss medids são quntittivs miores que zero. Not: Ddos, em cert ordem, qutro números proporcionis (,, c, d) diferentes de zero, o termo d é chmdo de qurt proporcionl. Ddos, em cert ordem de qutro números proporcionis (,,,c) diferentes de zero, o termo é chmdo de terceir proporcionl. Nesse cso o termo é chmdo de médi proporcionl, ou médi geométric do outros termos, e pode ser escrito d seguinte form: E:. ou.

16 Eercícios: ) Determine os vlores e ns sequêncis de números inversmente proporcionis (,,) e (,,) ) Qul o ftor de proporcionlidde entre s sequêncis de números inversmente proporcionis (,,) e (60,0,)? c) Sendo que os números ds (,, -4) e (4,, ) são inversmente proporcionis, determine e. Eercícios ) Determine dois números, sendo que su som é 60 e que rzão entre eles é.? ) Clcule dois números, sendo que su som é 69 e que 4 rzão é.? 9 8 c) Dois números, cuj diferenç é, estão n relção. Quis são esses números? 6

17 d) Qul é o número que, umentdo de uniddes, está pr ssim como 8 está pr 0? e) Decomponh o numero. em dus prtes, tis que rzão 6 entre eles sej /.? f) A som de três números é igul. O primeiro está pr o segundo como 8 está pr. A diferenç entre esses dois números é igul 69. Quis são os três números.? g) Qul é o número que diminuído de uniddes, está pr o seu consecutivo ssim como está pr 6.? h) A importânci de R$ 88 foi dividi entre pessos. Sendo que prte d primeir está pr d segund como está pr 7, e que prte d segund está pr terceir como 7 está pr 9, determine s três prtes. i) Determine quis são os menores números inteiros inversmente proporcionis os números (, 4,, 8) Regr d sociedde. Consiste n plicção d divisão do dividendo de um empres, (lucros ou prejuízos) vlido em certo período determindo, em prtes diretmente proporcionis qunti que cd sócio investiu n formção d empres. 7

18 E: Suponhmos que Antonio, José e Pedro tenhm se ssocido pr comprr um terreno no vlor de R$ Antônio entrou com R$ 0.000, José com R$ e Pedro com R$ Algum tempo depois, venderm esse terreno por R$ Qul é prte que cerá cd um deles? Vmos à resolução:, Isso quer dizer que o imóvel teve um vlorizção de 0% ou 0,. Sendo ssim, pr clculrmos qunto ce em cd prte pós vend, é só triuirmos 0% em cd vlor inicil. Antonio: 0.000, = R$ 4.000,00 José: 0.000, = R$ 0.000,00 Pedro: 0.000, = R$.000,00 Podemos tmém usr idéi que prendemos nteriormente de proporção múltipl. c k, sendo que c c Então temos: , então 4 e conseqüentemente 0 e c 60 0 Eercícios: E: Dividir 80 em prtes diretmente proporcionis,,? 8

19 Respost: 0, 0, 0, E: Dividir o número 0 e prtes inversmente proporcionis,, 6. respost: 00, 60, 0? resolução: As seqüêncis de números reis e não nulos,,..., ) e,,..., ) ( n ( n são inversmente proporcionis se, e somente se:.. k ou então: k. Podemos usr o conceito descrito nteriormente,.. c. 6 k, pr concluirmos est resolução, é necessário fzermos lgums sustituições c 0 6c então c c c c 0 0 6c 6c c 0 Resolvendo temos: c E: Um pi deiou R$.870,00 pr serem divididos entre seus filhos n rzão invers ds sus iddes: 8, e 8 nos Qunto receeu cd um? Respost: 470, 980, 40 Divisão proporcionl compost. 9

20 Neste cso, o prolem consiste em dividir um número em prtes diret ou inversmente proporcionis certos números (,, c) e simultnemente, em prtes diretmente ou inversmente proporcionis outros tntos números,, ). ( c Sejm, y, z os vlores ds prtes pedids. Como, y, z são proporcionis,, c e tmém,, c são grndezs composts, portnto, são proporcionis, respectivmente, os produtos. c.,., c. E : Dividir 9 em prtes o mesmo tempo diretmente proporcionis,, 4 e,, 7. Método de resolução., y., z c. c, K Respost: 48, 0, 4 E : Dividir 7 em prtes diretmente proporcionis,, 4, 4 e o mesmo tempo, inversmente proporcionis 4,6,. Método de resolução., Respost: 70,, 84 y., z c., c K E: Dividir 9 em três prtes o mesmo tempo inversmente proporcionis (,,6) e (4,6,9). 0

21 E: Divid 6 em três prtes, de modo que segund sej o doro d primeir e terceir o quádruplo d segund.. Regr d sociedde. A regr d sociedde é um ds plicções d divisão proporcionl. Tem por ojeto divisão dos lucros ou dos prejuízos entre s pessos (sócios) que formm um sociedde, por ocsião do lnço gerl eigido nulmente por lei ou qundo d síd de um dos sócios ou d dmissão de um novo sócio. Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionlmente os cpitis que empregrm, levndo se em cont s condições estipulds no contrto socil. Os cpitis são iguis e empregdos durnte o mesmo tempo. Dividimos o lucro ou o prejuízo em prtes iguis Os cpitis são desiguis e empregdos durnte o mesmo tempo Neste cso, dividimos o lucro ou o prejuízo em prtes diretmente proporcionis os cpitis dos sócios Os cpitis são iguis e empregdos durnte tempos desiguis. N prátic, em um sociedde, os sócios não podem permnecer por tempos desiguis. No momento em que um ntigo sócio se retir ou um novo sócio é dmitido, procede se um reform

22 do contrto socil, pós o Blnço, clculndo se o Ativo e o Pssivo. Tmém neste cso vle oservção feit pr o cso nterior. QUANDO OS SÓCIOS INTEGRALIZAM SUAS QUOTAS DE CAPITAL EM ÉPOCAS DIFERENTES. Eercícios: E: Antonio e José orgnizrm um firm comercil com um cpitl socil de R$.000,00, devendo cd um deles entrr com R$.000,00. No to d orgnizção, º de mrço, Antônio integrlizou su quot e José contriuiu com pens R$ 700,00, responsilizndo se por integrlizr su quot pós meses. Em de dezemro foi procedido o lnço, tendo sido purdo um lucro de R$ 740,00. Qul prte ser creditd cd sócio? Respost: 400, 40 Vmos à resolução: Antonio: 0 meses, então temos: =0.000,00 José: = = 8.000,00 O segredo destes tipos de eercícios é conseguir oter um proporção corret pr sócio. Então temos está pr 00, ssim como y está pr 8. Sendo que + y é igul á 740 Sej proporção 00,8=0,7. então temos:

23 k 0 740, então temos: 400, e como conseqüênci E: Dois sócios fundrm um sociedde com um cpitl de R$ No momento de liquidr sociedde, o primeiro receeu cpitl mis lucro num totl de R$ Sendo que o lucro totl de R$ , qul o cpitl de cd sócio? Respost: , Lucro proporcionl o cpitl investido. E: Três sócios relizrm um cpitl de R$ ,00. Sendo que o fim de certo período de tempo, tiverm de lucro, respectivmente R $4.000, 00; R $.000, 00 e R $8.000, 00; qul er o cpitl de cd um? É importnte lemrr que o lucro é proporcionl o vlor inicil investido, o mesmo tempo em que o vlor investido é proporcionl o lucro. Mesmo querendo descorir o vlor inicil investido, vmos usr mesm idéi de proporcionlidde nteriormente comentd. 4 4 y y z 8 z 8 4

24 90, então y 8, 0 e y 67, 0 E: Dus pessos constituírm um sociedde com os cpitis de R$ ,00 e R$ ,00 respectivmente. A primeir receeu n divisão do lucro, R$.7,00 mis que segund. Clcule o lucro de cd um dels , e y e 7 y Vmos usr idéi de proporção múltipl 90 y , temos como conseqüênci Um empres, orgnizd por três sócios em de mio, deu um lucro de R$ 688, purdo em de dezemro. O cpitl socil de R$ 000,00 foi dividido em prtes iguis. O segundo sócio, tendo entrdo com R$ 600,00, só integrlizou o seu cpitl em de julho. O terceiro, que hvi entrdo com metde, completou su prte em de gosto. Qunto receeu cd sócio? Pr eecução de um serviço, form empregdos homens, 0 mulheres e 0 menores. Sendo que o pgmento totl foi de R$ 4

25 600, que cd mulher receeu /4 d qunti de um homem e que cd menor receeu 4/ d qunti de cd mulher, qunto receeu cd um?. Regr de Três. Regr de três: Regr de três, nd mis é do que usr o princípio d proporcionlidde pr descorir o termo desconhecido. Nos prolems figurm um grndez que é diret ou inversmente proporcionl um ou mis grndez. N regr de três simples, são ddos dois vlores de um grndez e um vlor de outr, o qul corresponde um dos vlores d primeir grndez. Devemos então, oter o vlor d segund grndez que corresponde o segundo vlor d primeir. Temos dois tipos de regr de três: simples, que trlh com pens dus grndezs, e compost, que envolve mis de dus grndezs. Mtemticmente flndo, devemos tomr um certo cuiddo com lguns tipos de situções. Antes de desenvolver o prolem, devemos ntes nlisr se s vriáveis segue o princípio de proporcionlidde. Por se trtr de um ssunto ásico, pens citremos lguns eemplos relciondos. Eercícios:

26 E: Se 6 operários fzem cert or em 0 dis, em quntos dis 0 operários frim mesm or? Respost:: dis E: Se m de um tecido cust R$ 40,00, qunto se pgrá por m? E: Um utomóvel, correndo com velocidde de 84 km/h, deve percorrer cert distânci em 9h. Depois de h de vigem houve um desrrnjo no motor e o utomóvel teve de prr durnte 4km. Com que velocidde deve continur vigem pr chegr o ponto finl n hor fid. E : Se pr imprimir eemplres rottivs gstm 6 min, em que tempo 7 rottivs, iguis às primeirs, imprimirão desses eemplres? Respost: 60 min. ou h 40 min E : Um motoqueiro, num velocidde de 80 km/h, percorreu um determind distnci em 6 dis, vijndo 4 h por di. Afroundo em su velocidde e vijndo 6 h por di, o 0 motoqueiro levrá quntos dis pr percorrer mesm distânci? Respost: dis 6

27 E4: Pr fzer um muro de m de comprimento, 0 operários gstm dis de 8 h. Quntos dis de 9 h gstrão operários pr fzer 9 m de um muro igul? Princípio de porcentgem Percentul prcil totl 00 Operções sore mercdori. O que vmos ver neste cpítulo são prolems de percentgem ligdos às operções de compr e vend de mercdoris, isto é, vmos prender fzer cálculos de lucro ou prejuízo sore os preços e de vend de mercdoris. Vends com Lucro Legend: Lucro Custo L C Pr ejuízo P Vend V T Unitári do Lucro = i 7

28 Lucro sore o preço de custo Lucro i. C V C L V C i. C V ( i). C Neste cso, pr fcilitr no rciocínio, st considerrmos o custo d mercdori como equivlente 00%. E: Um comercinte vendeu mercdoris com um lucro de 8% sore o preço de custo. Determine o preço de vend, sendo que esss mercdoris custrm R$ 00,00 V ( i). C V ( 0,08).00 V V (,08) Lucro sore o preço de Vend V C L L iv. V C iv. V iv. C Então temos: C V i 8

29 E: Um comercinte comprou um ojeto por R$ 480,00. Desejndo gnhr 0% sore o preço de custo, qul deve ser o preço de vend? C V i V V 480 0, 600 Neste cso, pr fcilitr no rciocínio, st considerrmos o vlor d vend como equivlente 00%. Prejuízo sore o preço de custo. V=C-P P=i.C V=C-P V=C-Ic V=(-i)C Prejuizo sore o preço de vend V=C-P P=iV V=C-P V=C-iV V+iV=C V=C/(+i) 9

30 . Atimentos e umentos sucessivos. L P( )( )( c) L = Vlor líquido. Aumento sucessivo M P( )( )( c) M = montnte cumuldo 0

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