VALIDAÇÃO DE UM ALGORITMO NÃO LINEAR PARA SIMULAÇÕES NUMÉRICAS NO DOMÍNIO DO TEMPO DE MOVIMENTOS DE CORPOS EM PRESENÇA DE ONDAS

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1 VALIDAÇÃO DE UM ALGORITMO NÃO LINEAR PARA SIMULAÇÕES NUMÉRICAS NO DOMÍNIO DO TEMPO DE MOVIMENTOS DE CORPOS EM PRESENÇA DE ONDAS Julio César Fernández Polo Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Oceânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Oceânica. Orientador: Marcelo de Almeida Santos Neves Rio de Janeiro Fevereiro de 2013

2 VALIDAÇÃO DE UM ALGORITMO NÃO LINEAR PARA SIMULAÇÕES NUMÉRICAS NO DOMÍNIO DO TEMPO DE MOVIMENTOS DE CORPOS EM PRESENÇA DE ONDAS Julio César Fernández Polo DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA COPPE DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA. Examinada por: Prof. Marcelo de Almeida Santos Neves, Ph.D. Prof. Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D.Sc. Dr. Mauro Costa de Oliveira, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL FEVEREIRO DE 2013

3 Fernández Polo, Julio César Validação de um algoritmo não linear para simulações numéricas no domínio do tempo de movimentos de corpos em presença de ondas / Julio César Fernández Polo. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, XI, 122 p.: il.; 29,7 cm. Orientador: Marcelo de Almeida Santos Neves Dissertação mestrado UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Oceânica, Referências Bibliográficas: p Simulação de movimentos de navios. 2. Dinâmica não linear. 3. Instabilidades dinâmicas. I. Neves, Marcelo de Almeida Santos. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III. Título. iii

4 iv A mi familia

5 AGRADECIMENTOS Ao Prof. Marcelo Neves, pela orientação, amizade e apoio durante o desenvolvimento de minha dissertação e nesta etapa da minha vida acadêmica. Aos professores do Programa de Engenharia Oceânica, em especial aos professores da área de Hidrodinâmica, pelos conhecimentos e conselhos oferecidos na minha formação acadêmica. Ao pessoal da Tecgraf-PUC e o CENPES da PETROBRAS, pelos valiosos debates que contribuíram grandemente no meu enriquecimento acadêmico. Aos meus amigos e colegas do PENO e DENO, em especial a Miguel A. Celis, pela ajuda e conselhos dados durante esta etapa da minha formação. Ao Programa de Recursos Humanos prh da Agência Nacional do Petróleo ANP, a Fundação Coordenação de Projetos, Pesquisas e Estudos Tecnológicos COPPETEC e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnológico CNPq pelo suporte financeiro. v

6 Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências M.Sc. VALIDAÇÃO DE UM ALGORITMO NÃO LINEAR PARA SIMULAÇÕES NUMÉRICAS NO DOMÍNIO DO TEMPO DE MOVIMENTOS DE CORPOS EM PRESENÇA DE ONDAS Julio César Fernández Polo Fevereiro/2013 Orientadores: Marcelo de Almeida Santos Neves Programa: Engenharia Oceânica No presente trabalho é apresentado um algoritmo não linear para simulações numéricas de movimentos no domínio do tempo em seis graus de liberdade de embarcações em presença de ondas. A modelação matemática do algoritmo foi desenvolvida com ênfase na representação das não linearidades decorrentes da inércia do corpo, da geometria exata submersa do corpo, a consideração dos movimentos instantâneos do corpo na avaliação das forças externas e os efeitos da inclusão de um sistema de ancoragem. Posteriormente, foram discutidas as capacidades não lineares do algoritmo. Mostra-se que essas capacidades permitem a representação de movimentos de deriva e instabilidades dinâmicas. E finalmente, o algoritmo foi validado através de comparações entre testes experimentais e simulações numéricas com um navio tipo FPSO ancorado em ondas de través e de proa. Em geral, obteve-se boa concordância nas comparações. vi

7 Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science M.Sc. VALIDATION OF AN ALGORITHM FOR TIME-DOMAIN NUMERICAL SIMULATIONS OF VESSEL MOTION IN THE PRESENCE OF WAVES Julio César Fernández Polo February/2013 Advisors: Marcelo de Almeida Santos Neves Department: Ocean Engineering In the present work, a non linear algorithm for numerical simulation of vessel motion in the presence of waves is presented. The mathematical model of this algorithm was developed with special focus on the representation of the non linearities arisen from inertia, the submerged part of the body, the computation of the external forces taking into account the vessel motions and the effects of a mooring system. The non linear capabilities of the algorithm were discussed. It was pointed out that these capabilities allow the representation of drift motions and dynamical instabilities. Finally, the algorithm was validated with comparisons between experimental tests and numerical simulations with a FPSO vessel moored in the presence of beam and head waves. In general, good agreement was found between the comparisons. vii

8 ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO SIMULAÇÕES DOS MOVIMENTOS DE SISTEMAS FLUTUANTES NO DOMÍNIO DO TEMPO ESTADO DA ARTE OBJETIVO E ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DEFINIÇÕES BÁSICAS SISTEMAS DE REFERÊNCIA Transformação de eixos Relação entre a velocidade angular e a taxa de variação dos ângulos de Euler Passeio lento Freqüência de encontro SEGUNDA LEI DE NEWTON FORÇAS EXTERNAS Forças de gravidade Forças de restauração viii

9 2.4.3 Forças hidrodinâmicas Forças de Froude-Krylov Método de expansão do perfil da onda Extensão da teoria linear de ondas Força de onda irradiada Amortecimento não linear de roll Força de onda difratada Amarrações Equação de movimento IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA GENERALIDADES IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA Esquema de integração numérica Intercepção onda-casco e cômputo das pressões Função rampa Interpolação da força de difração Código computacional DSSTAB MeshGenerator SSTAB WAMIT DYNASIM-TPN SIMULAÇÕES DE MOVIMENTOS NO DSSTAB ix

10 3.4.1 Influência do passo do tempo Influência da função rampa Influência da malha DESCRIÇÕES DAS NÃO LINEARIDADES DO DSSTAB Descrição das não linearidades devido à força hidrostática Descrição das não linearidades devido à força de Froude- Krylov DERIVA NO DSSTAB Deriva horizontal Deriva vertical Amarrações VALIDAÇÃO COM TESTES EXPERIMENTAIS GENERALIDADES NAVIO FPSO P TESTES EXPERIMENTAIS NO LABOCEANO SIMULAÇÕES NUMÉRICAS Simulações em ondas de través Simulações em ondas de proa CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES GENERALIDADES CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES GERAIS Sobre a modelação matemática Sobre a implementação numérica x

11 5.2.3 Sobre as validações com testes experimentais TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE xi

12 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Nos anos recentes distintos fenômenos experimentados com navios em ondas e testes experimentais em laboratórios especializados no estudo da dinâmica de sistemas flutuantes têm alertado a comunidade cientifica sobre a necessidade de contar com ferramentas que possam predizer fenômenos que escapam às modelações lineares. Por tal motivo, muitos esforços em diversas instituições de pesquisa estão sendo feitos por introduzir modelações não lineares nas teorias que descrevem os movimentos dos corpos flutuantes. Pode ser percebida essa atenção nas modelações da dinâmica de sistemas flutuantes em ondas nos diversos trabalhos apresentados em diversos congressos e simpósios internacionais, nos diversos programas de benchmarkings que estão sendo efetuados e nas novas regras e normas de diversas instituições reguladoras e sociedades classificadoras. Neste capítulo serão apresentadas as motivações do presente estudo, assim como um breve resumo dos estudos que antecedem este trabalho, que mostram quais são os distintos caminhos que esta considerando a comunidade internacional para afrontar o desafio de entender melhor os distintos fenômenos que governam a dinâmica dos corpos flutuantes. 1.1 Motivação Na atualidade, diversos trabalhos estão focados em conseguir compreender mais detalhadamente as respostas de sistemas flutuantes em presença de grandes ondas e em condições de ressonância. Sob essas condições extremas, as ferramentas lineares atuais de avaliação da estabilidade dinâmica não são suficientemente acuradas para predizer apropriadamente esses movimentos extremos dos sistemas flutuantes em ondas. No estudo clássico de navios e sistemas oceânicos em ondas, é comum considerar os flutuantes como sistemas dinâmicos lineares, os quais se movimentam com pequenas amplitudes. Nessa modelagem os graus de liberdade dos flutuantes estão ou desacoplados ou, no melhor dos casos, acoplados linearmente. As reações 1

13 hidrodinâmicas são modeladas com base na teoria potencial linear 2D ou 3D. As ações de restauração são levadas em conta como lineares estabilidade estática inicial. E o mar pode ser modelado como regular ou como aleatório, com a ajuda da teoria espectral. Mas, os flutuantes seguem sofrendo de movimentos indesejados e perigosos, tanto em mares fortemente agitados ou relativamente calmos. Isso é devido a que os flutuantes podem sofrer grandes movimentações que estão sob a influência de fenômenos que escapam da modelação da teoria linear. Por esses motivos os investigadores a nível mundial fazem grandes esforços para passar a um nível mais avançado de critérios e regulamentos da estabilidade dos flutuantes, considerando a dinâmica das embarcações. Mas, é necessário descrever a dinâmica dos flutuantes com modelos mais realistas considerando ações não lineares e modelando o mar de forma realista, sempre no intuito de poder garantir a estabilidade dos mesmos. O desafio está em desenvolver uma ferramenta detalhada e eficiente em termos computacionais que permita a avaliação direta das respostas de um corpo flutuante. Essa ferramenta deveria contribuir para melhorar a avaliação de projetos de navios. Como também poderia ajudar no planejamento de baterias de testes experimentais em ondas extremas em laboratórios especializados. Foi com esses objetivos que começou-se o desenvolvimento do algoritmo descrito neste trabalho. O algoritmo, nomeado como DSSTAB, é um modelo numérico em seis graus de liberdade para a simulação de sistemas flutuantes em ondas no domínio do tempo, o qual é baseado em um método de panelização em três dimensões. No modelo, as ações inerciais do casco, as forças e momentos de Froude-Krylov e restauração são consideradas como não lineares, sendo que as pressões são computadas considerando a superfície molhada instantânea do navio em cada passo do tempo, a qual depende dos movimentos do corpo e da passagem da onda. Por outro lado, por limitações computacionais, as forças e momentos hidrodinâmicos de radiação e difração são avaliados considerando-se o corpo na superfície média constante. O momento de amortecimento de roll também é considerado como não linear, ele pode ser introduzido no modelo baseado em metodologias semi-empíricas, ou, alternativamente, a partir de estimativas decorrentes de testes experimentais de decaimento. Finalmente, os efeitos não lineares de um sistema de ancoragem são levados em conta resolvendo-se a equação da catenária em cada passo do tempo. 2

14 O principal objetivo é contar com um algoritmo suficientemente sofisticado que permita simular realisticamente movimentos com grandes amplitudes em seis graus de liberdade. O algorítmo poderia ser usado para economizar tempo importante gasto em testes experimentais de estabilidade de navios ou plataformas em ondas, assim como também poderia ser empregado na avaliação direta da estabilidade para o critério de estabilidade intacta de segunda geração da IMO, para os modos de falha da estabilidade relacionados com variação do braço restaurador, como são a perda pura da estabilidade e o roll paramétrico, vide Polo e Neves Simulações dos movimentos de sistemas flutuantes no domínio do tempo Atualmente, as simulações numéricas no domínio da freqüência são amplamente difundidas no estudo dos movimentos de sistemas flutuantes, devido a sua fácil implementação e a relativa pouca dificuldade no momento de fazer análises das respostas dos sistemas flutuantes. Mas nos últimos anos, devido a diversos fenômenos ocorridos com embarcações que não podem ser explicados com metodologias lineares, vide Pérez Rojas et al. 2008, se tem reconhecido a necessidade de introduzir não linearidades no estudo do comportamento dos sistemas flutuantes. Sendo que a introdução de fenômenos não lineares pode ser complicada em metodologias desenvolvidas no domínio da freqüência. É por isso que diversas pesquisas atuais estão favorecendo o uso de metodologias no domínio do tempo para realizar estudos de movimentos de sistemas flutuantes. Diversas metodologias têm sido propostas na literatura para introduzir não linearidades na simulação dos movimentos dos sistemas flutuantes. Alguns misturam cálculos lineares conjuntamente com cálculos não lineares, e outros empregam metodologias de escoamento potencial não linear. Outros estudos tentam resolver o problema do escoamento viscoso nos movimentos de sistemas flutuantes em ondas, solucionando a equação promediada de Navier-Stokes conhecida como RANS no domínio do tempo. Os métodos de simulação de movimentos no domínio do tempo podem ser classificados segundo sua metodologia numérica. Na Tabela 1.1 mostram-se os distintos métodos conjuntamente com suas vantagens e desvantagens, como foram apresentados no relatório do comitê de Seakeeping do ITTC no ano de

15 Tabela 1.1 Metodologias numéricas de abordagem no domínio do tempo Método numérico Vantagem Desvantagem Capacidade e tempo computacional Função resposta Fácil de implementar, Precisa coeficientes hidrodinâmicos impulsiva Calculo rápido computados com anterioridade, Mínima Teoria das faixas Calculo rápido Aplicabilidade limitada Limitações como método de secções em 2D, Pouca precisão em baixas frequencias Mínima Condição de radiação Dificuldade para calcular a função de Função transiente automaticamente satisfeita, Green para velocidade de avanço de Green Distribuição de painéis só diferente de zero, Moderada na superficie do corpo Aplicabilidade limitada Praticidade boa, Dificuldade na modelação em 3D Painéis de Rankine Fácil extensão ao análise e a geração dos painéis, não linear, Precisa um método numérico Moderada Em geral boa precisão para a condição de radiação Capacidade para movimentos Grande tempo e esforço computacional, CFD extremos de navios, Pouca precisão em memória fluida Forte Inclusão de efeitos viscosos Métodos híbridos Aproveita vantagens Nenhum beneficio em muitas combinações, dos métodos combinados esforço adicional para as combinações Variante Dos métodos mencionados na tabela 1.1, são as metodologias híbridas as que estão sendo consideradas atualmente na comunidade internacional para o estudo de fenômenos não lineares na dinâmica dos sistemas flutuantes, devido à sua rapidez, boa precisão em termos de engenharia e a possibilidade de incorporar com relativa facilidade vários aspectos de projeto, como sistema de ancoragen, tanques estabilizadores, efeitos de água no convés, entre outros. O modelo do DSSTAB que será descrito e utilizado neste trabalho pode ser classificado como um método híbrido Estado da arte Devido a que o foco do trabalho foi validar um algoritmo desenvolvido para ser capaz de capturar instabilidades decorrentes da variação da geometria submersa do casco, não são mencionados os trabalhos que empregam a teoria da perturbação, que favorece o desenvolvimento de metodologias que dão solução aos problemas dos potenciais de segunda ou terceira ordem, que são muito utilizadas na área offshore. Mas no terceiro capítulo, durante a descrição das não linearidades do DSSTAB, serão comentadas brevemente algumas equivalências assim como diferenças entre um modelo baseado no método das perturbações e o modelo do DSSTAB. 4

16 A origem do estudo moderno dos movimentos dos corpos flutuantes tem origem bem conhecida no trabalho de Froude, no século dezenove, que motivado pelo famoso engenheiro Brunell começou seus estudos de estabilidade de navios em ondas, sendo ele o primeiro a relatar instabilidades em roll em ondas longitudinais ressonância paramétrica. Por outro lado, o trabalho de St. Denis & Pierson 1953 foi um trabalho pioneiro que propôs uma metodologia para estimar os movimentos de corpos flutuantes empregando metodologias espectrais, relacionando a densidade espectral das respostas de um navio com o espectro do mar atuante no navio, mediante os RAO s de movimento do corpo. Pode-se considerar que esses trabalhos foram os que começaram o estudo científico dos movimentos de corpos flutuantes em ondas. Ao longo dos anos seguintes diversos pesquisadores têm continuado o estudo do comportamento dos sistemas flutuantes em ondas. A seguir mencionam-se e descrevem-se brevemente alguns dos trabalhos que contribuíram no entendimento do comportamento em ondas das embarcações e alguns dos modelos mais relevantes no estudo das instabilidades dinâmicas. Kerwin 1955 observou que em ondas longitudinais podem existir freqüências de encontro que originam oscilações instáveis no roll. Em seu trabalho, a variação da altura metacêntrica transversal em ondas longitudinais foi abordada do ponto de vista quasehidrostático, em outras palavras, os efeitos hidrodinâmicos ocasionados pelos movimentos do navio em ondas foram descartados. No entanto a restauração em roll foi expressa como uma função periódica no tempo, desta forma a equação desacoplada do movimento de roll fica na forma de uma equação bem conhecida como é a equação de Mathieu. Paulling e Rosenberg 1959 acoplaram não linearmente os movim entos de heave, roll e pitch. Neste acoplamento de segunda ordem introduziu-se dependência no tempo nas ações de restauração, o que pode gerar instabilidades em qualquer um dos graus de liberdade. A análise foi feita empregando a equação de Mathieu, demonstrando-se que o roll paramétrico pode acontecer se a freqüência de excitação é o dobro ou igual à freqüência natural de roll, para a primeira e segunda zonas de instabilidade da equação de Mathieu, respectivamente. 5

17 Paulling 1961 demonstrou que a estabil idade em ondas difere significativamente da estabilidade em águas calmas, a qual, nessas condições, pode ser diminuída perigosamente. No caso de pequenos ângulos de inclinação estabilidade inicial, foi proposta uma expressão analítica para o momento restaurador em ondas que considera o efeito dos movimentos do navio em heave e pitch afundamento e arfagem, assim como o perfil da onda. Cummins 1962 foi o primeiro a apresentar uma formulação para a determinação dos movimentos do navio no domínio do tempo, fazendo uso do principio da função resposta impulsiva, tal que o movimento do navio pode ser desdobrado em uma série contínua de pequenos impulsos de deslocamento. Assim, pode-se incluir a dependência do tempo nas forças hidrodinâmicas por meio de integrais de convolução. Ogilvie 1964 introduziu o conceito de memória fluida. Nesse trabalho, se derivam expressões para os potenciais de velocidade dependentes do tempo para um navio com velocidade de avanço constante. Himeno 1981 fez um an álise dos diversos aspectos do amortecimento em roll fazendo uma série de testes experimentais com modelos, com o objetivo de compreender melhor o amortecimento em roll. O estudo de Himeno teve como base o trabalho de Ikeda et al no qual se propõem dive rsos métodos empíricos para estimar as distintas componentes do amortecimento em roll, que no trabalho são: formação de ondas no casco, fricção, formação de vórtices, sustentação e bolinas. De Kat 1988 desenvolveu um modelo numérico em seis graus de lib erdade baseado na teoria das faixas para simular movimentos com grandes amplitudes em condições de mar severo que poderiam incorrer em emborcamento de navios. O objetivo do estudo foi identificar numericamente modos de falha da estabilidade dinâmica, e estudar seus mecanismos e condições. O modelo está baseado na combinação da teoria potencial conjuntamente com termos viscosos no domínio do tempo considerando os efeitos do cômputo das pressões até a superfície molhada instantânea e a memória fluida. Foram identificadas as instabilidades de perda de estabilidade transversal em mar de popa e de través, e guinada brusca broaching em 6

18 ondas oblíquas, ambas para ondas regulares. Ademais, foi identificada a instabilidade de roll paramétrico em mar de popa para ondas regulares e irregulares. Lin e Yue 1990, 1993 deram início ao desenvolvimento do LAMP, um código tridimensional no domínio do tempo para estudar movimentos de grandes amplitudes e cargas de navios em ondas. O problema é resolvido empregando-se uma distribuição de fontes transientes da função de Green na superfície submersa do casco. Em Lin et al foi implementada uma metodologia potencial híbrida que combina as metodologias de fontes de Rankine e as funções transientes de Green. Nessa metodologia o domínio fluido é dividido em duas regiões, a região mais externa ao corpo é solucionada empregando funções transientes de Green, enquanto a região interior mais próxima ao corpo é resolvida mediante fontes de Rankine. Em Shin et al foi desenvolvida uma interface entre o LAMP e um código de análise por elementos finitos no intento de estudar cargas em navios devido às ondas do mar. Baseado no trabalho de Youssef et al foi implementado um modelo de tanque tipo U-tube anti-roll passivo no código LAMP no intento de estudar a influência desse tipo de tanques no fenômeno de ressonância paramétrica. O modelo calcula o movimento de fluido no tanque e determina as forças não lineares acopladas em seis graus de liberdade. Essas forças são adicionadas ao cálculo dos movimentos do LAMP como forças externas. Baseados nos trabalhos de Buchner 1995, Zhou et al. 1999, Belenky et al e Liut et al tem sido integrado um modelo de green water no código LAMP, permitindo introduzir os efeitos de água no convés nas simulações não lineares no domínio do tempo. O código LAMP tem sido empregado para avaliar o risco de impacto de uma onda extrema na parte de baixo da estrutura principal de uma plataforma semi-submersível em Weems et al. 1999, a ssim como para o estudo de distintas configurações de navios multicorpos, como um trimaran em Harris Na tese doutoral de Kring 1994 foi apresentado um modelo numérico, denominado SWAN-2, para simular movimentos de navios no domínio do tempo empregando uma metodologia baseada em painéis de Rankine. Em Kring et al foi apresentada uma extensão não linear do codigo SWAN-2 incluindo efeitos não lineares nas forças hidrostáticas e de Froude-Krylov, e o tratamento dos fenômenos de radiação e difração de ondas com a hipótese de weak scatterer. O trabalho também 7

19 discutiu o problema de como determinar valores extremos de respostas em mar irregular, a partir de códigos não lineares. Fonseca e Soares 1998a, b apresentaram uma formulação não linear no domínio do tempo. O método é uma combinação da teoria linear das faixas e o cômputo não linear das forças de restauração; também, o método leva em conta os efeitos da memória fluida devido às ondas irradiadas. Esse modelo tem sido principalmente empregado para análises de movimentos verticais e momentos de flexão produzidos por ondas do mar. Em Fonseca et al foi aplicado a um navio tipo portacontentor, em Vasquez et al para um navio tipo Bulk Carrier, e em Rajendra et al. para um navio portacontentor. Nesses trabalhos tem-se registrado boas comparações entre testes experimentais e simulações numéricas dos movimentos verticais e momentos de flexão dos navios estudados. Matusiak 2000b, 2001 apresentou o método numérico denominado Laidyn para avaliar os movimentos e manobras de navios no domino do tempo. O método está baseado na combinação da teoria linear das faixas, para o cômputo dos termos de radiação, e uma metodologia não linear para o computo da força de restauração. Também são incluídos efeitos de resistência ao avanço, propulsor e leme mediante modelos semi-empíricos. Assim, podem ser avaliados movimentos extremos produzidos pela atuação simultânea de ondas e ventos tempestuosos. Em Matusiak 2003 o Laidyn foi validado com testes experimentais de um navio tipo Ro-Pax; nesse estudo o modelo teve a capacidade de reproduzir o roll paramétrico registrado nos testes experimentais. Em Matusiak 2005 o Laidyn foi empregado para avaliar o cumprimento do critério climatológico da IMO para um navio de passageiros. As conclusões do estudo foram que o critério climatológico não foi elaborado para avaliar as capacidades de um navio em condições de mar real. Apesar disso, deve ser mencionado que o critério leva em conta importantes elementos que afetam a segurança de navios. Ballard et al. 2003, apresentaram um modelo matemático dos movimentos heave e pitch do navio no domínio do tempo para a predição do comportamento do navio em mares regulares. O modelo incluiu efeito da memória fluida nas ações hidrodinâmicas, usando uma análise tridimensional do escoamento potencial para as funções impulsivas. A onda incidente é considerada como não linear, e as forças e momentos de restauração 8

20 são computadas considerando o volume submerso instantâneo em cada passo do tempo. Nesse trabalho se estudaram dois cascos: um casco do tipo série 60 e um casco do tipo portacontentor S175, ambos foram estudados em mar de proa. O modelo foi capaz de reproduzir tendências similares às obtidas em ensaios experimentais. Em Temarel et al o modelo foi ampliado a quatro graus de liberdade sway, heave, roll e pitch. O modelo incluiu o efeito da memória fluida nas ações hidrodinâmicas incluindo as ações de difração, por meio de integrais de convolução referidas à posição media da superfície livre. A ação da onda incidente é considerada como não linear mediante uma extrapolação até a superfície instantânea. Esse modelo foi empregado para o estudo do roll paramétrico, demonstrando ter uma boa concordância qualitativa e quantitativa com ensaios experimentais para um portacontentor tipo post-panamax C11, o portacontentor ITTC-A1 e uma embarcação pesqueira com popa tipo tramson. Rodríguez 2004 propôs um modelo analítico não linear do movimento do navio heave, roll e pitch para o estudo da ressonância paramétrica. Esse modelo considera heave, roll e pitch acoplados não linearmente nas ações restaurativas com termos de até terceira ordem mediante expansões de Taylor. Esse trabalho mostra que o modelo de terceira ordem apresenta características dinâmicas próprias como a existência de rigidez não linear e a excitação paramétrica bi-harmônica, que tem relevância nos casos de roll paramétrico intenso. Ademais, deixou claro que para uma melhor análise da estabilidade deve ser empregada uma equação do tipo Hill em lugar duma equação do tipo Mathieu. Em Rodríguez 2010 o modelo foi ampliado a seis graus de liberdade e ademais foi incluído o efeito Smith, o qual aborda a influência da atenuação da pressão da onda com a profundidade. Ademais, apresentou uma metodologia para a obtenção da restauração até a terceira ordem onde é feito um ajuste por polinômios da curva de restauração para várias posições do navio. Para simular os movimentos do navio em mar irregular, o autor propôs uma metodologia mista, a qual representa bem o caráter não ergódico do movimento de roll paramétrico. Bulian 2006 propôs dois modelos analíticos não lineares para simular o movimento de roll desacoplado; nesses modelos foram incluídos os efeitos dos modos de heave e pitch assim como a variação do volume submerso devido à onda com hipóteses quase estáticas na obtenção da curva GZ. Também, o amortecimento não linear em roll para os dois modelos foi obtido de testes de decaimento de roll com 9

21 modelos em escala reduzida dos navios estudados. O primeiro modelo foi desenvolvido para simular o roll desacoplado em mar regular, fazendo-se análises numéricas no domínio do tempo e análises analíticas no domínio da freqüência. O outro modelo usa o conceito da onda efetiva de Grim, para simular o roll desacoplado em mar irregular. Simulações do modelo para mar regular foram feitas e comparadas com ensaios experimentais de quatro navios distintos: um navio tipo destroyer, um navio tipo fragata e dois navios tipo RoRo. Simulações do modelo para mar irregular foram feitas e comparadas com ensaios experimentais dos dois navios tipo RoRo. No trabalho foi registrado o caráter não gaussiano do movimento de roll em mar irregular. Além dos trabalhos mencionados, o Autor reconhece os trabalhos de diversos pesquisadores e professores como Beck, Blocki, Faltinsen, Francescutto, Fossen, Guo, Hua, Liapis, Liaw, Lorca, Nakos, Nayfeh, Neves, Newman, Oortemersen, Pawloski, Pinkster, Sanchez, Sclavounos, Stoker, Spyrou, Tuck, Umeda, Ursell, Valerio entre muitos outros, como fundamentais para o desenvolvimento dos trabalhos anteriormente mencionados, assim como inspiração do presente trabalho. 1.4 Objetivo e organização da dissertação Este trabalho visa fazer simulações numéricas dos movimentos de um navio com o propósito de validar o algoritmo denominado como DSSTAB, desenvolvido em parceria entre a COPPE, o Centro de Pesquisas da PETROBRAS CENPES e a TECGRAF- PUC. A principal característica do algoritmo é a capacidade de reproduzir realisticamente os fenômenos decorrentes da variação da geometria instantaneamente submersa de corpos flutuantes em presencia de ondas. O presente trabalho é uma documentação de comparações entre simulações numéricas para um navio tipo FPSO testado experimentalmente no LabOceano. As comparações são mostradas com a intenção de ilustrar as capacidades e deficiências do algoritmo. Neste trabalho, os resultados numéricos são avaliados com velocidade de avanço zero, em ondas de través e de proa considerando o mar regular. 10

22 No capítulo 2 se descreve de maneira breve a modelação das equações do movimento no domínio do tempo dos flutuantes, se mostra a implementação do passeio lento e a incorporação de amarrações no sistema de equações. No capítulo 3 se descreve a implementação numérica do código DSSTAB, são mencionadas as considerações numéricas levadas em conta no desenvolvimento do código. Também neste capítulo, são discutidas as não linearidades introduzidas no código. No capítulo 4 são descritas as condições dos ensaios e o corpo estudado. São mostradas as comparações feitas entre ensaios experimentais com um modelo em escala reduzida e o código DSSTAB, na intenção de validar o código. Finalmente, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões obtidas do presente estudo, assim como recomendações para trabalhos futuros relacionados ao código computacional DSSTAB. 11

23 CAPÍTULO 2 MODELAÇÃO MATEMÁTICA Neste capítulo é apresentada a formulação matemática implementada no algoritmo numérico utilizado neste trabalho. São descritas as equações de movimento que comportam a dinâmica dos sistemas flutuantes, assim como a modelação das forças externas atuantes consideradas no modelo matemático. 2.1 Definições Básicas É necessário definir alguns conceitos básicos antes de iniciar o estudo dos movimentos dos sistemas flutuantes. Neste trabalho os sistemas flutuantes são considerados como corpos rígidos intactos sem velocidade de avanço ou rumo definido. Ademais, qualquer efeito não produzido pelas ondas do mar e as linhas de ancoragem serão desprezados, tais como efeitos de sloshing e outras cargas internas, ventos ou correntezas. Assim como cargas devido a slamming e cargas devido ao ingresso de água no convés. A seguir serão definidos os conceitos relacionados aos movimentos translacionais e angulares do flutuante, o ângulo de incidência, e a elevação da onda. Movimentos dos sistemas flutuantes Os movimentos translacionais de um sistema flutuante na direção dos eixos X, Y, Z são denominados surge, sway, e heave, respectivamente. Os movimentos angulares definidos em torno de um sistema fixo no flutuante são chamados de roll, pitch e yaw, 12

24 respectivamente. Vide figura 2.1. No trabalho os sub índices 1, 2 e 3 referem-se aos movimentos de surge, sway e heave, respectivamente, e os sub índices 4, 5 e 6 referem-se aos movimentos de roll, pitch e yaw, respectivamente. Ângulo de incidência O ângulo de incidência da onda, definido em um sistema inercial fixo, é o ângulo entre o curso do navio e a direção de propagação da onda, vide figura 2.1. Portanto, para mar de popa tem-se, e para mar de través no sentido de bombordo,. Elevação da onda A elevação de uma onda com incidência χ é definida pela teoria linear de Airy como: onde,,, [ é o numero de onda, e A ] 1 é a amplitude da onda. Essa equação é usada para modelar o mar como regular, descrevendo as ondas do mar como harmônicos como percebidos pelo corpo. 2.2 Sistemas de referência Adotam-se três sistemas de referência dextrógiros, ver figura 2.1, para uma apropriada modelação da dinâmica de sistemas flutuantes em ondas. Assim é possível simular os movimentos destes com amplitudes consideráveis e descrever o sistema dinâmico de uma forma elaborada. Um sistema inercial A X Y Z fixo no espaço; em relação a este sistema são definidas as incidências das ondas atuantes no corpo flutuante e a velocidade de avanço do mesmo. Um sistema inercial móvel CXYZ que acompanha o movimento do corpo. Este sistema é definido a partir da posição de repouso inicial do navio, e tem sua origem C na interseção da vertical que passa pelo centro de gravidade com o plano. Neste sistema são definidos os movimentos translacionais que atualizam a posição relativa do corpo em relação à onda. 13

25 Um sistema não inercial móvel Oxyz fixo no corpo; quando o corpo está em repouso este sistema coincide com o sistema inercial móvel. Neste sistema é definida a geometria do corpo e também são definidos os movimentos angulares deste. Fig. 2.1 Sistemas de referência, movimentos do navio e onda incidente Transformação de eixos É possível determinar a orientação de um sistema ortogonal móvel em torno de outro sistema ortogonal geralmente fixo mediante uma sucessão de rotações em yaw, pitch e roll. Essa seqüência de rotações é bem conhecida no estudo de navios e aeronaves e corresponde a uma forma modificada dos ângulos de Euler. Assim, um vetor definido no sistema não inercial fixo ao corpo pode ser representado por um vetor definido no sistema inercial fixo no espaço. No instante em que o navio está em repouso, o sistema inercial fixo no espaço e o sistema não inercial fixo no corpo são paralelos, figura 2.2a. Assim, nesse instante o vetor velocidade de O pode ser expresso no sistema inercial como: 14 2

26 Nesse mesmo instante, o vetor velocidade de, pode ser expresso no sistema não inercial fixo no corpo como: Aplicando a primeira rotação velocidade de em torno do eixo no sistema Sendo a relação entre 3 figura 2.2b, temos o vetor expresso como: e : 4 ou em forma abreviada como: Seguidamente aplicamos a rotação vetor velocidade de no sistema Sendo a relação entre ou de forma reduzida como: e : 5 Finalmente, aplicamos a rotação velocidade de figura 2.2c, e temos o como: sistema em torno do eixo em torno do eixo figura 2.2d, sendo que o assume a orientação desejada do sistema não inercial é: 15. A

27 Sendo a relação entre e : 6 ou de forma reduzida como: Sendo que no repouso os vetores e são iguais, assim temos que: e efetuando o produto obtemos: Sendo a matriz de transformação,, :,, 7,, onde c e s representam uma abreviação de coseno e seno respectivamente. a b 16 8

28 c d Fig. 2.2 Esquema da realização dos ângulos modificados de Euler. a sistema não inercial paralelo ao sistema inercial fixo. b rotação em torno de z. c rotação em torno de y. d rotação em torno de x. Desta forma um vetor qualquer pode ser definido como transformação: definido no sistema no sistema mediante a matriz de 9,, De igual forma pode-se definir a relação inversa como sendo 10,, a matriz inversa da matriz ortogonal, definida como: Em particular, linearizando-se a matriz,, 11 para pequenos deslocamentos, obtém-se: 17 12

29 Para dar solução à equação de movimento do navio é preciso relacionar, mediante a matriz de transformação e sua inversa, os vetores de velocidades lineares, velocidades angulares, forças e momentos nos sistemas inercial fixo no espaço e não inercial fixo no corpo. Com esse propósito define-se a seguinte nomenclatura: velocidade de translação do ponto : U X I Y J Z K uı v wk velocidade angular: Ω Ω I Ω J Ω K pı q rk forças externas: F F I F J F K f ı f f k momentos externos: M M I M J M K m ı m m k Relação entre a velocidade angular e a taxa de variação dos ângulos de Euler Apesar de as quantidades angulares não serem vetores, a velocidade angular é um vetor. A velocidade angular pode ser definida no sistema não inercial como: 13 Seguindo a seqüência dos ângulos de Euler, temos que a velocidade angular é dada por: Para obter expressões para Assumimos que: ou seja:,, 14 deve-se expressar e então: 18 em função de,,.

30 e agora: temos que: então Obtém-se a velocidade angular no sistema inercial como: Ou em notação matricial: Sendo a matriz e sua forma linear para pequenos deslocamentos angulares é 19 17

31 Passeio Lento Se a embarcação é obrigada a fazer um passeio lento no plano horizontal, seja por ação propulsiva ou devido às ondas, é necessário distinguir o sistema de rastreamento que registre as atualizações sucessivas de estação sistema de referência de passeio lento, ver figura 2.3 a partir das obtenções das novas coordenadas horizontais de translação e das possíveis mudanças de rumo da embarcação, vide figura 2.3. Seja então o sistema de passeio com origem,, e e eixos horizontais,,, definidos como {,,, }, poderá existir a seqüência, } e {, sendo a seqüência dos ângulos de aproamento definida como {,. No instante. Considerando-se posições consecutivas da origem em intervalos de tempo, definidas como { de eixos do plano horizontal e,,,,,, },, }, enquanto que os deslocamentos translacionais que possam ocorrer serão registrados através das atualizações definidas pelo seguinte algoritmo: : : : :, tal que :, tal que, tal que No trabalho a única ação que vai obrigar o corpo desenvolver um passeio no plano horizontal é ação das ondas incidentes, por tanto o plano de passeio ficara alinhado com o ângulo da incidência das ondas através da seqüência de ângulos de aproamento descrita acima. Sendo que em cada etapa do desenvolvimento será calculada a freqüência de encontro. 20

32 Fig. 2.3 Referencial de passeio da embarcação Note-se que para a execução do passeio lento, as forças de excitação devem ser previamente calculadas para várias incidências, de forma a permitir, dentro do processo de integração, a atualização das forças e momentos de ondas. Devido ao procedimento anteriormente descrito, o sistema de referência está submetido a rotações sucessivas em yaw por médio do sistema de passeio lento, tal que a matriz de transformação,, não deve incluir a rotação em yaw. Por esse motivo, a matriz de transformação a cada atualização fica dada como:, Freqüência de encontro A freqüência de encontro ω é a freqüência com a qual um navio, com velocidade de avanço constante U, encontra as ondas de freqüência ω com incidência χ. Essa velocidade pode ser induzida por seu sistema propulsivo e/ou pelo efeito não linear das 21

33 ondas. A velocidade será definida a seguir em 2.2. A freqüência de encontro define-se como: 19 onde g é a aceleração da gravidade, é o deslocamento do sistema de passeio no sentido da direção da onda, sendo que a velocidade do sistema de passeio na direção da onde pode ser definida como: onde e são os eixos do plano horizontal de passeio, definidos no item anterior Segunda Lei de Newton A segunda lei Newton estabelece que a resultante das ações externas sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento; para movimentos translacionais e rotacionais temos, respectivamente: Expandindo-se as duas equações, com a posição do centro de gravidade C.G. com respeito ao eixo fixo, tem-se, respectivamente: Ω

34 Considerando que um corpo rígido esta composto por um determinado número de elementos pequenos com massa e posição, pode ser definida a quantidade de movimento angular no sistema inercial como: 25 sendo: Da dinâmica de corpos rígidos temos que: e Ω Substituindo na equação 25 temos: onde se define como: Ω Ω Expandindo a equação 26 para o caso geral onde 23 26, temos:

35 Empregando os conceitos de momentos e produtos de inércia e ordenando em forma de matriz temos: onde: Ω Substituindo finalmente na equação 23 temos que: Ω 27 Empregando-se os conceitos da mecânica clássica, junto com as definições nãolineares da matriz de transformação de eixos e a matriz de relação entre a velocidade angular e a taxa de variação dos ângulos modificados de Euler, e ademais ordenando adequadamente as expressões, chega-se, para o equilíbrio. O procedimento se encontra detalhado em Rodríguez Para o equilíbrio das forças temos: onde 24 28

36 ,, 0 -cosθ 0 R -senϕ -senθsenϕ cosθcosϕ -cosϕ -senθcosϕ -cosϕsenϕ, e para o equilíbrio de momentos: onde, 29, O lado direito dos sistemas de equações 28 e 29 definem as inércias do sistema flutuante, note-se que são não lineares de segunda ordem Forças Externas As ações externas atuando num corpo flutuante podem ser divididas em parcelas que dependem da sua origem: forças de gravidade, forças de origem fluida, forças devido às superfícies de controle, forças devido ao sistema de ancoragem, entre outras. As forças de gravidade são levadas em conta junto com as forças de restauração devido à sua dependência do deslocamento. No entanto, as forças fluidas podem ser decompostas em forças hidrostáticas e forças hidrodinâmicas, sendo as forças hidrodinâmicas as de modelação mais complexa. Para fazer o cálculo das forças fluidas, é necessário primeiro modelar o domínio fluido em que o corpo está submerso. Considerando o fluido como incompressível, invíscido 25

37 fluido ideal e irrotacional escoamento potencial, podemos definir a equação de movimento a partir da equação geral de movimento dos fluidos reais Eq. Navier-Stokes: 30 Consideramos o fluido como incompressível., invíscido ν 0, e também, que satisfaz a equação de Laplace. Introduzindo as considerações como fluxo irrotacional V 0, podendo ser definido um potencial de velocidade na equação 30, pode ser definida a equação conhecida como a integral da equação de Euler ou equação de Bernoulli: onde 31 é a função potencial de velocidade total. Sendo que a força e momento fluido ficam determinados respectivamente por: A força calculada com o termo é a parte hidrostática da força fluida. Portanto, a força e momento calculados com as expressões que contém o potencial de velocidade é a parte hidrodinâmica., O problema hidrodinâmico pode ser abordado como a soma de dois fenômenos: o primeiro como um corpo parado sujeito à ação de ondas gravitacionais, as quais incidem nele e são difratadas por ele, sendo a força devido à onda incidente denominada como força de Froude-Krylov. E o segundo como um corpo em águas calmas oscilando harmonicamente com pequena amplitude e gerando ondas. Cada um desses fenômenos gera um potencial de onda; por superposição linear o potencial total potenciais de onda incidente, onda difratada 26 será a soma dos e onda irradiada.

38 Também é necessário definir as condições de contorno do domínio fluido na superfície livre e no fundo, assim como a condição de contorno na superfície do corpo, como se mostra na figura 2.4. Fig. 2.4 Modelação do fluido. Equação governante e condições de contorno Em resumo, as forças e momentos considerados são: Froude-Krylov, difração, irradiação, peso, hidrostática e forças de amarração

39 Forças de gravidade A força peso no sistema inercial fixo no espaço é 36 Portanto, o momento desta força no mesmo sistema é definido como Forças de restauração 37 A força de empuxo pode ser obtida da integral da equação de Euler, onde pode-se obter onde o volume 38, é o volume submerso instantâneo do corpo calculado até a superfície livre instantânea, o que é feito interceptando-se a geometria do sistema flutuante com a onda incidente. No repouso, é satisfeito o equilíbrio entre a força peso e empuxo: Onde é volume submerso do corpo no estado de repouso. Sendo a força de restauração a resultante entre o empuxo instantâneo e a força de peso, o momento desta força se define como: 39 Agora são conhecidas as ações restaurativas até a superfície livre em cada instante de tempo. Isto permite a captação de fenômenos não lineares devido à variação da geometria submersa do corpo, fato que é omitido completamente nas considerações lineares. 28

40 2.4.3 Forças hidrodinâmicas As forças e momentos de reação hidrodinâmicas de um sistema flutuante devido às oscilações harmônicas são determinados através dos denominados coeficientes hidrodinâmicos. As ações hidrodinâmicas abrangem os coeficientes de massa adicional, amortecimento e excitação de onda. Essas ações hidrodinâmicas são calculadas classicamente empregando-se a teoria potencial linear, onde os deslocamentos, velocidades, acelerações e as pressões das partículas fluidas guardam uma relação linear com a elevação da superfície livre. As forças de excitação de onda são oriundas do campo de pressões atuantes na superfície do corpo e estão compostas pela força de onda incidente e a força de difração, dependentes do potencial de onda incidente e o potencial de onda difratada respectivamente, os quais estão relacionados mediante a relação Haskind-Newmann Salvesen et al., Para o caso das forças e momentos de Froude-Krylov, vamos estender a aplicabilidade da teoria potencial linear, a qual faz o cálculo das forças só até o nível médio da superfície livre; aqui, dentro de um modelo de cálculo no domínio do tempo, as forças e momentos serão computadas até a superfície livre instantânea e na posição media do corpo. Porém, o cálculo da força de difração da onda será feito considerando a diferença entre a força excitatriz linear e a força de Froude-Krylov linear ou seja, computada até o nível médio da superfície livre. Para o cálculo dos coeficientes hidrodinâmicos e forças de difração empregada-se uma abordagem tridimensional baseada no método dos painéis, devido ao fato de que os resultados obtidos por essa metodologia são bastante acurados para corpos estacionários com geometrias diversas em uma faixa ampla de freqüências. No trabalho é usado o software comercial WAMIT para a obtenção dos coeficientes hidrodinâmicos potenciais. Exceto para o coeficiente de amortecimento em roll que pode ser obtido com outra metodologia experimental ou empírica, devido a que o fenômeno de amortecimento na direção de roll em geral não é representado corretamente pela teoria potencial linear, por sua forte dependência da viscosidade. 29

41 Forças de Froude-Krylov A força de Froude-Krylov, devida à incidência da onda na superfície do corpo, considera que as ondas transpassam a superfície do corpo sem sofrerem nenhuma ação devida à presença dele, em outras palavras, esta força é a integral da pressão da onda na superfície submersa do corpo, sem que a onda incidente seja afetada pela presença do corpo. Considerando águas profundas, a parcela real do potencial de velocidades da onda incidente será: Ф 40 Da integral da equação de Bernoulli e da teoria potencial linear de Airy tem-se: Expandindo em série de Taylor para um valor 41 positivo 0< superfície livre média: < em torno da Então a pressão de Froude-Krylov linear até o nível médio da superfície livre é, 42 Pode-se notar que a pressão linear é apenas de natureza hidrostática sob a crista da onda até o nível médio. Já abaixo desse nível a pressão é a soma da pressão hidrostática e a pressão da onda. Por tal motivo a formulação linear apresenta uma descontinuidade na pressão no ponto, como se mostra na figura 2.5. Além de usar a parcela linear da pressão dinâmica, empregaremos a componente não linear da equação de Bernoulli: 30

42 Considerando: 43, Então a pressão total será: 44 Fig. 2.5 variação da pressão sob a crista e o cavado da onda seguindo a teoria linear. Fonte Faltinsen A equação 44 expressa à pressão total computada até a superfície média. Com o propósito de capturar as não linearidades produzidas pela interação entre a onda e o corpo flutuante, o presente modelo estende o cálculo da pressão da onda e da pressão hidrostática até a superfície livre instantânea. Por tal motivo, distinguiremos duas metodologias para estender o cálculo da pressão de onda até a superfície livre instantânea: a primeira é um método de expansão do perfil da onda baseado no método proposto por Wheeler O segundo é um método de extensão da teoria linear até a superfície livre, o qual foi proposto 31

43 por de Kat Uma grande vantagem desses métodos é que devido ao fato de estarem baseados na teoria linear, podem ser utilizados em ondas irregulares sem nenhuma limitação Método de expansão do perfil da onda O método de expansão de Wheeler consiste em esticar o perfil da onda desde a superfície instantânea ate o fundo marinho substituindo Onde: por 45 coordenada vertical computacional m: -h Z' ζ coordenada vertical real m: elevação vertical da superfície livre m Nesse caso a pressão dinâmica de primeira ordem ficará como: o que equivale a multiplicar a pressão linear pelo termo 46. O qual expande-se como: tal que se forem assumidas ondas longas,, então o erro tende a ser pequeno. Na verdade o método calcula a pressão em mas o resultado é considerado como se fosse em. Portanto, a pressão pode ser calculada até a superfície livre garantindo pressão nula sobre o perfil da onda, o que pode ser facilmente comprovado na crista, cavado e zeros da onda. Mas, o resultado no nível médio, fora do perfil da onda, próximo da superfície média será calculado incluindo um pequeno erro, ver figura