Raciocínio Lógico A1-AT555 15/4/2013

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1 Raciocínio Lógico A1-AT555 15/4/2013

2 2013 Vestcon Editora Ltda. Todos os direitos autorais desta obra são reservados e protegidos pela Lei nº 9.610, de 19/2/1998. Proibida a reprodução de qualquer parte deste material, sem autorização prévia expressa por escrito do autor e da editora, por quaisquer meios empregados, sejam eletrônicos, mecânicos, videográficos, fonográficos, reprográficos, micro lmicos, fotográficos, gráficos ou outros. Essas proibições aplicam-se também à editoração da obra, bem como às suas caracterís cas gráficas. Título da obra: TJ-AM Tribunal de Jus ça do Estado do Amazonas Cargo: Analista Judiciário I Nível Superior Adendo: Raciocínio Lógico (Conforme Edital nº 002/2013 TJ/AM, de 11 de Março de 2013 [re ficado em 19 de Março de 2013] FGV) Autor: Júlio Lociks DIRETORIA EXECUTIVA Norma Suely A. P. Pimentel PRODUÇÃO EDITORIAL Rosângela Sandy Tiago EDIÇÃO DE TEXTO Cláudia Freires Paulo Henrique Ferreira CAPA Ralfe Braga ILUSTRAÇÃO Fabrício Matos Micah Abe PROJETO GRÁFICO Ralfe Braga ASSISTENTE EDITORIAL Gabriela Tayná Moura de Abreu ASSISTENTE DE PRODUÇÃO Laiany Calixto EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Adenilton da Silva Cabral Carlos Alessandro de Oliveira Faria Diogo Alves Marcos Aurélio Pereira REVISÃO Ana Paula Oliveira Pagy Dinalva Fernandes Érida Cassiano Giselle Bertho Micheline Cardoso Ferreira Raysten Balbino Noleto SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP Brasília/DF SAC: Tel.: (61) Fax: (61) Publicado em abril/2013 (A1-AT555)

3 TJ-AM SUMÁRIO Raciocínio Lógico-Quan ta vo Entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fic cios. Dedução de novas relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão e análise da lógica de uma situação. Raciocínio verbal, raciocínio matemá co, raciocínio sequencial. Orientação espacial e temporal. Formação de conceitos e discriminação de elementos... 5

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5 RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Júlio Lociks NOÇÕES DE LÓGICA O Que é uma Proposição? Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. Somente às sentenças declara vas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respec vamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou de falso às demais formas de sentenças como as interroga vas, as exclama vas e outras, embora elas também expressem juízos. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declara vas: O número 6 é par. O número 15 não é primo. Todos os homens são mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. Alguns canários não sabem cantar. Se você estudar bastante, então aprenderá tudo. Eu falo inglês e espanhol. Míriam quer um sapa nho novo ou uma boneca. Não são proposições: Qual é o seu nome? Preste atenção ao sinal. Caramba! Proposição Simples Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contém qualquer outra proposição como sua componente. Isto significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição. Exemplo: A sentença Cínthia é irmã de Maurício é uma proposição simples, pois não é possível iden ficar como parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos separá-la em duas ou mais partes menores nenhuma delas será uma proposição nova. 5

6 Proposição Composta Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta ou proposição molecular. Isto quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição. Exemplo: A sentença Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio é uma proposição composta, pois é possível re rar-se dela duas outras proposições: Cínthia é irmã de Maurício e Cínthia é irmã de Júlio. Conec vos Lógicos (ou Estruturas Lógicas) Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas proposições compostas tais como não, e, ou, se... então e se e somente se aos quais denominamos conec vos lógicos ou estruturas lógicas. Exemplo: A sentença Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conec vos lógicos ( não, se... então e ou ) que estão agindo sobre as proposições simples x é maior que y, x é igual a y e x é menor que y. Os conec vos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal modo que o valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente: do valor lógico de cada uma de suas proposição componentes; e da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos conec vos lógicos u lizados. Exemplo: Compare as seguintes proposições e seus respec vos valores lógicos: Proposições O número 10 é inteiro. O número 10 ímpar. O número 10 é inteiro e é ímpar. O número 10 é inteiro ou é ímpar. Valores Lógicos V F F V V = verdadeiro ; F = falso Algumas proposições compostas recebem denominações especiais de acordo com a estrutura usada para ligar as proposições componentes. O reconhecimento de tais estruturas é muito importante para a análise e a resolução dos problemas de raciocínio lógico que estudaremos mais adiante. A tabela seguinte mostra as seis principais estruturas lógicas e suas denominações. A par r deste ponto, passaremos a nos referir a estas estruturas como estruturas fundamentais: 6

7 Estruturas fundamentais Não-A A ou B Ou A ou B A e B Se A, então B A se e somente se B Denominações Negação Disjunção Disjunção Exclusiva Conjunção Condicional Bicondicional Negação: Não-A Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A a proposição composta que se obtém a par r da proposição A acrescida do conec vo lógico não ou de outro equivalente. A negação não-a pode ser representada simbolicamente como: ~A ou A ou ainda A Podem-se empregar também, como equivalentes de não-a, as seguintes expressões: Não é verdade que A; É falso que A. Uma proposição A e sua negação não-a terão sempre valores lógicos opostos. Tabela-Verdade da Negação (~A) Na tabela apresentada a seguir, denominada tabela-verdade, podemos observar os resultados possíveis da negação ~A para cada um dos valores lógicos que A pode assumir. A V F Não-A F V Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. Conjunção: A e B 7

8 Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo e. A conjunção A e B pode ser representada simbolicamente como: A B Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Elisabeth é mãe de Cínthia. B: Elisabeth é mãe de Maurício. A conjunção A e B pode ser escrita como: A B: Elisabeth é mãe de Cínthia e de Maurício. Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras. Ou seja, a conjunção A B é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira também. Tabela-Verdade da Conjunção (A B) Na tabela apresentada a seguir (tabela-verdade) podemos observar todos os resultados possíveis da conjunção A e B para cada um dos valores lógicos que A e B podem assumir. Disjunção: A ou B A B A B V V V V F F F V F F F F Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo ou. A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como: A B Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Alberto fala espanhol. B: Alberto é universitário. A disjunção A ou B pode ser escrita como: A B: Alberto fala espanhol ou é universitário. 8

9 Para que a disjunção A ou B seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira. Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, então a disjunção A ou B será verdadeira. Ou seja, a disjunção A ou B é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também. Tabela-Verdade da Disjunção (A B) Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da disjunção A ou B para cada um dos valores que A e B podem assumir. Disjunção Exclusiva: ou A ou B A B A B V V V V F V F V V F F F Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer onde cada uma delas esteja precedida pelo conec vo ou. A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser representada simbolicamente como: A B (observe o sublinhado no símbolo ) Exemplo: Dadas as proposições simples: A: O número 19 é par. B: O número 19 é ímpar. A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser escrita como: A B: Ou o número 19 é par ou o número 19 é ímpar. Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando uma e apenas uma das proposições que a compõem for verdadeira. Ou seja, a disjunção exclusiva ou A ou B é verdadeira somente quando A e B têm valores lógicos contrários (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa). Se A e B verem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas) então a disjunção exclusiva será falsa. Tabela-Verdade da Disjunção Exclusiva (A B) Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da disjunção exclusiva ou A ou B para cada um dos valores que A e B podem assumir. 9

10 Condicional: Se A então B A B A B V V F V F V F V V F F F Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo Se... então ou por uma de suas formas equivalentes. A proposição condicional Se A, então B pode ser representada simbolicamente como: A B Exemplo: Dadas as proposições simples: A: José é alagoano. B: José é brasileiro. A condicional Se A, então B pode ser escrita como: A B: Se José é alagoano, então José é brasileiro. Na proposição condicional Se A, então B a proposição A, que é anunciada pelo uso da conjunção se, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição B, apontada pelo advérbio então é denominada conclusão ou consequente. As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de Se A, então B : Se A, B; B, se A; Todo A é B; A implica B; A somente se B; A é suficiente para B; B é necessário para A. Uma condicional Se A então B é falsa somente quando sua condição (A) é verdadeira e sua conclusão (B) é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, a única situação inaceitável é termos uma condição verdadeira e uma conclusão falsa. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional Se A então B para cada um dos valores que A e B podem assumir. 10

11 A B A B V V V V F F F V V F F V Alguns dos resultados da tabela acima podem parecer absurdos à primeira vista. A fim de esclarecer o significado de cada um dos resultados possíveis numa sentença condicional, considere a seguinte situação: numa tarde de domingo um casal está sentado no sofá da sala de seu apartamento assis ndo a um filme quando a campainha toca. A mulher, que se diz sensi va, diz: Se for uma mulher, então ela estará trazendo um pacote nas mãos. O marido, que não costuma dar muita importância às previsões da mulher, resmunga Vamos ver se você está mesmo certa! e vai abrir a porta. Em que conjunto de situações poderemos dizer que a previsão da mulher estava errada? Há quatro situações a serem analisadas: 1 a Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo trazendo um pacote nas mãos. Neste caso teremos que reconhecer que a previsão da mulher era correta (este caso corresponde ao que está descrito na primeira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 2 a Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, mas ela não estava trazendo um pacote nas mãos. Neste caso podemos dizer que a previsão da mulher mostrou-se errada (este caso corresponde ao que está descrito na segunda linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 3 a Quem tocou a campainha não era uma mulher embora es vesse mesmo trazendo um pacote nas mãos. Neste caso não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada, pois ela não disse que somente uma mulher poderia estar trazendo um pacote nas mãos. Acontece que toda proposição deve ser ou verdadeira ou falsa e esta não é falsa. Então é verdadeira! (Este caso corresponde ao que está descrito na terceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional) 4 a Quem tocou a campainha não era uma mulher e nem mesmo estava trazendo um pacote nas mãos. Neste caso também não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada, pois a previsão de que a pessoa traria um pacote nas mãos estava condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. Não sendo uma mulher, não teria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. Novamente, a proposição não é falsa. Logo, é verdadeira (este caso corresponde ao que está descrito na quarta linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). Cuidado: Usualmente, quando empregarmos uma sentença do po se A então B esperamos que exista alguma forma de relacionamento entre A e B ou que guardem entre si alguma relação de causa e efeito. Neste sen do, aceitaríamos com facilidade, por exemplo, a proposição Se um número inteiro termina com o algarismo 8 então este número é par. No mesmo sen do, tenderíamos a recusar proposições como: se um triângulo tem três lados então o número sete é primo 11

12 Ou, ainda: se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil Provavelmente recusaríamos a primeira dizendo algo como: O que é que tem a ver um triângulo ter três lados com o fato de o número sete ser primo? Quanto à segunda, é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como: Para começar, um quadrado não tem sete lados, mas quatro. E mesmo que vesse, isto não tem nada a ver com falar-se ou não o português no Brasil. Esse po de recusa parece razoável, pois nestas afirmações falta algo que relacione a primeira parte da proposição (condição) com a segunda (conclusão). No entanto, segundo as regras da Lógica, estas duas proposições são verdadeiras! Para verificarmos isto, basta analisarmos cada uma delas seguindo as regras estudadas: Vejamos: Proposição: Se um triângulo tem três lados então o número sete é primo. Esta é uma proposição do po Se A então B. A condição da proposição é: A: Um triângulo tem três lados. (verdade) A conclusão é: B: O número sete é primo. (verdade) Como sabemos, uma proposição condicional onde a condição e a conclusão sejam, ambas, verdadeiras será ela mesma, também, verdadeira. Confira na tabela-verdade: A B A B V V V V F F F V V F F V 12

13 Proposição: Se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil A proposição é do po Se A então B. Condição da sentença: A: Um quadrado tem sete lados. (falso) Conclusão da sentença é: B: Fala-se o português no Brasil. (verdade) Como sabemos, TODA proposição condicional com condição FALSA é, sempre, VERDADEIRA (independentemente de a conclusão ser verdadeira ou falsa). Confira na tabela-verdade: A B A B V V V V F F F V V F F V Assim, percebemos que, para a Lógica, o valor lógico de uma proposição composta independe da existência de qualquer relação entre as proposições dadas. Bicondicional: A se e somente se B Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo se e somente se. A proposição bicondicional A se e somente se B pode ser representada simbolicamente como: A B Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Adalberto é meu o. B: Adalberto é irmão de um de meus pais. A proposição bicondicional A se e somente se B pode ser escrita como: A B: Adalberto é meu o se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais. Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional A se e somente se B equivale à proposição composta se A então B e se B então A. 13

14 Podem-se empregar também como equivalentes de A se e somente se B as seguintes expressões: A se e só se B; Todo A é B e todo B é A; Todo A é B e reciprocamente; Se A então B e reciprocamente; A é necessário e suficiente para B; A é suficiente para B e B é suficiente para A; A é necessário para B e B é necessário para A. A proposição bicondicional A se e somente se B é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos contrários. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição bicondicional A se e somente se B para cada um dos valores que A e B podem assumir. Sentenças Abertas A B A B V V V V F F F V F F F V Dizemos que uma expressão P(x) é uma sentença aberta na variável x se, e somente se, P(x) se tornar uma proposição sempre que subs tuirmos a variável x por qualquer elemento pertencente a certo conjunto denominado universo de discurso. Note que, ao subs tuirmos a variável da sentença aberta por um elemento dado do seu universo de discurso, a proposição resultante não tem que ser Verdadeira. Exemplo: A expressão 2x + 5 = 25 é uma sentença aberta na variável x. Quando subs tuímos a variável pelo número 5 obtemos uma proposição Falsa: 2 (5) + 5 = 25. Tautologia Uma proposição composta é uma tautologia se e somente se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Deste modo, quando uma proposição composta for uma tautologia, a úl ma coluna de sua tabela-verdade será o valor lógico V (verdadeiro) em todas as suas linhas. Exemplo: A proposição Se (A e B) então (A ou B) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: 14

15 A B A e B A ou B (A e B) (A ou B) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Contradição Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição se e somente se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Portanto, quando uma proposição composta for uma contradição a úl ma coluna de sua tabela-verdade será o valor lógico F (falso) em todas as suas linhas. Exemplo: A proposição A se e somente se não A é uma contradição pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: A ~A A ~A V F F F V F O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer A e sua negação, ~A, nunca serão ambas verdadeiras nem ambas falsas. Relação entre Tautologia e Contradição Sabemos que uma tautologia é sempre verdadeira enquanto uma contradição, sempre falsa, daí pode-se concluir que: Con ngência A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. e A negação de uma contradição é sempre uma tautologia. Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma con- ngência se e somente se for possível que ela seja verdadeira tanto quanto que ela também seja falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições que a compõem. Assim, quando uma proposição composta for uma con ngência, a úl ma coluna de sua tabela-verdade deverá apresentar o valor lógico V (verdadeiro) pelo menos uma vez e, também, o valor lógico F (falso) pelo menos uma vez. 15

16 Exemplo: A proposição Se A então B é uma con ngência, pois será Falsa quando A for Verdadeira e B Falsa, sendo Verdadeira em todos os outros casos. As Três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico Alguns autores citam três princípios como sendo fundamentais para o pensamento lógico. Princípio da Iden dade Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira. Em símbolos: P P Princípio da Não Contradição Nenhuma proposição pode ser verdadeira e também ser falsa. Em símbolos: ~(P ~P) Princípio do Terceiro Excluído Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Em símbolos: ou P ou ~P Implicação Lógica Dizemos que a proposição A implica (ou acarreta) a proposição B se, e somente se, for impossível termos simultaneamente A verdadeira e B falsa na proposição condicional Se A então B (em símbolos: A B). Quando A implica B anotamos: A B (lê-se: A implica B ou A acarreta B) Propriedades da Implicação Lógica São propriedades da relação de implicação lógica: 1ª A A (reflexiva); 2ª Se A B e se B C então A C (transi va); 3ª A implicação lógica NÃO é simétrica. 16

17 Proposições Logicamente Equivalentes Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando sa sfazem às duas condições seguintes: 1 o são compostas pelas mesmas proposições simples; 2 o têm tabelas-verdade idên cas. Uma consequência prá ca da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada simbolicamente como: A B (lê-se: A é equivalente a B) As proposições A e B serão equivalentes se, e somente se, for impossível termos simultaneamente A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira na proposição bicondicional A se, e somente se, B (em símbolos: A B). Regras de Equivalência Da definição de equivalência lógica podem-se demonstrar as seguintes equivalências: 1. A A (reflexiva); 2. Se A B então B A (simétrica); 3. Se A B e se B C então A C (transi va); 4. Se A e B são duas tautologias então A B; 5. Se A e B são duas contradições então A B. Leis de comuta vidade 6. A B B A 7. A B B A 8. A B B A 9. A B B A Leis de associa vidade 10. (A B) C A (B C) 11. (A B) C A (B C) Leis de distribu vidade 12. A (B C) (A B) (A C) 13. A (B C) (A B) (A C) 17

18 Lei da dupla negação 14. ~(~A) A Equivalências da Condicional 15. A B ~A B 16. A B ~B ~A Equivalências da Bicondicional 17. A B (A B) (B A) 18. A B (A B) (~B ~A) 19. A B ~(A B) Leis de Morgan 20. ~(A B) ~A ~B 21. ~(A B) ~A ~B Negação de Proposições Compostas Um problema de grande importância para a lógica é o da iden ficação de proposições equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto podem surgir algumas dificuldades quando procuramos iden ficar a negação de uma proposição composta. Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação não-a deve ser falsa e sempre que A for falsa, não-a deve ser verdadeira. Em outras palavras a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada. A tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas: Proposição Negação direta Equivalente da Negação A e B Não (A e B) Não A ou não B A ou B Não (A ou B) Não A e não B Se A então B Não (se A então B) A e não B A se e somente se B Não (A se e somente se B) Ou A ou B Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B Algum A é B Não (algum A é B) Nenhum A é B 18

19 Diagramas Lógicos Um diagrama lógico é um esquema que busca representar as relações existentes entre as diversas partes que compõem uma proposição. O modelo mais comum para diagramas lógicos é o dos diagramas de Venn-Euler. Neste capítulo aprofundaremos nossos estudos sobre os digramas lógicos estudando uma variação do modelo de Venn-Euler que nos permi rá uma representação mais precisa do que aquela vista anteriormente. Universo de discurso (U) Denomina-se universo de discurso o conjunto de tudo o que se admite como possível em um dado contexto. Deste modo, qualquer proposição possível será um subconjunto do universo de discurso. O universo de discurso será sempre indicado pela região interna de um retângulo. Cada proposição é indicada por uma região delimitada dentro do universo de discurso. U = universo de discurso A = proposição Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto dentro de sua região sendo falsa em todos os demais pontos do universo de discurso. Na região 1 a proposição A é verdadeira. Na região 2 a proposição A é falsa. 19

20 Na região 1 A e B são falsas. Na região 2 A é verdadeira e B é falsa. Na região 3 A e B são verdadeiras. Na região 4 A é falsa e B é verdadeira. Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama lógico somente as regiões para as quais o resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro serão sombreadas. Diagrama Lógico da Negação Num diagrama de conjuntos, se a proposição A for representada pelo conjunto A, então a negação não-a corresponderá ao conjunto complementar de A. Diagrama Lógico da Conjunção Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção A B corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B, A B. 20

21 Diagrama Lógico da Disjunção Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção A B corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B. Diagrama Lógico da Disjunção Exclusiva Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção exclusiva A B corresponderá à união da parte do conjunto A que não está em B (A B) com a parte do conjunto B que não está em A (B A). (A B) (B A) Observe que isto equivale à diferença entre a união e a interseção dos conjuntos A e B. (A B) (A B) 21

22 Diagramas Lógicos da Condicional A B Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição condicional Se A então B poderá ser indicada de dois modos: 1º Como nos casos anteriores, sombreando somente as regiões dos conjuntos A e B correspondentes às linhas cujo resultado é V na tabela-verdade da proposição condicional. 2º Como a inclusão do conjunto A no conjunto B (A está con do em B). Diagramas Lógicos da Bicondicional Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição bicondicional A se e somente se B corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B. 22

23 Proposições Categóricas Na lógica clássica (também chamada lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se apenas quatro pos especiais de proposições, denominadas proposições categóricas. As proposições categóricas podem ser universais ou par culares, cada uma destas podendo ser afirma va ou nega va. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis. As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas picas, são apresentadas no quadro seguinte: Afirma vas Nega vas Universais Todo A é B. Nenhum A é B. Par culares Algum A é B. Algum A não é B. Sujeito e Predicado de uma Proposição Categórica Dada uma proposição categórica em sua forma pica chamamos de: sujeito o elemento da sentença relacionado ao quan ficador da proposição; predicado o elemento que se segue ao verbo. Exemplos: Proposições Categóricas Sujeito Predicado Todo atleta nato é um vencedor atleta nato um vencedor Nenhum ser vivo é imortal ser vivo imortal Algum quadro é obra de arte quadro obra de arte Algum polí co não é honesto polí co honesto 23

24 Representações Gráficas Deve-se ao matemá co suíço Leonhard Euler ( ) a ideia de representar as proposições categóricas por meio de diagramas que, por isto, são denominados diagramas de Euler ou diagramas lógicos. Nas representações gráficas das proposições categóricas considere o significado dos seguintes sinais que aparecerão em certas regiões dos conjuntos citados: Todo A é B. Sinal Significado x Esta região tem pelo menos um elemento.? Esta região pode ter elementos ou não. Algum A é B. Nenhum A é B. 24

25 Algum A não é B. Neste úl mo caso é importante lembrar que o conjunto B não poderá resultar totalmente vazio. Isto se deve em obediência a um dos princípios da lógica das proposições categóricas que estabelece que toda classe tem que possuir pelo menos um elemento. Quan ficação A quan ficação é uma forma de estabelecer uma relação entre sujeito e predicado de uma proposição. Quando dizemos Todo atleta é um batalhador, estamos fazendo referência a dois conjuntos o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são batalhadores. Assim, o sen do da sentença é que todo aquele que pertença ao conjunto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores. Na teoria dos conjuntos, os elementos de um conjunto é que são quan ficados para que se possa estabelecer sua relação de per nência com um outro conjunto. Representação Simbólica Os quan ficadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas. Q S S Universal Todo, Para todo ou Qualquer que seja Par cular Existe algum Par cular nega vo Não existe Par cular exclusivo I Existe um único 25

26 Exemplos: Universal afirma va: Todo A é B. x, x A x B (para todo x, se x A então x B) Universal nega va: Nenhum A é B. x, x A x B (para todo x, se x A então x B) Par cular afirma va: Algum A é B. x, x A x B (existe algum x tal que x A e x B) Par cular nega va: Nenhum A é B. x, x A x B (não existe x tal que x A e x B) Relações Quan ficacionais Duas proposições categóricas dis ntas, que tenham mesmo sujeito e mesmo predicado, ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas. Dizemos que estarão sempre em oposição. São quatro os pos de oposição. Observe o quadro a seguir que é conhecido como quadro de oposições. 26

27 1. Contraditórias Uma proposição categórica qualquer e sua negação lógica são ditas contraditórias. Todo A é B e Algum A não é B são contraditórias. Nenhum A é B e Algum A é B são contraditórias. Duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras nem ambas falsas, tendo sempre valores lógicos opostos. Se soubermos que uma proposição qualquer é verdadeira, poderemos garan r que a sua contraditória será falsa. Se soubermos que uma proposição qualquer é falsa, poderemos garan r que a sua contraditória será verdadeira. 2. Contrárias Uma afirma va universal e a correspondente nega va universal são ditas contrárias. Todo A é B e Nenhum A é B são contrárias. Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas. Se soubermos que uma universal qualquer é verdadeira poderemos garan r que a sua contrária é falsa. Por outro lado se soubermos que uma universal qualquer é falsa não poderemos garan r que a sua contrária seja falsa também. 3. Subcontrárias Uma afirma va par cular e a correspondente nega va par- cular são ditas subcontrárias. Algum A é B e Algum A não é B são subcontrárias. Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas, mas podem ser ambas verdadeiras. Se soubermos que uma proposição par cular é falsa, poderemos garan r que a sua subcontrária é verdadeira. Por outro lado, se soubermos que uma proposição par cular é verdadeira não poderemos garan r que sua subcontrária seja verdadeira também. 4. Subalternas Duas afirma vas ou duas nega vas (sendo uma universal e sua par cular correspondente) são ditas subalternas. Todo A é B e Algum A é B são subalternas. Nenhum A é B e Algum A não é B são subalternas. 27

28 Se soubermos que uma proposição universal é verdadeira então poderemos garan r que sua subalterna par cular também será verdadeira. A recíproca (da par cular para a universal) não pode ser garan da. Se soubermos que uma proposição par cular é falsa então poderemos garan r que sua subalterna universal será falsa também. A recíproca (da universal para a par cular) não pode ser garan da. Existe uma forma simples de resumirmos o comportamento de duas proposições subalternas. 1º Monte uma sentença condicional colocando as proposições subalternas na seguinte ordem: Se (Universal) então (Par cular) 2º Marque o valor lógico (V ou F) junto da parte que contém a proposição cujo valor lógico é conhecido. 3º Deduzimos quais valores lógicos poderão ter a subalterna restante de modo que a sentença condicional seja verdadeira. Exemplos: 1. Sabemos que a proposição universal é verdadeira. Se (universal) então (par cular) V V Portanto, a proposição par cular também é verdadeira. 2. Sabemos que a proposição universal é falsa. Se (universal) então (par cular) F V ou F Portanto, a proposição par cular pode ser verdadeira ou falsa. 3. Sabemos que a proposição par cular é verdadeira. Se (universal) então (par cular) V ou F V Portanto, a proposição universal pode ser verdadeira ou falsa. 4. Sabemos que a proposição par cular é falsa. Se (universal) então (par cular) F F Portanto, a proposição universal também é falsa. 28

29 Argumento Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P 1, P 2,... P n, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento. {P 1, P 2,... P n } C No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser empregados os termos correspondentes hipótese e tese, respec vamente. premissa = hipótese conclusão = tese Silogismo Um argumento formado por exatamente três proposições, sendo duas como premissas e a outra como conclusão, é denominado silogismo. { P 1, P 2 } C Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos: I. P 1 : Todos os ar stas são apaixonados. P 2 : Todos os apaixonados gostam de flores. C : Todos os ar stas gostam de flores. II. P 1 : Todos os apaixonados gostam de flores. P 2 : Míriam gosta de flores. C : Míriam é uma apaixonada. Silogismos Categóricos Um silogismo é denominado categórico quando: 1 o É composto por três proposições categóricas; 2 o As três proposições categóricas devem conter, ao todo, três únicos termos; 3 o Cada um dos termos deve ocorrer em exatamente duas das três proposições que compõem o silogismo. Exemplo: No silogismo: P1: Todo bom atleta é persistente. P2: Hudson é um bom atleta. C: Hudson é persistente. Os três termos são: bom atleta que ocorre nas duas premissas, P1 e P2; persistente que ocorre na primeira premissa e na conclusão; Hudson que ocorre na segunda premissa e na conclusão. Termos de um Silogismo Cada um dos termos que ocorrem num silogismo categórico tem um nome especial: Termo médio (M): é aquele que ocorre nas duas premissas. 29

30 Termo maior (T): é o termo que ocorre como predicado da conclusão. Termo menor (t): é o termo que ocorre como sujeito da conclusão. Forma Típica de um Silogismo Categórico Um silogismo categórico é dito de forma pica quando sa sfaz às três seguintes condições: 1 o As três proposições categóricas que o integram estão em suas formas picas; 2 o A primeira premissa (premissa maior) tem o predicado da conclusão (termo maior) como um de seus termos; 3 o A segunda premissa (premissa menor) tem o sujeito da conclusão (termo menor) como um de seus termos. Exemplo: Observe o silogismo categórico seguinte: P1: Todo ar sta é brincalhão. P2: Todo brincalhão é cortês. C: Todo ar sta é cortês. Este silogismo não está na forma pica, pois o seu termo maior (cortês) está presente na segunda premissa e não na primeira. Para colocá-lo na forma pica, no entanto, basta permutarmos a premissas entre si. Assim teremos: P1: Todo brincalhão é cortês. P2: Todo ar sta é brincalhão. C: Todo ar sta é cortês. Figura Num silogismo categórico, na forma pica a posição do termo médio em cada uma das duas premissas varia de um silogismo para outro havendo quatro situações possíveis. Cada uma dessas quatro situações corresponde a uma figura, conforme segue: Primeira Figura O termo médio ocorre nos extremos, ou seja, o termo médio ocorre como sujeito da primeira premissa e como predicado da segunda premissa. Segunda Figura O termo médio ocorre como predicado nas duas premissas. Terceira Figura O termo médio ocorre como sujeito nas duas premissas. Quarta Figura O termo médio ocorre nos meios, ou seja, o termo médio ocorre como predicado da primeira premissa e como sujeito da segunda premissa. É, portanto o inverso da primeira figura. Modo O modo de um silogismo de forma pica é determinado pelos pos de proposições categóricas usados em sua construção. 30

31 Cada modo é representado por três vogais, cada uma delas indicando uma proposição categórica de modo que: A primeira vogal indica o po da proposição categórica da premissa maior; A segunda vogal indica o po da proposição categórica da premissa menor; A terceira vogal indica o po da proposição categórica da conclusão. As vogais representa vas das proposições categóricas são: A: Universal Afirma va Todo X é Y. E: Universal Nega va Nenhum X é Y. I : Par cular Afirma va Algum X é Y. O: Par cular Nega va Algum X não é Y. Exemplo: O silogismo Todos os cantores são pessoas vaidosas; Algumas pessoas vaidosas são chatas. Logo, alguns cantores são pessoas chatas. É um silogismo do modo AII pois a primeira premissa é do po A (universal afirma va) enquanto a segunda premissa é do po I (par cular afirma va) e a conclusão é do po I (par cular afirma va). Além disso, podemos dizer também que este silogismo é da quarta figura, pois o termo médio ocorre nos meios das duas premissas. Se enumerarmos todos os modos possíveis para um silogismo, verificaremos que eles são, ao todo, : : : 64 AAA AAE AAI AAO AEA AEE AEI : : : OOO Forma Como podemos observar dos conceitos que estudamos de figura e de modo, um silogismo não é completamente caracterizado somente por sua figura nem somente por seu modo. Ou seja, podemos ter dois silogismos categóricos de modos diferentes mas de mesma figura, assim como podemos ter dois silogismos categóricos de figuras diferentes mas de mesmo modo. 31

32 Para caracterizarmos completamente um silogismo categórico, devemos iden ficar, conjuntamente, tanto seu modo quanto sua figura. Ao definirmos tanto o modo quanto a figura de um silogismo, estamos iden ficando a sua forma. ( modo ) + ( figura ) = ( forma ) Exemplo: Considere o seguinte silogismo categórico: Todo elemento perigoso é potencialmente nocivo à sociedade; Todo motorista desatento é um elemento perigoso; Logo, todo motorista desatento é potencialmente nocivo à sociedade é um silogismo da forma AAA-1 (modo AAA primeira figura) Número de Formas Possíveis de Silogismos Cada um dos 64 modos possíveis de um silogismo pode ocorrer em qualquer uma das 4 figuras. Portanto temos 64 4 = 256 Este é o total de formas diferentes possíveis para os silogismos. De todos os 256 silogismos categóricos possíveis, somente uma pequena parte cons tui argumentos válidos, conceito este que passaremos a estudar a seguir. Argumento Válido Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legí mo ou bem construído quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: Um argumento é válido quando, ao assumirmos as premissas do argumento como verdadeiras, a verdade da conclusão fica logicamente estabelecida. Isto significa que, num argumento válido, jamais poderemos ter uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras. É importante observar que o estudo dos argumentos ocupa-se tão somente da validade destes e não leva em conta se as proposições que o compõem são realmente verdadeiras ou não. Deste modo, ao se discu r a validade de um argumento é irrelevante saber se as premissas são realmente verdadeiras ou não. Tudo que precisamos fazer é assumir que as premissas sejam todas verdadeiras e verificar se isto obriga ou não a conclusão a ser também verdadeira. 32

33 Exemplo: Considere o silogismo: Todos os pardais adoram jogar xadrez. Nenhum enxadrista gosta de óperas. Portanto, nenhum pardal gosta de óperas. Este silogismo está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido muito embora a verdade das premissas seja ques onável. Op = Conjunto dos que gostam de Óperas X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez P = Conjunto dos pardais Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento o conjunto P (pardais) pode pertencer ao conjunto Op (os que gostam de Óperas). Argumento Inválido Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegí mo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para garan r a verdade da conclusão. Exemplo: O silogismo: Todos os alunos do curso, passaram. Maria não é aluna do curso. Portanto, Maria não passou. é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo). 33

34 P = Conjunto das pessoas que passaram. C = Conjunto dos alunos do curso. m = Maria. Pelo diagrama vê-se que Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso. (a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado). Na tabela abaixo podemos ver um resumo das situações possíveis para um argumento: Se um argumento é... Válido (bem construído) Se um argumento é... Inválido (mal construído) e as premissas... então a conclusão será: são todas verdadeiras necessariamente Verdadeira. não são todas verdadeiras ou Verdadeira ou Falsa. e as premissas... Independentemente de serem ou não todas verdadeiras Noções sobre Cálculo de Predicados de 1 a Ordem então a conclusão será: ou Verdadeira ou Falsa. Não existe um meio efe vo de testar a validade de todos os argumentos possíveis. Daí surge o interesse no desenvolvimento de um método que permita a dedução da conclusão de um argumento qualquer, ou seja, o cálculo axiomá co de predicados. Este assunto é vasto e uma abordagem completa exigiria, primeiramente, que se fundamentasse axioma camente o cálculo proposicional. Faremos a seguir um breve resumo do assunto. Sentenças Abertas Considere uma expressão p(x) capaz de ser lida como uma proposição para cada valor atribuído a x num dado conjunto U não vazio, ou seja, p(x) ou é verdadeira ou é falsa para todo x pertencente a U. Nessas condições dizemos que p(x) é uma sentença aberta em U. Se p(x) é uma sentença aberta no conjunto U então esse conjunto é chamado conjunto-universo de discussão da sentença enquanto x é chamado variável de discussão da sentença. Exemplos: Sentença aberta p(x) Universo Valor de p(2) x > 3 Z Falso 2x+1 = 5 Z Verdadeiro 3x=10 Z Falso 34

35 Quando p(u) for verdadeira para algum u U dizemos que esse u confirma p(x) ou ainda que u é uma solução de p(x). É preciso ficar bem claro que as sentenças abertas não são verdadeiras nem são falsas. Ao subs tuirmos as variáveis das sentenças abertas por valores específicos as sentenças tornam-se proposições. Estas sim é que são ou verdadeiras ou falsas. Por esse mo vo é que as sentenças abertas também são chamadas de funções proposicionais. Conjunto-Verdade Chama-se conjunto-verdade de p(x) em U, ou conjunto-solução de p(x) em U, ao conjunto que reúne todos os elementos de U que sejam solução de p(x), ou seja, para os quais p(x) é verdadeira. O conjunto-verdade é representado costumeiramente por V ou por S. Exemplos: V = {u U p(u) é verdadeira}. Sentença aberta Universo Conjunto-Verdade x > 3 Z V={4, 5, 6, 7, 8,...} 2x+1 = 5 Z V={2} 3x=10 Q V={10/3} 3x=10 Z V = Sentenças com duas ou mais Variáveis Uma sentença aberta pode ter duas ou mais variáveis. p(x, y) sentença aberta nas variáveis, x e y. p(x, y, z) sentença aberta nas variáveis, x, y e z. p(x, y, z, w) sentença aberta nas variáveis, x, y, z e w. No conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas ou mais variáveis os elementos serão representados por pares ordenados ou por seus análogos para mais variáveis. Exemplos: O conjunto-verdade da sentença aberta xy = 5 em Z será: V={(1;5), (5;1), ( 1; 5), ( 5; 1)} O conjunto-verdade da sentença aberta 0 < (x+y+z) < 4 em N será: V={(1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)} 35

36 Operações lógicas sobre sentenças abertas As operações lógicas proposicionais podem ser associadas às sentenças abertas criando outras sentenças abertas. Assim, se p(x) e q(x) forem duas sentenças abertas quaisquer, serão também sentenças abertas: Propriedades ~p(x) ~q(x) p(x) q(x) p(x) q(x) p(x) q(x) p(x) q(x) etc. Se p(x) e q(x) são sentenças abertas discu das no universo U e V p representa o conjunto-verdade de p(x), então valem as seguintes propriedades: P1. O conjunto-verdade da negação ~p(x) é o complemento do conjunto verdade de p(x). V ~p = U V p P2. O conjunto-verdade da disjunção p(x) q(x) é a união dos seus conjuntos- -verdade. V p q = V p V q P3. O conjunto-verdade da conjunção p(x) q(x) é a interseção dos seus conjuntos- -verdade. V p q = V p V q P4. O conjunto-verdade da condicional p(x) q(x) é a união dos conjuntos-verdade de ~p(x) e de q(x). V p q = V ~p V q P5. O conjunto-verdade da bicondicional p(x) q(x) é a interseção dos conjuntos- -verdade de ~p(x) e de ~q(x). V p q = V ~p V ~q 36

37 Quan ficação Existem duas maneiras de se transformar uma sentença aberta em uma proposição. Uma delas é atribuindo valores a suas variáveis. A outra é fazer uso da quan ficação. As quan ficações estabelecem relações de inclusão ou exclusão entre sujeito e predicado em certas sentenças que funcionarão como proposições. O quadro seguinte resume as quatro proposições quan ficacionais fundamentais: Afirma va Nega va Universal Todo A é B. Nenhum A é B. Par cular Algum A é B. Algum A não é B. Símbolos Quan ficacionais Quando dizemos Todo atleta é um batalhador. estamos fazendo referência a dois conjuntos o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são batalhadores. Assim, o sen do da sentença é que todo aquele que pertença ao conjunto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores. Na teoria dos conjuntos os elementos de um conjunto é que são quan ficados para que se possa estabelecer sua relação de per nência com outro conjunto. Os quan ficadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é usualmente feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas. Exemplos Quan ficador Símbolo Significado Universal Todo, Para todo ou Qualquer que seja Par cular Existe algum Par cular nega vo Não existe Par cular exclusivo I Existe um único Universal afirma va: Todo A é B. x, x A x B (para todo x, se x A então x B) 37

38 Universal nega va: Nenhum A é B. x, x A x B (para todo x, se x A então x B) Par cular afirma va: Par cular nega va: Par cular exclusiva: Algum A é B. x, x A x B (existe algum x tal que x A e x B) Nenhum A é B. x, x A x B (não existe x tal que x A e x B) Só existe um número real que sa sfaz a igualdade x+2 = 6 I x, x R, x+2 = 6 (existe um único x tal que x R e x+2 = 6) Variáveis Livres Dizemos que uma variável é livre em uma dada sentença se ela não está ligada a algum quan ficador. Exemplos Regras de Inferência x 3 (x é variável livre) x (x w) (x não é variável livre mas w é) x ( y (x y) ) (nem x nem y é livre) Nas regras apresentadas abaixo: uma vírgula separa duas premissas; o sinal lê-se portanto e separa as premissas da conclusão; as premissas estão sempre à esquerda do sinal ; a conclusão está sempre à direita do sinal ; Rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior. 1. modus ponens A, A B B 38

39 2. modus tollens A B, ~B ~A 3. dupla negação ~(~B) B 4. introdução da conjunção A, B A B 5. eliminação da conjunção A B A A B B 6. adição A, B A B 7. silogismo hipoté co A B, B C A C 8. silogismo disjun vo A B, ~A B A B, ~B A 9. dilema constru vo (A B) (C D), A C B D 10. dilema destru vo (A B) (C D), ~B ~D A C Teoremas T1- (A B), B C (A C) T2- A B B A Rec- B A A B T3- A B, ( A B) B T4- (A B) C A (B C) Rec- A (B C) (A B) C T5- (A B) (C C) A B ( princ. da não contradição) T6- A (B C), B A C 39

40 Proposições Dependentes Sejam P 1 e P 2 duas proposições quaisquer. Dizemos que P 2 é dependente de P 1 se, e somente se, o valor lógico de P 2 depende do valor lógico dado a P 1. Ou seja, pelo menos uma das seguintes situações deve ocorrer: P 1 Verdadeira obriga P 2 Verdadeira ou P 1 Verdadeira obriga P 2 Falsa ou P 1 Falsa obriga P 2 Verdadeira ou P 1 Falsa obriga P 2 Falsa Dependência entre Proposições Quanto à dependência entre duas proposições dadas, P1 e P2, podem ocorrer somente duas situa ções dis ntas: 1ª Nenhuma das duas proposições tem seu o valor lógico dependente do valor lógico da outra. Neste caso dizemos que não existe dependência ou ainda que as proposições consideradas são independentes. 2ª Cada uma das proposições tem seu o valor lógico dependente do valor lógico da outra. Neste caso dizemos que existe dependência ou ainda que as proposições consideradas são dependentes. Exemplos: Considere as seguintes proposições: A: Ana é alta; B: Beto é baixo; C: Ana não é alta; D: Se Ana é Alta então Beto é baixo. As proposições A e B são independentes, pois, em princípio, pode-se ter qualquer uma delas verdadeira ou falsa independentemente do valor lógico que seja atribuído à outra. As proposições A e C são dependentes. De fato uma vez que se tenha atribuído algum valor lógico a uma delas, a outra, necessariamente ficará obrigada ao valor lógico oposto, dado que C é a negação de A. As proposições A e D também são dependentes. Isto pode ser constatado observando que ao colocarmos qualquer uma das duas com Falsa a outra, obrigatoriamente, será Verdadeira. Número de Linhas de uma Tabela-Verdade Se uma tabela-verdade tem como componentes as proposições P 1, P 2,..., P n, duas a duas independentes, então o número de linhas desta tabela-verdade será igual a: n Ln 2 Exemplo: Sejam P 1, P 2 e P 3, três proposições independentes entre si, então a tabela verdade da proposição composta (P 1 e P 2 ) ou não-p 3 terá 2 3 = 8 linhas, como se pode ver abaixo: 40

41 Exercícios Resolvidos P 1 P 2 P 3 (P 1 e P 2 ) não-p 3 (P 1 e P 2 ) ou não-p 3 1 V V V V F V 2 V V F V V V 3 V F V F F F 4 V F F F V V 5 F V V F F F 6 F V F F V V 7 F F V F F F 8 F F F F V V 1. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo: a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante. b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes. c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante. d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante. e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes. Solução: Alterna va: e Dizer que todos os bons estudantes são pessoas tenazes equivale a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes acharemos todos os bons estudantes. Assim sendo, podemos dizer que o conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes. Isto poderia ser visualizado com um diagrama de conjuntos (diagrama de Euler-Venn). 2. Represente com diagramas de conjuntos: I) Algum A é B. II) Algum A não é B. III) Todo A é B. IV) Se A, então B. V) Nenhum A é B. Solução: I) 41