lado Área a 2 Área RESUMO TEÓRICO Conhecendo uma base e uma altura Conhecendo dois lados e o ângulo formado por eles Triângulo Equilátero de lado a

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1 RESUMO TEÓRICO Conhecendo uma base e uma altura 1 Área Base Altura 1 Área BC AH Conhecendo dois lados e o ângulo formado por eles Área 1 a bsen Triângulo Equilátero de lado a Área Área 4 lado a 4 Conhecendo os três lados Fórmula de Herão Calcula-se primeiro o semi-perímetro p : Área a b c p p p ap bp c 1

2 Quadrado de lado a Área lado Área a Retângulo Área Base Altura Área a b Paralelogramo Área lado altura relativa Área a h Área bh 1 ao lado Área 1 Trapézio Base Maior Base Menor Altura 1 Área B bh Área 1 Losango Diagonal Maior Diagonal Menor 1 Área D d Ângulos Notáveis 0 o 45 o 60 o 10 o 15 o 150 o sen 1 1

3 Circunferência Comprimento Comprimento Raio C R Círculo Área Área A Raio R Coroa Circular Área Área Círculo Área Maior Círculo Menor A R r Setor Circular Regra de Três Área Ângulo Área Setor R α 60 α Área R o 60 o Segmento Circular (para o α 180 ) Primeiro calcule as áreas do setor e do triângulo Área Área Setor Área Triângulo

4 ATIVIDADES PARTE A Triângulos 1) Obtenha a área das figuras a seguir: a) b) c) 4m 8m 1m 1m 6m 0m 4m d) e) f) 4m 0 o 10m 6m 6m 60 o 45 o 10m 0m g) h) i) 10m 10m 5m 6m 7m 8m 10m 7m 9m ) Obtenha a área de um triângulo que tem um lado medindo 10cm e a altura relativa a esse lado medindo 4cm. ) Obtenha a área de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6cm. 4) Um triângulo tem dois lados que formam ângulo de 0 o e que medem 6cm e 8cm. Calcule a medida da área desse triângulo. 5) Calcule a área de um triângulo cujos lados medem 10cm, 10cm e 1cm. 6) Nos triângulos eqüiláteros ABC a seguir é indicada uma altura. Obtenha a área de cada um deles. a) b) A A 5 10m B C B C 4

5 7) Obtenha a área de cada um dos paralelogramos a seguir: a) b) m 4m 0 o 8m 60 o 10m 8) Calcule a medida da área de um triângulo eqüilátero cuja: a) altura mede m. b) altura mede 1 m. 9) Dado um triângulo cujos lados medem 9cm, 10cm e 11cm. a) Determine a medida de sua área. b) Determine a medida da altura relativa ao maior dos lados. c) Determine a medida da altura relativa ao menor dos lados. PARTE B Quadriláteros 10) Obtenha a área das figuras a seguir: a) b) c) Losango 7 m 15 m 4 m 7 m 4 m 10 m d) Trapézio e) Trapézio f) Paralelogramo m 10m 5 m 8m 4m 7 m 10 m 11) Obtenha a área de um retângulo cujo perímetro vale 80cm e um lado mede o triplo do outro. 1) Obtenha o perímetro de um quadrado cuja área mede 81cm. 1) Obtenha a área de um losango cujas diagonais medem 10cm e 1cm. 14) Obtenha a área de um trapézio de lados paralelos medindo 10cm e 0cm e cuja distância entre eles mede 8cm. 15) Obtenha a área dos quadrados abaixo sendo indicada uma diagonal de cada um deles: a) b) 5 m 10m 5

6 16) Obtenha a área dos retângulos abaixo sendo indicado uma diagonal de cada um deles: a) b) 5m 1m 4m 10m 17) Obtenha as áreas dos losangos conforme as medidas indicadas: a) b) 10m 10m 6m 6m 10m 16 m 10m 6m 6m 18) Obtenha a área de cada trapézio a seguir conforme as medidas indicadas a) b) 1m 5m 15m 10m 10m 17m 8m 19) Obtenha a área dos quadriláteros sombreados a seguir: a) b) m 1m 1m m m 1m 1m m 0) Obtenha a medida: a) da área de um retângulo onde a medida de uma diagonal é 0 cm e um dos lados mede 1cm. b) da área de um quadrado cuja diagonal mede 6cm. c) do perímetro de um retângulo sabendo que seus lados são proporcionais a e 4 e ele é equivalente a um quadrado que possui uma diagonal com 6 6 cm de medida. 1) Calcule a área de um losango: a) cujo perímetro mede 0cm e uma das diagonais mede 6cm. b) cujo perímetro mede 8m e uma dos ângulos mede 10 o. ) Calcule a área de um trapézio isósceles, cujas bases medem, respectivamente, 14m e 6m e o seu perímetro 0m. 6

7 PARTE C Polígonos Regulares ) Calcule a área de um hexágono regular: a) cujo lado mede 10cm. b) cujo lado mede 5cm. c) cuja medida de uma das diagonais maiores é 4cm. d) cuja medida de uma das diagonais menores é 6 cm. 4) Calcule a área de um octógono regular inscrito em uma circunferência de raio 10cm. 5) Calcule a área de um dodecágono regular inscrito em uma circunferência de raio 10cm. PARTE D Círculo e suas Partes 6) Uma circunferência tem raio r, comprimento C e, área A para o círculo correspondente. Determine: a) C e A dado r 5 cm ; b) C e A dado r 10 cm ; c) C e A dado r cm ; d) r e A dado C 6 cm ; e) r e A dado C 14 cm ; f) r e A dado C 10 cm ; g) r e C dada i) r e C dada A 16 cm ; h) r e C dada A 5 cm ; j) r e C dada A 6 cm ; A 1 cm. 7) As circunferências abaixo têm raio igual a 10 cm. Determine as áreas das partes sombreadas, conforme cada caso: a) b) Ângulo do setor: 0 O c) Ângulo do setor: 10 O 8) Calcule a área de uma coroa determinada por duas circunferências de raios 15 cm e 1 cm. 9) Dada uma circunferência de comprimento igual a 16 π cm: a) Calcule a área do círculo correspondente. b) Calcule a área do setor circular com ângulo de o 90. 0) Dada uma circunferência de comprimento igual a 1 π cm: a) Calcule a área do círculo correspondente. b) Calcule a área do setor circular com ângulo de o 60. 7

8 Grama 1) Dado um círculo de área igual a 16 π cm : a) Calcule o comprimento da circunferência correspondente. b) Calcule a área do setor circular com ângulo de o 45. ) Calcular as áreas da partes sombreadas conforme as figuras abaixo: a) b) c) m m m m Quadrado de lado 8cm Quadrado de lado 6cm ) Na figura a seguir temos um quadrado de lado 4m com quatro circunferências internas tangentes, cada uma, a dois lados do quadrado e a duas circunferências. Calcule a área pintada de preto. 4) A área do setor indicado a seguir mede 5 π cm. Determine o raio da circunferência. 5) Um jardineiro deseja plantar grama em torno de um chafariz de tal forma que a grama preencha uma coroa circular conforme mostrado na figura. Determine quanto custará a grama necessária para o plantio sabendo que d 4m, D 10m e que 1m de grama custa R$10,00. (considere, 14 ) Grama Grama Chafariz Grama d D 8

9 6) Deseja-se plantar grama em um campo de futebol que tem as dimensões indicadas abaixo. As gramas utilizadas serão de dos tipos A e B. A grama tipo A será plantada na região das grandes áreas (junto às traves) e no círculo central. A grama tipo B será plantada no restante do campo. Sabendo que a grama tipo A custa R$10,00 o metro quadrado e, a grama tipo B, custa R$8,00 o metro quadrado, pergunta-se: a) Qual o valor aproximado a ser gasto com a grama tipo A? (considere, 14) b) Qual o valor aproximado a ser gasto com a grama tipo B? (considere, 14) 40m 8m 10m 6m 90m 7) Na figura a seguir temos três círculos tangentes. Sabendo que os diâmetros, medem 1m, 8m e 4m, respectivamente, calcule a área pintada de preto. 8) Uma pista de atletismo foi construída com o formato e as dimensões dadas na figura. 00 m Parte Interna 00 m 400 m Considerando, 14, determine o valor aproximado, da: a) área da parte interna da pista. b) área da parte destinada para corrida. 9) Sabendo que o raio da circunferência indicada mede 5 cm, e que a figura circunscrita é um quadrado, determine a área da parte sombreada. 9

10 40) Determine a área da figura a seguir sabendo que está inscrita num quadrado de lado cm e que as semi circunferências que a determinou têm centro nos pontos médios dos lados do quadrado. 41) Uma casa cuja planta tem o formato de um quadrado está construída em um terreno gramado e plano. Numa extremidade da casa (vértice do quadrado) é amarrada uma cabra a uma corda flexível e inextensível. A cabra comerá toda grama que estiver ao seu alcance. Considerando a casa com a área de 100m : a) Desenhe e calcule a área da região de grama que a cabra comerá se a corda tiver 5m de comprimento. b) Desenhe e calcule a área da região de grama que a cabra comerá se a corda tiver 15m de comprimento. Corda Casa Gramado 4) Sabemos que para o cálculo da área da superfície total de uma lata, no formato de um cilindro circular reto, de raio da base R e altura H, podemos planificá-la como mostra a figura abaixo, obtendo então dois círculos (tampa e fundo da lata) e um retângulo (lateral da lata), cujas dimensões estão indicadas. Calcule a área superfície total de uma lata com raio da base R=10cm e altura H=0cm considerando, 14. R R pr H H H R pr R 10

11 4) Para o cálculo da área do setor circular com ângulo α num círculo de raio R podemos estabelecer α uma regra de três relacionando área e ângulo ou, utilizar a fórmula Asetor π R obtida por o 60 meio da mesma regra de três. o a) Para um círculo de raio R = 6cm calcule a área do setor circular com ângulo α 45. b) Para um círculo de raio R = 6cm e setor circular com área π cm calcule a medida do ângulo α. 44) Calcular a área da parte sombreada sabendo que mede cm o lado do triângulo eqüilátero inscrito no círculo. PARTE E Vestibulares Exercícios Gerais 45) (UNICAMP 014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a),0 m b),0 m c) 1,5 m d),5 m. 46) (PUCRJ 01) Um show de rock foi realizado em um terreno retangular de lados 10m e 60m. Sabendo que havia, em média, um banheiro por cada 100 metros quadrados, havia no show: a) 0 banheiros b) 6 banheiros c) 60 banheiros d) 7 banheiros e) 10 banheiros 47) (PUCRJ 01) De uma folha de papelão de lados de medidas e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) Determine o volume da caixa formada. 48) (ENEM 01) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 0% nas dimensões lineares de uma peça. (Disponível em: Acesso em: mar. 01.) 11

12 Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 0 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 0%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4% b) 0% c) 6% d) 64% e) 96% 49) (PUCRJ 01) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação vértices no eixo x, como na figura abaixo. x 11 y x 6 6 e dois Sabendo que D = (,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. 50) (UERJ 014) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DAE ˆ 45 e BAC ˆ 0, conforme ilustrado a seguir: Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 1,7, a área, em cm, do triângulo CAE equivale a: a) 80 b) 100 c) 140 d) ) (UERJ 01) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. 1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente: 1

13 . Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. A área construída da bandeirinha APBCD, em cm, é igual a: a) 5 4 b) 5 6 c) 50 d) 50 5) (ENEM 01) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: a) N 9 b) N 6 c) N d) N e) 9N 5) (UPE 014) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em centímetros, por números naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área do triângulo UPE? a) 15 cm b) 5 cm c) 15 cm d) 150 cm e) 00 cm 54) (FUVEST 014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 5 metros. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) m b) m c).000 m d).00 m e).400 m 1

14 55) (INSPER 01) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento l, é possível determinar diferentes triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala. Se a área do triângulo T 1 é o triplo da área do triângulo T, então o valor de cosθ é igual a a) 1. 6 b) 1. c). d) 1. e) ) A figura abaixo representa uma peça de vidro recortada de um retângulo de dimensões 1 cm por 5 cm. O lado menor do triângulo extraído mede 5 cm. A área da peça é igual a a) 40 cm b) 50 cm c) 60 cm d) 70 cm e) 80 cm 57) (G1 - UTFPR 01) Seja α a circunferência que passa pelo ponto B com centro no ponto C e β a circunferência que passa pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a figura dada. A medida do segmento AB é igual à medida do segmento BC e o comprimento da circunferência α mede 1 π cm. Então a área do anel delimitado pelas circunferências α e β (região escura) é, em cm, igual a: a) 108 π. b) 144 π. c) 7 π. d) 6 π. e) 4 π. 58) (ESPM 014) Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 18m de largura numa extensão de 1,5km. Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 pessoas por m, podemos estimar que o número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente: a) 70 mil b) 60 mil c) 40 mil d) 0 mil e) 50 mil 14

15 59) (G1 - IFSP 014) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de m de largura e possui uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 0 m, conforme a figura. Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a a) 148 b) 15 c) 156 d) 160 e) ) (UPE 014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono. Considere: π e 1,7 Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada? a),0 cm b),0 cm c) 7, cm d) 8,0 cm e) 10, cm 61) (IBMECRJ 01) Uma emissora de TV, em parceria com uma empresa de alimentos, criou um programa de perguntas e respostas chamado UM MILHÃO NA MESA. Nele, o apresentador faz perguntas sobre temas escolhidos pelos participantes. O prêmio máximo é de R$ ,00 que fica, inicialmente, sobre uma mesa, distribuído em 50 pacotes com cédulas de R$ 0,00 cada um. Cada cédula de R$ 0,00 é um retângulo de 14cm de base por 6,5cm de altura. Colocando todas as cédulas uma ao lado da outra, teríamos uma superfície de: a) 415m b) 40m c) 45m d) 455m e) 475m 15

16 6) (UEL 01) Observe a simetria do corpo humano na figura acima e considere um quadrado inscrito em um círculo de raio R, conforme a figura a seguir. A área da região sombreada é dada por: R ( π ) a) A R ( π ) b) A c) R ( π 4) A d) R ( π ) A e) 4 R ( π ) A 4 6) (UNICAMP 01) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo. Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por Sφ e T φ, podemos afirmar que a razão Sφ T φ, quando φ π radianos, é a) π. b) π. c) π. d) π 4. 16

17 64) (ESPM 01) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão contidos os quadrados A, B e C. A medida x pode variar entre,5 cm e 7 cm, fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem. Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do polígono P pode ter é igual a: a) 18 cm b) 15 cm c) 17 cm d) 19 cm e) 16 cm 65) (INSPER 014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como Octógonos. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um Octógono decompondoo, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do Octógono. Se a área desse quadrado é S, então a área do Octógono vale a) S( 1). b) S( ). c) S( 1). d) S( ). e) 4S( 1). 66) (UERJ 01) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e, e a lateral menor do terreno A mede 0 m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 17

18 67) (UFRGS 01) Na figura abaixo, os triângulos retângulos são congruentes e possuem catetos com medidas a e b. A área da região sombreada é a) ab. b) a b. c) a ab b. d) a ab b. e) a b. 68) (UECE 014) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a medida da área do palco, em m, é a) 80 b) 90 c) 108 d) ) (UFG 01) Alguns agricultores relataram que, inexplicavelmente, suas plantações apareceram parcialmente queimadas e a região consumida pelo fogo tinha o padrão indicado na figura a seguir, correspondendo às regiões internas de três círculos, mutuamente tangentes, cujos centros são os vértices de um triângulo com lados medindo 0, 40 e 50 metros. Nas condições apresentadas, a área da região queimada, em m, é igual a: a) 1100π b) 100π c) 100π d) 1400π e) 1550π 70) (INSPER 014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB b e AD h, que foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH. suur suur As retas EF, BD suur x e GH são paralelas. Dessa forma, sendo AE x e AF y, a razão b é igual a a). b). c). d) 6. 4 e) 6. 18

19 71) (INSPER 01) Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a figura abaixo (ilustrativa). Ela deseja que: as medidas s e t sejam diferentes; a área da piscina seja 50 m ; a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear; a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear. Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi construída uma saída de água que fica a uma distância de m da borda de medida t e a 7 m da borda de medida s. Para que a terceira borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser aproximadamente igual a a) 10,00 m b) 1, m c) 16,67 m d) 0,00 m e), m 7) (UPE 01) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um paralelogramo, como mostra a figura abaixo: Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede 4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo? a) 1 cm b) 16 cm c) 4 cm d) cm e) 6 cm 7) (G1 - CFTRJ 01) Em uma parede retangular de 1m de comprimento, coloca-se um portão quadrado, deixando-se m à esquerda e 6m à direita. A área da parede ao redor do portão é 9m (figura abaixo). Qual é a altura da parede? a) m b),9m c) 4m d) 5m 19

20 74) (UFRGS 01) Observe a figura abaixo. No quadrado ABCD de lado, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é π π π a). b) 4. c) π. d) 4 π. e). 4 75) (UEPB 01) Sabendo que a área do triângulo acutângulo indicado na figura é 100 cm, o ângulo β é: a) 6 π b) 4 π c) π d) 8 π e) 5 π 76) (UNICAMP 01) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas: AB 0, BC 15 e AC 10. a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H. b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC. 77) (FUVEST 01) 0

21 Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A, B, C e D, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA, BB, CC e DD. Dado que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB C ; c) quadrilátero A B C D. 78) (UFG 01) O limpador traseiro de um carro percorre um ângulo máximo de 15, como ilustra a figura a seguir. Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos quais 40 cm corresponde à palheta de borracha, determine a área da região varrida por essa palheta. Dado: π,14 79) (FUVEST 014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo AOB, ˆ pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 0,49, tg 15 0,679 tg 0 0,640, tg 8 0,517 a) 14 θ 8 b)15 θ 60 c) 0 θ 90 d) 5 θ 10 e) 0 θ ) (G1 CFTMG 014) A figura 1 é uma representação plana da Rosa dos Ventos, composta pela justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura. Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm, é igual a a) 1 b) 18 c) d) 4 81) (G1 - IFCE 014) O plantio da grama de um campo de futebol retangular foi dividido entre três empresas. A primeira empresa ficou responsável por 4 da área total, a segunda empresa ficou 7 responsável por 10 da área total e a última empresa pelos 900 m restantes. Sabendo--se que o comprimento do campo mede 100 m, sua largura é a) 66 m b) 68 m c) 70 m d) 7 m e) 74 m 1

22 8) (G1 - EPCAR (CPCAR) 01) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular de lado a e AB BC CD DE EA são arcos de circunferência cujo raio mede a. Assim, a área hachurada nessa figura, em função de a, é igual a a) 5a π b) 5a π a c) 4π 5 d) a 4π 5 8) (G1 - CFTMG 014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 5m. Sabendo-se que o metro linear da grade custa R$,5 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro linear de grade instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de a) 40,5 b) 450,00 c) 500,00 d) 506,75 84) (G1 - CPS 014) A Jornada Mundial da Juventude (JMJ) aconteceu no Rio de Janeiro, em julho de 01, e atraiu visitantes do Brasil e de vários outros países. Segundo a Prefeitura do Rio,, milhões de pessoas compareceram à cerimônia de encerramento da JMJ, que ocorreu na Praia de Copacabana. (folha.uol.com.br/poder/01/07/11807-calculo-oficial-de--milhoes-de-pessoasem-copacabana-esuperestimado-diz-datafolha.shtml Acesso em: Adaptado) A área da superfície ocupada pelas pessoas que compareceram à cerimônia de encerramento da JMJ equivale à área da superfície de cerca de N campos de futebol do estádio do Maracanã. Sabendo-se que o campo de futebol do Maracanã tem forma retangular com dimensões de 105 metros por 68 metros e adotando-se que, em uma concentração de grande porte como essa, um metro quadrado é ocupado por 4 pessoas, em média; então, considerando os dados apresentados, o número inteiro positivo mais próximo de N será a) 45 b) 57 c) 11 d) 16 e) ) (G1 - UTFPR 014) A área do círculo, em cm, cuja circunferência mede 10π cm, é: a) 10 π. b) 6 π. c) 64 π. d) 50 π. e) 5 π. 87) (UFRGS 01) Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em vértices opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo. 4 Se a medida do lado do quadrado é, então a área do triângulo ABC mede a). b) 6 4. c) 1 4. d). π e) π 6 4.

23 88) (G1 - CFTMG 01) Um triângulo equilátero ABC de lado 1 cm está dividido em quatro partes de bases paralelas e com a mesma altura, como representado na figura abaixo. A parte I tem a forma de um trapézio isósceles, cuja área, em cm, é a). 16 b) 5. c) d) ) (INSPER 014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará XY a) X Y %. 100 X Y b) XY %. 100 X Y XY c) %. 100 d) (X Y)%. e) (XY)%. 90) (IBMECRJ 01) O mosaico da figura adiante foi desenhado em papel quadriculado 1 1. A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a a) 1. b) 1. c). 5 d) 5. 7 e) ) (UFSC 014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura. Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo ABC é igual a 7 cm, determine a medida do raio desta circunferência em centímetros.

24 9) (G1 - IFCE 014) Um terreno retangular mede 70 m de área, cujo comprimento está para sua largura, assim como 6 está para 5. A sua largura e o seu comprimento são, respectivamente, a) 18m e 16m b) 19m e 17m c) 18m e 15m d) 17m e 14m e) 0 m e 18 m 9) (ENEM - PPL 01) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 1,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura: Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem,5 m. O valor em m mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é (Aproxime para 1,7 e π para.) a) 0 b) 4 c) 50 d) 61 e) 69 94) (UFG 01) Uma chapa retangular com 170 cm de área é perfurada, por etapas, com furos triangulares, equiláteros, com 1 cm de lado, como indica a figura a seguir. O número de furos acrescentados em cada etapa, a partir da segunda, é sempre o mesmo e não há interseção entre os furos. O porcentual da chapa original que restará na etapa 14 é, aproximadamente, Dado: 1,7 a) 10% b) 0% c) 70% d) 80% e) 90% 95) (UEA 014) Admita que a área desmatada em Altamira, mostrada na fotografia, tenha a forma e as dimensões indicadas na figura. Usando a aproximação 1,7, pode-se afirmar que a área desmatada, em quilômetros quadrados, é, aproximadamente, a) 10,8 b) 1, c) 1, d) 11, e) 15,4 4

25 96) (ESPM 014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área 4cm. M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente. A área do polígono AMND é igual a: a) 0 cm b) 16 cm c) 1 cm d) 15 cm e) 18 cm 97) (UERJ 015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro R, conforme ilustra a imagem. A área do setor equivale a: a) R b) R 4 c) R d) R 98) (ACAFE 014) Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado é 8cm, então, a área da parte hachurada, em cm, é igual a: a) 4π. b) 8π 4. c) 8π. d) π ) (UEMG 01) Para a construção de uma caixa sem tampa, foi utilizado um pedaço retangular de papelão com dimensões de 5 cm de comprimento por 0 cm de largura. De cada um dos quatro cantos desse retângulo, foram retirados quadrados idênticos, de lados iguais a 5 cm de comprimento. Em seguida, as abas resultantes foram dobradas e coladas. Para revestir apenas a parte externa da caixa construída, foram necessários a) 600 cm de revestimento b) 615 cm de revestimento c) 65 cm de revestimento d) 610 cm de revestimento 100) (CEFET-MG 01) Na figura seguinte, representou-se um quarto de circunferência de centro O e raio igual a. 5

26 Se a medida do arco AB é 0, então, a área do triângulo ACD, em unidades de área, é a). b). c). d). e) ) (FGV 014) Em certa região do litoral paulista, o preço do metro quadrado de terreno é R$400,00. O Sr. Joaquim possui um terreno retangular com 78 metros de perímetro, sendo que a diferença entre a medida do lado maior e a do menor é metros. O valor do terreno do Sr. Joaquim é: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 10) (PUCRS 014) A área ocupada pela arena do Grêmio, no bairro Humaitá, em Porto Alegre, é de m, e o gramado do campo de futebol propriamente dito tem dimensões de 105m por 68m. A área de terreno que excede à do campo é, aproximadamente, de m. a) 7000 b) c) d) e) ) (G1 - CFTMG 014) Um jardim geométrico foi construído, usando a área dividida em regiões, conforme a figura seguinte. Sabe-se que: - AOB representa o setor circular de raio m com centro no ponto O. - CDEF é um quadrado de área 1 m. π - a área da região II é igual a m. - a região IV é reservada para o plantio de flores. A área, em m, reservada para o plantio de flores é π π a). b). c) π. d) π. 104) (UFG 014) Na figura a seguir, as circunferências C 1, C, C e C 4, de centros O 1, O, O e O 4, respectivamente, e mesmo raio r, são tangentes entre si e todas são tangentes à circunferência C de centro O e raio R. Considerando o exposto, calcule em função de R, a área do losango cujos vértices são os centros O 1, O, O e O 4. 6

27 105) (MACKENZIE 01) Um arame de 6 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas constroem-se um triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes maior que a área do triângulo, podemos concluir que o lado desse triângulo mede a) 5 m b) 7 m c) 9 m d) 11 m e) 1 m 106) (UFRGS 014) A figura abaixo é formada por oito semicircunferências, cada uma com centro nos pontos médios dos lados de um octógono regular de lado. A área da região sombreada é a) 4π 8 8. b) 4π 8 4. c) 4π 4 8. d) 4π 4 4. e) 4π ) (G1 - CFTRJ 014) Se ABC é um triângulo tal que AB = cm e BC = 4cm, podemos afirmar que a sua área, em cm, é um número: a) no máximo igual a 9 b) no máximo igual a 8 c) no máximo igual a 7 d) no máximo igual a 6 108) (UFMG 01) Um quadrado Q tem área igual à área de n quadrados de área unitária de 1cm, mais a área de um quadrado K. Considerando essas informações, responda às questões abaixo em seus contextos. a) Suponha que n 19 e que a área do quadrado Q é de 100 cm. CALCULE a medida do lado do quadrado K. b) Suponha que o lado do quadrado K mede 8 cm e que n 57. CALCULE a medida do lado do quadrado Q. 109) (UPF 014) A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f(x) x e g(x) x. Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 160, o número real c é: a) b) 1,5 c) d) 1 e) 0,5 110) (UNIOESTE 01) Uma empresa de cerâmica desenvolveu uma nova peça (de cerâmica) para revestimento de pisos. A peça tem formato de hexágono não regular na forma do desenho da figura. Na figura, os segmentos AB e DC são paralelos entre si, bem como os segmentos AF e DE e os segmentos BC e EF. Também o ângulo BAF mede 90 e o ângulo DEF mede 45. A empresa fabrica esta peça com todos os lados de mesma medida l. A área desta peça, em função do lado l, é 7

28 a) l. b) l. c) 6 l. d) l. e) l. 111) (INSPER 01) Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a figura abaixo (ilustrativa). Ela deseja que: as medidas s e t sejam diferentes; a área da piscina seja 50 m ; a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear; a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear. Para ajudar Suzana a minimizar seus custos com revestimento, seu sobrinho, estudante de 4800 Administração, montou o gráfico abaixo, que representa a função C(t) 75t. t O valor de s para que esse custo seja mínimo é a) 10,5m b) 11,0m c) 11,5m d) 1,0m e) 1,5m 8

29 11) (FGV 014) Um triângulo ABC é retângulo em A. Sabendo que BC 5 e ABC $ 0, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é: a),05 b),15 c),5 d),5 e),45 11) (PUCRJ 014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na figura abaixo. a) Calcule o ângulo µ AOB. b) Calcule a área da região hachurada. c) Calcule a área do triângulo ABC. 114) (FGV 014) A figura mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, de medida R, é uma corda de outro semicírculo de diâmetro R e centro O. a) Calcule o perímetro da parte sombreada. b) Calcule a área da parte sombreada. 115) (IFSC 014) Ao fazer uma figura, através da técnica de Kirigami (arte tradicional japonesa de recorte com papel, criando representações de determinados seres ou objetos), uma pessoa precisou recortar uma folha A4 no formato da figura a seguir (um triângulo retângulo e três quadrados formados a partir dos lados do triângulo). Sabe-se que a soma das áreas dos três quadrados é 18 cm. Em relação aos dados acima, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). 01) A área do quadrado é 8 cm. 0) Com as informações dadas, podemos determinar os valores dos lados dos quadrados 1 e. 04) A soma das áreas dos quadrados 1 e é 9 cm. 08) O lado do quadrado vale cm. 16) Os lados dos três quadrados apresentados estão relacionados pelo teorema de Pitágoras. 9

30 116) (PUCRJ 014) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 15 m e o lado AE medindo 6 m, A distância entre A e B é 7 m. Fabio quer construir uma cerca do ponto A ao ponto D passando por B. Veja a figura abaixo. a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100 reais o metro e a cerca entre os pontos B e D custa 00 reais o metro, qual o custo total da cerca? b) Calcule a área da região hachurada ABDE. c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura abaixo. Sabendo-se que o triângulo BB D possui cateto BB BC, calcule a área do triângulo BB D. 117) (UEMA 014) Analise a situação a seguir: Um arquiteto foi contratado para decorar a entrada de um templo religioso, no formato de um triângulo equilátero, com uma porta de madeira, cujas dimensões medem 1,05m por,5m, inserida neste triângulo. Sabe-se ainda que a altura do triângulo mede 4,5m e que a área da porta não receberá decoração. A área, em metros quadrados, a ser decorada é igual a (use 1,7). a) 10,0 b) 9,5 c) 8,5 d) 8,0 e) 7,0 118) Um quadrado e um losango têm o mesmo perímetro. Determinar a razão entre a área do quadrado e do losango sabendo que as diagonais do losango estão entre si como 5 e que a diferença entre elas é igual a 40 cm. 119) Determine a área de um quadrado cujo lado é igual ao lado de um octógono regular inscrito em um círculo cujo raio mede 1 m. 10) Determine a área de um triângulo eqüilátero: a) em função do raio R da circunferência circunscrita a esse triângulo; b) em função do raio r da circunferência inscrita nesse triângulo. 11) Determine o perímetro de um triângulo retângulo sabendo que sua área é igual a 9cm e que a hipotenusa é o dobro da altura relativa a ela. 0

31 PARTE A Triângulos 1) a) f) 1m b) 0 m g) 80m c) 5 m h) 60m d) 6 6m i) 10m e) 1 5m 15 m ) 0cm ) 6) a) 8) a) 5 m b) 4 m b) 9 cm 4) 100 m m 1m 5) 7) a) 48cm 1m b) ) a) 0 cm b) cm 11 PARTE B Quadriláteros m 0 c) cm 10) a) 11) 60 m b) 49m c) 0m d) 00cm 1) 6m 1) 5m e) 60cm 14) 10m f) 10cm 40m 15) a) 5m b) 50m 16) a) 60m b) 8 1m 17) a) 19) a) 96m b) 0m 18 m 18) a) 1 b) 4 5 cm 6 0) a) 99m b) 10m 19 cm b) 18 cm c) 4cm 1) a) 4cm b) m ) 0 m PARTE C Polígonos Regulares ) a) 4) 150 cm b) 75 cm 00 cm 5) 00cm c) 6 cm d) 54 cm PARTE D (Círculo e suas partes) 6) a) C 10 cm e A 5 cm b) C 0 cm e A 100 cm c) C cm e A cm d) r cm e A 9 cm e) r 7 cm e A 49 cm f) r 5 cm e A 50 cm g) r 4 cm e C 8 cm h) r 6 cm e C 1 cm i) r 5 cm e C 5 cm j) r cm e C 4 cm 1

32 ) a) A 75 cm b) A cm c) A cm 9 8) A 81 cm 9) a) A 64 cm b) A 16 cm 0) a) A 6 cm b) A 6 cm 1) a) C 8 cm b) A cm ) a) A cm b) 9 18cm ) A c) A 4 cm A 16 4 m 4) r 10 cm 5) R $.67, 60 6) a) R $1.70, 40 b) R $ 7.48, 08 7) 8) a) A m b) A 8 m A m 9) A 5 m A m 41) a) 40) 75 4 A m b) A 75 m 4 4) A.51 cm 4) a) 9 A cm b) o 0 44) 4 A cm PARTE E Vestibulares Exercícios Gerais 45) Alternativa C. Sejam x, x r e x r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x r. Logo, os lados do triângulo medem r, 4r e 5r. Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem Portanto, a área do triângulo é igual a 1 r 4r 5r 6 r. r 4r 1 6 1,5 m. 46) Alternativa D. 700 Como a área do terreno mede m, segue que havia no show banheiros. 47) Soluções: a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é [( 6) (14 6)] 8 74 u.c. Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também mede 74 u.c. b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por u.a. c) A caixa formada tem dimensões Portanto, seu volume é igual a u.v.

33 48) Alternativa C Sendo de 0% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por 1 0,8 1 0,64 0,6 6%. 49) Soluções: a) Sabendo que D (, 0), vem xa xd. Além disso, como A pertence à parábola, temos y f(x ) A A b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que yb ya 1. Assim, e, portanto, C (8, 0). C x 11 x C 1 x C 11x C x 8 c) A área do retângulo ABCD é dada por (x x ) f(x ) (8 ) 1 5 u.a. 50) Alternativa C Do triângulo ABC, obtemos C D A senbac µ BC BC cm AC e cosbac µ AB AB 40 4 cm. AC Além disso, como DAE µ 45, segue que AD DE BC 0cm. Portanto, a área do triângulo ACE é dada por (ACE) (ADC) (ADE) 51) Alternativa B. C cm.

34 Portanto, a área da bandeirinha será: h 5 10 h h 75 h 5 cm 10.5 A (6 )cm 5) Alternativa A Seja S' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como S N y, S' X 9y e S ' S, temos N X 9y N y X. 9 5) Alternativa D Sejam l, l 5 e l 10 as medidas dos lados do triângulo UPE. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, vem 15 0 Logo, o resultado pedido é 150cm. ( l 10) l ( l 5) l 0l 100 l l 10l 5 l 10l 75 0 l 15cm. 54) Alternativa A Seja l a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos 5 l 5 tg0 m. Desse modo, a área da piscina é dada por l ,8 m e, portanto, m é o valor que mais se aproxima da área da piscina. 55) Alternativa A 1 A área de T 1 é dada por sen, l enquanto que a área de 1 T é igual a sen. l Logo, sabendo que a área de T 1 é o triplo da área de T, vem 1 1 l sen l sen sen sen cos 1 cos. 6 4

35 56) Alternativa D. Considere a figura. Sabendo que BE 5 cm, DE 1cm e CE 5cm, obtemos (ABCD) (ABED) (CDE) CE DE BE DE cm. 57) Alternativa A Logo a área será CB AB x πx 1π x 6 A π.(1 6 ) 108π 58) Alternativa C O resultado pedido é dado pelo produto da área da avenida pela taxa de ocupação, ou seja, , ) Alternativa C. Dimensões da praça: Portanto, sua área total será m. Área da parte interna será m. Logo, a área da calçada será m. 60) Alternativa C. O resultado pedido é dado por = 19m = 4m π 1 6 1,7 7,cm. 61) Alternativa D Temos cédulas. Logo, a área da superfície ocupada por essas cédulas é dada por 5

36 , cm 455 m. 6) Alternativa B Sabendo que o lado do quadrado é igual R, segue que a área da região sombreada é dada por 6) Alternativa A. 1 R ( p ) [ pr (R ) ]. Sejam φ π 90, R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles. x x R x.r 1 π R S( φ) π R π R T( φ) 1 x x x R π 64) Alternativa A Considere a figura. A área do polígono P é dada por (ABCDEG) (ABFG) (CDEF) AG FG CF EF (x 1) (7 x) (8 x) (x 8) (x 10x 19) [(x 5) 5 19] 18 (x 5). Portanto, a área do polígono P é máxima para x 5, e seu valor é 18cm. 6

37 65) Alternativa C Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 15, segue-se que os quatro triângulos, resultantes da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a a. Logo, como a área do quadrado destacado no centro do octógono é S a, tem-se que o resultado pedido é 1 a a a 4 a S a a S S S S( 1). 66) Sejam h A e h B, respectivamente, as alturas dos trapézios A e B. Como A e B são trapézios, e as frentes dos terrenos têm o mesmo comprimento, segue que a lateral maior do terreno A (ou lateral menor do terreno B) é a base média do trapézio maior formado por A e B. Daí, ha hb h e, portanto, x 0 0 h 1 x 60 1 x 0 x 0 x h x 100 m. 67) Alternativa D A área da região sombreada corresponde à área do quadrado de lado a b, ou seja, 68) Alternativa C (a b) a ab b. Considerando h a medida da altura do trapézio e A a medida de sua área, temos: h 1 15 h 9m. (15 9) 9 A 108m 7

38 69) Alternativa D Na figura A, B e C são centros das circunferências de raios x, y e z respectivamente. De acordo com as informações do enunciado, temos: x z 50 (I) x y 40 (II) y z 0 (III) Fazendo (I) (II) (III), temos y 0, logo: y 10, x 0 e z 0 Portanto, a área pedida será dada por: A π.x π.y π.z A π.( ) A 1400π 70) Alternativa E Seja (AEF) S. Pela simetria da figura, temos (EBDF) (BDHG) S. Além disso, os triângulos AEF e ABD são semelhantes por AA. Portanto, como (ABD) (AEF) (EBDF) S, tem-se (AEF) x S x (ABD) b S b que é o resultado pedido. x 6, b 71) Alternativa E. Considere a figura. 8

39 Sabendo que BE DF 7 m e BF DE m, segue que AE t 7 e CF s. Logo, como os triângulos AED e DFC são semelhantes, vem CF DF s 7 DE AE t 7 t s. t 7 Além disso, como a área da piscina é 50 m e s t, encontramos 7) Alternativa E Considere a figura, com CF DE 8cm. t s t 100 t 100 t 7 t 100t t,. Como BF é hipotenusa do triângulo retângulo BCF, segue que BF CF 8cm. Logo, AB 4,5cm e a área pedida é dada por AB CF 4,5 8 6 cm. 7) Alternativa C h = altura da parede. L = medida do lado do portão (L = 1 6 = m) A = área total (parede ao redor do portão + portão). A 1 = área da parede ao redor do portão. A = área do portão; Considerando os dados acima, escrevemos: A = A 1 + A 1.h = 9 + Portanto, a altura da parede é de 4m. 74) Alternativa E Considere a figura. 1h = 48 h= 4m 9

40 Traçando EG P AD e FH P AB, dividimos o quadrado ABCD em quatro quadrados de lado 1. Assim, a área da região sombreada corresponde à diferença entre o triplo da área do quadrado PFCG, e a área do semicírculo de raio 1, ou seja, π 1 π 1. 75) Alternativa C A área do triângulo é tal que senβ 100 sen β. π Portanto, como o triângulo é acutângulo, segue que β rad. 76) Soluções: a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales: H h b) H é a altura relativa ao lado AC. Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos: p = ( )/ = 45/ A A A A 4 AC.H H H 4 40

41 77) Soluções: a) A = 4 = 1. b) No triângulo ADE, sen θ. x Logo, a área do triângulo BB C será dada por: 1 1 A x 4 senθ x 4 1. x c) Considerando que senθ sen(180 θ). x S(A B C D ) = S(A DD ) + S(AA B ) + S(BB C ) + S(C C D ) + S(ABCD) S(A B C D ) = 1.x.4.sen( θ) 1..4x.sen(180 θ) 1.x.4.sen( θ) 1..4x.sen(180 θ) 1 S(A B C D ) = S(A B C D ) = 60 78) 15 π(50 (50 40) ) A 900π 900,14 86cm 60 79) Alternativa E Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB. 41

42 Do triângulo retângulo OMB, obtemos µ BM AB tgmob MO. MO θ tg Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1. Assim, AB MO 1 (AOB). θ 4 tg A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se 1 (ABCD) (AOB) 1 θ 4 tg θ 1 tg 0,5. 4 Logo, como tg15 0,679 0,5 e 0 θ 180, vem que 0 θ 180. Note que ]0, 150 [ ]0, 180 [. 80) Alternativa D A área pedida é dada por cm. 81) Alternativa C Seja l a largura do campo. Tem-se que Portanto, m. 70 l l 8) Alternativa A Importante observar que a figura não mostra o círculo circunscrito ao pentágono regular, mas, sim, cinco segmentos circulares, como o da figura abaixo. Tirando a área do triângulo equilátero da área do setor circular, encontra-se a área do segmento circular. Multiplicando este resultado por cinco, tem-se a área pedida. 8) Alternativa C Lado do quadrado: 5m Perímetro do quadrado: = 0m Valor pedido: 0 (,5 1,75) 0 5 R$500,00 a 60 a 5 a AT 5. π π

43 85) Alternativa C N N N 11, Ou seja, N é aproximadamente ) Alternativa E. π r 10πcm, Logo, r = 5 cm. Portanto, sua área será dada por: A π 5 5πcm. 87) Alternativa A É fácil ver que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro dos círculos. Logo, se r é a medida do raio dos círculos, então r r. Daí, segue que AB AC e, portanto, 88) Alternativa C AB AC (ABC) ( ). A(ABCD) = A(BAC) A(BDE) A ABCD ) Alternativa A A área do retângulo, após os acréscimos no comprimento e na largura, é dada por Y X X1 Y Logo, o resultado pedido é Y X X1 Y 1 X Y X Y XY 100% % X Y XY X Y %

44 90) Alternativa A A área do quadrado ABCD é igual a u.a. A figura escura é constituída por 16 losangos de diagonais e Portanto, o resultado é u.a.. Logo, sua área é dada por ) Como os arcos determinados por A, B e C têm mesmo comprimento, segue-se que o triângulo ABC é equilátero. Além disso, sabendo que a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r é dada por r, 4 temos r 7 r 6cm. 4 9) Alternativa C. Considerando os lados do triângulo 6x e 5x, temos a seguinte equação: 5x 6x 70 0 x 70 x 9 x Portanto, os lados do retângulo medem 6 18m e 5 15m. 9) Alternativa D Considere a figura. Do triângulo ACF, vem µ AC µ,5 cos ACF cos ACF CF 5 ACF µ 60. Logo, ECF µ 180 ACF µ 10. Portanto, como os triângulos ACF e BDG são congruentes, bem como os setores ECF e BGH, seguese que a área pedida é dada por 44

45 1 µ AC CF sena CF π CF 5 π , m. 94) Alternativa E Sabendo que o lado dos furos mede 1cm, segue que área de cada furo é dada por 1 17 cm Além disso, o número de furos em cada etapa cresce segundo uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão. Logo, o número de furos na 14ª etapa é igual a Portanto, o percentual pedido é igual a % 90% ) Alternativa C Portanto, a área pedida será: y sen0 y,5 5 x 5 cos0 x 4,5 5 A (1,5 x) 4 xy A (1,5 4,5) 4 4,5,5 A 10,65 1,75km 96) Alternativa D Sendo ABCD um paralelogramo, é imediato que AD BC e AB CD. Como a área de ABCD vale 4cm, tem-se 1 (ABCD) AD CD sen ADC µ AD CD sen ADC µ 4. Além disso, sabemos que ADC µ ABC $ e BCD µ 180 ADC. µ Por conseguinte, o resultado pedido é dado por 45

46 (AMND) (ABCD) (ABM) (MCN) 1 $ 1 4 AB BM sen ABC CM CN senbcd µ 1 AD µ 1 AD CD 4 CD sen ADC sen(180 ADC) µ 1 µ 1 4 AD CD sen ADC AD CD sen ADC µ cm. 97) Alternativa C A área do setor é dada por» R AB R R R. 98) Alternativa C Seja r o raio do círculo. Tem-se que r 8 r 4 cm. Portanto, a área hachurada, em cm, é dada por 1 1 π (4 ) π (4 ) 8 16π 8π ( π ). 99) Alternativa A 100) Alternativa A A cm. A medida do arco BD é 60. E o ângulo DAC mede 0, pois é ângulo inscrito do arco BD. A medida do segmento AD será dada por AD AD 46

47 A área A do triângulo ABC é igual a metade da área de uma triângulo equilátero de lado (ver figura). Logo, 4 A. 101) Alternativa B Sejam a e b as dimensões do terreno, com a b. Logo, (a b) 78 a b 9 a b a b Daí, segue que o valor do terreno do Sr. Joaquim é 61 a m. 17 b m R$ ,00. 10) Alternativa D m 10) Alternativa C Sabendo que (CDEF) 1m, é imediato que CF 1m. Logo, do triângulo OCF, vem µ CF µ 1 sencof sencof OF COF µ 0. Daí, tem-se que AOF µ Portanto, sendo AOF µ COF, µ encontramos π π (AOF) m ) Considere a figura, em que AB é um diâmetro da circunferência de centro O e raio R. Como o triângulo OO1O é retângulo isósceles, segue-se que OO OO4 r. Logo, 47

48 Portanto, como O1O OO 4 é quadrado, temos AB AO OO4 O4B R r r R r 1 r ( 1) R. O1O OO 4 (r) 4 [( 1) R] 4( ) R. 105) Alternativa B Perímetro do triângulo: P = x, onde x é a medida do lado. Perímetro do hexágono: 6 x, onde (1 x)/ é a medida do lado; Considerando que a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, temos a seguinte equação: 1 x 6 6 x 441 4x x 4x x 4x x 14x Resolvendo a equação, temos x = 1 (não convém) ou x = ) Alternativa A Cálculo da área do octógono regular: x x x Portanto, a área A 1 do octógono regular será dada por: Cálculo da área A dos oito semicírculos: Logo, a área da figura será dada por: x A1 x 4 A π 1 A 8 4π A A1 A A 8 8 4π 107) Alternativa D Vamos considerar a a medida do ângulo formado por AB e BC. Temos então a área do triângulo pedida 48

49 1 A 4 senα Que será máxima quando sen a for máximo, ou seja, sen a 1, portanto a área máxima do triângulo será: 1 A máx 4 1 6cm 108) Seja A Q a área do quadrado Q e A K a área do quadrado k, então temos AQ n 1 A K. a) Sendo k o lado do quadrado K, então: 100 = 19 + k k = 81 k = 9 cm b) Seja q o lado do quadrado q, então: q = q = 11 q = 11 cm 109) Alternativa C Temos f(c) c e f(c) 9c, com c 0. Logo, sendo g a função identidade, vem c g(c ) e 9c g(9c ). Portanto, se a área do trapézio T vale 160, então 110) Alternativa B 1 (9c c ) (9c c ) c c. 111) Alternativa E. Sabendo que a área da piscina mede 50 m, vem 1 A 4 AΔ DEF 4 l sen45 l. s t 50 s t 100. Do gráfico, temos que o valor de t para o qual o custo da borda de medida t é mínimo é 8 m. Portanto, o valor de s para o qual o custo total é mínimo vale s s 1,5 m. 49

50 11) Alternativa B. Tem-se que cos ABC $ AB AB 5 u.c. BC Portanto, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é 1 (ABC) AB BC sen ABC $ ,15 u.a. 11) a) Sendo Δ ABC equilátero, os vértices A, B e C dividem a circunferência em três arcos congruentes de medida igual a b) Sabendo que o lado l de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de raio r, é dado por l r, segue-se que AB 1 u.c. Portanto, a área pedida é igual a c) Do item b), vem 114) a) Considere a figura. 1 ( ) 1 π 1 (4π ) u.a. 4 1 ( ) (ABC) u.a. 4 4 Como AO BO AB R, tem-se que o triângulo ABO é equilátero. Logo, o perímetro da parte sombreada é dado por ACB ¼ ADB ¼ 1 π R 1 π R 6 5πR u.c. 6 b) A área da parte sombreada é igual a 1 R 1 R R 1 π π R π R R π u.a ) Resposta: = 8. A área do quadrado 1 será dada por A b, onde b é a medida do lado desse quadrado. 1 A área do quadrado será dada por A a, onde a é a medida do lado desse quadrado. 50