UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EVILÁSIO JOSÉ DE ARRUDA O NÚMERO DE EULER

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EVILÁSIO JOSÉ DE ARRUDA O NÚMERO DE EULER E OS FUNDAMENTOS DOS NÚMEROS REAIS CUIABÁ/MT 007

2 EVILÁSIO JOSÉ DE ARRUDA O NÚMERO DE EULER E OS FUNDAMENTOS DOS NÚMEROS REAIS Dissertação apresetada ao Programa de Pós- Graduação do Istituto de Educação Uiversidade Federal de Mato Grosso como parte dos requisitos para obteção do título de Mestre em Educação (Área de cocetração: Educação Matemática). Orietador: Prof. Dr. Michael Friederich Otte CUIABÁ/MT 007

3 ii A779 Arruda, Evilásio José de O úmero de Euler e os fudametos dos úmeros reais / Evilásio José de Arruda. Cuiabá: UFMT/IE 007 ii,48 p.: il. Dissertação apresetada ao Programa de Pós-Graduação do Istituto de Educação Uiversidade Federal de Mato Grosso como parte dos requisitos para obteção do titulo de mestre em Educação (Área de cocetração Educação Matemática) Orietador: Michael Friederich Otte Bibliografia: p Ide aeos CDU Ídice para Catálogo Sistemático. Educação Matemática. Número Irracioal 3. Número e.

4 iii PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO EVILÁSIO JOSÉ DE ARRUDA BANCA EXAMINADORA: Prof. Dr. Beedito Atôio da Silva Eamiador Etero (PUC/SP) Profa. Dra. Gladys Deise Wielewski Eamiadora Itera (UFMT) Prof. Dr. Michael Friedrich Otte Orietador (UFMT) Profa. Dra. Marta Maria Poti Darsie Suplete (UFMT)

5 iv DEDICATÓRIA A miha etera esposa/amorada DEBORAH que compartilha, me abriga e me acaleta, pois suas opiiões são sesatas e pertietes. Por seu cariho e sua boa-votade, e por ter lido, relido e cosequetemete me ajudado a revisar cada liha desta Dissertação. Pela sua paciêcia, pela sua beleza, pela sua compreesão, pelo seu amor, amo e amarei você eteramete, EVILÁSIO.

6 v AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por ter me oferecido a oportuidade de cohecer pessoas como o professor Dr. Michael Otte, pois é sicero, coerete e sábio, pelo qual sito apreço e amizade. Agradeço também pelos mometos agradáveis de orietações ecessárias para o desevolvimeto desta Dissertação de Mestrado, pela paciêcia, dispoibilidade e pricipalmete pela oportuidade de me fazer eergar um ovo mudo a costrução de coceitos matemáticos. Agradeço aos membros da Baca eamiadora desta Dissertação de Mestrado Prof. Dr. Beedito Atôio da Silva e a Profa. Dra. Gladys Deise Wielewski, que de uma forma muito competete idicaram camihos que possibilitaram o aprimorameto qualitativo da mesma. Em especial a professora Dra. Gladys Deise Wielewski que esteve o tempo todo ao osso lado os icetivado e particularmete apotado camihos que egradeceram o meu cohecimeto. Agradeço à professora Dr. Luzia A. Palaro que getilmete se dispoibilizou a me ajudar a fase iicial desta Dissertação, sugerido alterações sigificativas. Agradeço à todos os professores do Istituto de Educação pelos mometos de socialização de saberes, pois, isto favoreceu a costrução mais sólida do meu cohecimeto. Agradeço aos meus colegas de Mestrado pelos mometos de troca de eperiêcias e pricipalmete ao Humberto que por várias vezes leu parte desta dissertação sugerido alterações importates. Agradeço ao professor Josué Rosa de Araújo pelos mometos itermiáveis de discussões sobre o setido do esio deste ou daquele tópico os mometos de plaejameto a uidade escolar. Agradeço a miha saudosa mãe Maria da Guia de Arruda e ao meu pai Maoel Egídio de Arruda, que mesmo ão tedo uma formação escolar, sempre me icetivaram e ão permitiram que eu abadoasse os estudos, apesar das dificuldades.

7 vi SUMÁRIO Lista de Figuras...VII Lista de Tabelas...VIII Lista de Gráficos.....IX Lista de Aeos...X Resumo...XI Abstract...XII Itrodução...0 CAPÍTULO I FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS NÚMEROS.... A Biuivocidade etre Potos da Reta e os Números...6. Icomesurabilidade da Diagoal do Quadrado O Algoritmo de Euclides e o Cotíuo a Iterpretação da Icomesurabilidade da Diagoal do Quadrado O Argumeto Discreto Geométrico a Iterpretação da Icomesurabilidade da Diagoal do Quadrado O Argumeto Aalítico O Número Primo 3 e a Irracioalidade da Raiz Quadrada de Dois A Defiição do Cotíuo: O Eemplo do Número de Euler Itervalos Ecaiados Cortes de Dedekid Cotíuo Numérico de Cator Costrução Aiomática dos Números Reais Aiomas da Adição Aiomas da Multiplicação Aioma da Distributividade Aiomas de Ordem Aiomas da Cotiuidade Aioma de Arquimedes Aioma da Completividade...49 CAPÍTULO II DEFINIÇÕES, CONEXÕES E APLICAÇÕES DO NÚMERO DE EULER...5. Defiições do Número de Euler....56

8 vii.. Os Juros Compostos Calculados Cotiuamete e o Número e A Fução f()=e : A Úica que é Igual a sua Derivada As Séries de Potêcias e o Número de Euler Uma Cojectura que Permite Iterpretar a Fução y=e como uma Série Ifiita O Número e a Série de Coli Maclauri A Derivada da Fução Logarítmica e o Número de Euler Modelos que Determiam mais Rapidamete o Valor do Número de Euler A Iversa da Fução y=e e a Quadratura da Hipérbole O Aspecto Relacioal que Eiste Etre a Defiição de y=e por Séries Ifiitas e a Itegral de y= Coeões que o Número de Euler Estabelece com outras Áreas da Matemática A Uidade Imagiária i e o Número de Euler Os Números Primos e o Número de Euler A Espiral Logarítmica e o Número de Euler Aplicações da Fução Epoecial de Base e O Crescimeto de População de Bactérias Desitegração Radioativa Uificação de Coceitos: Um feômeo Físico e a Fução Epoecial de Base e...04 CAPÍTULO III PROVAS DA IRRACIONALIDADE DO NÚMERO DE EULER A Costrução Geométrica do Número de Euler por Itervalos Ecaiados Demostração Aalítica Demostração Geométrica...6 CAPÍTULO IV EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DO NÚMERO DE EULER As Primeiras Aproimações do Número de Euler Recohecimeto da Possível Eistêcia do Número e O Método Usado por Euler para o Cálculo do Valor do Número e A Natureza do Número e...3 Cosiderações Fiais Referêcias Bibliográficas...44

9 viii LISTA DE FIGURAS Figura : Segmeto orietado I...7 Figura : Segmeto orietado II...7 Figura 3: Seqüêcia de Quadrados...0 Figura 4: Represetação Gráfica de Coordeadas polares...97 Figura 5: Foto do redemoiho de uma galáia e da cocha do áutilo...98 Figura 6: Costrução Geométrica do Número e...7

10 i LISTA DE TABELAS Tabela... Tabela... 7 Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela...9 Tabela...96

11 LISTA DE GRÁFICOS Gráfico...67 Gráfico...68 Gráfico Gráfico Gráfico Gráfico Gráfico Gráfico Gráfico Gráfico Gráfico... Gráfico...6

12 i LISTA DE ANEXOS Aeo 0: 3 do teto Stetigkeit ud Irratioale Zahle de Richard Dedekid publicado em 87. Aeo 0: Tradução do Teto Stetigkeit der gerade Liie do 3 Aeo 03: Defiições do Número de Euler por meio de Séries Aeo 04: O Valor aproimado do Número de Euler com 795 casas decimais

13 ii RESUMO Refleões sobre o coceito de úmero estão presetes a Educação Matemática que os direcioa a uma questão essecial do esio da Matemática, que é a questão do como esiar idéias, porque para apreder alguma coisa temos que saber que coisa é essa. Os coceitos matemáticos são istrumetos complicados, por isso, ós ão podemos usá-los sem saber ada sobre a sua atureza em geral. Este cohecimeto sobre cohecimeto é forecido por meio da pesquisa histórica e epistemológica. O presete teto trata dos úmeros irracioais e aalisa a problemática da costrução desse coceito. O úmero de Euler e que é um eemplo importate de úmero irracioal é tratado superficialmete a escola, quado comparado com o π, por eemplo. Neste trabalho ivestigamos várias defiições e aplicações do úmero e, bem como aalisamos sua atureza o coteto da teoria dos úmeros reais para o qual ós apresetamos vários fudametos. Normalmete, a escola assim como a uiversidade, se fala dos úmeros irracioais como úmeros ão racioais e a realidade ão há outra possibilidade o coteto do mudo discreto da Matemática. As cosiderações geométricas, em cotraste com o mudo discreto, oferecem a possibilidade de idicar algumas caracterizações positivas dos úmeros irracioais. Fialmete observado que o úmero de Euler e é computável, embora seja irracioal, ós usamos este fato para cosiderálo sob o aspecto da teoria computacioal. A partir do poto de vista prático e imediato em todas as defiições do úmero e são equivaletes. Isto os dá oportuidade para idicar a relevâcia da oção de complemetaridade o que diz respeito aos coceitos matemáticos, levado em cota seus lados operativos e descritivos e esta oção possibilita o efretameto dos métodos de esio. Palavras Chave: Educação Matemática; Número Irracioal; Número e.

14 iii ABSTRACT Reflectios about the umber cocept are preset i mathematic educatio, drivig us to a essetial questio of mathematic teachig, that is, to the questio of how to teach ideas, because i order to lear somethig we have to kow what it is. Ad mathematical cocepts are complicated istrumets, but we caot use them without kowig othig about their ature i geeral. This kowledge about kowledge is give by epistemology ad by historical research. The preset tet deals with the irratioal umbers ad aalyses the problematic behid them. Euler s umber e is a importat eample of a umber, which is dealt with superficially oly at school, whe compared toπ, for eample. By the preset work we ivestigate various defiitios ad applicatios of e ad aalyze its ature i the cotet of the theory of real umbers, for which we preset various foudatios. The irratioal umbers are ormally characterized egatively oly, by callig them ot-ratioal i school ad at the uiversity also ad there is o other possibility withi the cotet of discrete mathematics. Geometrical cosideratios offer i cotrast the possibility of idicatig some positive characterizatios of irratioal umbers. Fially observig that the Euler umber e is computable although irratioal, we use this fact to cosider it from the poit of view of computatioal theory. Not all defiitios of e are equivalet from such a poit of view. This gives us opportuities to idicate the relevace of a complemetaristic perspective with respect to mathematical cocepts, takig ito accout their operative ad descriptive sides ad usig this complemetarity to evisage better teachig methods. Key words: Mathematical Educatio; Irratioal Number; Number e.

15 INTRODUÇÃO O professor de Matemática que lida com questões relacioadas à apredizagem precisa cohecer o coteto em que determiado coceito foi elaborado, bem como os motivos pricipais que o fazem estar presete o currículo escolar. Nesse setido, os cohecimetos históricos e epistemológicos dos coceitos matemáticos são esseciais para melhorar a prática do professor em sala de aula. Para que o cohecimeto de um determiado coceito possa cotribuir para a compreesão da atureza dos objetos matemáticos, e com isso proporcioar mais sigificados, tedo clareza que esses sigificados podem ser temporais, culturais, ou seja, detro de uma situação problemática que evidecia a cosolidação da validade desse cohecimeto, tora-se ecessário cocebê-los, também como atividades costrutivas. Estamos passado por um mometo de mudaça de atitude em relação ao tratameto do esio da Matemática o tocate aos seus discursos cietíficos e pedagógicos. O que ormalmete se vê os livros didáticos são usos ecessivos da gramática própria da Matemática que é a lógica e os símbolos artificiais desprovidos da semâtica. Cociliar a liguagem Matemática com os aspectos pedagógicos sem perder a qualidade do coteúdo é uma tarefa árdua que depede da compreesão das questões históricas e epistemológicas do cohecimeto matemático. As refleões sobre o esio-apredizagem da Matemática passam obrigatoriamete pelos úmeros, que são istrumetos matemáticos que permitem a visão de padrões que estão a pricípio escodidos e isso faz com que procuremos cohecer suas características em todas as suas perspectivas. Historicamete os úmeros foram sedo ampliados, seguido pelo avaço cietífico e tecológico devido à ecessidade e a curiosidade ierete do homem. Diate desta situação surgiram úmeros que se trasformaram em elos importates (como por eemplo, a etesão do cojuto dos úmeros racioais) o tratameto de questões iteras da própria Matemática e que iterferiram e iterferem a vida cotidiaa do homem este cosmo. Nesse setido, o objeto de pesquisa deste trabalho trata de um úmero que está diretamete ligado aos aspectos teóricos da Matemática e aos feômeos sociais, culturais e aturais que é o úmero de Euler e, bem como a fução epoecial de base e. Temos clareza

16 que esse úmero é importate, mas a fução é muito mais, devido às coeões que ela estabelece com as diversas áreas do cohecimeto, pois propicia melhorar ossa compreesão, ou seja, permite uma aproimação da realidade por meio das relações e probabilidades. Desde miha formação iicial e cotiuada a área da Educação Matemática, que começou em 986, o úmero de Euler e, era tratado por mim apeas como um úmero irracioal que tem o valor aproimado de,78 e que podia ser usado como base dos logaritmos. A partir daí, usado o fato de a fução epoecial de base e ser igual a sua derivada, aplica-se este argumeto a resolução de vários problemas referetes ao crescimeto ou decrescimeto epoecial. No que diz respeito ao coteto histórico, o meu cohecimeto registrava que esse úmero surgiu o iício do século XVII em homeagem ao criador dos logaritmos Joh Napier, em que a letra e foi escolhida por Leohard Euler o século XVIII. Fazedo uma refleão sobre a ecessidade de trazer os úmeros irracioais do campo teórico para o aspecto prático e pedagógico, costatei que a Matemática eistem úmeros irracioais cohecidos como o π (3,4...), a raiz quadrada de dois (,4...) e o úmero de ouro (,68...) que são muito bem relatados os livros didáticos do esio fudametal, médio e superior. Nesse processo de refleão o que me deiou itrigado é como um úmero de valor umérico aparetemete simples como o úmero de Euler e aparece a Matemática aplicada e a Matemática pura, ou seja, estabelece coeões com os ramos iteros desta ciêcia e com outras áreas do cohecimeto. Atualmete fico imagiado e tetado eteder o porquê de o úmero de Euler e ser trabalhado superficialmete o esio médio, e somete o esio superior lhe é dado um tratameto mais sistemático, ou seja, o esio médio valorizam-se de maeira ecessiva o logaritmo a base 0, e o úmero e como base é tratado, às vezes, como ota de rodapé. Este trabalho tem como foco discutir os aspectos históricos e epistemológicos do processo de costrução do coceito desse úmero e da fução que teha esse úmero como base tedo como perspectiva a oção de complemetaridade publicada o livro O Formal, O Social e o Subjetivo (993) e o artigo, Complemetarity, Sets ad Numbers (003) de Michael Otte. Esses tetos destacam que esta oção é idispesável para o estudo das questões que evolvem a Educação Matemática o que diz respeito aos aspectos

17 3 cotíuo/discreto, itesão/etesão, coceito/objeto e os aiomas/aplicações a iterpretação dos sigificados dos objetos de estudo da Matemática. Nesse coteto, o estudo do coceito de úmero irracioal, da costrução do coceito do úmero e e da fução epoecial de base e segue essa perspectiva. Cosiderado este fato, partimos da duplicidade que há o coceito de fução em relação a modelos algorítmicos operativos (discreto) e a questão da cotiuidade da lei estrutural. Temos clareza que o pricípio de complemetaridade é ierete a coceitualização do úmero de forma geral e cosequetemete do úmero de Euler e, pois, a abordagem dessa coceitualização deverá ser de maeiras diferetes. Diate disso, tratamos da costrução do coceito do úmero e por meio do processo algorítmico, ou seja, dos modelos operatórios que o determiam como um método de computação. Todavia, a complemetaridade surgirá de forma ievitável o mometo em que os relacioarmos com o aspecto estrutural, ou seja, relação, lei ou regra que o faz ser obtido como um poto de uma curva ou o valor de uma fução. Cotudo, tato o iterior do processo algorítmico como a questão relacioal, a compreesão epistemológica do úmero de Euler e apreseta caráter de complemetaridade. A costrução complemetar do coceito do úmero e pelo processo algorítmico e pela relação (lei) desecadeia atividades cogitivas etre o sujeito, meios e objeto. E isso possibilitará compreeder que o úmero e ão está o objeto e em o sujeito e sim a sua relação por meio da atividade, pois, os coceitos teóricos agora ão são omes de objetos ou de qualidades dos objetos, mas deotam relações etre objetos (OTTE, 994, p. 7). O coceito de complemetaridade foi itroduzido a física quâtica por Niels Herik David Bohr (885-96). Bohr pretedia mostrar a impossibilidade de qualquer separação ítida etre o comportameto dos objetos atômicos e a iteração com os istrumetos de medida que servem para defiir as codições em que os feômeos aparecem (BOHR, 995, p. 5). O que de fato Bohr percebeu é a importâcia que tem a atividade humaa a elaboração do cohecimeto, ou seja, é impossível separar o sujeito de seu objeto. De forma que os aspectos etre o sujeito, atividades e o objeto ão devem ser cosiderados separadamete e sim como um todo prevalecedo o aspecto relacioal. Essa característica do pricípio físico da complemetaridade ocupa um papel cetral a questão cogitiva e A itesão é o setido e a etesão é o objeto.

18 4 epistemológica do cohecimeto humao. É ievitável, portato, estedê-lo aos fudametos da Educação Matemática. Na busca da compreesão das formas em que se processa a elaboração do cohecimeto, toram-se relevates os objetos e os coceitos desses objetos. Para costrução desses coceitos há ecessidade de atividades cogitivas, pois, estes são as essêcias da relação sujeito-objeto. Todavia, o coceito de complemetaridade fudameta-se eatamete etre as atividades, os meios e os objetos do cohecimeto, ou seja, ehum dos elemetos (meio, objeto e atividade) pode ser determiado sem o outro. Mas, o coceito ão é idêtico à sua defiição. O coceito represeta uma complemetaridade etre objeto e meio, ou etre cohecimeto e método (OTTE, 993, p. 7). Dessa forma, o saber é costruído por um processo real e diâmico. Compreeder os meadros da História da Matemática tora-se útil para etedermos a estrutura da atividade Matemática e com isso efretarmos com mais cosistêcia os obstáculos epistemológicos desse desevolvimeto. Este estudo, etretato, ão dá receitas para composição de currículos, mas poderá sesibilizar os agetes do ambiete educacioal, propiciado uma refleão sobre os métodos variados de esio e apredizagem. O fato de compreeder o processo histórico da costrução do coceito de úmero possibilitará perceber que a atividade cogitiva ão é liear, e sim muito complea, porém, se melhorarmos osso etedimeto da estrutura do pesameto matemático e a lógica de seu desevolvimeto ao logo da história evideciam-se o setido do esio deste tópico. Ecotrar uma alterativa de eplicação que melhore o cohecimeto sobre o tema e que possa auiliar outros professores de Matemática a busca de um cohecimeto mais sólido o que diz respeito a um tratameto mais pedagógico de assutos cosiderados cietíficos da Matemática é o foco deste trabalho. Tivemos a pretesão de apresetar um tratameto pedagógico deste úmero, mas a sedução pelos aspectos formais da liguagem Matemática o que diz respeito à questão pragmática dispesada aos objetos matemáticos está presete, porém, tetamos itroduzi-los detro de um coteto. No aspecto do desevolvimeto do potecial crítico e pedagógico, o úmero de Euler e, assim como a fução epoecial de base e, possibilita a costrução de modelos operacioais que melhora o relacioameto do homem com a atureza favorecedo a possível descrição da realidade, propiciado cotetualizar de forma mais coerete evolvedo as questões da cietificidade da Matemática. Acreditamos que o úmero e ão está os

19 5 feômeos e sim o aspecto relacioal da atividade metal que o ser humao estabelece o próprio itelecto. No decorrer de ossa pesquisa surgiram várias questões que estão iterligadas referetes a esse úmero. A seguir eplicitamos cada uma delas: É comum os livros didáticos do º ao do esio médio, como por eemplo, o livro de Luiz Roberto Date Matemática Coteto & Aplicações (003, p. 6) apresetarem a oção de logaritmo da seguite forma: dados os úmeros reais positivos a e b, com a, se b=a c, etão o epoete c chama-se logaritmo de b a base a. Os úmeros frequetemete usados como base são o 0, que é a base do osso sistema de umeração, e o úmero de Euler (e,788) que ão pode ser escrito a forma de fração. A questão é que os logaritmos que têm esse úmero como base são deomiadas de aturais, etão, como é possível ser atural um úmero dessa forma. Por que o logaritmo a base cico, por eemplo, ão é utilizado com tata itesidade a resolução de problemas práticos? Por que a letra e represeta o úmero,78...? E por que motivo o úmero e é tratado, profudamete, somete após o estudo de séries e fuções? Este úmero é irracioal e computável, etão como podem ser calculados os valores de suas casas decimais? Como ecotrar o elo etre o úmero e, a fução epoecial de base e e os feômeos aturais? A fução epoecial de base e é a úica fução que é igual a sua própria derivada? Porque isso ocorre? A raiz quadrada de dois está relacioada com a diagoal do quadrado de lado uitário, o úmero π(pi) é a área de um círculo de raio uitário. Diate disso, qual é o sigificado geométrico do úmero e? Nos livros de Cálculo Diferecial e Itegral é apresetada a defiição do úmero e por meio da Itegral e depois determiam sua derivada, por que isso ocorre? Nos livros didáticos de Matemática, os úmeros irracioais são caracterizados por úmeros ão racioais e são ormalmete itroduzidos pela raiz quadrada de dois. Como efretar o problema da caracterização positiva do coceito de úmero irracioal? O que de fato queremos é eplicar a ecessidade da costrução dos úmeros reais por meio do coceito do úmero de Euler e objetivado com isso a percepção/metalização do cotíuo umérico. Em que coteto histórico surgiu esse úmero? Quais foram às situações reais que motivaram o estudo desse úmero?

20 6 Como costruir uma eplicação do úmero de Euler e cosiderado seus aspectos históricos e epistemológicos, bem como sua utilidade a Matemática pura e aplicada? Afial, porque o úmero e é importate? Cosiderado que o coceito de úmero é relevate para o etedimeto de vários assutos da Matemática e das ciêcias em geral tora-se ecessário compreeder suas características esseciais. No caso deste úmero irracioal fica claro que o setido do seu estudo surge quado este coceito é tratado complemetarmete etre a sua costrução operacioal dígito a dígito e a sua formulação um processo cotíuo, ou seja, por meio da lei estrutural de sua costrução. Acreditamos que com este trabalho, estamos itroduzido uma ova perspectiva o tratameto dado ao úmero de Euler e, propiciado uma abordagem coerete desse tema que por sua vez favoreça ao professor mais um elemeto teórico para sustetar sua prática a sala de aula. O que pretedemos é discutir estes questioametos o aspecto relacioal que há etre o sujeito, os meios (represetações) e as atividades metais do sujeito, mostrado que o tratameto isolado, ou seja, por um lado, o aspecto operacioal algorítmico (discreto) e, por outro lado, o aspecto da lei (cotíuo), ão cosolida o etedimeto da costrução desse coceito. Para apresetar os resultados desta refleão histórica e epistemológica do úmero de Euler e, bem como da fução epoecial de base e, separamos este trabalho em quatro capítulos, os quais serão apresetados sucitamete a seguir. No primeiro capítulo tratamos iicialmete do mudo cotíuo e do mudo discreto, efatizado o fato de que o mudo cotíuo costruímos eplicações da icomesurabilidade da diagoal do quadrado e o mudo discreto mostramos a irracioalidade da raiz quadrada de dois. Neste capítulo abordamos também a costrução do úmero de Euler e por meio de itervalos ecaiados. Com isso, discutimos as idéias cetrais da defiição de cotiuidade da reta a perspectiva de Dedekid, itervalos ecaiados e seqüêcias covergetes de Cauchy-Cator. O que pretedemos deiar claro é que essas formas de iterpretar a cotiuidade da reta estão presetes as relações etre o discreto e o cotíuo a costrução do coceito de qualquer úmero irracioal e como coseqüêcia do úmero de Euler e.

21 7 A defiição dos úmeros reais por itervalos ecaiados é uma coseqüêcia da propriedade do supremo, que é a verdade um postulado fudametal da geometria. Por isso, ós usamos a costrução do úmero de Euler por itervalos para discutir se eiste ou ão um úico poto para o qual todos os itervalos que coteham o valor do úmero de Euler e covirjam. Essa discussão mostrou a ecessidade de se postular a possível eistêcia do úmero e, bem como de todos os úmeros irracioais. Dedekid o século XIX tratou da costrução do cojuto dos úmeros reais tedo se ispirado o trabalho de Eudoo. Devido a isso, fizemos uma discussão sobre a forma como Dedekid utilizou o coceito de corte para iterpretar a correspodêcia que há etre os potos da reta e os úmeros. Cator também tratou dos úmeros reais utilizado para isso as seqüêcias covergetes de Cauchy. Mostramos que o valor do úmero irracioal e pode ser determiado por o míimo duas seqüêcias equivaletes em que a difereça etre elas teda a zero. Tratamos também da costrução dos úmeros reais pela aiomatização, pois, este processo sitetiza parte sigificativa do método cietífico. Todavia, temos o propósito de apresetar os aiomas dos úmeros reais que são formas diretas de se itroduzir os úmeros irracioais. Neste capítulo observamos que a costrução dos úmeros irracioais, particularmete o úmero de Euler e pode ser discutido pela complemetaridade que há etre o cotíuo (cortes de Dedekid) e pelo discreto (costrução de Cauchy e Cator) e também por uma mistura etre o discreto e o cotíuo, que ocorre com os itervalos ecaiados. Porém, o aspecto relacioal está presete a aiomatiação desde que aplicada um coteto teórico e/ou prático. Temos, etretato, a iteção de possibilitar uma discussão sobre a biuivocidade etre os potos da reta e os úmeros, estabelecedo com isso um elo etre a costrução dos úmeros reais pela via da icomesurabilidade da diagoal do quadrado, da raiz quadrada de dois e pela costrução do úmero de Euler e por itervalos. Na realidade, refletimos sobre essas maeiras de iterpretar a questão da cotiuidade da reta e dos úmeros, pois, quato mais formas diferetes de abordar o mesmo objeto, maior é a possibilidade de percebê-lo e, é isso que vai proporcioar a compreesão da ecessidade de se estabelecer os fudametos da Matemática e como coseqüêcia aplicá-lo as diversas áreas do cohecimeto.

22 8 No segudo capítulo, tratamos das defiições, coeões e aplicações do úmero e, bem como da fução que teha esse úmero como base, procurado eteder o que é o úmero e e como determiá-lo de forma eata. Se é que é possível respoder essas pergutas, objetivado com isso compreeder que eistem várias maeiras práticas e teóricas para obter esse valor. Neste mometo faremos uma discussão sobre as equivalêcias das pricipais defiições do úmero e, estabelecedo o coteto de suas equivalêcias. Apresetamos situações em que esse úmero surge com aturalidade, justificado o motivo pelo qual o logaritmo a base e é chamado atural. Uma situação importate do surgimeto do úmero e é a iterpretação dos juros compostos, que pode ser feito de duas maeiras: calculado os juros compostos o fial de cada período (discreto) ou capitalizado os juros cotiuamete. No caso de capitalização cotíua, temos a preseça ievitável do úmero de Euler e. O cálculo das casas decimais do úmero e pode ser obtido por meio de séries de potêcias, que determiam suas casas decimais de forma etremamete eficiete. No etato, o fial do século XX e o iício do século XXI foram publicadas por Brothers e Ko formas alterativas que obtém o valor do úmero e mais rápido que os modelos tradicioais. Mostramos como esses modelos foram obtidos e tetamos sugerir atividades pedagógicas para serem usadas a sala de aula por meio de uma calculadora ou de um computador. Temos o propósito de discutir a relação que eiste etre o úmero e, e a quadratura da hipérbole, propiciado também uma alterativa de eplicação do motivo pelo qual a derivada da fução epoecial de base e é igual à própria fução. Com isto eplicaremos de uma forma diferete dos livros didáticos o porquê o logaritmo atural (l) ser defiido por meio da itegral. Esta discussão irá forecer uma maeira de evideciar o sigificado geométrico desse úmero. Cosideramos o úmero de Euler e obtido pela via da dupla raiz que há o coceito de fução (operação e lei), pois, esse úmero será determiado pelo algorítmico operacioal e também será cosiderado como sedo um poto da curva de uma fução. Dessa forma, esse úmero tem a essêcia de seu coceito, a oção de complemetaridade, pois, é esta relação que permite melhorar a compreesão do seu sigificado. No que diz respeito às coeões que o úmero e faz com ramos da própria Matemática, discutimos o fato desse úmero estar presete a aálise, a álgebra e a geometria, ou seja, perpassa a Matemática pura e aplicada. Neste setido, faremos uma

23 9 discussão referete ao úmero e relacioado com a uidade imagiária i, o úmero π, úmeros primos, fuções trigoométricas seo, cosseo e a espiral logarítmica. Temos o iteresse de evideciar que o estudo do úmero e provocou a ampliação de áreas tradicioais da Matemática que é o caso das variáveis compleas por meio de uma fórmula que evolve o úmero e, i, seo e cosseo que pode ser também cosiderada a mais importate de todas as fórmulas da Matemática, pois, relacioa úmeros com persoalidades diferetes. O estudo das coeões do úmero e propiciou o imagiário torar-se real do poto de vista teórico-umérico. Esta aálise ão são ecessidades práticas, mas ecessidades teóricas, pois só a teoria Matemática tem essa capacidade de coectar áreas e assutos tão distitos das ciêcias. Diate disso, discutimos esses aspectos partido da própria Matemática, fazedo eperiêcias com fórmulas, ou seja, substituido uma a outra e aalisado os resultados. As aplicações e as coeões os mostram que a teoria Matemática estabelece relações tato com o mudo cotidiao como com as questões iteras da própria Matemática e por isso a oção de complemetaridade é ievitável. Na ecessidade de escrever relações etre feômeos para melhor compreedê-lo, surgem equações difereciais e a pesquisa de soluções destas, o úmero de Euler e pode estar presete. Apresetamos feômeos aturais que aparetemete ão tem ada a ver com o úmero e, mas durate a aálise dessas situações por meio do seu equacioameto, surge o úmero de Euler e. Com este objetivo mostramos o caso do crescimeto de população de bactérias, desitegração radioativa e um feômeo físico. Como ecotrar o elo etre o úmero e e estes feômeos? Acreditamos que esse elo está a atividade relacioal, pois é essa atividade que é o objeto do pesameto. No terceiro capítulo, abordamos a questão da irracioalidade do úmero de Euler e o qual apresetamos duas provas ou demostrações, pelo método da cotradição ou por redução ao absurdo dessa irracioalidade, as quais foram chamadas de provas aalíticas e geométricas. Começamos aalisado situações de somas ifiitas de úmeros racioais que covergem para um úmero racioal e somas ifiitas de úmeros racioais que covergem para um úmero que ão é racioal. A defiição do úmero e por meio de limites, que é trasformada uma série provoca uma refleão sobre a questão do ifiito o tratameto e a

24 0 compreesão da atureza do úmero e. A possibilidade de se defiir um objeto matemático - o úmero e - de maeiras diferetes ajudará a ivestigar melhor sua atureza. O úmero de Euler e defiido por meio de séries pode ser usado para costruir itervalos fechados geéricos (aaliticamete), aritméticos e geométricos em que o úmero e esteja cotido em cada um deles. A partir dos itervalos costruídos apresetamos as demostrações da irracioalidade do úmero e. A prova aalítica é comum os livros didáticos de Matemática do ível superior, por isso, além dessa prova apresetamos uma demostração geométrica da irracioalidade do úmero e por meio de uma costrução de itervalos ecaiados, pois, a própria costrução já vai os direcioar para o cálculo de seu valor e também para o etedimeto da impossibilidade de sua racioalidade. A costrução do úmero e por itervalos possibilita uma discussão sobre a ecessidade da ampliação do cojuto dos úmeros racioais, ou seja, despertará a ecessidade teórica da costrução dos úmeros reais. Esta costrução permite discutir por meio da visualização e percepção geométrica a cotiuidade dos úmeros reais, pois, possibilita refletir complemetarmete etre os itervalos costruídos aritmeticamete e a parte da reta que é cotíua, e isso pode os covecer da iviabilidade da eistêcia de uma fração que represeta o úmero de Euler e. Portato, temos mais uma alterativa de itrodução dos úmeros reais pela costrução geométrica do úmero e, ao ivés da raiz quadrada de dois, que é comum os livros didáticos atualmete. Esta costrução pode muito bem ser usada o esio médio e o esio superior. No quarto capítulo abordamos a evolução histórica do coceito do úmero e, observado que os úmeros irracioais que se toraram mais cohecidos como a raiz quadrada de dois e o úmero π (em relação a sua história) são bem discutidos os livros didáticos de Matemática do esio fudametal e médio. Etretato, a historicidade do úmero e é pouco discutida e traz muitas dúvidas sobre a questão real de seu aparecimeto e uso a Matemática. O úmero e surgiu o ceário da Matemática um período de itesos desevolvimetos o qual o cohecimeto matemático estava iserido. De forma, que apresetamos mometos e situações que marcaram o seu surgimeto e cosolidaram o seu uso a Matemática. Nesse coteto, mostramos que o úmero e teve sua origem os juros compostos calculados cotiuamete, os logaritmos e a quadratura da hipérbole. Para

25 discutir estas questões começamos com a relação que o úmero e estabelece com os logaritmos criados por Joh Napier, publicado o iício do século XVII. Referimos-os também a Leohard Euler que usou efetivamete esse úmero em seus trabalhos. Com isso, apresetamos o processo usado por Euler para determiar o valor do úmero e, obviamete que ão foi apeas Euler que fez uso desse úmero, mas foi o que cosolidou a sua possível eistêcia. O aspecto histórico os mostra que o tratameto complemetar etre o discreto e o cotíuo sempre esteve presete a coceitualização desse úmero, mesmo sabedo que, às vezes, se privilegiou um desses aspectos. Etretato, é otório cosiderar que esse tratameto dicotômico ão ajuda o estabelecimeto de relações a costrução desse coceito. Uma discussão que propomos foi a questão da atureza do úmero e, pois, isso abriu camihos para que Lidema provasse a trascedêcia de π e como coseqüêcia disso ocorreu esclarecimeto da quadratura do círculo com régua e compasso, assuto que ão havia sido resolvido desde a Atiguidade. É importate ressaltar que o úmero e está itimamete ligado a questões geométricas e comerciais.

26 CAPÍTULO I FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS NÚMEROS O mudo que o osso cérebro fisiologicamete iterpreta, são captados por órgãos receptores que os trazem impressões ou sesações sobre os objetos eteros. Esse mudo que chega à ossa cosciêcia é um mudo cotíuo, o qual tudo é relacioal e relativo, ou seja, ão eiste coisa pesada, amarga, doce ou quete, isso só eiste relativamete. Não eiste grade distâcia, depede do coteto. Um sabor, uma cor ou mesmo uma distâcia são cotíuos. Todos os quadrados têm a mesma forma e são semelhates, se distiguido um do outro, só gradualmete. A percepção ou metalização do cotíuo se dá por meio de relações. E para acessar essas relações precisamos de atividades e istrumetos (úmeros) que as epressam quatitativamete. O mudo de ossas atividades que é formado basicamete pelas ações de: medir, costruir, cotar, comparar e distiguir é um mudo discreto, ou seja, a realidade é cocebida como um cojuto de objetos distitos. Esta pulverização acoteceu por meio dos úmeros e as difereças etre os objetos eistetes são captadas pela medição e/ou cotagem, ou seja, o aspecto discreto dos úmeros prevalece, pois, o aspecto quatitativo discreto eerce um poder sobre a ação do homem dificultado a percepção do cotíuo. Agora, como Kat (997, B 74-75) disse: O osso cohecimeto provém de duas fotes fudametais do espírito, das quais a primeira cosiste em receber as represetações (a receptividade das impressões) e a seguda é a capacidade de cohecer um objecto mediate estas represetações (espotaeidade de coceitos); pela primeira é-os dado um objecto; pela seguda é pesado em relação com aquela represetação (como simples determiação do espírito). Ituição e coceitos costituem, pois, os elemetos de todo o osso cohecimeto, de tal modo que em coceitos sem ituição que de qualquer modo lhes correspoda, em uma ituição sem coceitos podem dar um cohecimeto. Ambos estes elemetos são puros ou empíricos. Empíricos, quado a sesação (que pressupõe a preseça real do objecto) está eles cotida; puros, quado ehuma sesação se mistura à represetação. A sesação pode chamar-se matéria do cohecimeto sesível. Daí que a ituição pura coteha uicamete a forma sob a qual algo é ituído e o coceito puro somete a forma do pesameto de um objecto em geral. Apeas as ituições ou os coceitos puros são possíveis a priori, os empíricos só a posteriori. Se chamarmos sesibilidade à receptividade do osso espírito em receber represetações a medida em que de algum modo é afectado, o etedimeto é, em cotrapartida, a capacidade de produzir represetações ou a espotaeidade do cohecimeto. Pelas codições de ossa atureza a ituição uca pode ser seão sesível, isto é, cotém apeas a maeira pela qual somos afectados pelos objetos, ao passo que o etedimeto é a capacidade de pesar o objecto da ituição sesível. Nehuma dessas qualidades

27 3 tem primazia sobre a outra. Sem a sesibilidade, ehum objecto os seria dado; sem o etedimeto, ehum seria pesado. Pesametos sem coteúdo são vazios; ituições sem coceitos são cegas. A Matemática, como qualquer outra área do cohecimeto, é iflueciada pela complemetaridade de reação (receptividade das impressões) e ação (espotaeidade dos coceitos) e cosequetemete do cotíuo e do discreto. Se os cocetrarmos somete o mudo discreto dos símbolos uméricos podemos facilmete esquecer o pesameto relacioal, pois a cotagem de objetos utiliza uma uidade atural. Por eemplo, se queremos saber quatas larajas há uma cesta, uma laraja represeta a uidade atural de medir (ou seja, cotar) esta quatidade, pois, a cotagem é um caso especial de medição. Neste caso, ão faz setido, por eemplo, cotar essa quatidade usado a metade da laraja como uidade. Mas, para dar setido a equações como de homes = homes, os filósofos 4 usaram o cotíuo e a variação para trasformar essa equação em uma que teha sigificado. Bolzao (78-848) fez isso, por eemplo, e foi o primeiro a apresetar uma eplicação coerete e geral da oção de igualdade. Gauss ( ) usou o cotíuo para provar a eistêcia de uma raiz de um poliômio de grau ímpar. Na Atiguidade também foi usado o aspecto ituitivo de cotiuidade, por eemplo, o problema da duplicação do cubo, que ão pode ser resolvido com régua e compasso, sabia-se que uma solução eiste só ão se sabia as características dessa solução. Etão podemos dizer que o pricípio de cotiuidade sempre foi usado para mostrar a eistêcia de um objeto. É ecessário cohecer como também compreeder os mecaismos de fucioameto, bem como as iterações itrísecas e etrísecas do feômeo chamado úmero. Desvedar o véu de suas relações com as coisas cósmicas tora-se ecessário e cada vez mais obrigatório para coviver com as evetualidades da atureza. Fato que foi desejado pelos pesadores atigos e que fervilha a mete dos pesquisadores atuais. No processo de relacioameto etre a mete humaa e os feômeos ocorrem duas possibilidades de pesar e discutir a eistêcia dos úmeros que pode ser por meio da geometria e pela teoria dos cojutos. Cotar e medir faz parte de todas as atividades Feômeo (Kat). O objeto da percepção. Aquilo que é percebido.. O objeto, tal qual como aparece à cosciêcia. 3. O objeto da eperiêcia sesível. Aquilo que aparece aos setidos. 4. Qualquer fato ou eveto observável (GILES, 993, p. 6).

28 4 referete a úmeros, por isso, o aspecto discreto (cotar) e o cotíuo (medir) precisam ser tratados cocomitatemete. Segudo Brolezzi (996, p. 6) a idéia de medida está associada à idéia de ordem. O cere da idéia de ordem está a comparação etre duas quatidades ou medidas diferetes, de modo a estabelecer uma ordem etre elas: maior ou meor tamaho, primeiro, segudo e terceiro lugar etc. De forma que comparar quatidades e estabelecer ordem, faz parte da costrução da idéia de úmero. Por isso, o aspecto ordial e cardial está presete tato a cotagem como a medida. De modo que deve haver um tratameto complemetar etre o discreto e o cotíuo a compreesão do coceito de úmero. A discussão de que os úmeros racioais ão são suficietes para estabelecer a biuivocidade etre os úmeros e os potos da reta, é comumete desecadeada pela medida da diagoal de um quadrado de lado uitário. Isso ocorre quado procuramos uma uidade comum etre o lado e a diagoal. Sedo assim, mostramos eplicações que os possibilite perceber/metalizar o mudo das gradezas (semelhaças) a icomesurabilidade da diagoal do quadrado e o mudo dos úmeros a ão racioalidade da raiz quadrada de dois, pois este é o poto de partida que aparece os livros didáticos para itroduzir os úmeros reais. Porém, tratamos também do cotíuo por meio da costrução do úmero de Euler e por itervalos ecaiados, que a osso ver pode ser usado para itroduzir o coceito de úmero irracioal. O tratameto dado à medida foi e aida é um assuto que desperta iteresse e provoca muitos questioametos, pois, está relacioado à correspodêcia biuívoca etre os potos da reta e os úmeros. Nesse coteto, veremos como fucioa o processo de medição de uma gradeza a partir de outra gradeza da mesma espécie. Por isso, vamos represetar essa gradeza por um segmeto de reta. Diate disso, podemos verificar quatas vezes essa uidade cabe o segmeto maior. Nesse procedimeto de comparação pode ocorrer que a uidade caiba um úmero iteiro de vezes o segmeto que queremos medir, ou ão. No caso de sobrar um pedaço, escolhemos uma outra uidade (como por eemplo, um décimo da uidade aterior) para medir a parte que sobrou. Podemos repetir esse processo até ecotrar uma uidade que se ecaia totalmete os pedaços que irão sobrado durate esse processo. Dessa forma, o istrumeto usado para epressar a medida do segmeto que queremos medir pode ser um úmero decimal eato, ou seja, temos aqui comparações etre segmetos comesuráveis. Só que em sempre esse processo vai termiar um processo fiito de passos.

29 5 O úmero represeta relações etre gradezas e ão represeta gradezas. Nesse setido, se A=.U em que A é uma gradeza e U é a uidade da mesma espécie e um úmero que represeta a relação etre A e U. Etretato, os objetos represetados pelos úmeros são relações processadas a mete do sujeito cogoscete, e ão os objetos, e os úmeros são sigos 3 que represetam essas relações. No caso de segmetos comesuráveis, o valor da relação pode ser determiado de forma eata, ou seja, U ou uma parte de U cabe um úmero determiado de vezes a gradeza A. Agora o caso, por eemplo, da diagoal do quadrado, quado se cosidera o lado dele como uidade de medição mesmo repetido cotiuamete o processo de medição (veja em.) ão se cosegue ecotrar uma uidade eata que epressa a razão etre a diagoal e o lado de um quadrado, ou seja, temos dois segmetos icomesuráveis. Ates de provar esse fato queremos represetá-lo de maeiras diferetes, ou seja, em termos de coceitos aritméticos. Para isso precisamos costruir uma correspodêcia etre o mudo das gradezas e o mudo dos úmeros. Nesse setido, um segmeto A colocado a reta determia dois potos O e Q. Dessa forma, temos uma biuivocidade etre gradezas e potos. Escolhedo uma uidade U de medição chegamos a um úmero que represeta a relação etre A e U, como já foi dito. Se A=U temos o úmero como relação. Como já observamos poderia acotecer que A e U fossem icomesuráveis e que o osso istrumeto (úmero) usado para represetar essa relação ão é racioal. Diate disso, podemos escolher a uidade U como quisermos, pois, sempre teremos segmetos A que ão são comesuráveis com a uidade U, ou seja, sempre temos potos P a reta que ão represetam úmeros racioais. Para eteder a correspodêcia etre úmeros e potos da reta, precisamos compreeder como é feita a costrução dos úmeros reais, e isso passa obrigatoriamete pelo coteto histórico e epistemológico da compreesão de limite, cotiuidade, derivada e itegral de fuções reais de variável real e também pela correspodêcia etre úmeros e potos da reta, que é essecial para compreesão da fudametação teórica da Matemática, bem como para a resolução de problemas práticos. Imagie um alfiete com a pota etremamete fia e que essa pota icida um sistema de coordeadas. Como garatir a possível eistêcia de um úmero que represeta 3 Sigo: Aquilo que represeta, idica ou sigifica outra realidade. Todavia, retém a sua própria idetidade (GILES, 993, p. 4).

30 6 esse lugar geométrico? Quais são e como compreeder suas pricipais características? Até que poto há ecessidade do estudo da possível eistêcia desse úmero? O processo de ecadeameto lógico que objetiva a compreesão da relação úmero/gradeza os leva à Grécia atiga. O que deve ter passado a mete de Pitágoras ( a.c.) que acreditava a comesurabilidade, e de seus discípulos, quado perceberam que havia relações etre coisas (como, por eemplo, a relação etre o lado e a diagoal do petágoo regular) o mudo que ão podiam ser epressas por uma fração? Filolao, que foi um dos mais destacados aluos de Pitágoras afirma: todas as coisas têm um úmero e ada se pode compreeder sem o úmero (CARAÇA, 984, p. 69). A compreesão da costrução dos úmeros reais pode passar pela relação etre comesurável e icomesurável e isto mostra que o ato de medir e cotar estão presetes a discussão da ecessidade de ampliação do cojuto dos úmeros racioais. A icomesurabilidade abriu camihos para coceber a possível eistêcia dos úmeros reais, pois, propiciou uma separação harmoiosa etre cotagem e medida, ou seja, etre o discreto e o cotíuo a elaboração e/ou costrução do coceito de úmero. Todavia, essa costrução tora-se mais acessível se cosiderarmos a complemetaridade que há etre o discreto e o cotíuo. Pois, se a realidade é cotíua precisamos de modelos operacioais ou algoritmos que possibilitem o acesso a essa realidade e, por sua vez, o estudo potual desses acotecimetos. Dessa forma, há a predomiâcia do discreto, porém, a lei ou a fução está implícita o discreto e vice-versa. A U Diate do eposto até o mometo estabelecemos os seguites objetivos: º) mostrar que A defie um corte os úmeros racioais; U º) mostrar diretamete que há gradezas (segmetos) icomesuráveis, ou seja, ão represeta um úmero racioal; racioais. 3º) mostrar que há úmeros bem defiidos em termos algébricos que ão são. A Biuivocidade etre Potos da Reta e os Números Em relação ao º objetivo começamos tratado da atureza da correspodêcia que há etre os potos da reta e os úmeros, e isso pode passar pela epressão umérica da medição.

31 7 Com esse objetivo começamos aalisado os mecaismos que os faz estabelecer a correspodêcia de úmeros racioais com os potos da reta, bem como a reciprocidade dessa correspodêcia (veja também o teto de Dedekid do aeo 0). Na figura a seguir cosideramos uma semi-reta e tomamos sobre ela um poto O arbitrário deomiado origem. Figura Sobre essa semi-reta, a partir do poto O covecioamos, arbitrariamete, um segmeto OA como uidade. Diate disso, podemos associar um úmero racioal 4 s= a y um poto P da reta da seguite maeira: dividimos o segmeto OA em y partes iguais e marcamos dessas partes a partir de O. O poto P assim costruído chama imagem do úmero s. Portato, esse poto P correspode ao úmero racioal s. Podemos dizer também que essa represetação o úmero s é a medida do segmeto OP com o segmeto OA como uidade, ou seja, OP=s.OA. No caso da correspodêcia recíproca teremos que ter um poto Q qualquer a reta para o qual fazemos correspoder um úmero racioal r que mede o segmeto OQ com a uidade OA (OQ=r.OA). Será que esse úmero r sempre eiste? No caso da diagoal do quadrado, por eemplo, precisamos coceber processos cotíuos para perceber a ieistêcia do úmero racioal r. Observa a figura a seguir. Figura 4 Um úmero é racioal quado for possível escrevê-lo a forma y com, y iteiros positivos e y ão-ulo.

32 8 Na figura podemos escrever a igualdade OQ =, de forma que o valor da OA medida ão é totalmete determiado para racioal, pois, o úmero represeta uma relação etre medidas de segmetos ou uma relação etre gradezas. Nessa situação percebese que estamos comparado, ou seja, determiado quatas vezes o segmeto OA cabe o segmeto OQ. Etretato, se cosiderarmos OA como uidade de medida e se partirmos do quadrado de lado OA, temos o segmeto OP (diagoal do quadrado) que pode ser trasladado sobre o segmeto OQ que ão é bem determiado. Na iterpretação da relação que há etre a diagoal e o lado do quadrado estão presetes processos ifiitos. E a iterpretação desses feômeos cotíuos só é possível por meio de semelhaças, e esse caso ão há tamahos e sim processos que permitem perceber essa semelhaça. O úico lugar a geometria de Euclides (360 a.c 95 a.c) que se pesou a semelhaça é o livro V sobre proporções, pois, o restate da geometria euclidiaa há predomiâcia de figuras distitas e da costrução. Etretato, se os úmeros são cocebidos como represetates de relações, isso os remete a seguite perguta, como idetificar essas relações? Precisamos saber etão quado duas relações A B e C D são iguais e por isso, usamos o istrumeto (úmero) atural, dizedo que estas proporções são iguais se para quaisquer par de úmeros aturais temos B é maior, meor ou igual a ya se somete se D é maior, meor ou igual a yc. Foi Eudoo (sec. IV a.c) que apresetou essa defiição de proporção (livro V de Euclides). Em sua defiição as gradezas A, B, C e D são da mesma espécie (segmetos, áreas, volumes etc.), mas, os istrumetos usados para epressar a razão etre gradezas ão eram tratados como úmeros reais. Nessa maeira de iterpretação, as relações etre A e B (de mesma espécie), por eemplo, são bem determiadas, pois a Matemática precisamos saber se duas represetações desigam a mesma relação etre coisas ou ão. Se essas relações são bem determiadas, etão deveria ser possível epressar essa medida, ou seja, represetá-lo por úmeros. A questão é como fazer isso. Por isso, a criação de úmero deve ser geeralizada. Agora a razão etre dois segmetos A e B defie um corte o setido de Dedekid (83-96), pois se S é o cojuto dos úmeros racioais que formam a parte iferior do