Turma A1 Sala 22 Pavilhão 02 Data 22 de outubro de Funções Econômicas

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1 Universidade Federal do Vale do São Francisco Câmpus Petrolina PE Colegiado de Administração Prof. Pedro Macário de Moura Matemática Aplicada a ADM Discente CPF Turma A1 Sala 22 Pavilhão 02 Data 22 de outubro de 2015 Funções Econômicas 1. Oferta e Demanda Uma das definições de curva de demanda ou procura é a seguinte: "A curva de demanda é uma construção teórica que nos diz quantas unidades de um determinado bem de consumo os consumidores estarão desejosos de comprar, durante um período de tempo, a todos os possíveis preços, presumindo-se que os gostos dos consumidores, os preços das outras mercadorias e as rendas dos consumidores se mantenham inalterados". Na mesma linha, a curva de oferta" é uma construção teórica que nos diz quantas unidades os produtores de uma mercadoria em determinada indústria estão dispostos a vender em um certo período de tempo. Na prática, algumas curvas de oferta e demanda são aproximadamente lineares na faixa de valores que interessa; outras são não lineares. No entanto, mesmo nesses casos, as equações lineares podem oferecer representações de oferta e demanda razoavelmente precisa dentro de uma faixa limitada. A figura (A) mostra uma representação mais geral de curvas de oferta e demanda, enquanto a figura (B) representa a oferta e a demanda como funções lineares. Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 1 de 14

2 Deve-se observar como é indicado nas figuras (A) e (B) que apenas as partes das curvas que estão no 1 quadrante interessam à análise econômica. Isto porque a oferta, o preço e a quantidade de demanda são em geral maiores que zero. Por exemplo, nas formas mais simples da análise econômica; I. A oferta negativa significa que os artigos não estão disponíveis no mercado, porque eles não são produzidos ou porque eles são retidos até que um preço satisfatório seja oferecido por eles. II. O preço negativo significa que são pagos preços aos compradores para a remoção de artigos do mercado. III. A demanda negativa significa que o preço é tão alto que impede a atividade de mercado, até que os artigos sejam oferecidos a um preço satisfatório. Os casos apresentados podem ocorrer, mas sua incidência não é frequente, sendo examinada apenas em análises econômicas mais avançadas. Devemos compreender que a equação de uma reta não indica a faixa de valores de (quantidade demandada ou ofertada) e (preço) que deverá ser considerada, quando ela é especificada, como no caso presente, onde interessam apenas os valores positivos, ou seja, onde preços ou quantidades negativas não são significativas, a faixa de valores de e é restrita. Essas restrições baseiam-se na interpretação e no significado da equação para uma aplicação particular, elas não se baseiam nas suas propriedades matemáticas inerentes. Devese ter em mente esse fato, a fim de evitar interpretações errôneas, principalmente quando se consideram equações mais complicadas. No caso presente o domínio das funções de oferta e demanda será sempre * ou assim como o contradomínio dessas funções. Curvas de demanda lineares - Normalmente, a declividade de uma curva de demanda linear é negativa, isto é à medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui e à medida que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta, isto é, a função de demanda linear é geralmente decrescente. Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser nula. Isto é, o preço é constante, independentemente da demanda. Em outros casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser indefinida, isto é, a procura é constante, independentemente do preço. Note que neste caso. A curva de demanda é uma reta paralela a e logo, não é gráfico de função. Observe as figuras a seguir. Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 2 de 14

3 P P P qd Declividade de demanda negativa Declividade de demanda nula qd qd Declividade de demanda indefinida Observação: Dependendo das informações disponíveis, diferentes formas da reta podem, em cada caso, ser mais convenientes para se obter a função de demanda. Exemplos: relógios são vendidos quando seu preço é R$ 60,00 e relógios são vendidos quando seu preço é R$ 40,00. Qual é a equação da demanda, sabendo que ela é linear? Esboce o gráfico dessa função de demanda. 02. Quando o preço é R$ 90,00 nenhum relógio é vendido; quando os relógios são liberados gratuitamente, são procurados. Qual é a equação da demanda sabendo que ela é linear? Esboce seu gráfico. 03. Por serem considerados necessários à segurança nacional, são comprados anualmente 50 geradores de serviço pesado, independentemente do preço. Qual é a equação da demanda? 04. O preço do leite foi congelado por 6 meses, no valor de R$ 1,40. Qual é a equação de demanda nesse período? Qual o gráfico da curva de demanda? Curvas de oferta lineares - Normalmente, a declividade de uma curva de oferta linear é positiva, isto é, à medida que o preço aumenta, a oferta aumenta e à medida que o preço diminui, a oferta diminui. Em certos casos, a declividade de uma curva de oferta linear pode ser zero, isto é, o preço é constante, independentemente da oferta (reta paralela a ). Em outros casos, a declividade pode ser indefinida, isto é, a oferta é constante, independentemente do preço (reta paralela a ). Exemplos: 01. Quando o preço for de R$ 50,00, máquinas fotográficas de um determinado tipo estão disponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00, máquinas estão Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 3 de 14

4 disponíveis no mercado. Qual é a equação da oferta? Esboce o gráfico dessa curva de oferta sabendo que ela é linear. 02. Quando o preço for de R$ 25,00 nenhuma bola de um determinado tipo está disponível no mercado, enquanto que para cada R$ de aumento no preço, bolas a mais estão disponíveis. Qual é a equação da oferta, sabendo que a curva é linear? 03. De acordo com os termos de contrato entre a Companhia A e a companhia telefônica, a Companhia A paga à companhia Telefônica R$ 1.000,00 por mês para chamadas a longa distância, com duração de tempo limitada. Qual é a equação da oferta? 04. Dada à equação de oferta 3x-8p+l0=0, sendo x em centenas de unidades e p o preço unitário, qual o preço por unidade pelo qual 200 unidades são ofertadas? 2. Equilíbrio do Mercado Foi visto que no caso da função de demanda, uma elevação no preço corresponde geralmente a uma redução na quantidade demandada e no caso da função de oferta, uma elevação no preço corresponde a uma elevação na quantidade ofertada. Então, até que nível variará o preço se de um lado, o consumidor deseja preços sempre menores e de outro, o produtor interessa-se por preços sempre maiores? E a esse preço, quais serão as quantidades consumidas (demanda) e produzidas (oferta)? Haverá um preço que satisfará, em termos de quantidade, aos consumidores e produtores; é o chamado "preço de equilíbrio". O "equilíbrio de mercado" ocorre então num ponto no qual a quantidade de um artigo procurado é igual à quantidade oferecida. Portanto, supondo que as mesmas unidades para a quantidade demandada e a quantidade ofertada sejam usadas em ambas às equações (oferta e demanda), a quantidade de equilíbrio e o preço de equilíbrio correspondem às coordenadas do ponto de interseção das curvas de oferta e de demanda. Algebricamente, as coordenadas desse ponto são encontradas, resolvendo-se o sistema formado pelas equações de oferta e procura. Obs.: Em geral, para um equilíbrio ser significativo economicamente, as coordenadas do ponto de equilíbrio (interseção das curvas) devem ser positivas ou nulas, isto é, as curvas devem interceptar-se no 1 quadrante. Exemplos: 01. Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de demanda e Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 4 de 14

5 02. Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de demanda e. Obs.: O nome Ponto de Equilíbrio dado ao ponto P(qe,pe) advém do seguinte: Suponha que o bem esteja sendo oferecido a um preço p1 > pe. Traçando uma reta horizontal de ordenada p1, determinaremos a quantidade demandada correspondente qd e a quantidade oferecida correspondente qo (figura abaixo). Como qd < qo há uma tendência de queda de preço. Um raciocínio semelhante indica que se o preço que o bem é oferecido é menor que pe, então a quantidade demandada é maior que a oferecida, e o preço tende a subir. p oferta p1 pe P qd qe qo demanda q 03. Sendo e respectivamente equações de demanda e oferta de um bem, em 1000 unidades e p o preço unitário, determine o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. 3. Função Receita É diretamente proporcional à quantidade vendida. É entendida como sendo o produto entre o preço de venda (p), pela quantidade vendida (q). R = p.q Na atividade operacional de uma empresa, diversos fatores contribuem para a formação da receita proveniente do volume de vendas. Fatores como volume de produção e potencial de mercado não podem ser esquecidas na formação da receita, porém, em pequenos intervalos onde já foram consideradas as variáveis restritivas e considerando-se o preço constante nesse intervalo de produção, o rendimento total da empresa será função somente da quantidade vendida. Por exemplo, se for tomada uma produtora de caixas registradoras que são vendidas a R$ 80,00 cada, se não for vendida unidade alguma, a Receita será 0; se forem vendidas unidades, o rendimento total (receita total) será 8 milhões de reais. Vê-se então que a função receita pode ser uma função linear cujo gráfico é uma reta que passa pela origem e tem como declividade o preço de venda (por unidade). Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 5 de 14

6 No caso da Receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é R(q) = p.q onde R é a receita total (rendimento total), p é o preço por unidade do produto e q é a quantidade vendida. Como p > 0, o gráfico é do tipo: R R(q) = p.q q (quantidade) Obs.1: Se p(preço) é fixo, R é uma função linear da quantidade vendida. Porém se o preço é dado pela equação de demanda de um bem, a equação da receita não será linear. Nesse caso R(q) = f(q).q, onde p = f (q) é a função preço de demanda. Obs.2: A função Receita Média é a função que a cada q associa R ( q), ou seja, a função q Receita Média coincide com a função preço de demanda. Exemplo: 01. Um certo bem tem por equação de demanda, onde p é o preço e x a quantidade demandada. Determine a função receita e a função receita média com seus respectivos domínios. Qual a receita e a receita média se a quantidade demandada são 40 unidades? 4. A Função Custo Os custos de empresas são classificados em duas categorias: fixos (CF) e variáveis (Cv). Os custos fixos permanecem constantes em todos os níveis de produção e incluem comumente fatores tais como aluguel, instalação, equipamentos, etc. Ele permanece constante, independentemente de volume de produção ou de venda. Os custos variáveis são aqueles que variam com a produção e que incluem fatores tais como mão-de-obra, matéria prima utilizada, gastos promocionais, etc. O custo total (C) em qualquer nível de produção é a soma do custo fixo e do custo variável nesse nível de produção. Sendo c o custo variável unitário de produção de determinado bem e q a quantidade produzida, o custo variável é dado por Cv = c.q (nesse caso, o custo variável é função linear Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 6 de 14

7 da quantidade produzida e seu gráfico é a equação de uma reta que passa pela origem e tem declividade (c) positiva). O custo total (C) pela produção de q unidades do referido bem é dado, então, pela equação C= c.q + CF, onde c é o custo variável unitário de produção do bem e CF é o custo fixo. Nesse caso, o custo total é uma função (afim) da quantidade produzida e seu gráfico é uma reta com declividade positiva (c). C Cv Cf Obs.: A função Custo Médio é a função que a cada q associa C ( q). q 5. Ponto de Ruptura Break Even Point ou ponto de nivelamento O ponto P de interseção das curvas C (Custo Total) e R (Receita) refere-se ao nível de atividade da empresa em que ela não obtém nem Lucro nem Prejuízo, ou seja, a receita é igual ao custo total. Ele representa também a quantidade na qual o produtor está para romper o equilíbrio - isto é, a quantidade para a qual existe um rendimento suficiente apenas para cobrir os custos. A empresa fará, certamente, todo o esforço necessário para ultrapassar esse ponto, gerando, conseguintemente, uma parcela de lucro, rompendo essa situação. Para se obter as coordenadas de PR, basta achar a interseção das curvas R e C. No caso de funções lineares (retas), o ponto PR delimita duas regiões: uma à esquerda, representando o Prejuízo (pois para cada q<qp, o custo total é maior que a receita) e uma à direita, representando o Lucro (pois para cada q>qp, o custo total é menor que a receita). A abscissa qmax representa a quantidade máxima de produção da empresa, ou seu nível de atividade máxima (Unidades fabricadas e / ou Vendidas) para a estrutura de custo considerada. É importante notar que quanto mais próximo PR estiver da origem, menor será a quantidade a ser fabricada (ou vendida) para que a empresa passe a operar com lucro. Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 7 de 14

8 PR R C PR (q R;C(q R ) = R (q R ) ) qr qmax 6. A Função Lucro A função lucro é definida por L = R - C, onde R é a função receita e C a função custo total. No caso de funções lineares, L = (p - c)q - Cf, onde p é o preço de venda por unidade, c é o custo variável unitário do produto e Cf é o custo fixo. Então, nesse caso, o lucro é uma função (afim) da quantidade vendida (ou fabricada). (Note que o ponto de ruptura é obtido fazendo L = 0) Exemplos: 01. O custo unitário de produção de um bem é R$ 5,00 e o custo associado à produção é R$ 30,00. Se o preço da venda do referido bem é R$ 6,50 determinar: a) A função custo total; b) A função receita; c) A função lucro; d) O ponto de ruptura; e) A produção necessária para um lucro de R$ 120, Um fabricante vende seu produto a R$ 25,00 por unidade. Os seus custos fixos estimados em R$ ,00 e os custos variáveis em 40% do rendimento total. Sua capacidade média de produção é unidades/mês. Determinar: a) A equação do custo variável; b) A função receita; c) A função custo total; d) A função lucro; e) O ponto de ruptura; f) Qual o lucro obtido na produção e venda de sua capacidade máxima? Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 8 de 14

9 Observação É fácil compreender que o comportamento de uma grandeza e suas variações, bem como a relação entre as variáveis, nem sempre é linear. Sabe-se, por exemplo, que entre a receita obtida e a quantidade vendida existe uma relação e pode-se estabelecer um modelo que interprete a relação funcional entre as variáveis que certamente não poderá ser linear, pois, de acordo com as restrições de mercado, crescimento populacional, etc., a receita não poderá crescer indefinidamente. Outras funções, além de lineares, são utilizadas para representar situações que ocorrem na prática. Exercícios 01. Dadas às equações p=1/q e p=q+ 3/2, pede-se: a) Determinar qual equação representa uma curva de demanda e qual representa uma curva de oferta; b) Determinar algebricamente a quantidade e o preço de equilíbrio de mercado. 02. Seja q = 20 - p a equação da demanda de um bem e C = 2q + 17 a equação do custo total associado. Pede-se: a) Determinar a função receita e seu gráfico; b) Determine o ponto de ruptura; c) Determine a função lucro e seu gráfico; d) Determinar o valor de q para que L seja máximo. 03. Um bombeiro hidráulico cobra uma taxa de e mais a cada meia hora de trabalho. Um outro cobra e mais a cada meia hora. Ache um critério para decidir que bombeiro chamar, se forem levadas em conta apenas considerações de ordem financeira. 04. René fabrica um determinado produto com um custo fixo de e custo variável de. Sabendo-se que este produto é vendido a a unidade, René precisa vender, pelo menos, q unidades do produto para não ter prejuízo. Qual o valor de q? 05. Seja a função custo de certo produto, colocado no mercado verificou-se que a demanda para esse produto era dada pela relação. a) Calcule os pontos de nivelamento; b) Determine o valor de que maximiza o lucro e o lucro máximo correspondente. Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 9 de 14

10 06. Seja, a função receita diária, para a fabricação de fogões, onde é o número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está produzindo 400 fogões por dia e pretende elevar este número para 401. a) Use análise marginal para estimar o ganho adicional produzido pelo 401 fogão. b) Qual a diferença entre o ganho real e o aproximado calculado no item (a). Exercícios de Avaliações Anteriores 01. O custo unitário de produção de um bem é de R$13,00 e o custo associado à produção é de R$ 78,00. Se o preço de venda do referido bem é de R$ 15,00. Determinar: a) A função custo total; b) A função receita total; c) O ponto de ruptura; d) A função lucro total; e) Esboce o gráfico das funções RT, CT, LT no mesmo plano. 02. Experimentos laboratoriais indicam que alguns átomos emitem parte de sua massa na forma de radiação, como o restante do átomo formando outro novo elemento. Por exemplo, o carbono 14 radioativo decai para nitrogênio; o rádio acaba por decair para chumbo. Se é o numero de núcleos radioativos presentes no instante zero, o número remanescente em qualquer tempo posterior será. O número é chamado taxa de decaimento da substância radioativa. Para o carbono 14, a taxa de decaimento determinada de modo experimental é de cerca de quando é medido em anos. Faça a previsão da porcentagem de carbono 14 presente depois de 866 anos. 03. Determine a função sabendo-se que e. Em seguida, obtenha o valor de 04. Em certa cidade, o preço, em reais, pago por uma corrida de táxi é uma função de duas grandezas distintas: o número de quilômetros rodados e a quantidade de minutos gastos. Se paga R$ 2,50 por quilômetro rodado mais R$ 0,50 por cada minuto de percurso, além de Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 10 de 14

11 uma taxa fixa (a bandeirada) de R$ 7,50. Determine a função que expressa o custo por uma corrida nesse táxi. 05. Determine o tempo que leva para que 100g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200g. Utilize a seguinte expressão:. Em que é a massa da substância, é a taxa e é o tempo em anos. 06. O ph do sangue humano é calculado por ph = sendo a molaridade dos íons H 3 O +. Se essa molaridade for dada por 4, Qual é o valor aproximadamente desse ph? 07. Um agricultor resolveu consultar os técnicos de uma instituição de pesquisas agronômicas Para fazer um bom uso do adubo na lavoura. Feita a análise da terra, os técnicos observaram que poderiam usar a tabela seguinte e trabalharam com a hipótese adicional de que a produção é uma função quadrática da quantidade de adubo por hectare, isto é, P(toneladas) Determine: a) A produção em toneladas por hectare, se o agricultor não adubar a terra; b) A produção máxima por hectare. 08 seja a função custo de certo produto, colocado no mercado verificou-se que a demanda para esse produto era dada pela relação. a) Determine as funções receitas e lucro para esse produto; b) Calcule os pontos de Break-Even- Point; c) Determine o valor de que maximiza a receita e a receita máxima correspondente; d) Determine o valor de que maximiza o lucro e o lucro máximo correspondente e) Faça o gráfico das funções custo, receita e lucro no mesmo sistema de eixos; f) Para que valores de se tem Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 11 de 14

12 09. Um trator tem seu valor dado pela função, onde representa o ano após a compra do trator e, o ano em que foi comprado o trator. Calcule o valor do trator quando,, Qual é a depreciação do valor em um ano. 10. A expressão N(t) = ,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t = 0). Após quantas horas da primeira observação haverá bactérias nessa cultura? 11. Pesquisas desenvolvidas por matemáticos e indústrias de calçados determinaram que existe uma função do primeiro grau, relacionando o número do calçado e o tamanho do pé da pessoa. A função tem a seguinte expressão matemática: onde representa o número do calcado e o tamanho de pé. Verifique se esta fórmula estar correta. 12. Duas pequenas fábricas de calçados e têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica aumentar sucessivamente a produção de 70 pares por mês e a fábrica aumentar sucessivamente a produção de 290 pares por mês, a produção da fábrica superará a produção de a partir de que mês? 13. Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após 2 anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. 14. Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? 15. Uma pesquisa de mercado mostra que os fabricantes oferecerão unidades de um certo produto ao mercado se o preço unitário for reais e que o mesmo número de unidades será demandada (comprada) pelos consumidores se o preço unitário for onde as funções oferta e demanda são dada por e. Esboce os seus gráficos no mesmo plano, encontre o equilíbrio de mercado se for 11 reais haverá excesso ou escassez? Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 12 de 14

13 16. O herói de um filme de espionagem escapou do quartel-general de uma quadrilha internacional de contrabandistas de diamantes, no pequeno país Quixajuba de Paraqui. Nosso herói, dirigindo um caminha de leite roubado a 72 quilometro por hora, tem uma dianteira de 40 minutos em relação aos perseguidores, que estão numa Ferrari (de um milhão de dólares) a 168 quilômetros por hora. Se chegar a fronteira, que fica a 83,8 quilômetros do esconderijo dos bandidos, estará a salvo. Será que vai conseguir? (Obs.: Justifique sua resposta através de cálculos matemáticos)! 17. Dois economistas, Cobb e Douglas, pesquisando a produção como função dos fatores trabalho e capital, respectivamente, em quantidades e, concluíram que existe entre eles uma relação do tipo, onde são constantes positivas, com aproximadamente igual a 1. Suponha, então, que para obtenção de uma produção fixa de 100 unidades de certo produto a relação entre K e L seja:. Escreva com função de e faça o gráfico dessas funções. 18. Observe o gráfico da figura abaixo e determine os pontos de Máximo local, Máximo absoluto, mínimo local, mínimo absoluto e o ponto de inflexão da função, bem como os valores da função nesses pontos. Se a função descreve um a receita, em função da quantidade vendida, esses pontos seriam os mesmos? 19. Ache o ponto de equilíbrio entre as funções demanda, e a função oferta 20. Em certa cultura de bactérias, verificou-se que a população está se reproduzindo e aumentando seu número em 25% a cada dia. Determine o número aproximado de dias que devem se passar para que o número de bactérias seja 200 vezes maior que o número inicial. Use as aproximações e Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 13 de 14

14 21. Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que, partindo de uma quantidade, a quantidade existente após anos seja dada por Dado, calcule de modo que se tenha, isto é, encontre a meia-vida dessa substância. 22. Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados, iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. 23. A função de demanda de certo produto é, e a função custo é onde x é a quantidade demandada. Determinar: a) A função receita e o preço que a maximiza; b) A função lucro e o preço que a maximiza. 24. Indicando o custo médio correspondente a unidades produzidas por. Temos onde é o custo de fabricação de unidades de um produto. O custo de fabricação de unidades de um produto é. a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 100 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta? Bibliografia Bom estudo! 1. ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre: Bookman, BOULOS, Paulo. Calculo Diferencial e Integral, Vol. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, HOFFMANN, Laurence D., BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um Curso Moderno e Suas Aplicações, 11 a ed. Rio de Janeiro: LTC, Leithold, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia. (tradução da 9ª ed. norte-americana). São Paulo: Cengage Learning, Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade. Gottfried Leibniz Página 14 de 14