Preparatórios e Cursos Eduardo Chaves - 1

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1 1 1 LÓGICA SENTENCIAL 1.1 Conceitos a) Proposições declarativas Conjunto de palavras ou símbolos os quais podemos atribuir apenas um dos valores lógicos: verdade ou falsidade. Exemplo: a)- 4 é um número natural b) Todos os mamíferos são peixes c) 17 é um número para ou primo d)se Carlos é engenheiro, então 4 é ímpar e)irei ao cinema se, e somente se, não chover b)valores lógicos das preposições. O valor lógico de uma preposição declarativa é a verdade ou falsidade. Notação v(p)=v (lê se valor lógico de p é V) v(q)=f (lê se valor lógico de q é F) 1) Seja a proposição p: Minas Gerais pertence à região Sudeste. O valor lógico de p é V. Escreve-se v(p)=v 2)Seja a proposição q: 5 é maior que 9. O valor lógico de q é F. Escreve-se v(q)=f c) Conectivos lógicos Os conectivos lógicos são: e ; ou ; se..., então ; se e somente se e o não.estes conectivos serão utilizados para formarem proposições corretas. d) Notações Conectivo e : ^ Conectivo se...,então : Conectivo ou :v Conectivo se e somente se Conectivo se...,então : Conectivo se e somente se : Conectivo não : ~ e) Proposições Simples É a proposição declarativa que não contém nenhum dos conectivos e, ou, se...então, se e somente se 1) Carlos é inteligente 2)Amanhã irei ao teatro f) Proposição Composta São duas ou mais proposições simples ligadas por um conectivo lógico( e, ou, se.. então..., se e somente se, ou ou) Obs.: A verdade ou a falsidade de uma proposição composta depende do valor lógico das proposições simples e do conectivo que as conectam. f) Operações lógicas a)conectivo e símbolo: ^

2 2 Uma proposição composta do tipo p e q é chamada de conjunção das proposições p e q. 1) p:pelé é mineiro q: 2 é um número par p^q: Pelé é mineiro e 2 é um número par v(p)=v v(q)=v v(p^q)=v 2) p: A França é um país europeu q: A massa da lua é maior que a massa da Terra. v(p)=v v(q)=f v(p^q)=f Tabela verdade P Q P ^ Q V V V V F F F V F F F F A proposição composta p e e q será verdadeira se ambas as proposições simples forem verdadeiras. Associe este conectivo à ideia de intercessão de 02 conjuntos, à simultaneidade. b) Conectivo ou Símbolo v Uma proposição composta do tipo p ou q é chamada de disjunção das proposições p e q. Exemplos : 1) p: Curitiba é a capital do Paraná q: Zero é um número natural p v q: Curitiba é a capital do Paraná ou Zero é um número natural v(p)=v v(q)=v v(p v q)=v 2) p: Um triângulo possui quatro lados q: O mês de janeiro possui 30 dias p v q : Um triângulo possui quatro lados ou o mês de janeiro possui 30 dias v(p)=f v(q)=f v(p v q)=f 3) p: Os gatos são mamíferos q: 7x7=14 p v q: Os gatos são mamíferos ou 7x7=14 v(p)=v v(q)=f v(p v q)=v Tabela Verdade P Q P V Q V V V V F V F V V F F F Associe o conectivo V à ideia de união, na teoria dos conjuntos, assim você terá muito mais facilidade. A proposição composta p ou q será verdadeira se o valor lógico de pelo menos uma das proposições simples for verdadeira. Associe este conectivo à ideia de união entre 02 conjuntos. Obs.: Do ponto de vista gramatical a preposição ou tem dois sentidos : inclusivo e exclusivo

3 3 p: Carlos é médico ou professor q: Maria é paulista ou mineira Na proposição q o ou é inclusivo e na proposição q o ou é exclusivo. Em lógica,também existe esta distinção,mas trataremos apenas do ou inclusivo. c)conectivo se...,então Símbolo: A proposição composta se p, então q é chamada de condicional onde p é o antecedente e q o consequente. 1) p:airton Senna morreu em um acidente. q: 13 é um número primo p q :Se Airton Senna morreu em um acidente então 13 é um número primo. v(p)=v v(q)=v v(p q)=v 2)p:O natal é comemorado no mês de dezembro q: 32= 6 p q : Se o natal é comemorado no mês de dezembro, então 32 é igual a 6. v(p)=v v(q)=f v(p q )=F 3)p: Minas gerais tem praia q: 24=16 p q : Se Minas Gerais tem praia então 24=16 v(p)=f v(q)=v v(p q)=v 4)p:O Brasil é uma Monarquia q:3 é um número natural p q : Se o Brasil é uma Monarquia,então 3 é um número natural. v(p)=f v(q)=f v(p q)=v Associe a proposição antecedente a idéia de promessa: se prometeu, tem que cumprir. Se não prometeu,você pode cumprir ou não. Veja o exemplo: Se amanhã fizer sol,então vou ao clube. Tome como verdadeira estas duas proposições. Se amanhã fizer sol é uma promessa. Então se prometi, tenho que cumprir,se não prometi,posso cumprir ou não. Considere as afirmações : 1: se amanhã fizer sol, então não vou ao clube. Ela é falsa, uma vez que, estou prometendo e não estou cumprindo: V F F 2: se amanhã não fizer sol, vou ao clube. Ela é verdadeira porque não estou prometendo mas estou cumprindo : F V V 3: se amanhã não fizer sol, não vou ao clube. Ela é verdadeira, porque não estou prometendo e não estou cumprindo: F F V Você deve entender que, para qualquer conectivo, a tabela verdade não é um fim em si mas apenas o coroamento de um entendimento dos conectivos, é o que chamamos de dar lógica para a lógica.

4 4 Tabela Verdade P Q P Q V V V V F F F V V F F V A proposição composta p q será falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. Nos demais casos,ela é verdadeira. Associe a proposição antecedente à ideia de uma promessa: se prometeu, tem que cumprir. Se não prometeu,você pode cumprir ou não. Somente fazendo associações poderemos ver lógica na lógica, como disciplina. Obs.: 1)Uma proposição composta condicional não afirma que o consequente q se deduz de p. Não afirma também que o antecedente seja verdadeiro. 2)Dizemos também que p é condição suficiente para q e que q é condição necessária para p. 3)Atenção grande para as equivalências: p q ~q ~p(contrapositiva) ~p v q d) Conectivo se e somente se (dupla implicação) Símbolo: P Q equivalente a P Q ^ Q P Se P então Q e se Q então P que significa o mesmo que P se e somente se Q 1)p: Brasília é a capital do Brasil q:20 é divisível por 5 p q:brasília é a capital do Brasil se e somente se 20 é divisível por 5 v(p)=v v(q)=v v(p q) =V 2)p: A natação é um esporte olímpico q:são Paulo é a capital de Minas Gerais p q: A natação é um esporte olímpico se e somente se São Paulo é a capital de Minas Gerais v(p)=v v(q)=f v(p q)=f 3) p:tiradentes morreu afogado q:15 é ímpar p q:tiradentes morreu afogado se,e somente se 15 é ímpar. v(p)=f v(q)=v v(p q)=f 4) p:belém é a capital do Maranhão q:7 é menor que 5 p q:belém é a capital do Maranhão se e somente se 7 é menor que 5. v(p)=f v(q)=f v(p q)=vr Esta proposição é também chamada de bicondicional. A proposição composta resultante da operação de dupla implicação só será verdadeira se ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico.(ambas verdadeiras ou ambas falsas).para que você entenda a tabela verdade desta proposição, complete a tabela abaixo,como exercício: p q p q q p p q ^ q p p q

5 5 Tabela Verdade P Q P Q V V V F F V V F F F V F A proposição composta p q será verdadeira se o antecedente e o consequente forem ambos verdadeiros ou ambos falsos. Nos demais casos ela é falsa. Obs: Dizemos que p é condição necessária e suficiente para q.importante isto!!!! e)- Conectivo disjunção exclusiva : V p V q: ou p ou q A proposição em disjunção exclusiva só será verdadeira se os valores lógicos das proposições individuais apresentarem valores lógicos contrários. Associe este conectivo á ideia do conjunto (A- B) ou (B-A) na teoria dos conjuntos,assim você terá mais facilidade de entendimento deste conectivo, sem ter que ficar decorando. Tabela verdade P Q P V Q V V F V F V F V V F F F f) Conectivo não Símbolo: ~ : negação A negação de uma proposição p é a proposição composta que se obtém a partir de p antecedida do conectivo lógico não ou outro equivalente. Tabela Verdade P V F ~ P F V a) p:os Atleticanos são fanáticos. ~p: não é verdade que os Atleticanos são fanáticos. b)p:dois é um número par. ~p: É falso dizer que dois é ímpar. c) p:os Cruzeirenses são maioria em Belo Horizonte. ~p:os Cruzeirenses não são maioria em Belo Horizonte. 1) A negação de 4=5 é 4#5 2) A negação de 3 >1 é 3<1 3)A negação de x>2 é x<2

6 6 4) A negação de (x=2 ^ x=3) é (x#2 ^ x#3) 5) A negação de Irei ao Cinema ou ao Teatro é não irei ao Cinema e não irei ao Teatro 6) A negação de Carlos não é médico e professor é Carlos é médico ou não é professor 7) A negação de Se x=2,então, x é primo é Se x não é primo,então,x#2 ou x=2 e x não é primo 8)A negação de Se o goleiro falhar,então venceremos a partida é O goleiro falhou então não vencemos a partida ou Se não vencemos a partida então o goleiro não falhou 9)A negação de (x é primo se e somente se x é ímpar) é (x é primo e x é par v x é ímpar e x é composto) 10) A negação de Se sair de casa irei ao Parque é Sairei de casa e não irei ao parque ou Se for ao parque,então não sairei de casa Afirmação X = Y X #Y X > Y X < Y Conectivos em negação Afirmação e Negação no conjunto dos números reais Negação X < Y X > Y a)negação da disjunção: ~ ( p V q) que é equivalente a (~ p ^ ~ q) Para provar esta equivalência, complete a tabela abaixo como exercício: P Q P V Q ~(P V Q) ~ P ~ Q (~P ^ Q) b)- Negação da conjunção: ~(p ^ q) que é equivalente a (~p v ~q) c-negação da implicação: ~(p q) que é equivalente a : p ^ ~q Equivalências Importante saber as seguintes equivalências: p q é equivalente a : ~ q ~ p esta segunda é chamada de contrapositiva da primeira. P q é também equivalente a : ~p v q Exercício Dê uma negação para cada uma das proposições: 1) O dia está quente e seco 2) Pedro comprou um carro ou uma moto 3)Carla não é magra ou Simone é alta 1.2 Exercícios 1 de Lógica 1) Duas grandezas x e y são tais que se x=3 então y=7.podemos concluir que: a) Se x#3 então, y#7 b) Se y=7 então x=3 c)se y#7 então x#3 d)se x=5,então y=5 e)nenhuma das conclusões acima é válida 2) Sejam p e q duas proposições. A negação de p ^ ~q é : a) ~p v ~q b) ~p ^ ~q c) ~p v q d) ~p ^ q e p ^ ~q

7 7 3) A negação de Hoje é segunda feira e amanhã não choverá é: a) Hoje não é segundas feira e amanhã não choverá. b) Hoje não é segunda feira ou amanhã não choverá c) Hoje não é segunda feira, então, amanhã choverá. d) Hoje não é segunda feira nem amanhã choverá. e) Hoje não é segunda feira ou amanhã choverá. 4) A negação de O gato mia e o rato chia é : a) O gato não mia e o rato não chia. b) O gato mia ou o rato chia. c) O gato não mia ou o rato não chia d) O gato e o rato não chiam nem miam. 5) A negação de x maior ou igual a 2 é : a) x maior ou igual a 2 b) x menor ou igual a 2 c)x<2 d)x menor ou igual a 2 6) Uma proposição equivalente a Se Milício joga futebol, então, Thábata toca violino é: a) Melício joga futebol se, e somente se Thábata toca violino b) Se Melício não joga futebol,então Thábata não toca violino. c) Se Thábata não toca violino,então,melício não joga futebol. d) Se Thábata toca violino,então Melício joga futebol. e) Se Melício toca violino,então Thábata joga futebol. 7)Se Beto briga com Glória, então,glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema,então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa,então Raul briga com Carla. Ora Raul não briga com Carla,logo: a) Carla não fica em Casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Beto não briga com Glória. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 8)Uma sentença logicamente equivalente a se x é y,então z é w é: a) x é y ou z é w b) x é y ou z não é w c) se z é w,x é y d) se x não é y então z não é w e) se z não é w então x não é y 9) Se Carlos é mais velho do que Pedro,então Maria e Júlia possuem a mesma idade. Se Maria e Júlia possuem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro.Se joão é mais moço que Pedro então Carlos é mais velho do que Maria. Ora Carlos não é mais velho do que Maria,então: a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia possuem a mesma idade. c) Carlo e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia não possuem a mesma idade. 10) Se x não é igual a 3, então y é igual a 5.Se x é igual a 3,então z não é igual a 6.Ora z é igual a 6,logo: a) y é igual a 5. b) x é igual a 3. c) x é igual a 3 ou z é igual a 6. d) x é igual a 3 e z é igual a 6. e) x não é igual a 3,y não é igual a 5. 11) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Rau mentiu,lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade,há um leão feroz na sala. Ora,não há um leão feroz na sala,logo: a) Nestor e Júlia disseram a verdade. b)nestor e Lauro mentiram. c) Raul e Lauro mentiram. d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. e) Raul e Júlia mentiram. 12) Ou Celso compra um carro,ou Ana vai à África,ou Rui vai à Roma. Se Ana vai à África, então Luis compra um livro. Se Luis compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora,Rui não vai a Roma,logo: a)celso compra um carro e Ana não vai a África b)celso não compra um carro e Luis compra um livro.

8 8 c)ana não vai a África e Luis compra um livro. e)ana vai a África e Rui não vai a Roma. d)ana vai a África ou Luis compra um livro. 13) Se você se esforçar,então irá vencer. Assim sendo: a) seu esforço é condição suficiente para vencer. b) seu esforço é condição necessária para vencer. c) se você não se esforçar,então não irá vencer. d) você vencerá só se esforçar. e) mesmo que se esforce,você não vencerá. 14)O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está bem. Logo, o paciente: a) tem febre e não está bem. b) tem febre ou não está bem. c) tem febre. d) não tem febre. e) não está bem. 15) José quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra Fogo,mas não tem certeza se o mesmo está em cartaz. Seus amigos,maria,luís e Júlio possuem opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa,então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado,então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado,então o filme não está sendo exibido. Ora,ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao cinema. Verificou se que Maria está certa. Logo: a) o filme está sendo exibido. b) Luís e Júlio não estão enganados. c) Júlio está enganado,mas não Luís. d) Luís está enganado,mas não Júlio. e) José não irá ao cinema. Gabarito 1-c 2-c 3-e 4-c 5-c 6-c 7-a 8-e 9-e 10-a 11-b 12-a 13-a 14-d 15-e 1.3 Argumentos Lógicos Dada uma sequência finita de preposições P 1,P 2,P 3,...Pn,chama se argumento à toda afirmação que se faz acerca destas e que tem como consequência uma preposição C.P 1,P 2,P 3,...,Pn são chamadas de premissas e C de conclusão. 1.4 Silogismo É todo argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão. Exemplo: Gatos cantam ópera,wagner possui um gato. Logo, o gato de Wagner canta ópera. 1.5 Validade de um argumento Um argumento é válido quando a conclusão for verdadeira,quando todas as premissas forem verdadeiras. Se um argumento não é válido,ele é chamado de sofisma. O que é importante é a validade dos argumentos e não a verdade ou falsidade das premissas e conclusões. Um argumento válido pode conter apenas proposições verdadeiras. Exemplo: Todos os números naturais são inteiros.5 é um número natural. Portanto, 5 é um número inteiro. Um argumento pode conter apenas proposições falsas e,apesar disto,ser válido. Exemplo:Todos os gatos voam. Todos os animais que voam não jogam tênis. Logo,gatos não jogam tênis. Este argumento é válido porque,se as premissas fossem verdadeiras,sua conclusão teria que ser verdadeira. Se as premissas de um argumento forem verdadeiras e a conclusão falsa,então o argumento não é válido. Exemplo:Se eu ganhasse na Megasena sozinho,ficaria milionário. Eu não ganhei na Megasena. Portanto

9 9 não fiquei milionário. Conclusão 1)Existem argumentos válidos com conclusões falsas,assim como ocorre argumentos falsos com conclusões verdadeiras. A verdade ou falsidade de uma conclusão não determina a validade ou falsidade de um argumento. 2) Num raciocínio dedutivo só podemos afirmar que uma conclusão é verdadeira se as premissas forem verdadeiras. 1.6 Proposições Categóricas São proposições em que existe uma relação entre atributos que denotam conjuntos ou classes com as próprias proposições. 1)Alguns doutores são professores. Todos os professores são engenheiros. Logo alguns doutores são engenheiros. 2)Algum A é B. Todo B é C. Logo,algum A é C. 1.7 Equivalências Lógicas Duas proposições são equivalentes quando seus valores lógicos forem iguais. Exemplo: p: 2 x 5 = 10 q: 100 = 10 v(p)=v v(q)=v como as duas proposições possuem o mesmo valor lógico,elas são equivalentes. Tautologia: é a proposição composta que é sempre verdadeira. Contradição: é a proposição composta que é sempre falsa. Contingência: é a proposição composta que pode ser verdadeira ou falsa. A condição necessária e suficiente para que uma proposição p seja equivalente à uma proposição q é que a bicondicional seja uma tautologia Equivalências notáveis Seja a proposição condicional q pp proposição recíproca da condicional: p qq proposição contrapositiva ~ q ~ Exemplo 1: a) Condicional: se o juiz roubar,então seu time vencerá b) Recíproca: se seu time não venceu,então o juiz roubou. c) Contrapositiva: Se time não venceu,então o juiz não roubou. Exemplo 2: a)condicional: se 2 é maior que 5,então fará sol amanhã. b)recíproca: se fizer sol amanhã,então 2 é maior do que 5. c) Contrapositiva: se não fizer sol amanhã,então 2 é menor ou igual a 5. A proposição condicional é equivalente à sua contrapositiva: p q é equivalente a ~q ~p 1.8 Exercícios 2 de Lógica Para resolver as questões de 01 até 05,considere: a)em cada questão apresentam-se duas premissas b)identificar em relação a tais premissas qual a conclusão que resulte em um argumento válido. c)marcar a alternativa correta.

10 10 1)Todos os artistas são ególatras. Alguns artistas são indigentes. Então: a) alguns indigentes são ególatras b) alguns indigentes não são ególatras c) todos os indigentes são ególatras d) todos os indigentes não são ególatras. e) nenhum indigente é ególatra. 2) Todo cristão é teísta. Algum cristão é luterano. a) todo teísta é luterano b) algum teísta é luterano. c) algum luterano não é cristão. d) nenhum teísta é cristão. e) nenhum luterano é teísta. 3) Nenhum M é K. Algum R é K. Então: a) algum R não é M. b) todo R é M. c) nenhum R é M. d) algum R é M. e) todo R não é M. 4) Todo professor é graduado. Alguns professores são pós-graduados. Então: a) alguns pós-graduados são graduados. b) alguns pós-graduados não são graduados. c) todos pós-graduados são graduados. d) nenhum pós-graduado é graduado. 5) Todos os fanáticos são atleticanos. Existem fanáticos inteligentes. Então: a) existem atleticanos inteligentes. b) todo atleticano é inteligente. c) nenhum atleticano é inteligente. d) todo inteligente é atleticano. e) existe atleticano coerente. 6) Se Rodrigo mentiu,ele é culpado. Logo: a) se Rodrigo não é culpado então ele não mentiu. b) Rodrigo é culpado. c)se Rodrigo não mentiu,então ele não é culpado. d) Rodrigo mentiu. e) Se Rodrigo é culpado,então ele mentiu. 7) Todos os animais são seres vivos. Assim: a) o conjunto dos animais contêm o conjunto dos seres vivos. b) o conjunto dos seres vivos contém o conjunto dos animais. c) todos os seres vivos são animais. d) alguns animais não são seres vivos. e) nenhum animal é um ser vivo. 8) Das afirmações: -Alguns gatos são centopéias. -Centopéias gostam de jogar xadrez. Podemos concluir que: a) existem centopéias que não são gatos. b) centopéias miam. c) se joão não gosta de jogar xadrez então joão não é uma centopéia. d) gatos gostam de jogar xadrez. e) gatos possuem 100 pernas. 9) Das afirmações todo animal roxo tem 13 pernas e todo unicórnio é roxo pode-se concluir que : a)existem unicórnios roxos. b)não existem animais de 13 pernas. c)todo unicórnio tem 13 pernas. d)todos os animais de 13 pernas são unicórnios. e)todo animal roxo é unicórnio. 10) Se a proposição nenhum A é B for verdadeira,então é verdade que: a) todos não A são não B. b) alguns não B são ª c) nenhum A é não B. d) nenhum B é não A. e) nenhum não B é A. 11) Se alguns professores são matemáticos e todos os matemáticos são pessoas alegres então,necessariamente: a) toda pessoa alegre é matemático. b) todo matemático é professor.

11 11 c) algum professor é uma pessoa alegre. d) nenhuma pessoa alegre é professor. e) nenhum professor não é alegre. 12) Das premissas Nenhum x é y, Alguns z são y segue-se, necessariamente,que: a) alguns x são z b) alguns z são x. c) nenhum x é z. d) alguns z não são x. e) nenhum z é x. 13) Para que a afirmativa todo matemático é louco seja falsa,basta que : a) todo matemático seja louco. b) todo louco seja matemático. c) algum louco não seja matemático. d) algum matemático seja louco. e) algum matemático não seja louco. 14) Considere verdadeira as seguintes afirmações: 1-todos os môs são bôs. 2-todos os rês são bôs. 3-alguns rês funcionam. Marque a alternativa verdadeira: a) alguns bôs que funcionam são rê. b) alguns bô que funcionam e alguns bô que funcionam não são rê. c) alguns bô funcionam e nenhum mô funciona. d) alguns mô funcionam. e) todos os bô funcionam. 15) Para que a proposição todos os homens são bons cozinheiros seja falsa,é necessário que : a) todas as mulheres sejam boas cozinheiras. b) algumas mulheres sejam boas cozinheiras. c) nenhum homem seja bom cozinheiro. d) ao menos um homem seja mau cozinheiro. 16) Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo: a) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos. b) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros. c) todos os republicanos são marinheiros. d) algum marinheiro não é republicano. e) nenhum marinheiro é republicano. 17) Todas as plantas verdes possuem clorofila. Algumas plantas que têm clorofila são comestíveis. Logo: a) algumas plantas verdes são comestíveis. b) algumas plantas verdes não são comestíveis. c) algumas plantas comestíveis possuem clorofila d) todas as plantas verdes são comestíveis. e) todas as plantas que têm clorofila são comestíveis. 18) Todo cavalo é um animal. Logo: a) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. b) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. c) todo animal é cavalo. d) nem todo cavalo é animal. e) nenhum animal é cavalo. 19) O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está bem. Logo,o paciente: a) tem febre e não está bem. b) tem febre ou não está bem. c) tem febre. d) não tem febre. e) não está bem. 20) Se os tios de músico sempre são músicos então: a) os sobrinhos de não músicos nunca são músicos. b) os sobrinhos de não músicos sempre são músicos. c) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. d) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. e)se o tio não é músico,então o sobrinho não é músico. 21) (UFMG-2008) Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes. Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a

12 12 15 m de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o comprimento dessa piscina é: A) 21 m. B) 27 m C) 33 m D) 54 m. 22) (ESPCEX 2002) Em uma empresa, o acesso a uma área restrita é feito digitando uma senha que é mudada diariamente. Para a obtenção da senha, utiliza-se uma operação matemática # definida por a#b = 4a (a+2b). A senha a ser digitada é o resultado da conversão de um código formado por três algarismos, xyz, através da expressão x#(y#z). Sabendo que a senha a ser digitada é 2660, e o código correspondente é 52z, então o algarismo z é : a)1 b) 3 c) 7 d)9 23) (ESPCEX 2002) Duas grandezas são tais que: se x = 5, então y = 11. Dessa forma, pode-se concluir que: a) se x 5, então y 11 b) se y = 11, então x = 5 c) se y 11, então x 5 d) se y 11, então x = 5 e) se y = 5, então x = 5 24) (FUVEST 2006) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 Gabarito 1-a 2-b 3-a 4-a 5-a 6-a 7-b 8-c 9-c 10-b 11-c 12-d 13-e 14-a 15-e 16-b 17-c 18-b 19-d 20-e 21-c 22-B 23- c 24- a