5 ANÁLISE ESPACIAL DE ÁREAS

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1 5 ANÁLISE ESPACIAL DE ÁREAS Glbert Câmara Marla Sá Carvalh Oswald Gnçalves Cruz Vrgna Crrea 5.1 INTRODUÇÃO Este capítul dscute métds de análse de dads espacas cuja lcalzaçã está asscada a áreas delmtadas pr plígns. Este cas crre cm muta freqüênca quand ldams cm events agregads pr muncíps, barrs u setres censtárs, nde nã se dspõe da lcalzaçã exata ds events, mas de um valr pr área. Alguns desses ndcadres sã cntagens, cm é cas da mar parte das varáves cletadas n cens: pr exempl, IBGE frnece, para cada setr censtár, númer de chefes de famíla em cada uma das faxas de renda cnsderadas. Dverss ndcadres de saúde também sã deste tp: Mnstér e Secretaras de Saúde rganzam e dspnblzam dads de óbts, parts, denças transmssíves pr muncíp. Utlzand duas cntagens óbts e ppulaçã, pr ex. taxas de densdade de crrênca, cm taxas de mrtaldade u ncdênca sã estmads. Outrs ndcadres bastante útes sã: (a) prprções, cm percentual de adults analfabets; (b) médas, cm renda méda d chefe da famíla pr setr censtár; e (c) medanas, cm medana etára em hmens. A frma usual de apresentaçã de dads agregads pr áreas é us de mapas clrds cm padrã espacal d fenômen. A Fgura 5-1 mstra a dstrbuçã espacal d índce de exclusã scal 1 para s 96 dstrts da cdade de Sã Paul, para s dads d cens de Verfcase que 2/3 ds 96 dstrts de Sã Paul estavam abax ds índces mínms de nclusã scal em Uma frte plarzaçã centr-perfera é claramente perceptível n mapa, que apresenta duas grandes regões de exclusã scal, as znas Sul e Leste da cdade. Na zna Leste, nta-se um gradente d índce de exclusã/nclusã scal, que pra à medda que ns afastams d centr. Na zna Sul, a descntnudade d índce é mas 1 O índce de exclusã/nclusã scal é uma medda agregada das dspardades scecnômcas, que vara de 1 a +1, nde valr 0 (zer) ndca um nível básc de nclusã scal.

2 abrupta, e verfcams a exstênca de dstrts cm alts índces de exclusã/nclusã scal próxms a áreas excluídas. == Fgura 5-1 Índce de Exclusã/Inclusã Scal ds Barrs da Cdade de Sã Paul para s dads de 1991, cm 96 dstrts agrupads pr sexts. Grande parte ds usuárs lmta seu us de SIG a essas perações de vsualzaçã, trand cnclusões ntutvas. Mas é pssível r mut além. Quand vsualzams um padrã espacal, é mut útl traduz-l em cnsderações bjetvas: padrã que bservams é aleatór u apresenta uma agregaçã defnda? Esta dstrbuçã pde ser asscada a causas mensuráves? Os valres bservads sã sufcentes para analsar fenômen espacal a ser estudad? Exstem agrupaments de áreas cm padrões dferencads dentr da regã de estud? Para abrdar estas questões, este capítul apresenta um cnjunt de técncas de análse espacal de dads agregads pr áreas. O prmer pass é esclher mdel nferencal a ser utlzad. A hpótese mas cmum é supr que as áreas sã dferencadas, e que cada uma delas pssu uma dentdade própra. D pnt de vsta estatístc, st mplca em que cada área apresenta uma dstrbuçã de prbabldade dstnta das demas, chamad mdel espacal dscret. A alternatva é supr que fenômen estudad apresenta cntnudade espacal, frmand uma superfíce, chamad mdel espacal cntínu estudad n capítul anterr. Neste cas, as áreas sã cnsderadas apenas um suprte para cleta de dads, e mdel nferencal descnsdera s lmtes de cada área. A prduçã de superfíces a partr de dads de área será dscutda n fnal deste capítul. A questã de agregaçã de cntagens em áreas levanta anda prblemas cncetuas mprtantes: Pde-se estmar cmprtaments ndvduas a partr de dads agregads? Em que medda a cmprtament ds

3 agregads reflete mas d que a sma ds ndvídus? Qual err cmetd a estmar ndcadres nde as cntagens sã mut pequenas? Neste capítul, após a apresentaçã ds mdels adequads à análse de dads agregads pr áreas serã abrdads s cncets báscs da análse espacal, para dads agregads pr área. 5.2 MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE DADOS EM ÁREAS O mdel de dstrbuçã mas utlzad para dads de área é mdel de varaçã espacal dscreta. Cnsdere-se a exstênca de um prcess estcástc Z, = 1,..., n, nde Z é a realzaçã d prcess espacal na área e n é ttal de áreas A. O bjetv prncpal da análse é cnstrur uma aprxmaçã para a dstrbuçã cnjunta de varáves aleatóras Z = Z,..., Z }, estmand sua dstrbuçã. { 1 n De frma semelhante a mdel de events pntuas dscutd n capítul 2, cnsdere-se Z cm a varável aleatóra que descreve a cntagem, ndcadr u taxa asscada à área A. Dspms de um valr bservad z, crrespndente à cntagem na -ésma área. A hpótese mas cmum é supr que a varável aleatóra Z, que descreve númer de crrêncas em cada área pde ser asscada a uma dstrbuçã de prbabldade de Pssn. Tal hpótese justfca-se pr ser esta a dstrbuçã estatístca mas adequada a fenômens que envlvem cntagens de events, cm é cas na mara ds dads agregads pr áreas. Evdentemente utras dstrbuções pdem ser mas adequadas, dependend da varável a ser analsada. Taxas pdem ser mdeladas utlzand a dstrbuçã nrmal, ps anda que esta admta valres negatvs, evdentemente mpssíves neste tp de ndcadr, as prpredades da dstrbuçã nrmal pdem ser adequadas. A alternatva à hpótese de varaçã espacal dscreta é supr que s dads apresentam varaçã espacal cntínua. Cnsdera-se um prcess 2 estcástc { Z ( x), x A, A R }, cujs valres pdem ser cnhecds em tds s pnts da área de estud. Neste cas, as cntagens agregadas devem ser transfrmadas em taxas u ndcadres, ps que vara cntnuamente n espaç sã as taxas e nã as cntagens. A estmaçã deste prcess estcástc pde ser feta cm descrt ns capítuls 3 e 4 deste lvr. O us de mdels espacas cntínus será dscutd na seçã 5.8.

4 5.3 PROBLEMAS DE ESCALA E A RELAÇÃO ÁREA-INDIVÍDUO Um ds prblemas báscs cm dads agregads pr área é que, para uma mesma ppulaçã estudada, a defnçã espacal das frnteras das áreas afeta s resultads btds. As estmatvas btdas dentr de um sstema de undades de área sã funçã das dversas maneras que estas undades pdem ser agrupadas; pde-se bter resultads dferentes smplesmente alterand as frnteras destas znas. Este prblema é cnhecd cm prblema da undade de área mdfcável. Em muts ds estuds envlvend dads de área, dad agregad é a únca fnte dspnível, prém bjet de estud dz respet a característcas e relacnaments ndvduas. Alguns destes estuds prcuram estabelecer relações de causa-efet entre dferentes meddas, cm us de mdels de regressã; um exempl clássc é crrelacnar ans de estud d chefe de famíla e sua renda, que usualmente apresenta frte crrelaçã. Nte-se, n entant, que devd as efets de escala e de agregaçã de áreas, s cefcentes de crrelaçã pdem ser nteramente dferentes n ndvídu e nas áreas. Este fenômen, nas cêncas scas e na epdemlga, é chamad de faláca eclógca. Cnsdere um cnjunt de ndvídus nde sã meddas duas característcas de cada um ds ndvídus, cnfrme estmad na Fgura 5-2. Uma regressã cnsderand tds s ndvídus (lnha negra d quadr à esquerda) resulta em cefcente pstv de 0,1469. Esses ndvídus pertencem a grups dstnts, separand cada grup cnfrme atrbut cr, btém-se crrelaçã negatva, varand entre 0,5 e 0,8. Utlzand as médas de cada grup (lnha negra d quadr à dreta), cefcente va a 0,99. É mprtante bservar que cada mdel mede um aspect dferente e que nã há mdel crret. N prmer cas, pde-se dzer que sem nfrmações que permtam separar s ndvídus ns grups clrds, as varáves se relacnam pstvamente. N últm exempl, nteresse d estud é efet da varaçã na méda de uma varável sbre a méda da utra, ns grups. Sã perguntas dferentes, e mdels dferentes.

5 Fgura 5-2 Mdels de regressã: ndvídus, ndvídus em estrats dferentes e grups. Para lustrar prblema das mudanças de undade de análse, estuduse s dads de cens de Bel Hrznte para an de 1991, em duas escalas: s setres censtárs e as undades de planejament (UP), mstradas na Fgura 5-2. Os setres censtárs fram utlzads pel IBGE para cens de 1991, e as undades de planejament crrespndem a agregaments de áreas utlzads pela prefetura de Bel Hrznte. Fgura 5-3. Setres censtárs (à esquerda) e Undades de Planejament (à dreta) para muncíp de Bel Hrznte. A partr das varáves d cens, fram cmputadas 1000 crrelações entre pares de varáves, tant pr setr censtár cm pr UP. Pr exempl, tmu-se as varáves númer de chefes de famíla cm rendment entre 0,5 e 1 salár mínm e númer de chefes de famíla cm 1 a 3 ans de estud e cmputu-se a crrelaçã para cas de setres censtárs (0,79) e para cas de UP (0,96). Os resultads, mstrads na q~äéä~=rjn, ndcam que as crrelações ns setres censtárs sã sgnfcatvamente menres que as crrelações pr undades de planejament. Nada mens que 773 crrelações sã menres para s

6 setres censtárs que para as UPs. Apenas 40 (4%) tem cmprtament pst. Em algumas stuações, crre nclusve mudança de snal, st é, varáves crrelacnadas negatvamente n nível ds setres censtárs passam a ser crrelacnadas pstvamente. Verfca-se que a reduçã de escala (áreas mares) tende a hmgenezar s dads, reduzr a flutuaçã aleatóra e refrçar crrelações que, assm, aparentam ser mas frtes que em áreas menres. Os resultads acma ndcam que nã se pde afrmar que qualquer escala seja a certa, mas apenas qual ds mdels melhr serve a que se deseja esclarecer: crrelações mas fracas e mar flutuaçã aleatóra, prém cm mas hmgenedade nterna, u mas frtes cm vés casnad pr descnsderar a dspersã e a hetergenedade em trn da méda nas grande áreas. Cm regra geral, quant mas desagregad dad, mar a flexbldade na esclha de mdels; ps agregar em regões mares é fácl, mas desagregar mpssível. Tabela 5-1 CORRELAÇÕES ENTRE PARES DE VARIÁVEIS SEGUNDO DIFERENTES UNIDADES DE ÁREAS SETOR CENSITÁRIO E UNIDADE DE PLANEJAMENTO - PARA O CENSO DE 1991 EM BELO HORIZONTE Crrelações pr Undade de Planejament -0,4/-0,2-0,2/0,0 0,0/0,2 0,2/0,4 0,4/0,6 0,6/0,8 0,8/1,0 Pares -0,8/-0, Crrelaçã pr Setr Censtár -0,6/-0, ,4/-0, ,2/0, ,0/0, ,2/0, ,4/0, ,6/0, ,8/1, Ttas Na prátca, pr razões de cnfdencaldade, s dads ndvduas mut raramente estã dspníves. O que fazer entã? Uma pssbldade é trabalhar cm s Uma pssbldade é trabalhar cm s dadsna mar escala

7 espacal pssível, usualmente denmnadas mcr-áreas, pr exempl, setres censtárs. E utlzar técncas de agregaçã u de tmzaçã cmbnatóra para bter regões mas agregadas, mas que preservem fenômen estudad da melhr frma pssível. Deste md, deve-se recnhecer que prblema da escala é um efet nerente as dads agregads pr áreas. Ele nã pde ser remvd e nã pde ser gnrad. Para mnmzar seu mpact cm relaçã a esses estuds, deve-se prcurar utlzar a melhr escala de levantament de dads dspnível e utlzar técncas que permtam tratar a flutuaçã aleatóra, sempre buscand crtérs de agregaçã ds dads que sejam cnsstentes cm s bjetvs d estud. 5.4 ANÁLISE EXPLORATÓRIA As técncas de análse explratóra aplcadas a dads espacas sã essencas a desenvlvment das etapas da mdelagem estatístca espacal, em geral sensível a tp de dstrbuçã, à presença de valres extrems e à ausênca de estacnaredade. As técncas empregadas sã, em geral, adaptações das ferramentas usuas. Assm, se na nvestgaçã de valres extrems se utlza ferramentas gráfcas cm hstgramas u bxplts, na análse espacal é mprtante também nvestgar utlers nã só n cnjunt ds dads mas também em relaçã as vznhs. Além dss, a nãestacnaredade d prcess espacal na regã de estud também deve ser nvestgada, ns seus várs aspects: varaçã na méda (prmera rdem), na varânca e na cvarânca espacal. Vsualzaçã de Dads A frma mas smples e ntutva de análse explratóra é a vsualzaçã de valres extrems ns mapas. Vale ressaltar que us de dferentes pnts de crte da varável nduz a vsualzaçã de dferentes aspects. Os SIGs dspõem usualmente de três métds de crte de varável: ntervals guas, percents e desvs padrões. N cas de ntervals guas, em que s valres máxm e mínm sã dvdds pel númer de classes. Se a varável tem um dstrbuçã mut cncentrada de um lad, este crte dexa apenas um númer mut pequen de áreas nas classes da perna mas lnga da dstrbuçã; cm resultad, a mar parte das áreas será alcada a uma u duas cres. O us de percents para defnaçã de classes brga a alcaçã ds plígns em quantdades guas pelas cres; st pde mascarar dferenças sgnfcatvas em valres extrems e dfcultar a dentfcaçã de áreas crítcas. Fnalmente, us de desvs padrões, n qual a dstrbuçã da varável é apresentada em gradações de cres dferentes para valres acma e abax da méda, faz a supsçã da nrmaldade da dstrbuçã da varável; esta hpótese é puc realsta n cas de varáves censtáras em países de

8 grande desgualdade scal cm Brasl. Em resum, é parte mprtante da análse explratóra expermentar dferentes pnts de crte da varável na vsualzaçã ds mapas. As dferentes técncas de vsualzaçã estã lustradas n exempl a segur, em que mstrams a dstrbuçã espacal d ndcadr que mede a prprçã de recém-nats que nasce em bas cndções de saúde (Índce de APGAR) para s barrs d R de Janer, n an de Fram geradas duas vsualzações, ambas cm 5 pnts de crte e 5 cres. Na Fgura 5-4, utlzu-se qunts; na Fgura 5-5, cnc classes de gual tamanh. Cm a dstrbuçã da varável nã é smétrca, quand se dvde em classes de ampltudes guas as de valres mas baxs (u pres), assnaladas em vermelh fcam reduzdas a pucas áreas, enquant que na dvsã em qunts, pr defnçã, um qunt das áreas fcará em cada classe. A pergunta entã é: que se deseja mstrar? Certamente respnsável pela assstênca per-natal da regã nã fcará satsfet vsualzand um qunt ds barrs cm send de alt rsc. Pr utr lad, cm as áreas nde índce é mas bax têm ppulaçã pequena, a cnfabldade ds valres encntrads pde ser efet apenas da flutuaçã aleatóra descrta anterrmente. Vale a pena entã lhar mapas? Clar que sm, da mesma frma cm lhams hstgramas e bx-plts, e prcurand sempre ver a dstrbuçã utlzand dferentes pnts de crte. Os SIGs em geral tem uma frma padrã, mas dezenas de pssbldades pdem e devem ser explradas. Fgura 5-4 Dstrbuçã d índce de APGAR, agrupada em qunts.

9 Fgura Dstrbuçã d índce de APGAR, agrupada em classes de gual ampltude. Outra questã nteressante é a cmparaçã de mapas. Supnd a dstrbuçã espacal de um ndcadr em dferentes ans: cm vsualzar a evluçã tempral? Certamente s pnts de crte da varável ns dferentes períds devem ser s mesms. Observe na Fgura 5-4 a evluçã tempral da mrtaldade pr hmcíds para s trêns e 90-92, n Estad d R de Janer. A apresentaçã ds qunts da dstrbuçã cnjunta ds ndcadres permte vsualzar bem espalhament desta dença. Fgura 5-6 Mrtaldade pr hmcíds n R de Janer, para s trêns e

10 Gráfcs de Médas e Medanas Os gráfcs de médas e medanas segund lnhas e clunas permtem explrar smultaneamente a presença de tendênca (nã-estacnaredade de prmera rdem), e nã-estacnaredade de segunda rdem, nde a varânca e a cvarânca entre vznhs nã se mantém cnstante. Para cnstrur estes gráfcs, utlza-se as crdenadas ds centródes das áreas, aprxmand-as para um espaçament regular de frma a mntar uma matrz. Calcula-se entã as médas e as medanas d ndcadr a lng das lnhas (ex Leste- Oeste) e clunas (ex Nrte-Sul) desta matrz. Esta técnca permte dentfcar a flutuaçã das meddas a lng de duas dreções, sugernd a presença de valres dscrepantes quand a dferença entre estas é grande, e a tendênca a lng de uma dreçã quand s valres varam suavemente. S-N L-O = Medana x = Méda Ex Nrte-Sul RENDA Ex Leste-Oeste RENDA x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x lnhas x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x clunas RENDA ESCOLARIDADE ESCOLARIDADE x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x lnhas x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x clunas ESCOLARIDADE Fgura 5-7 Médas e medanas para esclardade e renda na Ilha d Gvernadr.

11 Na Fgura 5-7, apresenta-se resultad desta técnca aplcada a ds ndcadres scecnômcs d cens 1991 renda méda d chefe da famíla e prprçã de chefes de famíla cm esclardade gual u superr a segund grau para setres censtárs da Ilha d Gvernadr, n R de Janer. Esta é cmpsta pr 225 setres censtárs, cujs centródes estã assnalads n prmer quadr da fgura: bserve que nas extremdades d mapa a quantdade de pnts é mut pequena, e, cnsequentemente, qualquer medda nesta área será puc rbusta. N ex Nrte-Sul (clunas) pde-se bservar que a renda méda d chefe da famíla apresenta tendênca varável, bem menr n centr da regã. A mesma csa acntece para esclardade, embra cm mar flutuaçã. N ex Leste-Oeste (lnhas), também parece haver algum deslcament para valres mas alts n sentd leste, mas desclament de médas (x) e medanas () sugere a presença de valres extrems ds ndcadres. A varaçã na méda ds ndcadres na regã está, aparentemente, dvdda entre as duas dreções analsadas, e pde-se explrar melhr a tendênca através da rtaçã ds exs de referênca. Análse de Autcrrelaçã Espacal Outra etapa da análse explratóra vsa dentfcar a estrutura de crrelaçã espacal que melhr descreva s dads. A déa básca é estmar a magntude da autcrrelaçã espacal entre as áreas. Neste cas, as ferramentas utlzadas sã índce glbal de Mran, índce de Geary e vargrama. Quand se dspõe de grande númer de áreas, resultantes pr exempl de escalas espacas detalhadas, a natureza ds prcesss envlvds é tal que é mut prvável a exstênca de dferentes regmes de crrelaçã espacal em dferentes sub-regões. Para evdencar estes regmes espacas, pde-se utlzar s ndcadres lcas de autcrrelaçã espacal e mapa de espalhament de Mran, descrts também nesta seçã. Tdas estas estatístcas dependem da defnçã de vznhança adtada, dscutda a segur. Matrzes de Prxmdade Espacal Para estmar a varabldade espacal de dads de área, uma ferramenta básca é a matrz de prxmdade espacal, também chamada matrz de vznhança. Dad um cnjunt de n áreas {A 1,..,A n }, cnstruíms a matrz W (1) (n x n), nde cada um ds elements w j representa uma medda de prxmdade entre A e A j. Esta medda de prxmdade pde ser calculada a partr de um ds seguntes crtérs: w j = 1, se centróde de A está a uma determnada dstânca de A j ; cas cntrár w j = 0

12 w j = 1, se A cmpartlha um lad cmum cm A j, cas cntrár w j = 0 w j = l j /l, nde l j é cmprment da frntera entre A e A j e l é perímetr de A Cm a matrz de prxmdade é utlzada em cálculs de ndcadres na fase de análse explratóra, é mut útl nrmalzar suas lnhas, para que a sma ds pess de cada lnha seja gual a 1. Ist smplfca mut várs cálculs de índces de autcrrelaçã espacal, cm se verá a segur. A Fgura 5-8 lustra um exempl smples de matrz de prxmdade espacal, em que s valres ds elements da matrz refletem crtér de adjacênca e fram nrmalzads. A D B E C A B C D E A 0 0,5 0 0,5 0 B 0,25 0 0,25 0,25 0,25 C 0 0, ,5 D 0,33 0, ,33 E 0 0,33 0,33 0,33 0 Fgura 5-8- Matrz de prxmdade espacal de prmera rdem, nrmalzada pelas lnhas. A déa da matrz de prxmdade espacal pde ser generalzada para vznhs de mar rdem (vznhs ds vznhs). Cm crtér análg a adtad para a matrz de vznhança de prmera rdem, pde-se cnstrur as matrzes W (2),..., W (n). Pr exempl, na Fgura 5-6, as áreas A e C sã vznhas na matrz de prxmdade espacal de rdem 2. N que segue, pr smplcdade, s cefcentes da matrz de prmera rdem sã desgnads (k) smplesmente pr w j, e s das matrzes de rdem k pr w j e que essas matrzes estã nrmalzadas pr lnhas. Méda Móvel Espacal Uma frma smples de explrar a varaçã da tendênca espacal ds dads é calcular a méda ds valres ds vznhs. Ist reduz a varabldade espacal, ps a peraçã tende a prduzr uma superfíce cm menr flutuaçã que s dads rgnas. A méda móvel µˆ asscada a atrbut z, relatv à -ésma área, pde ser calculada a partr ds elements w j da matrz nrmalzada de prxmdade espacal W (1), tmand-se smplesmente a méda ds vznhs:

13 ˆµ = n wj z j= 1 (5.1.) A Fgura 5-9 lustra us d estmadr de méda móvel para percentual de dss (mas de 70 ans) para s 96 dstrts da cdade de Sã Paul. Estes dads sã ndcadres da grande dspardade scal da cdade, cm uma grande varaçã entre centr (nde a prprçã de dss chega a 8%) cm a perfera (nde há váras regões cm mens de 1%). O valr máxm d percentual de dss é de 8,2% e mínm de 0,8%, cm um desv padrã de aprxmadamente 2%. Cm a méda lcal, há um alsament: valr mínm é de 1% e máxm é reduzd a 6,8%. Pde-se ntar, a cmparar s ds mapas da Fgura 5-9, que a méda móvel lcal frnece uma vsã das grandes tendêncas d fenômen em estud e n cas d percentual de dss, mstra um frte gradente centr-perfera. Fgura 5-9- Dstrbuçã ds dss na cdade de Sã Paul (cens de 1991). À esquerda, apresentaçã ds valres pr dstrbuçã estatístca. À dreta, méda móvel lcal. Indcadres Glbas de Autcrrelaçã Espacal: Índces de Mran e Geary Um aspect fundamental da análse explratóra espacal é a caracterzaçã da dependênca espacal, mstrand cm s valres estã crrelacnads n espaç. Neste cntext, as funções utlzadas para estmar quant valr bservad de um atrbut numa regã é dependente ds valres desta mesma varável nas lcalzações vznhas sã a autcrrelaçã espacal e vargrama. O índce glbal de Mran I, é a expressã da autcrrelaçã cnsderand apenas prmer vznh:

14 n n wj ( z z)( z j z) = 1 j= 1 I = n 2 ( z z) = 1 (5.2.) Na equaçã acma, n é númer de áreas, z valr d atrbut cnsderad na área, z é valr méd d atrbut na regã de estud e w j s elements da matrz nrmalzada de prxmdade espacal. Neste cas a crrelaçã será cmputada apenas para s vznhs de prmera rdem n espaç, cnfrme estabelecd pels pess w j. O mesm cálcul fet para matrzes de prxmdade de mar rdem permte estmar a funçã de autcrrelaçã para cada rdem de vznhança (u lag ). I ( k ) n n ( k ) n wj = 1 j= 1 = N = 1 ( z z )( z 2 ( z z ) j z ) (5.3.) De uma frma geral, índce de Mran presta-se a um teste cuja hpótese nula é de ndependênca espacal; neste cas, seu valr sera zer. Valres pstvs (entre 0 e +1) ndcam para crrelaçã dreta e negatvs, (entre 0 e 1) crrelaçã nversa. Uma vez calculad, é mprtante estabelecer sua valdade estatístca. Em utras palavras, será que s valres medds representam crrelaçã espacal sgnfcatva? Para estmar a sgnfcânca d índce, será precs asscar a este uma dstrbuçã estatístca, send mas usual relacnar a estatístca de teste à dstrbuçã nrmal. Outra pssbldade, sem pressupsts em relaçã à dstrbuçã, e abrdagem mas cmum é um teste de pseud-sgnfcânca. Neste cas, sã geradas dferentes permutações ds valres de atrbuts asscads às regões; cada permutaçã prduz um nv arranj espacal, nde s valres estã redstrbuíds entre as áreas. Cm apenas um ds arranjs crrespnde à stuaçã bservada, pde-se cnstrur uma dstrbuçã empírca de I, cm mstrad na Fgura Se valr d índce I medd rgnalmente crrespnder a um extrem da dstrbuçã smulada, entã trata-se de valr cm sgnfcânca estatístca. N cas d índce exclusã/nclusã scal em Sã Paul, apresentad na Fgura 5-1, índce glbal de Mran medd é 0,642. Uma pseuddstrbuçã cm 100 valres está mstrada na Fgura Neste cas, valr de sgnfcânca asscad é de 5,23, que ns leva a rejetar a hpótese nula (nã crrelaçã entre as regões), cm sgnfcânca de 99,5%. Pde-se dzer entã que a exclusã scal em Sã Paul apresenta frte estrutura espacal,

15 parte varaçã ampla, u tendênca, parte dependênca espacal entre vznhs. Fgura 5-10 Exempl de dstrbuçã smulada para índce de Mran. A hpótese mplícta d cálcul d índce de Mran é a estacnaredade de prmera e segunda rdem, e índce perde sua valdade a ser calculad para dads nã estacnárs Quand exstr nã-estacnaredade de prmera rdem (tendênca), s vznhs tenderã a ter valres mas parecds que áreas dstantes, ps cada valr é cmparad à méda glbal, nflacnand índce. Da mesma frma, se a varânca nã é cnstante, ns lcas de mar varânca índce será mas bax, e vce-versa. Quand dad é nã-estacnár, a funçã de autcrrelaçã cntnua decand mesm após ultrapassar a dstânca nde há nfluêncas lcas. Algumas varações deste mdel sã teste C de Geary e teste Ipp. O prmer (C de Geary) dfere d teste I de Mran pr utlzar a dferença entre s pares, enquant que Mran utlza a dferença entre cada pnt e a méda glbal. Assm, ndcadr C de Geary assemelha-se a vargrama, e I de Mran a crrelgrama. C ( n 1) = 1 = 1 j= 1 = n n n n w j n j j= 1 = 1 w ( z z ) z 2 j 2 (5.4.) O teste Ipp também é utlzad para detectar desvs de uma dstrbuçã espacal aleatóra, prém ncrpra a varaçã da ppulaçã nas áreas. Assm, é sensível à crrênca de aglmerad ntra-área u seja, a crrênca de elevad númer de cass numa pequena ppulaçã de um únc muncíp além ds aglmerads entre áreas, nde muncíps cm muts cass sã adjacentes. Prtant índce Ipp pde ser decmpst em

16 um cmpnente ntra-áreas e utr nter-áreas, que pdem ser apresentads sb frma percentual ns resultads. A hpótese nula (H 0 ) assume que a varaçã gegráfca d númer de cass segue a varaçã gegráfca d tamanh da ppulaçã, send partcularmente útl quand a ppulaçã das áreas nã é hmgênea. Ipp= N 2 m m = 1 j= 1 w ( e j ( X d )( e j m m 2 = 1 j= 1 d ) N(1 2b ) d d j j w j X m = 1 d w = 1 m ) w e Nb j b(1 b) m = 1 w d (5.5.) çåçéw=ã= = k ãéêç=çé= êé~ë== k== = k ãéêç=íçí~ä=çé=å~ëçë=éã=íçç~ë=~ë= êé~ëk= å á== = k ãéêç=çé=å~ëçë=å~= êé~=á= É á= = mêçéçê ç=çé=å~ëçë=å~= êé~=á=eé á Zå á LkF= u = = mçéìä~ ç=íçí~ä=éã=íçç~ë=~ë= êé~ë= ñ á== = q~ã~åüç=ç~=éçéìä~ ç=å~= êé~=á= Ç á== = mêçéçê ç=çé=éçéìä~ ç=å~= êé~=á=eç á Zñ á LkF= w á== = aáñéêéå ~=ÉåíêÉ=~=í~ñ~=u á =É=~=ã Çá~=ÇÉ=u= ï áà= = = méëçë=~íêáäì Ççë=ÅçåÑçêãÉ=~=ÅçåÉñ ç=éåíêé=~ë= êé~ë=á=é=à= Ä== = mêéî~äæååá~=ã Çá~=EkLuF= A tabela 5.2 apresenta s resultads ds testes de aglmerad espacal para a mrtaldade pr hmcíds n Estad d R. Observe que grau de sgnfcânca d teste Ipp é mar que Mran, e que aprxmadamente metade da agregaçã deve-se a fatres ntra-muncpas. Ou seja, além de muncíps próxms apresentarem padrões semelhantes, exste um excess de cass dentr ds muncíps vlents, que ultrapassa esperad em funçã da ppulaçã. TABELA 5.2 RESULTADOS DOS TESTES DE AGLOMERADOS ESPACIAIS: HOMICÍDIOS NO RIO DE JANEIRO, Mran I Ipp Indcadr 0,5861 0,00015 p-valr 7, ,9238 % entre áreas - 54,3 % ntra áreas - 45,7

17 Vargrama De manera análga a apresentad n capítul 3, pdems utlzar vargrama cm ndcadr da dependênca espacal. Para tant, asscams valr únc d atrbut de cada área a um pnt, usualmente centr gemétrc u ppulacnal d plígn. Cm base nestas lcalzações, calcula-se a funçã vargrama. Nte-se quand dad é nã-estacnár, também vargrama nã se establza, mas cntnua crescend sempre cm a dstânca. Cm exempl de us d vargrama para dads de área, a Fgura 5-11 lustra Índce de Desenvlvment Human IDH para estad de Sã Paul, calculad pel IPEA, cm base n cens de A Fgura 5-12 apresenta vargrama d IDH, cmputad a partr ds centróde de cada muncíp. Fgura IDH para Sã Paul (cens de 1991) Fgura 5-12 Vargrama expermental d IDH para Sã Paul (cens de 1991). Pass de amstragem: 40 km (tlerânca : 20 km).

18 O que mstra vargrama da Fgura 5-10? N ex ds X, apresentam-se as dstâncas entre s muncíps, e n ex Y, a méda d quadrad das dferenças d IDH, para muncíps separads pr faxas de dstânca, cm ntervals de 40 km e tlerânca de 20 km. Assm, prmer pnt calcula a dferença de IDH entre s muncíps cuja dstânca entre s centrs seja de 20 a 60 Km, e assm pr dante, até a dstânca de 400 km. O gráfc evdenca uma frte dependênca espacal entre s ndcadres de qualdade de vda ds muncíps de Sã Paul. Trata-se de um resultad ds prcesss de cupaçã d estad, que seguram perspectvas regnas. A partr da lógca de expansã d café d sécul XIX, bserva-se hje uma regã de frte prduçã agrícla stuada a lng d ex da rdva Anhanguera, a predmnânca da pecuára na regã d Oeste Paulsta, e uma frte cncentraçã ndustral na regã metrpltana de Sã Paul, n ABC e n méd Vale d Paraíba. Assm, tds s prcesss hstórcs apntam para uma dependênca espacal n desenvlvment ecnômc n estad. Para cnsderar um exempl adcnal, cnsdere-se estud sbre mrtaldade pr hmcíds na regã Sudeste. que sã a causa de mas de 20% ds óbts ds hmens entre 15 e 45 ans n Brasl. A Fgura 5-13 lustra a dstrbuçã espacal da mrtaldade pr hmcíds, usand cm ndcadr lgartm d cefcente de mrtaldade específc, pr resdentes d mesm grup etár. Entendend prcess da vlênca cm de uma "epdema" da mderndade, que se "prpaga" n espaç, uma smples bservaçã vsual permte dentfcar uma elevada crrênca de mrtes vlentas n RJ, cm uma tendênca espacal captal-nterr. N cas de ES e SP, há uma cncentraçã próxma da captal e grandes cdades. N entant, em MG, as áreas mas vlentas stuam-se lnge das regões metrpltanas, que ndca um padrã espacal dstnt. Adcnalmente, há uma marcada transçã na frntera entre MG e RJ, ndcand uma mudança nas cndções de dssemnaçã da "epdema da vlênca". Cabe lembrar que f utlzad lgartm d ndcadr, dad ser a dstrbuçã d mesm bastante cncentrada em trn de valres mut baxs, cm uma grande cauda a dreta.

19 Fgura Mrtaldade pr hmcíds, regã Sudeste d Brasl O crrelgrama da Fgura 5-14 apresenta a autcrrelaçã espacal entre s muncíps de cada estad, expressa através da funçã defnda pela equaçã 5.3. O gráfc ndca a exstênca de uma frte tendênca espacal n RJ, ps a funçã de autcrrelaçã nã se establza cm a dstânca, mas cntnua decrescente, a cntrár de MG, que nã apresenta dependênca espacal marcante. Em utras palavras, n RJ, se muncíp vznh a seu é vlent, é altamente prvável que a sua cdade também seja; td estad apresenta uma estrutura de vlênca regnalzada, e a vlênca deca n nterr d estad. Em MG, esta padrã nã é bservad: a vlênca parece flutuar aleatramente. MG RJ 0.6 Autcrrelaçã dstânca entre pares Fgura Crrelgrama da mrtaldade pr hmcíds ns estads d Sudeste. Dagrama de Espalhament de Mran O dagrama de espalhament de Mran é uma manera adcnal de vsualzar a dependênca espacal. Cnstruíd cm base ns valres

20 nrmalzads (valres de atrbuts subtraíds de sua méda e dvdds pel desv padrã), permte analsar cmprtament da varabldade espacal. A déa é cmparar s valres nrmalzads d atrbut numa área cm a méda ds seus vznhs, cnstrund um gráfc bdmensnal de z (valres nrmalzads) pr wz (méda ds vznhs), que é dvdd em quatr quadrantes, cm mstrad na Fgura 5-15 para índce de exclusã/nclusã scal de Sã Paul, cens de Os quadrantes pdem ser nterpretads cm: Q1 (valres pstvs, médas pstvas) e Q2 (valres negatvs, médas negatvas): ndcam pnts de asscaçã espacal pstva, n sentd que uma lcalzaçã pssu vznhs cm valres semelhantes. Q3 (valres pstvs, médas negatvas) e Q4 (valres negatvs, médas pstvas): ndcam pnts de asscaçã espacal negatva, n sentd que uma lcalzaçã pssu vznhs cm valres dstnts. 0,8 0,6 0,4 Q 4 Q 1 0,2 WZ 0,0-0,2-0,4 Q 2 Q 3-0,6-0,8-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 Z = 0,642*WZ Z Fgura 5-15 Dagrama de Espalhament de Mran para índce de exclusã/nclusã scal de Sã Paul, cens de O dagrama de espalhament de Mran crrbra s resultads apresentads, nde ndcams que índce glbal de Mran para ndcadr de exclusã/nclusã scal para s dstrts de Sã Paul apresentava valr estatstcamente sgnfcatv. Cm mstrad na Fgura 5-15, a mar parte ds dstrts de Sã Paul está lcalzad ns quadrantes Q1 e Q2, que apresentam asscaçã espacal pstva. Os pnts lcalzads ns quadrantes Q3 e Q4 pdem ser vsts cm regões que nã seguem mesm prcess de dependênca espacal das demas bservações. Evdentemente, dagrama reflete a estrutura espacal nas duas escalas de análse: vznhança e tendênca.

21 O índce de Mran I é equvalente a cefcente de regressã lnear que ndca a nclnaçã da reta de regressã (α) de wz em z. Para cas ds dads apresentads na Fgura 5-15, este cefcente é gual a 0,642, mesm valr calculad aplcand-se a fórmula da equaçã 5.3. O dagrama de espalhament de Mran também pde ser apresentad na frma de um mapa temátc bdmensnal, n qual cada plígn é apresentad ndcand-se seu quadrante n dagrama de espalhament, cm lustra a Fgura 5-16, em que mstrams mapa d espalhament d índce de Mran para índce de exclusã/nclusã scal da cdade de Sã Paul em Nesta fgura, Alt-Alt, Bax-Bax, Alt-Bax e Bax-Alt ndcam, respectvamente, s quadrantes Q1, Q2, Q3 e Q4, mstrads na Fgura Nta-se uma frte plarzaçã centr-perfera e bserva-se que s dstrts lcalzads ns quadrantes Q3 e Q4 (ndcads pela cr azul) pdem ser entendds cm regões de transçã entre centr da cdade (que tende a apresentar valres pstvs d índce de exclusã/nclusã scal) e as duas grandes perferas de Sã Paul (zna Sul e zna Leste). Fgura 5-16 Mapa de Espalhament de Mran para índce de exclusã/nclusã scal da cdade de Sã Paul, cens 1991 Indcadres Lcas de Asscaçã Espacal Os ndcadres glbas de autcrrelaçã espacal, cm índce de Mran, frnecem um únc valr cm medda da asscaçã espacal para td cnjunt de dads, que é útl na caracterzaçã da regã de estud cm um td. Quand ldams cm grande númer de áreas, é mut prvável que crram dferentes regmes de asscaçã espacal e que apareçam máxms lcas de autcrrelaçã espacal, nde a dependênca espacal é anda mas prnuncada. Assm, mutas vezes é desejável examnar padrões em mar detalhe. Para tant, é precs utlzar ndcadres de asscaçã espacal que pssam ser asscads às dferentes lcalzações de uma varável dstrbuída espacalmente. Os ndcadres lcas prduzem um

22 valr específc para cada área, permtnd assm a dentfcaçã de agrupaments. O índce lcal de Mran pde ser express para cada área a partr ds valres nrmalzads z d atrbut cm: I = z n j= 1 n j= 1 w z j 2 j z j (5.6.) A sgnfcânca estatístca d us d índce de Mran lcal é cmputada de frma smlar a cas d índce glbal. Para cada área, calcula-se índce lcal, e deps permuta-se aleatramente valr das demas áreas, até bter uma pseud-dstrbuçã para a qual pssams cmputar s parâmetrs de sgnfcânca.uma vez determnada a sgnfcânca estatístca d índce lcal de Mran, é útl gerar um mapa ndcand as regões que apresentam crrelaçã lcal sgnfcatvamente dferente d rest d dads. Estas regões pdem ser vstas cm "blsões" de nã-estacnaredade, ps sã áreas cm dnâmca espacal própra e que merecem análse detalhada. Para cas d índce de exclusã/nclusã scal da cdade de Sã Paul (cens de 1991), esse mapa (Fgura 5-17) mstra claramente s agregads de pbreza e de rqueza na cdade. Na zna Leste e na zna Sul de Sã Paul há regões crítcas, nde agravament das cndções scas resulta numa degradaçã sgnfcatva das cndções de vda. Fgura 5-17 Indcadr de autcrrelaçã espacal para índce de exclusã/nclusã scal de Sã Paul (cens de 1991). Apenas s valres cm sgnfcânca mar que 95% estã mstrads.

23 5.5 ESTIMAÇÃO DE INDICADORES: A seçã 5.3 apresentu prblema de agregaçã de cntagens em áreas, cm a recmendaçã fnal de utlzar a melhr resluçã espacal dspnível. Na prátca, us desta estratéga requer um tratament adcnal ns dads, prncpalmente ns cass de pequenas áreas em que calculams taxas sbre um unvers ppulacnal reduzd. Para entender melhr prblema, cnsdere-se a Fgura 5-18 que apresenta um mapa temátc cm a mrtaldade nfantl ds barrs d R de Janer, em Neste mapa, R está dvdd em 148 barrs, e a taxa de mrtaldade nfantl anual para cada barr, expressa númer de óbts de menres de 1 an, pr ml nascds vvs. Fgura Taxa ttal de mrtaldade nfantl pr ml nascds vvs n R de Janer, em Numa prmera letura, este mapa chca pelas altas taxas de mrtaldade de várs barrs, cm 15 barrs apresentand uma taxa mar que 40 óbts pr ml nascds, e 2 cass cm taxas acma de 100 pr ml nascds. Um bservadr desatent pdera cnclur que tds estes barrs apresentam um grave prblema scal. Na realdade, muts destes valres extrems crrem ns barrs cm pequenas ppulações, ps a dvsã da cdade utlzada escnde enrmes dferenças na ppulaçã em rsc, varand de 15 até 7500 cranças pr barr. Pr exempl, cnsdere uma regã cm 15 cranças nascdas e nenhuma mrte, que aparentemente ndcara uma stuaçã deal. Se apenas uma crança mrre neste an, a taxa passa de 0 pr ml para 66 pr ml! Tas prblemas sã típcs de recbrments espacas sbre dvsões plítc-admnstratvas, nde se analsam áreas cm valres mut dstnts de ppulaçã em rsc. Várs estuds têm mstrad que em dvsões plítcas cm barrs e muncíps apresentam relações nversas de área e ppulaçã, st é, s mares barrs em ppulaçã tendem a ter menres

24 áreas, e vce-versa. Pr ss mesm, freqüentemente que mas chama a atençã num mapa temátc de taxas, que sã s valres extrems, mutas vezes sã resultad de um númer reduzdíssm de bservações, send prtant mens cnfável, u seja, apenas flutuaçã aleatóra. Para suavzar a flutuaçã aleatóra, cnsdera-se que a taxa estmada pela dvsã smples entre cntagem de óbts e de ppulaçã taxa bservada é apenas uma realzaçã de um prcess nã bservad, e que é tant mens cnfável quant menr a ppulaçã. Assm, prpõe-se reestmar uma taxa mas próxma d rsc real a qual a ppulaçã está expsta. A prmera prvdênca é fazer um gráfc que expresse a taxa em funçã da ppulaçã em rsc, cm mstrad na Fgura Fgura 5-19 Taxa de mrtaldade nfantl n R de Janer em 1994 em funçã d númer de nascments pr barr. N cas d R, a taxa méda de mrtaldade nfantl da cdade, em 1994, f de 21 óbts pr ml nascds. Neste gráfc, bserva-se que s barrs cm mar ppulaçã apresentam taxas próxmas da méda da cdade. Cnfrme dmnu a ppulaçã em rsc, aumenta mut a flutuaçã da taxa medda, frmand que já f denmnad de efet funl. Ns barrs de menr ppulaçã, esta varaçã sclu de 0 a quase 130 pr ml. É razável supr que as taxas das dferentes regões estã autcrrelacnadas, e levar em cnta cmprtament ds vznhs para estmar uma taxa mas realsta para as regões de menr ppulaçã. Esta frmulaçã sugere us de técncas de estmaçã bayesana. Nesse cntext, cnsdera-se que a taxa real θ asscada a cada área nã é cnhecda, e dspms de uma taxa bservada t = z n, nde n é númer de pessas bservadas, é z é númer de events na -ésma área.

25 A déa d estmadr bayesan é supr que a taxa θ é uma varável aleatóra, que pssu uma méda µ e uma varânca σ. Pde ser demnstrad que melhr estmadr bayesan é dad pr uma cmbnaçã lnear entre a taxa bservada e a méda µ : O fatr w é dad pr: ˆ θ = 1 µ, (5.7.) wt + ( w ) 2 w = σ 2 σ 2 + µ n (5.8.) O pes w é tant menr quant menr fr a ppulaçã em estud da -ésma área e reflete grau de cnfança a respet de cada taxa. Para cas de ppulações reduzdas, a cnfança na taxa bservada dmnu e a estmatva da taxa se aprxma de nss mdel a prr (u seja, se aprxma de µ). Regões cm ppulações mut baxas terã uma crreçã mar, e regões ppulsas terã puca alteraçã em suas taxas. Lg θ será estmad, quand n fr pequen, cm mar pes da méda da vznhança. Neste pnt, deve-se bservar que a frmulaçã bayesana requer as 2 médas e varâncas µ e σ para cada uma das áreas. A abrdagem mas smples para tratar a estmaçã destes parâmetrs é chamad estmadr bayesan empírc. Este estmadr parte da hpótese que a dstrbuçã da varável aleatóra θ é a mesma para tdas as áreas; st mplca que tdas as 2 médas e varâncas sã guas. Pde-se entã estmar µ e σ dretamente a partr ds dads. Neste cas, calcula-se µ a partr das taxas bservadas: y µˆ = (5.9.) n 2 E estma-se a varânca σ a partr da varânca das taxas bservadas cm relaçã à méda estmada: 2 n ( t ˆ) µ 2 ˆ µ σ = (5.10.) n n As regões terã suas taxas re-estmadas aplcand-se uma méda pnderada entre valr medd e a taxa méda glbal, em que pes da méda será nversamente prprcnal à ppulaçã da regã. A aplcarms esta crreçã às taxas de mrtaldade nfantl d R de Janer, bservams que há uma reduçã sgnfcatva ns valres extrems. Pr exempl, a Cdade Unverstára (Ilha d Fundã), nde nasceram 13 cranças em 1994, apresentu uma taxa aparente de 76 pr ml nascds vvs e uma taxa

26 crrgda de 36 pr ml. Barrs cm puca ppulaçã n grup de rsc apresentaram reduções semelhantes, enquant que barrs mas ppulss mantveram as taxas rgnalmente meddas. A cmparaçã entre a taxa prmára e valr estmad está apresentada na Fgura Em resum, é precs extrem cudad a prduzr mapas temátcs, especalmente em Å~ëçë= çåçé= ~éêéëéåí~ãçë= í~ñ~ë= ãéçáç~ë= ëçäêé= éçéìä~ πéë= Åçã= î~äçêéë= êéçìòáççëk= Fgura Cmparaçã entre a taxa de mrtaldade nfantl bservada e a taxa estmada pel métd bayesan empírc. O estmadr bayesan empírc pde ser generalzad para nclur efets espacas. Neste cas, a déa é fazer a estmatva bayesana lcalmente, cnvergnd em dreçã a uma méda lcal e nã a uma méda glbal. Basta aplcar métd anterr em cada área cnsderand cm regã a sua vznhança. Ist é equvalente a supr que as taxas da vznhança da área pssuem méda µ e varânca σ cmuns. Neste cas, pde-se falar em estmatva bayesana empírca lcal. A segur, apresenta-se a detecçã de hanseníase em Recfe (Fgura 5-20) nde f utlzad esse métd lcal para estmar a taxa da dença ns barrs da cdade. Através d mapa crrgd f pssível ndcar barrs prrtárs para a atuaçã da vglânca epdemlógca pr apresentarem valres alts mesm após suavzaçã d ndcadr. 2

27 N W E S Cef. Detecçã Alsament Bayesan Empírc Fgura Taxas de detecçã méda de hanseníase em menres de 15 ans, períd , pr barr d Recfe, e taxas estmadas através de alsament bayesan. Cm apresentad acma, estmadr bayesan empírc parte da hpótese que a dstrbuçã da varável aleatóra θ é a mesma para tdas as áreas e que as médas e varâncas µ e σ para cada uma das áreas sã guas. Deve-se lembrar que esta hpótese nem sempre é realsta, ps em estatístcas scecnômcas (cm n cas ds dads de saúde dscutds) as característcas das ppulações estudadas sã mut hetergêneas. Deste md, em muts cass é desejável fazer a hpótese de que cada área tem seu própr padrã (e s µ e σ 2 sã dstnts); st mplca em estmar a dstrbuçã cnjunta Z = Z,..., Z } das varáves aleatóras. { 1 n À prmera vsta, a estmatva da dstrbuçã cnjunta pde parecer mpssível, dad que está dspnível para análse apenas uma amstra de cada uma das varáves aleatóras, u seja, sabe-se apenas valr cletad em cada undade de área. Entretant, s estmadres bayesans cmplets (full Bayes) trnaram pssível reslver prblema, através da utlzaçã de técncas de smulaçã baseadas em MCMC Markv Chan Mnte Carl para a nferênca ds parâmetrs de nteresse. Em funçã da cmplexdade de frmulaçã, este lvr nã abrda s estmadres bayesans baseads em MCMC. O letr deve referr-se à bblgrafa n fnal d capítul para mares detalhes. 2

28 5.6 MODELOS DE REGRESSÃO Um ds tps de estuds mas cmuns cm dads de área é us de mdels de regressã. Um mdel de regressã é uma ferramenta estatístca que utlza relacnament exstente entre duas u mas varáves de manera que uma delas pssa ser descrta u seu valr estmad a partr das demas. Na stuaçã ds dads espacas, quand está presente a autcrrelaçã espacal, as estmatvas d mdel devem ncrprar esta estrutura espacal, uma vez que a dependênca entre as bservações altera pder explcatv d mdel. A sgnfcânca ds parâmetrs é usualmente superestmada, e a exstênca de varações em larga escala pde até mesm nduzr a presença de asscações espúras. Neste lvr, nã será feta uma descrçã detalhada ds mdels tradcnas de regressã, dspnível em dverss lvrs cnsagrads, mas apenas será apresentad um breve resum, necessár a entendment ds mdels de regressã espacal. O bjetv geral de uma análse de regressã lnear é quantfcar a relaçã lnear entre uma varável dependente e um cnjunt de varáves explcatvas, cnfrme express na equaçã matrcal: 2 Y = Xβ + ε, ε ~ N(0, σ ) u (5.11.) Y1 1 Y2 1.. = Y n 1 X X.... X n X X X 1k 1 2k nk 1 β0 ε1 β1 ε β k 1 ε n (5.12.) nde Y é a varável dependente, cmpsta de um vetr (n x 1) de bservações tmadas em cada um das n áreas, X é uma matrz (n x k) cm k- 1 varáves explcatvas também tmadas nas n áreas, β é vetr (k x 1) cm s cefcentes de regressã, e ε é um vetr (n x 1) de errs aleatórs, u resídus. Tpcamente, quand se faz uma análse de regressã, prcura-se alcançar ds bjetvs: (a) encntrar um bm ajuste entre s valres predts pel mdel e s valres bservads da varável dependente; (b) descbrr quas da varáves explcatvas cntrbuem de frma sgnfcatva para este relacnament lnear. Para tant, a hpótese padrã é que as bservações nã sã crrelacnadas, e, cnsequentemente, que s resídus ε d mdel também sã ndependentes e nã-crrelacnads cm a varável dependente, tem varânca cnstante, e apresentam dstrbuçã nrmal cm méda zer.

29 N entant, n cas de dads espacas, nde está presente a dependênca espacal, é mut puc prvável que a hpótese padrã de bservações nã crrelacnadas seja verdadera. N cas mas cmum s resídus cntnuam apresentand a autcrrelaçã espacal presente ns dads, que pde se manfestar pr dferenças regnas sstemátcas nas relações d mdel, u anda pr uma tendênca espacal cntínua. A nvestgaçã ds resídus da regressã em busca de snas de estrutura espacal é prmer pass em uma regressã espacal. As ferramentas usuas de análse gráfca e mapeament de resídus, pdem dar as prmeras ndcações de que s valres bservads estã mas crrelacnads d que sera esperad sb uma cndçã de ndependênca. Neste cas, utlzar s testes de autcrrelaçã espacal Mran e Geary ns resídus da regressã nfrma sbre sua presença. Em cas de exstr autcrrelaçã, deve-se especfcar um mdel que cnsdere a nterferênca causada pela mesma. N restante desta seçã, apresentams várs tps de mdels de regressã que permtem ncrprar efets espacas, desde aqueles que tratam a estrutura espacal de frma glbal (cm um únc parâmetr) até mdels em que s parâmetrs varam cntnuamente n espaç. Mdels cm Efets Espacas Glbas A nclusã explícta de efets espacas em mdels de regressã pde ser feta de dferentes frmas. A classe de mdels de regressã espacal mas smples, chamads de mdels cm efets espacas glbas, supõe que é pssível capturar a estrutura de crrelaçã espacal num únc parâmetr, que é adcnad a mdel de regressã tradcnal. Neste cas, tem-se duas alternatvas para tratar a autcrrelaçã glbal em um mdel de regressã. Na prmera, a autcrrelaçã espacal gnrada é atrbuída à varável dependente Y. Esta abrdagem é denmnada cm mdel espacal autregressv mst ( Spatal AutRegressve SAR u anda cm spatal lag mdel ), dad que se cnsdera a dependênca espacal através da adçã a mdel de regressã de um nv term na frma de uma relaçã espacal para a varável dependente. Frmalmente st é express cm: Y = ρ WY + Xβ + ε, (5.13.) nde W é a matrz de prxmdade espacal, e prdut WY expressa a dependênca espacal em Y e ρ é cefcente espacal autregressv. A hpótese nula para a nã exstênca de autcrrelaçã é que ρ = 0. A déa básca neste mdel é ncrprar a autcrrelaçã espacal cm cmpnente d mdel. Em terms de cmpnentes ndvduas, este mdel pde ser express cm

30 y ρ x β + ε = wj y j + j =1 (5.14.) O segund tp de mdel de regressã espacal cm parâmetrs glbas cnsdera que s efets espacas sã um ruíd, u perturbaçã, u seja, fatr que precsa ser remvd. Neste cas, s efets da autcrrelaçã espacal sã asscads a term de err ε e mdel pde ser express pr: Y = Xβ + ε, ε = λw + ξ, (5.15.) nde Wε é a cmpnente d err cm efets espacas, λ é cefcente autregressv e ξ é a cmpnente d err cm varânca cnstante e nã crrelacnada. A hpótese nula para a nã exstênca de autcrrelaçã é que λ= 0, u seja, term de err nã é espacalmente crrelacnad. Este mdel é também chamad de mdel d err espacal ( spatal errr mdel u anda Cndtnal AutRegressve - CAR). A partr da equaçã 5.15, pde-se mstrar que mdel de err espacal pde também ser express cm: Y λ WY = Xβ λwxβ + ξ (5.16.) u anda cm ( I λ W ) Y = ( I λw ) Xβ + ξ (5.17.) que pde ser vst cm uma regressã nã-espacal nas varáves fltradas * * Y = ( I λw ) Y, X = ( I λw ) X (5.18.) Na prátca, a dstnçã entre s ds tps de mdels de regressã espacal cm parâmetrs glbas é dfícl ps, apesar da dferença nas suas mtvaçã, eles sã mut próxms em terms frmas. Estes mdels estã ncluíds em ambentes de estatístca espacal avançads, cm ns sftwares SpaceSat, S-Plus e R, esse de dmín públc. Nas referêncas n fnal d capítul, letr pderá encntrar ndcações sbre cm tas mdels pdem ser estmads e sbre testes de hpóteses sbre seu cmprtament. Os mdels de regressã espacal cm efets glbas partem d prncíp de que prcess espacal subjacente as dads analsads é estacnár. Ist mplca que s padrões de autcrrelaçã espacal exstentes ns dads pdem ser capturads num únc parâmetr. Na prátca, para cnjunts de dads censtárs de méd e grande prte, a natureza ds prcesss espacas é tal que dverss padrões de asscaçã espacal pdem estar presentes. Esta hpótese, que pde ser verfcada, pr

31 exempl, pels ndcadres lcas de autcrrelaçã espacal, está na rgem as mdels cujs parâmetrs varam n espaç, dscutds a segur. Mdels de Regressã cm Efets Espacas Lcas (a) Cas Dscret Mdels de Regressã cm Regmes Espacas Quand prcess espacal é nã-estacnár, s cefcentes de regressã precsam refletr a hetergenedade espacal. Para tant, há duas grandes alternatvas: (a) mdelar a tendênca espacal de frma cntínua, cm parâmetrs varantes n espaç; (b) mdelar a varaçã espacal de frma dscreta, a dvdr espaç em sub-regões estacnáras, chamadas de regmes espacas. A déa de regmes espacas é dvdr a regã de estud em sub-regões, cada uma cm seu padrã espacal própr, e realzar regressões em separad, uma para cada regã. As bservações sã classfcadas em ds u mas subcnjunts, a partr de uma varável pr ndcaçã, a saber: Y = X β + ε nd 1 (5.19.) Y , = = X β + ε, nd 2 (5.20.) = Apesar de cada regme pssur s seus próprs valres de cefcentes, estes valres sã estmads cnjuntamente, u seja, td cnjunt de bservações dspnível é utlzad na regressã. Para a determnaçã ds regmes espacas, as técncas de análse explratóra apresentadas n níc d capítul sã mut útes, especalmente mapa de espalhament de Mran e s ndcadres lcas de autcrrelaçã espacal. Na prátca, para s dads sóc-ecnômcs típcs de cdades brasleras, mdel de regmes espacas tende a apresentar resultads melhres que s mdels de regressã smples u de regressã espacal cm efets glbas. Ist crre em funçã das frtes desgualdades scas n Brasl, que casnam descntnudades abruptas ns fenômens estudads, cm n cas d recrte entre favelas e áreas rcas, cm é freqüente nas em nssas grandes cdades. Mdels de Regressã cm Efets Espacas Lcas (b) Mdels de Regressã cm Efets espacas cntínus Esta classe de mdels prcura mdelar fenômens nã-estacnárs. Dferentemente d mdel pr regmes espacas, s efets espacas sã mdelads de frma cntínua, cm duas hpóteses: (a) a exstênca de uma varaçã suave em larga escala, sem efets lcas sgnfcatvs u (b) a exstênca de varações lcas cntínuas, sem uma frte tendênca glbal. O prmer cas crrespnde às superfíces de tendênca, descrtas n capítul 3 deste lvr, resumdas n que segue para cnvenênca de letura. O mdel

32 de superfíces de tendênca cnsdera um prcess espacal nde valr da varável é uma funçã plnmal de sua psçã n espaç. O mdel de regressã múltpla utlzand ntaçã vetral é: Y ( s) = X ( s) β + ε( s) (5.21.) nde, Y(s) varável aleatóra representand prcess n pnt s, X(s)β tendênca (u seja, valr méd µ(s)), ε(s) err aleatór cm méda zer e varânca σ 2 O vetr x(s) cnsste em p funções das crdenadas espacas (s 1, s 2 ), d pnt amstrad s. Para uma superfíce de tendênca lnear é apenas (1, s 1, s 2 ), para quadrátca é (1, s 1, s 2, s 1 2, s 2 2, s 1.s 2 ), e assm sucessvamente. β é vetr (p+1) de parâmetrs a ser ajustad. O pressupst básc deste mdel supõe que s errs têm varânca cnstante e sã ndependentes em cada lcal, cnsequentemente, a cvarânca é zer: nã há efets de segunda rdem presentes n prcess. Neste cntext, é fet ajuste d mdel pr mínms quadrads rdnárs. O mdel de superfíces de tendênca é útl sbretud cm uma prmera aprxmaçã d fenômen, ps na prátca, sã lmtads s cass em que a varaçã espacal pde ser expressa desta frma. N entant, s resídus destes mdels sã mut nfrmatvs sbre a natureza das varações lcas. N cas de mdels de varações lcas cntínuas, é déa é ajustar um mdel de regressã a cada pnt bservad, pnderand tdas as demas bservações cm funçã da dstânca a este pnt. Desta frma, serã fets tants ajustes quantas bservações exstrem e resultad será um cnjunt de parâmetrs, send que cada pnt cnsderad terá seus próprs cefcentes de ajuste. Estes parâmetrs pdem ser apresentads vsualmente para dentfcar cm se cmprtam espacalmente s relacnaments entre varáves. Esta técnca é denmnada gegraphcally weghted regressn (GWR u regressã pnderada espacalmente). Para aplcar mdel GWR, mdel padrã de regressã é reescrt na frma: Y ( s) = β ( s) X + ε, (5.22.) nde, Y(s) é a varável aleatóra representand prcess n pnt s, e β(s) ndca que s parâmetrs sã estmads n pnt s. Para estmar s parâmetrs deste mdel, a sluçã padrã pr mínms quadrads para cas nã-espacal, dada pr T 1 T β = ( X X) X Y (5.23.) =ÖÉåÉê~äáò~Ç~=ìë~åÇç=ìã=ã íççç=çé=~àìëíé=äçå~äw= T 1 T β ( s) = ( X W ( s) X ) X W ( s) Y (5.24.)