MATÉRIA PO SEGUNDO BIMESTRE Prof. Me. Carlos Guimarães. Administração de Empresas 7º e 8º semestre

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Jorge Raminhos Brás
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1 MATÉRIA PO SEGUNDO BIMESTRE Prof. Me. Carlos Guimarães Administração de Empresas 7º e 8º semestre

2 Problema de Transporte Objetivo Introduzir o problema do transporte por meio da apresentação: Da origem do problema; Das rotas e custos; Da representação gráfica e Da construção do modelo quantitativo. Problema de Transporte aparece quando há a necessidade de distribuição de bens e serviços : De várias fontes de suprimento (como fábricas, por exemplo) Para várias localizações de demanda (como armazéns ou centros distribuidores). Em geral, a quantidade disponível de bens em cada fonte de suprimento é fixa ou limitada. Cada destino, por sua vez, tem também uma demanda especificada. Existem rotas e custos de transporte diferentes entre cada fonte e cada destino. É preciso determinar quanto deve ser enviado de cada fonte, para cada destino, de maneira a satisfazer as demandas e minimizar o custo total de transporte. Exemplo Existem três fontes de suprimento de um dado produto, as quais serão indicadas por F ; F e F, com as seguintes capacidades mensais de produção: :. unidades F F F : 5. unidades : 5. unidades Essas três fontes devem suprir as necessidades de quatro armazéns (destinos), indicados por D D e D, com as seguintes demandas do produto por mês: 4 D : 8. unidades : 4. unidades D D D 4 : 7. unidades :. unidades, D, Administração Pág. de 8

3 Administração Pág. de 8

objetivo: Minimizar x + 8x + 9x + x + x + 9 + 4x + 8x + 8x + 9x + 6x 4 4 4 Restrições relativas à produção das fontes: Fonte

4 Admitamos que os custos de transporte nas várias rotas variem segundo a matriz: Matriz de Transporte Com as informações sobre demanda dos destinos e capacidade de suprimento das fontes, construímos a chamada matriz de transporte: Função objetivo: Minimizar x + 8x + 9x + x + x x + 8x + 8x + 9x + 6x Restrições relativas à produção das fontes: Fonte F x Fonte F x Fonte F x Restrições relativas às demandas dos destinos: Destino D x Destino D x Administração Pág. de 8

5 Destino D x Destino D 4 x Então temos: Função objetivo Minimizar x + 8x + 9x + x 4 + x + 9x + x + 4x 4 + 8x + 8x + 9x + 6x 4 Sujeito a: x 4. x 4 5. x 4 5. x 8. x 4. x 7. x Administração Pág. 4 de 8

6 Método de Aproximação de Vogel (VAM) O Método de Aproximação de Vogel (VAM - Vogel Approximation Method, em inglês) é uma rotina de cálculos que permite obter uma solução aproximada ao Problema de Transporte. A grande vantagem desse método é a de fornecer uma solução bem próxima à solução ótima ou, às vezes, a própria solução ótima. Exemplo Consideremos a matriz de transporte da Tabela 4.5, ainda sem as cargas alocadas. De acordo com nossa convenção, F; F e F são as fontes e D, D, D e D4, os destinos. Os custos são em R$/unidade de produto transportado; as demandas e os suprimentos são mensais. Tabela 4.5 Matriz de custos de transporte. Exemplo 4.5 D D D D4 Suprimento F 4. F F Demanda O Método de Vogel faz as alocações de forma indireta, por meio dos custos. Considerando cada linha e cada coluna, separadamente, são inspecionados os custos de transporte, para se verificar qual o menor de todos e aquele que imediatamente se segue, ou seja, o primeiro e o segundo menor custo. Identificando o menor e o segundo menor custo, para cada linha e cada coluna, calcula-se a diferença entre os dois. Essa diferença representa um custo de arrependimento, caso se escolha o segundo menor custo em detrimento do primeiro, ou seja, é uma penalidade fictícia, na qual se incorreria caso se escolhesse alocar carga na célula em que está o segundo menor custo, em vez de no primeiro. Essa diferença só pode ser positiva ou nula - nesse último caso, os dois menores custos são exatamente iguais. Assim, por exemplo, na nossa matriz, se considerarmos a linha F, os dois menores custos são R$ 4 e R$ 6. Para essa linha, portanto, a penalidade é de R$ 6 - R$ 4 = R$. Por outro lado, no caso da coluna D; o menor custo é R$ e o segundo menor é R$ 4, sendo a penalidade associada, portanto, de R$ 4 - R$ = R$. Dessa forma, são calculadas as penalidades para cada linha e cada coluna. No início da aplicação do VAM, portanto, cada linha e cada coluna terão suas penalidades calculadas, como mostrado na tabela a seguir, em que se omitiu o símbolo R$ nas penalidades. D D D D 4 Suprimento Penalidade Não Alocada F 4. F F Demanda Penalidade Não Alocada A seguir, o método pede que sejam identificadas a maior penalidade e a linha ou coluna em que ela ocorre. Em nossa matriz, a maior penalidade é, que corresponde à coluna D. Em seguida, identifica-se o menor custo dessa linha ou coluna, que, em nosso caso, é, na célula FD. Administração Pág. 5 de 8

7 Na célula em que se encontra o menor custo, faz-se, então, a alocação de carga, segundo a necessidade do destino ou a possibilidade da fonte de suprimento respectivas. Em nosso caso, a fonte F pode suprir 4. unidades, mas o destino D necessita apenas de. unidades. Faz-se, então, a alocação de. unidades para o destino D, o que esgota a necessidade de D e deixa ainda (4. -.) =. unidades da fonte F para serem posteriormente alocadas. Como o destino D já teve sua demanda satisfeita, ele é excluído dos nossos cálculos posteriores. Todos os custos de transporte na célula D deixam de ser considerados. Os cálculos das penalidades são, então, reiniciados com o restante da matriz de transporte. Confira o leitor a tabela a seguir, em que já está marcada a alocação de. unidades à célula FD e estão calculadas as novas penalidades. D D D D 4 Suprimento Penalidade Não Alocada F. 4.. F F Demanda Penalidade Não Alocada A maior penalidade agora é, correspondente à linha F, na qual o menor custo é 4, na célula FD4. Devemos alocar 5. unidades à célula FD4, que esgotará a demanda do destino D4, embora deixe ainda (. - 5.) = 8. unidades da fonte F a serem alocadas. A coluna tendo sua demanda satisfeita, não mais aparecerá nos cálculos. A tabela a seguir mostra as alocações feitas até aqui, bem como o cálculo das novas penalidades. D D D D 4 Suprimento Penalidade Não Alocada F. 4.. F F Demanda Penalidade Não Alocada Administração Pág. 6 de 8

8 A maior penalidade é, na coluna D. O menor custo dessa coluna é, na célula FD. Aí, então, será feita a alocação de. unidades remanescentes da fonte F, que se esgota e é excluída dos cálculos. A nova matriz ficará assim, já com os cálculos das novas penalidades: D D D D 4 Suprimento Penalidade Não Alocada F.. 4. F F Demanda Penalidade Não Alocada 7. A maior penalidade é, que aparece para dois destinos, D e D. Em ambas as colunas, o menor custo ainda livre é 4, portanto devemos escolher ao acaso onde fazer a alocação. Escolhendo a célula FD; precisamos de 9. unidades, que é a demanda do destino D. A fonte F pode ceder 8. unidades, que são então alocadas. A fonte F se esgota e desaparece dos cálculos. O novo aspecto da tabela é o seguinte: D D D D 4 Suprimento Penalidade Não Alocada F.. 4. F F Demanda Penalidade Não Alocada. 7. O leitor perceberá que não podemos mais calcular penalidades, dada a configuração da tabela. Podemos, entretanto, alocar diretamente as cargas que ainda precisam ser alocadas. É preciso alocar. unidades ao destino D, o que só pode ser feito na célula FD; com cessão de. unidades pela fonte F; também precisamos de 7. unidades para o destino D, o que só pode ocorrer na célula FD, com a fonte F cedendo suas 7. unidades restantes. O aspecto final das atribuições está na tabela a seguir: D D D D 4 Suprimento Não Alocada F.. 4. F F Demanda Não Alocada Podemos calcular o custo total de transporte associado a essa solução. Multiplicando as cargas pelos respectivos custos de transporte, temos:. () +. () + 8. (4) +. (7) + 7. (7) + 5. (4) = 6. Administração Pág. 7 de 8

9 Recapitulemos a rotina de procedimentos do VAM: Unidade 4 - Pesquisa Operacional. Para cada linha e cada coluna da matriz de transporte, determinar a diferença entre o primeiro menor custo e segundo menor. Cada linha e cada coluna terão assim uma penalidade associada, que indica o custo de oportunidade por escolher o segundo menor custo em vez do menor.. Repetir todos os procedimentos até que não seja mais possível o cálculo de novas penalidades, e a alocação que falta seja feita por mera inspeção da tabela.. Identificar a linha ou coluna com a maior penalidade, ou seja, com o maior custo de oportunidade. 4. Na linha ou coluna da maior penalidade, encontrar a célula com o mínimo custo. 5. Alocar tanta carga quanto possível à célula identificada. A quantidade a ser alocada será ou o total da demanda do destino ou o total do suprimento da fonte correspondentes à célula, o que for menor. 6. Calcular e registrar a quantidade não alocada (diferença) na demanda ou no suprimento correspondente para que seja posteriormente alocada. 7. Eliminar dos cálculos restantes a linha ou coluna que foi completamente satisfeita pela alocação feita, ou seja, a coluna do destino se a demanda dela foi completamente satisfeita ou a linha da fonte se o suprimento dela se esgotou. 8. Recalcular as penalidades para a matriz de transporte, deixando de lado os valores de linhas ou colunas que já foram satisfeitas. No caso de não ser possível definir uma maior penalidade (em outras palavras, no caso de serem obtidas penalidades idênticas), a alocação poderá ser feita na linha ou coluna que apresentar o menor custo. Se estes também forem iguais, realizar aleatoriamente a alocação, escolhendo uma das células possíveis (de menor suprimento ou demanda, por exemplo). Bibliografia (texto para estudo) MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa operacional: curso introdutório. ª. ed. São Paulo: Saraiva,. p. 6-. Administração Pág. 8 de 8

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