CONTROLE DE UM MANIPULATOR BI-ARTICULADO COM UMA REDE NEURAL DE CONTATOS MULTI-SINÁPTICOS
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1 40. SBAI - Simpósio Brasiliro d Automação Intlignt, São Paulo, SP., d Stmbro d 1999 CONTROLE DE UM MANIPULATOR BI-ARTICULADO COM UMA REDE NEURAL DE CONTATOS MULTI-SINÁPTICOS Bndito Dias BaptistaFilho(t) Eduardo Lobo Lustosa Cabral (ttl (t) Divisão d Trmo-Hidráulica - IPEN-CNEN/SP - Travssa R, Cidad Univrsitária (tt) Dpto d Engnharia Mcânica - Escola Politécnica da USP - Av. Prof. Mllo Moras, 2231 CEP São Paulo - SP Rsumo Est trabalho aprsnta uma nova concpção d rds nurais artificiais para aplicação m control d sistmas dinâmicos. Est novo concito d rd nural artificial é basado m um modlo d nurônio com múltiplas sinapss. As forças d ligação das sinapss são modificadas por mio d um procsso sltivo cumulativo, sguindo um método d aprndizado não suprvisionado. Esta nova rd é aplicada no control d posição d um manipulador bi-articulado no plano, mostrando rsultados xclnts. Palavras Chavs: Arquittura d rds nurais, sistmas d control, control d posição d robôs nanipuladors. ntr , com todos os concitos dtalhados m [l) [2). Esss novos concitos foram basados in circuitos funçõs nuronais studados na nurofisiologia. O livro d Kandl t al [3) é a rfrência utilizada para stas informaçõs. A. Procsso d Sinalização Nuronal 1) Função d transfrência nuronal: A. função d transfrência d sinais nas unidads qu rprsntam os nurônios dntro dsta nova rd nural é uma tangnt hiprbólicamodific áda: O =T N tanh(als),.(l) Abstract: This work prsnts th position control of a robot manipulator using a nw artificial nural ntwork. This nural ntwork is basd on a nw nuron modl with multipl synapss. Th synapss' connctiv strngths ar modifid through a slctiv and cumulativ procss that rsmbls an unsuprvisd larning mthod. Ths nw concpts applid to th position control of th planar two-link manipulator show xcllnt rsuits. Kywords: Nural ntwork architctur, Control systms, Manipulator position-control, 1 o objtivo dst trabalho é aprsntar os rsultados d uma.inovação no campo d rds nurais artificiais qu pod sr utilizada no control d braços robóticos.. Esta nova rd nural é basada no projto d rds spcializadas para uma dtrminada tarfa na fisiologia d sistmas nuronais biológicos. Est trabalho consist d sis sçõs A primira sção é sta introdução. A sgunda sção dscrv os novos concitos introduzidos. A trcira sção aprsnta a aplicação dos novos concitos d rds nurais no control do braço robótico. A quarta ' sção aprsnta os rsultados sua discussão. A quinta sção é o rsumo das principais conclusõs. 2 OS NOVOS CONCEITOS Os novos concitos implmntados m uma rd nural artificial utilizada no control d posição d um manipulador bi-articulado no plano aprsntado nst trabalho, foram dsnvolvidos como part d uma ts d doutorado conduzida 119 ond O é o sinal d saída, T N rprsnta o "tamanho" da unidad, a é um ganho, S é a soma d todas as ntradas sinápticas na unidad. O "tamanho" pod sr ajustado a valors convnints para, por xmplo, mlhorar a linaridad d rsposta m uma dtrminada faixa d intrss, ou para amplificar ou atnuara rlação ntrada/saída. 2) Modlo d Transmissão Sindptica: O procsso d transmissão sináptica é simulado por um conjunto d funçõs qu imitam uma curva Gausana como a rprsntada na Figura 1 xprssa como: S= T l+a(l-l o )2 ond, T é a "força d ligação" da sinaps, qu pod assumir qualqur valor positivo (xcitatória) ou qualqur valor ngativo (inibitória), a é uma constant qu pod sr scolhida adquadamnt para produzir funçõs sm variaçõs abruptas, d acordo com o númro d trminaissinápticos, I é o valor do sinal transmitido no axônio,, lo é o valor d I qu maxirniza S, o valor d saída para a célula alvo. Ess valor lo é chamado d "limiar". A xprssão (2), qu rprsnta um trminal sináptico isolado, prmit amplificação rsposta sltiva. Essa função aprimora a função d transfrência global do nurônio é muito mais simpls do qu uma função sigmóid m trmos d sforço. Com forças limiars convnints, um conjunto d funçõs da forma da Eq. (2) pod rproduzir qualqur tipo d função contínua. (2)
2 SBAI- Slrnpósio Brasiliro d Automação Intlignt, São Paulo, SP, d Stmbro d d =T õ -À, dt c. (3) ond C é o fator d disparo d mudanças d longo-trmo, ô é o sinal d saída da intr-unidad facilitadora, Â. é uma constant d dcaimnto,, T é a força d ligação da sinaps facilitadora (qu controla a taxa d mudança) Sinol á Entrada.t Figura I - Função d Transfrência Sináptica. B. Aprndizado Mcanismos d Mmória Sgundo Kandl t al [3] m circuitos nuronais biológicos, um dado conjunto d sinapss pod sofrr difrnts modificaçõs m várias formas d aprndizado, por xmplo, podm sr dprimidas pla habituação ou podm sr rforçadas pla snsitização. Formas d aprndizado mais complxas são o condicionamnto clássico a prática. Os procssos nvolvidos no mcanismo d mmória rflxiva sugrm o dsnvolvimnto d um circuito spcial para implmntar um procsso d aprndizado. Ess circuito, mostrado na Fig. 2, aprovita um sinal d rro qu, por mio d um intrnurônio facilitador, é conctado aos trminais pré-sinápticos da unidad d saída m ligaçõs tipo "axo-axônicas" (ligaçõs d sinapss dirtamnt nos trminais sinápticos d um axônio). É nsss trminais qu as mudanças plásticas, caractrísticas do aprndizado, são ftivadas. O sinal (+/-) do impulso dpndnt do rro é qum dcid s o procsso corrspond a uma facilitação ou inibição pré-sinâptica, o qu irá aumntar ou rduzir a força d ligação sináptica. Dsjo Sinal d Erro Sinal Snsório Figura2- Sinapss para o procsso d aprndizado. A altração 1.00 na força d transmissão sináptica dvido ao D acordo com a Eq. (3), o fator d disparo d mudanças d longo-trmo (C) pod crscr a uma taxa proporcional ao sinal d aprndizado (O) até um valor d quilíbrio. Isso aclra ou 'dsaclra as mudanças sinápticas. S o sinal qu chga dcrsc a zro, o fator d disparo d mudanças d longo-trmo também cai a zro, d acordo com uma taxa stablcida pla constant d dcaimnto O..). Isso significa qu, após um razoávl príodo d trinamnto, quando não xistir mais um sinal d rro nm xcssivas mudanças dinâmicas, não havrá mais ncssidad d mudanças, tomando assim o procsso inrntmnt stávl. Para compltar ssa idéia é ncssário ainda um artifício para qu as mudanças s concntrm nos trminais sinápticos.convnints, isto é, naquls m qu o valor do limiar (/0) é mais próximo dó valor do sinal do dsjo. Essa caractrística inédita irá, além d promovr a slção adquada do trminal sináptico, stablcr a taxa d mudança da força d ligação (1) como função do fator d disparo d mudanças d longotrmo do limiar sináptico. Isso é implmntado pla sguint xprssão: dt C J = _ dt 1+as(/ - / 0.1 / ' ond 1j é a força d ligação da j-ésima sinaps da unidad motora, as é a constant da função da sinaps facilitadora, I éo valor do sinal provnint do nívl d control suprior (o dsjo), /0.1 é o limiar da sinaps. C. Arquittura da Unidad d Control Motor procsso d ' aprndizado é rproduzida por um modlo d plasticidad basado m mcanismos d.armaznamnto d mmória. Isso é fito por um procsso cumulativo ond o trmo govrnant é proporcional ao sinal d ntrada (o sinal d trinamnto ô) à sua taxa d dcaimnto, d acordo com a sguint xprssão: s _ 1 ( TE ). 'P'''''' N (/-2)2 ' O concito da strutura principal da rd nural stá rprsntado na Fig. 3. El dfin uma "unidad d control motor," rprsntando os novos concitos aplicados ao propósito d control. Para dispnsar a ncssidad d alimntar a rd com mdidas das taxas d variação dos sinais do procsso, foi utilizado um artifício qu consist na mdida da difrnça d sinais d unidads m camadas conscutivas, portanto dfasados no tmpo. As intr-unidads rsponsávis por ssa função são ligadas por conxõs "rígidas" (sm plasticidad). Os sinais d saída dssas unidads rprsntam as taxas d mudança. dos sinais snsórios qu, combinados com o sinal d rro m uma unidad intrmdiária, por sua vz conctada à unidad d saída, rprsntam a dinâmica do sistma m uma analogia à soma d aos + a. â/ât + a2d2ê1dr +... O coficint ao do rro é implmntado por funçõs sinãpticas qu rsultam m uma função d transfrência linar, da sguint forma: (4) (7)
3 40. SBAI- Simpósio Brasiliro d Automação intlignt, São Paulo, SP, d Stmbro d 1999 s -TE ). ip, N (1+2)2 ' (8) ncontrado m sistmas biol6gicostanto m circuitos d nurônios quanto m células musculars. Assim, tm-s: ond TE é força d ligação das sinapss d rro. A funçõs d transfrência sináptica nas conxõs dos sinais d taxas d variação com a intr-unidad são modladas com caractrísticas d amortcimnto do tipo xixi. Isso é ncssário para atnuar oscilaçõs tornar o procsso stávl msmo na prsnça d altas taxas d variação. Ess amortcimnto é S - 1( T, ). tu - N 1+11(1-1)2 ' S - 1( -T,.) tís - N 1+11(1+1)2 ' ond T, é a força d ligação das sinapss d mudanças. (9) (10) Procsso d plastícldad d = T ô - ÂC dt ' '!!L- di Sinaps inibitóriadrro Sip, ( quação ) Sinapsc inibitóriatipo- i S,. ( quaçao 4.20 ) X' Posição prsnt: do sistma snsório d =Tô-ÂC dt ' dt, -il= l+a,(x D Os sinais do sistma snsório do nívl d control suprior são transmitidos através d dois conjuntos d sinapss, simétricos m trmos d limiar força d ligação. Essas sinapss possum caractrísticas plásticas são ajustadas plo aprndizado. O comportamnto dssas sinapss é rprsntado por: T) s) 2 l+a«( -lo) S =, T.. ' l+a(1, -/o. Y ond 1j(kJ é a força d ligação daj(k)-ésima sinaps. (11) (12) Ants d qualqur trinamnto ssas sinapss "não têm força", i.., Tj(kJ =O. O surgimnto d um sinal d rro gra um sinal Ddifrnt d zro qu ag no sntido d aumntar ou diminuir o fator d disparo d longo-trmo C, da Eq. (3). As mudanças plásticas, rsponsávis plo procsso d aprndizado, tomam ntão lugar nas sinapss da. unidad motora. O sinal do "dsjo" é utilizado para ajustar todas as sinapss plásticas, msmo aqulas do caminho qu vm do sistma sns6rio. Uma dscrição dtalhada dssa unidad, d control motor s ncontra nas rfrências [1] [2]. 3 MODELAGEM DO PROBLEMA Ess concito d Unidad d Control Motor é aplicado no control d posição d um manipu1ador bi-articulado no plano. Figura3- Concito d Unidad d Control Motor. 121 A vrificação do dsmpnho da rd, m trmos d control habilidad d aprndizado, para alcançar alvos dsjados, é ralizada através d simulaçõs. A. Modlo da Dinâmicado Procsso O manipulador bi-articulado é um problma não-linar 'com dois graus d librdad. As variávis considradas no modlo são mostradas m(ll1g. 4. A dinâmica dss sistma é rprsntada por: TI = Hji,+ Hji 2 + h 122; + h'2a 2 + G,; T 2 = H22ii2+ Hjj, + h 211 9,2+ G 2 ; (13) (14) ond 8 1 é o ângulo ntr o primiro sgmnto o ixo-x, éo ângulo ntr o sgundo o primiro sgmntos, T) 't"2 são os torqus nas articulaçõs 1 2 rspctivamnt, os outros trmos são dfinidos a sguir. H" =m,l;, +1, +[m,(1,2+1;2 +21,lc2cos9,)+1,]; H" = m,l,l" cos, +m,l;, + /,] ; n; =m,l;,'+l,; 1I,n =-m,i,i" siilo, ; h'21 =-2m,I,I"sin9,; h 211 =m,lj"sin,; G, =m,gl" cos, +m,g(l, cos, +/" cos(,+0,)); G, =m,gl" cos(o, +,).
4 40. SBAI- Simpósio Brasiliro d Automação Intlignt, São Paulo, SP, d Stmbro d 1999 Os subscritos 1 2 s rfrm ao i-ésimo sgmnto do rlativo à dirção do primiro sgmnto, O, são somados manipulador com massa m i; comprimnto total li, distância da para alimntar o sgundo controlador. É important dstacar articulação ao cntro d massa li momnto d inércia li, g é qu um sistma difrnt podria sr modlado. a aclração da gravidad. Na Figura 5, Om O:!D rprsntam os comandos d posição A dinâmica d cada motor létrico acoplado ao manipulador é dsjada, OI O 2 são os sinais d saída das unidads d govrnada por: control motor qu irão alimntar os atuadors, D, D 2, IN E dn são as intr-unidads rsponsávis pla avaliação dos rros, J M dt ="C M -"(.-"C nf, (15) IfII}.são as intr-unidads rsponsávis pla avaliação da primira drivada das taxas d variação (nst problma não ond J M é o momnto polar d inércia do rotor, n é a rotação, "CM é o torqu motor, "CPM é o torqu d prdas, "C é o torqu d carga dado plas Eq. (13) ou (14). y Sgmnto 2 't 2 -,, Figura 4 - Modlo do Manipulador bi-articulado. O torqu motor é dado por: 7:", = KTO, (16) ond K T é o ganho motor/atuador, O éosinal d saída do controlador nural acoplado. O torqu d prdas, 7:PM, é composto d duas parts: prdas nos mancais (7:w) prdas no motor (7:l.M)' Para dscrvr as prdas nos mancais, foram considrados o atrito stático atrito viscoso: 7:LB = K UlJl, ond K LB é uma constant proporcional à prssão d contato,!j. é o fator d atrito. Ess torqu foi corrlacionado a partir d dados obtidos na rfrência [4]. Assum-s qu o torqu d prdas no motor é proporcional ao. quadrado da rotação, ou sja: ond KU,f é uma constant, função do tipo do motor: B. Control d Posiçãocom a Nova Rd Nural x (17) (18) Como no procsso do manipulador bi-articulado xistm dois atuadors, dvm sr utilizadas plo mnos duas unidads d control. Para o propósito d dmonstração os sinais d ntrada dstas duas unidads é rstringido apnas aos ângulos, 01 dsjados atuais. Obsrv qu as vlocidads angulars não são ncssárias porqu o sistma possui intr-unidads para stimar as taxas d variação dos ângulos. Not-s ainda qu nsta dmonstração a posição da xtrmidad do manipulador é tratada como um rsultado não como um objtivo. Isso é fito para vitar a ncssidad d outras camadas para convrtr posição da xtrmidad m ângulos dsjados. A Figura 5 mostra a rd qu rprsnta os dois controladors acoplados ao procsso. Considrando qu a posição do sgundo sgmnto afta a carga no primiro, o atuador do primiro motor dv sr alimntado com a soma das saídas dos dois controladors. Lvando m conta qu o ângulo O:! é são ncssárias ordns mais lvadas), IN F são as intrunidads facilitadoras do aprndizado, IN> são as intrunidads usadas para grar os sinais ncssários para avaliar as taxas d mudança dos sinais. Obsrva-s qu intr-unidads d ntrada, IN!, foram acrscntadas para dsmpnhar a função d soma d ntradas. Nota-s ainda qu os caminhos do sistma snsório são rprsntados por linhas pontilhadas, nquanto qu as linhas sólidas rprsntam os sinais do nívl suprior d control os caminhos intrmdiários. Dv-s notar qu, nsta implmntação, as sinapss plásticas aprndm somnt o torqu ' gravitacional. Outras implmntaçõs podm sr dsnvolvidas para a rd aprndr os torqus grados plas foças cntrífugas Coriollis. Os parâmtros d simulação, o procsso d trinamnto a avaliação d dsmpnho são aprsntados discutidos na próxima sção. 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO A Tabla 1 aprsnta os parâmtros numéricos utilizados para simular o manipulador bi-articulado da Fig. 5. Os principais parâmtros dos componnts da rd nural são dados na Tabla 2. O trinamnto é dsmpnhado "on-lin", i.., durant a xcução d comandos d posição dsjada. A mudança d comandos d "dsjo", d acordo com a sqüência aprsntada na Fig. 6, dsnvolv o procsso d aprndizado nãosuprvisionado. Um conjunto d 28 posiçõs alvo é usado no trinamnto. O manipulador part da posição d rpouso, -90 0, totalmnt stirado, sgu no sntido horário para a posição - 185, rtoma para a posição d rpouso, sgu no sntido antihorário para a posição +185, rtornando novamnt para a posição d rpouso. Ess conjunto d alvos é submtido à rd por sis vzs. A duração d cada busca ao alvo, t, m cada tntativa sgu o sguint: primira sgunda tntativas, t =5 s.; trcira quarta, t =10 S.;, quinta sxta, t =20 s. O trinamnto é dsmpnhado "on-lin", i.., durant a xcução d comandos d posição dsjada. A mudança d comandos d "dsjo", d acordo com a sqüência aprsntada na Fig. 6, dsnvolv o procsso d aprndizado nãosuprvisionado. Um conjunto d 28 posiçõs alvo é usado no trinamnto. O manipulador part da posição d rpouso, -90, totalmnt stirado, sgu no sntido horário para a posição - 185, rtoma para a posição d rpouso, sgu no sntido antihorário para a posição +185, rtomando novamnt para a posição d rpouso. Ess conjunto d alvos é submtido à rd por sis vzs. A duração d cada busca ao alvo, t, m cada tntativa sgu o sguint: primira sgunda tntativas, t =5 s.; trcira quarta, t =IOs.;, quinta sxta, t =20 s. 122
5 40. SBAI- Simpósio Brasilirod Automação Intlignt, São Paulo, SP, d Stmbrod D IN' IN (l O, IN' IN' IN (...') Figura 5- Esquma simplificado da rd para o control do manipulador. Tabla1-Parâmtros para o modlo do Manipulador Parâmtro Sgmnto 1 2 Comprimnto - L (mm) Massa- m (k:) Momnto d Inércia - I (k2 rn') Ganhod Torqu Motor- K T (N M) Momnto d inércia do rotor-h f (kg nr) Constantd prdas nos mancais- K LB Constantd ordasno Motor- K IM :: < Posição Inicial />' Figura6:... Conjunto d posiçõs para trinamnto. Após rptir o conjunto d comandos d trinamnto por sis ' vzs, o sistma é capaz d atingir qualqur posição com razoávl prcisão as forças d ligação dos dois conjuntos d sinapss plásticas, qu ram inicialmnt zro, crscram para os valors mostrados na Figura 7. Essa fas d trinamnto durou 1960 sgundos d tmpo simulado (com somnt 85 Tabla 2 Parâmtros para a Rd Nural Parâmtro Valor Tamanho das unidads- T N (Eq, 1) 2.1 Constant d ganhodasunidads - a (Eq. 1) 0.5 Constant dassinaossplásticas - a (Eo. 5, 6) 28.8 Númro d sinapss plásticas caminbo snsório 15 Númro d sinapss plásticas - caminho "dsj o" 15 Intrvalo d limiars conscutivos cto.i -/O.i+l) Força das sinapssd rro- T(Eqs. 7, 8) 2.5 Força dassínaossd taxas- T r (EQs. 9, 10) 0.09 Força das sinapss d/aciulação - T (Eq. 3) 0.1 Constant d dcaimnto - À.(Eq. 3) 10.0 Constant d plasticidad sinãptíca - as (Eq. 4) sgundos d CPU m um Microcomputador Pntium 166 MHz). Esta rapidz pod indicar qu o procsso d aprndizado é computacionalmnt ficint. Após o trinamnto, o próximo passo é vrificar a rsposta do sistma a qualqur outra ntrada..para isso o modlo d plasticidad foi bloquado (fazndo T = Ona Eq. 3) para vitar novas atualizaçõs nas forças d ligação possibilitar a obsrvação da capacidad d gnralização. Foram xcutados tsts sobr todo o domínio d 8 10 obtndo-s xclnts rsultados. Também foram ralizados tsts sm bloquar o modlo d plasticidad, prmitindo obsrvar su dsmpnho stávl.. A Figura 8 xib os rsuitados d um dsss tsts, mostrando a trajt6ria da xtrmidad do manipulador na busca d cinco alvos, cada um dfinido por um dsjo difrnt, mantido constant durant um príodo d 6 sgundos. Ess xmplo contém duas posiçõs prsnts no conjunto d trinamnto (pontos 2 4) três posiçõs não prsnts no trinamnto (pontos 3, 5 6). O último alvo é posicionado a uma grand distância da posição antrior para obsrvar a stabilidad da rd na prsnça d grands rros altas vlocidads. A volução da distância da xtrmidad do manipulador ao alvo é 123
6 40. SBAI- Simpósio Brasiliro d Automação Intlignt, São Paulo, SP, d Stmbro d 1999 aprsntada na Fig. 9, qu mostra cinco picos qu rprsntam 5 CONCLUSÕES a transição ntr cada comando. Obsrv-s qu alvos, msmo distants mais do qu 2000mm da posição corrnt, são atingidos quas qu sm oscilação m mnos do qu 5 sgundos. Nst xmplo m qu as unidads d control motor possum apnas 15 sinapss por lado, com um total d 60 contatos plásticos nas duas unidads, com somnt 28 pontos d trinamnto 70 sgundos d trinamnto para cada ponto, o máximo rro m distância é mnor do qu 5mm "...---".L------l O novo concito d rd nural proposto para o control d posição do manipulador bi-articuladono plano dmonstra qua opção d s dsnvolvr rds spcializadas para uma dtrminada tarfa parc sr muito promissor para soluçõs d control. O uso d múltiplos contatos sinápticos m cada trminação aumnta a capacidad d intgração d cada unidad (nurônio). O uso d funçõs d transfrência sináptica d classs mais lvadas do qu a simpls multiplicação d um pso mlhora a rlação ntrada/saída prmitindo a rdução do númro total d unidads com funçõs sigmóid qu são mais dmandants m trmos computacionais n--.r-1rr jjlil-ll..jl.il--,...t I Unidad MoloraN , , LimiarSin4ptico Figura 7- Forças d ligação sinápticas após trino Est novo concito d rd nural implmnta mcanismos artificiais qu imitam os mcanismos d habituação snsitização obsrvados m organismos vivos. O uso d um modlo simplificado d plasticidad nas sinapss prmit aprndizado m tmpo ral durant o funcionamnto do procsso sm a xistência d algoritmos matmáticos não xplicávis fisicamnt. A tarfa d trinamnto pod sr dsmpnhada "on-lin", isto é, durant a xcução d comandos dsjados, d acordo com um método d aprndizado não-suprvisionado. O limitado tmpo d trinamnto o pquno númro d alvos ncssários para o aprndizado, associados ainda com os bons rsultados obtidos na tarfa d posicionamntom todo o domínio, mostra uma notávl capacidad d gnralização. Esta nova rd nural é mais complxa do qu as rds multicamada convncionais com rtro-propagação do rro, m trmos d arranjo d sinapss funçõs d transfrência, mas tm a vantagm d rdu zir o- númro total d unidads ncssárias. Como as funçõs d transfrência das unidads (nurônios) é mais complxa do qu as funçõs das sinapss, há um ganho líquido m trmos d dsmpnho como dmonstrado na sção 4. O dsmpnho no aprndizado mostrado no xmplo prvê qu st é crtamnt um concito promissor. Figura 8- Trajtória da xtrmidad do manipulador..! " o 800 o "2." '" t t ll1l40.40.:»: - - 'VI. \ \ \ \ I I Tmpo (s) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA Baptista F., B.D. Cabral, E.L.L., Soars, A.J. (1998). A Nw Approach to Artificial Nural Ntowrks, IEEE Transactions on Nural Ntworks, VoI. 9, No. 6, pp Baptista F., B.D. (1998), Rds Nurais para Control d Sistmas d Rators, São Paulo: Ts d Doutorado - Instituto d Psquisas Enrgéticas Nuclars - lpen- CNEN/SP. E.R. Kandl, J.H. Schwartz and T.M. Jssl, (1991) Principls o/ Nural Scinc, Prntic-Hall Intrnational Inc., Third Edition. Nimann, G., (1950) Maschinnlmnt, Springr-Vrlag OHG. Figura 9 - Distância da xtrmidad ao alvo. 124
Desse modo, podemos dizer que as forças que atuam sobre a partícula que forma o pêndulo simples são P 1, P 2 e T.
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