A distribuição Weibull exponenciada geométrica

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1 A distribuição Weibull exponenciada geométrica Josiane Rodrigues 1 Elizabeth M. Hashimoto 1 Edwin M. M. Ortega 1 Gauss M. Cordeiro 2 Sônia M. De S. Piedade 1 1 Introdução A distribuição Weibull tem sido amplamente utilizada no que diz respeito à modelagem de dados em análise de sobrevivência, análise de falhas, engenharia de confiabilidade, dentre outros. No presente estudo, desenvolveu-se a distribuição Weibull exponenciada geométrica (WEG), algumas de suas propriedades, e o método da máxima verossimilhança foi proposto para estimação dos parâmetros da distribuição. 2 Material e métodos Considere a variável aleatória, em que é uma amostra aleatória da distribuição Weibull exponenciada (WE), cuja função densidade de probabilidade é dada por: { }[ { }] com e uma variável geométrica com função de probabilidade para, e independentes. Utilizando-se de técnicas estatísticas convenientes, encontrou-se a função densidade de probabilidade marginal de, em que : [ { } ] em que é possível se demonstrar, sob a condição de que [ { } ] (PRUDNIKOV et al., 1986) que: 1 LCE ESALQ/USP. josirodrigues@usp.br 2 Departamento de Estatística - UFPE 1

2 [ { } ] [ [ { } ]] Logo, tem-se que a função densidade de probabilidade associada a uma distribuição Weibull exponenciada geométrica é da forma: [ [ { } ]] em que o vetor de parâmetros é, com. Uma vez encontrada a função densidade de probabilidade da distribuição Weibull exponenciada geométrica, foram encontradas então a função de sobrevivência e a função de risco associadas à nova distribuição: [ { } ] [ { } ] [ { } ][ [ { } ]] 3 Resultados e discussões Escreveu-se em seguida a função densidade de probabilidade associada à distribuição WEG em termos de expansão. Para isso, utilizou-se da expansão de Lagrange (CONSUL; FAMOYE, 2006), dada por: [ ] E, assim, obteve-se a função densidade de probabilidade da distribuição WEG em termos de expansão, do seguinte modo: em que com e é a função densidade de probabilidade associada à distribuição Weibull exponenciada dada em (1), com parâmetros respectivamente. 2

3 Os momentos da distribuição Weibull exponenciada geométrica foram também determinados, por meio dos momentos da distribuição WE com parâmetros respectivamente, os quais foram trabalhados por Pal et al. (2006). Assim, tem-se que o r-ésimo momento da distribuição WEG é dado por: E X r em que ; representa a função gama e. A função geradora de momentos da distribuição WEG,, pôde também, por sua vez, ser determinada, a partir da função geradora de momentos da distribuição WE,, trabalhada por Nadarajah et al., do seguinte modo: [ ] para respectivamente, em que [ ] é a função hipergeométrica generalizada de Wright, para, em que,,. Considerou-se agora a estimação dos parâmetros da distribuição WEG na ausência de observações censuradas. Utilizou-se para tanto o método da máxima verossimilhança. Tomando então uma amostra aleatória dessa distribuição,, tem-se que a função de verossimilhança e seu respectivo logaritmo são da forma: [ [ { } ]] { } [ [ { } ]] 3

4 em que. O respectivo vetor escore é: [ ] [ ] em que: ( ) ( ) ( ) No caso de conjunto de dados com observações censuradas, tem-se que: { } { } em que F e C representam os conjuntos de falhas e censuras, respectivamente. Uma aplicação do método da máxima verossimilhança foi realizada num conjunto de dados sem a presença de observações censuradas, referente a tempos de reparo de um receptor de comunicações anemófilo (CHHIKARA; FOLKS, 1977). Com auxílio do software SAS, o método Quase-Newton foi aplicado, obtendo-se os resultados apresentados na Tabela 1. Tabela 1: Estimativas de máxima verossimilhança para o conjunto de dados de tempos de reparo de um receptor de comunicações anemófilo. Parâmetro Estimativa Erro Padrão 11,7149 9,9330 1,5515 4,8827 0,2585 0,1239 0,9752 0,07435 Para a verificação da qualidade do ajuste, plotou-se a função de sobrevivência de Kaplan-Meier e a função de sobrevivência estimada pela distribuição WEG na Figura 1a e o histograma dos dados e a distribuição WEG ajustada na Figura 1b, mostrando que o modelo está bem ajustado ao conjunto de dados. 4

5 (a) (b) Figura 1: (a) Função de sobrevivência estimada pela distribuição WEG e curva de Kaplan-Meier (b) Densidade estimada para a distribuição WEG para os dados de reparo. 4 Conclusões No presente estudo foi desenvolvida a distribuição Weibull exponenciada geométrica, determinando-se a função densidade de probabilidade associada a essa nova família de distribuições. Assim, tornou-se possível determinar também a função de sobrevivência e função de risco associadas a ela. O estudo possibilitou ainda a reescrita da função densidade de probabilidade em termos da função densidade de probabilidade da distribuição Weibull exponenciada. Os momentos e a função geradora de momentos da nova distribuição foram encontrados. O método da máxima verossimilhança foi proposto para estimar os parâmetros da distribuição, o qual foi aplicado para um conjunto de dados de tempos de reparo de um receptor de comunicações anemófilo, sendo que a distribuição WEG mostrou-se satisfatória na modelagem do conjunto de dados. 5 Referências [1] CHHIKARA, R. S.; FOLKS, J. L. The Inverse Gaussian Distribution as a Lifetime Model. Technometrics, Alexandria, v.19, p , [2] CONSUL, P. C.; FAMOYE, F. Lagrangian probability distributions. Boston: Birkhauser, [3] NADARAJAH, S.; CORDEIRO, G. M.; ORTEGA, E. M. M. The exponentiated Weibull distribution: A survey. Statistical Papers. (Artigo Submetido). [4] PAL, M.; ALI, M. M.; WOO, J. Exponentiated Weibull Distribution. Statistica, v.66, n.2, p , [5] PRUDNIKOV, A. P.; BRYCHKOV, Yu. A,; MARICHEV, O. I. Integrals and Series: Elementary Functions. v.1. Gordon & Breach Science Publishers, New York, 1986, 808p. 5