UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ CURSO DE ESTATÍSTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ CURSO DE ESTATÍSTICA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE APLICADA À INDÚSTRIA PARA ESTIMAÇÕES DE FALHAS E PROVISIONAMENTO DE CUSTOS CURITIBA 2010

2 PAULO ZALESKI DE MATOS DAIANNE MARA ZOTTI ANÁLISE DE CONFIABILIDADE APLICADA À INDÚSTRIA PARA ESTIMAÇÕES DE FALHAS E PROVISIONAMENTO DE CUSTOS Monografia apresentada à disciplina de Laboratório de Estatística do Curso de Estatística do Setor de Ciências Exatas da Universidade Federal do Paraná. Orientador: Professor Anselmo Chaves Neto CURITIBA 2010

3 TERMO DE APROVAÇÃO PAULO ZALESKI DE MATOS DAIANNE MARA ZOTTI MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO Monografia de Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Estatística, Habilitação de Estatístico(a), da Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora: Anselmo Chaves Neto professor orientador Jorge Festa professor avaliador i

4 ii D e d i c a m o s e s t e t r a b a l h o, A o s n o s s o s f a m i l i a r e s e a m i g o s, F o n t e s d e f o r ç a e c a r i n h o.

5 iii AGRADECIMENTOS Ao Professor Anselmo, pela atenção e dedicação ao nosso trabalho, e o encorajamento nos momentos difíceis. Professores, pelo conhecimento que nos transmitiram e apoio prestado. Colegas de sala, pelo companheirismo. Cláudio, pela valiosa sugestão.

6 iv Torture seus dados por tempo suficiente, e eles lhe contarão tudo. Os estatísticos

7 Sumário LISTA DE FIGURAS...vi LISTA DE TABELAS...vii LISTA DE FOTOGRAFIAS...viii LISTA DE QUADROS...ix LISTA DE GRÁFICOS...x RESUMO...xi INTRODUÇÃO OBJETIVOS Objetivo Geral Objetivos específicos: FUNDAMENTOS TEÓRICOS Análise de Confiabilidade Aplicações da Análise de Confiabilidade Os Tipos de Falhas Análise de Tempos de Falhas Classificação dos Dados de Vida Métodos Utilizando o Método da Regressão Utilizando o Método da Máxima Verossimilhança Comparando os Métodos Distribuições mais utilizadas Distribuição Weibull Distribuição Exponencial Distribuição Lognormal Distribuição Normal Distribuição Weibull Mista Distribuição Gama Generalizada Intervalos de Confiança MATERIAIS E MÉTODOS Proposta de Utilização de Dados de Garantia Qualidade dos Dados Definição da População Identificação do Problema e Obtenção dos Dados Análise de Confiabilidade Aplicada Provisionamento de Custos RESULTADOS CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...45 v

8 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 Curva da Banheira...6 FIGURA 2 Distribuições de Vida Mais Utilizadas...7 FIGURA 3 Dados Censurados à Direita...9 FIGURA 4 Dados em Intervalos Censurados...9 FIGURA 5 Dados Censurados à Esquerda...10 FIGURA 6 Exemplos de Curvas de Distribuições (f.d.p.)...15 FIGURA 7 Distribuição Weibull...16 FIGURA 8 Distribuição Exponencial...17 FIGURA 9 Distribuição Lognormal...18 FIGURA 10 Distribuição Normal...19 FIGURA 11 Distribuição Weibull Mista...20 FIGURA 12 Distribuição Gama Generalizada...21 FIGURA 13 Intervalo de Confiança Bilateral...22 FIGURA 14 Intervalos de Confiança Unilateral Inferior e Superior...23 vi

9 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Quantidade de Veículos por Modelo...26 Tabela 2 Número de Sensores por Modelo...27 Tabela 3 Estimativas de Custos para o Modelo E...37 Tabela 4 Estimativas de Custos para o Modelo A...38 Tabela 5 Estimativas de Custos para o Modelo B...39 Tabela 6 Estimativas de Custos para o Modelo C...40 Tabela 7 Estimativas de Custos para o Modelo D...41 Tabela 8 Estimativas de Custos para Campanha...43 Tabela 9 Estimativas de Custos Total...43 vii

10 LISTA DE FOTOGRAFIAS FOTOGRAFIA 1 Ônibus Biarticulado B viii

11 LISTA DE QUADROS QUADRO 1 Probabilidades e Limites de Falha Modelo C...30 QUADRO 2 Probabilidades e Limites de Falha Modelo B...31 QUADRO 3 Probabilidades e Limites de Falha Modelo A...32 QUADRO 4 Probabilidades e Limites de Falha Modelo D QUADRO 5 Probabilidade de Falha por Modelo de Ônibus...35 QUADRO 6 Quilometragem Mensal Estimada por Modelo...37 QUADRO 7 Probabilidade de Falha por Modelo Associada a Quilometragens Determinadas...42 ix

12 LISTA DE GRÁFICOS GRÁFICO 1 Taxa de Falha por Veículo em Relação ao Mês de Montagem...28 GRÁFICO 2 Probabilidades de Falha para o Modelo C...30 GRÁFICO 3 Probabilidades de Falha para o Modelo B...31 GRÁFICO 4 Probabilidades de Falha para o Modelo A...32 GRÁFICO 5 Probabilidades de Falha para o Modelo D...33 GRÁFICO 6 Probabilidades de Falha para Todos os Modelos...34 x

13 RESUMO O presente trabalho está vinculado a uma aplicação de confiabilidade em dados de campo, mais especificamente, para estimação do número de falhas de sensores de freio presentes em determinados modelos de ônibus estudados, e o provisionamento de custos para essas falhas, pois como são dados de garantia e pós-garantia, quem irá arcar com esses custos será a montadora responsável e os estudos ajudaram nas tomadas de decisões. Os dados de pós-garantia serão inclusos até determinado tempo de uso, em função da empresa responsável/ montadora estar lançando uma campanha para não prejudicar seus clientes, já que é sabido que a probabilidade de falha será mais alta do que a normal. xi

14 1 INTRODUÇÃO Atingir a satisfação dos clientes, melhorar a qualidade de seus produtos, reduzir custos e provisionar quanto será gasto em garantia e pós garantia, tem sido a missão de muitas das empresas no mercado brasileiro e em especial no setor automobilístico, já que os principais fatores na decisão de compra de um veículo tem sido preço e confiabilidade. Veículos automotores são produtos industriais que exigem um alto grau de confiabilidade de suas peças, seguido de seus fatores de risco associados e a garantia de que o veículo em funcionamento não irá falhar. Mas para tanto é necessário que se tenha observações e resultados concretos, através de dados e informações, para o planejamento e previsão de custos aos quais seus fabricantes responsáveis serão comprometidos. Desta maneira, este trabalho desenvolve um modelo para descrever o comportamento de um produto e predizer sua confiabilidade em campo, conseguindo assim, estimar a quantidade de falhas e provisionar os custos envolvidos. O modelo considera a utilização dos dados de reclamações de garantia e pós garantia, incluindo a consideração da existência de veículos que não apresentaram falhas ao final deste período. O problema em estudo relaciona-se com falhas nos sensores que alertam o motorista sobre o desgaste total e perda da vida útil das pastilhas de freio do veiculo. No painel do ônibus existe um campo que informa sobre essa situação de desgaste, fazendo com que o proprietário do veiculo faça a troca sem que ocorram maiores problemas com outros componentes associados e dependentes do bom funcionamento dessa peça. Os dados de falhas foram coletados a partir das redes de concessionárias autorizadas da empresa distribuídas em todo o Brasil. Existe uma limitação relacionada ao tempo de garantia dos veículos, iniciada a partir do momento da entrega ao cliente até um determinado tempo de uso ou uma quilometragem estabelecida pelo contrato de garantia da empresa. Será utilizado para análise de confiabilidade o software Weibull ++7. As técnicas de provisionamento de custos serão elaboradas e adaptadas às escalas e formas de pagamentos que a indústria utiliza.

15 2 1 OBJETIVOS 1.1 Objetivo Geral Aplicação prática da análise de confiabilidade para estimação da quantidade de falhas de um componente até um determinado tempo de utilização e a elaboração de um método baseado nessas estimativas para prever quanto de recurso financeiro deve ser alocado para futuros encargos gerado por esse componente, determinando assim, uma estimativa de quanto será para gasto em garantia e pós-garantia devido às falhas com essa peça. 1.2 Objetivos Específicos Estimar a quantidade aproximada de falhas, através da utilização do software estatístico Weibull ++7, e utilizar essa quantidade estimada para elaborar um método preciso para o provisionamento de custos. O provisionamento preciso dos valores alocados tem como finalidade fornecer informações como subsídios para tomada de decisões. Desta maneira, é possível obter respostas antecipadas sobre valores de custos e quantidades de falhas que irão acontecer com determinados produtos em intervalos de tempo pré-definidos, resultando em um melhor controle orçamentário da indústria, atuando de forma antecipada na resolução de problemas, aumentando a satisfação de clientes e gerando maior lucratividade.

16 3 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 2.1 Análise de Confiabilidade Atualmente o termo confiabilidade vem sendo amplamente empregado. Por definição usual, segundo O Connor, Confiabilidade é a probabilidade de um item realizar sua função especificada, sem falhas sob condições de uso previamente determinadas, em um período de tempo estabelecido. Com outras palavras, a ABNT define confiabilidade como: Característica de um item eventualmente expressa pela probabilidade de que ela preencherá uma função dada, sob condições definidas e por um período de tempo definido. Desta maneira, busca-se suprir a necessidade das indústrias em conhecer e controlar a vida útil de seus produtos, reduzindo custos sem o comprometimento da qualidade, da segurança ou da disponibilidade destes. Procura-se obter a garantia de que o produto exercerá sua função no período determinado de tempo com um mínimo de falhas. Predição e avaliação da confiabilidade são os dois problemas principais que a confiabilidade deve encarar. A predição consiste em modelos estatísticos que predizem sobre a confiabilidade de um componente ou sistema, sugerir métodos para melhorá-la, desenvolver princípios de projetos, novos materiais e tecnologias de processo. A avaliação se resume na utilização das técnicas que permitem medir os valores reais de confiabilidade, verificar as predições efetuadas com base nos modelos e controlar a manutenção de um nível exigido de confiabilidade. Durabilidade é um aspecto particular da confiabilidade, relacionado com o desempenho de um item através do tempo, ela é normalmente definida como o mínimo de tempo antes da ocorrência de falhas por desgaste. As técnicas estatísticas existentes como a análise de confiabilidade nos permitem estimar probabilidades de itens relacionados com a necessidade das indústrias, seja no período de desenvolvimento de um projeto ou após o inicio da utilização do produto. As estimativas estão principalmente relacionadas com:

17 4 Durabilidade de um produto, com as falhas classificadas como de projeto ou processo; ocasionais, por desgaste ou fadiga. Tempo médio entre as falhas, permite o dimensionamento de reposição do estoque e planos de manutenção. Correções em projetos ou recalls, necessidade pelo agravante das falhas em campo ocorrerem em grande volume. A confiabilidade desejada a novos projetos, para atender às expectativas crescentes dos clientes. 2.2 Aplicações da Análise de Confiabilidade Existem três tipos de prevenção de falhas em componentes ou sistemas: 1 Componentes confiáveis: são os componentes eletrônicos e mecânicos que não se movimentam, mas há exceções. Contém grande margem entre suas especificações e sua solicitação de trabalho que poderia causar a falha. Não sofrem com o uso durante o ciclo de vida do produto. 2 Componentes não confiáveis: lâmpadas, por exemplo, e componentes em movimentação com outros componentes, como peças internas de transmissões, correias, rolamentos, etc.. Possuem uma pequena margem entre suas especificações e a sua solicitação de trabalho que poderia causar a falha. Sofrem com o uso do ciclo de vida do produto. 3 Sistemas: calibrações de motores com erros, interferência eletromagnética, entre outros. São conjuntos de componentes com relações entre si, onde o comportamento de um componente pode afetar o outro, existindo com grandes possibilidades de falha. 2.3 Os Tipos de Falhas A taxa de falha é a chance de um componente ou sistema falhar na próxima e

18 5 menor unidade de tempo, dado que o item funcionou até então. Existem considerações sobre as taxas de falha, sendo elas crescentes, decrescentes, constantes, em forma de banheira ou nenhum destes citados. São classificadas como taxa de falha crescente, dados ligados ao desgaste e velhice do componente, taxa de falha decrescente, aquelas com grande quantidade de falhas no início do uso do produto (mortalidade infantil) e curva da banheira aquela que se inicia com um alto índice de falha, seguida de desgaste por uso (mortalidade infantil seguida de desgaste). Existem três tipos básicos de falhas: 1 Falhas precoces Infância: Podem ser totalmente depuradas através de um rigoroso controle na fabricação e mediante testes antes do envio do produto ao consumidor. São elas: o uso demasiadamente intenso, as anormalidades de fabricação ou podemos considerar também um projeto defeituoso. A classificação da taxa de falha é decrescente. 2 Falhas por desgaste Velhice: Em alguns casos pode-se reduzir ou eliminar as falhas por desgaste mediante a um sistema de manutenção preventiva. Acontecem devido ao envelhecimento do equipamento ou desgaste real (pela perda ou degeneração de características importantes). A taxa de falha é classificada como crescente. 3 Falhas casuais Vida útil: Não é fácil a eliminação deste tipo de falhas, porém em alguns casos existem técnicas que nos permitem fazer um acompanhamento de componentes adequados, através de projetos. São falhas que ocorrem ao acaso, em intervalos de tempo inesperados. Pico de concentrações de tensões aleatórias que atuam sobre algum ponto fraco e produzem a quebra. Abaixo na FIGURA 1, tem-se a conhecida Curva da Banheira que descreve a ocorrência de falhas que se iniciam com um alto índice de falha, seguidas de desgaste por uso (falhas precoces seguidas de falhas por desgaste).

19 6 FIGURA 1 Curva da Banheira 2.4 Análise de Tempos de Falhas Na Análise de Dados de Vida ou Análise dos Tempos de Falha, aspecto particular da análise de confiabilidade, tudo é baseado em estimativas; o valor real da confiabilidade de um produto nunca será conhecido, somente se todos os produtos já tiverem falhado. Os modelos que fornecem a estimativa de taxa de falha do produto em função do tempo estimam a probabilidade de falha (sobreviver) do produto para uma dada idade, ou para um dado período de tempo. Os modelos são representações matemáticas dos dados dadas por funções contínuas a qual permite interpolações e algumas extrapolações. Estes modelos probabilísticos são baseados em distribuições estatísticas. As mais utilizadas são denominadas de Distribuições de Vida, conforme a FIGURA 2 na seqüência.

20 7 FIGURA 2 Distribuições de Vida Mais Utilizadas Primeiramente necessita-se definir o modelo, esses são modelos caracterizados pelo comportamento da falha dos mesmos. Todos os dados disponíveis devem ser considerados na análise de dados de vida. Isto inclui os casos particulares onde um item da amostra foi removido do teste antes que a falha tivesse ocorrido. Há ainda informações, nestes casos, e nunca deverá ser descartada. Para um item que foi removido do teste de confiabilidade antes que a falha ocorresse, ou um item que ainda continua em operação (itens que não falharam) denomina-se de itens suspensos ou observações censuradas à direita. A análise de itens suspensos também pode ser quando: Necessitamos realizar uma análise dos resultados de teste antes do teste ser finalizado. Necessitamos realizar uma análise em cima dos resultados disponíveis, e no conjunto de resultados nós observamos algumas falhas impróprias ou falhas não esperadas durante os testes. O modo de falha que ocorreu é diferente do modo de falha que planejamos estudar. Na análise de dados de garantia quando utilizamos dados de campo, ou seja, itens que falharam e itens que não falharam. Assim como definido acima, dados de garantia como no caso de dados

21 8 coletados em garantia se enquadram no modelo de dados censurados à direita Classificação dos Dados de Vida A preparação dos dados é de extrema importância para uma análise bem feita, ou seja, deve-se fazer uma entrada correta na hora da coleta dos dados nas concessionárias, originando confiança, representatividade e uma informação sem desvios. O próximo passo é classificar que tipo de dados que estamos trabalhando. A maioria dos dados de Confiabilidade contém censuras (informações incompletas), assim os modelos e análises devem ser capazes de tratar esses casos. Censuras também conhecidas como suspensões, são itens onde os tempos de falha só serão conhecidos quando excedermos certos valores de tempo. As suspensões não adicionam tanta informação quanto os tempos de falha exatos, elas requerem especiais tratamentos estatísticos e não devem ser ignoradas. Definindo: Dados Completos A maioria dos dados que não são dados de vida, bem como alguns dados de vida, são os que chamamos pelo termo dados completos. Dados completos significam que o valor de cada item da amostra é observado ou conhecido. Por exemplo, se testarmos 10 itens e todos falharam, portanto, neste caso teríamos as informações de quando o item falhou. Dados Censurados à Direita Neste caso os dados possuem itens que não falharam. Por exemplo, se testarmos dez itens, mas somente cinco falharam. Neste caso, nossos dados são compostos por cinco itens que falharam, ou seja, itens que conhecemos os tempos de falha e cinco itens que não falharam. Este é o comum tipo de dados censurados, freqüentemente utilizado na análise dados de campo. Um erro comum é quando as suspensões ou itens que não falharam são desprezados.

22 9 FIGURA 3 Dados Censurados à Direita Dados em Intervalos Censurados Dados censurados em intervalos que contêm incertezas em relação ao tempo exato que a falha aconteceu. Em outras palavras, as únicas informações que temos são que o item falhou em um dado intervalo de tempo. Por exemplo, se executarmos um teste com cinco itens e realizarmos inspeções a cada cem horas, nós saberemos se o item falhou ou não entre as inspeções. Se o item falhou entre as inspeções nós não saberemos o exato momento em que a falha ocorreu, mas nós sabemos que ela ocorreu dentro do intervalo de inspeção. Isto também é chamado por inspeção de dados por vários autores. FIGURA 4 Dados em Intervalos Censurados

23 10 Dados Censurados à Esquerda O terceiro tipo de censura é similar à censura em intervalos e é denominado dado censurado à esquerda. Nos dados censurados à esquerda, o tempo da falha é somente conhecido após certo tempo. Por exemplo, sabemos que a falha ocorreu em algum tempo antes de 100 horas, mas não sabemos exatamente quando. Em outras palavras, a falha pode ter acontecido entre zero e cem horas. FIGURA 5 Dados Censurados à Esquerda Todos os tipos de dados mencionados anteriormente podem ser agrupados. Dados agrupados são utilizados em testes onde há vários itens que falharam com o mesmo tempo até falha, ou os itens são agrupados em intervalos, ou há grupos de itens suspensos no mesmo tempo. Portanto deve-se cuidar quando se utiliza diferentes métodos de estimadores de parâmetros, porque os diferentes métodos tratam os dados agrupados por diferentes caminhos.

24 Métodos Utilizando o Método da Regressão (Mínimos Quadrados) Utilizando dados agrupados, o software plotará os pontos correspondentes à maior posição da categoria em cada grupo. Em outras palavras, dados três grupos de 10 unidades falhando em 100, 200 e 300 horas respectivamente, os três pontos plotados serão os pontos finais de cada grupo, ou a 10ª posição em 30, a 20ª posição em 30 e a 30ª posição em 30. Este procedimento é idêntico ao procedimento padrão quando utilizamos dados agrupados. Nos casos onde são usados dados agrupados você assume-se que as falhas ocorreram em um dado tempo dentro do intervalo. Em nosso exemplo poderíamos também dizer que até 100 horas 10 itens falharam de 100 a 200 horas outros 10 itens falharam e de 200 a 300 horas outros 10 itens falharam. A análise de regressão automaticamente contabilizaria isso. Se este não for o caso, quando utilizando regressão, e 10 itens falharam exatamente com 100 horas, 10 itens falharam exatamente com 200 horas e 10 itens falharam exatamente com 300 horas, é recomendado que você os considere como dados não agrupados. As categorias medianas são usadas para obter uma estimativa da desconfiabilidade para cada falha, com 50% de confiança. No caso de dados agrupados eles são estimados para cada grupo de falhas ao invés de cada falha. Por exemplo, quando utilizamos um grupo de 10 falhas em 100 horas, 10 falhas em 200 horas e 10 falhas em 300 horas, o software realizará a estimativa seguindo a categoria mediana (Z s). Para 10 falhas em 100 h, a categoria mediana, Z é estimada utilizando:

25 12 Onde um valor de Z é obtido para o grupo, para representar a probabilidade de 10 falhas ocorrerem em total de 30. Para 10 falhas em 200 h, Z é estimado utilizando: Onde um valor de Z é obtido para representar a probabilidade de 20 falhas em um total de 30. Para 10 falhas em 300 horas Z é determinado utilizando: Onde um valor de Z é obtido para o grupo, para representar a probabilidade de 30

26 13 falhas ocorrerem em total de Utilizando o Método da Máxima Verossimilhança Quando utilizando o Método da Máxima Verossimilhança, ou MMV, cada tempo individual é utilizado no cálculo dos parâmetros, portanto não há diferença em entrar com um grupo de 10 itens falhando até 100 horas e 10 entradas individuais em 100 horas. Isto é inerente ao método padrão do MMV. Em outras palavras, independentemente se os dados forem entrados agrupados ou não agrupados, o resultado será o mesmo. Quando utilizando a máxima verossimilhança é recomendada a entrada redundante de dados em grupos. Isto significará maior velocidade nos cálculos. Comentários sobre o Método da Máxima Verossimilhança: (1) Os estimadores da máxima verossimilhança são consistentes e assintoticamente eficientes. (2) A distribuição de probabilidade do estimador é assintoticamente normal. Para amostras pequenas, olhando um gráfico do MMV, ele pode nos revelar ou não como esta suposição é razoável. (3) O estimador da máxima verossimilhança é mais requerido quando trabalhamos com pequenas amostras, desde que elas tragam resultados conservadores, comparados com o estimador dos mínimos quadrados. (4) Os estimadores da máxima verossimilhança podem convergir para uma solução, mesmo quando temos uma única falha conhecida (isto não deve ser implementado, pois resulta em uma grande incerteza). (5) O estimador da máxima verossimilhança da função de probabilidade para a distribuição Weibull na vizinhança do valor β=1, (ponto de transição) apresenta um comportamento incerto (imprevisível). (6) Utilizando o MMV quando o parâmetro de localização é conhecido, nas correspondentes distribuições, ele é relativamente livre de problemas computacionais. Entretanto, a introdução do parâmetro de localização cria complicações matemáticas.

27 14 (7) Em algumas das combinações de parâmetros, a resolução pelo MMV poderá travar os cálculos e não apresentam solução. (8) As resoluções pelo MMV são bem adequadas a distribuições com um e dois parâmetros Comparando os Métodos O melhor método para estimação de parâmetros vai depender muito da situação, não há como predizer antecipadamente se é o método da regressão ou o da máxima verossimilhança o mais eficiente. A regressão, através do coeficiente de correlação, apresenta uma boa medida de como os nossos dados se adequaram à distribuição escolhida. Uma má adequação (coeficiente de correlação longe de + -1) pode indicar a existência de múltiplos modos de falha. Isto é facilmente identificado olhando a adequação da linha aos dados (pontos) nos gráficos de modelos de regressão. Quando usamos o MMV, não é muito fácil identificar múltiplos modos de falha, a partir dos gráficos, pois não há o melhor caminho na plotagem pela solução com o MMV, ele suporta melhor dados com suspensões do que a regressão. Baseado nas propriedades do MMV, os limites de confiança podem ser quantificados. 2.6 Distribuições Mais Utilizadas A distribuição estatística é descrita pela f.d.p. (ou função densidade de probabilidade). Utilizando a definição da f.d.p. como todas as outras funções mais comumente utilizadas na análise de confiabilidade, que permitem a análise de dados de vida, tais como, função confiabilidade, função taxa de falha, função vida média e função vida mediana. Todas estas podem ser determinadas diretamente a partir das definições da f.d.p., ou f(t).

28 15 FIGURA 6 Exemplos de Curvas de Distribuições (f.d.p.) Existem diferentes distribuições, tais como normal, exponencial etc. e cada uma delas tem o f(t) pré-definido. Estas distribuições foram formuladas por estatísticos, matemáticos e engenheiros para modelar matematicamente ou representar certo comportamento. Por exemplo, a distribuição Weibull foi formulada por Walloddi Weibull. Muitas das distribuições que tendem a melhor representar os dados de vida são comumente chamadas de distribuições de vida. Uma das mais simples e comumente utilizada (e freqüentemente super utilizada erroneamente devido à sua facilidade) é a distribuição exponencial. A f.d.p. da distribuição exponencial é matematicamente definida como: f f ( t) = 0, t<0 t ( t) = λe λ, t 0 Onde t é a variável aleatória que representa o tempo. A letra Grega (lambda) representa o que é comumente referenciado como o parâmetro da distribuição Distribuição Weibull A distribuição Weibull é uma distribuição proposta para análise de confiabilidade. Ela é uma distribuição muito flexível, e por esta razão, amplamente utilizada. Ela pode ter diferentes formatos, e conseqüentemente se aproxima das outras distribuições. Na maioria dos casos, a distribuição Weibull é definida como:

29 16 f ( t) = α βt β 1 e α t β 0 t < FIGURA 6 Distribuição Weibull Distribuição Exponencial A distribuição exponencial é a mais comumente utilizada para componentes ou sistemas que apresentam uma taxa de falha constante, e é definida na maioria dos casos como: f f ( t) = 0, t<0 t ( t) = λe λ, t 0

30 17 FIGURA 7 Distribuição Exponencial Distribuição Lognormal A distribuição lognormal é comumente utilizada na análise de confiabilidade em ciclos até a falha por fadiga, resistências de materiais, e no projeto probabilístico com cargas variáveis. Quando o logaritmo natural dos tempos até a falha é normalmente distribuído, então dizemos que os dados seguem uma distribuição lognormal. A f.d.p. da distribuição lognormal é dada por:, 0 x <

31 18 Enquanto a distribuição normal é simétrica, que veremos na sequência, a distribuição lognormal é assimétrica e deslocada para a esquerda, permitindo uma melhor adequação para a modelagem de dados de vida. FIGURA 8 Distribuição Lognormal Distribuição Normal A distribuição normal é comumente utilizada na análise de confiabilidade, de tempos até a falha de componentes eletrônicos e mecânicos, equipamentos ou sistemas. A pdf da distribuição normal é dada por: - < x <, - < µ < e σ2 > 0

32 19 FIGURA 9 Distribuição Normal Distribuição Weibull Mista Normalmente é utilizada para componentes ou sistemas que apresentam múltiplos modos de falha. A distribuição Weibull mista é aplicada para representar populações mistas com múltiplos modos de falha. Ela mostra a imagem global da vida do produto, misturando diferentes distribuições de Weibull para diferentes estágios da vida do produto, com f.d.p. dada por: Para 0 T <.

33 20 Onde para duas populações S=2, para S=3 e para 4 S=4, será: FIGURA 10 Distribuição Weibull Mista Distribuição Gama Generalizada A distribuição Gama Generalizada não é tão utilizada como as outras distribuições de vida já apresentadas e possui a capacidade de imitar outras distribuições, tais como a Weibull ou a lognormal, dependendo dos parâmetros de sua distribuição. A distribuição gama generalizada possui três parâmetros e sua f.d.p. é dada por:

34 FIGURA 11 Distribuição Gama Generalizada 21

35 Intervalos de Confiança Intervalo de Confiança é um termo estatístico empregado para designar a representatividade da amostra. Quanto maior a amostra, menores e mais confiáveis serão os Intervalos de Confiança. O nosso objetivo é estimar a confiabilidade de todos os itens, baseando-se em uma amostra. Porém, até que todos os itens falhem não conheceremos seu exato valor. Se delinearmos 10 diferentes testes para nossos itens, e plotarmos os resultados utilizando o aplicativo, iremos obter para cada teste, diferenças significantes nos parâmetros da distribuição, e diferentes resultados de confiabilidade. Portanto, quando utilizamos os limites de confiança, obtemos um intervalo das falhas que irão ocorrer em X por cento das vezes, lembrando-se que os parâmetros são uma estimativa dos reais parâmetros. O real valor dos parâmetros nos é desconhecido. Os Intervalos de Confiança podem ser: Bilaterais Observação onde a maioria da população está situada. Por e- xemplo, quando utilizamos 90% de confiança bilateral, estamos dizendo que 90% da população está entre X e Y com 5% menor que X e 5% maior que Y, conforme a FIGURA 12. FIGURA 12 Intervalo de Confiança Bilateral

36 23 Unilaterais Observação da porcentagem maior ou menor (superior e inferior) de um ponto X. Por exemplo, 95% de confiança unilateral significa que 95% da população é maior que X, sendo X o limite inferior; ou 95% da população é menor que X, sendo X o limite superior, conforme FIGURA 13 na seqüência. Para efeitos de confiabilidade, não é fator de preocupação se ela é maior do que a estimada, somente nos preocupamos com o limite inferior, portanto tende-se a utilizar o Limite Unilateral Inferior. FIGURA 13 Intervalos de Confiança Unilateral Inferior e Superior. Os Limites Bilaterais significam que, dado um nível de confiança, o real valor

37 24 estará entre esses limites, enquanto que no Limite Unilateral Inferior teremos X% de certeza que o valor é maior do que a linha limite plotada, e no caso de Limite Unilateral Superior nós teremos X% de certeza que o valor é menor do que a linha limite plotada.

38 25 3 MATERIAIS E MÉTODOS 3.1 Proposta de Utilização dos Dados de Garantia Os dados de garantia são os acúmulos de todos os incidentes ocorridos durante a garantia dada pelo fabricante do veículo. Devido a sua grande versatilidade, estas informações são úteis para os estatísticos, engenheiros de confiabilidade na missão de análise e rastreabilidade das falhas de campo. Seu processamento é rápido e permite informações atualizadas das falhas de campo. Durante a montagem dos veículos cada um recebe um número de chassi (número de identificação do veículo) este número fornece todas as informações necessárias para a rastreabilidade do veículo, tipo do motor, carroceria, local de fabricação, ano, modelo, entre outros. Depois de produzido o veículo, é a concessionária que efetuará sua venda gerando uma notificação de venda. Esta notificação é registrada no banco de dados da empresa e o veículo passa oficialmente em circulação. Quando ocorre qualquer falha de um componente, a concessionária efetua o reparo e envia ao departamento de serviços da montadora a solicitação de pagamento correspondente ao trabalho efetuado no veículo. Esta informação de falha entra no sistema com a quilometragem, o código de defeito, data da reclamação, causa principal do defeito, custo do reparo estratificado (mãode-obra, peça) e comentários sobre o reparo. O processamento de todas estas informações separadas por cada tipo de veículo permite a geração de inúmeros tipos de informações e relatórios sobre as falhas de campo, facilitando assim as ações necessárias aos times de trabalho responsáveis por cada linha de veículo. É com base nessas informações que será feita a análise de confiabilidade, utilizando metodologias estatísticas para construir modelos probabilísticos, a partir de dados de vida.

39 Qualidade dos Dados Os modelos confiam nos dados para fazer previsões. Em nosso caso os modelos são distribuições estatísticas e os dados são dados de vida ou dados de tempo até falha de produtos. A precisão de qualquer previsão é diretamente proporcional à qualidade e a precisão dos dados fornecidos. Bons dados juntamente com a escolha do modelo apropriado geralmente resultam em boas previsões. Dados ruins ou insuficientes sempre resultam em previsões ruins. Utilizando a análise de dados de vida (bem como da estatística), deve-se ter bastante cautela na qualificação dos dados, e ter certeza de que a amostra não é tendenciosa. A primeira suposição que deve ser satisfeita é a de que os dados, ou a amostra sejam representativos da população. 3.3 Definição da População A população adotada para este estudo é composta por 1051 ônibus montados em uma indústria. Esses veículos são caracterizados por modelos diferenciados devido as suas aplicações. A quantidade de veículos envolvidos no estudo separados por modelo segue descrita na TABELA 1 abaixo: Modelo Quatidade de veículos A 375 B 181 C 135 D 279 E 81 Total 1051 TABELA 1 Quantidade de veículos por modelo Os modelos apontados acima assumem características diferenciadas em

40 relação à quantidade de sensores montados por modelo de ônibus, na TABELA 2 observamos as quantidades de sensores por modelo: 27 MODELO Nº SENSORES C 4 D 4 A 6 B - simples 6 E - simples 6 B - duplo 8 E - duplo 8 TABELA 2 Número de sensores por modelo Como descrito, existem veículos simples e duplos do mesmo modelo com diferente número de sensores. A FOTOGRAFIA 1 a seguir é relacionada ao veículo B - duplo, exemplificando a característica de articulação esquematicamente: FOTOGRAFIA 1 Ônibus do modelo B - duplo O modelo B - duplo tem 4 eixos com duas rodas por eixo, contabilizando 8

41 sensores de desgaste de pastilhas de freio. Conseqüentemente o número total de falhas esperadas será maior para veículos com maiores quantidades de sensores Identificação do Problema e Obtenção dos Dados O período de montagem desses veículos se estende de janeiro de 2009 até fevereiro de Nesse período, podemos considerar que o processo estava fora do padrão, pois foram utilizadas algumas peças de componentes internos diferentes das tradicionalmente adotadas no processo. Um dos fornecedores produziu peças com qualidade inferior às exigidas pela montadora. Essa característica foi descoberta com análises técnicas das falhas registradas pelo sistema de garantia. Analisando populações semelhantes, apenas caracterizadas pela diferença do componente em estudo, detectou-se uma diferença significativa superior relacionada à freqüência de falha para veículos com 12 meses de uso entre a população normal e a população defeituosa. Abaixo, o GRÁFICO 1 está mostrando o comportamento de falha da peça em estudo envolvendo todos os modelos, comparando com a taxa de entre a população normal e a população defeituosa. Obs.: Os dados abaixo são ilustrativos, não se tratam dos dados reais do problema. 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 C A B E 0,02 0 GRÁFICO 1 Taxa de Falha por Veículo em Relação ao Mês de Montagem

42 29 Detectando o problema e identificando quais veículos pertencem a essa população de risco, algumas medidas são necessárias para quantificar o nível de gravidade da situação, assim como estimar a quantidade monetária que será alocada para resolver o problema. Para obtenção dos dados de falhas foram utilizados os registros armazenados no computador de bordo do veículo. Quando alguma falha ocorre, o computador de bordo registra a quilometragem na qual aconteceu a falha e conseqüentemente sabemos que os outros sensores não falharam até o momento que o veículo chegou à concessionária para efetuar o reparo, assim suspendemos todos os outros sensores que não falharam com a quilometragem que o veículo chegou no seu último dia de reparo. Para veículos que não tiveram nenhum registro nas concessionárias foi considerado que os veículos percorrem uma quilometragem média mensal de acordo com as quilometragens conhecidas de veículos com registro do mesmo modelo e aplicação, assim suspendemos esses veículos com uma quilometragem média mensal estimada considerando o tempo de uso desde sua entrega até a data de retirada dos dados do sistema. 3.5 Análise de Confiabilidade Aplicada Para estimação da quantidade de falhas que devem ocorrer até que os veículos em estudo completem um determinado tempo de uso, foi utilizada à análise de confiabilidade. Na obtenção dos dados como descrita na seção anterior, os dados contêm quilometragens de falhas e suspensões, direcionando para o uso da metodologia de análise para dados censurados à direita, ou seja: Dados de falhas: registros de falhas com a quilometragem identificada. Dados de censura: sabe-se que muitos dos sensores em estudo não falharam até uma determinada quilometragem. Baseando-se nessas informações foram feitas às análises de confiabilidade separadas por modelo. Abaixo seguem as probabilidades de falha para o modelo C:

43 30 ReliaSoft Weibull Gráfico da Probabilidade de Falha vs Tempo 0,400 0,320 Probabilidade de Falha CB@90% Bilateral [T] B7R Loglogística-2P MLE SRM MED FM F=12/S=330 Pontos de Dados Linha de Probabilidade de Falha LC-I Superior LC-I Inferior Probabilidade de Falha, F(t)=1-R(t) 0,240 0,160 0,080 Paulo Zaleski de Matos Volvo do Brasil 12/5/2010 0,000 14:23: , , , , , ,000 µ=13,0570, σ=0,7256 Tempo, (t) GRÁFICO 2 Probabilidades de Falha para o Modelo C Tempo de uso km km km km Limite 0,1748 0,4126 0,5939 0,7124 Superior Probabilidade 0,1064 0,2364 0,3512 0,4459 média de falha Limite Inferior 0,0628 0,12 0,1669 0,2072 QUADRO 1 - Probabilidades e Limites de Falha Modelo C Os dados são compostos por 12 falhas e 330 suspensões, seguindo uma distribuição de probabilidade Log-Logística. Acima no QUADRO 1, estão as probabilidades de falha associadas às quilometragens arbitrárias determinadas com os limites de confiança superior e inferior descritos. O limite de confiança utilizado nesse estudo foi de 90%. Abaixo seguem as probabilidades de falha para o modelo B:

44 31 ReliaSoft Weibull Gráfico da Probabilidade de Falha vs Tempo 0,400 0,320 Probabilidade de Falha CB@90% Bilateral [T] B12M Weibull-2P MLE SRM MED FM F=50/S=553 Pontos de Dados Linha de Probabilidade de Falha LC-I Superior LC-I Inferior Probabilidade de Falha, F(t)=1-R(t) 0,240 0,160 0,080 Paulo Zaleski de Matos Volvo do Brasil 13/5/2010 0,000 09:04: , , , , , ,000 β=1,3625, η=3,4711ε+5 Tempo, (t) GRÁFICO 3 Probabilidades de Falha para o Modelo B Tempo de uso km km km km Limite 0,2128 0,5051 0,7403 0,8832 Superior Probabilidade 0,1676 0,3761 0,5595 0,7028 de falha média Limite Inferior 0,1313 0,2713 0,3926 0,4962 QUADRO 2 - Probabilidades e Limites de Falha Modelo B Os dados são compostos por 50 falhas e 353 suspensões, seguindo uma distribuição de probabilidade Weibull com 2 parâmetros. No QUADRO 2 acima estão as probabilidades de falha associadas às quilometragens arbitrárias determinadas com os limites de confiança superior e inferior descritos. O limite de confiança utilizado nesse estudo foi de 90%. Abaixo seguem as probabilidades de falha para o modelo C:

45 32 ReliaSoft Weibull ,600 Gráfico da Probabilidade de Falha vs Tempo Probabilidade de Falha CB@90% Bilateral [T] 0,480 B12R Lognormal-2P MLE SRM MED FM F=160/S=1834 Pontos de Dados Linha de Probabilidade de Falha LC-I Superior LC-I Inferior Probabilidade de Falha, F(t)=1-R(t) 0,360 0,240 0,120 Paulo Zaleski de Matos Volvo do Brasil 12/5/2010 0,000 13:30: , , , , , ,000 µ=13,1477, σ=0,9431 Tempo, (t) GRÁFICO 4 Probabilidades de Falha para o Modelo C Tempo de uso km km km km Limite Superior 0,0489 0,1793 0,3222 0,4471 Probabilidade de falha média 0,0415 0,159 0,2848 0,3961 Limite Inferior 0,0351 0,1403 0,2497 0,3468 QUADRO 3 - Probabilidades e Limites de Falha Modelo C Os dados são compostos por 160 falhas e 1834 suspensões, seguindo uma distribuição de probabilidade Lognormal. Acima no QUADRO 3 estão as probabilidades de falha associadas às quilometragens arbitrárias determinadas com os limites de confiança superior e inferior descritos. O limite de confiança utilizado nesse estudo foi de 90%. Abaixo seguem as probabilidades de falha para o modelo D:

46 33 GRÁFICO 5 Probabilidades de Falha para o Modelo D Tempo de uso km km km km Limite 0,0661 0,2123 0,4413 0,6793 Superior Probabilidade 0,0422 0,1478 0,2912 0,4472 de falha média Limite Inferior 0,0268 0,1016 0,1841 0,2657 QUADRO 4 - Probabilidades e Limites de Falha Modelo D Os dados são compostos por 19 falhas e 251 suspensões, seguindo uma distribuição de probabilidade Weibull com 2 parâmetros. No QUADRO 4 acima,

47 34 estão as probabilidades de falha associadas às quilometragens arbitrárias determinadas com os limites de confiança superior e inferior descritos. A análise confiabilidade para o modelo E não foi traçada devido aos veículos serem muito novos e ainda não terem apresentado falhas. Para resolução desse problema, adotou-se a confiabilidade do modelo B como estimativa de falha para os ônibus E. Os critérios considerados para esse procedimento foram às grandes similaridades que esses dois veículos apresentam, tanto em relação à composição de peças como na aplicação em campo. Abaixo seguem as probabilidades de falhas conjuntas de todos os modelos: ReliaSoft Weibull ,800 Gráfico da Probabilidade de Falha vs Tempo Probabilidade de Falha Probabilidade de Falha, F(t)=1-R(t) 0,640 0,480 0,320 Planilha2\B12M Weibull-2P MLE SRM MED FM F=50/S=553 Pontos de Dados Linha de Probabilidade de Falha Planilha2\B12R Lognormal-2P MLE SRM MED FM F=160/S=1834 Pontos de Dados Linha de Probabilidade de Falha Planilha2\B7R Loglogística-2P MLE SRM MED FM F=12/S=330 Pontos de Dados Linha de Probabilidade de Falha Planilha2\B9R Weibull-3P MLE SRM MED FM F=19/S=251 Pontos de Dados Linha de Probabilidade de Falha 0,160 Paulo Zaleski de Matos Volvo do Brasil 2/6/2010 0,000 12:50: , , , , , ,000 Planilha2\B12M: β=1,3625, η=3,4711ε+5 Planilha2\B12R: µ=13,1477, σ=0,9431 Planilha2\B7R: µ=13,0570, σ=0,7256 Planilha2\B9R: β=1,8300, η=5,3773ε+5, γ=2906,9125 Tempo, (t) GRÁFICO 6 Probabilidades de Falha para o Todos os Modelos

48 35 Podemos observar que a maior probabilidade de falha está associada ao modelo de ônibus B, caracterizado por uma aplicação urbana e conseqüentemente mais severa. A principal característica em relação a essa maior probabilidade de falha é a grande quantidade de frenagens que o veículo efetua durante seu uso. Abaixo segue uma tabela mostrando a probabilidade de falha por modelo associada quilometragens determinadas. MODELO km km km km B C 0, ,3761 0,5595 0,7028 0,1064 0,2364 0,3512 0,4459 D 0,0422 0,1478 0,2912 0,4472 A 0,0415 0,159 0,2848 0,3961 QUADRO 5 Probabilidade de Falha por Modelo de Ônibus 3.6 Provisionamento de Custos Para a estimação de quanto será gasto com os veículos em estudo relacionando com as falhas dos sensores foram adotados os seguintes critérios de pagamento de acordo com a idade do veículo no seu dia de reparo: Até 12 meses 100% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela indústria. De meses 80% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela indústria. De meses 60% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela indústria.

49 36 De meses 40% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela indústria. De meses 20% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela indústria. A análise confiabilidade foi realizada considerando que as falhas dos sensores estão diretamente ligadas com a quilometragem percorrida, assim para estimação da probabilidade de falha em relação à idade do veículo, é necessário que primeiramente se obtenha as quilometragens médias mensais estimadas por modelo de ônibus. No momento que o veículo chega à concessionária são coletadas algumas informações ao seu respeito, inclusive sua quilometragem atual. Sendo assim, podemos estimar a quilometragem média que esses veículos estão percorrendo por mês, considerando a seguinte fórmula a seguir: T = DE DR (1) KM = KR/ (T/ 30) (2) Sendo que: T = Tempo de uso dos veículos DE = Data de entrega ao cliente DR = Data do último registro na concessionária KR = Quilometragem do último registro KM = Quilometragem mensal média estimada Com os resultados dessas informações conseguimos estimar com quantos quilômetros em média esses veículos irão fechar o período de garantia (1º ano), 2º ano, 3º ano e assim por diante, conforme descrito no QUADRO 6, a seguir.

50 37 MODELO B C D A E KM Mensal estimada 4934 km 4818 km km km 4934 km QUADRO 6 Quilometragem Mensal Estimada por Modelo Assumindo os valores citados acima e multiplicando pelas idades correspondentes, teremos a quilometragem média estimada para o 1º ano de uso e assim sucessivamente, possibilitando realizar uma estimativa de quantas falhas irão acontecer por modelo no primeiro, 2º, 3º, 4º... anos de uso. Seguem os cálculos para estimação dos custos por modelo de ônibus de acordo com os critérios estabelecidos para pagamentos das falhas nos sensores: População (KM) 0 to 59 km 59 to to to to 177 Total Population (Idade) * Números de sensores em risco Numero de falhas esperadas Número de veículos que falharam 0 Quilometragem estimada Probabilidade máxima de falha 10.7% 7.5% 8.4% 8.8% 8.7% 44.2% Probabilidade média de falha 8.6% 5.9% 6.2% 6.3% 6.2% 33.1% Probabilidade mínima de falha 6.9% 4.6% 4.4% 4.2% 4.1% 24.2% Escada de pagamentos 100% 80% 60% 40% 20% Custo média de reparo BRL 789 Estimativa de custo para campanha BRL 62,051 Estimativa de custo em garantia BRL 43,935 TABELA 3 Estimativa de Custos para o Modelo E Obs.: No campo da tabela acima População (KM) as quilometragens estão na escala de 1 = mil quilômetros, seguindo a mesma escala para os outros campos dessa linha. O cálculo acima estima os custos que serão gastos com pagamentos relacionados com falhas nos sensores. No campo estimativa de custos para campanha, o valor de mil reais refere-se ao total estimado com gastos em

51 38 falhas nos sensores para veículos com a idade entre 12 a 36 meses. No campo estimativa de custos para garantia o valor de mil reais refere-se ao total estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com idade até 12 meses de uso, ou seja, no período de garantia. Para realização do calculo foi multiplicado o número total de sensores em risco vezes a probabilidade média de falha associada a uma determinada idade da população vezes a escada de pagamentos vezes o custo médio de reparo. Exemplificando para a idade de 0 a 12 ou 0 a 59 mil quilômetros percorridos em média: 648 * 8,6%* 100%* BRL 789 = Estimativa de custos em garantia (43.935) População (KM) 0 até até até até até 471 Total Population (Idade) * Números de sensores em risco Numero de falhas esperadas Número de veículos que falharam Quilometragem estimada (KM) 157, , , , ,780 Probabilidade máxima de falha 11.9% 7.5% 14.8% 9.8% 8.3% 52.3% Probabilidade média de falha 10.5% 6.7% 13.1% 8.7% 7.6% 46.5% Probabilidade mínima de falha 9.3% 5.9% 11.4% 7.6% 6.7% 40.8% Escada de pagamentos 100% 80% 60% 40% 20% Custo média de reparo BRL 795 Estimativa de custo para campanha BRL 278,512 Estimativa de custo de garantia BRL 39,159 TABELA 4 Estimativa de Custos para o Modelo A O cálculo acima estima os custos que serão gastos com pagamentos relacionados com falhas nos sensores. No campo estimativa de custos para campanha, o valor de mil reais refere-se ao total estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com a idade entre 12 a 36 meses. No campo estimativa de custos para garantia o valor de mil reais refere-se ao total estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com idade até 12 meses de uso, ou seja, no período de garantia. Para realização do cálculo foi multiplicado o número total de sensores em risco vezes a probabilidade média de falha associada a

52 39 uma determinada idade da população vezes a escada de pagamentos vezes o custo médio de reparo. Exemplificando para a idade de 0 a 12 ou 0 a 157 mil quilômetros percorridos em média: 2250 * 10,5%* 100%* BRL 795 = Estimativa de custos em garantia (39.159) População (KM) 0 até até até até até 177 Total Population (Idade) * Números de sensores em risco Número de falhas esperadas Número de veículos que falharam Quilometragem estimada (KM) 59,208 88, , , ,624 Probabilidade máxima de falha 10.7% 7.5% 8.4% 8.8% 8.7% 44.2% Probabilidade média de falha 8.6% 5.9% 6.2% 6.3% 6.2% 33.1% Probabilidade mínima de falha 6.9% 4.6% 4.4% 4.2% 4.1% 24.2% Escada de pagamentos 100% 80% 60% 40% 20% Custo médio de reparo BRL 795 Estimativa de custo em campanha BRL 78,084 Estimativa de custo em garantia BRL 46,672 TABELA 5 Estimativa de Custos para o Modelo B O cálculo acima estima os custos que serão gastos com pagamentos relacionados com falhas nos sensores. No campo estimativa de custos para campanha, o valor de mil reais refere-se ao total estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com a idade entre 12 a 36 meses. No campo estimativa de custos para garantia o valor de mil reais refere-se ao total estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com idade até 12 meses de uso, ou seja, no período de garantia. Para realização do cálculo foi multiplicado o número total de sensores em risco vezes a probabilidade média de falha associada a uma determinada idade da população vezes a escada de pagamentos vezes o custo médio de reparo. Exemplificando para a idade de 0 a 12 ou 0 a 59 mil quilômetros percorridos em média: 1126 * 8,6%* 100%* BRL 795 = Estimativa de custos em garantia (46.672)