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1 MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

2 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I9 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 009. [Livro do Professor] 660 p. ISBN: Pré-vestibular.. Educação.. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 70.7 Disciplinas Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química Biologia História Geografia Produção Autores Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

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5 Probabilidade Probabilidade de Laplace A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida dessa probabilidade, a qual é, portanto, uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis. Pierre Simon Laplace Ensaio filosófico sobre as Probabilidades Uma das aplicações mais importantes dos resultados anteriores é na teoria das probabilidades. Diremos que um experimento é determinístico quando repetido em condições semelhantes conduzindo a resultados essencialmente idênticos. Os experimentos que, repetidos sob as mesmas condições, produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios. Fenômenos aleatórios acontecem constantemente em nossa vida diária. São frequentes perguntas tais como: Choverá amanhã? Qual será a temperatura máxima no próximo domingo? Qual será o número de ganhadores da Loteria Esportiva? Quantos habitantes terá o Brasil no ano 00? A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. O modelo matemático utilizado para estudar um fenômeno aleatório particular varia em sua complexidade matemática, dependendo do fenômeno estudado. Mas todos esses modelos têm ingredientes básicos comuns. O que vamos fazer agora é estudar uma série de fenômenos aleatórios relativamente simples e interessantes, e fixar uma série de ideias e noções que são totalmente gerais. A definição de probabilidade como quociente do número de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis foi a primeira definição formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Líber de Ludo Aleae, de Jerônimo Cardano ( 0-76). A probabilidade introduzida nesta seção tem, como veremos, várias propriedades. Consideremos o seguinte experimento aleatório: jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. A primeira tarefa consiste em descrever todos os possíveis resultados do experimento e calcular o seu número. De outra forma: explicitar qual é o conjunto de possíveis resultados do experimento e calcular o número de elementos contidos nele. Este conjunto é chamado espaço amostral. É fácil descrevê-lo em nosso exemplo: Ω = {,,..., 6}, #( Ω) = 6 Os elementos do espaço amostral são chamados eventos elementares. Os subconjuntos do espaço amostral serão chamados eventos. Por exemplo, o subconjunto A={,, 6} é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é par. Passamos agora à segunda etapa: a de calcular a probabilidade de um evento A. Consideremos o caso do evento A={,, 6} de nosso exemplo. É claro intuitivamente que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número par em aproximadamente a metade dos casos; ou seja o evento A vai ocorrer mais ou menos a metade das vezes. O que está por trás dessa intuição é o seguinte: os eventos elementares são todos igualmente prováveis. o número de elementos de A (#(A) = ) é justamente a metade dos elementos de (#( ) =6). EM_V_MAT_0

6 Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento como A, da seguinte forma Probabilidade de A= #(A) #( ) = 6 = Laplace referia-se aos elementos de A (ou eventos elementares que compõem A como os casos favoráveis. Os elementos do espaço eram chamados casos possíveis. Defina então Probabilidade = número de casos favoravéis número de casos possíveis Vamos então resumir as considerações feitas até agora, que permitem a utilização desta definição de probabilidade. Suponha que os experimentos aleatórios têm as seguintes características: há um número finito (digamos n) de eventos elementares (casos possíveis). A união de todos os eventos elementares é o espaço amostral ; os eventos elementares são igualmente prováveis; todo evento A é uma união de m eventos elementares onde m n. Definimos então: Probabilidade de A = P(A) = número de casos favoráveis número de casos possíveis Consequências imediatas desta definição são as seguintes propriedades: ) Para todo evento A, 0 P(A). ) P( ) =. ) P( Ø) = 0 (porque #(Ø) = 0). ) Se A B = Ø, então ) P(A B) = P(A) + P(B). Probabilidade condicional Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas. A informação que ocorreu em uma determinada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrência das etapas sucessivas. Neste caso, dizemos que ganhamos informações e podemos recalcular as probabilidades de interesse. Essas probabilidades recalculadas recebem o nome de probabilidade condicional, cuja definição apresentamos a seguir. Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por P (A B) e dada por Exemplo: P (A B)= P (A B), P(B)>0 P(B) Considere a seguinte situação hipotética. Uma grande região de 00km² contém um aquífero (reservatório de águ subterrâneo com a água igual a km², cuja localização é desconhecida (ver figura a seguir). A fim de determinar a posição de aquífero, perfurações são feitas ao acaso. Vamos representar por H o evento de encontrar a água. Temos P ( H) = 0,0, obtida pelo quociente da área do aquífero pela área total, onde usamos que o espaço amostral é = {região de 00km²}. H 0 = Região (00km ) Suponha agora que, após um ano de pesquisas, uma área de cerca de 0km² já foi amplamente perfurada sem encontrar água e pode ser descartada para novos furos. Representamos essa informação por I. Qual seria agora a probabilidade de um furo, feito ao acaso, atingir o aquífero? Vamos representar por P (H \ I) a probabilidade desejada. Com a mesma argumentação utilizada acima, a nova região de procura terá área de 80km² e, portanto, P (H \ I) = 0,0. Isto é, como esperávamos, a probabilidade de obter água aumentou devido à informação recebida. Vamos refazer este cálculo utilizando a fórmula de probabilidade condicional. Para tal, seja B a nova região de procura correspondendo à área total inicial menos a parte que foi descartada para as novas tentativas. Temos que P (B) = 0,8. O evento H B representa a ocorrência de, sem nenhuma informação auxiliar, que encontremos água num furo feito na região B. Pelas suposições iniciais, H B = H e então, P (H B) = P (H) = 0,0. P (H B) = P (H B) = 0,0 = 0,0 P(B) 0,8 A figura a seguir apresenta o efeito da informação I no espaço amostral. EM_V_MAT_0

7 EM_V_MAT_0 H 0 = Região (00km ) H 0 = Nova Região (80km ) O espaço amostral perdeu 0km², que é a área descartada para novos furos. Da definição de probabilidade condicional, deduzimos a regra do produto de probabilidades, uma relação bastante útil que é apresentada na figura. Sejam A e B eventos de. Então, P (A B)=P(A B) P (B), com P(B)>0 Um conceito muito importante em probabilidade é o da independência de eventos, que será utilizado repetidamente ao longo de todo o texto. Independência de eventos Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência de A. Isto é: P (A B) = P (A) > 0, ou ainda a seguinte forma equivalente: P (A B) = P (A) P (B) Não é difícil verificar que se A é independente de B, então B é independente de A. O uso da expressão acima permite ainda verificar que o evento vazio é independente de qualquer evento. As demonstrações são deixadas a cargo do leitor. É muito comum, à primeira vista, confundir eventos independentes e eventos disjuntos. O próximo exemplo ajuda a esclarecer essa questão. Exemplo: Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que podem apresentar desajustes com probabilidade 0,0 e 0,0, respectivamente. No início do dia de operação um teste é realizado e caso a máquina esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia passando por revisão técnica. Para cumprir o nível mínimo de produção, pelo menos uma das máquinas deve operar. Você diria que a empresa corre risco de não cumprir com suas metas de produção? Seja O i o evento da máquina i estar operando, i = ou. Pelas informações disponíveis temos P (O ) = 0,9 e P (O ) = 0,90. Na figura apresentamos um diagrama conhecido como árvore de probabilidades, que consiste em apresentar os eventos e as probabilidades condicionais associadas às realizações. Cada um dos caminhos da árvore indica uma possível ocorrência. No preenchimento dos valores de probabilidades na árvore, observe que assumimos a independência entre O e O, pois acreditamos que a eventual falta de ajuste em uma máquina não interfere no comportamento da outra. Note que, no caso da independência, o segundo ramo da árvore não é afetada pela ocorrência dos eventos que aparecem no primeiro ramo. Portanto, pela definição de independência, segue que P(O O ) = P(O ) = 0,90. Para facilitar a notação, vamos escrever O O para o evento O O. Sua probabilidade da ocorrência é dada pelo produto dos ramos que levam nesse evento. Isso correspondendo à aplicação da regra do produto de probabilidades: P(O O ) = P(O O ) P(O ). 0,9 0,0 0,90 O O O c 0,0 0,90 0,0 Árvore de probabilidade A tabela a seguir resume as ocorrências e suas respectivas probabilidades. O c O O c

8 Eventos Probabilidade O O 0,9 x 0,90 = 0,8 O O c 0,9 x 0,0 = 0,09 O c O 0,0 x 0,90 = 0,0 O c Oc 0,0 x 0,0 = 0,00 Para obter o nível mínimo de produção diária, precisamos ter pelo menos uma máquina operando. Isso corresponde à ocorrência do evento O O O O c O c O. Temos P(O O O O c O c O )= P(O O ) + P(O O c )+P(O c O ) pois as três realizações são disjuntas. Por exemplo, não é possível as duas máquinas estarem operando (evento O O ) e ao mesmo tempo só a máquina I operar (evento O O c ). Dessa forma, concluímos que a probabilidade de manter o nível mínimo de produção é 0,99. Portanto, a empresa tem alta probabilidade de cumprir com suas metas de produção. No exemplo anterior, os eventos representados pelas intersecções O O, O O c, Oc O e Oc Oc formam novos eventos que têm a propriedade de serem mutuamente exclusivos, e cuja união completa todas as possíveis combinações. Distribuição binominal Uma quantidade X, associada a cada possível resultado do espaço amostral, é denominada de variável aleatória discreta se assume os valores num conjunto enumerável, com certa probabilidade. Por outro lado, será denominada variável aleatória contínua se seu conjunto de valores é qualquer intervalo dos números reais, o que seria um conjunto não-enumerável. Na construção de um certo prédio, as fundações devem atingir metros de profundidade e, para cada cinco metros de estacas colocadas, o operador anota se houve alteração no ritmo de perfuração previamente estabelecido. Essa alteração é resultado de mudanças para mais ou para menos, na resistência do subsolo. Nos dois casos, medidas corretivas serão necessárias, encarecendo o custo da obra. Com base em avaliações geológicas, admite-se que a probabilidade de ocorrência de alterações é de 0, para cada cinco metros. O custo básico inicial é de 00UPCs (unidade padrão de construção) e será acrescido de 0k, com k representando o número de alterações observadas. Como se comporta a variável custo das obras de fundação? Assumimos que as alterações ocorrem independentemente entre cada um dos três intervalos de cinco metros e representamos por A a ocorrência de alteração em cada intervalo, sendo A c seu complementar. A figura a seguir apresenta as três etapas com os possíveis resultados da perfuração. Cada etapa tem duas possibilidades que, quando combinadas com as outras duas etapas, originam oito possíveis eventos. Por exemplo, o evento AA c A representa que na primeira e na terceira etapas aconteceram alterações, enquanto que na segunda nada se alterou. Como temos três etapas, com dois possibilidades em cada uma, temos no total = 8 eventos. O espaço amostral consiste na união de todos os caminhos que levam de um ponto a outro da árvore de probabilidades. 0, 0,9 A A c 0, 0, A 0,9 0, 0,9 A c 0,9 0, A 0, 0,9 0,9 A c 0, 0,9 Sendo C a variável aleatória custo da obra, obtemos a seguinte tabela: Eventos Probabilidade C (em UPCs) AAA 0, 0 AAA c 0, x 0,9 00 AA c A 0, x 0,9 00 AA c A c 0, x 0,9 0 A c AA 0, x 0,9 00 A c AA c 0, x 0,9 0 A c A c A 0, x 0,9 0 A c A c A c 0,9 00 Note que associamos a cada evento do espaço amostral um valor para a variável aleatória C. Os distintos possíveis valores são c = 00, c = 0, c = 00 e c = 0. Além disso, podemos ter um mesmo valor da variável associado a mais de um elemento do espaço amostral, por exemplo, P (C = c ) = P (C = 0) = P (AA c A c A c AA c A c A c A). Tendo em vista que os eventos são disjuntos, a probabilidade da união fica sendo simplesmente a soma das probabilidades de cada evento. Então, P (C = 0) = P (AA c A c ) + P (A c AA c ) + P (A c A c A) = x 0, x 0,9 = 0,. A A c A A c A A c A A c EM_V_MAT_0

9 EM_V_MAT_0 As probabilidades para os outros valores de C podem ser obtidas de modo análogo, resultando na seguinte função de probabilidades: C p I 0,79 0, 0,07 0,00 Dessa forma, o comportamento da variável de interesse pode ser estudado através da associação de cada custo com sua probabilidade de ocorrência. Essa informação pode auxiliar na previsão de gastos e na elaboração de orçamentos. Consideremos agora um experimento com apenas dois resultados possíveis, que chamaremos de sucesso e fracasso. Exemplos Jogamos uma moeda não-viciada e atribuímos sucesso = cara, e fracasso = coroa. Jogamos um dado não-viciado e atribuímos sucesso = o resultado é ou 6 e fracasso = o resultado é,, ou. De uma urna que contém seis bolas brancas e quatro bolas pretas, sacamos uma bola e atribuímos sucesso = a bola é preta, e fracasso = a bola é branca. Chamamos de p, a probabilidade de sucesso e q = p, a probabilidade de fracasso. Nos nossos exemplos os valores de p são, 6 e 0, respectivamente. Suponhamos agora que façamos repetições (provas) do nosso experimento, realizando-o um número fixo: n vezes. Assim, por exemplo, no caso n = jogamos a moeda três vezes, jogamos o dado três vezes, sacamos sucessivamente três bolas da urna. Suponhamos ainda que a probabilidade p de sucesso mantenha-se constante ao longo das provas. Isso, no exemplo a, significa que a probabilidade de obter cara em qualquer dos lançamentos é /. Suponhamos finalmente que as provas sejam independentes, isto é, que o conhecimento dos resultados de algumas provas não altere as probabilidades dos resultados das demais. Isso, no exemplo c, significa que as bolas são sacadas com reposição. O problema que queremos resolver é o seguinte: qual é a probabilidade de obtermos k sucessos nessas n provas? A probabilidade de nessas n provas obtermos k sucessos e, em uma ordem predeterminada, por exemplo, os sucessos nas k primeiras provas e os fracassos nas demais: ΣSS... S FF... F k vezes n - k vezes Σppp... p. ( p)...( p) = p k ( p) n k, k fatores n - k fatores pois as provas são independentes. É claro que, em outra ordem, a probabilidade seria a mesma, pois apenas a ordem dos fatores se alteraria. A probabilidade de obtermos k sucessos e n k fracassos em qualquer ordem é p k ( p) n k multiplicado pelo número de ordem possíveis que é n k (para escolher uma ordem basta escolher em quais das n provas ocorrerão os k sucessos). Acabamos de provar o. Teorema binominal: a probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequência de n provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é p, igual a: n p k ( p) n k k Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter duas caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos duas coroas? Solução: Vamos indicar com H, cara, e com T, coroa. O espaço amostral é então = {(H H H), (H H T), (H T H), (H T T), (T H H), (T H T), (T T H), (T T T)} Donde: #( ) = casos possíveis = 8. Se A indica o evento obter duas caras temos que A = {(H H T), (H T H), (T H H)} Assim #(A) e, portanto: #(A) P(A) = =. #( Ω) 8 Se B denota o evento obter pelo menos duas caras temos B = {(H H T), (H T H), (T H H), (H H H)}. Resulta que #(B) = e P(B) = = 8

10 . Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7. Solução: O espaço amostral Ω consiste de todos os pares (i, j) onde i e j são inteiros positivos compreendidos entre e 6. A figura descreve o espaço amostral completamente. A probabilidade procurada é, portanto: 6...! =! Número do primeido dado. Número do segundo dado (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 6 (, 6) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) 6 (6, ) (6, ) (6, ) (6, ) (6, ) (6, 6) O número de eventos elementares (casos possíveis) é igual a #( ) = 6. Seja A o conjunto dos pares (i, j) tais que i + h = 7. Esses pares estão destacados na figura. Temos que #(A) = 6 e, portanto, #(A) 6 P(A) = = = #( Ω) 6 Na maior parte dos problemas concretos o espaço amostral não é descrito com tanto cuidado. Este é um costume generalizado (e às vezes perigoso). Nos exemplos não descreveremos precisamente o espaço amostral, mas ao leitor é aconselhado em todos os casos a defini-los com precisão. Para a Copa do Mundo, países são divididos em seis grupos, com quatro países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de dois times A e B caírem no grupo?. (Na realidade a escolha não é feita de forma completamente aleatóri. Solução: Vamos tomar como espaço amostral o conjunto de todas as permutações de elementos; ou seja o número de casos possíveis é! Consideremos o diagrama da figura a seguir, que 6 representa os times divididos em seis grupos. Quantas permutações existem tais que A e B pertencem ao primeiro grupo? A pode ser colocado em quatro lugares; restam para B três lugares e os times restantes podem ser dispostos em! formas diferentes. Portanto, o número de permutações com A e B no primeiro grupo é x x! 6.. A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 0,. Então, a probabilidade do casal ter dois filhos de sexos diferentes é: Solução: B Para cada filho desses pais temos quatro possibilidades : H M M M (uma possibilidade de meninos e três de meninas) Para dois filhos temos o seguinte espaço amostral: (H,H) ; (H,M); (H,M); (H,M) (M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M) (M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M) (M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M) Temos então seis casos de dois filhos de sexos diferentes em 6 possibilidades: Logo a probabilidade é : 6 6 = 8 Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma: homens mulheres fala inglês 9 0 fala alemão fala francês 7 Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que esta pessoa fala francês, qual é a probabilidade de que seja homem? EM_V_MAT_0

11 Solução: Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala francês e B se a pessoa escolhida é homem. Temos P(A) = P(A B) = 7 60 portanto P(B/A) = P(A B) P(A) = = 7 / / 60 = 7 99 Note-se que: P (B/A)= 7 99 = 7 = (A B). 7+ (A) 6. Numa prova há sete perguntas do tipo verdadeiro falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas as sete se: escolhermos aleatoriamente as sete respostas; escolhermos aleatoriamente as respostas, mas sa- bendo que há mais respostas verdadeiro do que falso. / Solução: / Viciado Equilibrado x = Dois uns Dois uns x = Temos: P [observar dois uns] = = 6, P [dado viciado e dois uns] =. = 8. /8 9 A probabilidade buscada é então igual a: = /6 0 = 90% 7. Solução: Há 7 = 8 possibilidades e portanto P [acertar os sete testes] = 8 Seja A o conjunto de todos os pontos com mais respostas V do que F. Temos que (A)= = ++7+=6, e portanto a probabilidade buscada é igual a /6. Consideremos dois dados, um deles equilibrado: (P ( ) = (P ( ) =... = (P ( 6 ) = /6 e outro viciado com: (P ( ) = / e (P ( ) =... = (P ( 6 ) = /0. Escolhe-se um dos dados ao acaso e se efetuam dois lançamentos, obtendo-se dois uns. Qual a probabilidade condicional de que o dado escolhido tenha sido o viciado? 8. Um exame de laboratório tem eficiência de 9% para detectar uma doença, quando essa doença existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado falso positivo para % das pessoas sadias testadas. Se 0,% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o seu exame foi positivo? Solução: P(doente positivo) = P(doente e positivo) = P(positivo) P(doent. P (positivo doent = = P.(doent. P (positivo doent + P (sadio). P (positivo sadio) 0,00. 0,9 0,00. 0,9 + 0,99. 0,0 = 9 9 0, EM_V_MAT_0 7

12 8 9. Jogamos uma moeda não-viciada 0 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente cinco caras? Solução: Estipulando sucesso = cara, temos p = / em cada prova e as provas são independentes. Queremos achar a probabilidade de k = sucessos em n = 0 provas. Pelo teorema binominal, a resposta é: 0 = 0 = O escore em um teste de proficiência na Língua Inglesa varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações coletadas durante vários anos permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho no teste: Pontos (0, 00) (00, 00) (00, 00) (00, 00) (00, 600) (600, 700) pi 0,06 0, 0,6 0, 0,8 0,0 Várias universidades americanas exigem um escore mínimo de 600 pontos para aceitar candidatos de países de língua não-inglesa. De um grande grupo de estudantes brasileiros que prestaram o último exame, escolhemos ao acaso 0 deles. Qual seria a probabilidade de, no máximo, três atenderem ao requisito mínimo mencionado? Solução: Vamos admitir que a tabela acima representa o escore dos estudantes que estão prestando esse último exame. Essa é uma suposição razoável tendo em vista que a tabela foi feita a partir de conjunto muito grande de dados. Isso quer dizer que um aluno selecionado ao acaso apresentará um dos vários escores de acordo com as probabilidades apresentadas na tabela. Por exemplo, a chance de apresentar menos de 00 pontos é 0,06. Admitimos ainda que os estudantes brasileiros têm comportamento similar aos demais, e portanto, a tabela também pode ser usada para representar esse desempenho. Pelo critério das universidades, o estudante é classificado como apto se seu escore é de 600 pontos ou mais, caso contrário, será considerado não-apto. Dessa forma, para cada indivíduo, teremos a classificação de apto ou não, feita de modo independente e com as seguintes probabilidades: P(apto) = 0,0 e P(não-apto) 0,90 Definindo uma nova variável X como o número de estudantes aptos dentre os 0. A probabilidade de no máximo três serem aptos á calculada pela função de distribuição no ponto, ou seja: F() = P(X ). Dessa forma, temos: P(X ) = k = 0 0 k 0, k 0,9 0 k = 0 0 0,0 0, , 0, , 0, , 0,9 7 = 0, + 0,70 + 0,8 + 0,90 = 0,867. Esse valor reflete as altas probabilidades atribuídas aos escores menores de 600, conforme o modelo de desempenho no teste.. Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla escolha com dez questões e cinco alternativas por questão. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente quatro questões? Solução: Estipulando sucesso = acerto, temos p = / em cada prova, e as provas são independentes. A probabilidade pk dele acertar k questões é a probabilidade dele obter k sucessos em n = 0 provas. Pelo teorema binominal, pk = 0 k k 0 k = 0 k 0 k 0 A probabilidade dele acertar exatamente k = questões é: p = = 0 9 0,088. E a probabilidade dele acertar pelo menos questões é: P 0 P P P = , =. Suponha que uma característica (como a cor dos olhos, por exemplo) depende de um par de genes. Representemos por A um gen dominante e por a um gen recessivo. Assim um indivíduo com genes AA é dominante puro, um com genes aa é um recessivo puro, e um com genes Aa é um híbrido. Dominantes puros e híbridos são semelhantes em relação à característica. Filhos recebem um gen do pai e um da mãe. Suponha que pai e mãe sejam híbridos e tenham quatro filhos. EM_V_MAT_0

13 EM_V_MAT_0... Qual é a probabilidade do primeiro filho ser um recessivo puro? Qual é a probabilidade de exatamente um dos quatro filhos ser um recessivo puro? Solução: Se os pais são Aa, a probabilidade de o primeiro filho ser aa é.. = % Pelo teorema binomial, C = = 7 6 0,9 =,9% (VUNESP) Após uma partida de futebol, em que as equipes jogaram com as camisas numeradas de a e não houve substituições, procede-se ao sorteio de dois jogadores de cada equipe para exame antidoping. Os jogadores da primeira equipe são representados por bolas numeradas de a de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna B. Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido com as 0 bolas restantes de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados dois jogadores de números iguais, a probabilidade de que aconteça o mesmo na segunda extração é de: 0,09 0, 0, 0, 0, (FUVEST) Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a /? Considere agora uma outra urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para valores de x a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor vale /? (UNICAMP) Um dado é jogado três vezes, uma após a outra. Pergunta-se: Quantos são os resultados possíveis em que os três números obtidos são diferentes? Qual a probabilidade da soma dos resultados ser maior ou igual a 6? (CESGRANRIO) Uma urna contém quatro bolas brancas e cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: Uma caixa contém 0 peças em boas condições e em más condições. Uma amostra de 0 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa. (Pôquer com dados) Cinco dados são jogados simultaneamente e os resultados são classificados em: A = todos diferentes; A = um par; A = dois pares; A = três iguais; A = full (três iguais e dois iguais); f) A = quatro iguais (pôquer); 6 g) A = cinco iguais; 7 h) A = uma sequência (números consecutivos) 8 Calcule a probabilidade de cada caso ocorrer. Uma cidade tem habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que: 000 leem A; leem B; leem A e B; leem C; 00 leem A e C; 000 leem B e C; 00 leem A, B e C. Qual é a probabilidade de que um habitante leia: pelo menos um jornal; só um jornal. 9

14 0 8. (UFRJ) Os algarismos,,,, são escritos em cinco cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de cinco algarismos. Calcular a probabilidade de que o número escrito seja par. Se a escolha fosse com reposição qual seria a pro- babilidade? 9. Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada. 0. (Fuvest) Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades iguais). Com relação a esse experimento considere os seguintes eventos: I. O resultado do lançamento é par. II. O resultado do lançamento é estritamente maior que. III. O resultado é múltiplo de. I e II são eventos independentes? II e III são eventos independentes?. (Fuvest) São efetuados lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda perfeita (as probabilidades de cara e coroa são iguais) até que apareça cara pela segunda vez. Qual é a probabilidade de que a segunda cara apa- reça no oitavo lançamento? Sabendo-se que a segunda cara apareceu no oitavo lançamento qual é a probabilidade condicional de que a primeira cara tenha aparecido no terceiro?. (Cesgranrio) Uma urna contém quatro bolas brancas e cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: (FEI) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. 0 responderam sim a ambas; 00 responderam sim à primeira; 0 responderam sim à segunda e 00 responderam não a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido não à primeira pergunta? 7 8. Para ter acesso a um determinado programa de computador o usuário deve digitar uma senha composta por quatro letras distintas. Supondo que o usuário saiba quais são essas quatro letras mas não saiba a ordem correta em que devem ser digitadas, qual a probabilidade desse usuário conseguir acesso ao programa numa única tentativa? 6 6. (Mackenzi Uma pessoa A concorre com você neste Concurso Vestibular com 0% de chance de ser aprovada. A probabilidade de que pelo menos um de vocês dois seja aprovado é 6%. Então, relativamente à pessoa A, a probabilidade de você ser aprovado é: (sabendo que os eventos são independentes) a mesma. o dobro. o triplo. a metade. um quarto. EM_V_MAT_0

15 EM_V_MAT_0 6. (Unirio) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, /, / e /6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: % % 7 % 0 % % 7. (UFRJ) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas são distribuídas em duas urnas, de modo que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna. Determine a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas. 8. Sacam-se, com reposição, quatro bolas de uma urna que contém sete bolas brancas e três bolas pretas. Qual a probabilidade de serem sacadas duas bolas de cada cor? Qual seria a resposta no caso sem reposição? 9. Lança-se um dado não viciado até a obtenção do terceiro 6. Seja X o número do lançamento em que isso ocorre. Calcule: P (X = 0); P (X > 0); P (X < 0). 0. Dois adversários A e B disputam uma série de 0 partidas. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6, e não há empates. Qual é a probabilidade de A ganhar a série?. Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. O primeiro que obtiver vitórias ganha a série. No momento o resultado é 6 x a favor de A. Qual é a probabilidade de A ganhar a série sabendo que em cada partida as probabilidades de A e B vencerem são respectivamente 0, e 0,6?. Em uma fábrica de parafusos, a probabilidade de um parafuso ser perfeito é de 96%. Se retirarmos da produção, aleatoriamente, três parafusos, a probabilidade de todos eles serem defeituosos é igual a: (FGV) Uma fatia de pão com manteiga pode cair no chão de duas maneiras apenas: com a manteiga para cima (evento A) com a manteiga para baixo (evento B) Uma possível distribuição de probabilidade para esses eventos é: P(A) = P(B) = /7 P(A) = 0 e P(B) = /7 P(A) = - 0, e P(B) =, P(A) = 0, e P(B) = 0,6 P(A) = 6/7 e P(B) = 0. (UFPR) Uma loja tem um lote de 0 aparelhos de rádio/ CD e sabe-se que nesse lote existem dois aparelhos com defeito, perceptível somente após uso continuado. Um consumidor compra dois aparelhos do lote, escolhidos aleatoriamente. Então, é correto afirmar. (( ) A probabilidade de o consumidor comprar somente aparelhos sem defeito é 8/. (( ) A probabilidade de o consumidor comprar pelo menos um aparelho defeituoso é 0,70. (( ) A probabilidade de o consumidor comprar os dois aparelhos defeituosos é /. (( ) A probabilidade de o primeiro aparelho escolhido ser defeituoso é 0,0. (( )A probabilidade de o segundo aparelho escolhido ser defeituoso, sendo que o primeiro já foi escolhido, é 0/.. Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos alunos é dada pelo gráfico seguinte: Número de alunos Idade de alunos Com base nos dados do gráfico, determine: o número total de alunos do curso e o número de alunos com no mínimo 9 anos. escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser no mínimo 9 anos ou ser exatamente 6 anos.

16 .... Dez pessoas são separadas em dois grupos de cinco pessoas cada um. Qual é a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B façam parte do mesmo grupo? (UNIRIO) Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma de suas diagonais, a probabilidade de que ela passe pelo centro do hexágono é de: (PUC-SP) Os 6 cães existentes em um canil são apenas de três raças: poodle, dálmata e boxer. Sabe-se que o total de cães das raças poodle e dálmata excede o número de cães da raça boxer em seis unidades, enquanto que o total de cães das raças dálmata e boxer é o dobro do número dos de raça poodle. Nessas condições, escolhendo-se, ao acaso, um cão desse canil, a probabilidade de ele ser da raça poodle é: No jogo da Loto são sorteadas cinco dezenas distintas entre as dezenas O apostador escolhe 6, 7, 8, 9 ou 0 dezenas e é premiado se são sorteadas (terno), (quadr ou (quin das dezenas escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador que escolheu 0 dezenas fazer: um terno; uma quadra; a quina (UNICAMP) De quantas maneiras é possível distribuir 0 bolas iguais entre três crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, cinco bolas? Supondo que essa distribuição seja aleatória, qual a probabilidade de uma delas receber exatamente nove bolas? Há oito carros estacionados em vagas em fila. Qual é a probabilidade das vagas vazias serem consecutivas? Qual é a probabilidade de não haver duas vagas vazias consecutivas? Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é a probabilidade delas possuírem um número comum? (FUVEST ) Um tabuleiro tem quatro linhas e quatro colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda(casa (, )) para a casa superior direita (casa (, )), sendo que esta peça deve moverse, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o trajeto são (, )(, )(, )(, )(, )(, )(, ) e (, )(, )(, )(, )(, )(, )(, ). Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto? Suponha que o caminho a ser percorrido seja esco- lhido da seguinte forma: sempre que houver duas opções de movimento, lança-se uma moeda nãoviciada; se der cara, a peça move-se para a casa à direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item terá uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que têm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade. Em um grupo de 0 pessoas, quatro são sorteadas para ganhar um prêmio. Qual é a probabilidade de uma particular pessoa ser sorteada? EM_V_MAT_0

17 Há C modos de selecionar os premiados. Premiando a 0 particular pessoa, há modos de selecionar os outros premiados. 0. Qual é a probabilidade de uma permutação dos números (,,..., 0) ter exatamente cinco elementos no seu lugar primitivo?. (UERJ) Protéticos e dentistas dizem que a procura por dentes postiços não aumentou. Até declinou um pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira de Odontologia (ABO), há, milhão de pessoas sem nenhum dente na boca, e 80% delas já usam dentadura. Assunto encerrado. (Adaptado de VEJA, out. 997.) Considere que a população brasileira seja de 60 milhões de habitantes. Escolhendo, ao acaso, um desses habitantes, a probabilidade de que ele não possua nenhum dente na boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de: 0,8% 0,6% 0,70% 0,80%. Nos cartões da Sena, as dezenas são apresentadas em um quadro com cinco linhas e 0 colunas. Determine a probabilidade das seis dezenas sorteadas: pertencerem à mesma linha; pertencerem a apenas duas linhas, cinco numa li- nha e uma na outra; idem, quatro numa linha e duas na outra; idem, três numa linha e três na outra; pertencerem a apenas três linhas, duas em cada; f) pertencerem a linhas diferentes.. Dois armários guardam as bolas de voleibol e basquete. O armário tem três bolas de voleibol e uma de basquete, enquanto o armário tem três bolas de voleibol e duas de basquete. Escolhendo-se ao acaso um armário e, em seguida, uma de suas bolas, calcule a probabilidade dela ser: respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de um série de. Que série de jogos é mais favorável para o jogador: ABA ou BAB?. Duas máquinas A e B produzem 000 peças em um dia. A máquina A produz 000 peças, das quais % são defeituosas. A máquina B produz as restantes 000, das quais % são defeituosas. Da produção total de um dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A? 6. Três urnas I, II e III contêm respectivamente uma bola branca e duas pretas, duas brancas e uma preta e três brancas e duas pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II? 7. Um estudante resolve um teste com questões do tipo verdadeiro-falso. Ele sabe dar solução correta para 0% das questões. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade de que ele sabia a resposta? 8. Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A) = / e P(A B) = /. Calcule P(B). 9. Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos: A: cara na primeira jogada. B: cara na segunda jogada. Verifique que A e B são independentes. 0. Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicional de obter na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado na figura abaixo é igual a p, 0 < p <. EM_V_MAT_0 de voleibol, sabendo-se que o armário foi esco- lhido. de basquete, sabendo-se que o armário foi es- colhido. de basquete.. Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros A e B. Os resultados dos jogos são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B são / e / Se todos os relés funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que haja corrente circulando entre os terminais A e B?. Um prisioneiro possui 0 bolas brancas, 0 bolas pretas e duas urnas iguais. O prisioneiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas duas urnas (nenhuma das urnas pode ficar vazi. As urnas serão embaralhadas e o prisioneiro deverá, de olhos fechados, escolher uma

18 urna e, nesta urna, uma bola. Se a bola for branca ele será libertado e, caso contrário, condenado. Como deve proceder o prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado?. (Unifesp) Tomam-se 0 bolas idênticas (a menos da cor), sendo 0 azuis e 0 brancas. Acondicionam-se as azuis numa urna A e as brancas numa urna B. Transportamse bolas da urna B para a urna A e, em seguida, transportam-se bolas da urna A para a urna B. Seja p a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola branca da urna A e q a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola azul da urna B. Então: p = q p = /0 e q = /0 p = /0 e q = /0 p = /0 e q = /0 p = /0 e q = /0. (Unirio) A Organização Mundial da Saúde OMS pesquisou e concluiu que um casal sadio, em que os dois não sejam parentes consanguíneos (parentes em primeiro grau), ao gerar uma criança, pode apresentar o seguinte quadro probabilístico em relação a problemas congênitos: sexo masculino tem % de risco e sexo feminino, %. A probabilidade de um casal gerar um menino com doença congênita ou uma menina sadia é, em %, expressa por: 0,8, 9, 97, 99. (UERJ) Uma prova é composta por seis questões com quatro alternativas de resposta cada uma, das quais apenas uma delas é correta. Cada resposta correta corresponde a três pontos ganhos; cada erro ou questão não respondida, a ponto perdido. Calcule a probabilidade de um aluno que tenha respondido aleatoriamente a todas as questões obter um total de pontos exatamente igual a Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. Qual é a probabilidade de obtermos duas somas iguais a sete antes de obtermos três somas iguais a três? 7. Uma moeda tem probabilidade 0, de dar cara. Lançando-a vezes qual o mais provável valor do número de caras obtidas? 8. Para cada uma das 0 questões de uma prova objetiva são apresentadas cinco alternativas de respostas, das quais somente uma é correta. Considere as afirmações relativas à prova: I. Existem no máximo 0 maneiras diferentes de responder à prova. II. Respondendo aleatoriamente, a probabilidade de errar todas as questões é (0,8) 0. III. Respondendo aleatoriamente, a probabilidade de exatamente 8 questões estarem corretas é 0! 8! ()! (0,)8. (0,8) Analisando as afirmações, concluímos que: apenas III é verdadeira. apenas I e II são verdadeiras. apenas I e III são verdadeiras. apenas II e III são verdadeiras. I, II e III são verdadeiras. 9. Joga-se uma moeda não-viciada. Qual é a probabilidade de serem obtidas cinco caras antes de três coroas? 0. (FGV) Um lote com 0 peças contém duas defeituosas. Sorteando-se três peças desse lote, sem reposição, a probabilidade de que todas sejam não defeituosas é: Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos casos. Dentre os que têm essa doença, sorteamos pacientes que serão submetidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição adicional que julgar necessária, responda qual a probabilidade de: todos serem curados? pelo menos dois não serem curados? ao menos 0 ficarem livres da doença? EM_V_MAT_0

19 Suposição: os indivíduos submetidos à cirurgia são (ou não) curados independentemente uns dos outros com probabilidade de cura constante e igual a 0,80. Assim D: número de curados dentre os pacientes é binominal (n =, p = 0,8).. Um matemático sai de casa todos os dias com duas caixas de fósforos, cada uma com n palitos. Toda vez que ele quer acender um cigarro, ele pega (ao acaso) uma das caixas e retira daí um palito. O matemático é meio distraído, de modo que quando retira o último palito de uma caixa, não percebe que a caixa fica vazia, Como ele fuma muito, em certa hora, pega uma caixa e constata que ela está vazia. Qual é a probabilidade de, nesse momento, a outra caixa conter exatamente k ( 0 k n ) palitos? EM_V_MAT_0

20 6.... B A Devem ser colocadas na urna 6 bolas azuis. x = ou x = 9 0 resultados. /08. 0,00 0,999 ou 99,9% 6. 9,% 0,6 0, 0, f) g) h) 0,09 0,009 0, ,0 7 b. (b )! b b I e II são independentes. II e III não são independentes. EM_V_MAT_0

21 ... A 7/6 /7 A resposta é (que é aproximadamente igual a ).. D A resposta é D A B 0% 8. C7. C sem reposição C 0. (que é aproximadamente igual a ). A resposta é maneiras. /7 9. 0,6 com reposição 6. / / C = 8.. 0, C , Px ( = 0) Px ( > 0) 066, 0 C k 0 k 0 k k= 6. 0, 06, ( 06, ) 06, Os caminhos que passam pelo centro têm maior probabilidade.. A deve obter seis vitórias antes que B obtenha oito vitórias. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que A obtenha pelo menos seis vitórias nas próximas treze partidas. E 0... C.. D V, F, V, V, F. 0 alunos e 8 alunos. 60 % EM_V_MAT_ C B 7

22 ,7 0, 0, A probabilidade do jogador vencer se escolher a primeira série ABA é (ganha de A, ganha de B ou perde para A, ganha de B e ganha de A) 0, enquanto que para 7 BAB é P (D = ) = 0,0=(0,8). P (pelo menos dois não serem curados) = P (no máximo curados) = P (D ) = 0,8. P (D 0) = 0,99. n - k n n - k 9. P(A) = P(B) = /, pois em cada lançamento há dois resultados possíveis que são igualmente prováveis (cara e coro e, em cada lançamento há apenas um resultado favorável (car. P(A B) = /, pois, para os dois lançamentos, há quatro resultados possíveis que são igualmente prováveis (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coro e apenas um favorável (cara-car. Como P(A B) = P(A). P(B) os eventos A e B são independentes p.(p p ). Uma urna recebe uma bola branca e a outra as outras 99.. A. C. / k k k C. = k = D 6 0, p + p + p = = 0, A EM_V_MAT_0

23 EM_V_MAT_0 9

24 0 EM_V_MAT_0