MATEMÁTICA e RACIOCÍNIO LÓGICO

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1 MATEMÁTICA e RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Cláudio da Cunha Kidricki SUMÁRIO 1. Conjuntos, 2 2. Contagem, 7 3. Probabilidades, Aritmética e Álgebra, Números e Grandezas Proporcionais, Sistema Métrico Decimal, Geometria e Trigonometria, 64 1

2 1. CONJUNTOS SUBCONJUNTOS Conjuntos: A, B, C,... Elementos: a, b, c,... Pertinência: (símbolo usado entre um elemento e o conjunto ao qual ele pertence. Inclusão: (símbolo usado entre um conjunto e outro conjunto do qual ele é subconjunto). A B: A B Um conjunto com n elementos admite exatamente 2 n subconjuntos. Exemplo: Determine todos os subconjuntos do conjunto A= { a, b, c }. Solução: Ф, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}. Veja que o número de subconjuntos de A é 2 3 =8. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Intersecção ( ) A B = {x x A e x B} A B União ( ) A B= {x x A ou x B} ( ou não exclusivo) A B 2

3 Número de Elementos da União Sendo: n(a)= nº de elementos do conjunto A n(b)= nº de elementos do conjunto B n(a B)= nº de elementos do conjunto A B n(a B)= nº de elementos do conjunto A B, temos n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 5, 6, 7, 8, 9 } n(a B) = = A B Diferença ( - ) A B = { x x A e x B } A B Observação: se A B, então B-A é dito complementar de A em relação a B e é representado por C B A ( A' ou A se B = conjunto universo= U). Diferença Simétrica ( ) A B = {x ou x A ou x B } ( ou exclusivo) A B Produto Cartesiano ( x ) AxB = { (x,y) x A e y B } Número de Elementos do Produto Cartesiano: n(axb) = n(a). n(b) Exemplo: Determine o número de pares ordenados do conjunto AxB, sendo A= {a, b, c } e B = {1, 2 }. Solução: n(axb) = 3x2= 6 3

4 EXERCÍCIOS 01) Dados os conjuntos A= { 0, 1 }, B= { 1, 2, 3 } e C= { 0, 2 }, determine: a) A B b) B C c) A - B d) B - A e) A x B f) B x C g) O número de subconjuntos de A, de B e de C h) O número de subconjuntos de A x B e de B x C Resp.: a) {1} b) {0,1, 2, 3} c) {0} d) {2, 3} e) {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2) (1,3)} f) {(1,0), (1,2), (2,0), (2,2), (3,0), (3,2)} g) 2 2, 2 3, 2 2 h) 2 6, ) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100 Resp.: b 03) Se A e B são dois conjuntos tais que A B e A, então a) se x A, então x B b) se x B, então x A c) se x B, então x A d) se x B, então x A e) A B = Resp.: d 04) Num universo de 800 pessoas é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas pessoas não gostam nem de samba nem de rock? a) 800 b) 730 c) 670 d) 560 e) 430 Resp.: e 05) Se A, B e A B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto A B é a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e) 170 Resp. : d 06) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? a) 11 b)18 c) 22 d) 23 e) 46 Resp. : e 4

5 07) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há 3 programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses programas: Programas Nº de telespectadores E 400 N 1220 H 1080 E e N 220 N e H 800 E e H 180 E, N e H 100 Através desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assiste a qualquer dos 3 programas é a) 100 b) 200 c) 900 d) e) Resp.: b 08) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de 3 embalagens A, B e C, para o lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram as embalagens A e B; 40 indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; 10 indicaram as 3 embalagens. Dos funcionários entrevistados, quantos não tinham preferência por nenhuma das 3 embalagens? a) É impossível calcular b) 60 c) 55 d) 40 e) 80 Resp.: d 09)(ESAF)-Numa pesquisa de opinião sobre três revistas A, B e C, foi obtido o seguinte resultado: 700 pessoas liam a revista A, 500 liam a revista B, 400 liam a revista C, 250 liam as revistas A e B, 180 liam as revistas A e C, 110 liam as revistas B e C, 30 liam as três revistas e 110 não liam nenhuma. Quantas pessoas foram consultadas e quantas liam apenas uma das três revistas? a) e 520 b) e 430 c) e 610 d) e 680 e) e 430 Resp.: c 10) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator RH negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator RH negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator RH positivo é a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135 Resp.: c 5

6 11) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é a) 249 b) 137 c) 158 d)127 e)183 Resp.: c 12) (ESAF)- Uma pesquisa entre 800 consumidores, sendo 400 homens e 400 mulheres, mostrou os seguintes resultados: do total de pessoas entrevistadas: 500 assinam o jornal X 350 têm curso superior 250 assinam o jornal X e têm curso superior do total de mulheres entrevistadas: 200 assinam o jornal X 150 têm curso superior 50 assinam o jornal X e têm curso superior. O número de homens entrevistados, que não assinam o jornal X e não têm curso superior é, portanto, igual a a) 50 b) 100 c) 0 d) 200 e) 25 Resp.: b 13) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Qual o número de homens que não jogam xadrez? Resp.: 20 14) Numa prova constituída de duas questões, 300 alunos acertaram apenas uma das questões, 260 acertaram a segunda questão, 100 acertaram as duas questões e 210 erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? Resp

7 2. CONTAGEM PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM) Se um determinado evento pode ocorrer em k etapas sucessivas e independentes E 1, E 2, E 3,..., E k, sendo n 1, n 2, n 3,...,n k o número de possibilidades de ocorrer cada etapa E 1, E 2, E 3,..., E k, respectivamente, então o número de possibilidades de ocorrerem todas as etapas, ou seja, ocorrer E 1 e E 2 e E 3 e......e E k, é igual ao produto n 1.n 2.n 3...n k. Exemplo Vanessa comprou 2 calças, 2 tênis e 3 blusas. Quantas possibilidades que ela tem de vestir uma calça, 1 tênis e uma blusa usando essas peças novas? Solução: O desenho acima, conhecido como a Árvore das Possibilidades, mostra todas as 12 possibilidades que Vanessa tem para escolher uma calça, um tênis e uma saia. Utilizando o Princípio Multiplicativo (PM), chegamos ao mesmo resultando, sem desenhar a árvore das possibilidades, o que é muito mais rápido e prático. Então, pelo PM, temos: Etapa E1: escolha de uma calça: 2 possibilidades. Etapa E2: escolha de um tênis: 2 possibilidades. Etapa E 3 : escolha de uma blusa: 3 possibilidades. Nº de possibilidades para escolher uma calça, um tênis e uma blusa: = 12 possibilidades. Obs.: O PM utiliza o conetivo e, que está associado à Intersecção de Conjuntos. 7

8 EXERCÍCIOS (CESPE) O BB oferece aos investidores do mercado financeiro vários fundos de investimento. Alguns deles estão mostrados na tabela abaixo. Fundo Classificação de risco Taxa de administração BB Curto Prazo mil muito baixo 3,00% BB Referenciado DI mil muito baixo 3,00% BB Referenciado DI LP baixo 3,00% mil BB Referenciado DI 10 mil muito baixo 2,50% BB Referenciado DI LP 50 baixo 1,00% mil BB Renda Fixa mil baixo 3,00% BB Renda Fixa LP Índice alto 1,50% de Preço 20 mil BB Renda Fixa Bônus baixo 2,00% Longo Prazo BB Renda Fixa 25 mil baixo 2,00% BB Renda Fixa LP médio 1,00% Premium 50 mil BB Multimercado Moderado LP 10 mil muito alto 1,50% Considerando apenas os investimentos mostrados na tabela acima, julgue o item seguinte. 01. Se um investidor pretende aplicar, simultaneamente, em 3 tipos diferentes de fundo de investimento e aceita que a taxa de administração do primeiro seja de 3%, a taxa do segundo seja de 2% e a do terceiro seja de 1%, então ele tem mais de 15 formas diferentes de compor suas opções de investimento. Solução: a tabela mostra Taxa de administração = 3%: 4 fundos; Taxa de administração = 2%: 2 fundos; Taxa de administração = 1%: 2 fundos. Pelo Princípio Multiplicativo(PM), teremos um total de 4x2x2 = 16 formas diferentes de composição. O item está Certo. 02. Quantos números naturais de 2 algarismos diferentes podemos formar usando 4, 5, 6 e 7? Solução 4 3 Etapas: Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades (ou 4, ou 5, ou 6, ou 7). 8

9 Escolha do 2º algarismo: 3 possibilidades (porque não podemos repetir o 1º algarismo escolhido). Total: de acordo com o PM, teremos um total de 4.3 = 12 números. Observação Acabamos de calcular o número de Arranjos simples de 4 elementos, tomados 2 a 2, que se representa por A 4, Quantos números naturais de 2 algarismos podem ser formados usando os dígitos 2, 3, 4 e 5? Solução 4 4 Etapas: Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades. Escolha do 2º algarismo: 4 possibilidades (porque podemos repetir o 1º algarismo escolhido). Total: de acordo com o PM, termos um total de 4.4 = 16 números. Observação Acabamos de calcular o número de Arranjos com Repetição de 4 elementos, tomados 2 a 2, que é representado por (AR) 4, Existem 5 caminhos diferentes para ir do ponto A ao ponto B. De quantas maneiras diferentes pode-se ir de A a B e retornar, se o retorno deve ser por um caminho diferente do utilizado na ida? a) 9 b) 10 c) 20 d) 22 e) Uma loteria esportiva tem 14 jogos de futebol. Cada jogo tem 3 possibilidades de resultado: coluna 1, coluna 2 e coluna de meio. Quantos cartões diferentes posso fazer, marcando apenas uma coluna por jogo? 06. Um retângulo é dividido em 6 quadrinhos. De quantas maneiras é possível pintar a figura resultante, cobrindo os quadrinhos de preto ou vermelho? 07. (PUCRS) Sabendo que, num novo município, os números de telefones devem ter 6 algarismos e não podem começar por zero, então o número máximo de telefones que podem ser instalados é a)10 6 b) c) d) e) (UFRGS) Se cada placa de carro deve ter 3 letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas de um número de 4 algarismos, a totalidade de carros que podem ser emplacados é 9

10 a) 3! b) 7! c) d) e) (26!).(10!) Raciocínio Lógico Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 09. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos, de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos e, de C a um quarto ponto D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D? a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) Quantos são os números com quatro algarismos distintos, no sistema decimal, que tem o algarismo das centenas igual a 5? 11. (CESPE) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertençam ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 1) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a reposição de caracteres, então podem ser gerados menos de protocolos distintos. 2) Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de códigos distintos. 3) O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a Solução: 1) Cada código deve ter 4 letras, podendo haver repetição. Então, a escolha de cada uma das 4 letras tem 26 possibilidades e, pelo PM, teremos um total de : = códigos distintos. Item 1: Errado. 2) Como não podemos usar vogais, mas é permitida a repetição de letras, podemos usar 21 letras. Então, teremos: -códigos com 1 letra: 21 possibilidades -códigos com 2 letras: = 441 possibilidades -códigos com 3 letras: = possibilidades. Total: = códigos distintos. Item 2: Certo. 3) O número total de códigos diferentes, formados por 3 letras distintas é, de acordo com o PM, igual a = Item 3: Certo. GABARITO PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM) 04) c 05) ) 64 07) b 08) d 09) c 10)

11 ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES Dado um conjunto A com n elementos, podemos formar, basicamente, dois tipos de subconjuntos de A: a) Subconjuntos não ordenados de A com p elementos, ou simplesmente, subconjuntos de A com p elementos cada um ( p n ); b) Subconjuntos ordenados de A com p elementos cada um ( p n ). Os subconjuntos não ordenados (subconjuntos comuns) são chamados de combinações simples dos n elementos de A, tomados p a p. Os subconjuntos ordenados são chamados de arranjos simples dos n elementos de A, tomados p a p. Um permutação simples dos n elementos de A, é simplesmente um subconjunto ordenado de A, formado por todos os elementos de A. Ou seja, uma permutação simples dos n elementos de A, é um arranjo simples dos n elementos de A, tomados n a n. Exemplo: Dado o conjunto A = { a, b, c }, pede-se: a) o número de arranjos simples de A, com 2 elementos, ou seja, A 3,2 ; b) o número de permutações simples de A, ou seja, P 3 ; c) o número de combinações simples de A, com 2 elementos, ou seja, C 3,2 ; d) a relação entre os números C 3,2 e A 3,2 ; e) a generalização da conclusão tirada no item anterior, mostrando a relação entre C n, p e A n,p ( Fórmula para o cálculo do número de combinações simples). Solução: a) Os arranjos simples de 3 elementos 2 a 2, são os subconjuntos ordenados de A, com dois elementos: (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c) e (c,b). Veja que A 3,2 = 6. Para determinar o número A 3,2, basta usar o Princípio Multiplicativo (PM): -Escolha do 1º elemento: 3 possibilidades; -Escolha do 2º elemento: 2 possibilidades; Total : 3.2 = 6 possibilidades. Logo, A 3, 2 = 6. Regra prática No cálculo de A n,p, consideramos o produto dos números naturais decrescentes a partir de n, tomando p fatores. Veja que p funciona aqui como um contador, pois ele nos indica o número de fatores que devemos tomar. A 3,2 = 3.2 { = 6 ; A 4,3 = { = 24 ; A 10,4 = = ; etc. 2 fatores 3 fatores 4 fatores b) As permutações simples de A, são os arranjos simples de 3 elementos 3 a 3: (a,b,c), (b,a,c), (b,c,a), (c,b,a), (c,a,b) e (a,c,b). Temos então, P 3 = 6. Para determinar o número P 3, usamos o PM novamente: 11

12 -Escolha do 1º elemento: 3 possibilidades; -Escolha do 2º elemento: 2 possibilidades; -Escolha do 3º elemento: 1 possibilidade; Total: = 6 possibilidades. Logo, P 3 = A 3,3 = 6. c) As combinações simples de 3 elementos 2 a 2, são os subconjuntos não ordenados {a,b}, {a,c} e {b,c}. Observe que C 3,2 = 3. Para determinar o número C 3,2, basta observar que nos subconjuntos ordenados ou arranjos simples (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b), cada combinação foi contada duas vezes, pois {a,b}={b,a}, {a,c}={c,a} e {b,c}= {c,b}. Assim, C 3,2 = 2 6 = 3. FATORIAL O produto é chamado de Fatorial de 3 e escreve-se 3! Assim, P 3 = 3! = = 6. De um modo geral, dado um número natural n diferente de zero, definimos Fatorial de n por: n! = n(n-1)(n-2)(n-3) d) No item anterior vimos que: -A combinação {a,b} se desdobrou nos 2 arranjos (a,b) e (b,a); -A combinação {a,c} se desdobrou nos 2 arranjos (a,c) e (c,a); -A combinação {b,c} se desdobrou nos 2 arranjos (b,c) e (c,b). Em outros termos, cada uma das 3 combinações se desdobrou em 2 arranjos, obtendo-se o total de 6 arranjos. Mas esse 2, é exatamente o número de permutações que podemos formar com os dois elementos de cada combinação, pois P 2 = 2.1 = 2. Conclusão: a relação entre os números C 3,2 e A 3, 2 é A 3,2 = P 2.C 3,2 ou C 3,2 = A 3,2. P 2 e) Generalizando a conclusão tirada no item (d) teremos: C n,p = A n, p P p, sendo p n. A relação acima é a fórmula que usaremos para calcular o número de combinações simples de n elementos, tomados p a p. Observação A n,p e P n podem ser calculados diretamente pelo Princípio Multiplicativo (PM). Mas C n,p não. Para calcular o número C n,p utilizaremos a fórmula : C n,p = A n, p P p 12

13 COMBINAÇÕES COMPLEMENTARES As combinações C n,p e C n,n-p são conhecidas como Combinações Complementares. Por exemplo, C 12,9 e C 12,3, C 30,28 e C 30,2, C 100,97 e C 100,3 são combinações complementares. Pode-se demonstrar que C n,p = C n,n-p, ou seja, duas combinações complementares sempre são iguais. Assim, C 12,9 = C 12,3, C 30,28 = C 30,2 e C 100,97 = C 100,3. Essa propriedade facilita muito o cálculo de algumas combinações. Por exemplo, para calcularmos C 30,28, fazemos : C 30,28 = C 30,2 = = EXERCÍCIOS 01. Calcule: a) A 5,2 e) P 2 i) C 4,2 b) A 10,3 f) P 1 j) C 8,3 c) A 8,1 g) P 0 k) C 5,5 d) P 5 h) P n l ) C 20,2 02. Dado o conjunto A= { 1,2,3,4,5,6}, determine : a) o número de subconjuntos de A com 3 elementos; b) o número de subconjuntos ordenados de A com 3 elementos; c) o número de subconjuntos de A com zero elementos; d) o número de subconjuntos ordenados de A com zero elementos. 03. (ESAF) Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com a mesma possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter a classificação para os 3 primeiros lugares? Solução: A 10,3 = = Dez competidores disputam um torneio de natação, em que apenas os 4 primeiros colocados classificam-se nas finais. Quantos resultados possíveis existem para os 4 primeiros lugares? Solução A 10,4 = = Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podemos formar x números pares com 4 algarismos distintos. O valor de x é a) 420 b) 240 c) 120 d) 80 e) 60 Solução 13

14 Os números pares formados com 4 dos algarismos dados terminam em 0, 2, 4 ou 6: _ 0 A 6,3 _ 2 A 6,3 _ 4 A 6,3 _ 6 A 6,3 e são em número de 4A 6,3 = 4(6.5.4)= 480. Mas nos números pares que terminam em 2, 4 e 6, estão incluídos os números que começam por 0, que são números com 3 algarismos: 0 2 A 5,2 0 4 A 5,2 0 6 A 5,2 e que são em número de 3A 5,2 = 3(5.4) =60. Descontando esses números, teremos = 420 números pares com 4 algarismos distintos. A alternativa correta é (a). Observação: Um outro caminho (bem mais curto!) é usar o PM. Tente. 06. (CESGRANRIO) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de 4 algarismos distintos entre 1000 e A quantidade de senhas, em que a diferença positiva entre o 1º algarismo e o último algarismo é 3, é igual a a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e) (ESAF) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa? Solução C 10,4 = = 210 comissões Quantas diagonais tem um octógono? 09. (ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é? a) b) c) d) e) Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 10 pessoas, de modo que duas pessoas A e B estejam presentes em todas as comissões? Solução 14

15 Cada comissão deve ter 4 pessoas. Como as duas pessoas A e B devem estar em todas as comissões, restam apenas duas vagas para completar cada comissão. Basta eliminar as pessoas 8.7 A e B do grupo das 10 pessoas e calcular C 8,2 : C 8,2 = = 28 comissões Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 12 pessoas, de modo que duas pessoas A e B não estejam presentes em nenhuma comissão? Solução Para garantir que as pessoas A e B não estejam em nenhuma comissão, basta eliminar as pessoas A e B do grupo de 12 pessoas e calcular C 10,3 : C 10,3 = = 120 comissões (FGV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas poderão ser formadas, contendo, no mínimo, 1 diretor? Solução Como cada comissão deve conter no mínimo 1 diretor, devemos calcular quantas são as comissões com 1, 2 ou 3 diretores. Comissões: -com 1 diretor e 4 gerentes C 3,1 C 5,4 ; -com 2 diretores e 3 gerentes C 3,2 C 5,3 ; -com 3 diretores e 2 gerentes C 3,3 C 5,2. Total: C 3,1 C 5,4 + C 3,2 C 5,3 + C 3,3 C 5,2 = 55 comissões. Outro método ( Atalho ): 3 diretores + 5 gerentes = 8 pessoas. Basta calcular o total de comissões com 5 pessoas (C 8,5 ) e subtrair deste total o número de comissões com nenhum diretor (C 5,5 ). A diferença nos dará o número de comissões que contém pelo menos um diretor: C 8,5 C 5,5 = 56 1 = 55 comissões. Notas a) Cuidado! Este atalho só pode ser aplicado a problemas que falam em no mínimo um. Para problemas que falam em no mínimo dois, no mínimo três, etc, o raciocínio não se aplica. b) Para calcular C 8,5 use combinações complementares: C 8,5 = C 8,3 = = (ESAF) Em uma empresa existem 10 supervisores e 6 gerentes. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de maneira que participem pelo menos 3 gerentes em cada uma delas? 14. Num encontro de 12 cientistas, 3 são matemáticos. Quantas comissões de cinco elementos podem ser formadas, tendo cada comissão no mínimo um matemático? 15

16 15. Determine o valor de A 7,2 C 7, O valor de n na equação A n,2 = 3C n,3 é a) 4 b) 5 c) 7 d) 10 e) 12 Solução n( n 1)( n 2) n( n 1)( n 2) A n,2 = n(n-1) e C n,3 = = Substituindo na igualdade dada, teremos: n( n 1)( n 2) n( n 1)( n 2) n(n-1) = 3. n(n-1) = 6 2 2n(n-1) = n(n-1)(n-2) 2 = n-2 n = 4. Resposta: a Obs.: Outro método é testar as respostas (substituir n por 4, 5, etc na equação A n,2 = 3C n,3 ). 17. Se C n, 2 = 28, então n é igual a a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) (FCC) Oito processos deverão ser distribuídos entre três juízes de modo que o primeiro juiz receba 4 processos, o segundo 2 e o terceiro também 2. O número de maneiras em que a distribuição poderá ser feita é a) 124 b) 250 c) 380 d) 400 e) Marcamos 8 pontos sobre uma reta r e 5 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos triângulos podemos obter unindo 3 quaisquer desses pontos? CESPE/ UnB Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem. 20. Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa, etc. Suponha também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV,sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. 16

17 CESPE/UnB O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 22. Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1º, 2º e 3º lugares foi igual a 6. Solução: -Classificação em 1º lugar: 3 possibilidades -Classificação em 2º lugar: 2 possibilidades -Classificação em 3º lugar: 1 possibilidade. Pelo PM, teremos um total de = 6 possibilidades. Resposta: Certo. 23. Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66. Solução: Como temos 12 atletas da América do Sul, basta calcular C 12, C 12,2 = = Resposta: Certo. 24. Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do Caribe. Solução: -Comitês com 3 representantes da América do Sul: C 12,3 -Comitês com 2 representantes da América Central: C 8,2 -Comitês com 2 representantes do Caribe: C 19,2 De acordo com o PM, teremos um total de: C 12,3 x C 8,2 x C 19,2 = 220 x 28 x 171 > 419 e a resposta é Errado. Observação: Essa questão é uma pegadinha, pois = 419. Nem precisamos fazer a multiplicação para ver que > 419. Na verdade, = , que é bem maior do que Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180. Solução: -América do Norte: 3 países participantes -América Central: 8 países participantes. Como cada comitê tem que ter representantes de 5 países, sendo pelo menos 3 países da América Central, teremos um total de : 17

18 C 8,3 C 3,2 + C 8,4 C 3,1 + C 8,5 C 3,0 =...= 287 > 180. Resposta: Errado. 26.(ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: a) 120 b)1220 c) 870 d) 760 e) Permutando os algarismos 1, 2, 3 e 4 de todos os modos possíveis, obtemos números com 4 algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, constatamos que o lugar ocupado pelo número é o a) 15º b) 17º c) 20º d) 34º e) 40º 28. Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número será a a) 74ª b) 76ª c) 78ª d) 80ª e) 82ª 29. Calcule o valor de: 10! 20.18! 9! + 8! a) b) c) 8! 20! 7! ( n + 1)!( n + 2) 30. Simplificando a expressão ( n 1)! a) (n+1) b) (n+1)(n+2) c) n(n+2) d) n(n+1)(n+2) ( n + 1)( n + 2) e) n 1 obtemos: 31. Considerando os anagramas da palavra LIVRO, pergunta-se: a) O número total deles; b) Quantos começam com R? c) Quantos têm a sílaba LI? d) Quantos têm as letras L e I juntas? 32. Quantos anagramas da palavra VESTIBULAR têm as letras V, E e S a) Juntas e nessa ordem? b) Juntas e em qualquer ordem? 18

19 33. (ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos, de modo que as duas moças fiquem sempre juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) Tenho 4 livros de matemática, 5 de física e 3 de química. De quantos modos diferentes posso colocar esses livros numa prateleira de uma estante, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos? 35. Quatro pares de casais estão sentados em uma fileira de 8 cadeiras. De quantas maneiras elas podem sentar, se: a) não existir nenhuma restrição; b) sentarem homens juntos e mulheres juntas; c) sentarem homens juntos; d) sentarem pares de casais juntos. 36. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila de teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente: a) e b) e c) e d) 384 e e) 112 e (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) (FCC) Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto A = {1,2,3,4,5}. Em quantos desses números a soma dos algarismos é ímpar? a) 8 b) 12 c) 16 d) 24 e) (ESAF) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? a) 72 b) 36 c) 216 d) 720 e) (ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192 b) 36 c) 96 d) 48 e) 60 19

20 41.(ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de reta que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a : a) 16 b) 28 c) 15 d) 24 e) 32 GABARITO- ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES 02) a) 20 b) 120 c) 1 d) 1 08) 20 09) d 13) ) ) 21 17) b 18) e 19) ) Certo 21) Errado 26) e 27) a 28) b 29) a) 90 b) 1/19 c) 80 30) d 31) a) 120 b) 24 c) 24 d) 48 32) a) 8! b) 8!.3! 33) d 34) 3!.4!.5!.3! 35) a) 8! b) 2!.4!.4! c) 5!.4! d) 4!.2!.2!.2!.2! 36) c 37) e 38) d 39) b 40) c 41) a 20

21 3. PROBABILIDADES CONCEITOS EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS são experimentos que, mesmo realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentam resultados diferentes, sendo impossível uma previsão lógica dos resultados. ESPAÇO AMOSTRAL (OU CONJUNTO UNIVERSO) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo Determine o número de elementos do Espaço Amostral ou Conjunto Universo (U), isto é, n(u), nos seguintes experimentos: 01. Jogar um dado e ler o número da face voltada para cima. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(u) = Jogar uma moeda e ler a figura da face voltada para cima. U = {Cara, Coroa} n(u) = Jogar dois dados e ler os números das faces voltadas para cima. U = {(1,1), (1,2),..., (6,6), (2,1), (2,2),..., (3,1), (3,2),... (6,6)} n(u)=? Para determinar n(u) usamos o PM: 1 dado = 6 possibilidades 2 dado = 6 possibilidades Total = 6. 6 = 36 possibilidades. Logo, n(u) = Jogar um dado e uma moeda e ler as faces voltadas para cima. U = {(1,C),(1,K), (2,c), (2,K),..., (6,C), (C,K)}, onde C=cara e K=coroa. Dado = 6 possibilidades Moeda = 2 possibilidades Total = 6. 2 = 12 possibilidades. Logo, n(u) = Um casal planeja ter 3 filhos. Considerando o sexo (M ou F) dos futuros filhos, quantas são as possibilidades? U = {(M, M, M), (M, M, F),..., (F, F, F)}. 1 filho = 2 possibilidades 2 filho = 2 possibilidades 3 filho = 2 possibilidades Total = = 8 possibilidades. Logo, n(u) = 8. 21

22 EVENTO é qualquer subconjunto do espaço amostral. A seguir, vamos definir os principais eventos utilizados na teoria das probabilidades dando um exemplo de cada. Em todos os exemplos dados, consideraremos o experimento aleatório lançamento de um dado e leitura do número na face voltada para cima. Neste caso, o espaço amostral ou conjunto universo será U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento certo é o próprio espaço amostral. Exemplo: Evento C: ocorrência de um número menor que 9 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U Evento impossível é o subconjunto vazio. Exemplo: Evento I: ocorrência de um número maior que 7 I = Evento união é a união de dois eventos. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número maior que 3: A = {4, 5, 6} Evento B: ocorrência de um número ímpar: B = {1, 3, 5} Evento A B: ocorrência de um número maior que 3 ou ímpar: A B = {1, 3, 4, 5, 6}. Evento intersecção é a intersecção de dois eventos. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número par: A = {2, 4, 6} Evento B: ocorrência de um número múltiplo de 3: B = {3, 6} Evento A B: ocorrência de um número par e múltiplo de 3: A B = {6}. Eventos mutuamente exclusivos são dois eventos que têm intersecção vazia. Exemplo: Evento P: ocorrência de um número par: P = {2, 4, 6} evento I: ocorrência de um número ímpar: I = {1, 3, 5} P I = Eventos complementares (ou contrários) são dois eventos mutuamente exclusivos cuja união é igual ao espaço amostral. Ou seja, são dois eventos A e B tais que A B = e A B = U. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número par: A = {2, 4, 6}; Evento B: não ocorrência de um número par (ou seja, ocorrência de um número ímpar): B = {1,3,5} Vemos que A B = e A B = U. 22

23 PROBABILIDADE DE UM EVENTO Supondo que num experimento aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(u) e o número de elementos do evento A é n(a), a probabilidade de ocorrer o evento A é o número real P(A) dado por n( A) P(A) = n( U ) Notas: a) Na definição acima supomos que todos os elementos do espaço amostral sejam eqüiprováveis, isto é, tenham a mesma chance de ocorrer; b) É óbvio que P ( ) = 0 e P(U) = 1; c) 0 P(A) 1; d) Em termos de porcentagem, temos 0% P(A) 100%. EXEMPLOS 01. Numa urna há 10 bolas pretas e 30 bolas brancas. Qual a probabilidade de sortearmos a) uma bola preta? b) uma bola branca? a) P(P) = b) P(B) = 10 1 = ou 25% = ou 75% Num baralho com 52 cartas, há 13 cartas de cada naipe. Qual a probabilidade de tirarmos uma carta do naipe copas? 13 1 P(C) = = ou 25% Jogando-se dois dados, um vermelho e outro azul, qual a probabilidade de obtermos soma igual a 10? U = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6)} n(u) = 6. 6 = 36 Evento E = {(4,6), (5,5), (6,4)} n(e) = P(E) = = ou 8,33% Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de terem 2 homens e 1 mulher? n(u) = = 8 Evento E = {(H, H, M), (H, M, H), (M, H, H)} n(e) = 3 P(E) =

24 05. Um cartão da Quina é composto por 80 dezenas (de 01 a 80). Qual a probabilidade do sr. Hazharad fazer a quina num cartão com 8 números? n(u) = C 80,5 n(e) = C 8,5 C8,5 P(E) = C 80,5 PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (REGRA DO OU ) Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que ocorram A ou B é dada por P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Nota: se A e B são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A B=, então P(A B) = P(A) + P(B). Exemplos 1) Numa urna há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de retirarmos uma bola com número par ou maior que 4? n (U) = 10 A = bola com número par B = bola com número maior que 4 n(a) = 5, n(b) = 6, n (A B) = P (A ou B) = + = = ) Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade da carta escolhida ser um 4 ou um 9? n(u) = 52 A = carta número 4 n(a) = 4 B = carta número9 n(b) = 4 n (A B) = 0 4 P(A ou B) = = 8 52 = ) Jogando-se dois dados não viciados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5? 24

25 n(u) = 6. 6 = 36 A = {(1,3),(2,2),(3,1)} n(a) = 3 B = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} n(b) = 4 n (A B) = P(A ou B) = + 0 = PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (REGRA DO E ) Dados dois eventos sucessivos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que ocorram A e B é dada por P(A B) = P(A).P(B/A) onde P(B/A) é a probabilidade de ocorrer B após ter ocorrido A. Notas: a) o número P(B/A) é chamado probabilidade de B condicionada a A; b) se os eventos A e B são independentes, ou seja, a ocorrência de A não afeta a probabilidade da ocorrência de B, temos P(B/A) = P(B) e a expressão acima fica P(A B) = P(A).P(B) Exemplos 1) Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Se sortearmos 2 bolas, uma de cada vez, repondo a primeira na urna, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta? P(B e P) = = 2 9 2) Considerando a mesma situação do exemplo anterior, mas sem reposição da primeira bola sorteada, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta? P(B e P) =. = ) Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso e, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra peça é retirada. Qual a probabilidade de as duas peças retiradas serem usadas? P(u e u) = = ) Uma moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de sair coroa nos dois lançamentos? P(K e K) =. = ) Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de sair cara nas 5 vezes? 1 5 P(C, C, C, C, e C) = =

26 6) Tira-se 3 cartas ao acaso, com reposição, de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de ser a primeira de paus, a segunda de ouros e a terceira de espadas? P(p, o, e) = = = 4 3 = ) Temos 3 caixas: caixa 1 com 5 bolas brancas e 5 bolas pretas; caixa 2 com 10 bolas azuis e 40 bolas verdes; caixa 3 com 16 bolas amarelas e 4 bolas vermelhas. Sorteando uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de sair branca da caixa 1, verde da caixa 2 e amarela da caixa 3? P(B, V, A) = = ou 32% 25 PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR Se A e B são dois eventos complementares (contrários) do mesmo espaço amostral U, temos: B A P(A) + P(B) = 1 ou P(B) = 1 P(A) Exemplos 1) Qual a probabilidade de sair um número diferente de 2 no lançamento de um dado? A = sair o número 2 B = não sair o número a) P(A) = b) P(B) = 1 - = ) No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de: a) sair um múltiplo de 3; b) não sair um múltiplo de 3. A = sair o número 3 B = não sair o número a) P(A) = = b) P(B) = 1 - = ) São lançados dois dados. Calcule a probabilidade de a) se obter uma soma de 7 pontos; b) não se obter uma soma de 7 pontos a) P(A) = = b) P(B) = 1 - =

27 EXERCÍCIOS 01. (OSECSP) Foram preparadas 90 empadinhas de camarão, sendo que, a pedido, 60 delas deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa para serem servidas. A probabilidades de alguém retirar uma empadinha mais apimentada é a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e) 1/90 Resp.: d 02. (OSECSP)-A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/12 e) nra Resp.: a 03. (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 Resp.: c 04. (CESGRANRIO) A probabilidade de um inteiro n, 1 n 999, ser um múltiplo de 9 é a) 1/ 909 b) 1/10 c) 2/9 d) 1/3 e) 1/9 Resp.: e 05. (UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meia estão misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é a) 1/10 b) 1/9 c) 1/5 d) 2/5 e) 1/2 Resp.: b 06. (FAMECA) Dois prêmios devem ser sorteados entre 25 alunos de escolas superiores, entre os quais 5 cursam Medicina. Qual é a probabilidade de 2 dos futuros médicos serem contemplados? a) 1/5 b) 2/25 c) 1/30 d) 2/5 e) 9/25 Resp.: c 07. (UNIRIO) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um gol cobrado um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% Resp.: b 08. (FAC. OBJETIVO-SP) Um dado honesto tem seis faces numeradas de 1 a 6. Joga-se este dado duas vezes consecutivas. A probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento e um número maior ou igual a 5 no segundo lançamento é a)1/4 b)1/12 c)1/8 d)2/5 e)1/6 Resp.: e 09. (FCC) Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém todos os números de 1 a 100. Os funcionários de um cartório compraram todos os números múltiplos de 8 ou 10. A probabilidade de que um desses funcionários seja premiado no sorteio da rifa é de 27

28 a) 12% b) 18% c) 20% d) 22% e) 30% Solução n(u) = 100; Evento A: ser múltiplo de 8; Evento B: ser múltiplo de 10; A = { 8, 16, 24,..., 96} n(a) = 96/8 = 12 múltiplos de 8; B = {10, 20, 30,..., 100} n(b) = 100/10 = 10 múltiplos de 10; n(a B) =? Para obter n(a B) temos que determinar os múltiplos comuns (múltiplos de 8 e de 10) entre 1 e 100. Para isso, calculamos mmc(8,10) = 40 e temos 2 múltiplos comuns entre 1 e 100: 40 e 80. Daí: P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) = + - =, ou seja, 20% Resposta: c 10. Lançando-se um dado três vezes, a probabilidade de se obter o número 3 nas duas últimas jogadas, mas não na primeira, é a) 1/216 b) 3/216 c) 5/216 d) 7/216 e) 9/216 Resp.: c 11. (UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de: a) 25% b) 30% c) 33% d) 50% e) 60% Resp.: e 12. (UFRGS) Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é: a) 1/15 b) 2/21 c) 1/12 d) 1/11 e) 1/9 Resp.: e 13. (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8 Resp.: c 14. (UFRGS) Uma parteira prevê, com 50% de chance de acerto, o sexo da cada criança que vai nascer. Num conjunto de três crianças, a probabilidade de acertar pelo menos duas previsões é de a) 12,5% b) 25% c) 37,5% d) 50% e) 66,6% Resp.: d 28

29 15. (PUCSP) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis. Alguém, querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém que escolhe 5 dezenas tem probabilidade x de ganhar, então quem escolhe 7 dezenas tem que probabilidade de ganhar? a) 7x b) 14x c) 21x d) 28x e) 35x Resp.: c 16. (ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 b) 1/5 c) 9/20 d) 4/5 e) 3/5 Resp.: a 17. (UFRGS) As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados, numa caixa, 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é de a) 10% b) 15% c) 30% d) 50% e) 75% Resp.: e 18. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 Resp.: d 29

30 CESPE (Banco do Brasil) Em uma loteria, com sorteio duas vezes por semana, são pagos milhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre seis e quinze números dos sessenta existentes no volante e pagar o valor correspondente ao tipo de aposta, de acordo com a tabela abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera-se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o sorteio de cada número, as bolas sorteadas retornam aos seus respectivos globos. Quantidade de números Tipos de aposta Valor (emr$) escolhidos no volante 6 A6 1,00 7 A7 7,00 8 A8 28,00 9 A9 84,00 10 A10 210,00 11 A11 462,00 12 A12 924,00 13 A ,00 14 A ,00 15 A ,00 Internet: < em jul./2003(com adaptações) Acerca do texto e das informações nele contidas, julgue os itens subseqüentes. 19. Para efeito de premiação, os números passíveis de serem sorteados são todos os inteiros positivos compreendidos no intervalo [1, 60]. 20. Para o primeiro número que é sorteado, a probabilidade de que seu algarismo das dezenas seja igual a 3 é igual à probabilidade de que seu algarismo das unidades seja igual a Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o 58 é superior a 0, Fazendo-se uma aposta do tipo A6, a probabilidade de se errar todos os seis números 54x53x52x51x50x49 sorteados é igual a Considerando que a população da região Nordeste, em 2003, seja de 50 milhões de habitantes, é correto concluir que, na loteria descrita, a probabilidade de se acertar os seis números com apenas 1 aposta do tipo A6 é menor que a de ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, todos os habitantes da região Nordeste. Solução 19. Representando por D o algarismo das dezenas e por U o algarismo das unidades, teremos D = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 e U = 0, 1, 2, 3,..., 8 ou 9. 30

31 Podem ser sorteados 6.10 = 60 pares : {00, 01, 02, 03,..., 58, 59} ou {01, 02,..., 58, 59,60}, substituindo 00 por 60 como diz no enunciado. Este conjunto é igual ao intervalo fechado formado por todos os inteiros de 1 a 60, e o item está Certo. 20. A probabilidade do algarismo das dezenas ser igual a 3 é P(3) = 6 1 ; A probabilidade do algarismo das unidades ser igual a 5 é P(5) = Assim, vemos que P(3) P(5) e o item está Errado P(58) = Observe que 0,02 = = (Para não fazer cálculos desnecessários) Agora é fácil ver que <, ou seja, P(58) < 0,02 e o item está Errado Evento E: errar todos os seis números sorteados. C54,6 A P(E) = = C A 60,6 54,6 / P6 60,6 / P6 = A A 54,6 60,6 Vemos que o item está Errado. = Evento A: acertar os seis números com apenas uma aposta do tipo A6 ; Evento S: ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, todos os habitantes da região Nordeste. P(A) = P(S) = C C 6,6 60,6 = A A ,6 / P6 60,6 / P6. = = Como P(A) < P(S), o item está Certo. 24. (CESGRANRIO) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é a) 25/216 b) 5/216 c) 75/216 d) 91/216 e) 150/216 Resp.: d 25. (ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a : 31

32 a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,15 e) 0,65 Resp.: e Raciocínio Lógico Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 26. (ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo, uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624 b) 0,064 c) 0,216 d) 0,568 e) 0,784 Resp.: e 27. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 Resp.: b 28. (ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a : a) 4/25 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5 Resp.: c 29. (ESAF) Em uma sala de aula, estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 Resp.: d 30. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de Estado em que Total de vítimas fatais ocorreu o acidente Sexo masculino Sexo feminino Maranhão Paraíba Paraná Santa Catarina

33 A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 1) A probabilidade que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2. 2) A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. 3) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. 4) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27. 5) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. Solução: Vamos adotar na resolução de todos os itens, a simbologia seguinte: n(u)= nº de elementos do conjunto Universo (espaço amostral); n(e)= nº de elementos do Evento E. 1) n(u) = n(e) = = 306 P(E) = n( E) = n( U ) ,22 > 0,2 e o item está Certo. 2) n(u) = n(e) = = 307 P(E) = n( E) = n( U ) ,22, ou seja, 22% < 23% e o item está Errado. 3) n(u) = = n(e) = 532 P(E) = n( E) = n( U ) ,48 < 0,5 e o item está Errado. 4) n(u) = = 731 n(e) =