ANÁLISE DE ERROS. F. Wolfango Macedo UTAD. Departamento de Matemática. Vila Real

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1 ANÁLISE DE ERROS F. Wolfango Macedo UTAD Departamento de Matemática Vila Real 99

2 ÍNDICE ANÁLISE DE ERROS Prefácio Capítulo INTRODUÇÃO. Tipos de Erros. O Processo de Medição 3. Aproimação de Valores Numéricos 4. Representação dos Números Reais 5. Bibliografia 6. Eercícios e Problemas Capítulo PROPAGAÇÃO DE ERROS. Erros nas Operações com Números Aproimados. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante 3. Bibliografia 4. Eercícios Capítulo 3 ANÁLISE INTERVALAR DE ERROS. Intervalos. Operações Aritméticas Intervalares 3. Vectores e Matrizes Intervalares 4. Funções Intervalares 5. Aritmética Intervalar em Vírgula Flutuante 6. Aplicação da Aritmética Intervalar à Análise de Erros 7. Software para Análise Intervalar 8. Bibliografia 9. Eercícios e Problemas

3 Prefácio O presente teto destina-se ao ensino da disciplina de Métodos Numéricos, que o autor tem vindo a leccionar desde 988 a alunos de Engenharia da UTAD. Essa disciplina é de natureza introdutória, pelo que a abordagem das questões relativas à Análise de Erros não poderá ser feita aí com grande etensão e profundidade. Ainda assim a matéria incluída tem importância para os futuros Engenheiros, que deverão apurar a sua sensibilidade para o rigor dos dados eperimentais e dos resultados numéricos dos algoritmos computacionais que utilizarão quotidianamente na sua actividade profissional. A familiaridade com as noções epostas nestes apontamentos é tanto mais necessária quanto é certo que eiste por vezes a tendência para aceitar como fidedigno qualquer resultado numérico desde que proveniente da eecução de um algoritmo em computador digital. Esse tipo de resultados não dispensa, todavia, uma análise numérica fundada nos conceitos elementares aqui epostos. Antes do advento dos computadores digitais, os técnicos e cientistas podiam fazer uma análise casuística dos erros que afectavam os resultados dos seus cálculos, que envolviam então um número relativamente pequeno de operações, eecutadas por vezes penosamente de modo manual ou com recurso, na melhor das hipóteses, a calculadoras mecânicas ou eléctricas. Essa análise de errros envolvia os seguintes aspectos: º) a determinação dos erros provenientes dos instrumentos e dos métodos eperimentais (geralmente simples) que afectam os dados de observação e de medição; º) análise dos erros propagados ao longo da sequência de cálculos necessários à obtenção dos resultados (sequências geralmente pouco etensas); 3º) análise de erros provenientes da modelação matemática (geralmente de tipo determinístico). A recente revolução digital na instrumentação e na computação tornou etremamente complea a análise de erros dos dados, muitas vezes obtidos de modo automático, com sofisticados instrumentos laboratoriais ou com sistemas de controlo automático, com conversão A/D e transferência directa on-line para ficheiros digitais, utilizados através de pacotes de programas de análise de dados, eecutados muitas vezes em tempo real. A análise de erros em tais circunstâncias torna-se etremamente complea e difícil: º) os instrumentos digitais são etremamente sofisticados, com capacidade computacional própria, através de microprocessadores incorporados que procedem a filtragem de erros e à digitalização dos dados; º) os algoritmos computacionais são cada vez mais compleos, invocando as mais eficientes rotinas da Álgebra Linear Numérica, que envolvem vectores e matrizes de elevada dimensão e em grande número, eecutados com o recurso a processadores vectoriais e a técnicas de processamento paralelo ou distribuído; 3º) a modelação matemática tornou-se mais complea, devido não só à dimensão e estrutura dos modelos, mas também à sua natureza. Os modelos estocásticos, cada vez mais utilizados, envolvem computação estatística e gráfica, que acrescenta à análise de erros numéricos dos modelos determinísticos a dificuldade suplementar da análise de dados estatísticos.

4 Uma análise de erros eaustiva, abrangendo todas as fases e processos acima enumerados, desde a aquisição dos dados até à interpretação dos resultados, é tarefa que não tentaremos aqui, visto que muitos desses aspectos serão melhor abordados dentro das várias disciplinas mais especializadas que contribuem para a formação actual dos Engenheiros: Instrumentação, Técnicas Laboratoriais, Sistemas Digitais, Técnicas de Controlo Automático, Controlo Estatístico da Qualidade, etc. Limitamo-nos aqui tão somente a uma análise de erros dos algoritmos numéricos básicos. Referimos de passagem, no capítulo, a análise de erros instrumentais, a calibração de instrumentos e métodos eperimentais, apenas mencionando a análise estatística e a compensação dos erros de observação, melhor tratada dentro das disciplinas específicas que recorrem a esse tipo de análise. Dedicamos alguma atenção, no capítulo, aos erros das operações elementares e à propagação de erros de arredondamento nas operações máquina em vírgula flutuante e em algoritmos numéricos fundamentais. No capítulo 3 apresentamos uma introdução à análise intervalar de erros, cujo desenvolvimento futuro aliviará o utilizador de programas computacionais da tarefa enfadonha e por vezes impossível de uma análise de erros provenientes das inúmeras operações eecutadas através desses programas, cada vez mais sofisticados e que tendem a funcionar como uma caia-negra para a maioria dos utilizadores ocasionais. Pensamos que os produtores de software científico tentarão, cada vez mais, incluir métodos de avaliação do rigor numérico dos resultados dos algoritmos que incluem nos seus programas, constituindo a análise intervalar de erros um método previlegiado para essa avaliação. Mas tal resultado só será conseguido se os utilizadores desse software, isto é, os Engenheiros e Investigadores, estiverem cientes da necessidade dessa avaliação. É com o objectivo de ajudar a tornar consciente e permanente essa necessidade que se publica este trabalho didáctico. Devo aqui, finalmente, agradecer ao Prof. Doutor Fernandes de Carvalho a revisão do teto original e as sugestões apresentadas e ao aluno de Engenharia Agrícola da UTAD, Fernando W. Macedo, a preciosa ajuda no processamento e apresentação gráfica do teto ao longo de inúmeras revisões, sem a qual este trabalho não teria sido publicado. O nosso agradecimento também para todos os funcionários da UTAD que, de um modo ou de outro, participaram na edição deste teto. UTAD, 5 de Abril de 99.

5 Capítulo INTRODUÇÃO -. Tipos de Erros - Erros Grosseiros - Erros Sistemáticos - Erros Aleatórios -3. O Processo de Medição -4.. Propagação de Erros Aleatórios -6.. Erros Sistemáticos Aproimação de Valores Numéricos Erro Verdadeiro. Erro Absoluto. Erro Absoluto Máimo -7 Escalares -7 Vectores Erro Relativo -9 Escalares -9 Vectores Representação dos Números Reais Representação Decimal de um Número Real - Algarismos significativos - Arredondamento de Números Reais Representação em Vírgula Fia Representação em Vírgula Flutuante -3 Operações-Máquina em Vírgula Flutuante -8 Overflow e Underflow Bibliografia Eercícios e Problemas -

6 Capítulo INTRODUÇÃO 4. Representação dos Números Reais 4.. Representação Decimal de um Número Real A epressão decimal de um número real a é: m m m n + a = α 0 + α α 0 +, (0) m m m n + em que α i = algarismo { 0,,, 9} ; i =,, n m = maior epoente de0; n = número de algarismos significativos. Eemplo = = ( ) 0 = ( 0 ) 3 4 = E ; ( n =5algarismos significativos) = = ( ) 0 = = 745. E 3 ; ( n =3algarismos significativos). A epressão decimal de um número inteiro né = ± ( α α K α ) n m m 0 0 m m = ( α 0 + α 0 + K + α ). () m m Se é um número real positivo, a sua parte inteira, simbolizada por I ( ), é o maior inteiro não superior a, enquanto que a sua parte decimalé D( ) = I( ). () A parte decimal pode escrever-se na forma 0 k D ( ) = β k 0, k = em que β k são dígitos. Quando β k (3) = 0 para k > k 0, dizemos que a dízima D ( ) é 4. Representação dos Números Reais I -

7 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal finita. Caso contrário a dízima é infinita, periódica ou não. Como sabemos, os números racionais podem eprimir-se eactamente por dízimas finitas ou por dízimas infinitas periódicas, enquanto que os números irracionais apenas se podem eprimir eactamente por dízimas infinitas não periódicas. Eemplo. ❶ Sendo = tem-se: ❷ I( ) = ; D( ) = = 066. = 0.( 6), dízima periódica 4 = 05., dízima finita = 4., dízima infinita não periódica Algarismos significativos Todos os algarismos da epressão decimal de um número real serão considerados significativos, ecepto os zeros iniciais, que apenas fiam a posição da vírgula. Os zeros finais ou intermédios são significativos. Diremos que os primeiros n algarismos significativos de um número são correctos quando o erro absoluto máimo desse número não eceder meia unidade da casa decimal do último desses algarismos. Se m n + a = má a a =, 0 (4) então os primeiros n algarismos significativos do número a são correctos. Eemplo. ❶ a = 35. ; a = 3. 3 ; a = a a = 005. ( 0. ) O valor aproimado a tem os algarismos significativos correctos até ao das décimas (inclusivé), i.e., 3 algarismos significativos correctos. ❷ b = ; b = 000. ; b = b b = O valor aproimado b tem os algarismos significativos correctos até ao das centésimas (inclusivé), i.e., 3 algarismos significativos correctos. I - Capítulo I INTRODUÇÃO

8 Arredondamento de Números Reais Consideremos a representação decimal de um número real a. É muitas vezes necessário arredondá-lo, i.e., substituí-lo por um número a próimo de a, com um número pré-fiado de algarismos significativos. A regra de arredondamento é a que se apresenta através dos eemplos 3. Eemplo 3. Número Número arredondado com 5 algarismos significativos E regra da paridade regra da paridade 3.43 Se um número eacto é arredondado segundo a regra de arredondamento ilustrada no eemplo 3, retendo-se n algarismos significativos, todos eles são correctos, e o seu erro absoluto máimo não ecede unidade da última casa decimal retida. As calculadoras electrónicas de algibeira fazem o arredondamento (ou truncatura) dos resultados, em conformidade com a capacidade máima do seu registo visual ou através da instrução FIX n em que n indica o número de algarismos a reter. Convém verificar se a calculadora faz arredondamentos ou truncaturas. A precisão de um número aproimado não depende do número dos seus algarismos significativos, mas antes do número dos seus algarismos significativos correctos. Quando um resultado contém algarismos significativos incorrectos procede-se ao seu arredondamento, retendo-se apenas algarismos significativos correctos, ou, relaando-se um pouco esta eigência, adoptar-se-á a seguinte regra prática : Os resultados intermédios não devem conter mais do que ou algarismos significativos incorrectos. 4.. Representação em Vírgula Fia Na representação em vírgula fia estabelece-se um número fio de dígitos antes da vírgula, seja l, e um número fio de dígitos depois da vírgula, seja l, sendo o número de dígitos (decimais, binários, headecimais, etc.) da representação l = l + l. Eemplo 4. Com l = 3, l = 5, tem-se: 4.3. Representação em Vírgula Flutuante ; Um número R pode eprimir-se na forma = ± m b e, em que: 4. Representação dos Números Reais I - 3

9 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal ❶ m = mantissa, um número tal que b m b 0. Quando b = 0, tem-se que 0. m e quando b =, tem-se que 05. m. A mantissa m tem pois a epressão m = ( 0 d d K d p ) b, com d 0. Uma mantissa m que satisfaz esta condição diz-se normalizada. O número de dígitos da mantissa é geralmente pré-fiado. ❷ e = epoente, número inteiro relativo, e Z. Quando a base b está subentendida, podemos usar a epressão equivalente = ± m E b, em que o símbolo E separa a mantissa do epoente. A notação = ± m E b em que m é uma mantissa normalizada é a notação científica normalizada do número. Eemplo 5. Notação Decimal (base = b = 0) Notação Científica Normalizada (p = 4) Epoente Decimal E E 4 4 Notação Binária (base = b = ) Notação Científica Normalizada (p = 6) Epoente Binário E (0) (0) E (00) (00) Em notação científica normalizada, como o eemplo 5 mostra, a mantissa não possui dígitos à esquerda da vírgula (ponto), ocupando esta a posição etrema esquerda da mantissa, i.e., a notação científica normalizada tem a forma ± ( d d K d ) E p b ± e, com d 0. Na passagem da notação científica normalizada para notação usual, a posição da vírgula é fiada pelo epoente e. Eemplo 6. ( ) E 3 = ; (. 0) E ( 00) = 0. 0 ( ) E= ; (. 0) E ( 0) = 0. 0 Os dois eemplos anteriores mostram qual o papel do epoente e na fiação da posição da vírgula (ponto). Em notação científica normalizada a vírgula (ponto) ocupa sempre a posição mais à esquerda na mantissa, e o epoente serve para fazer deslocar (flutuar) a vírgula (ponto). Por este motivo a notação científica normalizada também se designa por notação em vírgula flutuante. A notação em vírgula flutuante economiza dígitos quando queremos representar números muito grandes ou muito pequenos. Eemplo E 6 ( três dígitos ) ; E 8 ( três dígitos ) Pelo facto de a notação em vírgula flutuante ser muito económica em dígitos ela é I - 4 Capítulo I INTRODUÇÃO

10 usada para registo de números nas memórias dos computadores. Na figura mostra-se a estrutura física desse registo, cujo comprimento é finito. Figura.: Registo de um número em vírgula flutuante na memória de um computador. O número total de dígitos do registo ( l), o número de dígitos do epoente ( g) e o número de dígitos da mantissa ( p) variam com o computador, assim como a base b utilizada. Na maior parte dos computadores utiliza-se a base b = (notação binária), embora em certos computadores se use a base b = 6 (notação headecimal) e na maior parte das calculadoras de bolso se use a base b = 0 (notação decimal). O epoente e tem valores situados num intervalo fio -e i < e < e s, variando os limites e i, e s com o computador, sendo geralmente e s = e i. O quadro abaio indica a estrutura dos registos em vírgula flutuante em alguns dos computadores científicos mais utilizados. Computador b p e = e IBM 360/ DEC /780 VAX 4 7 CDC 6000/CYBER 48 0 s i Certas linguagens de programação permitem estabelecer o número de dígitos dos registos numéricos, definidos com precisão simples ou dupla. O registo com precisão dupla ocupa o dobro do espaço de memória e mais do dobro do tempo de cálculo, relativamente à precisão simples. É sempre possível, através da programação, constituir registos com o número de dígitos desejados, consoante a precisão dos cálculos o eige. Há números reais cuja representação decimal eacta eige uma infinidade de dígitos, por eemplo o número racional /3 = 0.66 (6), cuja representação eacta é uma dízima infinita periódica. A representação de tais números em vírgula flutuante, para registo em memórias de computadores, com um número fio e portanto limitado de dígitos para escrita da mantissa e do epoente, eige que se proceda a aproimações, com redução do número de dígitos da mantissa. Essas aproimações são de dois tipos, arredondamento ou truncatura. Denotando por v f () a representação de um número R em vírgula flutuante, diremos que v f () se obteve de por arredontamento quando v f () é o número em notação científica mais próimo de, por defeito ou por ecesso. Diremos que v f () se obteve de por truncatura quando v f () é o número em notação científica normalizada mais próimo de, mas situado entre zero e. 4. Representação dos Números Reais I - 5

11 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal Eemplo 8. ❶ Representemos = /3 = em notação científica normalizada, com p =, b = 0. Arredondamento: v f ( ) = ( 67) E 0 Truncatura: v f ( ) = ( 66) E 0 ❷ Representemos y = em notação científica normalizada, com p = 3, b = 0. Arredondamento: v f ( y) = ( 639) E 4 Truncatura: v f ( y) = ( 638) E 4 ei es sendo portanto 0 < 0. e De um modo geral, seja = ± m 0 um número em notação científica normalizada, em que 0. m <, i.e., em que a mantissa tem a epressão decimal m = d d d d ; 0 d 9 ; d, (5) i i + i O arredondamento da mantissa m para p dígitos faz-se do seguinte modo, produzindo-se uma mantissa arredondada m : d d d p d p m =, se p dd d p + 0, se d p + 5 (6) A regra de arredondamento da mantissa m é pois: acrescenta-se ao dígito d p se d p + 5 ou suprimem-se todos os dígitos d p +,, subsequentes ao dígito d p, quando este estiver entre 0 e 4, inclusivé. Após o arredondamento da mantissa m parap dígitos podemos escrever: e v f ( ) = ± m 0. (7) Atendendo à regra de arredondamento (6), o erro relativo de arredondamento do número é aproimadamente v f ( ) m m = 5 0 = m m ( p+ ) 5 0 p, (8) visto que 0. < m <. Podemos escrever portanto que δ v f ( ) + δ, ou simbolicamente: v f ( ) = ( ± δ ) (9) Fazendo ε = 5 0 p, e atendendo a que δ ε, podemos escrever, simbolicamente: v f ( ) = ( ± ε ). (30) I - 6 Capítulo I INTRODUÇÃO

12 A quantidade ε designa-se por precisão-máquina ou unidade de arredondamento e representa o erro relativo máimo num arredondamento. De modo análogo, num sistema de numeração binária, a notação científica e normalizada de um número = ± m stisfaz a condição < m <. A mantissa escreve-se: m = d d d d ; d = 0 ou ; d =. (3) i i + i O arredondamento da mantissa m para p bits faz-se do seguinte modo, produzindo-se a mantissa arredondada m : d d d p d p m = =, se + 0 p dd d p +, se d p + = (3) O erro absoluto máimo no arredondamento da mantissa é δ = -p- e o erro relativo máimo é ε = -p. Mantem-se válida a igualdade (30) acima, com ε = p. Na truncatura de uma mantissa para p dígitos binários ( bits ) suprimem-se simplesmente todos os bits subsequentes ao bit d p, i.e., conservam-se apenas os primeiros p bits. O erro relativo de truncatura de uma mantissa para p dígitos p + decimais é δ 0 p e para p bits é δ +. A sucessão de erros de arredondamento (truncatura) introduzidos ao longo da eecução de um algoritmo é imprevisível. A sua análise é impraticável no caso de milhares ou mesmo milhões de operações aritméticas eecutadas usualmente por um computador com operandos sujeitos a arredondamentos (truncaturas). Esses erros afectam, por vezes de um modo significativo, o resultado final de um algoritmo. A representação de um número real em vírgula flutuante v f ( ) = ± m E e, com as limitações b < m < b ; e e e, (33) i s obriga a arredondamentos (truncaturas), eigidos pela finitude dos registos numéricos disponíveis. O número real é assim aproimado por um número racional v f ( ), com um número finito de dígitos. O conjunto dos números racionais que se podem escrever com um número finito n de dígitos/bits é um subconjunto pouco denso do conjunto Q dos números racionais. Eemplo 9. Calculemos a densidade dos números racionais do intervalo [ e, e+ ], com amplitude e que se podem escrever com uma mantissa de p = 4 bits. Com 4 bits podem-se escrever 4 mantissas distintas. A densidade pretendida é pois 4 / e. Em particular, quando e =, a densidade no intervalo [, 3 ] dos racionais com mantissas de 4 bits é apenas de 4, enquanto a densidade dos racionais com mantissas de 3 bits, nesse mesmo intervalo, é de 0 = Representação dos Números Reais I - 7

13 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal Operações-Máquina em Vírgula Flutuante Sejam, y dois números reais e v f ( ), v f ( y) as suas representações-máquina em vírgula flutuante. Denotemos por ω uma qualquer operação aritmética efectuada com os operandos, y R e por ω a correspondente operação-máquina efectuada como os operandos v f ( ), v f ( y). A operação-máquina ω é definida de tal maneira que, sendo z = ω y, se tem v f ( ) ω v f ( y) = v f ( z), i.e., a operação-máquina com os operandos v f ( ), v f ( y) produz a representação em vírgula flutuante do resultado z da operação ordinária. A operação-máquina pode considerar-se como uma operação ordinária efectuada sobre operandos v f ( ), v f ( y), ligeiramente alterados por arredondamentos (truncaturas) e afectados por erros ε, ε y provenientes desses arredondamentos (truncaturas), erros que dependem do computador utilizado, como vimos atrás. Os mesmos tipos de erro afectam os operandos quando as operações são efectuadas por qualquer outro meio, incluindo o manual. Doravante suporemos os operandos das operações-máquina afectados de erros de arredondamento. Faremos, no eemplo seguinte, uma análise dos erros de arredondamento numa multiplicação-máquina de dois factores. Eemplo 0. Regra da multiplicação : multiplicam-se as mantissas e adicionam-se os epoentes. Se a mantissa produzida não está normalizada, normaliza-se corrigindo o epoente. Arredonda-se finalmente a mantissa do produto para p bits. e Operandos: = ± m ; y = ± m y Operação: y = ± m m ; < m m < y e y ey + e 0 y A normalização de m my obriga, se tal for necessário, à translação da vírgula uma posição para a esquerda. A mantissa arredondada passará a ser m m + ou m m +, y y y y em que y p = (erro absoluto máimo num arredondamento de mantissa). O resultado da operação-máquina será pois e + ey ( m my + y ) ; se m my v f ( ) * v ( f ( ) = e ey ( m my + y ) ; se m my + y +, se m my m m e + e y y = m my y +, se < m m < m my = y ( ± ε ), m y I - 8 Capítulo I INTRODUÇÃO

14 onde ε m p = ε. y Concluimos assim que o produto-máquina é o produto eacto multiplicado pelo factor ( ± ε m ) em que ε m ε. O erro relativo ε m do produto-máquina não ecede o erro relativo máimo ε de um arredondamento ou, dito de outro modo, o erro relativo introduzido por uma operação-máquina equivale ao erro relativo de um arredondamento. Conclusões análogas à do eemplo anterior se obteriam para as restantes operações aritméticas ( Ralston e Rabinowitz, 978 ). Em análise de erros devemos portanto ter em conta a propagação dos erros nos dados iniciais e a propagação dos erros de arredondamento nas operações-máquina. Overflow e Underflow Qualquer operação-máquina aritmética pode produzir overflow. Tal acontece quando o resultado da operação ecede a capacidade de registo da memória em vírgula flutuante, i.e., quando o resultado da operação for um número tal que M b e s em que M = b p é a maior mantissa admissível com p dígitos (bits ), i.e., uma mantissa com todos os dígitos decimais iguais a 9 ou todos os bits iguais a. O overflow resulta frequentemente da tentativa de uma operação inadmissível, por eemplo uma divisão por zero. Eemplo. No caso de um minicomputador VAX 780 tem-se e s = 7, p = 4, pelo que haverá overflow sempre que o resultado de uma operação eceda ( ). Assim, ao tentar multiplicar os números = 70 e y = 80 haverá overflow. Situações de overflow podem por vezes ser remediadas alterando o algoritmo computacional, como o seguinte eemplo ilustra. Eemplo. ❶ Média de dois números positivos. Pode acontecer que algum dos números e y seja demasiado grande para ser representável em vírgula flutuante, mas que a sua média ( + y)/ seja representável. O cálculo da média poderá então fazer-se pelo algoritmo ( y)/. ❷ Soma de quadrados. Sendo R n, a soma de quadrados S = poderá causar overflow. Em certos casos essa situação poderá ser remediada, calculando-se aquela soma do seguinte modo: n i µ = má i ; S = µ. i µ Haverá underflow quando o resultado de uma operação é um número tal que b e i <. Quando há underflow o computador substitui geralmente o resultado por zero ou por símbolo especial. n i Eemplo 3. No caso de um minicomputador VAX 780 tem-se e i = 7, pelo que o menor valor 4. Representação dos Números Reais I - 9

15 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal 5. Bibliografia absoluto que este computador pode registar é -9. Assim, ao tentar dividir 50 haverá underflow. por 80 Conte, S.D.; deboor, C. (980) 3 rd ed. Elementary Numerical Analysis: An Algorithm Approach McGraw-Hill, ISE, N. York Henrici, P. (964) Elements of Numerical Analysis John Wiley, N. York Ralston, A.; Rabinowitz, P. (978) nd ed. A First Course in Numerical Analysis McGraw-Hill, ISE, N. York Ziv, A. (98) Relative Distance: an Error Measure in Roundoff Error Analysis Mths. Comp., 3, pgs Eercícios e Problemas e *. Elabore um algoritmo para passagem da notação ( 0. a a an ) A para a e notação ( 0. b b ) B. m. Um computador usa notação científica normalizada na forma e ( 0. d d d d ) 0, com 4 algarismos decimais na mantissa. Sendo a = , b = , c = , efectue as operações a ab a + b + c, a b c,,, c c procedendo aos arredondamentos necessários. 3. Adicione os números abaio com quatro dígitos significativos, de dois modos: a) pela ordem em que estão escritos; b) pela ordem inversa. Proceda a arredondamentos após cada adição. Compare os resultados ; ; ; ; ; ; Sejam a, b, c números com representação decimal em vírgula fia e com N dígitos na parte decimal, sendo a > 0; b, c <. Defina-se um produto a*b do seguinte modo: adicione-se 0 N / ao produto ordinário a b (eacto); I - 0 Capítulo I INTRODUÇÃO

16 eliminam-se os dígitos da parte decimal de ordem N + e subsequentes. a) Estabeleça um limite superior do erro absoluto ( a * b) * c a b c ; b) De quantas unidades da N-ésima casa decimal podem diferir os produtos ( a * b) * c; a * ( b * c)? 5. Proceda a uma análise de erros de arredondamento nas operações-máquina em vírgula flutuante, análoga à apresentada no eemplo 0, mas relativamente à divisão e à adição. 6. Quais as vantagens da representação de números em vírgula flutuante sobre a representação em vírgula fia? 7*. Elabore um programa computacional para eecução de operações aritméticas em vírgula flutuante, com precisão de N dígitos na mantissa, sendo N um parâmetro à escolha do utilizador. 8. Verifique que a epressão (9) não é uma distância, por não satisfazer a desigualdade triangualar em R quando a norma utilizada é a norma L. Use os vectores = [, 0 ], y = [, ], z = [ 0, ] nessa verificação. 9*. Elabore um programa que permita escrever um número, dado na forma decimal, na notação científica normalizada, com d dígitos na mantissa, sendo d um parâmetro à escolha do utilizador. 6. Eercícios e Problemas I -

17 PROPAGAÇÃO DE ERROS -.. Erro Absoluto da Soma Algébrica.. Erro Relativo da Soma Erro Relativo do Produto - Erro Relativo do Quociente -7-7 Erro Relativo da Potência.5. Fórmula Geral de Propagação de Erros -8. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante Noção de Algoritmo Propagação Conjunta de Erros Operatórios e nos Dados Iniciais Análise de Erros de Arredondamento Atráves de Grafos - Análise de Erros no Algoritmo de Choleski 3. Bibliografia

18 Capítulo PROPAGAÇÃO DE ERROS. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante A representação dos números em vírgula flutuante produz erros de arredondamento que se propagam ao longo das operações-máquina que permitem eecutar um algoritmo. Faremos nesta secção uma análise da propagação desse tipo de erros. O erro relativo máimo das operações-máquina pode ser definido como o menor número positivo ε em vírgula flutuante, aceitável pelo computador, tal que v f ( + ε) >. As operações-máquina em vírgula flutuante são eecutadas por um computador de modo que o erro relativo máimo seja sempre ε = b p, sendo p o número de dígitos da mantissa e b a base do sistema de numeração utilizado para representação dos números em vírgula flutuante. Denotando por v f ( + ), v f ( ), v f ( * ), v f ( / ) os resultados das operações-máquina aritméticas em vírgula flutuante, verificam-se as igualdades: v f ( + y) = ( + y) ( ± ε ) v f ( y) = ( y) ( ± ε ) ε v f ( * y) = ( * y) ( ± ε 3 ) v f ( / y) = ( / y) ( ± ε 4 ) i ε ; i =,, 4 (34) As operações-máquina em vírgula flutuante não possuem eactamente as mesmas propriedades que as operações teóricas homólogas. Por eemplo, enquanto + y = y = 0, tem-se no entanto que ε v f ( + y) = se y <, b (35) Por outro lado, a operação de adição-máquina em vírgula flutuante não é associativa. Eemplo 9. a) Sejam os seguintes números ( notação científica normalizada na base 0): a = E 4 ; b = E ; c = E Será então : v f[ a + ( b + c)] = v f[ E E ]. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante II -

19 = E v f[( a + b) + c)] = v f[ E E ] = E = E Os dois resultados-máquina são diferentes, contrariamente à propriedade associativa da adição em R. b) A não-associatividade da adição-máquina em vírgula flutuante, eemplificada na alínea anterior, pode demonstrar-se. Sejam, y, z números representáveis em vírgula flutuante. Tem-se então: em que v f[ vf ( + y) + z] = v f[( + y)( + ε ) + z] = [( + y)( + ε ) + z]( + ε ) v f[ + v f ( y + z )] = v f[ + ( y + z )( + ε )] = [ + ( y + z )( + ε )]( + ε 4 ), 3 3 ε i p ε = b ; i =,, 4.. Noção de Algoritmo Geralmente ε, ε, ε 3, ε 4, são diferentes e portanto vf [ vf ( + y) + z )] vf[ + vf ( y + z )], c. q. d. O eemplo anterior mostra que dois algoritmos, algebricamente equivalentes, para o cálculo de uma soma de três parcelas, produzem resultados diferentes em consequência dos erros de arredondamento das operações-máquina efectuadas. A propagação dos erros de arredondamento através de um algoritmo, eecutado por um computador, pode induzir graves erros no resultado. Convém pois desenvolver métodos de análise desse tipo de erros. Antes, porém, formalizaremos a noção de algoritmo. Seja ( 0) R n um vector cujos componentes são os dados iniciais de um problema, que consiste em determinar outro vector y R m, cujos componentes são os resultados finais pretendidos. Podemos considerar um algoritmo com uma n função I: R R m, que transforma ( 0) em y. Em cada operação elementar ( i) do algoritmo, um conjunto de operandos (dados iniciais e/ou resultados de operações anteriores ), constituindo o vector ( i) n i R, é transformado num conjunto de resultados intermédios, constituindo o vector ( i + ) n R i + : = I ( ) ( + ) i) ( i Um algoritmo elementares I = I o o I I o I ( ) ) ( ( 0) operações (37) I pode em certos casos resultar de conjuntos diferentes de operações elementares, ou do mesmo conjunto de I pode ser obtida por II - Capítulo II PROPAGAÇÃO DE ERROS

20 diversos algoritmos. Eemplo 0. Seja I ( a, b, c ) = a + b + c. A função composta I pode ser realizada por um dos seguintes algoritmos: º Algoritmo : + I = = ( ) a b u R I ( ) ( a, b, c) ; : c v R R º Algoritmo : I ( ) ( ) ( u, v) = ( u + v) R ; I : R R I = + = ( ) a u R I ( ) ( a, b, c) ; : b c v R R I ( ) ( ) ( u, v) = ( u + v) R ; I : R R Eemplo. Seja y = a b. Visto que a b ( a + b) ( a b), o valor y pode ser calculado através de um dos dois seguintes algoritmos. º Algoritmo : 0 a u y = a a I a b = ; b = ( ) (, ) v u y = b b I u v = ; v = ( ) (, ) z ( ) y = y y ; I (, z ) = ( z ) º Algoritmo : a u 0 y = a + b ; I ( ) ( a, b) = b = v a + b w u v y = a b ; I u v w = w = ( ) (,, ) z ( ) y = y y ; I (, z ) = z.. Erros de Arredondamento nas Operações-Máquina Na eecução de um algoritmo cada uma das operações-máquina em vírgula flutuante introduz eventualmente um erro de arredondamento.. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante II - 3

21 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal ( i Denotando por I ) j ( u ) a componente j que resulta da operação elementar I ( i ) ( u ), em que u é um vector de operandos eactos da operação I ( i ), podemos escrever simbolicamente a seguinte igualdade, análoga à igualdade simbólica (I-9): ( i) ( i) v f [ I j ( u)] = ( ± ε j ) I j ( u) ; ε j ε, j =,, ni + (38) onde ε j é o erro relativo de arredondamento introduzido no cálculo da componente j de I ( i ) ( u ) em vírgula flutuante. Escrevendo as igualdades (38) na forma vectorial, obtemos em que ( i) ( i) v f [ I ( u)] = ( I ± E i ) I ( u) (39) E i diag (,, n ) ; 0 i + j + + = ε ε < ε ε (40) Em (38) e (39) suposemos que o vector u dos operandos era eacto. Todavia, os operandos de cada operação-máquina já estão afectados por erros dos dados iniciais e por erros de arredondamento originados nas operações-máquina precedentes. Sejam esses operandos ( i ). Tem-se então = v f [ I ( )] ( i + ) ( i) ( i) (4) O erro absoluto de arredondamento introduzido por uma operação-máquina é pois: ( vf ( i ) ( i) ( j i ) ( i) ( j i i ) ( i) I ( ) I ( ) E + I j ( ) ( i + ) = E = a O vector a i + pode ser interpretado como o erro de arredondamento absoluto originado na eecução da operação I ( i) em vírgula flutuante e os elementos diagonais ε j da matriz E i + são os erros relativos de arredondamento das respectivas componentes..3. Propagação Conjunta de Erros Operatórios e nos Dados Iniciais Os erros dos dados iniciais propagam-se, afectando os operandos da operação I ( i ). O erro que afecta cada um desses operandos obtem-se pela fórmula geral de ( ) propagação dos erros (3). Sendo 0 o erro absoluto máimo que afecta o vector de dados iniciais ( 0) e denotando por ( ) i o erro absoluto máimo do vector dos operandos ( i ), podemos escrever a fórmula vectorial que generaliza a fórmula (3): i + ( i + ) J[ ( i ) ( i ) ] ( i ) i + (4) = I ( ) ; i =,, r (43) em que J [ ] simboliza uma matriz jacobiana. II - 4 Capítulo II PROPAGAÇÃO DE ERROS

22 Adicionando aos erros (43), provenientes da propagação dos erros nos dados iniciais, os erros (4) de arredondamento na operação-máquina i obtem-se a fórmula iterativa: ( i + ) [ ( i ) ( ( i a J ) )] ( i = + I ) i + ( i + ) ( i) ( i) ( i) = E + J [ I ( )] (44) i + A fórmula iterativa (44) produz uma sucessão cujo termo final é o erro que afecta o resultado do algoritmo-máquina ( Stoer e Burlisch, 980 ): em que 0 r ( ) ( i) ( i) y ABS J[ I( )] + J[ Ψ ( )] a i + a i= r + r i i i ABS J[( )] ( 0) + J[ Ψ ( ) ( ( ) )] Ei ( ) + Er + y i=, (45) 0 ( i) ( i) J[ I ( )] = Π J[ I ( )] i = r (46) i ( i) ( i) ( k) ( k) J[ Ψ ( )] = Π J[ I ( )] ; i = 0,, r. (47) k = r As fórmulas (45)-(47) permitem calcular o erro absoluto máimo do resultado final de qualquer algoritmo-máquina em vírgula flutuante, erro que inclui o efeito da propagação nos erros dos dados iniciais e o efeito acumulado dos erros de arredondamento de cada uma das operações-máquina que constituem o algoritmo. Eemplo. ❶ Para o algoritmo-máquina correspondente ao algoritmo do eemplo, tem-se: a) Dados iniciais e intermédios : ( 0 ) ( ) ( ) ( 3) = a ; ; ; = a = a = y = [ a b ] b b b b) Operações elementares : I = I = ( 0 ) u ( ) u ( ) ( u, v) ; ( u, v) ; I ( u, v) = u v v v c) Matrizes jacobianas das operações elementares : J [ I ( ) ( ( ) )] = 0 0 a 0 0. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante II - 5

23 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal J [ I ( ) ( ( ) )] = 0 0 b J [ ( ) ( ( I ) )] = [, ] 0 ( i ) ( i ) J [ I ( )] = J [ I ( )] = [ a, b ] i = J [ ( ) ( ( Ψ ) )] = [, b ] J [ ( ) ( ( Ψ ) )] = [, ] d) Erros absolutos de arredondamento nas operações-máquina : a = E 0 = 0 0 = ( ) ε a ε a b a = E = 0 = ( ) a ε b ε a b = ε ( a b ) ; ε ε, i =,, 3 e) Erros absolutos máimos dos dados iniciais : ( ) 0 = a b i f) Erro absoluto máimo do resultado : Substituindo as epressões acima na igualdade (45) obtem-se o erro absoluto máimo de y = a b, calculado pelo algoritmo-máquina : y [, ] [, ] a + ε a ABS a b b a [, ] ε ( ) 3 a b ε b { ε ε ε 3 ( )} ABS a a b b + a b + a b O erro absoluto máimo yinclui os erros produzidos na propagação dos erros nos dados iniciais e os erros provenientes de arredondamentos nas operações-máquina em vírgula flutuante. ❷ Para o algoritmo-máquina correspondente ao algoritmo do eemplo, tem-se: a) Dados iniciais e intermédios : = ; a a = b b a b ( 0 ) ( ) ( ) a + b ( 3) = ; y ( ) ( ) = = a + b a b a b b) Operações elementares : II - 6 Capítulo II PROPAGAÇÃO DE ERROS

24 u ( ) I = ( ) u + v 0 ( u, v) v ; I = ( u, v, w) ; u v w I ( ) ( u, v) = u v c) Matrizes jacobianas das operações elementares : 0 J [ ( 0 I ) ( ( 0 ) )] = 0 J [ I ( ) ( ( ) )] = J [ ( ) ( ( I ) )] = [ a b, a + b ] 0 ( i ) ( i ) J [ I ( )] = Π J [ I ( )] = [ a, b ] i = J [ Ψ ( ) ( ( ) )] = [, ] 0 [,, ] b a = a 0 0 b a b a + b ( ) ( ) ( ) ( ) J [ Ψ ( )] = J [ I ( )] = [ a b, a + b ] d) Erros absolutos de arredondamento nas operações-máquina : ( ) ( ) a = E = diag [ 0, 0, ε ] = ε 0 0 ( a b) 0 a = E = ( ) ε 0 0 a + b = ε ( a + b) a b 0 ( 3) a = E = ε ( a + b)( a b) e) Erros absolutos máimos dos dados iniciais : ( 0 ) = a b f) Erro absoluto máimo do resultado : Substituindo as epressões acima na igualdade (45) obtem-se o erro absoluto máimo de y = ( a + b)( a b ), calculado pelo algoritmo-máquina : y [, ] 0 ABS a b a [,, ] b + a b a b a + b 0 + ε ( a b) ε + [ a b, a + b] { ( )( ) ( ε ε ε 3 )} ABS a a b b + a + b a b + + ( a + b) 0 + ε + 3 ( a b)( a b) 0. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante II - 7

25 O erro absoluto máimo y inclui os erros produzidos na propagação dos erros nos dados iniciais e dos erros provenientes de arredondamentos nas operações-máquina em vírgula flutuante. Do eemplo anterior podemos retirar as seguintes conclusões: ( ) ❶ Os erros nos dados iniciais 0 propagam-se nos dois algoritmos de igual modo e a sua contribuição para o erro final é a a b b ; este erro é ( ) igual ao produto J [ I ( )] 0. A matriz jacobiana J [ I ( )] não depende do modo como se haja feito a decomposição da função I( ) em operações (funções) elementares, i.e., é independente dos algoritmos que a realizam. Daí que aquele produto não dependa do algoritmo escolhido, mas da própria função I ( ) que se pretende calcular. Para certas funções o vector ( ) J [ I ( )] 0 poderá ter elementos muito grandes em valor absoluto. Diremos então que o problema de cálculo numérico de I( ) é um problema mal conformado ; ❷ Os erros de arredondamento provenientes da eecução das operações-máquina em vírgula flutuante, acumulados ao longo de um algoritmo, são dados pela epressão r i= ( i) ( i) J [ Ψ ( )] a i + a r +. (48) A epressão (48) indica que a contribuição do erro absoluto de arredondamento a i, cometido na eecução da operação-máquina I ( i ), depende de todas as operações subsequentes, visto que i ( i) ( i) ( k ) ( k ) [ Ψ ] = Π [ I ] J ( ) J ( ), k = r (49) e depende ainda da ordem e natureza das operações elementares I ( i ), i = 0,, r, que constituem cada algoritmo. Compreende-se assim que o algoritmo produza uma acumulação de erros de arredondamento igual a ε a ε b + ε ( a b ), (50) 3 enquanto que o algoritmo produz uma acumulação de erros de arredondamento igual a ( a + b)( a b)( ε + ε + ε 3 ). (5) Fazendo ε = ε = ε 3 = ε a epressão (50) tem o valor ε y enquanto que a epressão (5) tem o valor 3 ε y. Chegamos assim à conclusão que o algoritmo é mais fiável que o algoritmo. ❸ A epressão (48) tem como valor absoluto mínimo a = E y y ε, (5) r + r + II - 8 Capítulo II PROPAGAÇÃO DE ERROS

26 qualquer que seja o algoritmo utilizado, mesmo que o algoritmo se reduza apenas à saída de dados iniciais previamente entrados no computador. Por outro lado, quando se dá entrada a dados no computador introduz-se um erro ( 0 ) ( ) tal que ( 0) ( ) ( 0) ε. (53) Assim, um algoritmo que consistisse apenas na simples entrada/saída de dados ( 0) produziria o erro ( 0) ε. (54) Qualquer que seja o algoritmo usado no cálculo de y = I( ), haverá um erro esperado mínimo : ( 0) { [ I( )] + } ABS J y ε (55) Se a contribuição de cada erro de arredondamento a i para a epressão (48), ( i) ( i) i.e., J [ Ψ ( )] a i, não eceder o erro esperado mínimo (55), diremos que o algoritmo é numericamente estável. Convém esclarecer o significado dos seguintes conceitos, atrás usados: ❶ Fiabilidade : é uma noção usada na análise comparativa de dois ou mais algoritmos que resolvem o mesmo problema. Diremos que o algoritmo é mais fiável que o algoritmo, quando o primeiro produzir uma acumulação de erros de arredondamento menor que o segundo; ❷ Estabilidade : é uma noção relativa a um determinado algoritmo e ao seu erro esperado mínimo. Diremos que um algoritmo é estável quando o efeito de cada erro de arredondamento, nas diversas operações elementares que o constituem, não ecede o erro esperado mínimo ; ❸ Conformação : é uma noção relativa a um problema, independentemente do algoritmo usado para o resolver. Diremos que um problema é mal conformado quando os efeitos dos erros iniciais dos dados se propagam de modo a causar um grande efeito no resultado final. Assim, entre vários algoritmos alternativos instáveis pode eistir um que seja mais fiável que os outros. Esse deve ser o escolhido. Devemos reter as seguintes conclusões: ❶ Previamente à resolução numérica de um problema deve-se proceder a uma análise numérica da sua conformação; ❷ Há problemas bem ou mal conformados. A má-conformação de um problema não se remedeia alterando o algoritmo; remedeia-se, eventualmente, pela resolução de problemas bem conformados relacionados com o problema original;. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante II - 9

27 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal ❸ Previamente à eecução de um algoritmo deve-se proceder a uma análise numérica da sua estabilidade; ❹ Há algoritmos estáveis e instáveis. Deve-se tentar resolver um problema por meio de um ou mais algoritmos estáveis. Se apenas dispomos de algoritmos instáveis para a resolução de um problema, devemos escolher entre eles o mais fiável. A situação ideal é aquela em que dispomos de vários algoritmos alternativos estáveis, escolhendo-se então o mais fiável entre eles; ❺ Ao propor a solução de um problema deve-se prevenir o utilizador da sua má-conformação, se for caso disso, para que ele ponha cuidado especial na obtenção de dados iniciais suficientemente rigorosos; Resumindo : os resultados numéricos devem ser credíveis. Para tanto devem ser analisados e avaliados do ponto de vista da conformação do problema, da estabilidade dos algoritmos e da sua fiabilidade relativa. As cinco conclusões acima devem ser adoptadas como um pentálogo do analista numérico consciencioso. Figura.: Metodologia da Análise de Erros. II - 0 Capítulo II PROPAGAÇÃO DE ERROS

28 Análise de Erros de Arredondamento Atráves de Grafos Os grafos permitem a representação da estrutura dos algoritmos e constituem um meio de análise do mecanismo da propagação dos erros. Na figura apresentam-se os grafos representativos dos algoritmos e do eemplo. Nos nós dos grafos estão inscritos os dados iniciais e os resultados intermédios. O nó i é ligado ao nó j por uma seta se o resultado intermédio i é um operando da operação elementar que produz o resultado j. Em cada nó origina-se um novo erro relativo de arredondamento, escrito ao lado do nó. Os factores de amplificação associados aos erros relativos de arredondamento estão escritos ao lado das setas com origem nos respectivos nós. Percorrendo os grafos ao longo das setas obtêm-se relações entre os vários tipos de erro. Para determinar o factor de amplificação pelo qual devemos multiplicar o erro i para obter a sua contribuição para o erro j, multiplicamos os factores de amplificação relativos a um percurso possível entre os nós i e j e adicionamos os produtos relativos aos vários percursos possíveis entre i e j. A análise de erros através de grafos torna-se assim mecânica e programável. Eemplo3. ❶ Do grafo do algoritmo retiram-se as seguintes relações ε = ε + ε + ε ; ε = ε + ε + ε y a a y b b y y ε y = ε y ε y + ε y y y y ❷ Do grafo do algoritmo retiram-se as seguintes relações: a b a b ε y = ε a + ε b + ε ; ε y = ε a ε b + ε a + b a + b a b a b A contribuição do erro ε b para o erro ε y é b b b a + b a b ε..5. Análise de Erros em Problemas e Algoritmos 3 Faremos seguidamente algumas análises de erros, avaliando a conformação de problemas e a estabilidade numérica e fiabilidade de algoritmos, de modo a eemplificar a metodologia seguida na análise de erros, aspecto importante da análise numérica que não deve ser negligenciado. Como os eemplos precedentes e subsequentes mostram, a análise da propagação de erros num algoritmo é quase sempre uma tarefa lógica e computacional mais árdua que a elaboração e eecução do próprio algoritmo.. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante II -

29 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal Eemplo 4. O sistema de equações diferenciais lineares ordinárias dy = y dt dy = y, dt (56) possui a seguinte solução analítica geral : Se as condições iniciais y = a p t ) + a e p ( t y = a e ( t ) a p t ) y ( 0 = y ( ) = (58) as e a são a = 0, a =. A resolução numérica do sistema (56) produz valores para y e y correspondentes a uma sucessão de valores t, t,, t n. Se as condições iniciais (58) forem afectadas por erros y, y, o valor calculado de a será diferente de zero e consequentemente também os termos a ep( t ). Os erros de y e y crescerão portanto com t. A resolução numérica das equações (56) não é portanto um problema bem conformado. Para remediar esta situação deveremos determinar as condições iniciais com a maior precisão possível, o que implica que se meçam as grandezas t, y, y com grande precisão, o que por sua vez eige registos longos em vírgula flutuante. Eemplo 5. A equação algébrica p( ) ( )( ) ( 0) = 0 (59) possui as raízes,,, 0. Se perturbarmos o coeficiente do termo 9 com um pequeno erro, seja 0 6, a equação (59) passará a ser 6 9 p( ) + 0 = 0, (60) com raízes completamente diferentes. Como o eemplo anterior mostra, um pequeno erro num dos coeficientes de um polinómio pode alterar substancialmente a natureza e valor das suas raízes, especialmente quando se trata do coeficiente de um termo de grau elevado. Podemos assim afirmar que a resolução numérica de uma equação algébrica de elevado grau é em geral um problema mal conformado, visto que pequenas alterações nos dados iniciais (coeficientes) podem produzir grandes alterações nas soluções numéricas. Como remediar esta situação? Duas alternativas se apresentam: ❶ Decompor, se possível, o polinómio p() num produto de polinómios p ( ) p( ) pr ( ) p( ) e resolver numericamente as equações algébricas pi() = 0, i =,, r, que têm graus mais baios que a equação original p() = 0, e que serão provavelmente melhor conformadas; II - Capítulo II PROPAGAÇÃO DE ERROS

30 ε + ❷ Determinar e registar com grande precisão os coeficientes da equação p() = 0. ε ε ε Figura.: Grafos representativos de algoritmos e respectivos mecanismos de propagação de erros. Eemplo 6. Resolvamos numericamente a equação algébrica do º grau p( ) + b c = 0, (6) que tem como solução algébrica c = I ( b, c) = b + b + c = ( b + b + c ) Os dados iniciais são os valores numéricos dos coeficientes b, c, supostos afectados por erros relativos ε b, ε c, cuja contribuição para o erro relativo da solução I( b, c ) é, como se pode verificar, b c b b + ε b + ε c = ε b + ε c (6) em que = b + c é o binómio discriminante. Como os valores absolutos das fracções em (6) não ecedem, se suposermos que ε b ε, ε c ε, obteremos para erro esperado mínimo da solução a quantidade ε r < ε. (63) Será em relação à quantidade ε que se avaliará a estabilidade dos dois algoritmos para o cálculo de I( b, c ).. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante II - 3

31 F. WOLFANGO DE MACEDO (99) - ANÁLISE DE ERROS - UTAD, Vila Real, Portugal º Algoritmo : = b ; = + c ; = ( ) ; = b (64) 3 3 Quando b >> c > 0 tem-se 3 b e consequentemente a última operação 3 b causará complicações (v. Perda de Precisão no Cálculo de Diferenças, Secção.3.). Seja 3 ( ε ), com 3 ε 3 ε, o erro de arredondamento no cálculo de 3 em vírgula flutuante. A contribuição deste erro para o erro relativo da solução = 3é b ε b c b 3 = ( ε b c k ) = ( + + ) ( ε ) = ( ε ) (65) 3 Como b, c > 0, o factor de amplificação k satisfaz a relação k b > > 0, (66) c podendo portanto k ser muito grande, visto que assumimos atrás que b >> c. Conclui-se assim que o algoritmo não é numericamente estável, porque a contribuição do erro de arredondamento na operação 3 = ( ) para o erro relativo do resultado final ecede muito o erro esperado mínimo ε. º Algoritmo : c = b ; = + c ; 3 = ( ) ; 4 = b + 3 ; = (67) Neste algoritmo não surge a complicação de perda de precisão devida ao cálculo de uma diferença, ao contrário do que acontece no algoritmo anterior. O erro de arredondamento 3 ( ε ) será 3 amplificado de acordo com as operações subsequentes: A contribuição do erro c 3 b + 3 = Ψ ( 3 ) (68) ( b + ) ( ε ) para o erro relativo do resultado final é 4 3 Ψ ( ) 3 ( ε ) = 3 c ( b + 3 ) ( ε ) = p + ( ε ) = k ( ε ) (69) 3 3 O factor de amplificação k mantem-se pequeno, visto que k <. Conclui-se assim que o algoritmo é estável. Para comprovação empírica das conclusões anteriores quanto à estabilidade dos algoritmos e, resolvamos numericamente a equação = 0, cujas raízes eactas são -000 e Os valores b = , c =, satisfazem os pressupostos das análises anteriores, isto é, b >> c > 0 sendo = Calculemos com 5 casas decimais as raízes b + Com = obtemos os valores: Algoritmo : = ; Algoritmo : = (º algoritmo) e c / ( / b + ) (º algoritmo). Eemplo 7. Dados R e k N recorrência:, calculemos cos m e sin m, usando as fórmulas de II - 4 Capítulo II PROPAGAÇÃO DE ERROS

32 cos m = cos cos ( m ) sin sin ( m ) sin m = sin cos ( m ) + cos sin ( m ), m =,, k, (70) e averiguemos o efeito que a propagação de pequenos erros c e s nos cálculos de cos e de sin tem nos resultados finais cos k, sin k. Denotando cm = cos m, sm = sin m, c = cos, s = sin e fazendo c s G = s c, podemos escrever as fórmulas de recorrência (70) na forma matricial c s m m cm = m k G s, =,,. (7) m Usando repetidamente a fórmula de recorrência (7) obtemos ck s = G k k c0 s = G 0 k 0 (7) Aplicando a fórmula dos acréscimos finitos à igualdade (7) obtemos c s k k = G c k c + G 0 s k s 0. (73) Ora, G c k = k G G s k k k ; = k A G 0 c = ε c cos ; s = ε s sin ; A = 0 (74) Como a matriz G é uma matriz de rotação ( Givens ) plana, com ângulo de rotação rad, podemos escrever c = s s G k k k c k k. (75) Substituindo as epressões (74)-(75) em (73) obtemos c s k k ck s k c k = s ε cos + k ck k ε s sin, (76) que é a fórmula de propagação dos erros de arredondamento c = ε c cos e s = ε s sin aos resultados c k e s k. Supondo que ε c = ε s = ε 0, e aplicando valores absolutos a ambos os membros da igualdade (76), obtemos os erros absolutos máimos dos resultados pretendidos: c = k ε cos k kε ; s = k ε sin k kε. (77) k 0 0 k 0 0 Concluimos assim que, sendo k muito grande, o algoritmo poderá ser instável para certos valores de. Os erros esperados mínimos obtêm-se por aplicação da fórmula (55) da secção..:. Erros nas Operações-Máquina em Vírgula Flutuante II - 5

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