2004/2005 PROBLEMAS. y f(x) dx.

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1 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica /5 Integração Numérica PROBLEMAS Dados os seguintes pontos de uma função y = f(x) x y determine um valor aproximado do integral f(x) dx. (a) Pela regra dos trapézios. (b) Pela regra de Simpson. (c) Pelo polinómio que interpola aqueles pontos. Calcule pela regra de Simpson um valor aproximado do integral π sin(x) dx,comdígitos significativos correctos. Verifique se o valor obtido está devidamente próximo do valor verdadeiro do integral. Pretende-se calcular e x x dx a menos de 5. (a) Calcule o integral pela regra de Simpson. (b) Quantos intervalos seriam precisos pela regra dos trapézios. (c) Duplicando o número de intervalos, de que maneira seria afectado o erro em cada uma das regras. (d) Se os valores de e x x tiverem de ser arredondados para 6 casas fraccionárias, calcule: i. o erro máximo (total) por arredondamento para 6 casas fraccionárias. ii. o número máximo de intervalos que interessaria considerar em cada uma das regras, de modo a que o erro de truncatura da regra seja da podem do erro por arredondamento. RESOLUÇÕES (a) Regra dos trapézios: I h ( y +y +...+y n + y n ).

2 h = x i+ x i =. Neste caso, como n = (5 pontos), temos f(x) dx ( y +y +y + y )=.(). (b) Regra de Simpson: I h ( y +y +y +y +...+y n +y n + y n ). Aplicando a regra de Simpson a este problema, temos f(x) dx ( y +y +y +y + y )=.(). (c) Polinómio interpolador de Newton: Cálculo da tabela de diferenças, ( y i ) x i y i y i y i y i y i O polinómio interpolador de Newton diferenças, P (x) obtêm-se directamente a partir da tabela de P (x) =.78! +.6! (x ) +.! (x ) (x ).68! (x ) (x ) (x )+ +.! (x ) (x ) (x ) (x ) = x +.9 x.865 x +.97 x. Por fim, calcula-se então o integral de P (x) f(x) dx P (x) dx [ =.78 x.875 x +.9 x.865 x x 5].(8).

3 O cálculo do integral π sin(x) dx comdígitos significativos correctos, equivale a considerar um erro máximo absoluto de 5. De seguida, vamos calcular o número de intervalos (par) que é necessário considerar na aplicação da regra de Simpson: em que ε t h 8 b a max f () (ξ) 5 max f () (ξ) = max sin(ξ) =, (b a )=π, h = b a n temos então que ( π n ) 8 π 5 π n 8 5 n = h = π Aplicando a regra de Simpson: sin(x) dx π [sin() + sin( π ] )+sin(π ), (). Cálculo da a, a, a e a derivadas de f(x) : ( f(x) = e x x ; f (x) = e x x + ) x ; f (x) =e x ( x + x + x ) ; f () (x) = e x ( x + x + 6 x + 6 x ) ( ; f () (x) =e x x + x + x + x + ) x 5. ( ) Os módulos das sucessivas derivadas de f(x) têm todos a mesma forma: e x a x + b x Analisando esta expressão facilmente se conclui que o valor máximo, no intervalo entre [, ], ocorre para x =. max f (x) = f ().8 x max f () (x) = f () ().9 x (a) Regra de Simpson: Cálculo do número de intervalos (par) de modo a garantir um erro inferior a 5. ε t h 8 b a max f () (ξ) 5

4 ( n ) n. 8 5 Neste caso, para sermos totalmente rigorosos deveríamos considerar 6 intervalos (n = 6), no entanto optamos por utilizar apenas intervalos porque a expressão que nos dá o erro da regra de Simpson é muito pessimista e o valor obtido para n (.) é ligeiramente superior a. Aplicando a regra de Simpson, considerando n =, obtemos então: f(x) dx h [ f() + f( 5 ] )+f( )+f(7 )+ f() =.7(6). (b) Regra dos trapézios: Cálculo do número de intervalos de modo a garantir um erro inferior a 5. ε t h b a max f (ξ) 5 ( n ).8 5 n = n =8 (c) Duplicação do número de intervalos: ) Regra dos trapézios (ε t : o erro é dividido por n ) Regra de Simpson (ε t : o erro é dividido por 6 n (d) i. O erro de arredondamento, em qualquer dos casos, vem: ii. Regra dos trapézios: ε arr b a ε =( ) 5 7 =5 7 ( n ) n = 55 Regra de Simpson: ( n ) n =.7 =

5 Calcule PROBLEMAS PROPOSTOS ln(x) dx a menos de 5 pela regra dos trapézios. Considere as funçõesdebesselmodificadasde a espécie: I n (x) = π e x cos(t) cos(nt) dt Calcule I () pela regra de Simpson, dividindo o intervalo [, π] em, 8 e 6 sub-intervalos. Quantos dígitos correctos terãoo o eo o resultados? O perímetro P de uma elipse de eixo maior a,eixomenor b e excentricidade e = dado por P =a e sin (θ) dθ a b a,é Calcule o perímetro de uma elipse com a = e b =,através da regra de Simpson com intervalos. Determinar ln( + sin(x))dx, com um erro absoluto máximo de 5 : (a) pela regra dos trapézios. (b) pela regra de Simpson. 5 Utilizando a regra de Simpson, determinar um valor aproximado de π, com erro máximo de 5 5.(Relembrarque π = arctan() = 6 Calcular +x dx) sin(x) x dx pela regra dos trapézios com um erro absoluto inferior a 5. 7 Calcular x tan(x)dx, com um erro absoluto máximo de 5 : (a) pela regra dos trapézios. (b) pela regra de Simpson. 8 Calcular x tan(x)dx por integração de Romberg, utilizando apenas a regra dos trapézios com h =.5, h =.5 e h =.5. 9 Calcular o integral do exercício anterior pelo método da quadratura gaussiana, usando e 5 nós. ln(x) I () = P =9. SOLUÇÕES E TÓPICOS DE RESOLUÇÃO dx =.9(5) [5 intervalos].5577, n =.56586, n =8.5659, n =6 AMG, IMF, JFO, JPF, ACM 5