UM PROBLEMA DE CONTROLE DE ESTOQUE COM IMPERFEITA INFORMAÇÃO E RESTRIÇÕES DE CHANCES

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1 7 a 3/9/5, Gramado, RS UM PROBLEMA DE CONTROLE DE ESTOQUE COM MPERFETA NFORMAÇÃO E RESTRÇÕES DE CHANCES O. S. Silva Filho and Wagner Cezarino Centro de Pesquisas Renato Archer Rod. D. Pedro, Km 43, Campinas - São Paulo Brazil Resumo: Este artigo lida com um problema de planejamento de recursos materiais onde os níveis de estoque não são perfeitamente observáveis. Assumindo que o sistema de balanço de estoque tenha sua natureza estocástica regida por um processo linear-gaussiano, as incertezas sobre o nível de estoque observado podem ser compensadas considerando seus dois primeiros momentos estatísticos (i.e., média e variância condicionados as informações disponíveis no tempo, estimados via um estimador conhecido na literatura como Filtro de Kalman. Como conseqüência, uma abordagem, originalmente desenvolvida para problemas sob perfeita informação de estado (vide [] é adaptada para produzir soluções subótimas para este tipo de problema. Um simples exemplo ilustra as idéias básicas apresentadas neste trabalho. Palavras-chaves: planejamento da produção, controle de estoque, otimização estocástica, estimação de sistemas. Abstract: This paper deals with an inventory control problem where the inventory levels are not perfectly observed. Assuming the inventory balance equation as an Linear Gaussian process, all uncertainties about the inventory level are related to the first and second condionated statistics moments of this variable that can obtained by a Kalman filter. As a consequence, an approach, originally developed for problems with perfect information (see [] e adapted to provide sub-optimal solutions for this problem. A simple example illustrates the main basic ideas discussed in the paper. Key-words: production planning. nventory control, stochastic optimization, estimation. ntrodução Neste artigo considera-se o problema de planejar a quantidade de recursos materiais para estoque que será utilizada por uma empresa na produção de um dado produto, em períodos futuros de um horizonte de planejamento. Este não é um problema trivial, como pode parecer a princípio, a razão é que existe uma variedade de fatores incertos endógenos e exógenos à empresa que afetam a precisa identificação da quantidade deste material a ser utilizado. Fatores exógenos ocorrem em situações onde o material adquirido de um determinado fornecedor não irá passar inteiramente no teste de qualidade ou no exame da quantidade realizado durante o recebimento. Pode-se também considerar como fator exógeno, possíveis atrasos que causem redução excessiva nos níveis de estoques, podendo chegar inclusive a rompê-lo, levando ao que denominamos de ruptura de estoques, que causa a parada na linha de produção por falta de materiais [5] Fatores endógenos, via de regra, estão relacionados com a perda de propriedade física do material devido ao seu tempo de armazenamento no almoxarifado ou a falta de acondicionamento requerido conforme recomendação do fornecedor. Outros fatores, não incomuns seriam eventuais furtos do material, ou perdas e avarias feitas no transporte do material do almoxarifado até o ponto de utilização do mesmo [6].

2 7 a 3/9/5, Gramado, RS A combinação dos fatores acima pode tornar o processo de controlar os níveis de estoques em um ambiente produtivo, uma tarefa complexa. A principal razão é que hoje as empresas convivem no que se denomina redes organizacionais onde todas tentam cortar custos com materiais de estoque e ao mesmo tempo tornar o fluxo de materiais ao longo da rede o mais suave possível, ou seja, sem turbulências ocasionadas pelo excesso ou pela falta de materiais em cada elo da rede. Neste caminho está o fato de que cada vez mais as empresas buscam reduzir estoque de segurança para maximizar o lucro da Cadeia. Assim, as incertezas endógenas e exógenas discutidas acima podem ocasionar grandes dificuldades à gerência de compras para garantir que o material não irá faltar na linha de produção nem que este irá onerar a empresa tornando-se o que finanças chama de capital parado. Uma conclusão imediata é que os fatores apontados acima são responsáveis pela falta de precisão nos níveis de estoques de um dado material, podendo assim comprometer um processo de compras que esteja orientado a reduzir custos com excesso e que trabalhe com um estoque de segurança próximo de zero [5] Com base no exposto acima, assume-se que é possível lidar com a falta de precisão de estoques de materiais, adotando-se uma formulação para o problema de compra de materiais que combina programação matemática com controle ótimo estocástico e utiliza recursos de filtragem como um meio de recuperar informações imperfeitas sobre os níveis de estoques. A idéia básica consiste em considerar um sistema de balanço de materiais de estoque cuja a demanda depende de que múltiplo inteiro da quantidade de produto a ser fabricado pela empresa. A quantidade deste produto é uma variável aleatória com distribuição de probabilidade conhecida, obtida a partir de históricos de vendas ao longo de seu ciclo de vida. Além disso, é imaginado que os níveis de estoque de material em almoxarifado sejam mensalmente medidos e essas medidas são tidas como imperfeitas. Um dispositivo linear de saída é usado para modelar esse processo de medida e um erro de medição que representa os fatores incertos endógenos e exógenos causadores da imprecisão é modelado como uma variável aleatória com distribuição aleatória conhecida, e assumida por simplicidade, como sendo Gaussiana. Outra característica adicional de complexidade deste sistema de compras é assumir que existem níveis mínimos e máximos de armazenagem e de compra do material em questão. Sendo o problema não determinístico, desrespeitar tais restrições significa tornar o problema sujeito a uma situação de infactibilidade para qualquer período do horizonte de planejamento de compra. O problema que será tratado aqui consiste de um problema seqüencial estocástico com imperfeita informação nas variáveis de estoque e lote de compra e com restrições de chances (i.e. probabilísticas associadas a tais variáveis. Estas últimas restrições visam reduzir o risco de infactibilidade do problema como mencionado anteriormente. As seções seguintes estão posicionadas como seguem: a seção apresenta formulação do problema e sua respectiva notação; a seção 3 discute uma estrutura de estimar as informações imprecisas sobre os níveis de estoque do material a partir de um mecanismo de filtragem conhecido com filtro de Kalman. Esta estrutura de filtragem permite extrair das informações disponíveis qual o primeiro e segundo momento estatístico associado à variável observada. A seção 4 usa as informações estatísticas obtidas pelo procedimento de filtragem para reduzir o problema estocástico em um determinístico equivalente que permite gerar uma política ótima de compra factível.. Modelo Estocástico de um Problema de Planejamento de Recursos Materiais Seja a seguinte notação para cada período, a ser usada daqui a diante: = quantidade corrente do recurso material disponível em estoque no almoxarifado. 4

3 7 a 3/9/5, Gramado, RS P = quantidade de material a ser adquirido pelo setor de compras da empresa. Y = quantidade do recurso material contado a partir de um dispositivo de medição usado pela empresa D =. quantidade do material solicitado para uso pelo setor de operações da empresa. v = erro existente no dispositivo de medição de contagem do recurso material h ( c ( P = custo para comprar o material de fornecedores = custo para manter este recurso em estoque no almoxarifado Considere o sistema de balanço de estoque de um recurso material, dado pela seguinte equação linear: + = + P D ( onde a demanda D é uma variável aleatória gaussiana com média Dˆ e variância invariante no tempo σ D. No instante =, o estoque inicial é estimado. Associado com (, existe um dispositivo de saída que contabiliza o nível de estoque existente no almoxarifado, sendo ele descrito como segue: Y = + v ( onde a variável Y denota o nível observado de estoque e v denota o erro atribuído ao dispositivo de contagem. Este erro é uma variável normal com média vˆ = e variância finita σ v >. Desde que não está diretamente acessível para propósito de geração de um plano ótimo de recursos do material, é importante introduzir o vetor Γ, que contém as informações correntes e passadas relacionadas aos níveis de estoque dos materiais medidos (Y e quantidade do recurso material adquirida (P : Γ = {P o, P,..., P -, Y, Y,..., Y } Γ - (3 Baseado na informação disponível em (3, uma política ótima de produção não-negativa { P, P,..., P T }, para algum horizonte finito T, pode ser determinado por meio de uma abordagem de otimização estocástica que minimize os custos esperados com estoque e compra do material: (4 J T = ( u = h E{ Γ } + {( + T E h c P Γ } T sujeito a ( e ( e às restrições probabilísticas dadas por: Pr ob.( Prob. (P P + + α - P β (5 onde α, β [, ] denotam índices probabilísticos fixados a priori pelo gerente. Alguns importantes comentários acerca dessa formulação são as seguintes: a O modelo de critério quadrático em (, como justificado por [4], representa uma estrutura realística para o processo de planejamento da produção. Por exemplo, custos para manter estoques podem ser penalizados tanto para níveis negativos (ruptura de estoque, decorrente dos níveis do material zerarem no almoxarifado como devido a níveis positivos (relacionados a níveis altos de 5

4 7 a 3/9/5, Gramado, RS estoque do material, muitas vezes acumulado para garantir a satisfação máxima do usuário do mesmo. Outro aspecto positivo é que ele permite que incertezas relacionadas as variáveis de estoque e de compra possam ser diretamente calculadas no valor esperado da função custo. b Em horizontes de planejamento de longo prazo, as decisões são influenciadas de forma rigorosa por flutuações de demanda do uso do recurso. Assim, não faz sentido adotar um modelo determinístico para o problema (4 sujeito a ( ( e (5, com objetivo de aplicar o farto arsenal de ferramentas de programação matemática determinística. A razão disso é que um plano de compra determinístico, sob as condições definidas anteriormente, pode ser um desastre para a empresa, podendo levar a companhia a excesso ou escassez do material. (i.e. gerar soluções infactíveis. c As restrições probabilísticas (5 estão incluídas no modelo com objetivo de assegurar que tantos os níveis de estoque quanto as quantidades a serem adquiridas pela empresa não violarão respectivamente: os limites físicos de armazenagem de material ( e no almoxarifado e as quantidades mínima e máxima de aquisição ( P e P permitida pelo setor de compra. Note que o limite mínimo de estoque > representa o estoque de segurança do material que garante uma proteção contra as incertezas relacionada a flutuação de consumo do material. É interessante notar também que os limites estabelecidos para aquisição do material P > P visam atingir os seguintes objetivos gerenciais: primeiro, com relação a seu valor mínimo P, o objetivo é garantir que o usuário final do recurso será sempre levado em consideração; por exemplo, em uma política de compras programadas, este poderia ser o lote mínimo desejado. Segundo, adotar um limite máximo para compras pode ser uma estratégia do setor financeiro com o intuito de impor um limite aceitável de aquisição do recurso, sem risco de comprometer a contabilidade da empresa com capital parado. Na prática, os limites de aquisição podem ser manipulados para mais e para menos, permitindo a criação de cenários que ajudam o setor de compras a criar estratégias de como melhor agir na aquisição do recurso, satisfazendo compromissos conflitantes entre o setor de finanças e o setor de operações. 3. Filtro de Kalman Desde que a estrutura do sistema de balanço de estoque dada em ( ( é linear e as incertezas, devido flutuações no uso do recurso material, são assumidos provenientes de processos Gauss-Marov então é esperado que a função densidade de probabilidade condicional dos níveis de estoque seja também Gaussiana. Em outras palavras, toda a incerteza relacionada com a evolução de estoque em ( (, pode ser parametrizada pela média e variância condicional que são geradas no tempo a partir do mecanismo de filtragem proposto por Kalman [], como segue: + + = + P + Dˆ + ( + σ [Y ] (6 + + v = = + + σ D + ( + + σ + (7 onde = E{ Γ } e = E{( } representam respectivamente as estimativas da média e da variância da variável de estoque. Note que o operador E{.}denota o valor esperado da variável aleatória com a função distribuição F(.. As condições iniciais para (6 e (7 são dadas por 6

5 7 a 3/9/5, Gramado, RS = Î + ( σv (Y Î = ( σv (8 Î = e = E ( Î onde E{ } denotam a média e a covariância do estado inicial. Desde que as equações (6 e (7 concentram toda a informação sobre estimativas do estado corrente dos níveis de estoque na equação de balanço (, é possível usar tais informações para simplificar complexidades inerentes ao problema estocástico, como a natureza essencialmente aleatória das variáveis que compõem o critério (4 e as restrições de chances (5, permitindo formular um modelo de otimização equivalente porém determinístico que facilite a obtenção de um plano de compras factível para o problema original. A seguir discutem-se os aspectos acima mostrando que o plano de compra é dado por uma regra linear de realimentação [4]. 4. A Regra Linear de Realimentação Uma vez que as informações sobre os níveis de estoque existentes no almoxarifado podem ser estimados pelo filtro de Kalman, através das equações (6 e (7 que compõem respectivamente, a evolução no tempo da média e variância condicional da variável de estoque. A partir daí, uma regra decisão linear pode ser formulada com objetivo de ser uma possível solução para o problema estocástico. Neste estudo, a regra de decisão envolverá um esquema de realimentação, baseado em um ganho linear, sendo por esse motivo é denominada de regra linear de Realimentação, e é dada matematicamente como segue: P ( Î = Pˆ + G λ (9 onde G λ é o ganho linear com λ sendo um parâmetro de compromisso a ser discutido à frente e Î = E E = E denota o estoque médio obtido para cada período. { ( } { } Note que a regra linear gera uma política de compras { P, P,..., P }, onde para cada período de tempo, o lote ótimo de compra é resultado de seu valor médio ( Pˆ acrescido de um ajuste para mais ou para menos do valor amplificado do erro de estimação, que em outras palavras significa multiplicar pelo filtro de Kalman e o estoque médio o ganho linear pela diferença entre o estoque estimado ( ( Î. Para se aplicar a regra linear de Realimentação é necessário determinar inicialmente quem é o ganho linear G λ e quem são as políticas médias de estoque para o almoxarifado e de quantidades a serem adquiridas pela empresa, representados respectivamente por { Î,Î,..., ÎT } e { Pˆ,Pˆ..., Pˆ T }. Para isto os seguintes dois passos são desenvolvidos em seguida: Passo : Determinação do Ganho Linear Para determinar o Ganho G λ, o seguinte problema de variância mínima deve ser resolvido []: 7

6 7 a 3/9/5, Gramado, RS Min E{ δy s.t. δ δy = δ = δ + v + λ δp Γ } + δp δd Min s.t. + + { +λ P } (7 ( onde δ = Î denota o erro de estimação. Resolvendo o problema ( obtêm-se como resultado que o ganho linear é dado por G λ = ( +λ onde o parâmetro λ R + denota o termo de compromisso entre a evolução da variância do nível de estoque do material estimado no almoxarifado ( Y com a variância da quantidade a ser adquirida. pela empresa ( P Para se determinar o valor de λ, um caminho é observar o comportamento evolutivo das variâncias de estoque e compra sob o efeito do ganho linear G. Para tal considere as seguintes equações: λ + P G = = λ + G λ + σ D, = ( É interessante observar que à medida que a variância de compra cresce no tempo, a variância de nos níveis de estoque também cresce proporcionalmente sobre os mesmos períodos. Sabe-se ainda que os máximos valores para as variâncias de estoque e compras são atingidas respectivamente nos períodos T e T-. Sobre os mesmos períodos o ganho linear depende do parâmetro de compromisso λ que pode ser calculado usando a desigualdade de Chebyshev [], como segue: Δ λ = (3 Δ P onde Δ = e Δ P = P P que denotam respectivamente os espaços entre os limites máximos e mínimos das restrições das variáveis de estoque e de compra. Passo : Cálculo das Médias Î e Pˆ * Conhecendo G λ e determinando as estimativas ótimas dadas por (6, (9 e (, é possível calcular as funções de distribuição de probabilidade F,+ (. e F P, (. respectivamente. Como conseqüência, o problema estocástico descrito pela minimização de (4 sujeito a (, ( e (5, pode ser reduzido a um determinístico equivalente cuja solução gera os valores médios { Î+ e Pˆ =,,,...,T }. A solução deste problema pode ser obtida via algum método aplicável de programação matemática. A seguir segue a formulação do mesmo que obedeceu a transformações análogas as discutidas em []. 8

7 7 a 3/9/5, Gramado, RS Min h Î Pˆ s.t. Î Î + Pˆ T = = + = Î T = ( h Î + c Pˆ + Pˆ Dˆ { + F, ( α Î F, ( α } P + F ( β Pˆ P F ( β { } P, P, (4 onde F - (. denota a função distribuição de probabilidade inversa e também α e β são índices de probabilidade fornecidos pelo gerente. 5. Exemplo Numérico Dados do Problema Uma companhia cuja demanda por recursos materiais está sujeita a flutuações de fornecimento, busca desenvolver um plano de compras que minimize os custos com estoques e com aquisição de tais recursos ao longo de um horizonte de planejamento finito T= meses. A estratégia sub-ótima discutida nas seções anteriores é empregada para fornecer uma política de decisão para a gerente de compras. A tabela mostra os dados numéricos do problema. Capacidade de Produção: P = P = Limites de Estoque: = 5 = 5 Custos de armazenagem e produção: h = c = Estoque inicial e final: = T = Medidas de probabilidade : α =. 85 β=.5 Desvio da demanda: σ D =. 4 Month ( Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dec Dˆ Esquema de Solução A solução ótima para o problema da variância (passo é dado respectivamente por λ*=,69 e G (λ*=,59. A dado deste resultado, o problema da Média (4 pode ser formulado e sua solução ótima malha-fechada considerando que os níveis de estoque são perfeitamente conhecidos, é obtido aplicando o algoritmo de programação dinâmica (PD, sendo denominada a partir de então como solução PD. Com objetivo comparativo, uma solução sub-ótima, baseada na regra linear de realimentação (RLR, descrita na seção anterior é considerada neste exemplo, tal solução é chamada aqui de solução RLR. Aspectos da Solução RLR A solução RLR leva em conta que as medidas nos níveis de estoque são permitidas durante a solução do problema (4, para tal, o problema em questão é resolvido num total de vezes, uma para cada período de tempo, considerando os seguintes intervalos: = implica em resolver o problema no intervalo [,]; para = [,];...; = [,]. Para cada intervalo, apenas a quantidade inicial de compras é considerada, sendo ignoradas as demais. Por exemplo, para o instante, a solução do problema (4 é { Pˆ, Pˆ,..., P }, no então somente Pˆ é usado para calcular a política para o 9

8 7 a 3/9/5, Gramado, RS instante = dada, a partir da regra linear (4, por P = Pˆ G ( Î segue o mesmo procedimento, como ilustra a figura. λ, para os demais períodos Pˆ + - P D Balanço de Estoque + v Y Sistema de Saída Filtro G λ + - Î Problema (4 Î = Fig. Esquema de Solução RLR Note da figura que o problema (4 é inicializado a partir da observação dos níveis de estoque, pós filtragem, ou seja, ˆ = com. Análise da Solução: A figura mostra os níveis de estoque e de quantidade adquirida (lote de compra obtidos como resultado dos procedimentos PDE e RLR descritos acima. A análise das duas trajetórias mostra que embora sub-ótima a trajetória RLR tenta seguir a solução ótima PDE, com uma pequena margem de erro. Esta interessante característica pode ser explicada através do fato que durante a solução do problema determinístico (4 as evoluções da variância dos níveis de estoque e da quantidade a comprar do material são controlados pelo ganho linear e, como conseqüência, não é permitido que tais variâncias cresçam livremente ao longo dos períodos de tempo, como está formalizado pelas equações de variância dadas em (. Com isto o erro é menor, o proporciona trajetórias mais suavizadas, como as da figuras Estoque Sol. PD Sol. RLR Lotes de Compra Sol. PD Sol Fig. Trajetórias ótimas de Estoque e Compras

9 7 a 3/9/5, Gramado, RS 6. Conclusão Neste artigo, uma solução sub-ótima para um problema estocástico de planejamento de compra com restrições em chance e sob a hipótese de imperfeita informação nos níveis contáveis de estoque é apresentada. Considerando a natureza linear Gaussiana do sistema de balanço de compras, toda informação necessária para produção de um plano de compras otimizado é dependente de uma estatística eficiente definida pelos primeiro e segundo momentos estatísticos associados a variável de estoque e de compras (aleatórias do problema e que podem ser estimadas via o método do filtro de Kalman. Como resultado, o teorema da Separação pode ser aplicado para obter uma regra linear de realimentação (RLR que é baseada no controle da evolução das variâncias de estoque e de compras (segundos momentos. A partir desta regra de decisão linear é possível reduzir o efeito das incertezas devido as flutuações de demanda pelo recurso material sobre os níveis de estoque corrente no almoxarifado e da quantidade (volume de compras a serem realizadas. A partir de um exemplo simples de um único produto a solução ótima malha fechada para o problema estocástico, considerando os níveis de estoque exatamente medidos, é obtida via algoritmo de programa dinâmico estocástico (PDE. Esta solução foi usada como uma espécie de meta para compararmos o procedimento sub-ótimo (RLR. Os resultados observados permitiram concluir que a solução LRL, discutida na seção 4, pode ser uma boa estratégia de decisão para a função de comprar, quando esta lidar com materiais sujeitos a incertezas endógenas e exógenas, simultaneamente. 7. Referências. K. J. Astrom. ntroduction to Stochastic Control Theory, Academic Press, N. Y., 97. J. C. Geromel and O. S. Silva Filho. Partial Closed-Loop Control Structure for Linear Stochastic Systems, EEE Trans. on Auto. Control, ol. 34, No., ( A. C. Hax. Aggregate Production Planning, Handboo of OR: Models and Applications, Ed. J. Morder and S. E. Elmaghraby, pp. 7-69, O. S. Silva Filho. An Aggregate Production Planning Model with Demand under Uncertainty, Production Planning & Control, ol., No. 8, ( Y. Kang and S. B. Gershwin. nformation naccuracy in nventory System Stoc loss and Stocout, Worpaper, MT, Laboratory of Manufacturing and Productivity, L. Aggoun, L. Benherouf, L. Tadj. Optimal Adaptive Estimators for Partially Observed Numbers of Defective tens in nventory Models, Pergamon, Math. and Computers Modelling, 9, 83-93, 999.