INTRODUÇÃO A PROJETOS DE EXPERIMENTOS. Caderno Didático

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1 INTRODUÇÃO A PROJETOS DE EXPERIMENTOS Caderno Didático

2 Projeto gráfico da capa: Laboratório de Design Gráfico Curso de Desenho Industrial / Programação Visual - UFSM

3 INTRODUÇÃO A PROJETOS DE EXPERIMENTOS Caderno Didático Adriano Mendonça Souza DOUTOR EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO/UFSC PROF. ADJUNTO DO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA/UFSM PROF. DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA/UFSM PROF. DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Anaelena Bragança de Moraes Ethur MESTRE EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO/UFSM PROF a. ASSISTENTE DO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA/UFSM PROF a. DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA/UFSM Luis Felipe Dias Lopes DOUTOR EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO/UFSC PROF. ADJUNTO DO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA/UFSM PROF. DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA/UFSM PROF. DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Roselaine Ruviaro Zanini MESTRE EM MÉTODOS QUANTITATIVOS/UFSM PROF a ASSISTENTE DO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA/UFSM PROF a DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA/UFSM Universidade Federal de Santa Maria UFSM Centro de Ciências Naturais e Exatas CCNE Departamento de Estatística Santa Maria - RS Setembro 00

4 I61 Introdução a projetos de experimentos : caderno didático / Adriano Mendonça Souza...[et al.]. Santa Maria : Universidade Federal de Santa Maria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Departamento de Estatística, p. 1. Estatística matemática. Análise estatística 3. Probabilidade 4. Análise de variância 5. Pesquisa 6. Experimentos 7. Testes I. Souza, Adriano Mendonça CDU 519.:311.1 Ficha catalográfica elaborada por Maristela Hartmann CRB-10/737 Biblioteca Central da UFSM

5 PREFÁCIO A idéia de escrever um material didático sempre faz parte do objetivo da maioria dos professores, principalmente no momento de preparar aulas e direcionar determinado assunto para um público alvo específico. Esta monografia foi escrita com o propósito de atender às necessidades dos alunos do Mestrado em Engenharia de Produção e Especialização em Estatística e Modelagem Quantitativa da Universidade Federal de Santa Maria UFSM, como um texto introdutório em Projetos de Experimentos. Temos a clara visão que a consulta em textos mais avançados será de grande valia para os alunos e profissionais que se utilizam desta ferramenta. Agradecemos durante a realização deste trabalho ao apoio recebido dos colegas de trabalho e alunos que foram capazes de salientar os erros que haviam. Os possíveis erros que ainda persistirem nesta versão e as sugestões para o melhoramento deste material deve ser enviadas para em nome dos autores, os quais ficarão muito gratos. O nosso agradecimento também vai para o Programa de Pósgraduação em Engenharia de Produção e Curso de Especialização em Estatística e Modelagem Quantitativa, pois sem eles não teríamos a necessidade de gerar tal material. Agradecemos também ao Gabinete de Projetos do CCNE pela parcial contribuição financeira o desenvolvimento deste projeto de extensão. Os autores Projetos de Experimentos - i

6 Projetos de Experimentos - ii

7 SUMÁRIO Capítulo 1 INTRODUÇÃO ORIGEM 1.. DEFINIÇÕES 3 Capítulo DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE AO ACASO Número igual de repetições Número diferente de repetições 13.. EXPERIMENTOS EM BLOCOS AO ACASO Sem repetições Com repetições Um caso especial de experimentos em blocos ao acaso EXPERIMENTOS EM QUADRADO LATINO EXPERIMENTOS ROTACIONAIS 18 Capítulo 3 ANALISE DE VARIÂNCIA - ANOVA UM EXEMPLO DE APLICAÇÃO 0 3. EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE AO ACASO 4 (com igual número de repetições) 3.3 EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE AO ACASO 36 (com diferente número de repetições) Capítulo 4 COMPARAÇÃO DE MÉDIAS AMOSTRAS DE MESMO TAMANHO 41 Projetos de Experimentos - iii

8 4.. AMOSTRAS DE TAMANHO DIFERENTE ALGUMAS PROPRIEDADES DOS TESTES Tukey Duncan Scheffé Análise dos Três Testes 49 Capítulo 5 EXPERIMENTOS EM BLOCOS AO ACASO 51 Capítulo 6 EXPERIMENTOS EM BLOCOS AO ACASO (com repetição) 59 Capítulo 7 EXPERIMENTOS COM INTERAÇÕES A ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE EXPERIMENTOS EM BLOCOS AO ACASO COM REPETIÇÕES E EFEITOS ALEATÓRIOS 73 Capítulo 8 VERIFICAÇÃO DA ADEQUAÇÃO DO MODELO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA ANÁLISE DE RESÍDUOS GRÁFICO DOS RESÍDUOS CONTRA O TEMPO GRÁFICO DE RESÍDUOS CONTRA AS MÉDIAS DOS TRATAMENTOS GRÁFICO DA PROBABILIDADE NORMAL 78 Projetos de Experimentos - iv

9 Capítulo 9 EXERCÍCIOS REVISIONAIS (Teóricos - Resolvidos) 93 Capítulo 10 EXERCÍCIOS REVISIONAIS (Práticos - Resolvidos) 99 Capítulo 11 EXERCÍCIOS REVISIONAIS (Propostos) 109 Capítulo 1 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 117 ANEXOS 11 Projetos de Experimentos - v

10 1 INTRODUÇÃO É uma parte da estatística probabilística que estuda o planejamento, execução, coleta de dados, análise e interpretação dos resultados provenientes de experimentos. A experimentação é uma ciência que oferece suporte probabilístico, ao pesquisador, permitindo fazer inferências sobre o comportamento de diferentes fenômenos da natureza, com grau de incerteza (margem de erro) conhecido. Todo pesquisador necessita dos conhecimentos das técnicas experimentais para: planejar, executar, avaliar, analisar e interpretar os resultados de um experimento. Já o técnico (usuário dos resultados da pesquisa) deverá conhecer a experimentação para entender o experimento e avaliar a confiabilidade dos resultados, permitindo, assim, uma troca de idéias com o pesquisador, através de uma linguagem técnica adequada. Muito do conhecimento, que a humanidade acumulou ao longo dos séculos, foi adquirido através da experimentação. A idéia de experimentar, no entanto, não é apenas antiga, também pertence ao dia-a-dia. Todos já aprenderam algumas coisas, ao longo da vida, experimentando. A experimentação, no entanto, só se difundiu, como técnica sistemática de pesquisa, neste século, quando foi formalizada através da estatística. A necessidade do ser humano em conhecer e descobrir, reinventar e criar produtos e processos, com maior qualidade, fez com que o experimentar se tornasse parte do seu cotidiano. Projetos de Experimentos - 1

11 Inicialmente, o homem começou a testar e realizar experiências para verificar o que de melhor ele extrairia de uma situação, por exemplo, o que seria melhor para uma determinada estação de trabalho, melhores equipamentos, melhor matéria prima, melhor equipe de trabalho e as variáveis irão surgindo e necessitando de uma resposta. Ao longo do tempo, essas inquietações foram respondidas por meio da sumarização dessas respostas e aplicações de métodos estatísticos, capazes de mostrar a melhor solução. Hoje, são realizados experimentos em quase todas as áreas de trabalho, sendo esses universais e tendo aplicação em diferentes áreas como: Agronomia, Medicina, Engenharia, Psicologia, entre outras, sendo que os métodos de análise são realizados ma mesma maneira. De qualquer forma, convém conhecer as origens da experimentação, porque isso ajudaria na compreensão de termos técnicos ORIGEM Boa parte da formalização, que existe hoje em experimentação deve-se a Sir Ronald A. Fisher ( ), um estatístico que trabalhou na Estação Experimental de Agricultura de Rothamstead, na Inglaterra. É a origem agrícola da experimentação que explica o uso de vários termos técnicos. Como o objetivo da pesquisa é verificar, cientificamente, as suas conseqüências, um planejamento de experimentos é fundamental para organizar a forma como esses experimentos serão considerados, pois após o seu planejamento um método estatístico deverá ser utilizado para testar as hipóteses propostas. Projetos de Experimentos -

12 1. - DEFINIÇÕES Experimento é um procedimento planejado, partindo de uma hipótese, que visa provocar fenômenos em condições controladas, observar e analisar seus resultados. planejado indica que o pesquisador mantém o controle sobre o experimento, onde qualquer ação deve ser pré-definida ou prevista. provocar fenômenos escolher diferentes maneiras, procedimento, técnicas, para resolver um determinado problema. condições controladas refere-se que somente as diferentes alternativas (fatores ou tratamentos) podem variar e as demais condições deverão manter-se constantes, salvo os erros não controláveis. Para o bom entendimento da metodologia, será necessário a descrição de alguns conceitos: Um experimento é constituído, basicamente, por um conjunto de unidades experimentais, sobre as quais são aplicados os tratamentos, de forma causalisada, das quais se obtêm os dados experimentias. Tratamento Foi introduzido em experimentação através da área agrícola. Servia para indicar o que estava em comparação: fertilizantes, inseticidas, variedades. Hoje, o termo tratamento tem significado mais geral. Muitos experimentos são feitos para comparar máquinas, métodos, produtos ou materiais. Projetos de Experimentos - 3

13 Refere-se a cada uma das alternativas de um fator em estudo para resolver um dado problema. São os diferentes níveis, ou variáveis independentes, de um modelo matemático.é a variável que expressa o problema a ser resolvido. Num experimento existem, pelo menos, dois tratamentos. Esses podem ser ou qualitativos, ou quantitativos. Exemplo: Quantitativos: altura - 10cm, 0cm, 30cm idade - anos, 3 anos, 5 anos tempo - 30min., 1h, 1h e 30 min. Qualitativos: sexo (masculino e feminino), turma (A, B, C e D) Em resumo: tratamento é qualquer procedimento, ou conjunto de procedimentos, cujo efeito deverá ser avaliado e comparado com outros. Variáveis respostas São obtidas por medição ou contagem. Não devem ser confundidas com os tratamentos, que são as variáveis que estão sendo comparadas. Exemplo: Quantitativos: altura (10cm, 0cm, 30cm) - número de folhas, - espessura idade ( anos, 3 anos, 5 anos) - número de dentes - diâmetro tempo (30min, 1h, 1h e 30 min.) - distância percorrida Qualitativos: sexo (masculino e feminino) - idade, altura, peso turma (A, B, C e D) notas Projetos de Experimentos - 4

14 Fatores e níveis Para explicar os fatores e níveis, utilizar-se-á o exemplo a seguir: Um pesquisador está interessado em estudar o efeito de vários tipos de ração que diferem, pela quantidade de potássio, no aumento de peso de determinado tipo de animal. Esse objetivo pode ser atingido se planejar a pesquisa com uma das seguintes finalidades: a) comparar as médias dos aumentos de peso obtidas, com cada uma das rações (igualdade de médias): b) estabelecer uma relação funcional, entre o aumento de peso médio e a quantidade de potássio. No exemplo, a variável independente ração é um fator e os tipos de ração são os níveis deste fator, ou tratamentos. Parcela O termo parcela foi criado para designar a unidade de área usada no experimento. Essa unidade de área era, originalmente, uma faixa de terra, mas também podia ser um vaso ou uma planta. Mas, atualmente, dependendo do experimento, a parcela pode ser um animal, uma peça fabricada, uma pessoa, etc. Muitos autores, no entanto, passaram a usar o termo unidade experimental, no lugar de parcela, de forma mais abrangente. Unidade experimental - UE É a menor unidade de um experimento, na qual é aplicado um tratamento. Em experimentos de campo, as unidades experimentais são denominadas parcelas. As parcelas irão Projetos de Experimentos - 5

15 depender do número de tratamentos e do número de repetições dos tratamentos. I = número de Tratamentos J = número de Repetições IJ = número de Unidades Experimentais ou número de Parcelas Para se estudar o efeito dos tratamentos é necessário a quantificação do erro experimental (variância entre os valores observados nas UE que receberam o mesmo tratamento). Para se obter uma estimativa razoável, para o erro, será necessário um número razoável de graus de liberdade do erro. Aconselha-se um número mínimo de EU, igual a 0, para se obter um grau de precisão desejado. Grupo controle É o grupo que não recebe o tratamento para se efetuar as comparações. O uso de grupo controle já está consagrado em experimentação. Nas áreas Médica e Paramédica, no entanto, é preciso discutir a ética de constituir o grupo controle. As pessoas submetidas, aos experimentos, não devem correr o risco de sofrer danos graves. Então, a constituição de um grupo controle, nos experimentos feitos nas áreas médica e paramédica dependem, basicamente, do que está em estudo. Na área agrícola não surgem questões de natureza ética quando se sorteia o tratamento. Por exemplo, para verificar se um adubo tem efeito sobre a produção de uma planta, o pesquisador pode sortear as unidades que vão receber o adubo grupo tratado e as que não vão receber o adubo grupo controle sem enfrentar qualquer problema de natureza ética. Já em medicina a idéia de sortear os pacientes que irão receber o tratamento pode levantar questões de ética. Projetos de Experimentos - 6

16 Repetição A idéia, em experimentação, é comparar grupos, não apenas unidades. A unidades experimentais do mesmo grupo recebem, em estatística, o nome de repetições ou réplicas. O número de repetições, que devem ser usadas em determinado experimento, pode ser calculado através de fórmulas. A aplicação de tais fórmulas exige, no entanto, que o pesquisador tenha informações estatísticas de experimentos anteriores, o que, em geral, não acontece. Mas o importante é a variabilidade do material experimental. Quanto mais homogêneo, menor é o número de repetições necessárias para mostrar, com clareza, o efeito de um tratamento. Do ponto de vista do estatístico, é sempre desejável que o experimento tenha um grande número de repetições. Na prática, porém, o número de repetições é limitado pelos recursos disponíveis. De qualquer forma, o pesquisador deve levar em conta quando estabelece o tamanho de seu experimento o que é usual na área. Causalidade A diferença entre dois grupos só pode explicada pelo tratamento quando os grupos são, inicialmente, iguais. Para formar grupos homogêneos, é fundamental que os tratamentos e as unidades experimentais sejam sorteados. É o que os estatísticos chamam de casualização. A casualização pode ser feita por meio de sorteio. Projetos de Experimentos - 7

17 Para que a metodologia estatística possa ser aplicada aos resultados de um experimento, é necessário que, em alguma fase do experimento, o princípio da aleatorização esteja presente. Um outro princípio a ser obedecido é o da repetição, segundo o qual devemos ter repetições do experimento, para que possamos produzir uma medida de variabilidade necessária aos testes da presença de efeitos de tratamentos, ou à estimação desses efeitos. A casualização pode ser feita através de números aleatórios, obtidos em tabelas estatísticas, calculadoras ou em computadores. O uso de tabelas de números aleatórios pode parecer uma sugestão mais séria do que o jogo de moedas, mas a lógica é a mesma. De qualquer forma, o que importa é entender que os tratamentos devem ser designados às unidades experimentais por puro e simples sorteio a escolha da técnica da casualização fica a critério do pesquisador. O princípio de casualização é uma das maiores contribuições dos estatísticos à ciência experimental. Só a casualização garante que unidades, com características diferentes, tenham igual probabilidade de serem designadas para os dois grupos. Hoje, até em jogos de futebol se reconhece que a escolha do campo por sorteio elimina o favoritismo. Então, é razoável acreditar que dois grupos, formados por sorteio, têm grande probabilidade de serem similares. E se os grupos são similares no início do experimento, é razoável creditar, ao tratamento, uma diferença expressiva que se observe entre os grupos, isto é, uma diferença que não possa ser facilmente atribuída ao acaso. Experimentos cegos É quando as unidades experimentais são objetos, plantas, animal ou material proveniente de plantas ou animais, como folhas de árvores ou peças anatômicas. É importante que o pesquisador pese, meça ou observe cada unidade, sem saber a que grupo pertence essa unidade. Isso evita a tendenciosidade. Nessa fase do experimento, o pesquisador não pode trabalhar sozinho precisa trabalhar com outro técnico. Projetos de Experimentos - 8

18 Experimentos duplamente cegos São os experimentos feitos com pessoas, em que se recomendam, ainda, outros cuidados. Primeiro, não se deve informar à pessoa o grupo para o qual foi designada; segundo, devem ser mantidos alheios, ao resultado do sorteio, todos os profissionais envolvidos no trato dessas pessoas, para que seus comentários não afetem o seu moral; terceiro, o pesquisador que faz as observações ou medições, deve fazê-lo sem saber a que grupo pertença a pessoa que examina. É claro que os experimentos que envolvam certos tipos de tratamento, como prótese e psicoterapia, não podem ser do tipo cego, ou duplamente cego. Finalmente, embora os procedimentos duplamente cegos sejam altamente recomendáveis, é necessário, por razões de ética, explicar às pessoas que elas estão sendo submetidas a um experimento. Isso, aliás, já é exigido, por lei, em alguns países. O plano experimental é mais eficiente quanto maior for o grau de homogeneidade entre unidades experimentais em termos da variável dependente. Se as unidades experimentais são heterogêneas, o número n de unidades experimentais, necessário para uma boa precisão, pode ser muito grande. Quando esse for o caso, devem-se procurar outros planos experimentais que reduzam o erro experimental. Algumas alterações no planejamento descrito, tais como a introdução de blocos, ou, simplesmente, a utilização de uma variável auxiliar (covariável), medida nas unidades experimentais, a qual é correlacionada com a variável dependente, pode reduzir, consideravelmente, o erro experimental. Projetos de Experimentos - 9

19 Projetos de Experimentos - 10

20 DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS De acordo com o que foi visto anteriormente, para planejar um experimento, é preciso definir a unidade experimental e a variável em análise. Também é preciso definir os tratamentos em comparação e a maneira de designar os tratamentos às unidades. O pesquisador, em geral, identifica, com facilidade, as unidades e os tratamentos que pretende comparar. Pode ser, no entanto, extremamente difícil estabelecer a forma de medir a variável que pretende estudar. Imagina que um pesquisador quer comparar o efeito de dois analgésicos, utilizando cobaias. É fácil verificar que, nesse experimento, a unidade experimental é uma cobaia submetida a um processo de dor, e os tratamentos, em comparação, são os dois analgésicos. Já a variável em análise, que é o alívio da dor, é difícil de ser medida. Também é essencial, no planejamento de um experimento, definir a forma de como os tratamentos serão designados às unidades experimentais. No capítulo anterior, insistiu-se na absoluta necessidade da aleatorização, e sugeriu-se designar os tratamentos às unidades experimentais por puro e simples sorteio. Esse procedimento pode encontrar sérias restrições, mas, neste item, são dadas algumas formas alternativas de proceder à casualização, o que define o delineamento do experimento. Projetos de Experimentos - 11

21 .1 - EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE AO ACASO Número igual de repetições Para comparar o efeito de três rações, A, B e C, sobre o peso de suínos, um pesquisador dispunha de 1 animais. Sorteou então, a ração A para 4 animais, a ração B para outros 4 e forneceu a ração C para os 4 animais restantes. O experimento inteiramente ao acaso é o tipo de delineamento em que os tratamentos são designados às unidades sem qualquer restrição, e este experimento só pode ser conduzido quando as unidades são similares. Similaridade não significa igualdade, mas que as unidades respondam aos tratamentos de uma mesma forma. Deve-se considerar que, em se tratando de animais, os mesmos tenham o mesmo sexo, a mesma idade e que, no início do experimento, tenham as mesmas características. É bastante comum que, experimentos inteiramente ao acaso, tenham igual número de repetições. Em um esquema, completamente aleatorizado, as unidades experimentais, que serão submetidas a cada tratamento, são escolhidas completamente ao acaso. Isso significa que cada unidade experimental tem igual probabilidade de receber qualquer um dos tratamentos, não existindo restrição alguma no critério de aleatorização. Exemplo de experimento inteiramente ao acaso Projetos de Experimentos - 1

22 A hipótese a ser testada é: Ho: As médias do desgaste, para os 4 tipos de pneus, são iguais O modelo experimental é dado por: DESGASTE = CTE + TIPO + ERRO.1. - Número diferente de repetições O pesquisador nem sempre dispõe, para seu experimento, de um número de unidades que é múltiplo do número de tratamentos que pretenda estudar. Isso caracteriza o delineamento de um experimento inteiramente ao acaso com número diferente de repetições. Os experimentos inteiramente ao acaso com número diferente de repetições são indicados para o estudo de drogas terapêuticas. Nesses casos, recomenda-se fazer mais repetições no grupo controle do que nos grupos tratados com drogas.. - EXPERIMENTOS EM BLOCOS AO ACASO..1 - Sem repetições O pesquisador só deve optar por experimentos inteiramente ao acaso quando dispuser de número suficientemente grande de unidades experimentais similares. Como isso dificilmente acontece na prática, é preciso um delineamento que permita comparar, adequadamente, os tratamentos, mesmo que as unidades apresentem certa heterogeneidade. Os blocos são formados por unidades similares, o sorteio dos tratamentos é feito dentro de cada bloco. Se o número de unidades similares, que constitui o bloco, é sempre igual ao número de tratamentos, cada tratamento aparece, em cada bloco, uma única vez. Projetos de Experimentos - 13

23 Quando o conjunto U de unidades experimentais for muito heterogêneo (em termos da variável independente), o plano experimental completamente aleatorizado tornase pouco preciso, porque o erro experimental torna-se muito grande. Em algumas situações dispomos de informações, segundo as quais, antes da realização do experimento, é possível agruparmos as unidades experimentais em subconjuntos de t unidades experimentais, mais ou menos homogêneas, onde t é o número de tratamentos envolvidos no experimento. Estes subconjuntos são denominados blocos. Assim, a maior parte da heterogeneidade interna do conjunto U é expressa pela heterogeneidade entre os blocos. Os experimentos em blocos ao acaso surgiram na área agrícola. O campo era dividido em blocos, e os blocos eram divididos em parcelas. Então, o termo bloco designava, originalmente, uma faixa de terra de mesma fertilidade. Se a fertilidade do solo variava ao longo da encosta, isto é, se os solos da parte mais baixa eram os mais ricos, cada faixa que acompanhava uma curva de nível deveria formar um bloco. O bloco pode ser uma faixa de terra, uma ala da estufa, um período de tempo, uma ninhada, uma partida de produtos industriais, uma faixa de idade, tudo depende do que está em experimentação. O essencial é que os blocos reúnam unidades similares, que se distingam apenas pelo tratamento que recebem, e que haja variabilidade entre blocos. Não teria sentido organizar blocos se não houvesse variabilidade entre eles. Mas, quem decide se a variabilidade entre as unidades justifica, ou não, a formação de blocos, é o pesquisador, não o estatístico. Quanto maior for a heterogeneidade entre os blocos, maior é a eficiência deste plano experimental em relação ao completamente aleatorizado. Projetos de Experimentos - 14

24 Exemplo de experimento em blocos ao acaso A hipótese a ser testada é: Ho: As médias do desgaste para os 4 tipos de pneus, e para os 4 tipos de carros são iguais O modelo experimental é dado por: DESGASTE = CTE + TIPO + CARRO + ERRO.. - Com repetições A idéia de construir blocos, para agrupar unidades similares é, simples, mas pode gerar algumas dificuldades. Por exemplo, o número de unidades que caem dentro de um bloco pode ser maior que o número de tratamentos que o pesquisador pretende comparar. Sorteia-se, então, os tratamentos, dentro de cada bloco, tomando-se o cuidado de repetir os tratamentos o mesmo número de vezes. Esse é um experimento em blocos ao acaso com repetições. A análise estatística, dos experimentos em blocos ao acaso com repetições, é relativamente fácil, desde que o número de unidades dentro de cada bloco seja múltiplo do número de tratamentos que se pretende comparar. Projetos de Experimentos - 15

25 ..3 Um caso especial de experimentos em blocos ao acaso Para estudar o efeito de um tratamento, muitas vezes usa-se dois lados da mesma unidade. Por exemplo, para verificar se um tratamento previne cáries, o dentista pode tratar apenas um lado da arcada dentária, de cada paciente, e deixar o outro lado como controle. Também são feitos experimentos em que se mede a mesma unidade duas vezes: uma vez antes, outra vez depois de aplicar o tratamento. Por exemplo, para verificar se determinado exercício físico aumenta o volume do tórax, pode ser feito um experimento em que se toma medidas antes e depois de um período de exercícios regulares. Toda vez que a pessoa, participante do experimento recebe todos os tratamentos em comparação, essa pessoa é um bloco, não uma unidade. Este tipo de experimento é muito criticado. Por exemplo, a diferença que se mede na pessoa, antes e depois de uma série de exercícios físicos, só seria explicada pelos próprios exercícios? De qualquer forma, são feitos experimentos em que cada pessoa é um bloco. O pesquisador precisa, apenas, estar alerta para o fato, que é possível, de a pessoa se modificar por qualquer outro motivo, que não o tratamento. Então, se um médico estiver comparando diversas formas de proceder ao diagnóstico, é razoável usar cada paciente como bloco. Entretanto, se um psicólogo pretender comparar dois testes de inteligência, seria razoável submeter cada pessoa, que participa do experimento, aos dois testes? Um experimento desse tipo merece ser criticado. A pessoa tanto pode aprender a fazer o teste e, nesse caso, o desempenho no segundo teste seria melhor do que no primeiro, como pode se cansar e, nesse caso, o desempenho no segundo teste seria pior do que no primeiro. Projetos de Experimentos - 16

26 Embora os experimentos, em que se toma cada indivíduo como bloco, sejam bastante comuns, é preciso muito senso crítico para planejá-los. Muitas vezes, esses experimentos não têm qualquer validade..3 - EXPERIMENTOS EM QUADRADO LATINO Os experimentos em quadrado latino controlam duas causas de variação, isto é, têm dois tipos de blocos. É fácil entender como se faz o delineamento através de um exemplo prático. Para fazer o experimento, primeiro organiza-se blocos de animais de mesma raça e depois se organiza blocos de animais de mesmo peso. Então existem blocos em colunas e em linhas. Os tratamentos são sorteados, mas cada tratamento só deve aparecer uma vez em cada coluna e uma vez em cada linha. Os experimentos em quadrado latino não são comuns na prática, devido às restrições do delineamento. Note-se, por exemplo, que o número de unidades experimentais é igual ao quadrado do número de tratamentos, e que o número de linhas, de colunas e de tratamentos são iguais entre si. Exemplo de experimento em quadrado latino A hipótese a ser testada é: Projetos de Experimentos - 17

27 Ho: As médias do desgaste para os 4 tipos de pneus, para os 4 tipos de carros e para as 4 posições são iguais O modelo experimental é dado por: DESGASTE = CTE + TIPO + CARRO + POS + ERRO.4 - EXPERIMENTOS ROTACIONAIS Os experimentos rotacionais cross-over experiments também utilizam o princípio dos blocos. Nesse caso, porém, cada participante é um bloco. Um exemplo ajuda a entender a lógica do delineamento: Imagine-se que um dentista quer comparar dois métodos de escovação, A e B. Se cada participante do experimento for tomado como bloco, é preciso sortear a ordem dos métodos: AB ou BA, para cada participante. Mas o dentista acredita que, se a maioria dos participantes do experimento testar primeiro um dos métodos, por exemplo, o método A, o outro método ficaria favorecido na comparação. Isso porque, esse segundo método seria predominantemente usado por pessoas que já aprenderam a escovar os dentes. Como proceder para que metade dos participantes seja submetida a uma seqüência de tratamentos, por exemplo AB, enquanto a outra metade é submetida à seqüência BA? A resposta é simples: o dentista deve tomar o conjunto de participantes e sortear, metade para testar os métodos numa seqüência, por exemplo AB, outra metade, evidentemente, testará os métodos na seqüência BA. Além dos delineamentos descritos, existem outros, como os experimentos hierárquicos e os experimentos em parcelas subdivididas split-plot experiments. Projetos de Experimentos - 18

28 3 ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA A idéia, na análise de variância, é comparar a variância devida aos tratamentos com a variação devida ao acaso, ou resíduo. Para fazer uma análise de variância, é preciso proceder a uma série de cálculos. Mas, a aplicação das fórmulas, exige conhecimento da notação, conforme será mostrado posteriormente. Nas pesquisas científicas, o uso da experimentação está muito difundido, sendo que experiências são projetadas a partir de um fator, nos quais os sujeitos ou unidades experimentais são atribuídos, aleatoriamente, a grupos ou níveis deste único fator, chamados de modelo inteiramente aleatório ou modelo único. Os fatores propostos podem ser variáveis quantitativas, ou atributos (qualitativas), enquanto que a variável dependente é uma quantitativa e é observada dentro das classes dos fatores, como por exemplo, se quisermos verificar se os índices médios de produção, de três pontos de trabalho, diferem de modo significativo. O objetivo da análise de variância é analisar as diferenças entre as médias aritméticas dos grupos, a partir de uma análise na variação dos dados, entre os grupos. Na realidade, toma-se a variação total e subdivide-se-a em variação entre os grupos e a variação dentro do grupo, a qual considerase como um erro experimental, mas se a variação ocorrer entre os grupos ela é atribuída ao efeito do tratamento recebido. Projetos de Experimentos - 19

29 Trata-se de uma generalização do teste para a diferença entre duas médias (teste t de Student), para o caso de se comparar simultaneamente K médias, desde que K seja maior do que dois, supondo-se que essas médias foram calculadas sobre amostras aleatórias extraídas da população. No caso de se possuir um número maior de médias a serem comparadas, poder-se-ía pensar em utilizar o teste t, para comparar as médias duas a duas, mas isso, com certeza, traria problemas relacionados ao nível de significância global do teste. Os modelos de análise de variância podem ser classificados em modelos fixos e modelos aleatórios. Os modelos fixos são aqueles em que os k tratamentos representam a totalidade dos tratamentos que interessam, isto é, as subpopulações determinadas pelos níveis do fator são aquelas de interesse do pesquisador. Os modelos aleatórios são aqueles em que os k tratamentos representam uma amostra aleatória de tratamentos para que a indução seja conduzida de acordo com uma condição real. Se o experimento for repetido, amostras aleatórias das mesmas subpopulações serão extraídas e analisadas. Em ambos os casos, fixos ou aleatórios, o modelo de análise de variância conduz, em geral, a uma mesma montagem e segue os mesmos procedimentos para a resolução do problema. A diferença fundamental entre esses dois tipos de fatores é que, no caso de fatores fixos, as conclusões se referem apenas aos níveis do fator que estão presentes no experimento. No caso de fatores aleatórios, as conclusões devem ser estendidas para a população dos níveis UM EXEMPLO DE APLICAÇÃO A ANOVA é um método poderoso para identificar diferenças entre as médias populacionais, devido a várias causas atuando simultaneamente sobre os elementos da população. Projetos de Experimentos - 0

30 Embora o principal interesse esteja em comparar as médias aritméticas de grupos, ou níveis de um fator, para determinar se existe um efeito de tratamento entre grupos, o procedimento ANOVA deve seu nome ao fato de que, o mesmo, é alcançado por meio da análise das variâncias. Diga-se que se tem 6 métodos de ensino aplicados a 30 crianças em cada um e gostaríamos de fazer uma comparação entre os métodos. Fazendo-se a comparação a, por meio do teste Z, ou do teste t, o que não é indicado, exigiria a execução de 15 testes, pois por meio de combinação tem-se 6! C 6, = = 15 testes ou, então, optar!4! pela análise de variância, onde as hipóteses testadas seriam: H 0 : µ 1 = µ =... = µ i H 1 : Existe pelo menos uma das médias diferentes. Na tabela abaixo, apresentam-se os métodos de ensino A, B, C, D, E e F, a média, o desvio padrão, o número de crianças para cada método e o respectivo número de graus de liberdades: g.l. = δ = n 1. A B C D E F x s 173, 168,7 170,1 169, ,6 n g. l Uma análise de variância permite que vários grupos sejam comparados a um só tempo, utilizando-se variáveis contínuas. O teste é paramétrico (a variável de interesse deve ter distribuição normal) e os grupos devem ser independentes. Considerando-se uma variável de interesse com média µ e variância σ ter-se-á dois estimadores de σ : Projetos de Experimentos - 1

31 S E = dispersão entre os grupos, que em inglês é representado por S B (between). S D = dispersão dentro dos grupos, que em inglês é representado por S W (within). O teste é aplicado utilizando-se a estatística calculada que é o teste que compara variâncias. S F=, S E D A variância das médias amostrais é calculada por: ( x) x i S k x =, k 1 onde k representa o universo de grupos, logo os graus de liberdade, δ = k 1. Neste exemplo, como o N é igual para os 6 grupos, poder-seá proceder: Determinando S E : x i = = 456 ( ) x i = (456) x = = i K = 6 δ = 6-1. ( 456) S 6 x = = 15,6 logo pela distribuição amostral das 5 médias tem-se que: Projetos de Experimentos -

32 S Sx = ËS = Sx.N N S = 15,6 x 30 = 468. Mas S = SE, onde S = N.Sx. S E = N. ( x i) x i - k k -1 S E = 468, com k 1 = 5 graus de liberdade. Determinando S D S D = = S D : ( N1-1) S1 + ( N -1) S ( N k -1) S k ( N -1) + ( N -1) + ( N -1) ( N -1) 1 3 ( 30-1)( 173,) + ( 30-1)( 168,7) ( 30-1)( 167,6) S D = 170,, com174 graus de liberdade. Aplicando-se o teste, tem-se: k F calc. S = S E D = , =,75 δ δ 1 = 5 g.l.do numerador = 174g.l. do denominador Note-se que, nesse teste, denominador. S E sempre fica no numerador e S D no Projetos de Experimentos - 3

33 Utilizando-se a estatística tabelada F, a um nível de significância de 5% tem-se que F ( 5 ;174);5% =, 1, como F calc. > F tab.. A hipótese H 0 é rejeitada, isto é, existe pelo menos uma média diferente das demais EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE AO ACASO (com igual número de repetições) Em experimentos completamente casualizados, com um fator fixo, tem-se interesse em verificar a influência dos k níveis desse fator, em uma variável dependente Y, em estudo. A análise de variância baseia-se no fato de que, sendo verdadeira a hipótese H o, existem três maneira pelas quais a variância comum populacional, de todas as populações, pode ser estimada. Desta maneira é possível estimar a variância total, variância entre as amostras e a variância residual. As hipóteses básicas, à aplicação da ANOVA, são de que: - as K populações tenham a mesma variância σ - condição de homocedasticidade; - cada população tem distribuição normal; - cada amostra é independnete e ao acaso, retiradas de sua população de tratamento (colunas); A idéia da análise de variância (ANOVA), é comparar a variação devida aos tratamentos com a variação devido ao acaso ou resíduo. O seu modelo pode ser resumidamente descrito a seguir: X ij = µ + α i + ε ij, onde: Projetos de Experimentos - 4

34 µ representa o efeito devido à média da população a que pertence; α i é o efeito do i-ésimo tratamento; ε ij representa o erro residual, com distribuição normal de média zero e variância constante. A variável dependente, em geral, é pré-determinada pelo pesquisador, isto é, ele sabe qual a variável que ele quer medir. Portanto, as variáveis, necessariamente presentes em um experimento, são a variável dependente, medida nas unidades experimentais, e o conjunto de fatores (variáveis independentes), que determinam as condições sob as quais os valores da variável dependente são obtidos. Qualquer outra variável, que possa influir nos valores da variável dependente, deve ser mantida constante. Para se realizar uma análise de variância, é preciso proceder a uma série de cálculos. Mas a aplicação das fórmulas exige conhecimento da notação. Veja a Tabela 01. Na Tabela 3.1 é apresentado um experimento com k tratamentos, sendo cada tratamento com r repetições. A soma dos resultados, das r repetições de um mesmo tratamento, constitui o total desse tratamento. As médias dos tratamentos são indicadas por y, y, y,...,. O total geral é dado pela 1 3 y k soma dos totais de tratamentos. Projetos de Experimentos - 5

35 Tabela Experimento inteiramente ao acaso Tratamento Total k y 11 y 1 y 31 y k1 y 1 y y 3 y k y 13 y 3 y 33 y k y 1r y r y 3r... y kr Total T 1 T T 3... T k ΣT = Σy N o de r r r... r n = kr repetições Média y 1 y y 3... y k Para se fazer a análise de variância de um experimento ao acaso é preciso calcular as seguintes quantidades: a) os graus de liberdade: dos tratamentos : k - 1; do total : k.r - 1; do resíduo : k(r-1); b) O valor de C, conhecido como fator de correção: C= ( y) c) a soma de quadrados total: SQ = y C ; Total d) a soma de quadrados dos tratamentos: T SQ Trat. = C ; r e) a soma de quadrados dos resíduo: SQ = SQ SQ ; Res. N Total Trat. Projetos de Experimentos - 6

36 f) o quadrado médio dos tratamento: SQ Trat QM Trat = ; k 1 g) o quadrado médio de resíduo: SQ Res QM Res = ; k(r 1) h) o valor de F: QM Trat F=. QM Res Note-se que os quadrados médios são obtidos dividindo-se as somas de quadrados pelos respectivos graus de liberdade, obtendo-se, assim, as três variâncias, ou termos quadráticos médios. Uma vez que a variância é calculada dividindo-se a soma das diferenças aos quadrado por seus graus de liberdade apropriados, todos dos termos quadráticos de médias são variâncias. Todas as quantidades calculadas são apresentadas em uma tabela de análise de variância. Veja a Tabela 3.. Tabela 3. - Quadro de análise de variância de um experimento inteiramente ao acaso Causas ou Fontes de variação S.Q. G.L. Q.M. F calc. Tratamentos SQ Trat. k - 1 QM Trat. QM F calc. = QM Resíduo SQ Res. k(r - 1) QM Res. Res. Total SQ Tot. k.r - 1 Trat. Projetos de Experimentos - 7

37 Para se testar as hipóteses é utilizada a estatística F, de Snedecor, com (k 1) graus de liberdade no numerador e k.(r 1) graus de liberdade no denominador. Se F c > F α, δ1, δ, rejeita-se H 0 e conclui-se que existe, pelo menos, uma média que difere de outra. Se F calc > F tab, rejeitar H 0. Nesse caso, diz-se que existem diferenças estatisticamente significativas entre as médias. Se F calc < F tab, não rejeitar H 0. Quando isso ocorre, diz-se que não existem evidências estatísticas de que as médias sejam diferentes. Um procedimento de teste equivalente usa a probabilidade de significância (p-valor), a qual é calculada pela maioria dos programas estatísticos. O p-valor representa a probabilidade de ser obtida uma observação da distribuição F, com k 1 e k.(r 1) graus de liberdade maior ou igual ao valor observado pela F calc. Note-se que se o p-valor for menor que α, rejeita-se H 0. Se p-valor < α, rejeita-se H 0. Em outras palavras, o p-valor é a probabilidade, sob H 0, da ocorrência do valor particular observado para a estatística de teste, ou de valores mais extremos. A probabilidade de significância de um teste mede a força da evidência contra H 0, em uma escala numérica. Um p-valor pequeno indica uma forte justificativa (evidência) para a rejeição de H 0. Projetos de Experimentos - 8

38 Para se verificar quais médias diferem entre si, é necessário utilizar-se um teste de comparação de médias, que será estudado no capítulo seguinte. Se a hipótese nula fosse verdadeira, esperar-se-ía que a estatística F calc. fosse aproximadamente igual a 1, uma vez que ambos os termos quadráticos médios do numerador, e do denominador, estão estimando a real variância σ inerente aos dados. Por outro lado, se Ho é falsa (e existem diferenças reais nas médias), esperar-se-ía que a estatística F calc. fosse substancialmente maior que 1, uma vez que o numerador, estaria calculando o efeito de tratamento, ou as diferenças entre os grupos, além da variabilidade inerente aos dados, enquanto que o denominador estaria medindo somente a variabilidade inerente. O procedimento ANOVA gera um teste F, no qual a hipótese nula pode ser rejeitada, em um nível α de significância selecionado, somente se a estatística F calculada for grande o suficiente para exceder o valor crítico da cauda superior da distribuição F. Exemplo 3.1 Suponhamos que um pesquisador conduziu um experimento inteiramente ao acaso em um conjunto de dados que se pressupõe que sejam normalmente distribuídos e que possua homocedasticidade. O interesse do pesquisador é avaliar se existe diferença significativa entre os tratamentos T 1, T e T 3. Como se ajudaria esse pesquisador por meio da ANOVA, utilizando-se um nível de significância de 5%? T 1 T T Total Soma Média Projetos de Experimentos - 9

39 ( y) C= N ( 99) = 9 = = 1089 SQ Tot. = SQ Trat. + SQ Res. SQ Tot = y C SQ Tot = ( ) 1089 = = 31 SQ Trat. = Ti r - C SQ Trat = + + = ( ) 1089 = = 94 SQ Res. = SQ tot - SQ trat = = 18 H 0: µ A = µ B = µ C H 1: existe, pelo menos, uma média diferente ANOVA Fontes de Variação Entre as amostras (Tratamentos) S.Q. G.L. Q.M. F calc. SQ Trat k -1 SQ Trat. k 1 QM Dentro da amostra SQ SQ (Resíduo) Resi. N K Res QM N - K Total SQ Tot. N T R Projetos de Experimentos - 30

40 ANOVA Fontes de Variação S.Q. G.L. Q.M. F calc. Entre as amostras (Tratamentos) Dentro das amostras (Resíduo) = = = = = 3 Total = α = 5% F (k 1; N K) = F 5% (,6) = 5,6 Antes de se discutir a interpretação do valor de F calc., mostrar-seá como se obtém o correspondente valor crítico (tabelado) de F. Valores de F tab. estão associados ao número de graus de liberdade do numerador e ao número de graus de liberdade do denominador. Na análise de variância, de um experimento inteiramente ao acaso, o valor de F calc. está associado ao número de graus de liberdade de tratamentos (numerador) e ao número de graus de liberdade do resíduo (denominador). O valor crítico de F, ao nível de significância de 5%, associado a graus de liberdade no numerador e 6 graus no denominador, é 5,6. Lembre-se que o pesquisador queria comparar três tratamentos e os dados deram origem à análise de variância apresentada na tabela anterior. Como se interpreta o valor F calc. = 49, obtido na análise de variância? Comparando-se o F tab = 5,6 e o F calc. = 49, e sendo F calc >F tab, rejeita-se ao nível de 5%, a hipótese H o. Isto é, existe, pelo menos, uma das médias que é diferente. Exemplo 3. (Adaptado Guerra & Donaire, 1991) Um fornecedor alimenta a linha de produção de uma determinada indústria com peças em que a sua espessura é medida em milímetros e produzidas pelas máquinas M A, M B e M C. Verifique se existe diferença significativa na espessura média desses itens ao nível de 5%. Projetos de Experimentos - 31

41 M A M B M C 3, 4,9 3,0 n = 5 4,1 4,5,9 3,5 4,5 3,7 3,0 4,0 3,5 3,1 4, 4, Total Soma 16,9,1 17,3 56,3 Média 3,38 4,4 3,46 3,75 ( y) C= N = 56,3 15 = 3.169,69 15 = 11,31 SQ Tot = y C SQ Trat = (3, + 4,1 + 3,5 + 3,0 + 3,1 + 4,9 + 4,5 + 4,5 + 4,0 +...) 11,31 = 17,05 11,31 = 5,74 T = - C r 16,9,1 17,3 = , ,61 488,41 99, = , = (57,1 + 97, ,858) 11,31 = 14,66 11,31 = 3,35 SQ Res. = SQ Tot SQ Trat = 5,74 3,35 =,388 ANOVA Fontes de Variação S.Q. G.L. Q.M. F calc. Tratamentos SQ Trat. k 1 Resíduo SQ Res. N K SQ Trat k -1 SQ Res N - K QM QM Trat Res Total SQ Tot.. N Projetos de Experimentos - 3

42 ANOVA Fontes de Variação S.Q. G.L. Q.M. F calc. 3,35 Tratamentos 3, = = 1,676 1,676 = 8,4,388 0,199 Resíduo, = 1 = 0,199 1 Total 5, = α = 5% F α; (k 1, N K) = F 5% (,1) = 3,89 H 0: µ A = µ B = µ C H 1: existe pelo menos uma média diferente Como F calc > F tab, rejeita-se H 0, isto é, existe pelo menos uma das médias que é diferente do nível de 5%. Exemplo 3.3 (Adaptado Christmann, 1978 & Martins & Fonseca, 1979) A hiperfértil desenvolveu 3 tipos de fertilizantes específicos para a cultura do milho. Para testá-los, aplicou-os, às mesmas áreas, em pequenos sítios do interior paulista, obtendo-se a seguinte produção: Produção em sacas de 60kg Fertilizantes Região 1 3 Total Bragança Vargem Itu Total Médias ,66 Com esses dados, pode-se dizer que há significativas diferenças entre os fertilizantes utilizados? Teste essa hipótese ao nível de 5%. H 0: µ 1 = µ = µ 3 H 1: existe pelo menos uma das médias que é diferente. ( y) c= N 76 = 9 = 8486 Projetos de Experimentos - 33

43 SQ Tot. = y C = ( ) 8464 = = 8 SQ Trat. = T - C r = = ( ) 8464 = = 98 SQ Res = SQ Totais SQ Trat ANOVA = 8 98 = 130 Fontes de Variação S.Q. G.L. Q.M. F calc. SQ Tratamento SQ Trat. k 1 Trat k -1 QM SQ Resíduo SQ Res. N K Res QM N - K Total SQ Tot. N ANOVA Trat Res Fontes de Variação S.Q. G.L. Q.M. F calc. 98 Tratamento 98 (3 1) = = =, ,66 Resíduo 130 (9 3) = 6 = 1,66 6 Total 8 (9 1) = F 5%; (,6) = 5,14 Conclui-se, ao nível de 5% de significância, que as médias são iguais. Isto é, aceita-se a hipótese H 0, observando-se que F calc < F tab. Projetos de Experimentos - 34

44 Exercício 3.4 A tabela a seguir apresenta os dados de produção de milho, em toneladas por hectare, de três variedades. Faça a análise de variância, para verificar se a produção média, das variedades de milho, é igual ao nível de 5%. Exercício 3.5 Variedades A B C 4,00 4,00 5,5 4,48 4,7 4,7 4,16 5,8 5,44 4,40 4,7 5,76 Três grupos de ratos foram treinados para realizarem exercício físico anaeróbio através de uma prancha inclinada com um trilho, sobre o qual corria um carrinho, com pesos diferentes, que o animal empurrava. Após vários meses de treinamento, um dos grupos foi submetido à exaustão de motores a álcool e a gasolina, pelo mesmo tempo, e um terceiro grupo foi mantido como controle, sem as atmosferas poluídas. A tabela abaixo mostra o resultado do desempenho físico dos três grupos. Rato Controle Rato Álcool Rato Gasolina 1,4 1 A,3 1 G,5 3,1 A,5 G 3,1 3 1,9 3 A 1,8 3 G 1,9 4 3,0 4 A,4 4 G 3,0 5 3,0 5 A,6 5 G 3,0 6, 6 A,9 6 G, 7, 7 A,0 7 G, 8,3 8 A,7 8 G, 9,5 9 A,8 9 G,5 10,5 10 A, 10 G,5 11 1,9 11 A,1 11 G,0 1,8 1 A,5 1 G,9 Sabendo-se que esta variável (desempenho físico) distribui-se normalmente, determine se há diferença significante entre os grupos. Utilizar α=5%. Projetos de Experimentos - 35

45 3.3 - EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE AO ACASO (com números diferentes de repetições) A análise estatística de um experimento inteiramente ao acaso, com número diferente de repetições, não apresenta maior dificuldade. Todos os cálculos são feitos da maneira já apresentada antes, com exceção da soma de quadrados de tratamentos. A soma de quadrados de tratamentos é dada pela fórmula: T SQTr= r 1 T + r Exemplo 3.6 Tk r 1 k C Testes psicológicos foram aplicados para diferentes faixas etárias com o objetivo de determinar o grau de satisfação profissional de 35 pacientes. Os resultados são os seguintes: Sabendo-se que a distribuição desta variável é normal, determine se houve diferença significativa entre as diversas faixas etárias, usando o nível de significância de 1%. ( y) ( 568) C= N = SQ Tot = Σy C SQ Trat 35 = 917,89 = ( ) 917,89 = ,89 = 96,171 = Ti r - C Projetos de Experimentos - 36

46 51 = , = , = (50, , , ,5 + 79) 917,89 = 9777,09 917,89 = 559,61 SQ Res = SQ Tot. SQ Trat. = 96, ,61 = 366,91 Fontes de Variação S.Q. G.L. Q.M. F calc. Tratamento 559,6 6 1 = 5 111,85 Resíduo 366, = 9 1,65 111,85 = 8,84 1,65 Total 96, = H 0: µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 = µ 5 = µ 6 H 1: Existe pelo menos uma média diferente. α = 1% F (5,9); 1% = 3,73 Como F calc > F tab, rejeita-se a hipótese H 0 ao nível de 1%. Isto é, há diferença significativa em relação a satisfação profissional dos pacientes, segundo o teste psicológico aplicado. Projetos de Experimentos - 37

47 Exemplo 3.7 (Adaptado Guerra & Donaire, 1991) Admitindo-se que as notas em Estatística, para cada turma, distribuem-se normalmente com mesma variância, quer-se saber se as médias obtidas nas provas de aproveitamento em cada uma das turmas são iguais, com α = 5%. Para tal, sorteou-se, ao acaso, alunos em cada uma das turmas e verificou-se as suas notas, obtendo-se os seguintes resultados: ADM. Diurno ADM. Noturno ECO. Noturno ECO. Diurno,5 1,0 9,5 3,5 6,5 0,5,0 5,0 3,5 0,5 1,0,0 4,0 8,0 5,0 7,0 5,5 3,0,0 5,0 5,5 0,5 4,5 4,0 4,5 3,0 9,0 4,5 4,0 7,0 5,5,0 10,0 6,5 3,0 8,5 5,5 5,5 4,5 4,0, 0,5 7,0 1,5 4,0 6,5 3,5,5 3,5 8,5 9,0 9,5 8,0 3,0 1,0 8,0 5,5 6,5 8,5 1,5 ( y) C= N 79 = 60 n Σx 61, ,5 78 x 4,73 3,9 5,0 4,58 Σx 338, , = = 197,35 60 SQ Tot = Σy C = (,5 + 6,5 + 3, ,5 ) 197,35 Projetos de Experimentos - 38

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