Programa de Verão em Matemática 2011 na UFV

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1 Programa Verão em Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb 2 jan 3 4 Início workshop workshop workshop workshop workshop fev fim 8 - Curso de nivelamento em álgebra linear Workshop Verão /01 a 28/01 Horário 24 (Seg) 25 (Ter) 26 (Qua) 27 (Qui) 28 (Sex) 8:00 Entrega de Material 9:00 Conferência 1 Minicurso 1 Minicurso 1 Minicurso 1 9:50 Café/Pôster Café/Pôster Café Café 10:20 Palestra 1 Palestra 4 10:50 Palestra 2 Palestra 5 11:20 Palestra 3 Palestra 6 Almoço 14:00 Conferência 2 15:00 Conferência 3 Minicurso 4 Minicurso 4 Palestra 7 Minicurso 3 Minicurso 3 Minicurso 3 15:50 Café/Pôster Café/Pôster Café Café 16:20 Pôster Minicurso 2 Minicurso 2 Minicurso 2 Noite Confraternização Pôster Pôsteres de extensão, ensino, Iniciação Científica e da Pós-Graduação Confraternização É necessário adesão. Local a ser divulgado. Entrega de certificado Minicurso 4

2 Atividades Curso de Nivelamento Ministrante Instituição 1 Laércio José dos Santos UFSCar Álgebra Linear () Minicurso Ministrante Instituição Título 1 Paulo Régis Caron Ruffino UNICAMP Uma introdução aos sistemas estocásticos 2 Rodrigo Bissacot Proença UFSC Introdução ao método probabilístico: aplicações e novas perspectivas 3 Renato Vidal da Silva Martins UFMG Introdução às curvas Algébricas Planas 4 Rogério Picanço UFV Representações de Quivers Conferência Ministrante Instituição Título 1 João Frederico da Costa Impacto Ambiental: área em que é necessária a UNICAMP Azevedo Meyer atuação de matemáticos - URGENTE 2 Viktor Bekkert UFMG Problemas em teoria de representações 3 Márcio Gomes Soares UFMG Grupos clássicos e geometria Palestra Ministrante Instituição Título 1 Sônia Maria Fernandes UFV φ - dimensão: Uma nova medida homológica 2 Aldo Portela Almada Universidade de Conjuntos minimais para difeomorfismos do la Republica do círculo Uruguai 3 Ezequiel Rodrigues Desigualdade de Sobolev de segunda ordem e UFMG Barbosa variedades de curvatura de Ricc não-negativa. 4 Ricardo Miranda Martins UNICAMP Sistemas Dinâmicos Reversíveis-Equivariantes 5 Milton de Lacerda Oliveira UFPB Controle de proliferação de insetos 6 Abílio Lemos Cardoso Problemas de soma zero sobre grupos UFV Júnior abelianos finitos 7 Bianca Morelli Rodolfo Controlabilidade nula para um modelo de UNICAMP Calsavara solidificação

3 Descrição das Atividades Ministrante: Laércio José dos Santos Curso de Longa duração - Álgebra Linear (48 horas) Programa: Espaços Vetoriais. Bases e dimensão. Transformações Lineares. Matriz de uma transformação linear. A matriz de mudança de base. Operadores lineares. Autovalores e autovetores. O polinômio característico. O polinômio minimal. Teorema de Caley-Hamilton. Operadores diagonalizáveis. Forma triangular. Decomposição primária. Forma de Jordan. Produto interno. Operadores positivos. Operadores unitários. Operadores normais. Bibliografia: [1] Hoffman & Kunze, R.: Álgebra Linear. Editora Polígono, São Paulo. [2] Lang, S.: Álgebra Linear. Ed. Edgard Blücher, Rio de Janeiro, [3] Lima, E. L.: Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, [4] Coelho, F. U. e Lourenço, M. L., Um Curso de Álgebra Linear, Edusp. 1 Uma introdução aos sistemas estocásticos Ministrante: Paulo Régis C. Ruffino MINICURSOS (Carga horária: 6 horas) Resumo: A intenção deste curso é divulgar a teoria de sistemas dinâmicos estocásticos, no sentido de ruídos do tipo semimartingales. Mostrar suas motivações, exemplos clássicos, seu potencial, aplicações e na medida do possível, instigar e provocar os alunos de graduação com problemas em aberto que tem enunciados de fácil compreensão. Depois de construir os objetos básicos da teoria, apresentamos com mais detalhes (sem perder o caráter elementar dos argumentos e da motivação), uma série de propriedades, resultados e exemplos que vimos apresentando em palestras de divulgação que fazemos já há vários anos. Programa: Espaço de probabilidade finito. Conceito de variável aleatória, aplicações e exemplos de sistemas contínuos com aleatoriedade finita. Esperança e esperança condicional (discretos). Teorema da medida induzida e distribuições de variáveis aleatórias. Teorema de Radon-Nikodym. Distribuição gaussiana. Processos de Markov em espaços finitos (discretos). Extensão para espaços contínuos. Movimento browniano e martingales na reta e no plano. Fórmula de Itô e aplicações. Solução do problema clássico de Dirichlet no plano atirando uma sequência de moedas. Equações diferenciais estocásticas. Pré-requisitos: Cálculo e equações diferenciais ordinárias de graduação. Referência principal: [1] Ruffino, P. R. C. Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos. Publicações Matemáticas, 3ª. Edição. IMPA, Rio de Janeiro, 2010.

4 MINICURSOS (Carga horária: 6 horas) 2 Introdução ao método probabilistico: aplicações e novas perspectivas Ministrante: Rodrigo Bissacot Proença Resumo: No século passado, Paul Erdös popularizou o método probabilístico resolvendo diversos problemas em combinatória e teoria dos grafos por meio desta técnica que na essência diz que: na dificuldade de exibir determinado objeto, mostre que existe probabilidade positiva deste ocorrer. Neste mini-curso, faremos uma introdução elementar à abordagem probabilística que usa o celebrado Lema Local de Lovasz e sua surpreendente conexão com Mecânica Estatística e a teoria dos gases de rede, conexão esta elucidada por Scott e Sokal em No final, mostraremos uma nova versão do Lema Local da Lovasz. Programa: Espaços de probabilidade (somente caso discreto), exemplos ementares. Grafos. Propriedades básicas e exemplos. Método Probabilístico, ideias e exemplos elementares. Um Teorema de Paul Erdos e Laslo Lovász - Lema Local de Lovász. Um pouco de Mecânica Estatística, um exemplo bem simples, o gás e rede. A ligação entre o gás de Rede e o Lema Local de Lovász. Uma nova versão do Lema de Lovász. Pré-requisitos: Noções de probabilidade. Principais referências bibliográficas: [1] Alon, Noga; Spencer, Joel H. The probabilistica method. New York: Wiley-Interscience, (2003). [2] Scott, A.; Sokal, A. The repulsive lattice gas; the independent-set polynomial, and the Lovasz local lemma. J. Stat. Phys. 118, n 5-6, , (2005). [3] Shearer, J., B. On a problem of Spencer. Combinactorica 5, , (1985). [4] Bissacot, R.; Fernandez, R.; Procacci, A. An improvement of the Lovasz Local Lemma via cluster expansion. Pré-publicação disponivel em: 3 Introdução a curvas algébricas planas Ministrante: Renato Vidal da Silva Martins Resumo: Faremos revisão das curvas planas que se conhecem da Geometria elementar (tais como retas, cônicas, rosáceas etc.), estudaremos propriedades de curvas definidas por equações polinomiais. O cálculo das interseções de duas curvas, incluindo os pontos no infinito. Programa: Exemplos de curvas algébricas planas, O teorema dos zeros, multiplicidade de interseção, o plano projetivo, curvas projetivas, teorema de Bezout. Pré-requisitos: Anéis, ideais e homomorfismos, Polinômios, Domínio de fatoração única, extensões de corpos. Referência principal: [1] Vainsencher, Introdução às Curvas Algébricas Planas, Publicação IMPA, 1996.

5 1 Representações de Quivers Ministrante: Rogério Carvalho Picanço MINICURSOS (Carga horária: 6 horas) Resumo: O estudo de representações de quiver foi iniciado em meados dos anos 60 do século passado por Gelfand e Ponomarev e desenvolvido nos anos seguintes. Sua técnica consiste em associar a um grafo orientado objetos e morfismos de uma determinada categoria (aditiva). Como conseqüência, problemas na categoria podem ser abordados por métodos combinatórios sobre o quiver. Por exemplo, representações sobre a categoria de espaços vetoriais permite resolver problemas de classificações da álgebra linear. A teoria de representações de quiver possui conexões com outras áreas tais como álgebras de Lie, grupos quânticos, módulos sobre álgebras associativas e, mais recentemente, álgebras cluster. Neste minicurso apresentaremos os conceitos básicos da teoria de representações de quiver, algumas técnicas de classificações e aplicações na álgebra linear e na teoria de módulos sobre álgebras associativas de dimensão finita. Programa: Quiver: Definição e exemplos. Representação de um quiver sobre espaços vetoriais. Morfismos. Somas diretas e representações indecomponíveis. Problemas de classificação. Morfismos irredutíveis. Representações injetivas e projetivas. Quiver de Auslander-Reiten. Diagramas de Dynkin e o Teorema de Gabriel. Conexão com módulos sobre álgebras associativas de dimensão finita. Pré-requisitos: Conceitos básicos de álgebra linear. Principais referências bibliográficas: [1] Assem, I.; Simson, D.; Skowronski, A. (2006). Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. London Math. Soc. Student Texts 65, Cambridge University Press, Cambridge. [2] Derksen, H.; Weyman, J. (2005) Quiver Representations. Notices of the AMS 52 (2) Conferências (50 minutos) 1 Impacto Ambiental: uma área em que é necessária a atuação de matemáticos - URGENTE. Ministrante: João Frederico da Costa Azevedo Meyer Resumo: Na Modelagem Matemática de fenômenos ambientais, uma abordagem eficiente ao estudo de situações-problema é a de começar com uma formulação matemática mais simples que permita a um tempo testar hipóteses assumidas e ir criando uma intuição sobre os resultados sucessivamente obtidos. Assim, iremos estudar a poluição de corpos aquáticos começando com equações de diferenças de primeira ordem e construir a partir dessa situação inicial um caminho até o uso de sistemas não lineares de equações diferenciais parciais.

6 2 Grupos clássicos e geometria Ministrante: Márcio Gomes Soares Conferências (50 minutos) Resumo: Estudaremos as Geometrias euclidiana, elítica e hiperbólica através de seus grupos de transformações. 3 Problemas em teoria de representações Ministrante: Viktor Bekkert Resumo: Nessa palestra apresentaremos alguns resultados recentes sobre categorias derivadas de álgebras de dimensão finita. Palestras (25 minutos) 1. φ -dimensão: Uma nova medida homológica Ministrante: Sônia Maria Fernandes Resumo: Nessa palestra demonstraremos que a φ -dimensão finita de uma $R$-Álgebra de Artin é invariante por equivalência derivada. 2. Conjuntos minimais para difeomorfismos do círculo Ministrante: Aldo Portela Almada Resumo: Nessa apresentação vamos falar sobre a dinâmica dos difeomorfismos do circulo de classe 1 C. Mais precisamente estudaremos os conjuntos minimais para difeomorfismos do círculo. Mostraremos que no caso de não ter pontos periódicos, seu conjunto minimal é infinito e é um conjunto de Cantor ou todo o círculo.

7 3. Sistemas Dinâmicos Reversíveis-Equivariantes Ministrante: Ricardo Miranda Martins Palestras (25 minutos) resumo: Nesta palestra discutiremos aspectos algébricos e geométricos de equações diferenciais reversíveisequivariantes como, por exemplo, formas normais e existência de conjuntos minimais invariantes. Iremos considerar tanto o caso suave como o descontínuo. Como aplicação, abordaremos o problema da transição entre um sistema reversível e um sistema equivariante. 4. Desigualdade de Sobolev de sunda ordem e variedades de curvatura de Ricc não-negativa. Ministrante: Ezequiel Rodrigues Barbosa Resumo: Daremos uma condição necessária para a validade da desigualdade de Sobolev de segunda ordem em variedade Riemannianas não-compactas com curvatura de Ricc não-negativas. 5. Controle de proliferação de insetos Ministrante: Milton de Lacerda Oliveira Resumo: Nesta palestra pretendes-se apresentar o estudo numérico do problema de controle ótimo, que corresponde a tentar controlar em certa região a população de insetos (ou mosquitos) de modo a prevenir a saúde publica daquela região. O problema consiste em determinar uma curva dentro dessa região, onde devese caminhar espalhando inseticidas, de modo que a população de insetos seja dizimada quase que em sua totalidade, com o menor custo possível. 6. Problemas de soma zero sobre grupos abelianos finitos Ministrante: Abílio Lemos Cardoso Júnior Resumo: Estamos interessados em apresentar resultados envolvendo três invariantes associados a um grupo abeliano finito. A saber, η(g), g(g) e s(g). Serão apresentadas relações entre estes invariantes além de limitantes para os mesmos quando G for um grupo específico. 7. Controlabilidade nula para um modelo de solidificação Ministrante: Bianca Morelli Rodolfo Calsavara Resumo: Neste trabalho é estudado um problema de controlabilidade nula para o modelo de solidificação envolvendo uma função campo de fase.