UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA CADERNO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA SERIE B: TRABALHO DE APOIO DIDÁTICO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA CADERNO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA SERIE B: TRABALHO DE APOIO DIDÁTICO ANÁLISE ESTATÍSTICA JOÃO RIBOLDI SERIE B, N 56, PORTO ALEGRE, MAIO DE 2001

2 ÍNDICE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 1. CONSIDERAÇÕES GERAIS CARACTERIZAÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE F DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALISADO OU DELINEAMENTO CASUALISADO CARACTERIZAÇÃO ANÁLISE DE VARIÂNCIA MEDIDAS DE PRECISÃO DE EXPERIMENTOS EXEMPLO EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE CASUALIZADOS COM DIFERENTE NÚMERO DE REPETIÇÕES POR TRATAMENTO TÉCNICAS DE COMPLEMENTAÇÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA CONTRASTES DE COMPARAÇÕES DE MÉDIAS EXEMPLO ALTERNATIVAS PARA COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DE MÉDIAS DE TRATAMENTOS TESTE BAYESIANO OU TESTE DE WALLER-DUNCAN OU TESTE DA RAZÃO BAYESIANA K CONTRASTES ORTOGONAIS MODELO LINEAR PARA A ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE CASUALIZADOS OU PARA O DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALIZADO DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS (DBC) CARACTERIZAÇÃO ANÁLISE DE VARIÂNCIA EXEMPLO 47 EXPERIMENTOS FATORIAIS 1. CARACTERIZAÇÃO DE EXPERIMENTOS FATORIAIS INTRODUÇÃO NOTAÇÃO E DIFINIÇÕES EFEITO SIMPLES, EFEITO PRINCIPAL E INTERAÇÃO EXPERIMENTOS FATORIAIS COM 2 FATORES CRUZADOS FIXOS VERIFICAÇÃO DA ADEQUABILIDADE DO MODELO DE ANÁLISE DE 76 VARIÂNCIA PARA EXPERIMENTOS FATORIAIS 4. EXPERIMENTOS FATORIAIS COM 3 FATORES CRUZADOS FIXOS 82

3 5. QUADRADOS MÉDIOS ESPERADOS NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE 91 EXPERIMENTOS FATORIAIS CRUZADOS 5.1. EXPERIMENTOS FATORIAIS COM 2 FATORES EXPERIMENTOS FATORIAIS COM 3 FATORES 92 ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO 1. INTRODUÇÃO ANÁLISE DE REGRESSÃO REGRESSÃO LINEAR SIMPLES AJUSTE DE UMA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES MÉTODOS DOS QUADRADOS MÍNIMOS ESTIMATIVA DE y POR INTERVALO APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE REGRESSÃO MODELO MATEMÁTICO PARA A REGRESSÃO LINEAR SIMPLES ANÁLISE DE VARIÂNCIA PARA A REGRESSÃO ANÁLISE DE REGRESSAO PARA COMPARAÇÃO DE MÉDIAS DE TRATAMENTOS ANÁLISE DE CORRELAÇÃO REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA INTRODUÇÃO MODELO MATEMÁTICO E PRESSUPOSIÇÕES RELAÇÃO LINEAR ENTRE 3 VARIÁVEIS EXEMPLO REGRESSÃO MÚLTIPLA CORRELAÇÃO PARCIAL E MÚLTIPLA CORRELAÇÃO PARCIAL COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO MÚLTIPLA 143 BIBLIOGRAFIA 145

4 1. CONSIDERAÇÕES GERAIS. ANÁLISE DE VARIÂNCIA 1.1. Caracterização: Técnica utilizada para verificar diferenças entre dois ou entre mais do que dois tratamentos. É uma técnica estatística utilizada para decompor a variabilidade total (variância total ou soma de quadrados de desvios totais) nas diversas causas de variação. Variação Total 1. Variação relacionada com os tratamentos. 2. Variação relacionada com causas controladas pelo delineamento experimental. 3. Variação relacionada com o erro experimental. Delineamento Experimental: forma de atribuição dos tratamentos às unidades experimentais. Erro Experimental: variação das unidades experimentais submetidas ao mesmo tratamento. Causas do Erro Experimental: 1. Variabilidade intrínseca das unidades experimentais (UE). 2. Falhas de técnica experimental. Análise de variância para o delineamento completamente casualizado: Análise de variância em classificação simples: 1 critério de classificação das UE: Tratamentos; Causa de variação do tipo 1e 3. Análise de variância para o delineamento blocos casualizados: Análise de variância em classificação dupla: 2 critérios de classificação das UE: Tratamentos e Blocos; Causa de variação do tipo 1, 2 e 3.

5 Experimento Tratamento Unidade Experimental (UE) Efeito y Variável Resposta Variedades Rações Parcela de campo Animal Usa-se os Princípios Básicos da Experimentação Rendimento Ganho de Peso Obrigatórios (1) Repetições: (2) Casualização: mais de 1 UE/ tratamento. Para poder verificar diferenças entre tratamentos atribuição por sorteio dos tratamentos às UE. Estimativa válida do efeito de tratamentos. Estimativa válida do erro experimental. Comparação válida dos tratamentos. Opcional (3) Bloqueamento: formação de blocos homogêneos de UE antes da aplicação dos tratamentos. Para controlar a variabilidade intrínseca dos UE maior precisão. Delineamento Completamente Casualizados (DCC): Usa-se repetições, casualização; Escolha casual das UE a serem submetidas aos diferentes tratamentos (extensão de grupos independentes). Delineamento Blocos Casualizados (DBC): Usa-se repetições, casualização e bloqueamento. Os tratamentos são aplicados de forma casual a blocos homogêneos de UE ( extensão de comparação emparelhada).

6 I. 2 tratamentos: A e B 4 repetições / tratamento 8 UE Grupos independentes Extensão II. 3 tratamentos: A, B, C 4 repetições / tratamento 12 UE Delineamento Complementa Casualizado (DCC) II. Bloco 1 (par 1) Bloco 2 (par 2) Bloco 3 (Par 3) Bloco 4 (par 4) I. Bloco 1 (par 1) Bloco 2 (par 2) Bloco 3 (Par 3) Bloco 4 (par 4) Comparações Empalhadas Delineamento Blocos Casualizados (DBC) 1.2. Distribuição de F: População 1 População 2 Retira-se todas as amostras possíveis de tamanho e calcula-se a variância para cada amostra. Retira-se todas as amostras possíveis de tamanho e para cada amostra calcula-se.

7 Fazendo-se todas as razões produz-se uma distribuição de F com e GL. R. A. 1- R. R. Tabela 3 GL do Denominador ,10 0,05 0,025 0,01 0,005 GL do numerador ,05 0, , ,64 R A 0,95 0,05 R R R A 0,99 0,01 R R 3,33 5,64

8 2. DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALIZADO OU DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO 2.1. CARACTERIZAÇÃO: CONJUNTO DAS UE CONJUNTO DOS TRATAMENTOS REPETIÇÃO CASUALIZAÇÃO Atribuição por sorteio dos tratamentos a serem aplicados para as diferentes UE. TRATAMENTOS A B C Escolha casual das UE (nenhuma restrição quando a casualização) Extensão de grupos independentes USO: Uniformidade das UE, pois quando menos uniformes mais variáveis a informação menos precisos os resultados. Execução uniforme sobre todas UE (instalação, condução e coleta de informações). CARACTERÍSTICA: GL erro experimental (resíduo) maior possível alta sensibilidade dos testes.

9 2.2. ANÁLISE DE VARIÂNCIA: Tratamento Unidade Experimental Efeito Índice de tratamentos Índice de repetição TRATAMENTOS 1 2 REPETIÇÕES r TOTAIS DE TRATAMENTOS MÉDIAS DE TRATAMENTOS t TOTAL GERAL MÉDIA GERAL VARIAÇÃO TOTAL (SQTotal) Variação entre tratamentos ou devida a tratamentos (SQTratamentos ou SQT) Variação dentro dos tratamentos ou não devida aos tratamentos ou devida ao erro experimental (SQErro Experimental ou SQE)

10 TABELA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA CAUSA DE VARIAÇÃO GL SQ QM F TRATAMENTOS (entre tratamentos) ERRO EXPERIMENTAL (dentro dos tratamentos) TOTAL GL: SQT QMT QMT/QME SQE QME SQTotal SQ: CORREÇÃO (C) OU FATOR DE CORREÇÃO (FC)

11 QM: F: TESTE DE HIPÓTESES: Decisão: pelo menos 2 médias de tratamento diferem. R A 1 - R R Rejeita-se se F calculado 2.3. MEDIDAS DE PRECISÃO DE EXPERIMENTOS: (1) Coeficiente de variação (CV): (2) Erro padrão da média de 1 tratamento:

12 (3) Erro padrão da diferença da entre 2 médias: 2.4. EXEMPLO: Os dados abaixo referem-se a rendimento de cana em t/ha de um experimento inteiramente casualizado de competição de variedades de cana-de-açúcar. TRATAMENTOS (VARIEDADES) A B C D TOTAL MÉDIA (FC) SQ/T

13 ANÁLISE DE VARIÂNCIA: CAUSA DE VARIAÇÃO GL SQ QM F VARIEDADES ,5 5,41** (entre variedades) ERRO EXPERIMENTAL ,9 (dentro de variedades) TOTAL HIPÓTESES: **SIGNIFICATIVO A 1% pelo menos 2 médias de variedades diferem DECISÃO: R A 0,99 0,01 R R A diferença entre médias de tratamentos é significativa (P < 0.01) Rejeita-se CONCLUSÃO: As variedades de cana-de-açúcar investigadas se diferenciam em termos de rendimento de cana.

14 2.5. EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE CASUALIZADOS COM DIFERENTE NÚMERO DE REPETIÇÕES POR TRATAMENTO: TRATAMENTOS 1 2 REPETIÇÕES TOTAL t CAUSAS DE VARIAÇÃO GL SQ QM F TRATAMENTOS SQT QMT QMT/QME ERRO EXPERIMENTAL SQE QME TOTAL SQTotal ; Erro Padrão da Diferença entre 2 Médias de Tratamentos: Erro Padrão da Média de um Tratamento: 2.6. TÉCNICAS DE COMPLEMENTAÇÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA: 1- Ajustamento de funções de resposta através de técnicas de análise de regressão: fatores qualitativos. 2- Contrastes ortogonais: fatores quantitativos e qualitativos que permitem estruturação. 3- Comparações múltiplas de médias: fatores quantitativos, fatores qualitativos que permitem ou que não permitem estruturação.

15 2.7. CONTRASTES OU COMPARAÇÕES DE MÉDIAS: Uma função linear de médias de tratamentos do tipo EXEMPLOS: (1) (2) (3) São contrastes (4) Não é contrate não são ortogonais: são ortogonais: não são ortogonais: Para diferente nº de repetições a condição de ortogonalidade é dada por:

16 2.8. EXEMPLO DMS TUKEY SCHEFFÉ BONFERRONI DUNNETT D Padrão B e D: C e D: A e D: SNK DUNCAN p ,95 3,58 3,96 12,1 14,7 16,2 DMS p ,95 3,10 3,18 12,1 12,7 13,0 DMS

17 2.9. ALTERNATIVAS PARA COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DE MÉDIAS DE TRATAMENTOS Análise de Médias de Tratamentos: (Técnicas de Detalhamento na Análise de Variância) 1- Comparações de médias tomadas 2 a 2 (comparações múltiplas) Para tratamentos qualitativos não estruturais DMS, Duncan, Tukey. 2- Contrates planejados (ortogonais) entre médias ou grupos de médias. Para tratamentos qualitativos que permitam estruturação. 3- Ajustamento de funções de resposta através de técnicas de regressão. Tratamentos são níveis quantitativos. Curva de resposta: 1 variável independente. Superfície de resposta: 2 ou mais variáveis independentes. Hipótese geral sobre efeito de tratamentos na análise de variância. COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS: Taxas de erro tipo I: Há diferentes formas de avaliar o erro tipo I, criando dificuldades para avaliar o mérito relativo dos procedimentos de comparações múltiplas. (i) Taxa de erro por comparação ( comparisonwise ): (ii) Usada no teste DMS. Taxa de erro por experimento ( experimentwise ): E (ii.1) Usada no teste Tukey, Scheffé, Dunnett. (ii.2) Usado no teste Bonferroni.

18 RELAÇÃO ENTRE e E: Nº de tratamentos no experimento E MÉTODOS DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS: Testes de amplitude simples: (1) DMS: (Diferença Mínima Significativa) (2) TUKEY: (3) SCHEFFÉ: (4) BONFERRONI:

19 (5) DUNNETT: Comparações tratamentos vs testemunha Teste de amplitude múltipla: (6) S-N-K OU N-K: (7) DUNCAN: nº de médias incluídas da comparação Taxa de erro: Valores de q* p (p, GLE) correspondem aos valores de amplitude Studentizada [q (p, GLE)], considerando. Casos particulares do teste de Duncan: DMS: p = 2 TUKEY: p = t S-N-K: p = p (8) AMPLITUDE MÚLTIPLA DE TUKEY: USO DOS TESTES 1) Todas as comparações de médias 2 a 2: TUKEY: maior rigor (maior responsabilidade) S-N-K DUNCAN: menor rigor (menor responsabilidade)

20 2) Contrastes não-ortogonais que envolvam mais do que duas médias (pelo menos um): SCHEFFÉ BONFERRONI: poucos contrastes 3) Comparações tratamentos vs testemunha: DUNNETT BONFERRONI: poucas comparações DMS RESUMO DO EXEMPLO B C A D VARIE- DADES VALOR P/ O TESTE MÉDIAS t/ha DMS TUKEY SCHEFFÉ BONFERRONI S-N-K DUNCAN DUNNET T a ab bc c a ab ab b a ab ab b a ab ab b a ab ab b a ab bc c B D C = D A = D Nº DE SIGNIFICA TIVAS DMS: RESUMO DOS TESTES: TAXAS DE ERRO: com base na comparação. EXATIDÃO: exato para igual e diferente n de repetições. UTILIZAÇÃO: para qualquer contraste de médias. INCOVENIENTE: não controle no acréscimo da ocorrência de erro de conclusão do tipo I. RECOMENDAÇÃO QUANTO AO USO: - Para testar grupos específicos de contrastes de médias escolhidos a priori. - Para testar contrastes que envolvam tratamentos x testemunha. TUKEY: TAXA DE ERRO: com base no experimento. EXATIDÃO: exato para igual e diferente n de repetições. UTILIZAÇÃO: para comparar médias 2 a 2.

21 INCONVENIENTE: exagerado rigor, controlado excessivamente erro tipo I; reduzido o poder de discriminação. RECOMENDAÇÃO QUNATO AO USO: - Para se comparar médias 2 a 2 nos caso onde a decorrência de erro de conclusão do tipo I é extremamente grave. SCHEFFÉ: TAXA DE ERRO: com base no experimento. EXATIDÃO: exato para igual e diferente nº de repetições. UTILIZAÇÃO: para qualquer contraste de médias. INCONVENIENTE: exagerado rigor, reduzido o poder de discriminação. RECOMENDAÇÃO QUANTO AO USO: - Para testar contrastes que envolvam mais do que 2 médias (não-ortogonais). BONFERRONI: S-N-K: TAXA DE ERRO: com base no experimento. EXATIDÃO: exato para igual e diferente nº de repetições. UTILIZAÇÃO: para qualquer contraste de médias. INCONVENIENTE: exagerado rigor quanto ao nº de contrastes for grande resultados poucos discriminativos. RECOMENDAÇÃO QUANTO AO USO: - Para testar contrastes (médias 2 a 2 ou qualquer contraste) quando forem de nº reduzido. TAXA DE ERRO: a cada estágio do teste (amplitude de t médias, (t-1) médias,...) a probabilidade de se rejeitar a hipótese de igualdade de médias, se verdadeira, é. EXATIDÃO: exato para igual nº de repetições. UTILIZAÇÃO: para comparar médias 2 a 2. RECOMENDAÇÃO QUANTO AO USO: - Para se comparar médias 2 a 2 para qualquer situação, decorrência grave ou não para erro de conclusão do tipo I, substituindo razoavelmente com vantagem o teste de Tukey e o teste de Duncan, para os casos específicos.

22 AMPLITUDE MÚLTIPLA DE TUKEY: DUNCAN: DUNNETT: TAXA DE ERRO: exato para igual nº de repetições. UTILIZAÇÃO: para comparar médias 2 a 2. INCONVENIENTE: o mesmo inconveniente, em parte, do teste de Tukey. RECOMENDAÇÃO QUANTO AO USO: - Mesmas considerações de teste de Tukey; com decorrência menos grave na ocorrência de erro tipo I. TAXA DE ERRO: cresce a medida que cresce a distância entre as médias. EXATIDÃO: exato para igual nº de repetições. UTILIZAÇÃO: para comparar médias 2 a 2. INCONVENIENTE: pouco controle com a ocorrência de erro tipo I, dado que a preocupação é com o erro tipo II, isto é, com o poder de discriminação dos resultados. RECOMENDAÇÃO QUANTO AO USO: - Para se comparar médias 2 a 2 nos casos de investigação que se exige alto grau de discriminação e a decorrência de erro de conclusão do tipo I não é tão grave. TAXA DE ERRO: com base no experimento. EXATIDÃO: exato para igual nº de repetições para tratamentos. UTILIZAÇÃO: para comparar médias 2 a 2 do tipo tratamento x testemunha. INCONVENIENTE: rigor muitas vezes exagerado, o que pode conduzir a pouca discriminação. RECOMENDAÇÃO QUANTO AO USO: - Comparações unilaterais ou bilaterais do tipo tratamento x testemunha, substituindo o DMS para os casos que cresce o nº de comparações.

23 INCONVENIENTES DOS PROCEDIMENTOS DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DE MÉDIAS (1) Taxa de erro (2) A não consideração de valor da estatística F obtida na análise de variância: teste t bayesiano ou teste de Waller-Duncan ou teste da Razão bayesiana k. (3) A não formação de grupos mutuamente exclusivos de médias de tratamentos: técnica multivariada de análise de agrupamento cluster analysis TESTE BAYESIANO OU TESTE DE WALLER-DUNCAN OU TESTE DA RAZÃO BAYASIANA K: O teste encontra-se descrito em: Duncan (1965); Waller e Duncan (1969 e 1972); Steel e Torrie (1980); Gomes (1985) e é um dos procedimentos de comparações múltiplas disponíveis no SAS Valor calculado de F Razão bayesiana Valor tabelado Razão k: importância relativa do erro tipo I em relação ao erro tipo II. F alto: heterogeneidade entre tratamentos Valor de t é reduzido Alto poder de discriminação Taxa de erro a nível de comparação ou por comparação F baixo: homogeneidade aproximada de tratamentos Valor de t é aumentado Rigoroso Taxa de erro a nível de experimento ou por experimento

24 O teste usa as vantagens dos procedimentos de taxa de erro por experimento e por comparações sem as desvantagens. TABELA: INTERPOLAÇÃO F f a a - - a b a b - - b b e interpola-se nas tabelas. Para, onde t é o nº de tratamentos e EXEMPLO: cultivares de cana-de-açúcar. C. Variação GL QM F VARIEDADES t = 4 ERRO F = 5.4 f = GLE = 20 q = GLT = 3 r = 6 f = 20 f = 20 f = 20 q = 2 q = 3 q = 4 F = 4 F = 4 F = 4 a = 0.5 a = 0.5 a = 0.5 t = 2.18 t =? = = t = 2.22 INTERPOLAÇÃO HARMÔNICA:

25 f = 20 f = 20 f = 20 q = 2 q = 3 q = 4 F = 6 F = 6 F = 6 a = a = a = t = 2.08 t =? = = t = 2.09 f = 20 f = 20 f = 20 q = 3 q = 3 q = 3 F = 4 F = 5.4 F = 6 a = 0.5 a = a = t = t =? = = t = VARIEDADES MÉDIAS, B 85 C 76 A 72 D 62 t/ha a a b b c c Médias seguintes de mesma letra não diferem significativamente pelo teste de Waller-Duncan a 5%.

26 2.11. CONTRASTES ORTOGONAIS (comparação de médias de tratamentos por G. L. individual na análise de variância) Uma função linear de médias de tratamentos do tipo é dada contraste ou comparação se =0 Os contrastes e São ortogonais se se Para igual número de repetições por tratamentos Para diferente número de repetições por tratamentos Exemplos (1) (2) (3) São contrastes (4) Não é contraste e e e não são ortogonais: são ortogonais: não são ortogonais:

27 ANÁLISE DE VARIÂNCIA, DCC Contrastes ortogonais Causa de Variação GL Tratamentos t Erro experimental t(r 1) Total r t - 1 A técnica consiste em decompor a SQ de tratamentos em tantas partes (contrastes) quantos forem os GL de tratamentos, sendo estes contrastes ortogonais entre si e tendo 1GL. Para cada contraste calcula-se a SQ dada por Onde total de tratamentos i número de repetições soma os quadrados dos coeficientes dos contrastes (número de contrastes) Testa-se cada contraste pela estatística F obtendo-se Se os contrastes forem ortogonais: Se os contrastes não forem ortogonais:

28 Como se trabalha com um GL no numerador, está se testando um grupo contra outro levando-nos a uma conclusão específica. Não apresenta os inconvenientes dos testes de comparações múltiplas de médias. Exemplo 1: Origem genética 2 Padrão ou testemunha ou controle Origem genética 1 Variedades da cana-de-açúcar Variedades Médias, t/ha Totais, t/ha A B novas C D t=4 r=6 Análise de Variância: Causa de variação GL SQ QM Variedades Erro experimental ,9 3 GL 3 contrastes ortogonais Contrastes: : D versus (A+B+C) [testemunha vs resto] [novas variedades vs variedade padrão] : B versus (A+C) [origem genética2 vs origem genética1] : A versus C [entre variedades de origem genética1] ortogonais

29 Variedades Totais Coeficientes dos contrastes ( ) A B C D Total Análise de Variância Causas de GL SQ QM F Variação Variedades C1 C2 C ,94** 4,80* 0,48 Erro experimental ,9 F. 01(1,20) = 8,10 F. 05(1,20) = 4,35 Conclusões: Novas variedades (em média) superiores à variedade padrão. A variedade de origem genética 2 (variedade B) é superior as variedades de origem genética 1(variedades A e C). Não se evidenciam diferenças entre as variedades de origem genética 1.

30 Utilizar a variedade B (melhor variedade) OUTRA FORMA DE OBTENÇÃO DAS SOMAS DE QUADRADOS DOS CONTRASTES TESTES DE CONTRASTES UTILIZANDO-SE A ESTATÍSTICA t

31 Para igual número de repetições por tratamento Para diferente número de repetições por tratamento (1) Rejeita-se (2)

32 Rejeita-se (3) Aceita-se Exemplo 2: Num experimento, realizado em DCC com quatro repetições por tratamento, para estudar o efeito de aplicações de enxofre (S) para reduzir a incid ncia da Sarna Comum em batatinha, obtiveram-se os seguintes resultados, expressos em termos de índice de infecção de sarna, nos cinco seguintes tratamentos: testemunha Enxofre (S) Sem Com S 1 Com S 2 Época de Outono Primavera Outono Primavera aplicações Totais dos tratamentos

33 S 1 = dose simples de S S 2 = dose dupla de S SQE = 158,2 CONTRASTES: 5 tratamentos Efeito de Enxofre [sem S vs com S] Efeito de doses de S [S 1 vs S 2 ] 4 GL Efeito de época para S 1 [outono vs primavera para S 1 ] 4 contrastes ortogonais Efeito de época para S 2 [outono vs primavera para S 2 ] Tratamentos SOMA DOS QUADRADOS DOS CONTRASTES Totais de tratamentos ( ) Coeficiente dos contrastes Testemunha S 1 no outono S 1 na primavera S 2 no outono S 2 na primavera Total

34 484,8 = SQtratamentos Análise de Variância C. Variação GL SQ QM F Tratamentos 4 484,8 121,2 11,49* 1 273,8 273,8 25,95* , ,68* 3,03 NS 9,29* Erro experimental ,92 10,55 Total 19

35 Efeito de S / com S menor incidência de sarna Efeito de dose / Sz menor incidência de sarna Não se evidencia efeito de época / S 1 Efeito de época / S 2 ; outono menor incidência que na primavera Aplicar dose dupla de S (S 2 ) no outono Considerações (1) Sempre que possível usar essa técnica em substituição aos testes de comparações múltiplas, não apresentando a técnica de contrastes ortogonais inconvenientes quanto a taxa de erro, pois consiste simplesmente na decomposição (partição) da SQtratamentos. (2) Escolher sempre contrastes lógicos que devem ser estabelecidos ao planejar o experimento, ou no mínimo antes de se examinar os dados, evitando com isso a introdução de vicio no teste. (3) Procurar sempre estabelecer contrastes que sejam ortogonais (4) Em casos de contrastes não-ortogonais, usar preferencialmente, se pelo menos um contraste incluir mais do que duas médias, o teste de Scheffé.

36 Exemplo 3: experimentos inteiramente casualizado com diferente número de repetições por tratamento. Exemplo das variedades de cana-de-açúcar Variedades A B C D ,25 86, ,43 Variância Dentro 30,92 56,3 97,6 67,6 67,3 C. Variância GL SQ QM F Variedades ,58 Erro exp ,3 Total

37 CONTRASTE: 15 6 A B C vs D : A A C 4 10 C vs 6 B 5 Forma simplificada para cálculo das SQ dos Contrastes

38 Calculo das SQ dos contrastes usando os coeficientes Verificação de Ortogonalidade: Expressão para calculo da SQ: Variedades A B C D ,25 86, , Total ,75

39 Erro padrão do contraste Contraste GL SQ QM F t Decisão , ,44 4,038 * 1 554,7 554,7 8, ,93-2,871 * 1 79,3 79,3 1,18-5,75 5,30-1,086 NS

40 2.12. MODELO LINEAR PARA A ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE CASUALIZADOS OU PARA O DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALIZADO Tratamento Unidade Experimental (UE) Efeito Fixo Aleatório Erro experimental; efeito da UE j com tratamento i Média do tratamento i Média geral Efeito de tratamento i i=1, 2,..., t j=1, 2,..., r Valor observado na repetição j do tratamento i Suposição: e independentes Fixo: escolha deliberada dos tratamentos Modelo I ou Fixo Aleatório: escolha aleatória dos tratamentos de uma população de tratamentos Modelo II ou Aleatório C. VARIAÇÃO GL QM QM ESPERADOS MODELO I MODELO II Tratamentos t - 1 QMT Erro t(r 1) Experimental Total rt - 1 Teste F: QME

41 MODELO I: Se verdadeira Aceita Se a variação entre tratamentos é grande numerador maior F significativo rejeitase MODELO II: Se verdadeira aceita-se Se a contribuição devida a variação de tratamentos for grande F significativo rejeitase Valor observado para a repetição j do tratamento i Estimativa de Efeito de Tratamento i Estimativa da Média Geral Valor estimado para a repetição j do tratamento i Erros, Desvios ou Resíduos; estimativa de

42 Soma dos Quadrados do Erro Experimental MODELOS PARA A ANÁLISE DE VARIÂNCIA DO DCC MODELO I OU FIXO (1) Fixo; tratamentos escolhidos deliberadamente pelo experimentador (2) As conclusões são validas para o conjunto de tratamentos utilizados no experimento (3) É o caso mais comum de experimentação (4) Exemplo: s fertilizantes, s rações, s cultivares, s doses de N,... (5) Parâmetros: (6) Componentes de variância: (7) Suposição: e independentes (8) Hipótese: MODELO II ou ALEATÓRIO (1) é variável aleatória, ou seja, e independentes (2) Tratamentos são uma amostra aleatória de uma população de tratamentos (3) As conclusões são válidas para a população de tratamentos (4) Exemplo: população de Linhagens seleciona-se algumas para a experimentação e generaliza-se os resultados para a população (5) Parâmetros: (6) Componentes de variância (7) Suposições: e independentes e independentes independentes (8) Hipótese:

43 Modelo II ou Aleatório População de Tratamentos t Amostra de t tratamentos Inferência para a População de Tratamentos Variância da população de tratamentos da qual os t tratamentos usados no experimento são uma amostra aleatória COMPONENTES DE VARIÂNCIA E SUAS ESTIMATIVAS (1) (2) QME

44 3.1. CARACTERIZAÇÃO 3. DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS (DBC) Conjunto de UE Conjunto de Tratamentos x x x x * * * * A B C D Bloqueamento Repetição Casualização Forma-se grupos (blocos) de UE semelhantes Uma restrição na casualização Casualização dos tratamentos dentro de cada bloco Blocos + * x - D A A C Tratamentos B C C D B D D B A B C A n UE/bloco = n de tratamentos n de repetições = n de blocos OBJETIVO DA FORMAÇÃO DE BLOCOS Controle de uma causa de variação maior entre as UE decorrente da variação intrínseca das UE ou de fatores que atuam sobre as UE agrupamento de UE semelhantes no mesmo bloco homogeneidade dentro do bloco maior precisão. Dar maior flexibilidade ao experimento, permitindo subdivisão do trabalho experimental dado que a execução deve ser uniforme dentro de cada bloco técnica experimental mais uniforme maior precisão.

45 N de Blocos: mínimo de dois; associado ao n de repetições. N de tratamentos: Dependência do material a investigar (tamanho da parcela); experimentação a campo: não mais de 12 a 10 tratamentos. Fertilidade do solo - + B D C A A C D B B D A C Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 As comparações entre tratamentos são feitas dentro de cada bloco e portanto são mais eficientes e tanto mais eficiente é o delineamento blocos casualizados em relação do DCC, quando mais semelhantes forem as UE dentro de cada bloco não importando as diferenças de bloco a bloco. CRITÉRIOS DE BLOQUEAMENTO: Características associadas com a unidade: Para pessoas: sexo, idade, renda, inteligência, educação, experiência de trabalho, atitudes, etc. Para áreas geométricas: tamanho da população, renda média, etc. Para animais: raça, idade, peso,...

46 Em experimentação a campo: fertilidade do solo Fertilidade do solo - + B D C A A C D B B D A C Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Características associadas com a situação experimental Operadores Tempo de processamento Máquinas Partidas ou procedência do material Instrumentos de medida Etc ANÁLISE DE VARIÂNCIA Tratamentos UE Efeitos Observação do tratamento i no bloco j. i índice de tratamento j índice de blocos ou repetição rt UE ou observações

47 tratamentos blocos totais de 1 2 r tratamento 1 2 médias de tratamentos t totais blocos médias blocos de de total geral média geral Variação Total (SQTotal) Variação entre tratamentos ou devida a tratamentos (SQTratamentos ou SQT) Variação entre blocos ou devida a blocos (SQBlocos ou SQB) Variação não devida a tratamentos e blocos ou devida ao erro experimental (SQErro experimental ou SQE) TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA Causas de variação GL SQ QM F Blocos r - 1 SQB QMB QMB/QME Tratamentos t 1 SQT QMT QMT/QME Erro experimental (t 1) (r 1) SQE QME Total rt - 1 SQTotal

48 GL: SQ:

49 TESTE F PARA TRATAMENTOS Pelo menos duas médias de tratamentos diferem Rejeita-se se RA 1 - RR TESTE F PARA BLOCOS efeito de blocos aleatórios modelo: efeito de blocos fixos para pelo menos um j TESTE F PARA BLOCOS Em condições normais de experimentação, blocos é controle teste F irrelevante. Em algumas situações teste F para blocos pode ter algum interesse. Se blocos * bloqueamento eficiente pois maior precisão. Se blocos * maior generalidade do experimento.

50 Se bloco ns bloqueamento não eficiente no acréscimo em precisão, muito embora os ganhos de execução, pois encara-se cada bloco como se fosse um experimento. Quando diferença entre blocos muito grande, pode provocar heterogeneidade do erro (cuidado) EXEMPLO Num experimento comparativo de cinco cultivares (variedades) de trigo foi usado o delineamento blocos casualizados com quatro repetições. O bloqueamento teve por finalidade controlar diferenças de fertilidade do solo na área experimental. Os rendimentos de grãos por parcela, em t/ha foram os seguintes: cultivares blocos Totais ( ) Médias ( ) A B C D E 1,9 2,4 2,4 3,6 2,7 1,7 2,8 1,9 2,8 2,3 1,7 2,7 2,3 2,5 2,2 1,3 2,2 1,7 2,7 1,9 6,6 10,1 8,3 11,6 9,1 1,65 2,52 2,08 2,90 2,28 Totais ( ) 13,0 11,5 11,4 9,8 45,7 2,28 r = 4 t = 5 ANOVA Causas de variação GL SQ QM F Blocos 3 1,0255 0,3418 5,49* Tratamentos 4 3,5330 0, ,19** (cultivares) Erro experimental 12 0,7470 0,622 Total 19 5,3055

51 TESTE F PARA BLOCOS os blocos se diferenciam O bloqueamento foi eficiente para controlar diferenças de fertilidade do solo. TESTE F PARA TRATAMENTOS pelo menos duas médias diferem rejeita-se As cultivares de trigo investigadas se diferenciam em termos de rendimento. COMPLETAÇÃO DA ANÁLISE: Fator qualitativo não estruturável Trabalho de alta responsabilidade: teste de Tukey

52 Cultivares D B E C A médias, t/ha 2,90 2,53 2,28 2,08 1,65 a a b b c b c c Médias seguidas de mesma letra não diferem significativamente pelo teste de Tukey a 5% Superior Intermediarias Inferior Cultivares Médias Totais Origem D 2,90 11, Genética 1 B 2,52 10, Origem E 2,28 9, Genética 2 C 2,08 8, Testemunha A 1,15 6, SQ contraste 2,0161 1,1556 0,2813 0,800 = 3,5130 F contraste 32,41** 18,58** 4,52 1,24 = SQT Teste vs resto A vs Origem genética um vs origem genética dois Dentro da origem genética um D vs B Dentro da origem genética dois E vs C

53 ESPERIMENTOS FATORIAIS 1. CARACTERIZAÇÃO DE EXPERIMETOS FATORIAIS 1.1.INTRODUÇÃO Num experimento em vez de se estudar um serie apenas de tratamentos, como foi o caso nas seções anteriores, duas ou mais séries de tratamentos poderão ser incluídas. Cada série de tratamentos constitui um fator. Vários fatores estudados simultaneamente, em todas as combinações possíveis dos respectivos tratamentos, constituem em experimento fatorial ou, simplesmente, em fatorial. No estudo do efeito da luz sobre o crescimento de certo vegetal, poderia-se escolher, por exemplo, a seguinte série de três tratamentos: luz normal, 2/3 e 1/3 da luz normal. Havendo suspeita, porem, de que o efeito da luz é parcialmente dependente do estado de nutrição da planta, os resultados sobre o efeito da luz teriam uma aplicação muito limitada quando os tratamentos são comparados num mesmo e único nível de fertilidade do solo. O experimento promete se mais informativo, aplicando-se cada tratamento de luz sobre dois grupos de plantas, dos quais um recebeu suplemento de fertilidade, como por exemplo, o nitrogênio. No final do experimento, se as diferenças entre os três tratamentos de luz não são as mesmas, tato com plantas que receberam nitrogênio como as que não receberam nitrogênio, as conclusões sobre o efeito da luz terão uma validade mais ampla, aplicando-se a plantas com ou sem nitrogênio adicional. Se as diferenças entre os tratamentos de luz forem maiores (ou menores) com fertilização nitrogenada, as conclusões revelarão um fato novo; um fato que não teria sido descoberto se os tratamentos de luz não tivessem sido combinados com os tratamentos de nitrogênio.

54 EXPERIMENTOS COM UM FATOR OU EXPERIMENTOS UNIFATORIAIS Delineamento de Tratamentos: Delineamentos Experimentais Tratamentos são níveis de um fator Sem restrição na casualização Com restrição na casualização DCC Uma restrição Duas restrições Três restrições Blocos DQL Grego Latino Completos Incompleto DBC BIB PBIB EXPERIMENTOS COM DOIS OU MAIS FATORES OU EXPERIMENTOS FARORIAIS Delineamento de Tratamentos: Delineamentos Experimentais Tratamentos são combinações dos níveis dos diferentes fatores Sem restrição na casualização Com restrição na casualização Fatoriais Cruzados Fatoriais Hierárquico ss DCC Fatoriais Hierárquico Cruzados Uma restrição Duas restrições Três restrições Blocos DQL Grego Latino Completos Incompleto DBC BIB PBIB Parcela Subdividida Confundimento Repetição Fracionada Especificas para experimentos fatoriais

55 (1) Vantagens no uso de fatoriais Maior eficiência no uso de recursos experimentais disponíveis, uma vez que permitem tirar conclusões mais amplas a respeito dos fatores estudados simultaneamente. Informação sobre interação de fatores Maior precisão para estimativa de efeitos principais de fatores dada a existência de repetições não-aparentes (do delineamento de tratamentos). (Repetições intrínsecas ou do delineamento de tratamentos) Repetições extrínsecas ou do delineamento experimental são as repetições aparentes. (2) Desvantagens do uso de Fatoriais (a) Maior dificuldade na seleção de UE homogêneas, devido as grande número de tratamentos. (b) Se houver um grande número de fatores a serem estudados Dificuldades na escolha do delineamento experimental. Dificuldades de execução do experimento. (c) Certos tratamentos (certas combinações de níveis dos fatores) podem ser de pouco interesse e alguns recursos experimentais estariam sendo desperdiçados. (3) Exemplo 2 cultivares de trigo: c 1, c 2 2 fertilizantes: f 1, f 2 Tratamentos: c 1 f 1 c 1 f 2 c 2 f 1 c 2 f 2 Fertilizantes Cultivares c 1 c 2 Fertilizantes f 1 f 2 c 1 f 1 c 1 f 2 c 2 f 1 c 2 f 2 Fatorial 2 x 2 Cultivares Diferenças entre as cultivares pode ser a mesma para os diferentes fertilizantes maior amplitude dos resultados. Diferenças entre as cultivares varia de fertilizantes a fertilizantes fato novo identificado interação dos fatores (só presente em experimento fatoriais)

56 Valor observado Tratamento Efeito de cultivar Efeito de fertilizante Efeito de interação cultivar e fertilizante 1.2. NOTAÇÃO E DEFINIÇÕES FATOR: A, B, C,... Qualitativo: Níveis são Tipos, Formas, Procedimentos,... Ex: Cultivares, rações, produtos químicos,... Quantitativo: Níveis ou doses Doses de N, P, K; doses de suplemento protéico, densidades de semeadura, espaçamentos,... Níveis do Fator: Fator A: a 1, a 2, a 3,... Fator B: b 1, b 2, b 3,... Exemplo: Fatores: A B Níveis: a 1, a 2 b 1, b 2 Tratamentos: a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2 Fatorial 2 x 2 2 níveis do fator B 2 níveis do fator A

57 Representação dos tratamentos Fator B Fator A b 1 b 2 b 1 b 2 b 1 b 2 a 1 a 1 b 1 a 1 b 2 (1) b a 2 a 2 b 1 a 2 b 2 a ab Forma completa Fatores qualitativos Formas abreviadas Fatores quantitativos a 1, b 1 = ausência = 0 a 2, b 2 = presença = EFEITO SIMPLES, EFEITO PRINCIPAL E INTERAÇÃO EFEITO SIMPLES: efeito de um fator dentro de cada nível do outro. EFEITO PRINCIPAL: média dos efeitos simples. INTERAÇÃO: magnitude de efeito adicional observado no efeito de um dos fatores na presença dos níveis do outro fator, efeito adicional este que não é produzido por nenhum dos fatores isoladamente. Exemplo 1: INTERAÇÃO NULA E. F DE A Fator B Efeito simples de B Fator A b 1 b 2 b 1 - b 2 a 1 a a 1 - a 2 7 7

58 20 A para b 2 b b 1 Efeito simples de A para b 1 a 1 a 2 A Quando o Efeito Principal = Efeito Simples não há interação Exemplo 2: INTERAÇÃO POSITIVA (Mudança taxa de incremento) (Efeito Sinérgico dos fatores) Fator B E. S. de B Fator A b 1 b 2 b 1 - b 2 a 1 a a 1 - a E. S. de A

59 24 b 2 20 A para b b 1 A para b 1 a 1 a 2 A E. S. diferente EP há interação Há interação positiva pois ocorre diferença ma magnitude da resposta. Há efeito sinergético, ou seja a combinação dos níveis mais altos dos fatores dá um efeito mais favorável do que o nível mais alto de cada fator combinado com o nível mais baixo do outro. Exemplo 3: INTERAÇÃO NEGATIVA (inversão; Efeito Antagônico dos fatores) Fator B E. S. de B Fator A b 1 b 2 b 1 - b 2 a 1 a a 1 - a E. S. de A E. S. diferente E. P. há interação

60 A para b 2 (-) b 1 b 2 A para b 1 (+) a 1 a 2 A Há interação negativa, devido a mudança no sentido (direção) e magnitude da resposta. Há efeito antagônico, ou seja a combinação dos níveis mais altos dos fatores dá um efeito menos favorável do que o nível mais alto de cada fator com nível mais baixo do outro.

61 2. EXPERIMENTOS FATORIAIS COM 2 FATORES CRUZADOS FIXOS Modelo: admitindo instalação em DCC é a média geral é o efeito do i-ésimo nível do fator A, definido como: é o efeito de j-ésimo nível do fator B, definido como: como: é o efeito de integração entre o i-ésimo nível de A e o j-ésimo nível de B e é definido é um erro aleatório associado à observação Das definições dos parâmetros do modelo seguem-se as restrições: Suposições: que: Como conseqüência das suposições feitas sobre a distribuição dos erros, tem-se e independentes

62 Quadro de observações (i) Fator A 1 (j) Fator B (k) repetições r Totais de tratamentos 2 3 Tabela de interação A x B Fator A Fator B r Total Média Total Média Hipóteses (i) (não existe efeito do fator A) (ii) (não existe efeito do fator B) (iii) (não existe efeito de interação)

63 Decomposição da Soma de Quadrados Total Consideramos a identidade: Elevando ao quadrado os dois membros da relação e somando em relação aos índices i, j e k obtemos: Alternativamente

64 Estimação dos Parâmetros do Modelo Solucionando-se o sistema de equações normais sob as restrições Obtém-se os seguintes estimadores para os parâmetros: Parâmetro Estimador

65 Análise de Variância Causas de Variação GL SQ QM E(QM) F A a - 1 SQA QMA B b - 1 SQB QMB A x B (a 1) (b 1) SQAxB QMAxB ERRO ab (r 1) SQE QME Total abr - 1 SQTotal Rejeita-se se Rejeita-se se Rejeita-se se Modelo: Admitindo instalação em DBC SQBlocos é calculado da maneira usual e o cálculo das demais SQ não se modifica.

66 Análise de Variância Causas de Variação GL SQ QM F Blocos r - 1 SQBlocos QMBlocos QMBlocos/QME A a - 1 SQA QMA QMA/QME B b - 1 SQB QMB QMB/QME A x B (a 1) (b 1) SQAxB QMAxB QMAxB/QME ERRO Exp. (ab 1) (r 1) SQE QME Total abr - 1 SQTotal Fator A Fatorial com 2 Fatores Fator B 1 2 b Média r r rb Médias ra rab Erro padrão da média de um tratamento para um fatorial com a nível do fator A b nível do fator B e r repetições.

67 Comparação Exemplo Nº de Tratamentos Entre 2 médias de A a * A x B Entre 2 médias de B (i) Entre 2 médias de A no mesmo nível de B (ii) Entre 2 médias de B no mesmo nível de A (iii) Qualquer 2 médias na tabela de Interação b a b ab Para o caso do erro padrão da diferença entre 2 médias,, considerar o valor 2 no numerador do radical. Os procedimentos de comparações múltiplas são executados da forma usual considerando ou conforme o teste escolhido.

68 Exemplo 1: Num experimento fatorial, instalado em blocos casualizados com 4 repetições, os fatores foram Adubo Mineral (A) (sem = ; com = ) e Adubo Orgânico (B) (sem = ; com = ) obteve-se os seguintes resultados em termos de rendimento (t/ha) de determinada cultura: Tratamentos Blocos Totais ,0 8,6 9,4 11,4 19,6 15,0 14,6 15,8 20,6 21,0 18,6 20,6 19,2 19,6 18,4 20,2 77,4 64,2 61,0 68,0 Totais 47,4 65,0 80,8 77,4 270,6 (A) Adubo Mineral (B) Adubo Orgânico 47,4 80,8 65,0 77,4 Total 112,4 158,2 Total 128,2 142,4 270,6 r nº de níveis de A. O. r nº de níveis de A. M.

69 r Outra forma de calcular SQ Tratamentos Coeficientes Totais Contrastes AM AO AMxAO Trat. AM AO AMxAO ,4-47,4-47,4 47, ,0-65,0 65,0-65, ,8 80,8-80,8-80, ,4 77,4 77,4 77,4 Total 270,6 45,8 14,2-21,0 Repetições Soma dos quadrados dos coeficientes Tabela de Análise de Variância Causas de Variação GL SQ QM F Blocos 3 37,83 A 1 131,11 131,11 31,29** B 1 12,61 12,61 3,01 A x B 1 27,57 27,57 6,58* Erro Experimental 9 37,70 4,19 Total ,80

70 Conclusões: X Existe efeito de AM independente de AO X Não se evidencia efeito de AO independente de AM Existe interação entre AM e AO, estando a indicar que o efeito de AM depende dos níveis de AO e vice-versa. Se interação NS conclusão com base em efeitos principais. Se interação * conclusão com base em efeitos simples. Médias A. M. A. O. Médias seguidas de mesma letra (coluna) e de mesma letra entre parênteses (linhas) não diferem significativamente pelo teste DMS 5% Médias A.M. p/ (*) A.M. p/ A.M.

71 Médias 20 A.O. p/ (NS) (*) A.O. p/ A.O.

72 Poder-se-ia conduzir a análise da seguinte maneira: DECOMPOSIÇÃO OU DESDOBRAMENTO 1º) AM AO/ AO/ 1GL 1GL 1GL AO+AMxAO AO/ AO na ausência de AM AO/ AO na presença de AM 2º) AO AM/ AM/ 1GL 1GL 1GL AM+AMxAO AM/ AM na ausência de AO AM/ AM na presença de AO

73 1º DECOMPOSIÇÃO C. VARIAÇÃO GL SQ QM F Blocos AM AO na ausência de AM AO na presença de AM ,83 131,11 38,72 1,45 131,11 38,72 1,45 31,29** 9,24* 0,35 Erro 9 37,68 4,19 Existe Efeito de AO na ausência de AM Não se evidencia efeito de AO na presença de AM 2º DECOMPOSIÇÃO C. VARIAÇÃO GL SQ QM F Blocos AM AO na ausência de AM AO na presença de AM Erro ,83 12,61 139,44 19,23 37,68 12,61 139,44 19,23 4,19 3,01 33,28** 4,58 Existe Efeito de AM na ausência de AO Não se evidencia efeito de AM na presença de A.O.

74 Exemplo 3: Um experimento, usando 3variedades de cana-de-açúcar ( ), e 3 niveis de nitrogênio ( ) foi conduzido no delineamento blocos casualizados com 4 repetições. Os níveis de nitrogênio foram, respectivamente, 170, 240 e 310 kg/ha. Os rendimentos de cana foram: TRATAMENTOS Total Blocos 1 70,5 64,3 79,9 58,6 64,3 64,4 65,8 64,1 56,3 591,2 2 67,5 75,9 72,8 65,2 48,3 67,3 68,3 64,8 54,7 584,8 3 63,9 72,2 64,8 70,2 74,0 78,0 72,7 70,9 66,2 632,9 4 64,2 60,5 86,3 51,8 63,6 72,0 67,6 58,3 54,4 578,7 Totais 266,1 275,9 303,8 245,8 250,2 281,7 274,4 258,1 231,6 2387,6 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Causas de variação GL SQ QM F Blocos Variedades (V) Nitrogênio (N) V x N ,68 319,37 56,54 559,79 66,89 159,69 28,27 139,95 1,52 3,64* 0,64 NS 3,19 Erro Experimental ,78 43,91 Total ,16 NITROGÊNIO Variedades Total 266,1 245,8 274,4 275,9 250,2 258,1 303,8 281,7 231,6 845,8 777,7 764,1 Total 786,3 784,2 817,1 2387,6

75 IRRELEVANTES V* As variedades se diferenciam independentemente dos níveis de N N ns Não se evidencia entre níveis de N independentemente de variedades V x N * Efeito de V está na dependência de N e o efeito de N está na dependência de V. ESTUDO DE VARIEDADES DE DENTRO DOS NIVEIS DE N TUKEY Variedades 66,52 a 61,45 a 68,60 a 68,98 a 62,55 a 64,52 a 75,95 a 70,42 a 57,90 b Médias 70,48 a 64,81 ab 63,68 b Médias 65,82 65,35 68,12 66,32 Médias seguidas de mesma letra na coluna não diferem significativamente pelo teste Tukey a 5% TUKEY (i) Para variedades dentro de N (ii) Para variedades independentemente de N

76 RENDIMETO MÉDIO DE CANA, t/ha Estudo de N dentro de variedades Análise de Regressão V1 V2 V N, Kg/ha

77 Exemplo 4: Lotes de sementes de feijão foram submetidos a diferentes tratamentos, com o objetivo de observar o efeito desses tratamentos sobre a emergência. Especificamente, procurou-se informação sobre o efeito de um inseticida, na presença e na ausência de diferentes fungicidas. Os níveis de fator inseticida B foram, ausência e, presença. Os níveis dos fungicidas A, foram, ausência, e, correspondendo a 4 diferentes fungicidas comerciais. Tanto o inseticida, como os fungicidas, foram aplicados nas sementes nas doses recomendadas. O delineamento usado no campo foi blocos casualizados, com 5 repetições, co parcelas de uma fila de 10 m para cada combinação de tratamentos, e 100 sementes de feijão por fila. A emergência registrada foi a seguintes, por parcela: Combinação de tratamentos Blocos

78 TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA Causas de variação GL SQ QM F Blocos Fungicida (A) Inseticida (B) Interação AB Erro Experimental ,4 7409,4 1352,0 920,6 1306,6 Total ,0 220, , ,00 230,15 36,29 6,07 51,04 37,26 6,34 AS MÉDIAS OBTIDAS FORAM: Inseticida Médias 58,2 48,8 93,8 89,6 89,2 92,0 92,2 79,8 93,6 74,8 87,4 77,0 Médias 58,5 91,7 90,6 86,0 84,2 82,2

79 3. VERIFICAÇÃO DA ADEQUABILIDADE DO MODELO DE ANALISE DE VARIANCIA PARA EXPERIMENTOS FATORIAIS Exemplo: A voltagem máxima de saída de um tipo particular de bateria pensa-se ser influenciada pelo tipo de material usado nas placas e pela temperatura no local onde a bateria é instalada. Quatro repetições de um experimento fatorial são realizadas em laboratórios para 3 tipos de materiais e 3 temperaturas, obtendo-se os seguintes resultados: Tipo de Material Temperatura ( F) Causas de variação SQ GL QM F Tipo de material Temperatura Interação Erro 10, , , , Total 77, , , , * * 3.56 *

80 Average Output Voltage Voltagem média em função do tipo de Material e Temperatura Material type 3 Material type 1 Material type Temperatura (ºF) Resíduos Tipo de Temperatura ( F) Material

81 Gráfico de Probabilidade Normal

82 Gráfico de Resíduos versus

83 Gráfico de Resíduos versus Tipo de Material Material type

84 Gráfico de Resíduos versus Temperatura Temperature ( F) F)

85 4. EXPERIMENTOS FATORIAIS COM 3 FATORES CRUZADOS FIXOS DCC: DBC: Índice do fator A Índice do fator B Índice do fator C Índice de repetição abc r tratamentos repetições abcr UE Fator A Fator B Fator C 1 1 Repetições Totais de Tratamentos

86 Suposições: Estimativas dos componentes do modelo Restrições: Estimativas dos Parâmetros Hipóteses (i) (não existe efeito do fator A) (ii) (não existe efeito do fator B) (iii) (não existe efeito do fator C) (iv) (não existe efeito da interação AB)

87 (v) (vi) (vii) (não existe efeito da interação AC) (não existe efeito da interação BC) (não existe efeito da interação ABC) Fator A Fator B Total

88 Fator A Fator C Total Fator A Fator C Total

89 C. Variação GL A B C AB AC BC ABC Erro Experimental Total Erro Padrao da Média de um Tratamento no caso de 3 Fatores: a níveis de A c níveis de C b níveis de B r repetições Comparação Exemplo Entre médias de A Entre médias de B Entre médias de C * Entre médias de A no mesmo nível de B; entre médias de B no mesmo nível de A; entre qquer 2 médias na tabela de interação AxB. ou ou ** Entre médias de A no mesmo nível de C; entre médias de A; entre qquer 2 médias na tabela de interação AxC. ; ;

90 Comparação * Entre médias de B no mesmo nível de C; entre médias de C no mesmo nível de B; entre qquer 2 médias na tabela de interação BxC. Exemplo ou ou ** Entre médias de A no mesmo nível de B e C; entre médias de B no mesmo nível de A e C; entre médias de C no mesmo nível de A e entre qquer 2 médias na tabela de interação AxC. ; ; * Se interação AxB significativa ** Se interação AxC significativa *** Se interação BxC significativa **** Se interação AxBxC significativa

91 EXEMPLO 2 : Realizou-se um experimento fatorial utilizando-se 3 fatores e dois níveis por fator, verificando-se a influencia dos mesmos sobre a emergência de plantas, sendo as sementes plantadas em vasos em casa de vegetação. O delineamento exponencial utilizado foi blocos casualizados com 3 repetições. A unidade exponencial foi o vaso, com 100 sementes. Os fatores, com respectivos níveis, foram os seguintes: A = Espécies: B = Tipo de solo: C = Fungicida = alfafa; = arenoso; = sem; = trevo vermelho = argiloso = com O número de plantas emergentes, soma de 3 repetições, para os oito tratamentos, foi o seguinte: = sem; = alfafa; Total = arenoso; Total = sem; Total Total A análise de variância obtida foi: Causas de Variação GL SQ QM F Blocos Espécies (A) Tipos de Solo (B) Fungicidas (C) AxB AxC BxC AxBxC Erro Experimental ,87 5,60* 104,02* 13,13* 1,85 3,96 17,02* 7,53* Efeito Tratamentos Fatorial (1) c b bc a ac ab abc A B C AB AC BC ABC Total tratamento Estimativas do efeito fatorial

92 ABC * A = Espécies B = Tipos de Solo C = Fungicida Decomposição da Interação Tríplice: C dentro de b1/a1 C dentro de b1/a2 C dentro de b2/a1 C dentro de b2/b2 Causas de Variação GL SQ QM F C. d. b1/a ,40 C. d. b1/a ,02 C. d. b2/a ,00* C. d. b2/a ,27 Erro

93 Conclusão: Fungicida eficiente no solo argiloso para alfafa, para trevo vermelho as evidencias amostrais não suficientes para comprovar eficiência do fungicida. Para solo arenoso as evidencias amostrais não são suficientes para comprovar eficiência do fungicida tanto para alfafa como para trevo vermelho. A decomposição da Fatoração BC, torna-se irrelevante, pois: BC* C dentro de b1 1GL; QME = 45 Fungicida ineficiente para o solo arenoso independente da espécie C dentro de b1 Fungicida eficiente para o solo argiloso, independente da espécie C b1 c B b c O detalhe da interação simples perde consistência quando a iteração tríplice é significativa.

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