1. Introdução Métodos Empíricos e Analíticos

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1 1. Introdução 1.1. Métodos Empíricos e Analíticos O objetivo final da engenharia e, em particular, dos engenheiros de controle é projetar e construir sistemas físicos que executem determinadas tarefas. Por exemplo, um engenheiro pode ser solicitado a projetar e instalar um sistema para controle da temperatura e umidade de um grande ambiente. Este é um problema antigo na engenharia e muita informação importante já foi obtida. Se após a instalação, o sistema se mostra insuficientemente potente, ele pode ser substituído por um mais poderoso. Este procedimento, que se baseia na experiência passada e na experimentação repetida, é chamado de método empírico. Embora o método empírico se baseie na tentativa e erro, ele tem sido usado com sucesso no projeto de muitos sistemas físicos. O método empírico é inadequado se não existe uma experiência passada que possa ser trabalhada ou se a experimentação não é possível devido ao alto custo ou risco. Por exemplo, a tarefa de enviar astronautas a lua e traze-los de volta com segurança não pode ser executada pelo método empírico. Em um caso deste tipo, o método analítico torna-se indispensável. O método analítico consiste, geralmente, de quatro passos: modelagem, montagem das equações matemáticas, análise e projeto. Os dois primeiros passos estão fortemente relacionados. Se usarmos uma matemática simples, o modelo escolhido deverá ser correspondentemente simples. Se usarmos uma matemática mais sofisticada, o modelo será mais complexo e realista. A modelagem é o passo mais crítico no projeto analítico. Se um sistema físico for modelado incorretamente, os estudos subseqüentes não terão utilidade alguma. Uma vez escolhido um modelo, o restante do projeto analítico é essencialmente um problema matemático. A experimentação repetida é indispensável no método empírico. Ela também é importante no método analítico. No passado, os experimentos precisam ser executados usando dispositivos físicos, o que pode tornar-se caro e perigoso, mais tarde, contudo, os experimentos podem ser executados usando modelos ou equações matemáticas. Muitos software de auxílio a projeto de sistemas de controle estão disponíveis atualmente. Podemos usar vários deles para simular as equações em um computador digital, executar o projeto, e testar os resultados no próprio computador. Se o resultado não for satisfatório, é só repetir o projeto. Somente após um projeto ter resultados satisfatórios é que partimos para a implementação utilizando dispositivos físicos. Se o modelo for adequadamente escolhido, o desempenho do sistema implementado deverá assemelhar-se ao desempenho previsto pelo projeto analítico ou pela simulação no computador. Contudo, devido às inevitáveis imprecisões na modelagem, existirão discrepâncias entre o desempenho do sistema físico implementado e aquele previsto pelo método analítico. Por esta razão, o desempenho de sistemas físicos pode frequentemente ser melhorado através de ajustes mais finos. Este é o motivo pelo qual um sistema físico frequentemente requer um período grande de testes após ele ter sido implementado, e antes dele ser colocado para operação real ou para produção em massa. Neste sentido, a experiência também é importante no método analítico. No procedimento analítico, a experimentação é necessária para a construção de modelos, e a experiência é necessária (devido à imprecisão da modelagem) para melhorar o desempenho dos sistemas físicos reais. Desta forma, a experiência e a experimentação são ambas usadas nos métodos empíricos e analíticos. A principal diferença entre esses dois métodos é que no último nós ganhamos, através da modelagem, entendimento e uma visão interna da estrutura dos sistemas. O método analítico também provê procedimentos sistemáticos para o projeto de sistemas e reduz a probabilidade de se projetar sistemas defeituosos.

2 1.2. Sistemas de Controle Como o objetivo deste estudo é a análise e projeto de sistemas de controle, vejamos alguns exemplos desses sistemas Sistemas de Controle de Posição A antena de satélite no quintal ou no telhado de uma casa tem se tornado comum nestes anos. É uma antena que deve ficar apontada para um satélite que está estacionário em relação a terra e é usado na transmissão de sinais de televisão. Para aumentar o número de canais de televisão, a antena pode ser projetada de tal modo que ela possa ser apontada para diferentes satélites. Um arranjo possível para um sistema desse tipo é mostrado na Figura 1.1(a). Este sistema pode ser projetado fazendo uso do método empírico. Se o método escolhido for o analítico, precisamos antes desenvolver um modelo para o sistema, como mostrado na Figura 1.1(b). Potenciometro Antena Amplificador Circuito de potência do Motor Motor e carga Potenciometro Potenciometro Figura 1.1 Sistema de Controle de Posição Existem outros tipos de sistemas de controle de posição. Considere a planta de energia nuclear simplificada mostrada na Figura 1.4. Figura 1.4 Planta de Energia Nuclear

3 A intensidade da reação dentro do reator (e, consequentemente, a quantidade de calor gerado), é controlada pela posição vertical da vareta. Quanto mais fundo a vareta estiver, mais calor o reator irá gerar. Existem muitos outros sistemas de controle na planta de energia nuclear. A manutenção do nível de água da caldeira e a manutenção ou regulação da tensão gerada em um valor fixo de tensão são todos sistemas de controle Sistemas de Controle de Velocidade O controle da velocidade de uma fita em gravadores de vídeo ou de áudio é importante para manter a qualidade de saída. O problema torna-se complicado porque a carga do motor varia á medida em que o carretel vai ficando mais vazio. Um possível sistema de controle é mostrado na Figura 1.6(a). Motor dc Tacômetro Potenciômetro Sinal de referência Amplificador Diferencial Motor e carga Velocidade real Velocidade desejada Potenciômetro Tacômetro Figura 1.6 Sistema de Controle de Velocidade Este sistema pode realmente ser projetado usando o método empírico. Se for projetado pelo método analítico, nós precisamos desenvolver um modelo como mostrado na Figura 1.6(b). Problemas de controle de velocidade também surgem em um grande número de aplicações industriais. A velocidade de uma esteira em uma linha de produção precisa também ser precisamente controlada. A velocidade do rotor do gerador na Figura 1.4 precisa ser mantida constante para que a tensão gerada também seja constante. Controle de velocidade é realmente necessária em uma grande faixa de aplicações Sistemas de Controle de Temperatura Vamos discutir agora um tipo diferente de controle. Considere o controle de temperatura da câmara mostrada na Figura 1.7(a). Este problema, que surge no controle de temperatura de um forno, de um refrigerador ou de uma casa, pode certamente ser implementado usando-se o método empírico. Se for escolhido o método analítico, novamente precisaremos desenvolver

4 um modelo como mostrado na Figura 1.7(b). Podemos então usar o modelo para executar a análise e o projeto. Potenciômetro Amplificador Temperatura desejada Termoacoplador Temperatura real Fonte de alimentação Dispositivo de controle Relé Câmara Potenciômetro Termoacoplador e amplificador Figura 1.7 Sistema de Controle de Temperatura Controle de temperatura também é importante em processos químicos. A taxa de reações químicas depende frequentemente da temperatura. Se a temperatura não for controlada apropriadamente, todo o produto pode tornar-se inútil. Nos processos industriais, controle de temperatura, pressão e de fluxo são largamente usados Controle de Trajetória e Piloto-Automático A aterrissagem de um ônibus espacial em uma pista de pouso é um problema de controle complicado. A trajetória desejada é calculada primeiro como mostrado na Figura 1.8. Ônibus Sensores Pista Figura 1.8 Trajetória desejada na aterrissagem do ônibus espacial

5 A tarefa agora é fazer o ônibus espacial seguir a trajetória desejada o mais próximo possível. A estrutura de um ônibus espacial é menos estável do que a de um avião, e a sua velocidade de aterrissagem não pode ser controlada. Portanto, a aterrissagem de um ônibus espacial é consideravelmente mais complicada do que a de um avião. A aterrissagem é executada com sucesso pois conta com o auxílio de computadores e altímetros, e também com sensores colocados no solo, como mostrado na Figura 1.8. Na realidade, ela pode ser executada automaticamente, sem a interferência de astronautas. Isto é possível por causa do piloto automático. O piloto automático é agora amplamente usado por aviões e navios para manter uma altitude e/ou um rumo conforme previsto Outros exemplos Vamos observar outros dois exemplos de sistemas de controle para concluir esta seção. Considere a caixa de descarga de um banheiro mostrada na Figura 1.9(a). Bóia Água Nível de água desejado Controlador: Bóia Água Válvula Tanque de água Nível de água Figura 1.9 Caixa de Descarga de Banheiro O mecanismo é projetado para fechar a válvula automaticamente quando o nível de água atinge uma altura especificada. Um diagrama em blocos do sistema é mostrado na Figura 1.9(b). A bóia transforma a informação de nível de água em posição da válvula. Este é um sistema de controle muito simples. Uma vez entendido o mecanismo de controle da válvula, o nível de água pode ser facilmente controlado através de um método de tentativa e erro. Como um exemplo final, vejamos um diagrama de controle de secadores de roupas mostrado na Figura Existem dois tipos de secadores de roupas manual e automático. Em um secador de roupas manual, dependendo da quantidade de roupas e dependendo da experiência, ajustamos o temporizador para, por exemplo, 40 minutos. Ao término dos 40 minutos, este secador desligará automaticamente mesmo que as roupas ainda estejam úmidas. O diagrama esquemático para esse processo é mostrado na Figura 1.10(a). Já no caso de um secador automático, selecionamos um grau desejado de secura, e o secador automaticamente desliga quando as roupas atingem o grau de secura escolhido. Se a carga é pequena, isto tomará menos tempo; se a carga é grande, isto tomará mais tempo. A quantidade de tempo necessária é automaticamente determinada pelo tipo de secador. Seu diagrama em blocos é mostrado na Figura 1.10(b). Pode ser ver claramente que o secador

6 automático é mais conveniente do que um manual, mas também é mais caro. Contudo, ao utilizar um secador manual, podemos gastar mais tempo do que o necessário e, consequentemente, gastar mais energia do que o necessário. Por esta razão, se considerarmos a energia poupada, um secador automático pode ser tornar mais econômico. Eletricidade Secura desejada Temporizador Relé Secador Secura real Experiência Secura desejada Transdutor Comparador Relé Secador Secura real Sensor Figura 1.10 (a) Secador Manual (b) Secador Automático 1.3. Formulação do Problema e Terminologia Básica Baseado nos exemplos anteriores, podemos deduzir que um sistema de controle é uma interconexão de componentes ou dispositivos construídos de modo que a saída do sistema deverá seguir, o mais próximo possível, um sinal desejado. Existem várias razões para se projetar sistemas de controle: 1. Controle Automático: A temperatura de uma casa pode ser mantida automaticamente bastando para isso que ajustemos previamente um temperatura desejada. Este é um sistema de controle automático. Sistemas de controle automático são amplamente utilizados e são essenciais na automação de indústrias e fábricas. 2. Controle Remoto: A qualidade de recepção de uma canal de TV pode ser melhorado se apontarmos melhor a antena na direção da estação transmissora dos sinais de TV. Se a antena estiver montada em um telhado, fica impraticável ajustar sua direção usando somente as mãos. Se instalarmos um rotor na antena, poderemos controlar sua direção remotamente bastando para isso girar um botão em um controle remoto quando estivermos tranquilamente sentados em frente à TV. 3. Amplificação de Potência: As antenas usadas para receber sinais enviados pela Voyager 2 têm diâmetros de aproximadamente 70 metros e pesos de várias toneladas. Portanto, é impossível girar essas antenas usando somente as mãos. Contudo, usando sistemas de controle, podemos controlar suas direções através de giros em botões de controles remotos ou através de comandos teclados diretamente em computadores. Os sistemas de controles irão, então, gerar potência suficiente para girar as antenas. Portanto, a amplificação de potência está implícita em muitos sistemas de controle. Concluindo, sistemas de controle são amplamente usados na prática porque eles podem ser projetados para se obter controle automático, controle remoto, e amplificação de potência.

7 Nós agora podemos formular o problema de controle da seguinte forma: Considere o problema de controle de posição da Figura 1.1, onde o objetivo principal é controlar a direção da antena. O primeiro passo é escolher um motor para girar a antena. O motor é chamado de atuador. A combinação do objeto a ser controlado e do atuador é chamado de planta. Em um sistema de aquecimento domiciliar, o ar no interior da casa é o objeto controlado e o aquecedor é o atuador. Um ônibus espacial é um objeto controlado; seus atuadores são os propulsores. A entrada da planta, denotada por u(t), é chamada de sinal de controle ou sinal atuante; a saída da planta, denotada por y(t), é chamada de variável controlada ou saída da planta. O problema é projetar um sistema de controle como mostrado na Figura 1.11, onde a saída da planta deverá seguir, o mais próximo possível, um sinal de referência ou sinal desejado, denotado por r(t). Todos os exemplos da seção anterior podem ser assim formulados. Sinal de Referência Sinal Atuante Atuador Objeto a Controlar Saída da Planta Planta Figura 1.11 Problema do Projeto de um Controle Existem basicamente dois tipos de sistemas de controle: o sistema em malha-aberta e o sistema em malha-fechada ou sistema realimentado. Em um sistema em malha-aberta, o sinal atuante é predeterminado pelo sinal de referência ou sinal desejado; ele independe da saída real da planta. Por exemplo, baseado na experiência, podemos ajustar o temporizador do secador mostrado na Figura 1.10(a). Quando o tempo ajustado expirar, o secador se desligará mesmo se as roupas ainda estiverem úmidas. Este é um sistema em malha-aberta. O sinal atuante de um sistema malha-aberta pode ser expressado por u ( t) = f ( r( t)) Onde f é alguma função. Agora, se o sinal atuante depende da entrada de referência e da saída da planta, ou se ele pode ser expresso como u ( t) = h( r( t), y( t)) Onde h é alguma função, então o sistema é um sistema em malha-fechada ou sistema realimentado. Todos os sistemas da seção anterior, com exceção do sistema mostrado na Figura 1.10(a), são sistemas realimentados. Em todo sistema realimentado, a saída da planta precisa ser medida e usada para gerar o sinal atuante. A saída da planta pode ser um sinal de posição, velocidade, temperatura, ou alguma coisa mais. Em muitas aplicações, essa saída é convertida para um sinal de tensão e comparada com um sinal de referencia, como mostrado na Figura Sinal de Referência Sinal Atuante Saída da Planta Potenciômetro Comparador Controlador Planta Sensor Figura 1.12 Sistema de Controle Realimentado

8 Nessas transformações, os sensores ou transdutores são imprescindíveis. O resultado da comparação é usada, então, como entrada para um compensador ou controlador. A saída do controlador produz um sinal atuante. Se o controlador é bem projetado, o sinal atuante irá atuar na planta fazendo com que ela siga o sinal desejado. Além dos problemas de engenharia discutidos na seção anterior, um grande número de outros tipos de sistemas também podem ser considerados como sistemas de controle. Nosso corpo é, na realidade, um sistema de controle realimentado muito complexo. A manutenção da temperatura do nosso corpo em 37º Celsius requer transpiração no verão e contração dos vasos sanguíneos no inverno. Manter um automóvel em uma pista (saída da planta) é um sistema de controle realimentado: nosso olhos sentem a estrada (sinal de referência), nós somos o controlador, e a planta é o automóvel junto com seu motor e sistema de direção. Um sistema econômico é um sistema de controle. Sua saúde é medida pelo produto nacional bruto (GNP), taxa de desemprego, salário médio, e taxa de inflação. Se a taxa de inflação é muito alta ou a taxa de desemprego não é aceitável, a política econômica precisa ser modificada. Isto é conseguido pela mudança da política monetária e contenção de gastos públicos, além de outros remédios. O sistema econômico tem um grande número de fatores inter-relacionados cujas relações de causa-e-efeito não são exatamente conhecidos. Além disso, existem muitas incertezas tais como o gasto dos consumidores, disputas judiciais ou crises internacionais. Portanto, um sistema econômico é um sistema muito complexo. Nós não pretendemos resolver todos os problemas de controle; vamos nos preocupar somente com uma classe muito limitada de problemas de controle Escopo do Texto Este texto trata da análise e projeto de sistemas de controle. Por ser um estudo introdutório, vamos estudar somente uma classe especial de sistemas de controle. Todo sistema, em particular, todo sistema de controle, é classificado dicotomicamente como linear ou não-linear, invariante no tempo ou variante no tempo, concentrado ou distribuído, contínuo no tempo ou discreto, determinístico ou estocástico, monovariável ou multivariável. De forma geral, um sistema é linear se ele satisfaz aos princípios da superposição e da homogeneidade, ele é invariante no tempo se suas características não mudam com o tempo, e concentrado se ele tem um número finito de variáveis de estado ou um número finito de condições iniciais que resumam o efeito das entradas no passado na saída futura. Um sistema é contínuo se suas respostas são definidas para todos os instantes de tempo, e é discreto se suas respostas são definidas somente em instantes discretos de tempo. Um sistema é determinístico se sua descrição matemática não envolve probabilidade. Ele é chamado um sistema monovariável se ele tem somente uma entrada e somente uma saída; de outra forma, ele é chamada de sistema multivariável. Neste estudo vamos nos concentrar somente em sistemas lineares, invariantes no tempo, concentrados, determinísticos e monovariáveis. Embora esta classe de sistemas de controle seja muito limitada, ele é a mais importante. Seu estudo é um pré-requisito para o estudo de sistemas mais gerais. Estudaremos ambos os casos, contínuo e discreto.