Prof. George Sand L. A. De França

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1 GRAVIDADE DA TERRA: Introdução à teoria do potencial; Campo de gravidade da Terra; Medidas de Gravidade; Redução de observações gravimétricas; Marés terrestres; Anomalias gravimétricas e o Interior da Terra, Isostasia Prof. George Sand L. A. De França

2 Princípios fundamentais Gravitação propriedade fundamental da matéria, manifestando-se em qualquer escala de grandeza, desde da atômica até a cósmica. Levantamento gravimétrico podemos definir como a investigação na variação do campo gravitacional terrestre por diferença de densidade entre as rochas no interior da terra. Aplicação: Exploração de Petróleo, Exploração mineral, Arqueologia, vínculo na interpretação sísmica, estudos tectônicos etc. 2

3 Princípios fundamentais Descritos pela lei da gravitação universal de Newton. Base do Levantamento gravimétrico F= Gm 1 m 2 r 2 G=6,67x10-11 m 3 kg -1 s -2 A aceleração da massa m 1 devida à presença da massa m 2 é (F=ma) ou mg ρ é uniforme m 2 g= Gm 1 m 2 g= Gm 1 r 2 r 2 3

4 Princípios fundamentais O potencial gravimétrico devido a m 1 Observe também a= Gm 1 = ( Gm ) 1 V = r 2 r r r a= grad V= V V= Gm 1 r Logo, temos que o potencial gravimétrico e a aceleração da gravidade causados por uma esfera de massa M é em qualquer ponto exterior à esfera igual ao causado por uma concentração de massa M localizada no centro da esfera é a= GM Unidade 1 gal = 1 cm/s 2 r 2 4

5 Princípios fundamentais Exercício 1 Calcule a gravidade para a Terra supondo que ela é perfeitamente esférica e tem massa M=5,97x10 24 kg. Para um ponto à superfície da Terra vem que r = R (raio da Terra) e o valor da aceleração da gravidade. a= GM A equação ao depende apenas da distância entre duas esferas r 2 e da massa M, que cria um campo de aceleração a, ao seu redor, o que é igual em todas direções (isotrópico). Essa característica faz com que o corpo, mesmo possuindo massa muito mais elevada, produza campo menos intenso do que outro, com massa muito menor, mas situado mais próximo. Ex. Meteoritos, embora sendo atraídos pelo Sol, muito deles acabam caindo na Terra, de massa menor, ao passarem em órbita próxima. 5

6 Princípios fundamentais A Terra executa um movimento de rotação ao redor de si mesmo no período de 24 horas, qualquer ponto do seu interior ou da superfície sofre o efeito da aceleração centrífuga dada pela expressão: a c =ω 2 r, onde ω=2π/t é a velocidade de rotação, T é o período e r é a distância do eixo de rotação. Os únicos locais onde não há aceleração centrífuga são aqueles situados sobre o eixo de rotação, ou seja, nos pólos. 6

7 Princípios fundamentais A soma vetorial da aceleração gravitacional é da aceleração centrífuga é denominada de aceleração da gravidade ou simplesmente GRAVIDADE. g=a+a c =Gm/r² + w²r Intensidade e direção variam conforme a posição sobre a superfície terrestre. Observando a e a c, podemos observar que g é máxima nos pólos e igual a a, diminuindo gradualmente em direção ao Equador. 7

8 Medições da Gravidade 1) Gravidade Absoluta (gravímetros absolutos) Medida sob condições de laboratório utilizando experimentos cuidadosos empregando dois métodos possíveis; - Corpo em queda; - Pêndulo Utilizado para fornecer valores absolutos de g como padrões internacionais. 2) Gravidade Relativa (gravímetros diferenciais) Na maioria das aplicações, somente a variação da gravidade relativa a uma estação principal é necessária. As Leituras das Medições são gravadas em estações secundárias para que as diferenças relativas sejam bem conhecidas. Maior sensibilidade 8

9 Instrumentação Gravímetros As medições da gravidade fazem-se usando o princípio da distensão de uma mola. A extensão da mola é proporcional à força (lei de Hooke), logo mδg=kδs e δs=δgm/k. SY Gravímetros estáveis consistem de uma massa fixa no fim de uma haste, com pivots em um fulcro, e balanceado por uma mola tencionada 9

10 Instrumentação Em um sistema estável, a massa retornará a posição de equilíbrio após pequenas perturbações. Gravímetros Instáveis Nos sistemas instáveis, a massa continua a se mover - Gravímetro Lacoste & Romberg - Gravímetro Askania A haste é equilibrada na mola principal. um feixe de luz é refletido a uma célula fotovoltaica. A Deflexão da massa altera a direção do feixe luminoso e altera a voltagem no circuito. 10

11 Forma da Terra 11

12 Forma da Terra Raio equatorial km e raio polar km. A forma da terra mais realístico é um esferoide achatado nos pólos. Nos pólos, os objetos são levemente mais pesados que no Equador. Grau de deformação do esferoide f=(a-c)/a a raio equatorial, c é o raio polar e f é o achatamento. Com a suposição de que a terra possui densidade constante e é constituída por um fluído em perfeito equilíbrio hidrostático. Newton calculou o achatamento de 1/230. Hoje, com conhecimento sobre a velocidade de rotação da Terra e suas dimensões, o achatamento polar teórico 1/299,5. Este resultado parte do interior da Terra comporta-se como um fluído. As rochas do manto terrestre comportam-se como um sólido elástico em curtos intervalos de tempos (segundos), durante a passagem das ondas sísmicas, e como um fluído viscoso na escala do tempo geológico. 12

13 Princípios fundamentais Definições importantes Superfície equipotencial Superfície em que o V é constante. GEÓIDE- Corresponde mesma superfície ao nível médio do mar. É um método de fonte Natural e a gravidade é uma propriedade inerente da rocha. 13

14 Interpretações Anomalia? É a diferença entre o valor da gravidade observada (depois de corrigida) e o valor teórico. Parâmetro medido? Não é densidade, e sim, o contraste de densidade. Valor médio é 9,80 m/s 2. Devido ao movimento de rotação e a achatamento, o valor da gravidade diminui cerca de 5,3 Gal dos pólos ao Equador, além disso, atração exercida pelo Sol e pela Lua, bem como as diferenças de altitudes entre os pontos de medidas causam alteração no valor da gravidade. É necessário quantificá-las e eliminá-las para, então estudar aquelas variações causadas pela diferenças na composição e estrutura da crosta ou manto superior da Terra. Fonte: Boyd T., M. Colorado University 14

15 Densidade dos materiais terrestres Crosta Continental 2,6 g/cm 3 Crosta Oceânica 2,8 g/cm 3 15

16 Levantamento gravimétrico Só na vertical! Os gravímetros só conseguem medir a componente vertical da atração gravitacional devida a uma massa anômala. Consideremos o efeito gravitacional de uma massa anômala δg, cujas componentes horizontal e vertical são δg x e δg y, respectivamente Como os termos em δ 2 são muito mais pequenos que os restantes podemos ignorá-los. Usando a expansão binomial sobre esta equação, obtemos que g+δg=((g+δg z ) 2 +δg x2 ) 1/2 (g 2 +2gδg z +δg z 2 +δg x2 ) 1/2 δg δg z 16

17 Como seria anomalia? Anomalia de uma massa pontual m a uma distância r da massa Δg r = Gm r 2 Como só a componente vertical da atração, g z, é mensurável, a anomalia g provocada pela massa é dada por Δg= Gm r 2 Gm cosθ= r 3 x 17

18 Corpos irregulares. As anomalias de corpos irregulares são calculadas por integração numérica Anomalia de um elemento de massa de forma irregular. Lascou!!!! Δg= Gρ (z' z ) r 3 dx'dy'dz' 18

19 Será que temos condições de fazer um levantamento gravimétrico? O espaçamento das estações varia; 2 a 3 km 2 para pesquisas regionais 8 a 10 por km 2 para pesquisa de hidrocarbonetos 5 a 50 m para trabalhos de precisão, como arqueologia 0,5 m para trabalhos de Microgravidade Redução das medições Antes de os resultados de um levantamento gravimétrico poderem ser interpretados é necessário proceder à correção de todas as variações do campo gravimétrico da Terra que não resultam de diferenças de densidade do sub-solo. Este processo é conhecido por reduções da gravidade ou reduções ao geóide, já que o nível do mar é o nível de referência mais apropriado. 19

20 Correção gravimétrica Após as medições das gravidades, delas devem ser removidos os efeitos gravitacionais: latitude, altitude, topografia, maré e instabilidade do equipamento. Os valores resultantes representam o efeito gravitacional da anomalia de densidade em sub-superfície. Conforme o caso, a remoção do efeito denomina-se correção de: CLAT latitude (latitude) CAL ar-livre (altitude) CB Bouguer (topografia) CT Terreno (topografia) CD deriva (marés e instabilidade do equipamento) 20

21 Correção gravimétrica Cada correção é calculada isoladamente para cada local de medição. Para cada local, os valores das correções serão, então, funções da localização geográfica, da cota, da topografia relativa na sua vizinhança, e do instante em que a medida foi feita. Elas são somadas ao valor de gravidade observado. g bouguer =g OBSERVADO +C LAT +C AL +C B +C T +C D 21

22 Correções dos dados Deriva Correção da deriva instrumental É baseada em leituras repetidas numa estação base (ao longo do tempo do levantamento). As medições são em função do tempo e admite-se que a deriva é linear entre as várias leituras. A correção da deriva num tempo t é d, que a seguir é corrigida do valor observado. 22

23 Correção de Deriva Variações temporais para o levantamento gravimétrico Efeito devido as marés Deriva instrumental que se manifesta como uma falsa variação contínua da gravidade com o tempo. 23

24 Correção de Deriva exemplo Tomando a estação A base como referência quanto a variação da gravidade, tem-se que de 09:10 às 10:00, a gravidade reduziu a taxa de 0,0214 mgal/min, e de 10:00 às 11:00, aumentou a 0,01833 mgal/min. Os valores de C0 correspondem a correção a ser aplicada para reduzir os dados observados para as 10:10 horas. Assim, C0 (C) = -0,01833x10 + 0,0214x50 = 0,89 Estação Hora g obs (mgal) C 0 (mgal) A (base) 09:10 234,45 0,00 B 09:30 220,77 +0,43 A (base) 10:00 233, C 10:10 225,32 +0,89 D 10:40 236,57 +0,34 A (base) 11:00 234,48 24

25 Correções dos dados Latitude Correção de latitude Como já mencionamos, o valor da aceleração da gravidade é afetado pelo valor da aceleração centrífuga (g rot = g - w 2 R e cos 2 φ) e pela forma da superfície da Terra (esferóide achatado) que é conhecida matematicamente. Assim, existe uma fórmula teórica para o cálculo da aceleração da gravidade à superfície da Terra: 25

26 Correções dos dados Latitude A fórmula de Clairaut relaciona a gravidade com a latitude no esferóide de referência Geodetic Reference formula of 1971 IGRF g φ =g 0 (1 +k 1 sen 2 φ k 2 sen 2 2φ) g 0 = 978,0318 cm/s 2 ; k 1 = 0, ; k 2 = 0, O valor de g φ dá-nos uma previsão da gravidade, ao nível do mar, e deve ser subtraído ao valor observado para se obter a correção da latitude. Como a gravidade aumenta do Equador para os pólos geográficos, a correção será positiva se a estação da medida encontrar-se mais próxima do Equador que o local da referência. 26

27 Correção de latitude Tendo por referência a expressão da gravidade no elipsóide, a taxa da correção de latitude é deduzida como C LAT = 0,812 sen(2φ G ) x d NS mgal onde φ G é a latitude média da região e d NS, a distancia N-S (km) entre a estação a ser corrigida e uma linha de base de referencia E-W Exemplo: C LAT = 0,812sen(2x15 ⁰)x d NS. Material do Sato-UFBA 27

28 Correções dos dados Altitude 1- Ar-Livre Correções de altitude As correções para compensar o fato das estações de observação poderem estar a altitudes diferentes são feitas em três partes. 1- Correção de ar livre, corrige o decréscimo de g em função da altitude (ou seja, admitindo que não existe qualquer massa entre o ponto de observação e o nível de referência), resultante do aumento da distância ao centro da terra. C AL = 0,03086h mgal A correção de ar livre é positiva para um ponto de observação situado acima do nível de referência, corrigindo assim o decréscimo de g com a altitude em metro. 28

29 Correção Ar-livre (Exemplo) Como mostra a figura, a diferença de cota ser considerada é entre a do local da medida para a cota do datum. Assim, a correção Arlivre A, B e C 29

30 Correções dos dados Altitude 2- Bouguer Correção de Bouguer, a segunda das correções de altitude, remove o efeito da massa, fazendo no entanto a aproximação de que a camada de rochas abaixo do ponto de observação é uma placa horizontal finita com uma espessura igual a h(metro). A correção de Bouguer é dada por C B = 0,04191ρh mgal ρ é a densidade média da camada em g/cm³ e h em metros. Em terra a correção de Bouguer deve ser subtraída para compensar a atração exercida pelo material entre o ponto de observação e o nível de referência. No mar, deve ser adicionada, sendo o seu valor obtido da aplicação da relação 2πG(ρ r -ρ a )z onde z representa a profundidade e ρ r e ρ a as densidades da rocha e da água respectivamente. 30

31 Correção Bouguer - Exemplo Considerando a figura, a expressão para a C B = 0,113 h mgal As correções ficam 31

32 Correções dos dados Altitude 2- terreno ou topográfico Correção do terreno - Esta correção é positiva quando por exemplo; a parte A da figura C abaixo foi levada em consideração quando na verdade não existe, e é por isso preciso necessário repô-la. Quanto à parte B, ela foi excluída da correção, mas exerce uma atração para cima (no ponto de observação) e provoca por isso uma diminuição da gravidade. 32

33 Correções dos dados Maré Correção de Maré As marés terrestres, fazem com que a elevação do ponto de observação varie. Enquanto que no caso marinho a amplitude da variação pode ir desde menos de 1 m até quase à dezena de metros, no caso continental as variações atingem no máximo alguns cm. As variações da gravidade devidas à maré terrestre têm um máximo de amplitude de aproximadamente 0,3 mgal e um período próximo de 12h. Os efeitos de maré podem ser calculados e existem também sob a forma de tabelas publicadas na literatura. 33

34 Correções dos dados Eötvös Correção de Eötvös Esta correção deve ser aplicada quando o gravímetro se encontra baseado numa plataforma em movimento (barco ou avião) e depende da direção do movimento. Dependendo da direção desse movimento, a aceleração centrífuga adiciona-se ou subtraise à da gravidade. A correção é C E = 7,503 v senα cosφ + 0,004154v 2 mgal onde v é a velocidade, α o azimute e φ a latitude. 34

35 Correções dos dados Afinal o que resta? Anomalia Bouguer total - aplica todas correções g=g obs g teo g teo = g φ -C AL +C B ±C D ±C T Anomalia Bouguer simples omite a correção ar livre e topográfica ao mesmo tempo Anomalia Ar-livre omite a correção Bouguer 35

36 Atividade Calcule as correções da sua casa. Lat, longitude, g observado e as correções. Próxima aula!!! 36

37 Referencias Bibliografia 1. TELFORD, W. M., L. P. GELDART, & R. E. SHERIFF, Applied Geophysics, 2a Edição. Cambridge University Press, CUNNINGHAM, M. Gravity Surveying Primer. A nice set of notes on gravitational theory and the corrections applied to gravity data. 3. TEIXEIRA W., et. al, Decifrando a Terra. São Paulo: Oficina de Textos, KEAREY P. & M. BROOKS. An Introduction to Geophysical Exploration. 2ª. Edição. Blackwell Science Ltd Editorial. 37