Determinando a aceleração gravitacional 1

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1 Determinano a aceleração ravitacional Fernano an a Silveira Instituto e Física, Universiae Feeral o Rio Grane o Sul. Av. Bento Gonçalves, Caixa Postal 505, CEP Porto Alere. RS. Brasil. Enereço eletrônico: lan@if.ufrs.br RESUMO. Apresenta-se uma breve história as primeiras eterminações a aceleração ravitacional. São iscutios teoricamente ois métoos, e Bessel e e Kater, e se relatam os resultaos obtios com eles para o valor a aceleração ravitacional em Porto Alere.. Introução Este trabalho tem por objetivos relatar uma breve história as primeiras eterminações a aceleração ravitacional e iscutir, teoricamente, ois métoos que poem ser utilizaos para eterminá-la com bastante precisão. São apresentaos resultaos a aplicação estes ois métoos na obtenção o valor a aceleração ravitacional em Porto Alere.. Sobre as primeiras eterminações a aceleração ravitacional Quase não é exaerao izer que a nova física e Galileu, Descartes, Newton começou com o movimento e quea os corpos. Galileu (564-64) afirmou que o movimento e quea os corpos -"num meio cuja resistência fosse nula", ou seja, em "um espaço totalmente vazio e ar e e qualquer outro corpo"(galilei, 988; p.69) - é um movimento uniformemente variao com a mesma aceleração para toos os corpos. Galileu nunca obteve, com razoável rau e precisão, o valor esta aceleração: suas estimativas levaram a um valor cerca e 4 m/s. Como poeria Galileu saber que na quea livre os corpos a aceleração é a mesma para toos eles, se não tinha conições e eterminá-la precisamente? O pare Mersenne ( ) fez iversas tentativas e eterminar a aceleração ravitacional meino tempos e quea (Koyré, 988). Seus resultaos levaram-no a valores bastante maiores o que o e Galileu: a orem e 8 m/s. Estas e outras tentativas e obter a aceleração ravitacional, com razoável rau e precisão, esbarraram na inexistência e um métoo confiável para meir intervalos e tempo. Naquela época não havia aina relóios precisos. Galileu relatou experimentos nos quais o tempo era meio através a eterminação a massa e áua que fluía e um tanque (Galilei, 988); já Mersenne utilizou pênulos na meia os tempos. Seuno Koyré (988; p.97) houve uma "situação paraoxal no momento o nascimento a ciência moerna: posse e leis matemáticas exatas e impossibiliae e aplicá-las porque não era realizável uma meia precisa a raneza funamental a inâmica, isto é, o tempo". Huyens (69695) refez o último experimento e Mersenne, em 659, encontrano valores entre 9 e 0 m/s (Koyré, 988). Conscientizou-se que enquanto não fosse construío um cronômetro confiável não poeria meir com precisão o tempo e quea. Com o intuito e utilizar um pênulo para meir tempos enfrentou, teoricamente, o problema e eterminar a curva que o pênulo evia escrever para que o períoo fosse inepenente a amplitue - a curva tautócrona - (Boyer,974); a utilização e um pênulo que tivesse períoo inepenente a amplitue era crucial para eterminações precisas e intervalos e tempo. Galileu acreitava, erraamente, que a curva tautócrona era a circunferência, seno o períoo e um pênulo circunferencial o mesmo para qualquer amplitue. Aina em 659, Huyens emonstrou teoricamente que a curva tautócrona era a ciclóie. A resolução teórica esse problema lhe eu também a relação entre o períoo o pênulo e a aceleração ravitacional; essa relação não era procuraa oriinalmente por Huyens, que pretenia simplesmente encontrar a curva tautócrona. Conhecia essa relação, abriu-se um novo caminho para a obtenção a aceleração ravitacional, que não mais exiia a meia e tempos e quea: a partir a meia o períoo e o comprimento o pênulo era possível se obter a aceleração ravitacional. Utilizano então um pênulo com cerca e 5,7 cm, que realizava 4464 pequenas oscilações (oscilações e pequena amplitue) em uma hora (Huyens também emonstrara que para as pequenas amplitues e um pênulo não cicloial o períoo era constante), eterminou a aceleração ravitacional como seno aproximaamente 9,5 m/s. Em 666, Newton (64-77) aborou um problema que Galileu, em 63, no seu "Diáloos sobre os ois principais sistemas o muno" já havia tentao resolver. Uma as arumentações contra o sistema copernicano, mais especificamente, contra o movimento e rotação a Terra em torno e seu eixo, izia que a "força centrífua" atuano sobre objetos na superfície a Terra, os lançaria para lone. Galileu já se empenhara em refutar tal arumento e afirmara, erraamente, que não importano qual fosse a velociae e rotação a Terra, não se afastariam e sua superfície (Koyré,986). Newton, em 666, já euzira a fórmula que permitia calcular a força no movimento circular e procurou comparar a aceleração centrípeta e um corpo em rotação junto com a Terra com a aceleração ravitacional (Westfall, 995). Para tanto necessitava conhecer o valor a aceleração ravitacional; não satisfeito com a estimativa e Galileu (cerca e 4 m/s ) e provavelmente esconheceno o resultao e Huyens (sabe-se que a obra e Huyens que trata e relóios e pênulo - o célebre Horoloium oscillatorium - foi publicaa em 673 (Boyer, 974)), calculou o valor a aceleração ravitacional utilizano um pênulo cônico. O experimento foi realizao com um pênulo com aproximaamente,05 m e comprimento, escreveno uma trajetória circular na horizontal, tal que o pênulo ficava inclinao 45 raus Publicao em Revista e Ensenãnza e la Física, Córoba, 0(): 9-35, 995.

2 (Westfall, 995). Ele utilizou a relação que existe entre a força centrípeta e a aceleração ravitacional nesse movimento: a partir o períoo e rotação o pênulo cônico eterminou a força centrípeta e esta, a aceleração ravitacional. O valor que encontrou foi aproximaamente 0, m/s. Estimou então que a razão entre a aceleração centrípeta no equaor a Terra e a aceleração ravitacional era lieiramente maior o que :350. Ficava assim superaa uma as objeções contra o movimento iário a Terra. Até hoje, eterminações precisas a aceleração ravitacional continuam a ser realizaas com pênulos.. A seuir serão apresentaos ois métoos, envolveno pênulos, que permitem meias bastante precisas. 3. O métoo e Bessel É comum em isciplinas introutórias e Física Geral, seja no seuno rau ou na universiae, encontrar-se um experimento que visa a obtenção a aceleração ravitacional utilizano um "pênulo simples". A conhecia equação o pênulo simples afirma que, para pequenas amplitues quano então vale a aproximação linear, o períoo epene apenas o comprimento o pênulo simples e a aceleração ravitacional. A ativiae experimental consiste em construir um "pênulo simples" (usualmente uma pequena esfera e metal suspensa por um fio), meino o períoo e o comprimento, calculano, finalmente, a aceleração ravitacional. Assumino uma atitue crítica em relação a esta proposta, nota-se que qualquer sistema real constituío por uma pequena esfera suspensa por um fio não é um "pênulo simples" mas um pênulo físico: a massa o pênulo está istribuía e não localizaa em um ponto, como se imaina na eução a equação o pênulo simples. Aina que a massa o fio seja esprezível e que a esfera possua ensiae constante, emonstra-se facilmente que o comprimento o pênulo simples equivalente (o comprimento o pênulo simples que tem o mesmo períoo o pênulo físico) é maior o que a istância o ponto e suspensão ao centro e raviae a esfera (Silveira, 99). Prova-se que o comprimento o pênulo simples equivalente é: R D () 5 D - comprimento o pênulo simples equivalente. D- istância o ponto e suspensão ao centro e raviae a esfera. R- raio a esfera. Desta forma, quano se quiser obter uma estimativa para a aceleração ravitacional, com razoável rau e precisão, um os problemas a ser enfrentao experimentalmente é o a eterminação o comprimento o pênulo simples equivalente (importante insistir que este não é a istância entre o ponto e suspensão e o centro e raviae a esfera). A aceleração ravitacional, em função o períoo e este comprimento (para pequenas amplitues, quano vale a aproximação linear), é aa pela equação abaixo: 4π () T - aceleração ravitacional. T- períoo o pênulo. A iferença entre e D, e acoro com a equação, epene e R e e D. A forma e iminuir esta iferença é tornar R bastante menor o que D. Por exemplo, se a esfera tiver raio a orem e aluns centímetros e a istância D for a orem e metro, a iferença entre e D é a orem e écimo e milímetro. Ou seja, para essas imensões, a menos que se eseje conhecer com erro inferior a écimo e milímetro, poe-se tomar D por na equação. Entretanto, eterminar o comprimento D, mesmo com precisão e milímetro, é ifícil pois o centro a esfera não é reconhecível iretamente. Bessel, no início o século XIX, iealizou um métoo para eterminar a aceleração ravitacional com um "pênulo simples", que não requer o conhecimento a localização o centro e raviae a esfera. O proceimento proposto por Bessel baseia-se no fato e que é possível meir a iferença e comprimento que um pênulo sofre, sem conhecer os seus respectivos comprimentos. Ou seja, constrói-se um pênulo com rane comprimento, iamos a orem e 3 m e se etermina experimentalmente o seu períoo; em seuia, encurta-se o pênulo, iamos para m aproximaamente, meino-se esse encurtamento e o novo períoo. É fácil emonstrar a partir a equação, aproximano-se por D, que a aceleração ravitacional é: 4π (3) T T iferença ( D D ) entre os ois comprimentos. T e T períoos o pênulo. A fim e eterminar a aceleração ravitacional no Campus o Vale a UFRGS, construímos um pênulo com uma esfera e chumbo e aproximaamente cm e raio, suspensa for um fio fino e aço. O comprimento inicial o pênulo foi cerca e 3 m. Colocamo-lo a oscilar

3 com pequena amplitue, menor o que o (para amplitues e até,3 o vale a aproximação linear para o períoo com precisão até écimos e milésimo e seuno, se o períoo for a orem e seunos (Silveira, 99)) e meimos o tempo e 40 oscilações (no final as 40 oscilações a amplitue já era tão pequena que ificultava a observação); repetimos esse proceimento 5 vezes. Em seuia, encurtamos o fio por, cm, meino 5 vezes o tempo e 40 oscilações (o processo too urou em torno e horas). Obtivemos no final os seuintes resultaos: T S 0,0006 s 3,5870 s T T,8977 s, cm T 0,0006s 0, cm Os valores iscriminaos ao lao as méias (primeira coluna) são as respectivas estimativas e erro (esvio parão a méia para os períoos e menor ivisão a escala a trena no caso o comprimento). Utilizano a conhecia expressão para a propaação os erros (Vuolo, 99), tem-se que, nesse caso, o erro na aceleração ravitacional é ao por: S S S (4) T T S T T T T T T Substituino-se em 4 os valores referios acima, encontra-se: S cm/s. Visto que a equação 3 fornece 98 cm/s, poe-se finalmente afirmar, no nível e confiança e 68%, que o veraeiro valor a aceleração ravitacional no Campus o Vale a UFRGS está compreenio entre 979 cm/s e 983 cm/s. 4. O métoo e Kater Para qualquer pênulo físico existem infinitos conjuntos e quatro eixos coplanares e paralelos a um eixo que passa pelo centro e massa ou centro e raviae (o centro e massa e o centro e raviae são coincientes quano o campo ravitacional que atua sobre o corpo é uniforme), tais que os períoos sejam iuais. Dois a ois, esses quatro eixos são eqüiistantes o eixo que passa pelo centro e massa; poe ocorrer que alum(ns) esses eixos não intercepte(m) o pênulo, localizano-se fora o mesmo. Se o eixo que passa pelo centro e massa estiver entre ois eixos não eqüiistantes o centro e massa, então a istância entre esses ois eixos é iual ao comprimento o pênulo simples equivalente (a emonstração essa afirmação, bem como as anteriores, poe ser encontraa em textos e mecânica o terceiro rau, por exemplo, Savéliev (984), Symon (97) e Timoner e outros (973)). Esta proprieae está representaa na Fiura. FIGURA. Pênulo físico e pênulo simples equivalente. X e Y - istâncias os eixos paralelos O x e O y ao centro e massa CM. - comprimento o pênulo simples equivalente. Experimentalmente, é possível se eterminar com rane precisão ois esses eixos: procura-se ois eixos, não eqüiistantes o centro e massa, em torno os quais os períoos e oscilação sejam praticamente iuais. A localização os ois eixos poe ser feita com o rau e precisão que se eseje, bastano para isso que se meçam os períoos a partir o tempo e um rane número e oscilações e pequena amplitue. Como o corpo é posto a oscilar, ora em torno e um eixo, ora em torno e outro eixo, ficano o centro e massa entre eles, aluns autores chamam-no "pênulo reversível" (Timoner e outros; 973). Em seuia, mee-se a istância entre os ois eixos, o que também poe ser feito com pequeno erro. Calcula-se então a aceleração ravitacional pela equação o pênulo simples, a equação. Note-se que esta interessante proprieae os ois eixos ispensa o conhecimento a istribuição e massa o pênulo. 3

4 Na prática utiliza-se um pênulo com istribuição e massa fortemente assimétrica. A Fiura á a iéia o pênulo. Ele possui uma pequena massa que tem posição ajustável (não representaa na fiura). Inicia-se o experimento localizano ois eixos em torno os quais os períoos são aproximaamente iuais. Fixa-se os ois eixos, alterano epois a posição a pequena massa até que os ois períoos sejam tão parecios quanto se eseje. Esse processo é emorao, ocorreno por tentativas, levano muitas horas se for necessária uma rane precisão. FIGURA O pênulo e Kater ou pênulo reversível. O experimento que realizamos, após os ajustes iniciais, envolveu a tomaa e cinqüenta meias o tempo e 70 pequenas oscilações para caa um os eixos (após as 70 oscilações a amplitue era tão pequena que se tornava impraticável observar mais oscilações; iniciávamos caa série com amplitue não superior a o para que a equação, que é uma aproximação linear, valesse para a precisão que esejávamos obter na eterminação os períoos (Silveira, 99)). A uração total o experimento foi e mais e quatro horas. Os resultaos obtios, para as méias e as respectivas estimativas e erro, foram os seuintes: T,396 s T 0,0003 s T 0,000 s,3967 s T 48,38 cm 0,003 cm O períoo a ser utilizao na equação é a méia os ois períoos meios. Utilizano a conhecia expressão para a propaação os erros, tem-se que, nesse caso, o erro na aceleração ravitacional é ao por: Substituino-se em 5 os valores referios acima, encontra-se: S S (5) T T T T T T S 0,3cm/s. Visto que a equação fornece 979,5 cm/s, poe-se finalmente afirmar, no nível e confiança e 68%, que o veraeiro valor a aceleração ravitacional no Campus o Vale a UFRGS está compreenio entre 979, cm/s e 979,8 cm/s. 4

5 5. Conclusão O pênulo e Kater ou pênulo reversível, utilizao pela primeira vez em 89, continua até hoje seno usao em meias bastante precisas a aceleração ravitacional, tais como as que os eóloos fazem com objetivos e prospectar materiais abaixo a superfície a Terra. O fabricante o pênulo fornece ao usuário o comprimento o pênulo simples equivalente, ispensano o trabalhoso processo e localização os ois eixos, permitino a eterminação a aceleração ravitacional com o pênulo oscilano em torno e apenas um eixo. O métoo e Bessel tem o inconveniente e que, a caa vez, a iferença no comprimento e os respectivos períoos evem ser meios; além isso; não permite meias com o rau e precisão o métoo e Kater. Assim, na Geoloia o métoo e Bessel é preterio a favor o e Kater. Caso se eseje aumentar muito a precisão, outras variáveis que em nossos exemplos foram esprezaas, everão ser consieraas, acarretano uma série e correções: forças resistivas o meio e atrito no eixo; variações o períoo com a amplitue; variações no comprimento por ilatação térmica; cooscilação a suspensão o eixo;.... É importante notar que os erros obtios nessas uas meias a aceleração ravitacional, principalmente na seuna, são pequenos (partes em mil no primeiro caso e partes em ez mil no seuno caso). Dificilmente estes experimentos poeriam ser propostos, com tal rau e precisão, como ativiae e laboratório e Física Geral, evio ao lono e teioso processo e eterminação os períoos. Caso se tolere erros maiores o que os obtios, é possível em uma ativiae e laboratório e Física Geral, realizar um os experimentos. Uma consieração eve aqui ser feita. Na verae quano falamos em "aceleração ravitacional" estamos nos referino à "aceleração ravitacional aparente", ou seja, à aceleração em um sistema e referência em rotação junto com a Terra. Recoramos que Newton já eterminou a iferença entre ambas quano se empenhava em refutar uma importante objeção contra o movimento e rotação a Terra em torno e seu eixo (conforme vimos na secção ). Sabe-se que a iferença entre os ois valores poe chear a ser a orem e 3 cm/s (no equaor ela é aproximaamente esta) epeneno o local na Terra; esta iferença torna-se empiricamente importante quano o métoo utilizao na sua eterminação envolve erros iuais ou menores o que 3 cm/s. A história as eterminações a aceleração ravitacional nos esclarece que, contrariamente à epistemoloia empirista, o conhecimento científico não começa com meias. Galileu nunca teve conições e meir com razoável rau e precisão a aceleração e um corpo em quea e, entretanto, afirmou que ela era a mesma para toos os corpos. Esta história também nos mostra que o aumento na precisão as eterminações a aceleração ravitacional sempre foi anteceio e importantes avanços teóricos. Sem uma "boa" teoria não é possível a realização e meias sofisticaas, ou, como tantos epistemóloos já insistiram, "too o nosso conhecimento é imprenao e teoria, inclusive nossas observações" (Popper, 975; p. 75). BIBIOGRAFIA BOYER, C. B. História a Matemática. São Paulo: Ear Blücher, 974. GAIEI, G. Duas novas ciências. São Paulo: Nova Stella, 988. KOYRÉ, A. Estuos alilaicos. isboa: Dom Quixote, 986. Estuios e historia el pensamiento científico. México: Silo Veintiuno, 988. POPPER, K. R. Conhecimento objetivo. São Paulo: EDUSP, 975. SAVÉIEV, I. V. Curso e Física Geral. Moscou: MIR, 984. SIVEIRA, F.. Consierações sobre o artio "Métoos numéricos no ensino a Física Experimental". Caerno Catarinense e Ensino a Física, Florianópolis, 9():86-90, 99. SYMON, K. R. Mechanics. Menlo Park: Aison-Wesley, 97. TIMONER, A., MAJORANA, F. S. E HAZOFF, W. Manual e laboratório e Física. São Paulo: Ear Blücher, 973. VUOO, J. H. Funamentos a teoria e erros. São Paulo: Ear Blücher, 99. WESTFA, R. S. A via e Isaac Newton. Rio e Janeiro: Nova Fronteira, 995. Araecimentos Araeço às professoras Maria Cristina Varriale e Maria Teresinha Xavier Silva e ao professor Rolano Axt pela leitura crítica que permitiu o aprimoramento este trabalho. 5