Caderno de Matemática Financeira Dom Alberto

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1 C iências ontábeis ADMINISTRAÇÃO Caderno de Matemática Financeira Dom Alberto Prof: Cristiano Huff Jung

2 Página 2 / 70 C122 JUNG, Cristiano Huff Caderno de Matemática Financeira Dom Alberto / Cristiano Huff Jung. Santa Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, Inclui bibliografia. 1. Administração Teoria 2. Ciências Contábeis Teoria 3. Matemática Financeira Teoria I. JUNG, Cristiano Huff II. Faculdade Dom Alberto III. Coordenação de Administração IV. Coordenação de Ciências Contábeis V. Título CDU 658:657(072) Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso Bibliotecário CRB10 010/10

3 Página 3 / 70 Apresentação O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua trajetória acadêmica em 2004, após a construção de um projeto pautado na importância de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que, combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma formação sólida e relacionada às demandas regionais. Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo MEC do Curso de Administração em Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto, que é o produto do trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso. A todos os professores que com competência fomentaram o Caderno Dom Alberto, veículo de publicação oficial da produção didáticopedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento especial. Lucas Jost Diretor Geral

4 Página 4 / 70 PREFÁCIO A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais de cada área de atuação, etc. Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um profissional é saber discutir diversos temas aos quais se aplicam conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos na proposta pedagógica do curso. Considerando esses pressupostos, a produção desse Caderno Dom Alberto é parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto. Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teóricoprática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso. Ser um canal de divulgação do material didático produzido por professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete, propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o Caderno Dom Alberto com a mesma satisfação que a Faculdade tem em elaborar esta coletânea. Elvis Martins Diretor Acadêmico de Ensino

5 Página 5 / 70 Sumário Apresentação... 3 Prefácio... 4 Plano de Ensino... 6 Aula 1 Matemática Financeira Aplicada Aula 2 Variáveis do Movimento Financeiro Aula 3 Juros Compostos... Aula 4 Exercícios Aula 5 Exercícios Aula 6 Desconto Simples Aula 7 Exercícios Aula 8 Desconto Composto Aula 9 Equivalência de Capitais Aula 10 Rendas Certas ou Anuidades Aula 11 Exercícios Aula 12 Prestações Problemas Aula 13 Sistemas de Amortizações

6 Página 6 / 70 Centro de Ensino Superior Dom Alberto Plano de Ensino Identificação Curso: Administração/Ciências Contábeis Disciplina: Matemática Financeira Carga Horária (horas): 60 Créditos: 4 Semestre: 2º Ementa Porcentagem. Sistema de Capitalização Simples. Sistema de Capitalização Composta. Taxas. Descontos. Fluxo de Caixa Homogêneo. Fluxo de Caixa Não Homogêneo. Séries de Pagamentos. Sistemas de Amortização e Empréstimos. Objetivos Geral: Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Financeira Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade. Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade. Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos financeiros aplicados. Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas. Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho. Específicos: Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais. Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia. Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência. Inter-relação da Disciplina Horizontal: Contribuir para o desenvolvimento cognitivo interdisciplinar, promovendo um ensino voltado a uma formação sólida e ampla, tendo como foco principal às exigências da vida social e profissional. Vertical: As aplicações da disciplina de Matemática Financeira são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a situações práticas e ajustadas à realidade dos negócios na economia brasileira. Competências Gerais Compreender e ampliar conceitos de Matemática Financeira como instrumentos de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade. Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, atuar preventivamente em situações ligadas a Matemática Financeira. Competências Específicas Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo como juros, descontos, taxas, séries de pagamento, e sistemas de amortizações. Aplicar os conhecimentos de Matemática Financeira nas atividades econômicas, financeiras e administrativas. Habilidades Gerais Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, desenvolver o raciocínio lógico, crítico e criativo diante dos diferente contextos organizacionais e sociais. Habilidades Específicas Ler, interpretar e resolver problemas sobre juros e descontos, taxas, séries de pagamentos e sistemas de Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional.

7 Página 7 / 70 amortizações usando o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação. PROGRAMA: Conteúdo Programático 1. Apresentação inicial da disciplina 2. Porcentagem 3. Fluxo de caixa 4. Juro simples 5. Prazo exato 6. Prazo comercial 7. Descontos simples (comercial e bancário) 8. Taxa proporcional 9. Taxa equivalente 10. Juro composto 11. Valor atual 12. Valor futuro 13. Desconto comercial e bancário 14. Equivalência de capitais 15. Taxa equivalente 16. Taxa nominal 17. Taxa efetiva 18. Séries postecipadas 19. Séries antecipadas 20. Séries diferidas 21. Sistemas de amortização: SAC, PRICE e SACRE 22. Planos de amortizações Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula) A Matemática Financeira tem se tornado uma poderosa ferramenta de análise de problemas, seja este simples como aquisição de um produto qualquer de uso imediato, ou seja, a análise de um projeto de investimento num empreendimento industrial que custa alguns milhares de dólares. O planejamento do trabalho em sala de aula é à base da construção do processo de ensino e aprendizagem. Planejando a ação, o professor tem a possibilidade de saber exatamente qual o ponto de partida e o de chegada para cada tema abordado em seu curso. Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de currículos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc. A forma de avaliação será da seguinte maneira: 1ª Avaliação Peso 8,0 (oito): Prova; Peso 2,0 (dois): Trabalho Individual com 20 questões de múltipla escolha, com consulta e postado no site, na data combinada. 2ª Avaliação - Peso 8,0 (oito): Prova; - Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas SPE (maior nota das duas provas do SPE) Observação: As provas do SPE deverão ser realizas até o dia 30/09/2010 (1ª prova SPE) e até o dia 30/11/2010 (2ª prova SPE), sendo obrigatória a realização de ao menos uma prova. Avaliação Somativa A aferição do rendimento escolar de cada disciplina é feita através de notas inteiras de zero a dez, permitindo-se a fração de 5 décimos. O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas. Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional.

8 Página 8 / 70 Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no bimestre. O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários, pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma nota representativa de cada avaliação bimestral. Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete (7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados. Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral, no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0). Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula. Professor. Laboratórios, visitas técnicas, etc. Recursos Multimídia. Recursos Necessários Humanos Físicos Materiais Bibliografia Básica ARRUDA, Sérgio Roberto. Matemática financeira ao alcance de (quase) todos 2. ed. Porto Alegre: Sagra: DC Luzzatto, ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 7. ed.são Paulo: Atlas, FARO, C. Matemática financeira. 9 ed. São Paulo: Atlas, MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira: com + de 600 exercícios resolvidos e propostos. 3. ed. São Paulo: Atlas, VERAS, Lilia Ladeira. Matemática financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, Complementar HAZZAN Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. 2. ed. Florianópolis: UFSC, HIRSHFELD, Henrique. Engenharia econômica. São Paulo: Atlas TOSI, Armando José. Matemática financeira com utilização do excel São Paulo: Atlas, VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas Revistas: Você S/A, Veja, Exame, Valor. Periódicos Sites para Consulta Outras Informações Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca: Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional.

9 Página 9 / 70 Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional.

10 Página 10 / 70 Cronograma de Atividades Aula Consolidação Avaliação Conteúdo Procedimentos Recursos 1ª 2ª Capitalização simples. 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 1 Apresentação e discussão do Plano de Ensino da Disciplina. Porcentagem. AE AE/TG QG/DS/AP QG/DS Taxa equivalente a juros simples AE/TG QG/DS Desconto simples AE/TG QG/DS Capitalização composta AE/TG QG/DS Taxas AE/TG QG/DS Desconto composto TG/TI QG/DS/AP Consolidação e Sistematização dos conteúdos da 1ª avaliação 1 Primeira Avaliação 9ª Equivalência de capitais 10ª 11ª 12ª 13ª TI/TG TI QG/DS/AP Fluxo de caixa AE/TG QG/DS AE/TG QG/DS Séries de pagamentos antecipadas AE/TG QG/DS/AP Séries de pagamentos postecipadas e diferidas AE/TG QG/DS/AP Sistemas de amortizações e empréstimos AE/TG QG/DS Sistemas de amortizações e empréstimos TG/TI QG/DS Consolidação e Sistematização dos conteúdos da 2ª avaliação Segunda Avaliação. Avaliação Substitutiva TG/TI TI TI QG/DS/AP Legenda Código Descrição Código Descrição Código Descrição AE Aula expositiva QG Quadro verde e giz LB Laboratório de informática TG Trabalho em grupo RE Retroprojetor PS Projetor de slides TI Trabalho individual VI Videocassete AP Apostila SE Seminário DS Data Show OU Outros PA Palestra FC Flipchart Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional.

11 Página 11 / 70 FACULDADE DOM ALBERTO SANTA CRUZ DO SUL MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA PROF. CRISTIANO HUFF JUNG

12 Página 12 / 70 EMENTA Números e grandezas proporcionais. Problemas que envolvem Porcentagens. Conceitos básicos de Matemática Financeira. Sistema de Capitalização Simples. Sistema de Capitalização Composta. Descontos. Rendas Certas. Fluxo de Caixa Homogêneo. Fluxo de Caixa Não Homogêneo. Sistemas de Amortização de Empréstimos. OBJETIVOS Geral Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Financeira Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade; Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade; Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos financeiros aplicados; Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas; Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho. Específico Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais; Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia; Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência.

13 Página 13 / 70 PROGRAMA Apresentação inicial da disciplina Taxa de porcentagem Problemas que envolvem porcentagens Convenções de matemática financeira Regras de arredondamento Juro simples Prazo exato Prazo comercial Descontos simples Taxa proporcional Taxa equivalente Juro composto Valor nominal Valor atual Valor futuro Equivalência de capitais Convenção linear e exponencial Taxas de juros Fluxo de caixa Taxa nominal Taxa efetiva Sistemas de amortização Desconto racional ou por dentro Desconto comercial ou por fora Desconto bancário Planos de amortizações Séries postecipadas Séries antecipadas Séries diferidas Depreciações

14 Página 14 / 70 BIBLIOGRAFIA BÁSICA Veras, Lilia Ladeira. Matemática Financeira 4. Ed. São Paulo: Atlas, Assaf Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações 7. Ed. São Paulo: Atlas, Mathias, Washington Franco; Gomes, José Maria. Matemática Financeira 3. Ed. São Paulo: Atlas, BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR Arruda, Sérgio Roberto. Matemática Financeira ao alcance de (quase) Todos 2. Ed. Porto Alegre: Sagra: DC Luzzatto, Faro, Clovis de. Matemática Financeira 9. Ed. São Paulo: Atlas, Hazzan, Samuel; Pompeo, José Nicolau. Matemática Financeira 5. Ed. São Paulo: Saraiva Taxa de Porcentagem Caderneta de poupança rende 0,7% ao mês Número de vagas nas escolas públicas deve aumentar 8% este ano Lucro da indústria farmacêutica cresceu 16% no ano passado. Todos os dias vemos nos meios de comunicação o uso da expressão por cento. A expressão por cento vem do latin per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é uma deturpação da abreviatura Cto (ciento), usada pelos mercadores italianos no século XV nas suas transações, e aparece pela primeira vez, em 1685, num livro francês, LE GUIDE DE NEGOTIEN (o guia do comerciante). Exemplos 1 Uma fábrica tinha 500 funcionários, este ano o número de funcionários aumentou em 25%. Quantos funcionários têm a fábrica agora? 2 Dos 60 candidatos que prestaram um concurso, 24 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados? 3 Escreva cada taxa percentual em números decimais. a) 6% b) 20% c) 90% d) 33% e) 6,8% f) 82,44% g) 1,8% h) 0,3%

15 Página 15 / 70 4 Transforme cada número decimal a seguir na forma de taxa percentual a) 0,56 b) 0,13 c) 0,03 d) 1,35 e) 3,40 f) 0,87 5 Escreva as seguintes frações na forma de taxa percentual: 34 a) 100 b) 10 9 c) 4 1 d) Um jogador de basquete acertou 15 cestas dos 36 arremessos que fez. Qual a taxa percentual das cestas feitas por este jogador? 7 Pedro ganha 12 salários mínimos mensais. Joaquim ganha 30% a mais do que ganha Pedro. Quantos salários mínimos ganha Joaquim? 8 Um carro avaliado em R$ ,00 foi vendido com um desconto de 12% sobre esse preço. Qual foi o preço de venda? 9 Carlos teve um aumento de 8% e passou a receber R$ 1.680,00. Qual era seu salário antes do reajuste? 10 O salário de João era de X reais em janeiro. Em maio ele recebeu um aumento de 20% e outro de 15%, em novembro. Seu salário atual é de R$ 2.208,00. Calcule o salário de João em janeiro.

16 Página 16 / 70 AULA 2 Matemática Financeira Prof. Cristiano Huff Jung Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos negócios, como também com as tabelas, fórmulas e calculadoras que utilizarão. E tudo isso só se consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área pela primeira vez. Há alguns poucos anos, só se resolviam problemas financeiros com o auxílio de tabelas. Com o advento das calculadoras eletrônicas portáteis, a princípio científicas, mas cada vez mais avançadas, as tabelas cederam lugar a fórmulas que, se forem compreendidas na sua origem e dedução, serão utilizadas de forma cada vez mais natural, sem a necessidade de memorização de muitas delas. Mas os recursos das calculadoras modernas parecem não ter limites e hoje, com uma calculadora financeira avançada, ou mesmo básica, já se podem dispensar até as fórmulas, em muitas ocasiões. E mesmo para quem prefere usar fórmulas na resolução de problemas restarão cálculos a fazer, e o uso de uma calculadora científica ou financeira, básica ou avançada, será considerado imprescindível. Variáveis do Movimento Financeiro Valor Presente Liquido: Representa o valor do capital investido ou tomado como empréstimo na data inicial do fluxo de caixa. Principal (P), Valor Presente (PV), Valor Atual (V), Capital Inicial (C). Valor Futuro: Representa o valor do capital em uma data futura, posterior a data inicial do fluxo de caixa. Montante (M), Valor Futuro (FV), Capital Acumulado (CA). Prestação Uniforme: Corresponde ao valor a ser pago ou recebido em cada período. Prestação (P) ou (PMT). Período de Capitalização: Representa o período de tempo em que um determinado capital sofre a incidência de juros, ou seja, de quanto em quanto tempo os juros serão incorporados ao capital inicial (n). Taxa de Porcentagem: As taxas variam dependendo da situação econômica (i).

17 Página 17 / 70 Equivalência de Capitais: Dois capitais são ditos equivalentes se, investidos à mesma taxa produzem um mesmo montante em uma determinada data. Fluxo de Caixa: Define-se fluxo de caixa, seja um indivíduo, uma empresa ou um investimento, como o conjunto de entradas e saídas de recursos ao longo de um dado intervalo de tempo. Diagrama: O conceito de diagrama, apesar de relativamente óbvio, é extremamente relevante em finanças, uma vez que todas as questões que envolvam a matemática financeira recorrem dos diagramas para uma melhor definição do cálculo. Juros Simples Juro (J) é toda compensação em dinheiro que se paga, ou que se recebe, pelo dinheiro que se empresta, ou que se pede emprestado. Exemplo: Qual o juro que rende um capital de R$1000,00 aplicado por 1 ano à taxa de juros de 10% ao ano? Quando falamos em juro, devemos considerar: O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital (C). A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juro (i). O total que se paga no final do empréstimo (Capital+Juro) é denominada montante. O tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira é denominada prazo (n). A taxa de juro é indicada em relação a um intervalo de tempo: 5% a.d.= 5% ao dia 10% a.m.=10% ao mês 35% a.a.=35% ao ano A taxa e o tempo devem ter sempre a mesma unidade de medida. O prazo de aplicação pode ser contado em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres, anos etc. E pode ser: Prazo Exato É aquele que usa o ano civil de 365 dias ou 366 dias (ano bissexto), em que os dias são contados pelo calendário. Assim, o mês pode ter: 38 ou 29 dias (anos bissextos) fevereiro. 30 dias (abril, junho, setembro, novembro). 31 dias (janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro).

18 Página 18 / 70 Prazo Comercial É aquele que usa o ano comercial no qual o mês tem sempre 30 dias e o ano, 360 dias. O juro pode ser simples ou composto. Cálculo do Juro Simples Suponhamos que se tome emprestada a quantia de R$ 1000,00, pelo prazo de 2 anos e à taxa é de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro? J=C.i.n M=C(1+i.n) Sendo que: Exemplos: 1- Mariana pediu R$800,00 emprestados para pagar depois de 3 meses, a taxa de 5%ao mês. Quanto Mariana deverá pagar ao fim desse tempo? 2-Um investidor aplicou R$15.000,00 à taxa de 3% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob o regime de juros simples? 3- Uma pessoa aplicou R$3000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. a) Quanto receberá de juro se o regime for de juros simples? b) Que montante terá ao fim dessa aplicação?

19 Página 19 / 70 4-Determine o prazo em que duplica um capital aplicado à taxa de juro simples de 4%a.m. Exercícios 1- Uma dívida de R$10.000,00 foi paga com 3 meses e 15 dias de atraso. Cobrou-se uma multa de 5% ao mês. a) Qual foi o valor da multa? b) Quanto foi pago pela dívida? 2- Em quanto tempo um capital de R$80.000,00, aplicado à taxa anual de 11%, produz R$ 4400,00 de juro? 3- Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores dando uma entrada de R$ 200,00 mais uma parcela de R$450,00 dois meses depois após a compra. Sabendo que o preço à vista do aparelho é de R$ 600,00. a) Qual a taxa mensal de juro simples do financiamento? b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$ 450,00, para que a taxa de juro simples do financiamento fosse de 2,5%a.m.?

20 Página 20 / 70 Taxa Proporcional Consideremos duas taxas de juros arbitrarias i 1 e i 2, relacionadas respectivamente aos períodos n 1 e n 2 ; referidas à unidade comum de tempo das taxas. Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou seja, se: i1 n1 = i2 n2 Como em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos: i 1.n 2 =i 2.n 1 Exemplo: 1-Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais: 2- Sendo dada à taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. Taxa Equivalente Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juro. Exemplo: Seja um capital de R$10.000,00 que se pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m ou de 24%a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Aplicando à taxa de 2% a.m. prazo de 2 anos. Aplicando à taxa de 24% a.a. por 2 anos

21 Página 21 / 70 Constatamos que o juro que será gerado é igual nas duas hipóteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a. Problemas de Matemática Financeira 1-Qual é o juro simples que um capital de R$7.000,00 rende quando aplicado: a) Durante 4 meses, a uma taxa de 2,5% a.m.? b) Durante 1 ano, a uma taxa de 3% a.m? c)durante 3 meses, a uma taxa de 0,15% a.d.? 2-Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 6% a.m., a juro simples para obter R$6.000,00 de juros em 4 meses. 3-Determine o montante simples obtido na aplicação de um capital de R$12.000,00, à taxa de 1,5%a.m., pelo prazo de 9 meses. 4- Cezar aplicou R$1.000,00 à taxa de 50% a.a. Qual será o juro acumulado ao final de 70 dias, sob o regime de: a) Juro simples comercial? b) Juro simples exato? 5- Um capital de R$8.000,00, aplicado durante 6 meses, resulta em um montante de R$9.200,00. Determine a taxa mensal de juro simples dessa aplicação. 6- A que taxa mensal deve ser aplicado um capital de R$48.000,00, durante 3 meses e 20 dias para produzir R$440,00 de juro simples?

22 Página 22 / 70 Aula 3 Juros Compostos Prof. Cristiano Huff Jung Exemplos: 1) Um investidor aplicou R$ ,00 a juro composto de 20% a.m.. Quantos reais terá após 5 meses de aplicação? Qual o juro obtido? 2) Um investidor aplicou R$ ,00 a juro composto de 2% a.m.. Quantos reais terá após 8 meses de aplicação? 3) Cláudio aplicou R$ 5.000,00, à taxa de 3% a.m., durante 5 meses. Que montante esse capital irá gerar, se o regime for de juro composto? Quantos reais de juro obterá nessa operação? 4) Celina aplicou R$ ,00 em um banco, a juro composto de 16% a.a. capitalizados anualmente. Qual o juro obtido ao final de 2 anos? 5) Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de R$25.000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses. 6) Qual o montante que um capital de R$ 4.000,00, produz quando aplicado: a) Durante 3 meses, a uma taxa de 4% a.m. de juro composto? b) Durante 10 anos, a uma taxa de 2% a.m. de juro composto? c) Durante 15 meses, a uma taxa de 0,02% a.d. de juro composto

23 Página 23 / 70 7) Matheus aplicou R$ ,00 a juro composto de 6% ao bimestre. Que quantia terá após 12 meses de aplicação? 8) Uma pessoa aplicou X reais a uma taxa de juro composto de 2,4% a.m.. Sabendo que após 5 meses recebeu um montante de R$40.000,00, calcule X. 9) Suponha que, há 120 anos, sua bisavó tivesse aplicado R$ 100,00 a uma taxa de 8% a.a. de juro composto. Qual seria o montante acumulado até hoje? 10) Fernanda quer comprar um carro de R$ ,20 e só tem R$9.200,00. Supondo que o carro não aumente de preço, a que a taxa mensal de juro composto ela deve aplicar o seu dinheiro de modo a obter o montante necessário para comprar o carro à vista em 10 meses? 11) Suponha que em 2 meses um determinado titulo de capitalização teve seu valor reajustado em 38%. Sabendo que o reajuste no primeiro mês foi de 15%, podemos afirmar que o do segundo mês foi de: a) 18,5% b) 19,5% c) 20% d) 21,5% e) 23% 12) A população de uma região triplicou em 2 anos. O aumento percentual médio por ano foi aproximadamente de: a) 35% b) 42% c) 65% d) 75% e) 73%

24 Página 24 / 70 Aula 4 Matemática Financeira Prof. Cristiano Huff Jung 1 Qual o montante simples de um capital de R$ 600,00 aplicado a 18% a.a., durante 8 meses? 2 Determine o juro simples de um capital de R$ 300,00 aplicado a 24% a.a., durante 2 meses e 28 dias. 3 Qual é o valor nominal de uma nota promissória de R$ 7.575,76 assinada hoje com o vencimento para daqui a 10 meses, se a taxa de juro simples da aplicação for de 38,4% a.a? 4 Certa pessoa aplicou R$ ,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juro simples de mercado for de 32% a.a. na ocasião da transferência? 5 Certo capital produziu o montante simples de R$ 186,00 em 100 dias, a 1% a.m. Qual o capital aplicado? 6 Qual o tempo necessário para que o capital de R$ 1.000,00 produza juro simples de R$ 81,00 à taxa de 18% a.a? 7 Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m., pelo prazo de 10 meses? 8 Determine o montante composto de R$ 3.000,00 a 2% a.m. no final de 2 anos. 9 Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses, com valor nominal de R$ 1.131,40 se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m?