Jarra e copo com água. Os dois recipientes contêm quantidades iguais do líquido.

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1 Dott/ID/BR Jrr e copo com águ. Os dois recipientes contêm quntiddes iguis do líquido. XI P_VJ_M9_LA_GOV_C09_190A213.indd 190 3/24/12 5:40 PM

2 9 Cpítulo Áres e volumes O que você vi prender # Áre de figurs plns # Áre totl d superfície de um sólido # Volume de um sólido Converse com os colegs A expressão quntiddes iguis do líquido diz respeito um grndez chmd volume. Por exemplo, à primeir vist, pelos formtos distintos dos recipientes d fotogrfi o ldo, pode-se pensr que mbos contêm volumes diferentes de líquido. Pr certificr-se de que os volumes são iguis, cd recipiente, um de cd vez, pode ter seu conteúdo despejdo em um jrr grdud. Ms esse não é o único procedimento pr determinr se os volumes de líquido contido nos recipientes são iguis. Dependendo do formto do recipiente, em lguns csos pode ser possível determinr o volume que ele contém com lgums operções mtemátics, tornndo dispensável jrr grdud. Este cpítulo mostr como efetur esss operções. Portnto, depois de ler est bertur com seus colegs e no fim do módulo 3, retome est bertur pr clculr no cderno quntidde de águ contid nesses dois recipientes. 191 XI P_VJ_M9_LA_GOV_C09_190A213.indd 191 3/24/12 5:40 PM

3 Módulo 1 Áres de figurs plns Você deve sber clculr áre de lgums regiões plns, representndo-s em mlhs qudriculds regulres e contndo os qudrdinhos dentro desss regiões. Neste cpítulo vmos rever esse cálculo e prender determinr s áres de outrs figurs, como o círculo. Pr simplificr lingugem, usmos expressão áre de um polígono, em vez de áre limitd por um polígono. Por exemplo, dizer que áre de um qudrdo é 10 cm 2 signific que áre d região qudrd que ele delimit é 10 cm 2. Já qundo flmos em círculo, estmos nos referindo à superfície pln limitd por um circunferênci. Além disso, utilizmos s figurs preenchids pr ilustrr áre que estmos determinndo. Vej um exemplo de um qudrdo de ldo l (primeir figur) e d região qudrd por ele delimitd (segund figur). Áre de um qudrdo Pr clculr áre de um qudrdo elevmos o qudrdo medid l de seu ldo. l l l l l A qudrdo 5 l? l 5 l 2 l Áre de um retângulo A áre de um retângulo é dd pelo produto entre medid de su bse e de su ltur. h A retângulo 5 b? h b Áre de um prlelogrmo Um prlelogrmo com bse medindo b e ltur de medid h pode ser decomposto em um triângulo e um trpézio. Mudndo esse triângulo de lugr, podemos compor um retângulo com bse e ltur de medids iguis às d bse e ltur do prlelogrmo inicil, conforme mostrm s figurs seguir. h h b b Então concluímos que áre desse prlelogrmo é igul à áre do retângulo de medids b e h: A prlelogrmo 5 b? h 192

4 Observção Ao clculr áres, é importnte expressr s uniddes corretmente. Se s medids lineres estão em centímetros (cm), áre será dd em centímetros qudrdos (cm 2 ); se estão em metros (m), áre será dd em metros qudrdos (m 2 ), e ssim por dinte. Atividdes 1. Determine áre de um qudrdo cujo ldo mede 12 cm. 2. Clcule áre de um retângulo com 7 cm de bse e de ltur. 3. Clcule áre de um prlelogrmo com 9 cm de bse e 4,5 cm de ltur. 4. Sbendo que o perímetro de um qudrdo é 60 cm, qul é áre delimitd por ele? 5. Considerndo dois qudrdos, de mneir que medid do ldo do qudrdo mior sej o triplo d medid do ldo do qudrdo menor, determine rzão entre áre do qudrdo mior e áre do qudrdo menor. 6. Sbendo que rzão entre s áres de dois qudrdos é 2, escrev dus possibiliddes 5 de medids pr os ldos desses qudrdos. 7. Um chácr retngulr tem m 2 de áre, e seu comprimento é 342 m. Qul é lrgur dess chácr? 8. Atendendo o pedido do professor, um luno deduziu um fórmul pr clculr áre dest figur. e f A 5 c? b 1 e? f Respond sempre no cderno. será gsto sbendo que o metro qudrdo de crpete cust R$ 38,00? 11. Determine quntidde necessári de ljots pr revestir um slão de 300 m 2, sbendo que cd ljot mede 25 cm por 50 cm. 12. A rzão entre s medids dos ldos de um retângulo é 3 5 e seu perímetro é 48 m2. Qul é áre desse retângulo? 13. Considere um retângulo com de lrgur e 16 cm de comprimento. Qul deve ser medid do ldo de um qudrdo pr que ele tenh áre igul à desse retângulo? 14. Determine medid do ldo de um qudrdo pr que tenh áre igul à de um retângulo cujos ldos medem 5 m e 45 m. 15. A ltur de um prlelogrmo é 2 de su bse 3 e som ds medids d ltur e d bse é 30. ) Qul é medid d bse e d ltur desse prlelogrmo? b) Qul é áre desse prlelogrmo? 16. Clcule áre de cd um ds figurs colorids representds seguir. ) Cpítulo 9 Áres e volumes d b 1 cm 2,5 cm 1 cm c ) Você concord com ess fórmul? Por quê? b) Escrev outr fórmul pr o cálculo dess áre, usndo s medids e d. b) 1 cm 2,5 cm 1 cm 9. A áre de um retângulo é 60 m 2 e o seu comprimento é 4 m mior do que lrgur. Determine s medids desse retângulo. 10. Desej-se colocr crpete em um dormitório retngulr de 2,40 m por 3,70 m. Qunto 1 cm 0,5 cm 0,8 cm 193

5 Áre de um triângulo Considere um triângulo com bse medindo b e ltur de medid h. Usndo outro triângulo congruente ele, podemos compor um prlelogrmo de bse e ltur iguis às do triângulo originl. Vej: h h b Como dois triângulos congruentes formm um prlelogrmo de bse e ltur iguis, concluímos que áre do triângulo de bse b e ltur h corresponde à metde d áre do prlelogrmo de mesms dimensões. A triângulo 5 b 2? h Ess expressão é válid pr qulquer triângulo. A seguir, veremos tmbém lgums expressões específics pr o cálculo d áre de triângulos retângulos e triângulos equiláteros. b triângulo retângulo Considere o triângulo retângulo o ldo. A hipotenus está representd por, e ltur do triângulo reltiv à hipotenus está representd por h. Assim, pr su áre, podemos escrever: A 5? h 2. Ms tmbém podemos considerr como bse desse triân gulo um de seus ctetos, representdo por b. Nesse cso, ltur reltiv esse cteto é o outro cteto, c. Vej n figur o ldo. Então, pr áre desse triân gulo, podemos escrever A 5 b 2? c. Isso signific que áre de um triângulo retângulo pode ser clculd d seguinte mneir: C b B c A A h b c C B A nretângulo 5 cteto? cteto triângulo equilátero Observe este triângulo equilátero ABC de ldo medindo l. Utilizndo o teorem de Pitágors no triângulo AMB, com M sendo o ponto médio do ldo BC, obtemos su ltur: h 5 l dxx 3 2. Podemos então determinr áre do triângulo equilátero por l? 2 h, ou sej: A nequilátero 5 l? l dxx 3 2 Æ 2 A nequilátero 5 l 2 dxx 3 4 C l A h M l l B 194

6 Atividdes Respond sempre no cderno. 17. Clcule áre de um triângulo com 12 cm de bse e 6 cm de ltur. 18. Clcule áre dos seguintes triângulos: ) 8 cm 24. Se um dos ctetos de um triângulo retângulo mede 8 cm e o ângulo oposto ele mede 30, qul é su áre? 25. Clcule áre ds regiões dds seguir. Dic: Decomponh cd figur em regiões retngulres e tringulres. ) Cpítulo 9 Áres e volumes 2 cm 1,8 cm b) 2 cm b) 5 cm 7 cm 3,5 cm c) 7,5 cm 19. Um triângulo equilátero tem ldos medindo 10 cm. ) Qul é medid de su ltur? b) Clcule su áre. 20. Se áre de um triângulo equilátero é 40 dxx 2, qunto mede su ltur? 21. Considere um triângulo equilátero com ldos medindo 10 cm. Aumentndo em 1 cm medid de seu ldo, qunto ument su áre? 22. Qul é áre de um triângulo isósceles cujo perímetro é 27 cm e cuj medid d bse excede em medid dos outros ldos? 23. Clcule o perímetro deste triângulo. A 5 8 cm 2 Imgens em diferentes escls. c) 8 cm 1 cm 1,5 cm 0,8 cm 1,5 cm Imgens em diferentes escls. 26. Fç o que se pede. ) Desenhe um pr de rets prlels r e s. Mrque em r dois pontos A e B. N ret s, mrque os pontos C e D. b) Ns rets prlels, pinte os triângulos ABC e ABD, cd um de um cor. c) Com um coleg, demonstre que os dois triângulos têm áres iguis. 27. Clcule áre de um triângulo equilátero ns situções seguir. ) Circunscrito um circunferênci de rio r. b) Inscrito em um circunferênci de rio R. 28. Determine áre do triângulo retângulo cujos ctetos medem x 1 3 e 5x 2 7 e hipotenus mede 2x 1 4 (medids em cm). 195

7 Áre de um losngo Considere o losngo representdo seguir, cuj digonl mior mede D e digonl menor mede d. d D Podemos decompor esse losngo em qutro triângulos retângulos congruentes de ctetos D 2 e 2 d, como o triângulo o ldo: Como vimos nteriormente, áre de cd um desses triângulos retângulos pode ser escrit como metde do produto entre seus ctetos. D 2? 2 d A D? d 8 Como áre do losngo equivle 4 vezes áre de um desses triângulos, escrevemos: A losngo 5 4? D? d 8 A losngo 5 D? d 2 Ou sej, áre de um losngo é igul à metde do produto ds medids de sus digonis. Áre de um trpézio Pr estudr áre de um trpézio podemos proceder como no cso de um triângulo qulquer. Vmos pensr em um trpézio cuj bse mior mede B, bse menor mede b e su ltur mede h. Usndo outro trpézio congruente esse, podemos compor um prlelogrmo com mesm ltur h e com bse medindo (B 1 b). Vej: D 2 d 2 b b B h h B B b Como o prlelogrmo foi composto de dois trpézios congruentes, su áre é igul o dobro d áre do trpézio originl. Assim, podemos escrever que áre desse trpézio é igul à metde d áre do prlelogrmo. A trpézio 5 (B 1 b)? h 2 196

8 Atividdes Respond sempre no cderno. 29. Clcule áre dos seguintes losngos: ) 2 cm 1,5 cm 35. Se áre de um trpézio retângulo é 120 m 2 e seus ldos prlelos medem 7,5 m e 4,5 m, clcule medid do ldo perpendiculr os ldos prlelos. 36. Clcule áre ds seguintes figurs colorids. Dic: Decomponh s figurs em outrs cujs áres você sib clculr. ) 1 Cpítulo 9 Áres e volumes b) 5 cm 7 cm 5 cm 8 cm Imgens em diferentes escls. 30. Pr construir um pip em form de losngo, form usds dus vrets, um de 40 cm e outr de 50 cm. Qul é áre dess pip? 31. Um ds digonis de um losngo mede 12 cm e su áre é igul à áre de um retângulo com 8 cm e 6 cm de ldo. Determine medid d outr digonl. 32. Se áre de um losngo é cm 2 e su digonl menor mede 45 cm, clcule: ) medid d digonl mior; b) o perímetro desse losngo. 33. Em um projeto pr entrd de um empres, um pisgist desenhou um grmdo em form de losngo, como mostr figur. b) c) 2 cm 12 cm 20 cm 10 cm 10 cm 37. Considere um trpézio isósceles com 56 cm 2 de áre e 3 de perímetro. Pr que su ltur tenh 8 cm, qul deve ser medid de seus ldos não prlelos? 38. A áre do trpézio seguir é 138 cm 2. Imgens em diferentes escls. 8 m AMj Studio/ID/BR 12 cm 5,6 m 1,5 m 2,8 m ) Qul é áre do grmdo? b) Se o metro qudrdo de grm cust R$ 16,90, qul é o custo pr grmr ess prte do jrdim? 34. Determine áre de um trpézio cujs bses medem 5 cm e 9 cm e ltur mede 4,5 cm. B ) Qul é medid B d bse mior? b) Clcule o perímetro desse trpézio. 39. A região colorid o ldo é formd por três losngos cuj digonl mior mede 4 dxx ; su digonl menor é igul à medid de seus ldos. O perímetro de cd um desses losngos é 48 cm. Determine áre dess região colorid. 197

9 Áre de um círculo Até qui vimos como clculr áre de vários polígonos. Como se fz pr clculr áre de um círculo? Pense um pouco ntes de prosseguir leitur. Acompnhe s situções seguir, que remetem o cálculo d áre de um círculo. Considere um círculo de centro O e rio r. Vmos dividir esse círculo em váris circunferêncis concêntrics. A região entre dus circunferêncis é denomind coro circulr, que estudremos ind neste cpítulo. Depois, fzemos um corte em cd um desss coros circulres e s esticmos. Vej ess situção ilustrd seguir. B O O r ID/BR A B A B 2pr Qunto mior for quntidde de coros circulres em que o círculo for dividido, mis figur obtid com s circunferêncis esticds se proxim de um triângulo. Assim, áre do círculo corresponde à áre do triângulo de bse 2pr e ltur r. A círculo 5 2pr 2? r 5 pr 2 Outr mneir de nlisr áre do círculo consiste em dividi-lo como um pizz em muits prtes, de modo que cd prte se proxime de um triângulo com ltur r. Rerrnjndo esses triângulos um o ldo do outro obtemos um figur precid com um prlelogrmo, como é mostrdo seguir. r ID/BR pr Qunto mior for quntidde de triângulos em que o círculo for dividido, mis figur obtid com os triângulos se proximrá de um prlelogrmo. Assim, áre do círculo corresponde à áre do prlelogrmo de bse pr e ltur r. Vej tmbém o conteúdo multimídi Áre de um círculo. A círculo 5 pr? r 5 pr 2 A expressão obtid pr áre de um círculo é válid pr qulquer círculo. 198

10 Exemplo Determinr áre d região colorid o ldo, sbendo que r 5 4,5 cm. A áre d região colorid é dd pel diferenç entre áre dos dois círculos. Cálculo d áre do círculo mior: A mior 5 p? (4,5) ,25p Cálculo d áre do círculo menor: A menor 5 p? (1,5) 2 5 2,25p A colorid 5 A mior 2 A menor 5 20,25p cm 2 2 2,25p cm p cm 2 Logo, região colorid tem 18p cm 2 de áre. Atividdes r 3 Respond sempre no cderno. r Cpítulo 9 Áres e volumes 40. Clcule áre de um círculo cujo rio mede 9 cm. 41. Determine áre de um região circulr que tem 15 cm de diâmetro. 42. Qul é áre de um região circulr que tem 27p cm de comprimento? 43. As figurs seguir mostrm circunferêncis cujos rios medem 2 cm, inscrits em polígonos regulres. Clcule áre ds regiões colorids. ) c) 46. Os vitris de um ctedrl têm formto de um retângulo justposto um semicírculo, conforme indicdo nest figur. 7 m 4 m b) ) Determine o perímetro de cd vitrl. b) Clcule áre d superfície de cd vitrl. 47. Determine s áres ds regiões colorids, sbendo que tods s linhs curvs são rcos de circunferênci. ) d) 44. Os docinhos de um niversário form rrumdos em prtos circulres com 25 cm de diâmetro. Que áre ocup cd um desses prtos? 45. Determine áre d superfície circulr d piscin representd seguir. 12 cm b) e) 8 cm 7 cm 7 cm 8 m AMj Studio/ID/BR c) f) 2 cm Imgens em diferentes escls. 199

11 Áre de um setor circulr Definição Setor circulr é um região de um círculo delimitd por dois rios e um rco. Um fti de pizz é um exemplo de A um setor circulr. Vej: D r N figur o ldo vemos dois setores circulres, O OABC e OCDA. O setor OABC está b B ssocido o ângulo centrl de medid, e o setor OCDA está ssocido o ângulo C centrl de medid b. Ms, ddo um setor circulr de rio r ssocido um ângulo centrl de medid, como fzemos pr determinr su áre? Vmos pensr ssim: se o ângulo centrl mede 360, então o setor circulr corresponde o círculo inteiro, e su áre é áre do círculo: pr 2 ; se o ângulo centrl mede 180, então o setor circulr corresponde meio círculo, e su áre é pr2. Assim, pr um ângulo 2 centrl de medid qulquer, em grus, podemos estbelecer um regr de três simples, pois áre de setor circulr é diretmente proporcionl à medid do ângulo centrl. Assim: medid do ângulo centrl áre círculo 360 pr 2 setor A setor 360? A setor 5? pr 2 A setor 5 360? pr2 Áre de um coro circulr Você sbe que um coro circulr é região delimitd por dus circunferêncis concêntrics do rio R e r. Um exemplo é o CD. Vej figur: r Observe que coro circulr, representd em verde, está delimitd pels circunferêncis de rios r e R. Pr clculr áre dess coro circulr, bst subtrir áre do círculo menor d áre do círculo mior: A coro 5 A círculo mior 2 A círculo menor 5 pr 2 2 pr 2 R A coro 5 p(r 2 2 r 2 ) UM POUCO DE HISTÓRIA Áre do círculo O Ppiro Rhind (ou Ahmes) é um texto mtemático do Egito ntigo, dtdo de cerc de 1650.C. O texto é um espécie de mnul prático com 85 problems que Ahmes copiou, provvelmente de um trblho mis ntigo. Trt-se de um ric fonte d mtemátic egípci ntig. Em seus problems estão descritos os métodos egípcios de multiplicção e divisão, o uso que fzim de frções, lgums questões de geometri e muits plicções d mtemátic situções prátics. Nesse ppiro, áre do círculo é considerd igul à áre do qudrdo que tem ldos medindo 8 do diâmetro 9 do círculo. O interessnte é que, fzendo os cálculos, percebe-se que seri equivlente dotr pr o número irrcionl pi um vlor de proximdmente 3,16. A círculo 5 ( 8 9? 2r ) 2 5 ( 16 9 r ) r2 p > , O Ppiro recebeu o nome Rhind, pois foi comprdo no Egito pelo escocês A. Henry Rhind. Mis trde foi vendido o Museu Britânico, e publicdo em Fonte de pesquis: H. Eves. Introdução à históri d mtemátic. Cmpins: Editor Unicmp,

12 Atividdes Respond sempre no cderno. 48. Determine áre do setor circulr de cordo com os ddos de cd item. ) r 5 2,5 cm e 5 48 b) r 5 8 cm e c) r 5 e 5 30 d) r 5 4,5 cm e Clcule áre pintd determind pelos seguintes setores circulres. ) c) 2,5 cm O º 9 cm O 1,8 cm 6, Determine áre de impressão. 55. A áre d coro circulr seguir é igul à áre de um círculo cujo rio mede r. Cupertino/Shutterstock.com/ID/BR Cpítulo 9 Áres e volumes b) d) 60 O 40 O 6 cm 6 cm r 50. O qudrdo ABCD tem ldo medindo 6 cm; linh curv represent um rco de circunferênci. A B Determine medid desse rio. 56. A áre d coro circulr seguir é igul à áre de um setor circulr de rio (r 1 R). R D 6 cm Determine áre d região colorid. 51. Se um setor circulr com 4 m de rio tem áre 2p m 2, qul é medid do ângulo centrl correspondente ele? 52. O qudrdo dest figur tem 81 cm 2 de áre. Clcule áre d região colorid. C r r 1 R Determine medid do ângulo centrl desse setor. 57. Clcule s áres ds seguintes regiões colorids: ) c) Clcule áre determind pel coro circulr compreendid entre circunferêncis cujos rios medem 10 cm e 5 cm. 54. A áre de impressão sobre um CD está compreendid entre circunferêncis com rios de 6, e 1,8 cm, conforme indicdo n figur seguir. b) d) 60 Imgens em diferentes escls. 201

13 2 Áre Módulo totl d superfície de um sólido Imgine que você tenh um cix no formto de bloco retngulr de mdeir e desej recobri-l com ppel colorido. Qul é quntidde mínim de ppel que você precis? Pr responder ess pergunt, precismos sber áre totl d superfície d cix, ou sej, som ds áres ds fces. E se o objeto recobrir tiver form cilíndric, como você fz pr clculr quntidde mínim proximd de ppel necessári pr recobri-lo? Vmos estudr esses csos e determinr respost pr esss pergunts. Bloco retngulr A superfície de um bloco retngulr é compost de seis fces retngulres. Considere o bloco representdo o ldo, de rests medindo, b e c. Observe que o bloco tem dus fces retngulres de medids e b, dus fces de medids e c, e dus outrs fces de medids b e c. Assim, áre totl d superfície desse bloco é: b c Ilustrções: ID/BR A bloco 5 2b 1 2c 1 2bc Cubo O cubo é um cso prticulr de bloco retngulr. Você já conhece bem ess figur geométric: ele possui seis fces qudrds. Considere o cubo representdo o ldo, com rests medindo ; áre de cd fce é 2. Assim, áre d superfície desse cubo é: A cubo Cilindro Pr estudr áre d superfície de um cilindro, vmos nlisr s prtes que compõem ess superfície. A superfície de um cilindro é formd por dus bses circulres e pel superfície lterl não pln. Você já sbe clculr áre ds prtes circulres. Ms como se determin áre d superfície lterl? Plnificndo superfície de um cilindro de ltur h e rio r d bse, obtemos um figur como mostrd o ldo. Pode-se observr que prte lterl do cilindro nd mis é do que um retângulo. Note que ltur desse retângulo é ltur h do cilindro, e seu comprimento é tl que, qundo enroldo, encix perfeitmente ns bses circulres de rio r. Portnto, seu comprimento corresponde o comprimento de um círculo de rio r, ou sej, 2pr. Assim, áre totl d superfície do cilindro é: A cilindro 5 2? A bse 1 A lterl 5 2? (pr 2 ) 1 2pr? h r r h h r A cilindro 5 2pr? (r 1 h) 202

14 Atividdes Respond sempre no cderno. 58. Determine áre d superfície do bloco retngulr seguir. 9 cm 2 cm 12 cm 5 cm 12 cm 12 cm 2 cm 7 cm 59. Determine áre d superfície de um cubo com rests de 18 m de comprimento. 60. Considere dois cubos, um com rests de de comprimento e outro com rests de 9 cm de comprimento. Clcule rzão entre s áres ds superfícies desses cubos. 61. Respond sem fzer conts no ppel. Se dobrrmos cd um ds medids ds rests de um bloco retngulr, qunto umentrá áre de su superfície? 62. Considere um cilindro com 9 cm de ltur, cujo rio d bse mede 6 cm. ) Determine áre de su bse. b) Determine áre de su superfície lterl. c) Determine áre totl de su superfície. 63. Com um folh de ppel retngulr, de 21,5 cm por 31,, é possível construir superfície lterl de um cilindro. ) Qul é áre d superfície lterl desse cilindro? b) Qul é o rio proximdo d bse e ltur do cilindro construído com ess folh de ppel? 64. Clcule s áres ds superfícies dos sólidos, seguir. Considere que s bses dos sólidos dos itens e c são semicírculos congruentes, s dos itens b são trpézios congruentes, e s do item d são tringulos retângulos. ) 6 cm b) ID/BR Ilustrções: ID/BR c) d) 2 cm 12 cm 6 cm 6 cm 10 cm T INTA T A 65. Considere um prlelepípedo cuj áre é 36 cm 2, profundidde é e medid de su ltur equivle à metde d medid d rest d bse. Determine s dimensões desse prlelepípedo. 66. Determine áre do rótulo de um lt de tint, sbendo que ele cobre totlmente superfície lterl d emblgem. 25 cm 67. Um lt de tint é suficiente pr pintr 40 m 2 de prede. Se o slão de um clube tem o formto de um prlelepípedo de 10 m de comprimento, 7 m de lrgur e 3,5 m de ltur, qunts lts de tint são necessáris pr pintr tods s predes, o teto e o chão do slão? 68. Com um coleg, reún lgums emblgens com formto de bloco retngulr e de cilindro. ) Clssifique s emblgens encontrds de cordo com su form. b) Registre s medids de cd um ds emblgens. c) Determine áre totl d superfície de cd um ds emblgens. 69. Um cix com formto de bloco retngulr tem o fundo com 288 cm 2 de áre; seus ldos têm 26 2 e 132 cm 2 de áre. Determine s medids pr ess cix. Dic: Ftore s medids d cix. Imgens em diferentes escls. AMj Studio/ID/BR Cpítulo 9 Áres e volumes 203

15 3 Volume Módulo de um sólido Você deve se lembrr de que, qundo começmos estudr áre de figurs plns, usmos mlh qudriculd regulr e contmos quntidde de qudrdinhos que cbim n figur. Pr estudr o volume de lguns sólidos, procedemos de mneir similr: vmos preencher os sólidos com cubinhos; cd cubinho represent um unidde de volume. Em seguid, contmos quntos cubinhos cbem nos sólidos, obtendo seus volumes. Noss unidde será o volume de um cubo com rests de 1 cm. Esse volume corresponde 1 cm 3 (um centímetro cúbico). Você já conhece ess e outrs uniddes de volume, como o metro cúbico (m 3 ) e o decímetro cúbico (dm 3 ) (1 m litros, 1 dm litro). Bloco retngulr Vmos clculr o volume de um bloco retngulr, decompondo-o em cubinhos de um unidde de volume. Observe: 6 cm Cd um ds cmds do bloco é compost de 18 cubinhos c (3? ). Como são 4 cmds no b totl, quntidde de cubinhos no bloco é (3? 6)? ? Dizemos que o volume desse bloco é 72 cm 3. Pr um bloco retngulr com comprimento, lrgur b e ltu- V r c, o volume é: bloco 5? b? c Como? b é áre d bse, concluímos que o volume de um bloco retângulr é igul o produto entre áre de su bse e su ltur. Observe que, pesr de termos chegdo à expressão pr o volume do bloco retngulr usndo cubinhos de um unidde de volume, ness expressão s letrs, b e c podem ssumir quisquer vlores positivos. Isso tmbém é válido pr s outrs expressões que veremos dinte. Cubo Clculmos o volume de um cubo multiplicndo áre d bse pel ltur. Como o cubo é um bloco retngulr de seis fces qudrds, seu volume é ddo pelo cubo de su rest. V cubos 5?? V cubo 5 3 Ilustrções: ID/BR Link O volume, como já estudmos, é o espço ocupdo por um objeto. Geometri ds emblgens A geometri é bstnte us d n produção de emblgens, pois otimiz o custo e quntidde de mtéri-prim consumid em su fbricção. Pr isso, são considerdos o produto, mneir como ele é trnsportdo e rmzendo e seu przo de vlidde. A intenção é rmzenr o mesmo volume utilizndo menor quntidde de mteril, o que contribui tmbém pr preservção do mbiente. Pesquise sobre mudnç n emblgem de lguns produtos nos últimos nos. Converse com seus colegs sobre s mtéris-prims mis usds n produção de emblgens. Quis são s que menos gridem o meio mbiente pós serem descrtds? Pr você, por que é importnte reciclr mteriis? Tod emblgem pode ser recicld? Quis são os benefícios d reciclgem? 204

16 Atividdes Respond sempre no cderno. 70. Considere que cd cubo que form os sólidos seguir tem 1 cm 3 de volume. Qul é o volume de cd um dos sólidos? ) d) b) e) Ilustrções: ID/BR 75. Qul é o volume de águ que cbe em um piscin de 50 m de comprimento, 25 m de lrgur e 2 m de profundidde? Stephen Frink Collection/Almy/Other Imges Cpítulo 9 Áres e volumes c) 71. Qul é o volume de um cubo que tem rests de 7 cm de comprimento? 72. Determine o volume de um cix de sptos, sbendo que sus dimensões são 3, 18,5 cm e 12 cm. 73. N entrd de um cs há um escd de concreto com três degrus, conforme figur. 3 dm 1 dm 4 dm 1 dm 1 dm 1 dm 1,5 dm Determine o volume de concreto usdo pr fzer ess escd. 74. Um quário de vidro em form de prlelepípedo tem s seguintes dimensões: 50 cm, 35 cm e 35 cm, conforme figur bixo. 35 cm 35 cm Competição de ntção, Key Lrgo, Flórid, EUA, Respond sem fzer conts no ppel: se dobrrmos medid d rest do cubo, qunto umentrá seu volume? 77. Considere os três modelos de emblgens de ppelão n form de prlelepípedo, encomenddos por um empres. 7 cm 5 cm 6 cm 3,5 cm 5 cm 0,5 cm 1,5 cm 1,5 cm 12 cm 1 cm 1 2,5 cm 1 cm 6 cm emblgem 1 emblgem 2 emblgem 3 ) Determine o volume de cd emblgem. b) Qul emblgem necessit d mior quntidde de ppelão pr ser produzid? 78. Considere dois cubos, um com rests de e outro com rests de 9 cm. Determine rzão entre os volumes dos dois cubos. 79. Clcule o volume de cd um dos seguintes sólidos. ) b) 1 cm 50 cm ) Clcule o volume desse quário. b) Sbendo que 1 dm litro, determine cpcidde desse quário, em litros. 80. Determine o volume de um cix de milho em conserv, sbendo que sus dimensões são 8,5 cm, 9,5 cm e 4,. Fbio Yoshihito Mtsuur/ Mosico Fotogrfi/ID/BR 205

17 Cilindro Embor um cilindro tenh lterl rredondd, seu volume tmbém pode ser clculdo multiplicndo-se áre d bse pel ltur. Ddo um cilindro de rio r e ltur h, áre d bse circulr é pr 2, de modo que seu volume pode ser clculdo por: V cilindro 5 A bse? h 5 pr 2? h prisms Você sbe que os prisms são sólidos geométricos delimitdos por fces plns, cujs bses são polígonos congruentes situdos em plnos prlelos e s fces lteris são qudrngulres. Vej lguns exemplos: r h Ilustrções: ID/BR SIB MIS Princípio de Cvlieri O mtemático itlino Bonventur Cvlieri ( ) estbeleceu, no século XVII, um princípio que pode ser enuncido d seguinte mneir: Dois sólidos têm lturs iguis e bses prlels um mesmo plno. Se mbos os sólidos são cortdos por qulquer plno prlelo às bses e s secções plns obtids presentm áres iguis, então os dois sólidos têm volumes iguis. Como exemplo, vej os sólidos bixo. Os três sólidos têm lturs iguis e bses prlels um mesmo plno. Sus intersecções com plnos prlelos às bses são polígonos de áres iguis. Assim, os três sólidos têm volumes iguis. ID/BR prism tringulr reto prism qudrngulr reto prism hexgonl reto O volume de um prism pode ser obtido por meio do produto entre áre d bse e ltur, sbendo que áre d bse depende do polígono que determin. V prism 5 A bse? h Atividdes 81. Um lt de milho verde em conserv em formto cilíndrico tem como dimensões 8 cm de diâmetro e 10 cm de ltur. Clcule o volume dess lt. 82. Desej-se construir um reservtório cilíndrico, de mneir que o diâmetro d bse tenh 5 m e su cpcidde máxim sej L. Qul deve ser ltur desse reservtório? Respond sempre no cderno. 83. Como você pode perceber, o método de multiplicr áre d bse pel ltur é válido pr determinção do volume de blocos retngulres, de cilindros e de prisms. Porém, não é válido pr sólidos como cones e pirâmides. Com um coleg, pesquise expressão pr o cálculo do volume de cones e pirâmides. 206

18 Atividdes Respond sempre no cderno. 84. Determine o volume de um cilindro com rio d bse de e ltur de 6 cm. 85. Um cilindro tem volume de 125p cm 3. Sbendo que o diâmetro d bse mede 10 cm, determine su ltur. 86. O volume de um cilindro é 14p cm 3 e o rio de su bse mede 3,5 cm. Determine su ltur. 87. Determine, em litros, o volume de águ que cbe dentro de um mngueir cilíndric de comprimento 12,5 m e rio 1,5 cm. 88. Determine o volume dos seguintes cilindros: ) c) ID/BR 1,8 cm 1,5 cm ID/BR 1,5 cm 1,5 cm 1,5 cm 10 cm 9 cm 91. Vej o bolo mostrdo nest figur. 15 cm 10 cm AMj Studio/ID/BR Cpítulo 9 Áres e volumes b) 1 cm ) Determine o volume ocupdo pelo bolo. 7 cm 89. Considere um lt de leite em formto cilíndrico com rio d bse medindo 5 cm e ltur medindo 12 cm. Fotogrfis: Pulo Mnzi/ID/BR Imgens em diferentes escls. rótulo Determine: ) áre do rótulo; b) o volume que o leite pode ocupr n lt. 90. As dus peçs seguir são formds por um cilindro e um prlelepípedo. Qul dels tem o mior volume? b) Determine áre d superfície do bolo que pode levr cobertur (prte de cim e lterl). 92. Observe s três possibiliddes de emblgem pr determind mrc de extrto de tomte. ID/BR 8 cm 2 cm 10 cm 1,5 cm 9 cm ) Qul dels permite emblr o mior volume de extrto de tomte? b) Qul dels present mior rzão entre o volume embldo e quntidde de mteril usd n fbricção d emblgem? 93. Considere dus lts de leite em pó de lturs iguis. Em um dels, o rio d bse tem 5 cm; em outr, o rio d bse tem 8 cm. A primeir cust R$ 6,85; segund, R$ 7,29. Qul desss emblgens é economicmente mis vntjos pr o consumidor, considerndo que todo o volume dels é preenchido com leite em pó? 207

19 Mundo tecnológico Criptogrfi e Mtemátic Desde tempos remotos, governntes e chefes militres têm necessidde de envir mensgens pr comndr sus operções com sucesso. Mis que isso: em muitos csos, confidencilidde d mensgem é indispensável, especilmente em tempos de guerr. Criptogrfi é rte de codificr um mensgem de mneir que somente s pessos utorizds consigm compreender seu conteúdo. Atulmente, necessidde de trnsmitir mensgens secretmente prece tmbém em tividdes importntes, como comunicção bncári e o comércio eletrônico. Bo prte d segurnç desss trnsções se deve à criptogrfi. Vejmos lgums técnics pr criptogrfr mensgens. Criptogrfi de substituição: um exemplo simples consiste em substituir cd letr ou número d mensgem originl pel letr ou número seguinte. Vej: Mensgem originl: Cont reis Mensgem criptogrfd: Dpoub sfbjt Criptogrfi de trnsposição: consiste em Respond sempre no cderno. embrlhr posição ds letrs e números d mensgem originl. Pode-se, por exemplo, grupr os crcteres que estão em posições pres e depois os que estão em posições ímpres. Mensgem: Cont reis Posições pres: o t e i Posições ímpres: C n r s Mensgem criptogrfd: ot 413 eicn02 9rs As mensgens criptogrfds são decifrds pelo receptor, que precis combinr previmente com o emissor o tipo de criptogrfi usdo. Ms s mensgens criptogrfds dos exemplos cim serim fcilmente decifrds por especilists. Um vnço pr fortlecer criptogrfi e dificultr decodificção foi utilizr simultnemente criptogrfi de substituição e de trnsposição. Outro vnço foi utilizr plvrs-chve que podem ser trocds de tempos em tempos, lterndo o código de substituição. O uso de plvr- -chve consiste, por exemplo, em trocr s letrs iniciis do lfbeto pels letrs dess plvr- -chve, completndo o lfbeto com s letrs restntes. Se plvr-chve fosse CRIPTOGRA- FIA, descrtndo letrs repetids, terímos: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z C R I P T O G A F B D E H J K L M N Q S U V W X Y Z Plvr-chve sem repetir letrs Primeir letr do lfbeto ind não usd, e ssim por dinte Observe bixo codificção d mensgem BOM DIA, que us substituição ds letrs, como exemplificdo cim, e, como critério de trnsposição, troc de lugr um letr com seguinte. Exemplo de criptogrfi de substituição e trnsposição: Fç você Mensgem: Substituição: Trnsposição: BOM DIA RKHPFC KRPHCF Em vez de envir BOM DIA, o emissor envi mensgem KRPHCF. O receptor, conhecendo plvr-chve e o método de criptogrfi usdo, consegue decodificr o texto. Ess técnic foi um psso n evolução d criptogrfi, que nos dis tuis é muito mis sofisticd e complex. Considerndo plvr-chve PERNAMBUCO, e sem usr técnic de trnsposição, decifre est mensgem criptogrfd: IQHTGALIQBIVALHPGIGTHNI. (Dic: É um frse do filósofo grego Pltão.) 208

20 Mtemátic e mps conceituis Respond sempre no cderno. Mps de conceitos, um ferrment de prendizgem Conheç ess ferrment de estudos, compnhndo o mp conceitul (ou mp de conceitos) seguir. Lembre-se de que um conceito é mnifestção de um idei, signific definição. O MAPA CONCEITUAL é um FERRAMENTA DE ESTUDOS que us REPRESENTAÇÃO GRÁFICA pr presentr denomindos CONCEITOS são tem váris plicções conectdos entre si por pr o luno Esquemtizr s uls, elborr estrtégis de prendizgem, internlizr os conteúdos, resolver problems. pr o professor Plnejr uls, identificr problems de compreensão, reforçr tópicos estuddos, vlir prendizgem. pr S pessos EM gerl Plnejrem um consumo de cordo com o orçmento (vigem, curso, compr) ou um situção que exige melhor visulizção pr ser decidid. Cpítulo 9 Áres e volumes NÓS LINHAS ARCOS são denominds Observe que há váris possibiliddes de leitur do mp; s cores ds sets servem de gui opcionl. Nos mps conceituis, o importnte é obter frses curts. Inicilmente se presentm os conceitos mis geris do tem em estudo; os poucos se introduzem os conceitos mis específicos. O principl objetivo educcionl dos mps conceituis é desenvolver mbientes de prendizgem significtiv (permnente, não superficil) e de cooperção entre os lunos. A modelgem finl d representção é menos importnte do que s tenttivs de orgnizr e ligr os conceitos. Um luno pode e deve sugerir nós e linhs no mp de outro coleg, gregndo (juntndo) seus conhecimentos os dele. Pode-se ind crir vrições do mp do coleg. Qundo modelgem é feit em grupos, todos os envolvidos devem cooperr com sugestões por meio de plvrs, desenhos, fórmuls ou equções. Esse mbiente de cooperção e de contrstes de ideis gerlmente produz discussões interessntes. Pode-se usr mp conceitul em tods s mtéris escolres e tmbém pr orgnizr situções d vid pessol. Experimente! de olho no texto Em dupl, explique por que áre do círculo corresponde à áre de um triângulo de bse 2pr e ltur h. Pr isso, copie o mp conceitul seguir, substituindo os símbolos pels plvrs dequds: CÁLCULO DA ÁREA de um o em váris DIVIDE-SE CÍRCULO Fzendo um corte no sentido de um dos rios, s As regiões entre s são denominds são ESTICADAS e se proximm de um DE BASE 2pr E h 209

21 ROTEIRO DE EStuDoS Respond sempre no cderno. utovlição 94. Verifique se s firmções são verddeirs ou flss. Corrij s flss. ) A áre de um qudrdo cuj digonl mede 8 m é 32 m 2. b) A áre de um retângulo de bse 12 m cuj digonl form com bse um ângulo de 30º é 48 dxx 3 m 2. c) A áre de um triângulo equilátero de ltur 6 m é 12 dxx 3 m 2. d) A áre de um triângulo isósceles de perímetro 32 cm cuj bse excede 5 cm dos ldos congruentes é 28 dxx 2 cm 2. e) A áre de um losngo de 40 cm de perímetro e 12 cm de digonl é 48 cm A áre de um sl com form d figur o ldo é: 3 m 3 m ) 30 m 2 b) 26,5 m 2 c) 28 m 2 2 m 3 m d) 24,5 m 2 e) 22,5 m 2 5 m 3 m 96. Um hexágono regulr com pótem medindo 2 dxx está inscrito em um círculo. Determine: ) áre de circunferênci; b) áre do hexágono. Reforço 100. Qul ds firmções seguintes é fls? ) A áre de um retângulo de digonl 15 cm e perímetro 42 cm é 108 cm 2. b) A áre de um triângulo retângulo cujo cteto mede 10 m e o ângulo oposto ele mede 60 é 50 dxx 3 m 3 2. c) A áre de um triângulo equilátero de perímetro 48 cm é 64 dxx 2. d) A áre de um losngo cuj medid d digonl mior é 24 m e medid do mior ângulo interno é 120 é 48 dxx 2. e) A áre do hexágono regulr de perímetro 12 dxx é 18 dxx No trpézio seguir, áre é 21 cm 2 e ltur,. Qunto mede AB e DC? 97. Considere região R, pintd de preto e exibid seguir, construíd no interior de um qudrdo de ldo medindo. 1 cm Sbendo que os rcos de circunferênci que precem nos cntos do qudrdo têm seus centros nos vértices do qudrdo e que cd rio mede 1 cm, determine áre d região R. 98. Um cilindro cuj bse é um círculo de rio r 5 3 m tem 108p m 3 de volume. Então, áre totl (em m 2 ) desse cilindro é: ) 126p c) 72p e) 108p b) 81p d) 90p 99. (PUC) O volume do prism reto de dxx 3 m de ltur, cuj bse é um hexágono regulr de dxx 2 m de ldo, é: ) dxx 3 m 3 c) 9 m 3 e) 8 dxx 3 m 3 b) 3 dxx 3 m 3 d) 3 m 3 not: Confirme se você certou tods s questões dess Autovlição. Se não certou, fç s tividdes do Reforço e d Revisão ntes do Aprofundmento Clcule áre pintd: ) b) 2 cm A D 135 o 6 cm x 1 2 x 103. Em um tetredro (pirâmide de bse tringulr), cd fce lterl é um triân gulo equilátero de ldos medindo. Qul é áre d superfície desse tetredro? Revisão: Refç s tividdes 12, 15, 16, 24, 25, 36, 37, 47, 57, 66, 67, 78, 79 e 93. C B 2 m 2 m Imgens em diferentes escls. 210

22 profundmento 104. (Udesc) Um circunferênci intercept um triângulo equilátero nos pontos médios de dois de seus ldos, conforme mostr figur, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro d circunferênci. c) 9? ( dxx 3 2 p) cm 2 d) 9? ( dxx 3 2 p 3 ) cm2 e) 9? ( dxx 3 2 p 6 ) cm (UFSC) N figur o ldo, que represent um cubo, o perímetro do qudrilátero ABCD mede 8 (1 1 dxx 2 ) cm. Clcule o volume do cubo em cm 3. A D B C Cpítulo 9 Áres e volumes Se o ldo do triângulo mede 6 cm, áre d região destcd n figur é: ) 9? ( 2 dxx 3 2 p 6 ) cm2 b) 9? ( dxx 3 2 p 18 ) cm (ITA) Ddo um prism hexgonl regulr, sbe-se que su ltur mede e que su áre é o dobro d áre de su bse. O volume deste prism, em cm 3, é: ) 27 dxx 3 b) 13 dxx 2 c) 12 d) 54 dxx 3 e) 17 dxx 5 Estrtégis de prendizgem Novs possibiliddes Você chegou o fim do Ensino Fundmentl II. Seu cminho profissionl gor se bre pr novs possibiliddes, dentro e for d escol. Difícil escolher ou você já sbe o que vi fzer no próximo no? I. Pense em sus possibiliddes de escolh. Pr isso: ) procure se informr sobre s mtéris do Ensino Médio, perguntndo pr colegs d escol (se nel houver Ensino Médio), professores, prentes, vizinhos, etc.; b) descubr como, futurmente, su entrd em um universidde vi depender do Ensino Médio; c) procure se informr sobre os Centros Federis de Educção Tecnológic (Cefets) d região onde você mor. Eles oferecem cursos técnicos vridos (de eletricist, mecânico, cbeleireiro, hotelri, informátic, entre muitos outros), que preprm os lunos pr o mercdo de trblho; d) descubr se, futurmente, um curso técnico permite entrd em universidde. II. Reflit sobre sus pretensões de estudo ou de trblho ou de mbos pr o próximo no. Fç um desenho sobre isso ou esboce um mp conceitul como um cminho pr chegr onde pretende ou escrev um texto sobre sus reflexões. III. Se você já tem um previsão do que vi fzer no próximo no, pense ness situção e tmbém em como el se impôs em su vid (se decisão foi su, em que el se bseou). Procure mostrr isso por meio de desenho ou mp conceitul ou texto. Aprender é um ção contínu pois o conhecimento não se esgot, pens se mpli e muito pessol, pois cd pesso tem su própri estrtégi de prendizgem. Conforme pesso vi mdurecendo, su mneir de prender, su estrtégi, tmbém se trnsform. Desejmos que você encontre em seu cminho muits oportuniddes de prender e tmbém de ensinr. E que seu prendizdo de Mtemátic té qui relizdo contribu pr você lcnçr muitos objetivos, tnto relciondos à continuidde dos estudos como o início de um vid profissionl. 211

23 proje to Respond sempre no cderno. Jogo drmático: orçmento fmilir, poupnç, consumo consciente objetivo do projeto Crir jogos drmáticos com tems d educção finnceir, pr um reflexão sobre como ser um consumidor exigente com preço e qulidde e preocupdo com o cd vez mior descrte n nturez de mteriis que sobrm do consumo exgerdo de produtos. orgnizção d clsse Alunos distribuídos em qutro grupos, ou de cordo com orientção do professor. preprção pr o jogo drmático Com seu grupo, comece tividde lendo o texto seguir, em que utor se dirige educdores (professores, coordendores pedgógicos, fmilires ou responsáveis) pr explicr o significdo d educção finnceir n formção dos lunos. 4 Pontos Principis d Educção Finnceir A Educção Finnceir não deve ser confundid com o ensino de técnics ou mcetes de bem dministrr dinheiro. Tmpouco deve funcionr como um mnul de regrinhs morlists fáceis longe disso, liás. O objetivo d Educção Finnceir deve ser o de crir um mentlidde dequd e sudável em relção o dinheiro. Educção Finnceir exige um perspectiv de longo przo, muito treino e persistênci. Em linhs geris, um Educção Finnceir proprid deve brcr 4 pontos. Como gnhr dinheiro O grnde desfio d educção não é educr pr hoje, ms educr pr que os resultdos possm florescer em 15, 20, 30 nos. Nos dis tuis, em que ocorrem trnsformções tão brupts e complexs, é preciso um grnde esforço pr educr s crinçs não pr este mercdo de trblho, tl como conhecemos e fomos educdos pr ele, ms pr um mercdo que ml podemos imginr como será. Desenvolver o espírito empreendedor e estimulr modos inovdores de rciocínio, por exemplo, são ferrments essenciis à preprção de nosss crinçs e jovens pr o futuro. Como usr o dinheiro Muito d hbilidde em lidr com finnçs, tnto n infânci qunto n vid dult, depende de sermos cpzes de diferencir o eu quero do eu preciso. Gstr em coiss que queremos é ótimo, divertido, sudável e é importnte. Ms prte de nosss responsbiliddes, como pis e educdores, é ensinr que, n vid, s necessiddes vêm em primeiro lugr. Por que poupr Existem váris rzões pr se prender poupr. A idei mis imedit que ocorre é d segurnç. Embor sej um idei corret, é preciso levr em considerção lgums outrs. Ter um poupnç ou ser educdo pr isso cri disciplin, dá limite e ensin utorrespeito. 212

24 Como dor tempo, tlento e dinheiro [ ] Acim de tudo, Educção Finnceir deve ensinr que responsbilidde socil e étic precism estr sempre presentes no gnho e uso do dinheiro. Disponível em: Cássi d Aquino. < Acesso em: 10 out Cpítulo 9 Áres e volumes Plnejmento e instruções Distribuídos os tems, cd grupo escolhe um coordendor e um redtor. O coordendor mrc s dts e o locl ds reuniões do grupo, verific se s etps decidids pelos membros estão sendo cumprids no tempo determindo. O redtor vi registrr os pssos d tividde e notr os resultdos ds reuniões do grupo. A primeir reunião é pr conversr e elborr o roteiro d drmtizção. O roteiro é como um mp ou cminho ser seguido pr tingir determindo ponto, certo objetivo. No roteiro estão previstos os diálogos (muits vezes té entonção de voz ds persongens), cenogrfi (rrumção do plco), iluminção d cen, os efeitos sonoros e visuis. Pelo roteiro se pens nos mteriis e, se for o cso, no figurino. Grupo 1: Empreendedor do futuro. Futuro empreendedor de 34 nos de idde, que trblh com construção de pinéis de energi solr, respeitdo pel qulidde do serviço e pels soluções que oferece em sus instlções. Hoje ele teri 14 nos de idde, estri cursndo o fim do 9 o no do Ensino Fundmentl e recebendo orientções básics sobre educção finnceir pr, no mínimo, não se deixr engnr como consumidor, ter sucesso como empreendedor e reconhecer prátic d responsbilidde socil e étic em seus gnhos e usos do dinheiro. Grupo 2: Fmíli poupdor. Fmíli que prtic poupnç, que coloc s necessiddes básics em primeiro lugr, deu limites, disciplin e utorrespeito os envolvidos. Todos prticipm ds decisões econômics, dministrm os bens comuns e escssos, progrmm s féris em conjunto (durção, lugr, meio de trnsporte, hospedgem), entre outros spectos de compromisso e critividde n elborção do orçmento desse grupo. Grupo 3: A fmíli consumist. Fmílis em que o eu quero suplnt o eu preciso. As pessos são individulists, não se importndo se determindo consumo cbe no orçmento. A situção propici flt de limites, de disciplin e de utorrespeito entre os membros dess fmíli, com s previsíveis consequêncis desse comportmento. Grupo 4: Ou isto ou quilo interpretção drmátic de poem. Pr desenvolver interpretção, o grupo vi pesquisr o poem Ou isto ou quilo, de Cecíli Meireles ( ). Esse poem compõe o livro Ou isto ou quilo, d editor Nov Fronteir. 213

25 Sinopse: Um livro de venturs cujo enredo demonstr como Mtemátic pode ser útil pr tirr grotd de enrscds. Polígonos, centopeis e outros bichos, de Nilson José Mchdo. São Pulo: Scipione. Coleção Vivendo Mtemátic. Sinopse: Prábol intrignte pr trblhr noção de polígonos e o significdo de sber fzer e flr. Semelhnç, de Luiz Márcio Imenes, José Jkubo e Mrcelo Lellis. São Pulo: Atul. Coleção Pr que serve Mtemátic? editor d Átic/Arquivo d editor d editor Síd pelo triângulo, de Ernesto Ros. São Pulo: Átic. Coleção A Descobert d Mtemátic. /Arquivo Sinopse: O leitor vi conhecer como foi escrit primeir equção do 2o gru, no Egito, há nos, em um plc de rgil. Scipione Históri d equção do 2o gru, de Oscr Guelli. São Pulo: Átic. Coleção Contndo Históri d Mtemátic. Atul/A Sinopse: O utor us ficção científic pr levr o leitor vlorizr um conhecimento mtemático. Três migos, em visit um exposição de Ciênci e Tecnologi, inesperdmente percebem que estão fzendo um vigem espcil. E só conseguem encontrr o cminho de volt à Terr lnçndo mão do que prenderm sobre coordends. Átic/Arquivo Em busc ds coordends, de Ernesto Ros. São Pulo: Átic. Coleção A descobert d Mtemátic. Átic/Arquivo d editor Livros rquivo d editor Leiturs e sites indicdos os lunos Pr você mplir seus conhecimentos sobre tems estuddos neste livro, sugerimos seguir lguns livros e sites úteis e interessntes. Sinopse: Trblhr com o conceito d semelhnç, usr recursos visuis, prtes d históri d Mtemátic, quebr-cbeçs e chrds, tornndo esse conhecimento grdável e interessnte. 214 XI P_VJ_M9_LA_GOV_FINAIS_214A240.indd 214 3/24/12 5:52 PM

26 Zhr/Arquivo d editor Mni de Mtemátic: diversão e jogos de lógic e Mtemátic, de In Stewrt. São Pulo: Jorge Zhr. Sinopse: Rciocínios incomuns, desfios, contos de mistério e problems cotidinos remetem importntes problems mtemáticos e persongens curioss, nesse interessnte relto. Lógic? É lógico!, de Nilson José Mchdo. São Pulo: Scipione. Coleção Vivendo Mtemátic. Sinopse: O utor us um lingugem bstnte cessível pr presentr conceitos simples de lógic, seu uso no di di e su plicção n Mtemátic. Scipione/Arquivo d editor EdUFSCr/Arquivo d editor Mágics, Mtemátic e outros mistérios, de João Crlos Vieir Smpio e Pedro Luiz Aprecido Mlgutti. São Pulo: EdUFSCr. Coleção Mtemátic. Sinopse: Um livro lúdico, que trblh com teori dos números por meio de truques ritméticos de efeitos mágicos, dirigidos tods s iddes. Pequens oficins compõem obr, presentndo brincdeirs com geometri, topologi geométric e lógic. Sites Arte & Mtemátic. < Brsil Escol. < IBGE Teen. < imátic. < Klick Educção. < Mtemátic Intertiv Linux. < Olimpíd Brsileir de Mtemátic. < Olimpíd Brsileir de Mtemátic ds Escols Públics. < Só Mtemátic. < Testes mtemáticos. < Acesso em: set