ANÁLISE MATEMÁTICA II-A

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1 ANÁLISE MATEMÁTICA II-A TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO 4

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3 Índice Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção. Primitivs imedits Primitivção por prtes e por substituição Primitivção de funções rcionis Primitivção de funções lgébrics irrcionis Primitivção de funções trnscendentes Exercícios Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl 35. Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes Clsses de funções integráveis Teorems Fundmentis Áres de figurs plns Integris impróprios Exercícios Séries Numérics Generlizção d operção dição Definição de série. Convergênci. Proprieddes geris Séries lternds Convergênci bsolut Séries de termos não negtivos Multiplicção de séries Exercícios Sucessões e Séries de Funções 3 4. Introdução. Sucessões de funções Convergênci uniforme Convergênci pontul e convergênci uniforme de séries de funções Séries de potêncis Série de Tylor e série de McLurin Exercícios

4 ii ÍNDICE

5 Cpítulo Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção. Primitivs imedits Definição.. Sejm f e F dus funções definids num intervlo I. Diz-se que F é um primitiv de f em I se F (x) = f(x), x I. EXEMPLO : Como (sen(x)) = cos(x) temos que sen(x) é primitiv de cos(x). EXEMPLO : De (x ) = x concluímos que x é primitiv de x. Definição.. Um função f diz-se primitivável num intervlo I se existir um primitiv de f, definid em I. NOTA: Há funções que não são primitiváveis. Por exemplo, função f : R R definid por {, se x < f(x) =, se x não é primitivável em R. De fcto, existênci de um função F : R R tl que F (x) = f(x), x R, contrdiz o Teorem de Drboux: f não tom nenhum vlor entre e. Teorem.. Se F é primitiv de f, num intervlo I, então, qulquer que sej C R, função G(x) = F(x) + C é tmbém primitiv de f em I. Demonstrção: Bst notr que G (x) = F (x) + C = F (x) = f(x). Teorem.. Se F e G são dus primitivs de f num intervlo I, então F G é constnte em I.

6 . Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Demonstrção: Us-se o Corolário do Teorem de Lgrnge, notndo que F (x) = G (x) = f(x), x I. NOTAS:. Como consequênci dos teorems nteriores temos que tods s primitivs de f são d form F + C com F um primitiv de f e C R.. Se F é um primitiv de f no intervlo I, designmos por P f qulquer primitiv de f em I, isto é, P f = F + C, com C R, qulquer. Geometricmente: Figur. Definição..3 Chmm-se primitivs imedits s que se deduzem directmente de um regr de derivção. A prtir ds regrs de derivção obtém-se fcilmente: Teorem..3 Sejm f e g dus funções primitiváveis num intervlo I e R. Então ) P f(x) = P f(x); b) P (f(x) + g(x)) = P f(x) + P g(x). Apresentmos seguir um tbel com lgums primitivs imedits. x α, f(x) (u(x)) α u (x), α x α P f(x) x α+ α + + C (u(x)) α+ α + + C log( x ) + C

7 . Primitivs imedits 3 f(x) u (x) u(x) e x P f(x) log( u(x) ) + C e x + C e u(x) u (x) x, ( > ) u(x) u (x), ( > ) cos(x) cos(u(x))u (x) sen(x) sen(u(x))u (x) x u (x) (u(x)) x u (x) (u(x)) e u(x) + C x log() + C u(x) log() + C sen(x) + C sen(u(x)) + C cos(x) + C cos(u(x)) + C rc sen(x) + C rc sen(u(x)) + C rc cos(x) + C rc cos(u(x)) + C + x rc tg(x) + C u (x) + (u(x)) rc tg(u(x)) + C sec (x) sec (u(x))u (x) tg(x) + C tg(u(x)) + C

8 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção f(x) P f(x) cosec (x) cotg(x) + C cosec (u(x))u (x) cotg(u(x)) + C EXEMPLOS: P(x + x + ) = Px + Px + P = x3 3 + x + x + C; P cos (x) = P + cos(x) = (P + P cos(x)) = P x 3 x + 3 = P x(x + 3) 3 = (x + 3) 3 + P 3x x 3 + = log x3 + + C; Pe 5x = 5 P 5e5x = 5 e5x + C; P x cos(5x + 7) = sen(5x + 7) + C; P = rc tg(x) + C; + (x) ( x + sen(x) ) + C; + + C = 3 4 (x + 3) 3 x C; 3 P (cos(x) e 3x ) = P cos(x) Pe 3x = sen(x) 3 e3x + C; P x 3 x3 = P x (x 3 ) 3 = 3 (x3 ) C = 3 (x3 ) + C. Teorem..4 Sej f um função primitivável num intervlo I. Então, pr cd x I e cd y R, existe um, e um só, primitiv F de f tl que F(x ) = y. Em prticulr, existe um, e um só, primitiv de f que se nul em x. EXEMPLO : Clculemos f sbendo que f (x) = x x e f() =. Comecemos por clculr s primitivs F de f, pois f é um desss funções. F(x) = 5 x5 + C.

9 . Primitivs imedits 5 Ms portnto, f(x) = 5 x f() = 5 + C = C = 8 5, EXEMPLO : Pretendemos clculr f sbendo que f (x) = x + 6x 4, f() = 4 e f() = 5. A função f pertence o conjunto ds funções F tis que F (x) = 4x 3 + 3x 4x + C e, portnto, será um função d form F(x) = x 4 + x 3 x + Cx + C. Como { f() = 4 f() = 5 então f(x) = x 4 + x 3 x + x + 4. { C = 4 C =

10 6. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção. Métodos geris de primitivção: Primitivção por prtes e por substituição Teorem.. (Primitivção por prtes) Sejm I um intervlo, F um primitiv de f em I e g um função diferenciável em I. Então P(fg) = F g P(Fg ) Demonstrção: Pel regr d derivção do produto (F g) = F g +F g = fg +Fg, o que implic que fg = (Fg) Fg e, portnto, P(fg) = F g P(Fg ). EXEMPLO : Sej h(x) = x log(x). Clculemos primitiv de h por prtes: consideremos f(x) = x e g(x) = log(x). ( P (x log(x)) = x x log(x) P ) = x x log(x) x x P (x) = log(x) 4 + C. EXEMPLO : Podemos primitivr função h(x) = log(x) usndo este método. Sejm f(x) = e g(x) = log(x). ( P (log(x)) = P (. log(x)) = x log(x) P x ) = x log(x) P () = x log(x) x + C. x EXEMPLO 3: Sej h(x) = cos(x) log(sen(x)). Sejm f(x) = cos(x) e g(x) = log(sen(x)). Então ( P (cos(x) log(sen(x))) = sen(x) log(sen(x)) P sen(x) cos(x) ) sen(x) = sen(x) log(sen(x)) P(cos(x)) = sen(x) log(sen(x)) sen(x) + C. EXEMPLO 4: Pr clculr primitiv de h(x) = cos(log(x)) consideremos f(x) = e g(x) = cos(log(x)). Então P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + Psen(log(x)). Est últim primitiv clcul-se novmente por prtes obtendo-se P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)) P cos(log(x)), e, portnto, P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)),

11 . Primitivção por prtes e por substituição 7 ou sej, P (cos(log(x))) = x (cos(log(x)) + sen(log(x))) + C. EXEMPLO 5: Sejm h(x) = log 3 (x), f(x) = e g(x) = log 3 (x). P (. log 3 (x)) = x log 3 (x) P (3 log (x)). Primitivndo novmente por prtes, e usndo o resultdo obtido nteriormente pr P(log(x)), obtemos P (. log 3 (x)) = x log 3 (x) 3 (x log (x) P ( log(x))) = x log 3 (x) 3x log (x) + 6x log(x) 6x + C. Teorem.. (Primitivção por substituição) Sejm f um função primitivável num intervlo J e ϕ um função bijectiv e diferenciável no intervlo I tl que ϕ(i) = J. Sej Φ(t) = P(f(ϕ(t))ϕ (t)). Então função F(x) = Φ(ϕ (x)) é um primitiv de f em J. Demonstrção: Sej F um primitiv de f. Como, por hipótese, x = ϕ(t) temos F(x) = F(ϕ(t)). Pel regr de derivção d função compost (F(ϕ(t))) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t) = Φ (t), porque designámos por Φ(t) um primitiv de f(ϕ(t))ϕ (t). Como F(ϕ(t)) e Φ(t) são mbs primitivs de f(ϕ(t))ϕ (t) sbemos que F(ϕ(t)) Φ(t) = C, C constnte rel, ou ind, o que implic que F(ϕ(t)) = Φ(t) + C, F(x) = Φ(ϕ (x)) + C. EXEMPLO : Sej f(x) = isto é, ϕ(t) = + t = x. x3 x. Pr clculr primitiv de f fçmos x = t, P(f(ϕ(t)).ϕ (t)) = P ( + t ) 3 t = P(+t ) 3 = P(+3t +3t 4 +t 6 ) = (t+t 3 +3 t5 t 5 +t7 7 ). Assim, P ( x 3 x = + ( x ) x 5 ( x ) 5 + ) 7 ( x ) 7 + C.

12 8. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção EXEMPLO : Consideremos f(x) = e x = t, isto é, ϕ(t) = log(t). Consequentemente, P (f(ϕ(t)).ϕ (t)) = P NOTA: Usmos, por vezes notção Podemos clculr su primitiv fzendo e x + e x t + t t = P = rc tg(t). + t P f(x) = rc tg(e x ) + C. P f(x) = {P t f(ϕ(t))ϕ (t)} t=ϕ (x).

13 .3 Primitivção de funções rcionis 9.3 Primitivção de funções rcionis Sejm P(x) = n x n + + x + e Q(x) = b m x m + + b x + b, n,m N, n,b m, dois polinómios com coeficientes j,b j R; n e m os grus de P e Q, respectivmente. Definição.3. Chm-se função rcionl tod função f : D R R que pode ser express n form f(x) = P(x) Q(x) em que P e Q são polinómios e D = {x R : Q(x) }. Definição.3. Dois polinómios P e Q dizem-se iguis, e escreve-se P = Q, se P(x) = Q(x), x R. Verific-se fcilmente que, sendo P(x) = n x n + + x + e Q(x) = b m x m + + b x + b, se tem P(x) = Q(x), x R n = m n = b m,..., = b, = b. Ddos dois polinómios P e Q, de grus n e m, respectivmente, n > m, existem polinómios M e R tis que P(x) = M(x)Q(x)+R(x) e gru de R < gru de Q. M diz-se o polinómio quociente e R o polinómio resto. Definição.3.3 Um polinómio P de gru mior ou igul diz-se redutível se existem polinómios P e P tis que gru de P i < gru de P (i =, ) e P(x) = P (x)p (x). O polinómio P diz-se irredutível se não for redutível. É possível determinr quis são precismente os polinómios irredutíveis. Considere-se, sem perd de generlidde, os polinómios unitários (com coeficiente n = ): P(x) = x n + n x n + + x +. Todos os polinómios de gru, P(x) = x, são irredutíveis. Um polinómio de gru, P(x) = x + bx + c é irredutível se, e só se, não tem rízes reis, isto é, b 4c <. Assim os polinómios de gru irredutíveis são precismente os polinómios d form P(x) = (x α) + β, α,β R, β, ssocido às dus rízes complexs conjugds α ± iβ.

14 . Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Os únicos polinómios irredutíveis são os considerdos e mostr-se que todo o polinómio P(x) com gru mior ou igul é produto de polinómios irredutíveis: P(x) = (x ) n (x p ) np [(x α ) + β ] m [(x α q ) + β q] mq em que n i,m j N representm o gru de multiplicidde do correspondente fctor em P. Definição.3.4 Um função rcionl f(x) = P(x) Q(x) tiverem rízes comuns. diz-se irredutível se P e Q não Dd um função rcionl irredutível, podemos ter dois csos: o O gru do polinómio P é mior ou igul o gru do polinómio Q. o O gru do polinómio P é menor do que o gru do polinómio Q. No primeiro cso, fzendo divisão dos polinómios obtemos P(x) = M(x)Q(x) + R(x), em que M e R são polinómios, sendo M o quociente e R o resto (que tem gru inferior o gru de Q). Temos então o que implic que P P(x) Q(x) = M(x) + R(x) Q(x) ( ) P(x) = P (M(x)) + P Q(x) ( ) R(x) Q(x) A primitiv de M é imedit por ser primitiv de um polinómio. A segund é primitiv de um função rcionl, em que o gru do numerdor é menor do que o do denomindor. Concluímos, ssim, que bst estudr o cso ds funções rcionis irredutíveis em que o gru do numerdor é menor do que o gru do denomindor, isto é, ficmos reduzidos o o cso trás considerdo. Os teorems seguintes, que não demonstrremos, permitem-nos decompor um função rcionl irredutível do o cso n som de funções rcionis cujs primitivs são fáceis de clculr (ou mesmo primitivs imedits). A primitivção de funções rcionis irredutíveis fic, pois, completmente resolvid. Comecemos por nlisr os csos em que Q dmite pens rízes reis. Temos o seguinte teorem: Teorem.3. Se P(x) é um função rcionl irredutível, se o gru de P é menor que Q(x) o gru de Q e se Q(x) = (x ) n (x ) n...(x p ) np,

15 .3 Primitivção de funções rcionis com,,..., p números reis distintos e n,n,...,n p N, então função é decomponível num som d form P(x) Q(x) = A n (x ) n + + A x + + onde A n,...,a,..., B np,...,b são números reis. B np (x p ) np + + B x p NOTA: Ns condições do Teorem.3., qulquer ds prcels em que se decompõe função tem primitiv imedit: P A (x ) = A p p, se p (x ) p P A x = A log x o cso: Q tem rízes reis de multiplicidde, isto é, Q decompõe-se em fctores do tipo A x com R. A cd riz de Q ssoci-se um prcel do tipo x, com A constnte determinr. EXEMPLO: Clculemos primitiv d função f definid por f(x) = 4x + x + x 3 x Como o número de rízes de um polinómio não ultrpss o seu gru e x 3 x dmite s rízes x =, x = e x =, podemos concluir que ests rízes têm multiplicidde. Então 4x + x + = A x 3 x x + B x + C x + = A(x ) + Bx(x + ) + Cx(x ) x 3 x = (A + B + C)x + (B C)x A x 3 x Pelo método dos coeficientes indetermindos temos B + C = 5 A + B + C = 4 B C = A = B C = A = B = 3 C = A = Assim: 4x + x + x 3 x = x + 3 x + x +

16 . Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção e P ( ) 4x + x + x 3 x = P ( ) + P x ( ) 3 + P x ( ) x + = log x + 3 log x + log x + + C ( ) (x ) 3 = log x (x + ) + C. o cso: Q tem rízes reis de multiplicidde p, p >, isto é, Q dmite x, com R, como divisor p vezes. N decomposição, cd riz de Q de multiplicidde p vi corresponder um som de p prcels com seguinte form: A p (x ) p + A p (x ) p + + A x, com A p,a p,...,a constntes determinr. EXEMPLO: Clculemos primitiv d função f definid por f(x) = x3 + 5x + 6x + x(x + ) 3 Como x(x+) 3 dmite s rízes x =, x = e x+ prece 3 vezes n fctorizção do polinómio, podemos concluir que ests rízes têm multiplicidde e multiplicidde 3, respectivmente. Então x 3 + 5x + 6x + x(x + ) 3 = A x + B (x + ) 3 + C (x + ) + D x + = A(x + )3 + Bx + Cx(x + ) + Dx(x + ) x(x + ) 3 = (A + D)x3 + (3A + C + D)x + (3A + B + C + D)x + A x(x + ) 3 Pelo método dos coeficientes indetermindos temos A + D = 3A + C + D = 5 3A + B + C + D = 6 A = D = C = B = A = Assim: x 3 + 5x + 6x + x(x + ) 3 = x + (x + ) 3 + (x + )

17 .3 Primitivção de funções rcionis 3 e P ( ) x 3 + 5x + 6x + x(x + ) 3 = P ( ) + P x ( ) P (x + ) 3 ( ) (x + ) = log x (x + ) + x + + C = log (x ) (x + ) + x + + C. Vejmos gor os csos em que o polinómio Q dmite rízes complexs. Teorem.3. Se P(x) é um função rcionl irredutível, se o gru de P é menor que Q(x) o gru de Q e se α + iβ (α,β R) é um riz de Q, de multiplicidde r, então P(x) Q(x) = M r x + N r [(x α) + β ] r + + M x + N (x α) + β + H(x) Q (x) onde H e Q são polinómios tis que o gru de H é menor que o gru de Q, M r, N r,...,m, N, são números reis e nem α + iβ nem α iβ são rízes do polinómio Q. o cso: Q tem rízes complexs de multiplicidde, isto é, Q dmite como divisores polinómios de gru, (um únic vez cd polinómio), que não têm rízes reis. N decomposição, cd pr de rízes (α + iβ, α iβ) vi corresponder um prcel com seguinte form: Ax + B (x α) + β com A e B constntes determinr. EXEMPLO: Clculemos primitiv d função f definid por f(x) = Como (x )(x + x + ) = x = x = ± i 3 podemos concluir que ests rízes têm multiplicidde. Então x + (x )(x + x + ) x + (x )(x + x + ) = A x + Bx + C (x + ) = A(x + x + ) + (Bx + C)(x ) (x )(x + x + ) = (A + B)x + (A B + C)x + A C (x )(x + x + )

18 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Pelo método dos coeficientes indetermindos temos Assim: e P A primitiv A + B = A B + C = A C = x + (x )(x + x + ) = x + ( x + ) (x )(x + x + ) P ( = P ( ) + P x = log x P (x + ) A = B = C = clcul-se fzendo substituição x + 3 = t, isto é, ϕ(t) = sendo + ib riz, substituição é x = bt). Então ( ) Pf(ϕ(t)).ϕ 3 (t) = P ( 3 t) portnto, Finlmente, P ( (x + ) ) (x + ) ( ) (x + ) ( ). ) (x + ) t (No cso gerl, = 3 P t + = 3 rc tg(t), = ( rc tg 3 3 x + ). 3 Pf(x) = log x ( rc tg 3 x + ) + C. 3 3 o cso: Q tem rízes complexs de multiplicidde p, p >, isto é, Q dmite como divisores polinómios de gru que não têm rízes reis, precendo p vezes cd polinómio n fctorizção de Q. N decomposição, cd pr de rízes (α+iβ, α iβ) vi corresponder um som de prcels com seguinte form: A p x + B p ((x α) + β ) + A p x + B p p ((x α) + β ) + + A x + B p (x α) + β com A p, A p,..., A, B p, B p,..., B constntes determinr. EXEMPLO: Clculemos primitiv d função f definid por f(x) = x4 x 3 + 6x 4x + 7 (x )(x + )

19 .3 Primitivção de funções rcionis 5 Como (x )(x + ) = x = x = ±i e (x )(x + ) tem gru 5, podemos concluir que ests rízes têm multiplicidde e multiplicidde, respectivmente. Então x 4 x 3 + 6x 4x + 7 = A (x )(x + ) x + Bx + C (x + ) + Dx + E x + = A(x + ) + (Bx + C)(x ) + (Dx + E)(x )(x + ) (x )(x + ) Pelo método dos coeficientes indetermindos temos A = B = C = D = E = Assim: e ( ) x 4 x 3 + 6x 4x + 7 P (x )(x + ) x 4 x 3 + 6x 4x + 7 (x )(x + ) = x + x (x + ) + x + = P ( ) + P x = log x + P ( ) x + P (x + ) ( ) x P (x + ) ( ) x + ( + x ( ) x = log x + P P (x + ) ( + = log x + P ) x ) ( ) x ( ) x rc tg. (x + ) A primitiv ( ) ( ) x x P = P (x + ) (x + ) clcul-se fzendo substituição x = t, isto é, ϕ(t) = t. Então

20 6. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Pf(ϕ(t)).ϕ (t) = P = = = = = ( t (t + ) ) 4 P ( ) t (t + ) ( ) t 4 P (t + ) (t + ) ( P 4 4 ) t (t + ) P (t + ) ( P t(t + ) P ) (t + ) ( ) 4 (t + ) P + t t (t + ) = 4 t + 4 = 4 t + 4 = 4 t + 4 (P + ) t (t + ) P t (t + ) ( P t + P t ( ( rc tg(t) t + ) t (t + ) t + P )) t + = 4 t + t rc tg(t) 4 4 (t + ) + 8 rc tg(t) portnto, Finlmente, P t + = 8(t + ) rc tg(t), 8 ( x (x + ) ) Pf(x) = log x 5 8 = x + 4(x + ) 8 ( ) x rc tg ( ) x rc tg. x + 4(x + ) + C.

21 .3 Primitivção de funções rcionis 7 NOTA: Se P(x) dmite um decomposição d form que prece neste teorem, su Q(x) primitiv pode ser clculd recorrendo primitivs de funções d form Ax + B (x α) + β e Cx + D [(x α) + β ] p, p >. Temos no primeiro cso, usndo substituição x α = βt, { } Ax + B P (x α) + β = A(α + βt) + B P t β β t + β P t A (α + βt) + B β t + β β = P A α + B + A βt β(t + ) t= x α β = P A α + B β(t + ) + P A βt β(t + ) = A α + B β P t + + A P t t + Portnto, = A α + B β rctg(t) + A log(t + ) P Ax + B (x α) + β = A α + B rctg β ( ) x α No segundo cso, usndo mesm substituição, P Cx + D [(x α) + β ] p = β { P t C(α + βt) + D (β t + β ) p β C (α + βt) + D P t β = P C α + D + C βt (β t + β ) p β p (t + ) p [ (x + A ) α log + ] + C. β } t= x α β. = P C α + D β p (t + ) + P C βt p β p (t + ) p = C α + D β p = C α + D β p P P (t + ) + C p β P t p (t + ) p (t + ) C p β p p (t + ) p

22 8. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Rest-nos clculr P Ms (t + ) p o que implic que (t + ) p = + t t (t + ) p = (t + ) p t (t + ) p P = P (t + ) p (t + ) P t p (t + ) p = P = P = isto é, o cálculo d primitiv de de (t + ) primitiv de é imedit. (t + ) P t p t (t + ) p (t + ) + t p (p )(t + ) P p (p )(t + ) p t p 3 + (p )(t + ) p p P (t + ) p, ficou pens dependente do cálculo d primitiv (t + ) p p, que por su vez pode, de modo nálogo, fzer-se depender do cálculo d (t + ) p, e ssim sucessivmente té chegrmos à primitiv de + t que Teorem.3.3 Se P(x) é um função rcionl irredutível, se o gru de P é menor que Q(x) o gru de Q e se Q(x) = (x ) p (x b) q [(x α) + β ] r [(x γ) + δ ] s então função é decomponível num som d form P(x) Q(x) = A p (x ) p + + A x + + B q (x b) q + + B x b + + M r x + N r [(x α) + β ] r + + M x + N (x α) + β V s x + Z s [(x γ) + δ ] s + + V x + Z (x γ) + δ onde A p,...,a, B q,...,b, M r, N r,...,m, N, V s, Z s,...,v, Z são números reis.

23 .4 Primitivção de funções lgébrics irrcionis 9.4 Primitivção de funções lgébrics irrcionis Vejmos gor lguns tipos de funções cuj primitivção pode reduzir-se à primitivção de funções rcionis com um substituição dequd. Introduz-se em primeiro lugr noção de polinómio e função rcionl em váris vriáveis. Definição.4. Design-se por polinómio em dus vriáveis, x e y, com coeficientes reis, plicção P : R R R, dd por P(x,y) = mn x m y n + + xy + x + y +, com m,n N, ij R. Define-se o gru de P como o mior inteiro i+j tl que ij. Mis gerlmente define-se, de modo nálogo, polinómio em p vriáveis u,...,u p, como plicção P : R } {{ R } R, dd por p vezes P(u,...,u p ) = i...i p u i...u ip p, i,...,i p i,...,i p N, i...i p R e i,...,i p um som finit em i,...,i p. Definição.4. Se P(u,...,u p ) e Q(u,...,u p ) são dois polinómios em p vriáveis, chm-se função rcionl em p vriáveis um plicção d form R(u,...,u p ) = P(u,...,u p ) Q(u,...,u p ) definid nos elementos (u,...,u p ) R } {{ R } tis que Q(u,...,u p ). p vezes Anlisemos então lgums clsses de funções susceptíveis de serem rcionlizds por convenientes mudnçs de vriável. No que se segue R design um função rcionl dos seus rgumentos. Expressão Substituição f(x) = R(x m n,x p r q,...,x s) x = t µ µ = m.m.c.{n,q,...,s} ( f(x) = R x, ( x+b c x+d ) m n, ( x+b c x+d q,..., ( ) r) x+b s c x+d ) p f(x) = x α ( + bx β ) γ x+b c x+d = tµ µ = m.m.c.{n,q,...,s} x β = t

24 . Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção EXEMPLO : Consideremos função f(x) = x + 3 x = A substituição x + x 3 usr é x = ϕ(t) = t 6 e primitiv clculr é ( P f(ϕ(t))ϕ (t) = P t 3 + t 6t 5 6t5 = P t (t + ) = 6 P t3 t + = 6 P t t + ) t + ( ) t 3 = 6 3 t + t log t + = t 3 3t + 6t 6 log t + tendo-se ssim P x + 3 x = 3 x 3 3 x x 6 log( 6 x + ) + C. EXEMPLO : Sej f(x) = problem. Temos e x x + 3 A substituição x + 3 = t4 permite resolver o P f(ϕ(t))ϕ (t) = P t t t3 = P t5 t = P ( t 5 = 5 + t4 4 + t3 3 + t ( ( 4 x + 3) 5 Pf(x) = + ( 4 x + 3) log( 4 ) x + 3) + C ) + t + log t + ( 4 x + 3) 3 3 ( t 4 + t 3 + t + t ( 4 x + 3) t ) + 4 x EXEMPLO 3: Sej f(x) = x x +. Fçmos substituição x 3 = t. Obtemos: P f(ϕ(t))ϕ (t) = P t 3 ( + t) 3 t = 3 P t + t que, como vimos nteriormente (exemplo ), se resolve fzendo substituição + t = z, isto é, 3 P t + t = 3 { Pz (z ) z z } z= +t = 3 { Pz (z 6 4z 4 + 4z ) } z= +t { } z 7 = 3 7 4z z3 3 z= +t = 3 ( ) 7 ( ) 5 ( ) 3 + t + t t 7 5

25 .4 Primitivção de funções lgébrics irrcionis tendo-se finlmente 3 P x x + = 3 7 ( ) 7 x 3 + ( 5 ( 3 x 3 + ) + 4 x 3 + ) + C. 5 Expressão Substituição x + bx + c = x + t se > x + bx + c = t x + c f(x) = R(x, x + bx + c) se c > x + bx + c = t (x α) ou x + bx + c = t (x β) se α e β são zeros reis distintos de x + bx + c EXEMPLO : Consideremos função f(x) = x. Como = 3 podemos 3x x + usr substituição 3x x + = 3x + t, tendo-se: o que implic ϕ (t) = 3t t 3 ( 3t + ) A primitiv clculr é 3x x + = 3x + 3xt + t x 3xt = t x = t + 3t = ϕ(t) P ( ) t 3 + t 3t t 3 3t + 3t + t ( 3t + ) 3t t 3 = P 3( t ) + t( t )( 3t + ( 3t + t + 3) = P ( 3 3t + 3t + t)( t )

26 . Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção o que implic que P = P t = P ( = log t log + t = log ) t + + t t + t x 3x x + = log 3x x + + 3x + 3x x + 3x + C. EXEMPLO : Primitivemos função f(x) = x Tendo em cont que x + 4x 3 x +4x 3 = x = x = 3 podemos usr substituição x + 4x 3 = t(x 3). x + 4x 3 = t(x 3) (x 3)(x ) = t(x 3) (x 3)(x ) = t (x 3) (x ) = t (x 3) x = 3t + t + = ϕ(t) o que implic ϕ 4t (t) = (t + ) A primitiv clculr é o que implic que P 4t P ( ) 3t + 3t t + t + t + 3 (t + ) 4 = P (3t + )(3t + 3t 3) = P 3t + = rc tg( 3t) 3 x x + 4x 3 = rc tg( 3 3 x + 4x 3 ) + C. x 3

27 .4 Primitivção de funções lgébrics irrcionis 3 Expressão x x x + Substituição x = cos(t) ou x = sen(t) x = sec(t) ou x = cosec(t) x = tg(t) ou x = cotg(t) EXEMPLO : Sej f(x) = ϕ (t) = 3 cos(t) e 9 x Fçmos substituição x = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos x e, ssim, 9 9 P f(ϕ(t))ϕ sen (t) sen (t) (t) = P 3 cos(t) = P cos(t) 9 sen (t) sen (t) = P cos (t) sen (t) = P cotg (t) = P (cosec (t) ) = cotg(t) t P 9 x x = cotg(rc sen( x 3 )) rc sen(x 3 ) + C = 9 x x rc sen( x 3 ) + C EXEMPLO : Consideremos função f(x) = ϕ(t). Temos ϕ (t) = 4 sec(t) tg(t) e x e substituição x = 4 sec(t) = 3 x 6 e, ssim, P f(ϕ(t))ϕ (t) = P 4 3 sec 3 (t) 4 sec(t) tg(t) 6 sec (t) 6 tg(t) = P 4 3 sec (t) sec (t) = P tg(t) 4 3 sec (t) tg(t) = 4 P 3 sec (t) = 4 P 3 cos (t) = ( t sen(t) ) 4 P x 3 x 6 = 4 3 EXEMPLO 3: Pr clculr s primitivs de f(x) = ( rc sec(x 4 ) + sen( rc sec(x)) ) 4 + C 4 x podemos fzer subs- x + 4

28 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção tituição x = tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ (t) = sec (t) e P f(ϕ(t))ϕ (t) = P 4 tg (t) 4 tg (t) + 4 sec (t) sec (t) = P 4 tg (t) tg (t) + = P sec (t) 4 tg (t) sec(t) = 4 P sec(t) tg (t) = P cotg(t) cosec(t) 4 = 4 cosec(t) e, ssim, P x x + 4 = 4 cosec(rc tg(x )) + C = 4 x C x

29 .5 Primitivção de funções trnscendentes 5.5 Primitivção de funções trnscendentes Expressão f(x) = R(sen(x), cos(x)) f(x) = R(sen(x), cos(x)) R( y, z) = R(y,z), y,z Substituição tg( x ) = t tg(x) = t e f(x) = R(e x ) e x = t ( x A substituição tg = t conduz um função rcionl de t. De fcto, de ) ( x ( x sen(x) = sen. cos = ) ) = tg ( ) x + tg ( x ) = t + t ( x ) ( x ) cos(x) = cos sen = = ( ) tg x + tg ( ) = t x + t conclui-se, tendo em cont que tg ( ) x + tg ( x + tg ( x ) + tg ( x ( ) ) tg x + tg ( x ( x tg = t x = rc tg(t) = ϕ(t) ϕ ) (t) = + t, { ( ) } t t P f(x) = P t R + t,. + t + t tg( x )=t A substituição indicd serve no cso gerl, ms em certos csos prticulres são preferíveis outrs substituições. Assim, por exemplo, se R(sen(x), cos(x)) é função pr em sen(x) e cos(x) (isto é, se não se lter o mudrmos simultnemente sen(x) pr sen(x) e cos(x) pr cos(x)), pode fzer-se substituição tg(x) = t, ou sej, ϕ(t) = rc tg(t) e ) ) sen(x) = t + t e cos(x) = + t EXEMPLO : Clculemos s primitivs de f(x) = A substituição indicd cos(x) +

30 6. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção ( x é tg = t: ) P t + t + + t = P 3 t ( + ) 3 t 3 + t = P 3 = ( log 3 t + log 3 + t ) = 3 + t log t o que implic que P cos(x) + = ( x 3 + tg log ) 3 ( x 3 tg ) + C. EXEMPLO : Pr clculr s primitivs de f(x) = fzemos substituição tg(x) = t e obtemos e, portnto, cos (x) sen (x) P + t t + t = P t + t = ( P t + ) + t = ( log t + log + t ) = log + t t P cos (x) sen (x) = log + tg(x) tg(x) + C EXEMPLO 3: Pr primitivr função f(x) = e x + us-se substituição ex = t: e P t + t = P + t + P t P = log + t + log t = log t + t ( ) e x e x + = log + C. e x + As funções do tipo f(x) = sen(x)sen(bx), com e b constntes, b, podem primitivr-se tendo em cont que sen(x).sen(bx) = [cos( b)x cos( + b)x]

31 .5 Primitivção de funções trnscendentes 7 e conclui-se que De modo nálogo, P sen(x).sen(bx) = P cos(x). cos(bx) = sen( b)x ( b) sen( b)x ( b) + sen( + b)x ( + b) sen( + b)x ( + b) Se pretendermos primitivr um produto de vários fctores sen( m x) e cos(b n x) podemos começr por substituir por um som o produto de dois dos fctores; depois substituem-se por soms os novos produtos obtidos por ssocição de novos pres de fctores; e ssim sucessivmente té esgotr todos os fctores. EXEMPLO: P sen(3x) cos(5x)sen(6x) = P (sen(8x) + sen( x)) sen(6x) + C + C = P (cos(x) cos(4x)) P (cos( 4x) cos(8x)) = 4 P cos(x) 4 P cos(4x) 4 P cos(4x) + 4 P cos(8x) ( = sen(x) sen(4x) sen(4x) + sen(8x) ) + C As funções do tipo f(x) = p(x)e x, onde p é um polinómio de gru n em x e é um constnte, primitivm-se por prtes: P p(x)e x = ex p(x) Pex p (x). A primitiv que prece no segundo membro é ind do mesmo tipo, ms mis simples, pois o gru de p (x) é inferior em um unidde o gru de p(x). Aplicndo novmente o mesmo processo té chegr um polinómio de gru zero, obtém-se P f(x) = ex ( p(x) p (x) + p (x) + + ( ) np(n) (x) n EXEMPLO: Primitivemos função f(x) = (x + x + )e 3x. ) + C. P (x + x + )e 3x = 3 (x + x + )e 3x P (x + )e3x 3 ((x + x + )e 3x 3 (x + )e3x + 3 ) Pe3x = 3 = ( 3 e3x (x + x + ) 3 (x + ) + ) + C. 9

32 8. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção As primitivs que obtivemos form sempre funções elementres, isto é, funções lgébrics, função exponencil, s funções trigonométrics e s trigonométrics inverss e, de um modo gerl, s funções que se possm obter por composição dests em número finito. Por outrs plvrs, prendemos clculr primitivs de funções elementrmente primitiváveis. Nem tods s funções estão nest situção. No entnto, Teorem.5.4 Tod função contínu num intervlo [, b] é primitivável nesse intervlo.

33 .6 Exercícios 9.6 Exercícios. Determine s primitivs ds funções definids pels expressões nlítics seguintes: () x 3 x + 3; (b) 5x 4 + x + 3; (c) x 5, constnte não nul; e x (d) ; e x (e) cos(6x); (f) 3x ; (g) sen(x 3); 3x (h) 5 + x ; (i) x x + 9 ; (j) cos x 5e x ; x (k) x cos(x); (l) ; 5x (m) 3 x + 5 x + x ; (n) sen(x) cos (x); (o) sen(x) + cos(x) + sen (x) ; (p) (cos (x) + cos(x)) sen(x); kx (q) + bx, k, b ; (r) sen 3 (x) + x, ; log x (s) ; x (t) x log x.. Primitive, por prtes, s funções definids pels expressões nlítics seguintes : () rc tg(x);

34 3. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção (b) x cos(x); (c) (x + x + ) e x ; (d) (x + ) cos(x); x (e) cos (x) ; (f) log x x. 3. Primitive, por substituição, usndo em cd cso substituição indicd, s funções definids por : () (b) (c) (d) (e) x 3 x x 4 x x + x + 4 x + 4 e x + e x sen(x) + cos(x) ( x = t); (x = sen(t)); ( ) x + x + 4 = t ; (e x = t); ( x (tg = t). ) 4. Determine s primitivs ds funções rcionis definids pels expressões nlítics seguintes : x 5 () x + ; x + (b) + 3x ; x + (c) 3x x + ; (d) x 9 ; x (e) (x + )(x 3) ; (f) x3 + x + x + 3 x 4 + x 3 ; x 4 (g) x 3 4x + 8x 6 ; 3x (h) x + x + 6 ;

35 .6 Exercícios 3 (i) (j) t + t 4 + t ; x 3 (x + ). 5. Determine primitiv d função x x e x que tom o vlor pr x =. 6. Determine primitiv d função x 3 9x + 6x + que tom o vlor 5π 4 pr x =. 7. Determine primitiv d função x (cos(x)) 3 5 sen 3 (x) + x e x que tom o vlor 7 pr x = Determine função f tl que f (x) = (x + ), f () = e lim f(x) =. 3 x + ( ) 9. () Mostre que, com substituição log x = t, o cálculo de P R(log x), onde x R design um função rcionl do seu rgumento, pode fzer-se depender do cálculo d primitiv de um função rcionl em t. 4 (b) Primitive f(x) = x[(log x) 3 3 log x ].. Sendo g(x) = cos n (x)r(sen(x)), com n ímpr, onde R design um função rcionl do seu rgumento, mostre que substituição sen(x) = t permite primitivr g trvés d primitiv de um função rcionl.. Primitive s funções definids pels expressões nlítics seguintes : () x sen(x ); (b) x rc tg(x); x (c) ; + x (d) t + t + t + 3 ; (e) (x + )e x ; 3x (f) x tg(9x); (g) (h) (i) x 3 + 5x x + 5 ; ; 9 x e x + e x e x e x + ;

36 3. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção (j) x x + 4x 4 ; (k) rc tg(5x); (l) ; + x x (m) x x + ; (n) cos 4 (x), ; (o) x 5 3 ( + x 3 ) ; (p) cos(x) ; x x 3 e x + x (q) ; x 3 (r) (log x + ) ; sen(x) (s) cos(x)( + cos (x)) ; 3x + 5 (t) x 3 x x + ; x 3 (x + 3) (u) 3x 3 + 9x ; (v) (x + ) 3 e x ; x 3 3x 4 (w) 4x + x 6 ; x + (x) ; 3x + t (y) t 4 t 3 + t t + ; tg(x) (z) + cos(x).. Mostre por primitivção que: () P[(sen(x)) n sen((n + )x)] = n (sen(x))n sen(nx); (b) P[(cos x) m cos(nx)] = m + n [cosm (x)sen(nx) + mp[cos m (x) cos((n )x)]]. 3. Estbeleç seguinte fórmul de recorrênci : P(tg(x)) n = (tg(x))n n P(tg(x)) n, n.

37 .6 Exercícios Sej f n (x) = x n + bx. Mostre que : Pf n (x) = xn + bx (n + )b n (n + )b Pf n (x).

38 34. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção

39 Cpítulo Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl. Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes Definição.. Sejm,b R, < b. Ddos n + pontos = x < x < x < < x n < x n < x n+ = b, o conjunto dos subintervlos d form [x i,x i+ ], i =,,...,n, chm-se prtição de [,b]. NOTAS:. A prtição é um conjunto de subconjuntos, mis precismente: P = {[x i,x i+ ] : i N, i n}. O nome prtição result de n i=[x i,x i+ ] = [,b] e do fcto de ddos dois quisquer elementos de P su intersecção ou é vzi ou se reduz um ponto.. A prtição P fic bem definid pelo conjunto P ={= x,x,x,...,x n,x n,x n+ = b} pelo que podemos identificr prtição P com o conjunto P. É clro que, pelo modo como definimos prtição, considermos o conjunto P ordendo, isto é, x i < x i+, i =,,...,n. Definição.. Sejm,b R, < b. Dds dus prtições P e P, diz-se que P é mis fin que P se todos os elementos de P estão contidos em elementos de P. NOTA: Tendo em cont Not, seguir à definição nterior, se P e P forem os conjuntos de pontos que definem P e P, respectivmente, Definição.. poderi ser enuncid do seguinte modo: P é mis fin que P se P P. Proposição Sejm,b R, < b. Dds dus prtições de [,b], P e P, existe um prtição de [,b], P 3, mis fin que P e P. Demonstrção: Tendo em cont Not seguir à Definição.. e not seguir à Definição.., se P e P são os conjuntos de pontos que definem P e P, bst tomr prtição P 3 definid por P 3 = P P.

40 36. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Definição..3 Sejm,b R, < b, f : [,b] R um função limitd e P um prtição de [,b]. Chm-se som inferior de Drboux de f, reltiv à prtição P s P (f) = n (x i+ x i ) inf f(x). x [x i,x i+ ] i= Chm-se som superior de Drboux de f, reltiv à prtição P S P (f) = n i= (x i+ x i ) sup f(x). x [x i,x i+ ] NOTAS:. As soms superior e inferior estão bem definids. Como f é limitd em [,b], f é limitd em [x i,x i+ ], isto é, o conjunto {f(x) : x [x i,x i+ ]} é limitdo e, portnto, tem ínfimo e supremo.. É óbvio que s P (f) S P (f). Veremos que est propriedde se pode generlizr: pr um função limitd em [,b], qulquer som superior é mior ou igul qulquer som inferior. 3. Se f é um função não negtiv em [,b], dd um prtição P, som inferior de Drboux é igul à som ds áres dos rectângulos cujos ldos têm comprimento x i+ x i e inf f(x) (ver Figur.). x [x i,x i+ ] y x x x x x x x x x x b x Figur.: Som inferior de Drboux. Anlogmente, som superior de Drboux é igul à som ds áres dos rectângulos cujos ldos têm comprimento x i+ x i e sup x [x i,x i+ ] f(x) (ver Figur.).

41 . Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes 37 Figur.: Som superior de Drboux. Proposição Sejm,b R, < b, f : [,b] R um função limitd, P e P dus prtições de [,b], P mis fin que P. Então: s P (f) s P (f) S P (f) S P (f). Demonstrção: D Definição.., pr cd [x i,x i+ ] P, existem [y j,y j+ ] P, j = k i,...,p i, tis que p i j=k i [y j,y j+ ] = [x i,x i+ ]. Então pelo que p i j=k i (y j+ y j ) inf f(x) inf f(x), j = k i,...,p i, x [x i,x i+ ] x [y j,y j+ ] inf f(x) x [y j,y j+ ] p i j=k i (y j+ y j ) inf f(x) = x [x i,x i+ ] pi = inf f(x) (y j+ y j ) = (x i+ x i ) inf f(x). x [x i,x i+ ] x [x i,x i+ ] j=k i Somndo ests expressões (de i = i = n) obtém-se s P (f) s P (f). Anlogmente se obtinh S P (f) S P (f). A proposição fic demonstrd tendo em cont que s P (f) S P (f) (ver Not seguir à Definição..3). Proposição 3 Sejm,b R, < b, f : [,b] R um função limitd, P e P dus prtições de [,b]. Então: s P (f) S P (f) e s P (f) S P (f). Demonstrção: Pel Proposição existe um prtição P 3 mis fin que P e P. Pel Proposição, s P (f) s P3 (f) S P3 (f) S P (f) e s P (f) s P3 (f) S P3 (f) S P (f). NOTA: Result dest proposição que se,b R, < b, f : [,b] R é um função limitd, o conjunto ds soms superiores é minordo (tods s soms inferiores são minorntes) e o conjunto ds soms inferiores é mjordo (tods s soms superiores são mjorntes); estes conjuntos têm, pois, ínfimo e supremo, respectivmente.

42 38. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Definição..4 Sejm,b R, < b e f : [,b] R um função limitd. Ao ínfimo do conjunto ds soms superiores de f chm-se integrl superior de f em [,b] e represent-se por f(x)dx. Ao supremo do conjunto ds soms inferiores de f chm-se integrl inferior de f em [,b] e represent-se por f(x)dx. Se f(x)dx = f(x)dx, diz-se que f é integrável à Riemnn em [,b]; este número chm-se in- tegrl de f em [,b] e represent-se f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx. NOTAS:. Sejm,b R, < b e f : [,b] R um função limitd. O integrl superior de f em [,b] e o integrl inferior de f em [,b] existem (ver not ntes d definição). No entnto função pode não ser integrável; consideremos, por exemplo, função, x [, ] Q f(x) =, x [, ] \ Q Como entre quisquer dois pontos existem rcionis e irrcionis, dd um prtição qulquer, P, f(x)dx =. inf f(x) = e x [x i,x i+ ] sup f(x) =, pelo que x [x i,x i+ ] f(x)dx = e. Se f é contínu, não negtiv e integrável em [,b], o integrl de f é igul à áre d figur limitd pelo gráfico de f e pels rects x =, x = b e y = (eixo dos xx) (ver Figur.3). Pr nos convencermos deste fcto, bst ter em cont s figurs. e. e definição. O integrl é o ínfimo do conjunto ds soms superiores, que são tods miores ou iguis que quel áre (ver Figur.), portnto o integrl é mior ou igul que áre d figur referid. Por outro ldo, o integrl tmbém é o supremo do conjunto ds soms inferiores, que são tods menores ou iguis que quel áre (ver Figur.) portnto o integrl é menor ou igul que áre d figur referid. Conclui-se ssim que o integrl é igul à áre d figur. Proposição 4 Se < b e f(x) = c, x [,b], então f(x)dx = c (b ) Demonstrção: Qulquer que sej prtição P, s P (f) = S P (f) = c (b ). Proposição 5 Se < b e f, g : [, b] R são dus funcões integráveis em [, b] tis que f(x) g(x), x [,b], então f(x)dx g(x)dx.

43 . Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes 39 Figur.3: O integrl é igul à áre d figur indicd. Demonstrção: Qulquer que sej prtição P, s P (f) s P (g) pelo que, os integris, (que, por hipótese, existem e são iguis os supremos dos conjuntos ds soms inferiores) verificm desiguldde. Proposição 6 Sejm,b R, < b e f : [,b] R um função limitd. f é integrável se, e só se, pr todo o ε > existe um prtição P tl que S P (f) s P (f) < ε. Demonstrção: Suponhmos que f é integrável e sej ε >, qulquer. Visto que o integrl é o supremo do conjunto ds soms inferiores, existe um prtição P tl que s P (f) > f(x)dx ε/; (.) nlogmente, visto que o integrl é o ínfimo do conjunto ds soms superiores, existe um prtição P tl que S P (f) < f(x)dx + ε/. (.) Então, S P (f) ε/ < f(x)dx < s P (f) + ε/ donde obtemos S P (f) < s P (f) + ε. Se tomrmos um prtição P, mis fin que P e P então, pel Proposição, S P (f) S P (f) < s P (f) + ε s P (f) + ε. Reciprocmente, suponhmos que pr todo o ε > existe um prtição P tl que S P (f) s P (f) < ε, isto é, S P (f) < s P (f) + ε. Então, f(x)dx S P(f) < s P (f) + ε f(x)dx + ε, pelo que, pr todo o ε >, f(x)dx f(x)dx ε, o que só é possível se f(x)dx = f(x)dx. Proposição 7 Se < b e f,g : [,b] R são dus funcões integráveis em [,b] então f + g é integrável em [,b] e (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx.

44 4. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Demonstrção: Visto que, pr cd i, e então inf f(x) f(x) sup f(x), x [x i,x i+ ] x [x i,x i+ ] x [x i,x i+ ] inf g(x) g(x) sup g(x), x [x i,x i+ ], x [x i,x i+ ] x [x i,x i+ ] inf f(x)+ x [x i,x i+ ] pelo que inf x [x i,x i+ ] g(x) f(x)+g(x) sup inf f(x) + x [x i,x i+ ] inf g(x) x [x i,x i+ ] sup (f(x) + g(x)) x [x i,x i+ ] x [x i,x i+ ] f(x)+ sup x [x i,x i+ ] inf (f(x) + g(x)) x [x i,x i+ ] sup f(x) + x [x i,x i+ ] sup g(x) x [x i,x i+ ] g(x), x [x i,x i+ ], Usndo ests desigulddes e recorrendo à definição, obtemos, pr qulquer prtição, s P (f) + s P (g) s P (f + g) S P (f + g) S P (f) + S P (g) (.3) Sej ε >, qulquer. Pel Proposição 6 (desigulddes. e.) existem prtições P, P, P 3 e P 4 tis que e f(x)dx ε s P (f) S P (f) g(x)dx ε s P 3 (g) S P4 (g) f(x)dx + ε g(x)dx + ε Se considerrmos um prtição P mis fin que P, P, P 3 e P 4, s últims desigulddes continum válids, com s P i substituíds por P e, dicionndo, f(x)dx+ g(x)dx ε s P (f)+s P (g) S P (f)+s P (g) Usndo gor s desigulddes.3, obtemos f(x)dx + g(x)dx ε s P (f + g) S P (f + g) f(x)dx+ f(x)dx + g(x) dx+ε g(x)dx + ε. Concluímos ssim que f(x)dx + g(x)dx é o supremo ds soms inferiores e o ínfimo ds soms superiores de f +g, isto é, f(x)dx+ g(x)dx = (f(x)+g(x))dx. Proposição 8 Se < b, se f : [,b] R é integrável em [,b] e c R, então c f é integrável em [,b] e (c f)(x)dx = c f(x)dx.

45 . Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes 4 Demonstrção: Se c =, cf em [,b] e plic-se Proposição 4. Se c >, sej P um prtição de [,b]. Como, pr cd i, inf (cf(x)) = c inf (f(x)) e sup (cf(x)) = c sup (f(x)), [x i,x i+ ] [x i,x i+ ] [x i,x i+ ] [x i,x i+ ] então s P (cf) = c s P (f) e S P (cf) = c S P (f). Tomndo o supremo ds soms inferiores e o ínfimo ds soms superiores, obtemos: (c f)(x)dx = c f(x)dx = c f(x)dx = c f(x)dx = Se c =, inf ( f(x)) = sup (f(x)) e sup ( f(x)) = [x i,x i+ ] [x i,x i+ ] [x i,x i+ ] que s P ( f) = S P (f) e S P ( f) = s P (f); então, (c f)(x)dx inf [x i,x i+ ] (f(x)), pelo ( f)(x)dx = f(x)dx e ( f)(x)dx = f(x)dx e dests igulddes concluímos que ( f)(x)dx = f(x)dx. Tendo em cont os csos estuddos proposição fic demonstrd (se c <, bst observr que c = ( c) e plicr o que se mostrou nteriormente). Proposição 9 Se < b, se f : [,b] R é integrável em [,b] e se g difere de f pens num ponto, então g é integrável em [,b] e f(x)dx = g(x)dx. Demonstrção: Sej M > tl que f(x) M g(x) M, x [,b]. Ddo ε > qulquer, consideremos um prtição P de [,b] tl que f(x)dx ε s P (f) S P (f) f(x)dx + ε. Tomemos um prtição P, mis fin que P, tl que x i+ x i < ε, i =,...,n. Como 8M f e g diferem pens num ponto, digmos c, s respectivs soms superiores e inferiores diferem (eventulmente) pens ns prcels que contêm c (dus no cso de c ser um dos x i, um no cso contrário). Como f(c) g(c) M, s soms superiores e inferiores diferem, qundo muito de ε/. Então, donde deduzimos o resultdo. f(x)dx ε s P (g) S P (g) f(x)dx + ε, Corolário Se < b, se f : [,b] R é integrável em [,b] e se g difere de f pens num número finito de pontos, então g é integrável em [,b] e f(x)dx = g(x)dx.

46 4. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Demonstrção: Se g difere de f em m pontos, p,p,...,p m, bst plicr proposição m vezes: consider-se função f que é igul f excepto em p, onde é igul g, e plic-se proposição; consider-se função f que é igul f excepto em p, onde é igul g, e plic-se Proposição; ssim sucessivmente, té chegrmos f m, que é igul g. Proposição Se c < d b e se f : [,b] R é integrável em [,b], então f é integrável em [c,d] e d f(x)dx = g(x)dx onde c f(x), se x [c,d] g(x) =, se x / [c,d] Demonstrção: Ddo ε > qulquer, consideremos um prtição P de [,b] tl que S P (f) s P (f) < ε/ (Proposição 6). Se o conjunto dos pontos que definem P crescentrmos c e d, obtemos um prtição P, mis fin que P, pelo que S P (f) s P (f) < ε/. Se considerrmos gor prtição P de [c,d], que se obtém de P por considerr pens os elementos contidos em [c,d], verific-se obvimente S P (f) s P (f) < ε/. Pel Proposição 6, deduzimos que f é integrável em [c,d]. Flt-nos demonstrr iguldde dos integris. Supomos que < c < d < b. Se = c ou d = b, s dptções (de fcto, simplificções) são evidentes. Procedemos, gor, de modo semelhnte o d demonstrção d Proposição 9. Sejm M tl que g(x) M, x [,b] e P um prtição de [,b], mis fin que P, tl que os elementos de P em que c é extremo direito e os elementos de P em que d é extremo esquerdo têm comprimento menor ou igul ε/(m). Se P é prtição de [c,d] que se obtém de P por considerr pens os elementos contidos em [c,d], s P (f) e s P (g) pens diferem (eventulmente) em dus prcels: s que correspondem o elemento de P em que c é extremo direito e o elemento de P em que d é extremo esquerdo. O mesmo contece em relção S P (f) e S P (g). Então, pelo que concluímos que s P (f) ε s P (g) S P (g) S P (f) + ε d c f(x)dx = g(x) dx. Proposição Se < c < b e f : [,b] R é integrável em [,b], então f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx. c Demonstrção: Consideremos s funções f(x), x [,c] g(x) =, x ]c,b], x [,c[ e h(x) = f(x), x [c,b]

47 . Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes 43 Obvimente, f = g + h. Pels Proposições e 7: f(x)dx = (g + h)(x)dx = g(x)dx + h(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx Definição..5 Sejm,b R, < b e f : [,b] R um função integrável. Define-se b f(x)dx = f(x)dx e tmbém f(x)dx = Proposição Quisquer que sejm,b,c R, sempre que os três integris existm. f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx, Demonstrção: Se < c < b, trt-se d Proposição. Se c < < b, então, pel Proposição, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx, donde c c obtemos o resultdo. Os restntes csos resolvem-se do mesmo modo. Proposição 3 Sejm,b R e < b. Se f,g : [,b] R são dus funções integráveis em [,b], então fg é integrável em [,b]. Não demonstrremos est proposição. A su demonstrção, embor possível este nível, seri demsido long pr os propósitos deste curso.

48 44. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl. Clsses de funções integráveis Teorem.. Sejm,b R, < b. Se f é contínu em [,b] então é integrável em [,b]. Demonstrção: Pelo Teorem de Cntor, f é uniformemente contínu em [, b]. Ddo ε >, qulquer, existe θ > tl que x,y [,b], x y < θ f(x) f(y) < ε/(b ). Se tomrmos um prtição, P, em que todos os seus elementos tenhm comprimento menor que θ, então f(x) f(y) < ε/(b ), x,y [x i,x i+ ], i =,...,n pelo que sup f(x) x [x i,x i+ ] Dqui se conclui que inf x [x i,x i+ ] f(x) = mx x [x i,x i+ ] f(x) min x [x i,x i+ ] f(x) < ε/(b ), i =,...,n. S P (f) s P (f) = n i= (x i+ x i ) ( sup x [x i,x i+ ] f(x) inf f(x)) < x [x i,x i+ ] < n ε (x i+ x i ) b = (b ) ε b = ε. i= Pel Proposição 6, f é integrável em [,b]. Teorem.. Sejm,b R, < b, f : [,b] R um função limitd. Se f é contínu em [,b], excepto num número finito de pontos, então é integrável em [,b]. Demonstrção: Suponhmos que f é contínu em [, b] excepto num ponto c ], b[. Sejm ε >, qulquer e M > tl que f(x) M, x [,b]. Então pelo Teorem.., f é integrável em [,c ε/(m)] e em [c + ε/(m),b] (podemos sempre tomr ε suficientemente pequeno pr nenhum destes intervlos ser vzio ou se reduzir um ponto), pelo que, pel Proposição 6, existem prtições P e P de [,c ε/(m)] e [c+ε/(m),b], respectivmente, tis que S P (f) s P (f) < ε/3 e S P (f) s P (f) < ε/3. Se considerrmos prtição P, de [,b], formd pelos elementos de P, por C = [c ε/(m),c + ε/(m)] e pelos elementos de P, então S P (f) s P (f) < ε (note-se que sup x C f(x) inf x C f(x) M e que o comprimento de C é ε/(6m)). Tendo em cont Proposição 6, f é integrável em [,b]. Se f não for contínu num dos extremos do intervlo, procede-se do mesmo modo, com s dptções evidentes. O mesmo contece pr o cso em que há vários pontos de descontinuidde. Apens temos que considerr vários conjuntos C, um pr cd ponto de descontinuidde, e dptr s constntes. Teorem..3 Sejm,b R, < b e f : [,b] R um função limitd. Se f é monóton em [,b], então é integrável em [,b]. Demonstrção: Vmos fzer demonstrção supondo que f é crescente. Pr f decrescente, s técnics são s mesms com s dptções evidentes.

49 . Clsses de funções integráveis 45 Sejm ε > e M = sup f(x) inf f(x) = f(b) f(). Se M =, então f é x [,b] x [,b] constnte em [,b], pelo que é integrável. Se M >, sej P um prtição de [,b] tl que todos os seus elementos têm comprimento menor que ε/m. Como f é crescente, então inf f(x) = f(x i) e x [x i,x i+ ] sup x [x i,x i+ ] f(x) = f(x i+ ), pelo que s P = n (x i+ x i )f(x i ) e S P = i= n (x i+ x i )f(x i+ ) i= donde (note-se que f(x i+ ) f(x i ) ) S P s P = n (x i+ x i ) (f(x i+ ) f(x i )) i= n i= ε M (f(x i+) f(x i )) = = ε n (f(x i+ ) f(x i )) = ε M M i= Pel Proposição 6, f é integrável em [,b]. (f(b) f()) = ε. EXEMPLO: A função f(x) =, se x =, n, se n + < x n, n N tem um infinidde de descontinuiddes em [, ], ms é integrável, visto ser crescente.

50 46. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl.3 Teorems Fundmentis Teorem.3. (Teorem d médi) Sejm,b R e < b. Se f : [,b] R é contínu, então existe c [,b] tl que f(x)dx = f(c) (b ) Demonstrção: Como f é contínu, sbemos que é integrável e que tem máximo e mínimo em [,b]: existem x [,b] e x [,b] tis que isto é, f(x ) = min f(x) f(x) mx f(x) = f(x ), x [,b] x [,b] x [,b] Pels Proposições 4 e 5, f(x ) (b ) = f(x )dx f(x)dx f(x)dx f(x ) f(x ). b Pelo Teorem de Bolzno existe c, entre x e x, tl que f(c) = f(x)dx b Teorem.3. (Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl) f(x )dx = f(x ) (b ) Sejm,b R, < b. Se f : [,b] R é contínu, então função F(x) = x f(t)dt é diferenciável em [,b] e F (x) = f(x), x [,b], isto é, F é um primitiv de f (tmbém conhecid por integrl indefinido de f). Demonstrção: Sejm x [,b] (qulquer) e h R tl que x + h [,b]. Então F(x + h) F(x) = = x+h x f(t)dt f(t)dt + x x+h f(t)dt f(t)dt x x f(t)dt = x+h x f(t)dt. Pelo Teorem.3., existe c [x,x+h] tl que F(x+h) F(x) = pelo que F (x) = lim h F(x + h) F(x) h = lim c x f(c) = f(x) x+h x f(t)dt = f(c)h

51 .3 Teorems Fundmentis 47 (note-se que, pr cd h, c está entre x e x+h, pelo que, qundo h tende pr, c tende pr x). NOTA: Do Teorem nterior obtemos, em prticulr, que tod função contínu em [,b] é primitivável em [,b]. Corolário (Regr de Brrow) Sejm,b R, < b. Se f : [,b] R é contínu e G é um primitiv de f em [,b], então f(x)dx = G(b) G() = [G(x)] b Demonstrção: Vimos no Teorem.3. que função F(x) = x f(t)dt é um primitiv de f. Então G(x) F(x) = c, x [,b]; ms F() = f(t)dt =, pelo que c = G() F() = G(). Por outro ldo, c = G() = G(b) F(b) donde se conclui que f(t)dt = F(b) = G(b) G(). Teorem.3.3 (Integrção por prtes) Sejm,b R, < b. Se f : [,b] R é contínu em [,b], se F é um primitiv de f em [,b] e se g C ([,b]) então f(x)g(x)dx = [F(x)g(x)] b F(x)g (x)dx Demonstrção: Como o produto de funções contínus é um função contínu, tnto f g com Fg são integráveis em [,b]. Como (F g) (x) = F (x)g(x) + F(x)g (x) = f(x)g(x) + F(x)g (x), pel Regr de Brrow, [F(x)g(x)] b = f(x)g(x)dx + F(x)g (x) donde se conclui o resultdo pretendido. Teorem.3.4 (Integrção por substituição) Sejm, b R, < b, f : [, b] R um função contínu em [,b] e φ : [α,β] [,b] um função de clsse C tl que φ(α) = e φ(β) = b. Então f(x)dx = β α f(φ(t))φ (t)dt Demonstrção: Sejm G : [,b] R um primitiv de f e H : [α,β] R função definid por H(t) = G(φ(t)). Então H (t) = G (φ(t))φ (t) = f(φ(t))φ (t), pelo que, pel Regr de Brrow, β α f(φ(t))φ (t)dt = H(β) H(α) = G(φ(β)) G(φ(α)) = G(b) G() e f(x)dx = G(b) G().

52 48. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl.4 Áres de figurs plns o CASO Se f é integrável em [,b] e f(x), x [,b], áre d figur pln limitd pels rects x =, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gráfico de f (figur.3) é dd por f(x)dx, como vimos trás. EXEMPLO: A áre d figur pln limitd pels rects x =, x = π, pelo eixo dos xx 4 e pelo gráfico de cos(x) é dd por: π 4 cos(x)dx = sen(π 4 ) sen() =. o CASO Se f é integrável em [,b] e f(x), x [,b], áre d figur pln limitd pels rects x =, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gráfico de f (figur.4) é dd por f(x)dx. De fcto, se considerrmos simetri em relção o eixo dos xx, obtemos um figur com mesm áre ( simetri em relção um rect mntém s áres invrintes), que é limitd pels rects x =, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gráfico de f (figur.5). Visto que função f é não negtiv em [,b], estmos reduzidos o o cso e áre é dd por f(x)dx = f(x)dx. EXEMPLO: A áre d figur pln limitd pels rects x = π, x = π, pelo eixo dos xx e pelo gráfico de cos(x) é dd por: π π cos(x)dx = (sen(π) sen( π )) = sen(π ) =. Figur.4

53 .4 Áres de figurs plns 49 Figur.5 NOTAS:. Não esquecer que áre de um figur não degenerd (isto é, não reduzid um ponto ou segmento de rect ou curv, etc.) é um número positivo.. Em mbos os csos, e, áre é dd por f(x) dx. 3 o CASO Figur.6 Se f é integrável em [,b], áre d figur pln limitd pels rects x =, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gráfico de f (figur.4) é dd por f(x) dx (note-se que os csos nteriores são csos prticulres deste). De fcto, se f mud de sinl em [,b] (figur.6), considermos os subintervlos em que f é positiv (nestes subintervlos áre é dd pelo integrl de f, isto é de f ) e os subintervlos em que f é negtiv (nestes subintervlos áre é dd pelo integrl de f, isto é de f ); áre totl, que é som de tods ests áres é, pois, dd por f(x) dx (Proposição ).