DETECÇÃO DE PONTOS FIXOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS EM SISTEMAS CAÓTICOS A PARTIR DE SÉRIES TEMPORAIS COM RUÍDO. Resumo

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1 DETECÇÃO DE PONTOS FIXOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS EM SISTEMAS CAÓTICOS A PARTIR DE SÉRIES TEMPORAIS COM RUÍDO Frederico Furst Bittencourt * IC e Maisa de Oliveira Terra PQ ITA Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Departamento de Matemática São José dos Campos, SP ffbittencourt@yahoo.com.br maisa@ita.br Resumo Este artigo visou investigar alguns métodos de detecção de Órbitas Periódicas Instáveis a partir de Séries Temporais Caóticas com Ruído buscando verificar a aplicabilidade e eficiência dos mesmos em função do grau de ruído do conjunto de dados e do particular tipo de sistema dinâmico. Três foram os métodos principais investigados e comparados: os métodos de Auerbach et al [1], de Aguirre e Souza [2] e de So et al [3]. Além destes, um aprimoramento ao Método de Auerbach et al foi proposto e explorado, levando a melhores resultados do que os outros métodos para dados com ou sem ruído. Abstract This article aimed to investigate some methods of detection of Unstable Periodic Orbits from Noisy Chaotic Time Series, verifying their efficiency and applicability as a function of the data noise degree and the particularities of the dynamical system. Three were the main methods investigated and compared: the method of Auerbach et al [1], of Aguirre e Souza [2] and of So et al [3]. Besides them, an improvement for the Auerbach s Method was proposed and explored leading to better results than the original version and others for data with or without noise. 1. INTRODUÇÃO Órbitas periódicas instáveis imersas em atratores caóticos são fundamentais para o entendimento da dinâmica caótica associada ao sistema. Por exemplo, a entropia topológica e os expoentes de Lyapunov podem ser determinados a partir das órbitas periódicas. Uma aplicação particularmente importante destas órbitas é o controle de sistemas caóticos em que o primeiro passo essencial geralmente é a determinação de órbitas periódicas. Um mapa é definido a partir de uma função e de suas condições iniciais: x = n+ 1 f ( xn), n = 0,1,2,... k k onde f : R R Dado x 0 pertencente a IR k, define-se uma trajetória do mapa como uma seqüência x 0, x 1, x 2,..., onde x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(x 1 ),..., e assim por diante. Neste trabalho foram considerados alguns sistemas dinâmicos específicos a fim de explorar as diferentes técnicas de detecção de soluções periódicas em investigação. São eles: o Mapa Logístico, o Mapa de Henon e o Mapa de Ikeda. Definições dos mapas e parâmetros adotados conforme [4]. O pior cenário para a detecção de tais órbitas é a situação em que se deseja extrair OPI a partir de uma série temporal obtida experimentalmente. Isso advém do fato de que, em geral, esse tipo de série apresenta ruído observacional (ruído branco), de forma que poderíamos escrever cada um dos termos da série temporal da seguinte forma: 1

2 1 xruidoso = x+ ε κ 2, tal que κ [0,1] aleatório, e ε > 0 é um valor que define a intensidade máxima (amplitude) do ruído. Usando a equação acima é possível simular a presença de ruído observacional em conjuntos de dados, através da inserção de um ruído branco em séries geradas computacionalmente. A respeito dessas séries já são conhecidas características suficientes para que a análise recaia sobre o processo de detecção de OPI. 2. DESCRIÇÃO DOS MÉTODOS ANALISADOS Método de Auerbach: Método proposto por Auerbach, Cvitanovic, Eckmann, Gunaratne e Procaccia [1]. Referido simplesmente como Método de Auerbach et al, este método detecta as órbitas periódicas (pontos fixos) de uma série temporal caótica e calcula as estabilidades destas soluções. O método é o seguinte: Dada a série temporal { }, onde x x j N j= 0 0 é o ponto inicial no IR k, se N for grande o suficiente, a série temporal visitará as vizinhanças de um ponto arbitrário de período dado. Em momentos separados por uma diferença igual ao período, a série deverá revisitar as proximidades das soluções periódicas. Determina-se essas órbitas analisando pontos no atrator caótico separados por p iterações e que estejam a uma distância euclidiana menor que o parâmetro r 1. Neste passo é possível agrupar pontos que retornam, após um determinado período p, a uma vizinhança definida por r 2 (próximo parâmetro a ser definido). O critério de discriminação para agrupamentos de candidatos referentes aos pontos fixos ou órbitas periódicas distintas é a distância r 2. Se a distância entre pontos for menor que r 2, então eles serão associados ao mesmo ponto periódico instável. Este novo parâmetro deve respeitar à seguinte condição: r 2 > r 1. Estima-se a solução para o ponto real através de uma simples média aritmética. Isto é, espera-se que o ponto fixo real encontre-se no centro de massa dos pontos agrupados sob uma mesma órbita. Método de Auerbach Modificado: Aprimoramento Proposto O método de Auerbach usa uma simples média aritmética para estimar o ponto fixo a partir de seus candidatos. Propõe-se, nesta investigação, que seja usado um recurso a mais, recurso este que levou a melhores resultados em nossas análises: o uso de uma média ponderada pela distância entre x n e x n+p. Após a implementação do cálculo das soluções a partir desta média ponderada, analisamos os resultados obtidos com algumas séries temporais. A expressão adotada como peso foi w = r d x x, onde p é o período da órbita periódica, wi é o peso associado ao ponto x i da série e ( i+ p, i) ( i+ p) ( i) 2 2 d x x = x + x. Método de Aguirre: Método proposto por Aguirre e Souza [2]; ( i 1 i+ p, Esse método se baseia na modelagem de sistemas dinâmicos caóticos, que é uma tarefa nãotrivial, para a qual foram criados vários procedimentos e algoritmos. Espera-se que um bom modelo possua as mesmas órbitas periódicas e pontos fixos que o sistema original possua. Este método propõe a i ) 2

3 utilização desse fato para estimar os pontos fixos, mas procurando evitar as complicações inerentes ao processo de modelagem de sistemas [2]. O método em si consiste em estimar vários modelos para várias janelas de dados, e em calcular os pontos fixos e órbitas periódicas de cada uma dessas subséries. A partir da comparação dos resultados, espera-se que os pontos fixos do sistema estejam presentes na maioria das janelas de dados, portanto possibilitando sua detecção. O procedimento que este método adota gera um modelo a cada iteração, portanto foi necessário pesquisar a respeito, sem o quê não foi possível sequer iniciar o processo de implementação deste método. Tal pesquisa envolveu o estudo de conceitos relacionados à modelagem de sistemas com modelos NARMAX [6]. Uma tentativa de implementação em C foi tentada, mas a complexidade do método criou várias dificuldades, com bibliotecas, foco da linguagem etc. No momento, considera-se de interesse utilizar, para a comparação entre os métodos, a própria implementação em MATLAB fornecida pelo grupo MACSIN [7]. Método de Paul So: Método apresentado por So, Ott, Schiff, Kaplan, Sauer e Grebogi [3]; Este método consiste basicamente na aplicação de uma transformação aos dados, de forma que seja obtida uma densidade de distribuição, que será maior nas vizinhanças de pontos fixos. A partir da série, aplicamos a seguinte transformação: xn+ 1 sn( k). xn Xn =, X j, x i R, onde i, j = 1,2,... 1 s k n ( ) x x s k k. x x, k R. n+ 2 n+ 1 ( ) = + ( ) n n+ 1 n xn+ 1 xn Essa é a definição da transformação para séries unidimensionais, e k é um dos parâmetros do método, como r 1 e r 2 no método de Auerbach et al. A característica fundamental de s ( n k ) é que esta se anula no ponto fixo. Aparentemente, essas equações foram construídas de forma a aproveitar a propriedade de que, nas proximidades de pontos fixos, a dinâmica de mapas caóticos é bem representada por um análogo linear. Para estimar os pontos fixos a partir da série transformada, utiliza-se um histograma de freqüência, ou um gráfico de densidade de freqüência. 3. ANÁLISE QUANTITATIVA E RESULTADOS OBTIDOS Os métodos de Auerbach et al e de Aguirre e Souza fornecem diretamente valores numéricos, enquanto o método de So et al requer a análise do histograma produzido para obtenção das soluções periódicas. O método de Auerbach foi bastante analisado, de forma tal que sua funcionalidade intrínseca foi evidenciada, possibilitando analisar seus prós e contras. Através de sua implementação em C++, podese compreender seu modus operandi, assim como perceber formas de se conseguir melhores resultados a partir deste método. Entretanto, pela complexidade envolvida em sua implementação o método de Aguirre e Souza foi relativamente pouco explorado, sendo, apesar disso, possível perceber quais são as principais dificuldades envolvidas em sua implementação e aplicação. Análise do Método de Auerbach e Método Proposto Pudemos concluir que o método é ingênuo, no sentido em que ignora a complexidade geométrica do conjunto invariante ao qual o conjunto de dados está restrito. Além disso, sua análise pode indicar vários candidatos a soluções periódicas onde não há mais que uma única solução, devido à formação de sub-grupos em decorrência da característica fractal do conjunto invariante, como ocorre para o Mapa de Henon. Por outro lado, este método permite que todos os graus de liberdade da série sejam levados em conta na análise, diferentemente do método proposto por Aguirre e Souza. Os principais problemas do 3

4 método são: a confusão em relacionar candidatos a seus respectivos pontos fixos (relacionado ao parâmetro r 2 ) e erros grosseiros na estimativa do valor do ponto fixo (relacionados ao parâmetro r 1 ). Além disso, este método pressupõe, ingenuamente, que haverá uma distribuição simétrica de pontos da série temporal ao redor do ponto fixo. Outro erro que pode ser facilmente cometido corresponde ao caso em que o parâmetro de separação (r 2 ) entre os pontos fixos está mal dimensionado para o conjunto de dados em questão. Neste caso, o valor de r 2 usado pode ser pequeno demais ou grande demais, se o parâmetro for pequeno demais, os candidatos relativos a um mesmo ponto fixo serão processados como referentes a dois pontos fixos diferentes, mas se aumentarmos sobremaneira esse parâmetro, alguns pontos fixos que estiverem muito próximos podem ser incorretamente estimados como um único ponto fixo. Mesmo que esses problemas sejam superados e/ou evitados, o método pode dar resultados pouco exatos, em casos em que o atrator é muito esparso. Portanto, o método de Auerbach et al apresenta como dificuldade crucial a estimativa a priori dos parâmetros r 1 e r 2. O parâmetro r 2 do método é mais crítico para o processo de detecção que r 1. O r 2 é responsável pela distinção entre candidatos associados a pontos fixos diferentes. Observando a Fig. 1, temos uma idéia geométrica de onde devem estar os dois pontos fixos do sistema. O critério de separação desses dois conjuntos é que dois candidatos pertencem a um mesmo grupo se eles se encontram a uma distância menor que r 2. No caso de aplicar-se um valor de r 2 inadequado, este Método indicará uma quantidade de pontos fixos diferente da real (maior ou menor). Esses são o que denominamos de trechos de confusão deste método. Fig 1. Conjuntos Invariantes Atrativos dos: (a) Mapa de Ikeda com candidatos a pontos fixos destacados pelas cores indicadas. O parâmetro r 1 foi superestimado para fins de visualização. (b) Mapa de Henon ilustrando erro induzido pela estrutura fractal do conjunto de dados. Adotou-se α=2 para a razão r 2 /r 1. Para o restante desta análise, buscou-se uma forma simples de se obter r 2 como função de r 1. Uma proposta para este fim é definir r = α. r, α > 1.Os resultados seguintes foram obtidos usando esta 2 1 forma. Conseqüentemente, modificando-se ou os valores de α, ou a forma de relacionar r1 e r 2, pode haver mudanças quanto à localização dos trechos de confusão. Comparativamente, o Método Proposto (com uso de média ponderada pela distância) demonstrou ter vantagens em relação ao Método original de Auerbach et al. As descontinuidades observadas nos gráficos de erro para o Método de Auerbach et al são devidas à fractalidade do Atrator de Ikeda (Fig. 2). Observa-se que, para o Mapa de Henon, cuja estrutura fractal é mais fragmentada, as descontinuidades são maiores. Cumpre salientar ainda que o Método Proposto apresentou melhores resultados para praticamente todos os valores de r 1. A continuidade do Método Proposto deve-se ao uso da distância como peso para estimativa dos pontos fixos, conforme já mencionamos. 4

5 Dessa forma, com o crescimento de r 1, quando um ponto passa a ser computado como candidato, sua contribuição para o cálculo das coordenadas da órbita periódica é praticamente desprezível. Daí não haverem descontinuidades nos gráficos relativos ao Método Proposto. Na Fig. 2, podemos observar o efeito de confusão causado por uma estimativa ruim para o valor de r 2. Seria possível evitar o surgimento de trechos de confusão modificando-se os valores de r 2 (ou de α). Convém também observar que, na ausência de ruído, um valor de r 1 maior geralmente implica um erro maior na estimativa dos pontos fixos. Entretanto, valores muito pequenos de r 1 podem implicar na não detecção de pontos fixos que estejam afastados do atrator (caso de PF2 em Ikeda e Henon). erro 0,34 0,32 0,30 0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 SoPF1 PropostoPF1 PropostoPF2 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 ruído observacional 5 Fig. 2 Erros cometidos pelos Métodos Proposto e de Auerbach et al (distância euclideana entre valores obtidos e valores exatos) quando aplicados a séries temporais do Mapa de Ikeda para os mesmos valores de parâmetros do Mapa que da Fig. 1 com ruído ε=0,1. A inserção de ruído observacional em séries dos Mapas de Henon e de Ikeda mudou pouco o comportamento qualitativo dos resultados em função de r 1 para o Método de Auerbach e do Método Proposto. O Método Proposto continua apresentando melhores resultados que o de Auerbach, em geral, mesmo com a inserção de ruído de grandes amplitudes, apesar de que ambos resultados pioram, como era de se esperar. Análise do Método de Paul So Convém mostrar a eficácia do uso do parâmetro para eliminação de picos espúrios que possam vir a surgir no processo de transformação. Entretanto, não foi analisada a dependência do resultado com o intervalo de valores que k pode assumir. Análise Comparativa Para fins de comparação entre os métodos, a seguinte análise foi realizada: o Método de Paul So foi usado para analisar as séries temporais de cada uma das dimensões dos Mapas de Henon e Ikeda, daí a estimativa dos pontos fixos vem do cruzamento dos dados de cada uma das dimensões; e os métodos de Auerbach/Proposto foram usados para analisar as séries do Mapa Logístico. Os métodos de Auerbach/Proposto não foram capazes de detectar o ponto fixo do Mapa Logístico, o que pode ser devido ao fato de que a região do ponto fixo ser pouco visitada. Entretanto, o Método de Paul So mostrou-se robusto na detecção dos pontos fixos do Mapa de Henon, fato que não se observou para as séries do Mapa de Ikeda. Ambas análises foram feitas utilizando-se 500 valores de k para evitar picos espúrios. Fig. 3 Efeito do ruído sobre os resultados obtidos com cada um dos métodos. Análise realizada sobre séries do Mapa de Henon.

6 Como podemos ver na Fig. 3, o ruído tem um efeito similar sobre os erros nos métodos de Auerbach/Proposto e no de Paul So. Entretanto, vale observar que a inserção de ruído faz com que a detecção de pontos fixos situados fora do conjunto invariante atrativo (com vizinhança pouco visitada pela trajetória do sistema dinâmico) seja obtida para menores valores de r 1, no método de Auerbach/Proposto. 4. CONCLUSÃO A inserção de ruído afeta a aplicabilidade e o desempenho dos métodos analisados de formas diversas. Os métodos de Auerbach/Proposto usam simetrias, as quais parecem ser pouco afetadas pelo tipo de ruído analisado, não havendo grande perda de precisão. Entretanto, é mais difícil detectar os pontos fixos, sendo necessário usar valores maiores de r 1, o que por si só já diminui a precisão do método. O Método de Paul So, por sua vez, perde muito em confiabilidade quando o ruído cresce, em comparação com os outros. Entretanto, existem extensões do Método de Paul So para dimensões maiores que 1. Essas extensões não foram analisadas, e podem ter comportamento diferente do apresentado aqui. De forma geral, os métodos analisados apresentam sérios problemas de aplicabilidade, e não podem ser utilizados sem que sejam observados seus limites. Nenhum dos métodos apresenta resultados suficientemente satisfatórios para que sejam utilizados sem maiores cuidados. O Método de Paul So pode indicar a existência de pontos fixos que não existem. Além disso, a precisão do método é bastante limitada. Para obter maior precisão quanto à posição dos pontos fixos detectados, o procedimento recomendado é usar o Método Proposto, com o parâmetro r 1 crescendo a partir de zero e α=2. Como este método apresentou melhor precisão para pequenos valores de r 1, recomenda-se que seja utilizado o resultado obtido para os menores valores possíveis. Caso o ponto fixo não seja detectado, é necessário aumentar o valor às custas da precisão. Também é necessário certificar-se de que o valor de r 1 não está em um dos trechos de confusão. Portanto, nenhum dos métodos analisados pode ser considerado robusto incondicionalmente a ruído, apesar do ruído não comprometer completamente a qualidade de uma análise mais detalhada. Referências [1] Auerbach, D.; Cvitanovic, P.; Eckmann, J.; Gunaratne, G.; Procaccia, I.; Phys. Rev. Lett. 1987, 58, [2] Aguirre, L.A.; Souza, A.V.P; International Journal of Bifurcation and Chaos 1998, 8, [3] So, P.; Ott, E.; Schiff, S.J.; Kaplan, D.T.; Sauer, T.; Grebogi C.; Phys. Rev. Lett. 1996, 76, [4] Roth, B.A.F.; Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas em Sistemas Caóticos, Dissertação de Mestrado, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, [5] Press, W.H.; Tenkolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P.; Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, Cambridge, [6] Aguirre, L.A.; Introdução à Identificação de Sistemas: técnicas lineares e não-lineares aplicadas a sistemas reais, Editora UFMG, Belo Horizonte, [7] 6