DESENVOLVIMENTO DE UM GERADOR PARA RODA D ÁGUA

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1 Projeto de Iniciação Científica DESENVOLVIMENTO DE UM GERADOR PARA RODA D ÁGUA Relatório final Bolsista: VÍNÍCIUS ZACARIAS RIZZO Orientador: Professor Mário Kawano Departamento de Engenharia Elétrica FEI 01/0/006

2 RESUMO As rodas d água são dispositivos muito comuns no meio rural, inclusive em pequenas propriedades muito afastadas dos grandes centros urbanos. Na maioria das vezes é a máquina prioritária para o inicio da vida no campo. Apesar de serem utilizadas principalmente para bombear água para as caixas d água dessas residências, podem servir também para acionar moinhos ou ainda para fornecer energia mecânica a outros propósitos. Numa residência rural de porte médio onde o consumo de água é normal, mesmo considerando uma roda d água de baixa rotação (0 rotações por minuto), o tempo que esta roda precisa atuar como bomba hidráulica para encher uma caixa d água é em media pequeno, restando assim a maioria das horas do dia para que a roda d água atue como gerador de energia elétrica. I. OBJETIVOS O presente trabalho tem como principal objetivo, a construção de um dispositivo gerador de energia elétrica para ser acoplado às rodas d água, desenvolvendo assim, uma nova alternativa para se gerar energia a partir de fontes renováveis em localidades distantes dos centros urbanos e desprovidas de fornecimento de energia elétrica. Considerando uma residência rural onde o consumo de água diário é de 1000 litros e que o desnível até a caixa d água seja de 40 metros, consultando a linha A da tabela 1, pode ser calculada a potencia útil da bomba: 1

3 Pu = En t Sendo Pu, a potencia útil fornecida pela roda e En a energia fornecida durante um tempo t [MACINTYRE, 1983]. Esta energia fornecida é obtida por: En = m.g.h Onde m é a massa de água que passa pela roda d água durante um determinado tempo, g é a aceleração da gravidade local (9,8 m/s²), e h é o desnível até a caixa d água [MACINTYRE, 1983]. Como a massa específica da água é aproximadamente 1Kg/Litro, e o volume de água bombeada fornecido pela tabela 1 é dado em litros, pode-se substituir diretamente o valor da tabela nas equações obtendo assim: Pu= (4500*9,8*40)/(4*3600) = 1,5 Watts Assim, de acordo com linha A da tabela 1, como uma roda d água trabalhando à 0 rpm bombeia por dia 4500 litros de água num desnível de 40 metros, o tempo de bombeamento de 1000 litros de água será de aproximadamente 5,5 horas, restando em um dia, 18,5 horas para que a roda atue como um gerador elétrico. Pode-se também estimar que em uma residência rural, essa energia gerada possa ser aproveitada para, por exemplo, alimentar um televisor de 14 polegadas que consome uma potência de aproximadamente 38 Watts; um conversor para antena parabólica que

4 consome 11 Watts, e ainda com aproximadamente 50 Watts é possível iluminar toda uma residência de pequeno porte utilizando-se lâmpadas PL. Se a energia gerada for acumulada em baterias, que é o que sugere este trabalho, poderá se usufruir uma potência instantânea bem superior gerada. Fotografia 1: Roda d água com bomba hidráulica acoplada localizada no interior do estado de São Paulo. 3

5 Para se calcular o fornecimento mensal de energia deste gerador, sem ainda considerar as perdas energéticas, basta multiplicar a potência gerada pela quantidade de horas que a roda d água funcionará como gerador elétrico, assim: En = 0,1 [Kw]* 18,5*30[horas] = 68 Kw.h Note que este consumo é condizente com o consumo normal de uma residência de pequeno porte. Tabela 1: Característica de tipos diferentes de bombas (Extra, Normal, A,B,C,D) usando Rodas d água. Os volumes de água indicados na tabela referem-se a 4 horas de funcionamento da bomba hidráulica e são dados em litros [ZM BOMBAS]. 0RPM 30 RPM 40 RPM 50 RPM Desnível (m) EXTRA NORMAL A B C D

6 II. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Na geração de energia elétrica, o processo físico mais fundamental é a indução eletromagnética. Quando se varia o fluxo magnético que passa através de uma espira, nesta é induzida uma diferença de potencial elétrico de acordo com a lei de Faraday-Lenz [TORO, 1999]. Ao enrolar um determinado número de espiras em um núcleo feito de material ferromagnético (bom condutor de fluxo magnético), se este fluxo variar dentro do núcleo através da passagem cíclica de fortes imãs com suas polaridades alternadas, será induzida nesta espira uma diferença de potencial elétrico E como mostra a figura 1. De acordo com a lei exposta acima, tem-se que: Sendo E a tensão induzida nos terminais do condutor, dφ(t)/dt é a derivada do fluxo magnético cujas linhas de campo se concatenam com a bobina L, N é o número de espiras desta bobina, B(t) é a função com que o campo magnético varia em relação ao tempo e S é a área atravessada por este fluxo. 5

7 Figura 1: Dispositivo conversor de energia mecânica em elétrica. Nos geradores comerciais de pequeno porte a tensão induzida nas espiras, depende muito mais da derivada dφ/dt do que do número de espiras. Neste projeto, devido à baixa rotação da roda, esta derivada do fluxo é uma taxa muito pequena. Esse efeito pode ser compensado aumentando-se o número de espiras e usando fortes imãs de Neodimeo-Ferro- Boro, também conhecidos como Terras Raras, que é um dos mais potentes materiais magnéticos avaliados nos dias de hoje. Como a idéia é carregar baterias, será necessária uma tensão de pico de aproximadamente quatro volts acima da tensão nominal da bateria que é 1 Volts, portanto será necessária uma tensão de 16 Volts de pico. Estudos práticos anteriores concluíram que o comportamento do campo magnético no núcleo ferromagnético é praticamente senoidal, como pode ser visto no gráfico 1, obtido em um ensaio prático com um único transformador e seis imãs presos a um disco rotativo. Naturalmente, a verdadeira função com que o este campo se comporta no núcleo, será estudada nos próximos tópicos deste trabalho. Deste modo, como é necessária uma tensão com valor de pico igual a 16 Volts, precisa-se conhecer o fluxo magnético de pico, que é 6

8 obtido multiplicando o campo magnético máximo pela área da secção transversal do transformador. Como esta área é constante, verifica-se que a função do fluxo φ(t) tem a mesma forma de B() no gráfico 1, já que a velocidade angular Τ da roda também é uma constante e por definição é Τ= d/dt obtendo-se portanto d = Τ.dt. B X teta B [T] Teta [graus] Gráfico 1: Comportamento do campo magnético em função de θ para um único transformador e seis imãs presos em um disco rotativo. Note que a amplitude do campo magnético para estes imãs é de 1 Tesla Derivando o fluxo em relação ao tempo, e multiplicando pelo número de espiras N, a tensão de saída no gerador é obtida conforme foi observado na equação 1. Considerando B(t) senoidal da forma Bmax*sen(Τ*t) e como a área S do entreferro é constante, substituindo na equação tem-se que: Como para se aplicar a equação 1 é necessária a derivada do fluxo, substituindo (3) em (1) verifica-se que: 7

9 Como neste projeto, são admitidas rodas que trabalham a uma velocidade muito baixa (em rotações por minuto (Nr)), pode-se aumentar a velocidade de variação do campo magnético no tempo acrescentando-se no disco giratório a maior quantidade possível dos pares de imãs (K), Note que o campo magnético na bobina efetua K ciclos por volta do disco, assim, em relação ao número de ondas, é como se o disco se movesse a k*nr (rpm). Como Τ= Β /T, efetuando-se o cálculo da freqüência angular (ω) em radianos por segundo, obtem-se: ω = πkn r 60 (5) Substituindo (5) em (4) e sabendo que a amplitude Bmax é igual a 1Tesla, isolando o número de espiras N na equação chega-se ao total de espiras necessárias no enrolamento do transformador: N = S E [ Volts] [ m ] 1T Kω[ rad / s] (6) Efetuado o cálculo a partir da equação 6, é obtido um valor de aproximadamente 1700 espiras. Vale lembrar que nesta dedução a variação de B(t) foi considerada perfeitamente senoidal e sua amplitude igual a 1Tesla, já que esta foi a amplitude apresentada em estudos práticos anteriores onde foram utilizados os mesmos imãs. Nos próximos itens deste trabalho o verdadeiro comportamento deste campo será estudado e o cálculo para se obter a quantidade de espiras necessárias, refeito. 8

10 Para mover o disco contendo os imãs é necessária uma fonte de energia mecânica, que neste caso é uma roda d água. A potência gerada por uma roda d água é dada por: P = 1000*Q*H*0 (7) 75 Onde P é a potência em Cavalos Vapor (CV), Q é a vazão em m 3 /s, H a altura em que está o nível de água do tanque acima da alimentação da roda d água e η é o rendimento deste dispositivo [MACINTYRE, 1983]. Naturalmente, como esta potência depende das condições de construção de cada roda e da vazão de água que a movimenta, não cabe ainda efetuar este cálculo. III. MATERIAIS E MÉTODOS III.1 MATERIAIS Para suportar o eixo principal do gerador, onde o disco contendo os imãs irá girar, foi usada uma estrutura de aço aproveitada de um projeto de formatura concluído em 00, já que esta corresponde a uma parte cara do projeto e este suporte tem dimensões compatíveis com as que este gerador necessita, ficando assim dispensável o projeto e a fabricação de outro. O eixo principal do gerador é feito de aço inox e foi confeccionado pela oficina mecânica do Centro Universitário da FEI. Como a idéia é anexar imãs em um disco girante, este deve ser fabricado de um material que não seja bom condutor de fluxo magnético para que as linhas de campo se concentrem no transformador aumentando a indução eletromagnética e não se percam no 9

11 disco. Este disco foi confeccionado em alumínio pela oficina mecânica do Centro Universitário e tem suas dimensões mais relevantes especificadas na figura. O fio escolhido para a confecção das bobinas é da família AWG 18, que suporta uma corrente máxima de 3 Ampères, já que a corrente nas bobinas será inferior a este valor, possibilitando assim que o fio não trabalhe na sua condição máxima de saturação de corrente, diminuindo as perdas por Efeito Joule (aquecimento). Figura : Esboço do disco de alumínio usado em nosso gerador. Note a alternância na polaridade dos imãs. 10

12 As especificações mais relevantes quanto aos materiais utilizados são em relação às chapas de aço para a confecção do transformador e aos imãs permanentes utilizados, por isso será dada mais importância na descrição destes materiais. III.1.1 Chapas de Aço Silício A confecção do núcleo do transformador em lâminas de material ferromagnético e não em material inteiriço, se dá pela grande diminuição das perdas energéticas devido a correntes de Foucault ou simplesmente correntes parasitas, já que esta perda de energia é proporcional ao quadrado da espessura das laminas: Pe = Ke. f ².Bm².e ².< ² (8) Onde Pe é a perda de energia por unidade de tempo em Watts, f é a freqüência de variação do fluxo magnético, Bm é a densidade de fluxo máxima, e é a espessura de laminação e < o volume total do material [TORO, 1999]. Vale lembrar que esta é uma equação empírica e por este motivo não possui demonstração. As chapas feitas de liga de aço-silício são as mais utilizadas para a montagem de transformadores devido ao seu custo ser comparativamente mais baixo e seu desempenho em relação à condução de fluxo magnético ser excepcional, como pode ser visto no gráfico. De acordo com o gráfico, a curva de magnetização das chapas de aço silício só está abaixo da liga de Ferro-niquel. 11

13 Gráfico : Curvas de magnetização de materiais ferromagnéticos típicos [TORO, 1999]. III.1. Imãs Terra Raras O material de que são feitos os imãs permanentes utilizados neste trabalho, o Neodímeo-Ferro-Boro (NdFeB), está entre os materiais magnéticos mais bem avaliados no mercado atualmente. Trata-se de uma liga contendo um elemento Terra Rara (Neodímio) produzida através de um processo metalúrgico chamado de metalurgia do pó, que utilizando um campo magnético externo, alinha para um mesmo sentido o campo magnético resultante do material. As mais importantes características destes imãs são a de possuírem um grande campo magnético remanente (Br) e um igualmente alto campo 1

14 magnético coercitivo (Hc), o que significa que é necessária uma energia muito alta para desmagnetizar estes imãs, isto é, tornar seu campo magnético remanente intrínseco igual a zero. Estas características são mostradas no gráfico 3, que foi fornecido pelo fabricante. Gráfico 3: Curvas características dos imãs utilizados em dadas temperaturas. As unidades que aparecem nas escalas do gráfico 3 são do sistema CGS e como os cálculos estão sendo realizados utilizando o sistema internacional (SI), a tabela a seguir traz os fatores de conversão entre essas escalas para as grandezas de interesse. 13

15 Tabela: Fatores de conversão entre os sistemas de unidades CGS e SI CGS SI Fator Gauss(G) militesla 1 Gauss = 0,1 mt Oersted(Oe) Kilo.ampere/metro 1 Oe = k/am Mega gauss Oersted(MGOe) Kilo Joules/metro 1 MGOe = 7,96 KJ/m Através do gráfico verifica-se que o campo magnético remanente (Br) do imã utilizado na temperatura de 0ºC é de aproximadamente 1, T e o campo magnético coercitivo (Hc) nessa temperatura é de 1153,91 K.A/m (14,5 * 0,07958*1000). O valor do campo magnético remanente será utilizado mais tarde para a determinação do número de espiras necessário para gerar a tensão de saída do gerador. III. MÉTODOS III..1 Estudo do comportamento do campo magnético B(t). Como se deseja obter um número de espiras suficiente para que a tensão de pico necessária seja alcançada (16Vp), como mostrou a equação 1, é necessário o cálculo da derivada do fluxo magnético em relação ao tempo e naturalmente para isso, precisa-se antes conhecer a função do comportamento deste campo. Para a modelagem matemática desta função, será considerado que as linhas de campo são perpendiculares às faces laterais dos imãs e eqüidistantes entre si. Na realidade, sabe-se que mesmo quando o imã estiver inteiramente dentro do entreferro do transformador, ainda haverá um fluxo disperso, mas para esta análise, como este valor é normalmente muito pequeno, ele será desprezado simplificando assim os cálculos. 14

16 Para modelar esta função basta verificar que esta tem a mesma forma da função da área lateral do imã quando entra no entreferro do transformador, sendo que a secção transversal deste é quadrada. Antes de desenvolver estes cálculos, será preciso realizar um estudo para se obter o valor de pico do campo magnético, isto é, o valor deste campo quando o imã esta inteiramente dentro do entreferro. Para efetuar este cálculo, considera-se o circuito magnético formado pelo núcleo de ferro, o imã e os entreferros (espaços entre o imã e o núcleo) que pode ser visualizado na figura 1. A resolução desses circuitos é obtida estabelecendo-se uma analogia com um circuito elétrico. Do mesmo modo que em uma malha de um circuito elétrico, a corrente elétrica é a mesma em toda esta malha, em um circuito magnético a grandeza análoga a esta corrente é o fluxo magnético (φ ),que portanto, é constante em todo circuito para um determinado instante de tempo (já que no domínio do tempo este valor será alternado) [TORO, 1999]. Esta analogia pode ser verificada pela equação 9 que é conhecida como lei de Ohm para circuitos magnéticos. F = φ. R (9) Onde F é a força magneto motriz (equivalente a força eletro motriz de um circuito elétrico), φ é o fluxo magnético (análogo à corrente elétrica) que é obtido pela integral do produto escalar B.S (onde S é a área perpendicular ao campo B) e R é a relutância magnética (análoga a resistência elétrica) [TORO, 1999]. Como φ é constante em qualquer parte do circuito, para obter o campo magnético no ferro, observa-se que o fluxo magnético produzido pelo imã é igual ao fluxo dentro do ferro e portanto igual ao que induz a tensão nas bobinas. Assim: 15

17 φ imã = φ ferro Br. S imã = B ferro.s ferro (10) Utilizando o valor de Br fornecido pelo gráfico 3 como sendo 1, T (obtido pela curva de 0º C), a área lateral do imã (que possui secção circular de raio 1,5cm) igual a 0,707 m m² ( Β. R²) e a área de secção do ferro que é quadrada de lado 3 cm tendo portanto um valor de 0,9 m m² (0,03 *0,03),é obtido um valor para o B ferro igual a 0,956 Tesla. Nos próximos cálculos este valor será aproximado para 1T devido ás facilidades que esta aproximação proporcionará atentando para a grande proximidade dos valores. Note que não foi necessário calcular o campo B quando o fluxo passa pelo entreferro de ar; mesmo estando este entre o imã e o ferro, pelo fato do fluxo ser constante em toda malha magnética. Quando um material não ferromagnético interrompe um circuito magnético, como acontece com os entreferros de ar entre os imãs e o núcleo ferromagnético, existe um efeito chamado de espraiamento do fluxo [TORO, 1999]. Este efeito nada mais é que a dispersão das linhas de fluxo de um material para o outro não por um caminho retilíneo, e sim curvo. Como estes entreferros devem ser muito pequenos (em torno de um milímetro), o efeito de espraiamento do fluxo foi desconsiderado. Conhecendo o valor de pico de B(t), para se determinar esta função se faz necessário encontrar antes a curva com que a área de um círculo aumenta enquanto este entra em um quadrado (lembrando que seu máximo deve ser igual a uma unidade). Para isso é necessário conhecer o raio deste círculo, que é facilmente encontrado impondo que a área do circulo seja 1 e em seguida isolando o R na equação, e portanto: A = Β.R² = 1 (11) 16

18 Isolando R, e racionalizando obtem-se que R = π 1 Agora, colocando este círculo em num plano cartesiano, encontra-se a função com que sua área cresce em relação ao eixo x. Integrando a função da semicircunferência sobre o eixo das abscissas e multiplicando por dois, já que é preciso a área total, como mostra a figura 3. Figura 3: Círculo de área igual a uma unidade em um plano cartesiano. Sabendo que a equação da circunferência é da forma ( y yc) + ( x xc) = R, sendo que os índices c representam as coordenadas do centro da circunferência e R o raio, substituindo estes valores já conhecidos na equação e isolando y, tem-se: y = π 1 x x Para assegurar que esta função matemática realmente corresponde à área procurada, 1 (1) usando o software mathcad o gráfico desta função foi obtido: 17

19 y x ( ) π x Gráfico 4: Curva da semicircunferência superior Para resolver a integral que traz a função do campo magnético B(x), o software mathcad será utilizado novamente. A primeira resolução do software mostrou uma função simétrica em relação ao eixo das abscissas tendo assim uma parte negativa, naturalmente esta resolução exprime a resposta matemática da integral, já que fisicamente a área de uma superfície entrando em um quadrado nunca seria negativa. Para modelar o verdadeiro fenômeno físico basta somar o valor máximo positivo que é 0,5 para que a função se encontre toda no primeiro quadrante como mostrou a equação 13 e seu respectivo gráfico: B x ( ) 0.5 x π x x 1 d x π 1 + π 1 x x 1 1 π asinπ 1 x 1 π 1 + := (13)

20 B( x) B π = x Gráfico 5: Função do campo B(x) Verifica-se a validade do gráfico quando o software calcula o valor máximo igual a 1 para x igual ao diâmetro da circunferência, que é justamente quando o círculo esta totalmente dentro do entreferro. Como só é necessária a derivada no ponto máximo da função, não será preciso equacionar a saída do imã do entreferro, isto é, a descida da função, embora se saiba que ela é simétrica em relação ao eixo vertical, assim como uma senóide. Para se chegar à equação de B(t), se farão necessárias ainda duas mudanças de variável. Na primeira delas a função B(x) será transformada em B(), lembrando que quando x for igual ao diâmetro do circulo, deve ser Β/10, já que o disco possui 10 imãs cujos espaçamentos entre si tem o mesmo diâmetro destes. Assim: x =. π 1 = Β/ portanto : x = 0 π θ e dx = 0 π dθ 19

21 Substituindo na equação de B(x) encontra-se B() e seu respectivo gráfico: ( ) := B θ 0 3 π π 0 θ 3 π 0 θ 3 π 1 dθ (14) 1 B( 0) = 0 B( θ) 0.5 B π 10 = θ Gráfico 6: Função B() feito pelo software mathcad. A validade do gráfico é assegurada quando o software calcula o valor máximo igual a 1 para igual a Β/10. Para conseguir a função desejada B(t) a partir de B(), a velocidade de rotação da roda d água naturalmente terá que ser considerada. Neste projeto esta velocidade é de 0 rotações por minuto (rpm). Uma roda com esta velocidade tem seu período de rotação de 3 segundos, isto é, varre um ângulo de Β radianos em 3 segundos. Como esta proporção 0

22 varia linearmente, através de uma regra de três simples verifica-se que a roda conclui um ângulo de Β/10 radianos em 3/0 segundos. Como a velocidade angular Τ = )/)t, substituindo os valores acima encontrados, chega-se ao Τ = Β/3 e como = Τ.t, substituindo na equação de B() chega-se a B(t) como mostra a equação 15 e seu respectivo gráfico: 0 B( t) := π 3 3 π π t 0 π 3 3 π t 0 π 3 3 π 1 dt (15) 1 B( 0) = 0 B( t) 0.5 B( 0.15) = t Gráfico 7: Função B(t) reproduzida pelo software Mathcad O software calcula que para t igual a 3/5, isto é, 0,15 segundo a curva está em seu máximo, assegurando a confiabilidade da resolução. 1

23 Já com o gráfico e a equação de B(t), através do software mathcad, pode-se calcular a sua derivada, que é afinal do que depende o número de espiras nas bobinas como mostrou a equação 1. 0 db( t) := π 3 3 π t 0 π 3 π 3 π t 0 π 3 3 π π 15 π t 100 π t 1 (16) 10 db( t) t db( 0.075) = Gráfico 8: Curva da derivada de B(t) feita pelo Mathcad Tendo o valor da derivada de B(t) em seu ponto máximo calculado pelo software e lembrando que na equação a área S é constante e portanto dν = db(t).s, pode-se calcular o número de espiras isolando N: N = Emax dbmax S (17)

24 Onde dbmax é o ponto máximo da derivada da função B(t) e portanto se dá quando t= segundo tendo assim um valor igual a [T/s] calculado pelo software, S é a área do entreferro que é 9 cm² e Emax é a tensão necessária para carregar as baterias. Efetuando o cálculo um valor de 095 espiras é obtido. Assim, finalmente concluí-se que para que uma tensão de 16 Volts de pico seja induzida nas condições do projeto e com a roda d água trabalhando numa rotação de 0 rpm, são necessárias 095 espiras. Observe que para este cálculo não foram consideradas previamente as perdas energéticas que acontecem no núcleo ferromagnético e nas bobinas. As perdas no núcleo são devido à histerese que, numa descrição superficial, se trata da magnetização cíclica do ferro que por alinhar os domínios do material ora em um sentido ora em outro, dissipa energia, e ainda perdas devido a correntes parasitas ou correntes Foucault, que são correntes elétricas indesejáveis que circulam no material provocando aquecimento. As perdas nos fios de cobre das bobinas são perdas por efeito Joule, já que como os fios apresentam uma certa resistência elétrica, a passagem de corrente por estes dissipa uma potência em forma de aquecimento [TORO, 1999]. III.. Estudo do posicionamento dos transformadores. Os cálculos realizados até o presente momento mostraram que a potência mecânica de uma roda d água na freqüência de 0 rpm é de aproximadamente 1 Watts. A natureza das perdas na transformação desta energia em energia elétrica já foram mencionadas neste trabalho e serão calculadas posteriormente. Como estas perdas não devem ser muito altas, a potência gerada será considerada em torno de 100 Watts e um problema prático devido a 3

25 este fator é que cada transformador suporta uma potência máxima em torno de 40 Watts e para potências acima desta, este se satura de linhas de fluxo magnético limitando assim a energia gerada. Este problema é solucionado instalando-se o número de transformadores necessários para comportar a potência gerada, neste caso 3 transformadores. Cada transformador deve ter uma bobina com 095 espiras, mas como o projeto depende de carretéis comerciais para que estas bobinas sejam enroladas, o modelo que foi escolhido comporta 450 espiras e serão colocados cinco destas bobinas em cada transformador, totalizando assim 50 espiras. Note que o valor é um pouco acima do calculado (095); este valor será adotado para compensar eventuais perdas devendo manter a amplitude da tensão desejada. O cuidado a ser tomado agora está no posicionamento destes transformadores ao redor do disco. Seria natural posicionar os 3 transformadores cada um a 10º dos outros dois, mas antes é necessário estudar esta configuração e verificar se existirá algum torque resultante no disco. A existência de um torque resultante significa que a força necessária para girar o disco entre os imãs não será constante durante uma volta completa, sendo assim, como a roda d água aplica uma força constante, o disco não iria girar com uma velocidade constante, dando pausas maiores em determinados instantes onde a força magnética é maior, tendendo a manter o sistema naquela posição; portanto neste instante seria necessário aplicar uma força maior para tirar o sistema da posição. Outra razão ainda mais importante para que este efeito seja eliminado está no fato de que, não sendo continua a velocidade de rotação do disco, a variação do fluxo magnético no tempo não seria a calculada, extinguindo assim todas as previsões do projeto. No que se diz respeito ao posicionamento dos transformadores, o maior problema é na verdade o posicionamento prático destes. A massa de aço silício no núcleo do 4

26 transformador somada com a das bobinas que nele estão acopladas dão ao transformador uma grande massa, o que obriga a construção de fortes suportes para estes. Outro grande desafio prático esta em posicionar estes transformadores com um entreferro de somente milímetros, já que estes imãs são magnetos extremamente fortes. Figura 4: Representação lateral dos 3 transformadores afastados de ângulos α e β. Como a espessura do transformador é exatamente igual ao diâmetro dos imãs e também igual à distância entre eles, quando o transformador estiver exatamente sobre um 5

27 imã, a força de atração será máxima e quando estiver entre dois imãs será nula, como pode ser observado na figura 5. Figura 5: Representação gráfica tridimensional do comportamento da força de atração entre os imãs e os transformadores. Assim, para garantir que o disco gire com velocidade constante, a modelagem matemática deste fenômeno será realizada para que o melhor posicionamento dos transformadores seja adotado. Para definir uma função genérica para a força magnética entre os imãs e cada transformador, por simplicidade será utilizada novamente a aproximação por uma forma senoidal, já que, como visto anteriormente, existe uma grande proximidade entre ambas, portanto: 6

28 ( ) 0.5( cos( 10 θ) + 1) F1 θ := (18) Sendo que a constante 0.5 foi inserida para que a função tenha uma amplitude genérica de uma unidade, o fator 10 θ garante que a função terá numa volta completa ( π ) dez máximos que são exatamente quando o transformador estiver exatamente sobre os imãs, e a constante 1 que multiplica 0.5 eleva a função para o primeiro quadrante já que, como os imãs fecham o fluxo magnético dentro dos transformadores, não é razoável dar sentido para a força. Assim, a função obtida é: 1 1 F1( θ) θ π Gráfico 9: Comportamento da força de atração entre os imãs e um transformador em uma volta completa em torno do disco. Observe que nesta análise, em θ = 0º, o transformador se encontra sobre um dos imãs, como mostrou a figura 4. As funções com as quais as forças nos outros transformadores se comportam são exatamente iguais, mas deslocadas de determinados ângulos α e β respectivamente, como pode ser observado na figura 4, portanto: 7

29 ( ) := 0.5( cos ( 10 θ + α) + 1) F θ, α ( ) 0.5( cos ( 10 θ β) + 1) F3 θ, β := (19) Os valores de α e β que satisfazem o problema, são tais que a soma das três funções f1, f e f3 no domínio do tempo sejam uma constante, portanto a derivada desta soma deve ser zero. O problema foi revolvido com auxílio do software Mathcad utilizando uma ferramenta com a qual, se são fornecidas para o software as condições a serem respeitadas, ele próprio encontra as variáveis pedidas: Given f1( θ ) := 1 ( cos ( 10θ ) + 1) f( θ, α) := 1 cos 10θ α + ( ( ) + 1) := 1 cos 10θ β d f1( θ) + f( θ, α) + f3 θ, β dθ f3( θ, β) ( ( ) + 1) ( ( )) 0 α β Find( α, β) 3 π 3 π 8

30 Portanto, foi confirmado que os transformadores devem ser acoplados a 10º uns dos outros.é importante lembrar que nesta analise a verdadeira função foi aproximada e, portanto, quando os transformadores forem acoplados, pequenos ajustes podem ser necessários para eliminar um possível torque resultante. III..3 Retificação da tensão gerada Naturalmente, para armazenar a energia gerada em baterias, é necessário antes converter a tensão alternada (AC) em continua (DC). Esta conversão, chamada de retificação, será feita através de uma ponte de diodos, que consiste em um circuito de quatro diodos que devido ao seu arranjo interno, quando uma tensão alternada é conectada à entrada, os semiciclos negativos desta tensão, são transformados em positivos na saída, tornando assim todos os semiciclos positivos e capazes de carregar baterias. Uma análise do comportamento da ponte de diodos mostra que em cada semiciclo apenas dois diodos conduzem corrente elétrica, enquanto os outros dois se encontram inversamente polarizados. Como a queda de tensão em cada diodo é de 0,7 Volts, já que são feitos de silício, conclui-se que o uso da ponte de diodos implica numa diminuição de 1,4 Volts na tensão de pico na saída [SEDRA, 000]. 9

31 Figura 6: Esquema da ponte de diodos utilizada para retificar a tensão gerada. Figura 7: Formas de onda na saída do gerador (entrada da ponte) e saída retificada pela ponte de diodos. 30

32 Com a tensão retificada, apesar de não ser constante no tempo, já é possível carregar uma bateria, pois para isto basta que esta tensão não seja alternada, isto é, não haja inversão de polaridade. Naturalmente o valor eficaz da forma de onda retificada é menor que o valor de pico. IV. RESULTADOS EXPERIMENTAIS O primeiro grande problema encontrado durante a montagem do gerador, ainda com um único transformador acoplado, foi o posicionamento deste de modo a garantir um entreferro de 1 mm de cada lado. A força magnética entre os imãs e o núcleo é tamanha, que tal posicionamento só foi possível após grandes esforços e inúmeras tentativas. O problema foi solucionado utilizando-se um espaçador de acrílico que impede que os braços do transformador se fechem na passagem de um imã, impedindo assim o disco de girar. Outro inconveniente foi um ligeiro empenamento do disco de alumínio o que obrigou a aumentar o entreferro para que o disco não esbarrasse no transformador. Este aumento, de em média 1mm, naturalmente irá provocar algum impacto na magnitude do campo magnético (B) que efetivamente percorrerá as bobinas. Após a instalação do transformador, outro empecilho encontrado foi a impossibilidade de fazer o sistema trabalhar na velocidade projetada de 0 RPM. Pelo fato desta velocidade ser muito baixa, o motor elétrico que foi acoplado ao eixo do gerador para fazer o papel da roda d água, com a mais baixa alimentação possível, move o sistema numa 31

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