Cœlum Australe. Jornal Pessoal de Astronomia, Física e Matemática - Produzido por Irineu Gomes Varella

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1 Cœlum Austrle Jornl essol de Astronomi, Físic e Mtemátic - roduzido por Irineu Gomes Vrell Crido em 995 Retomdo em Junho de 0 Ano III Nº 04 - Setembro de 0 ÓRBITAS LANETÁRIAS E LEIS DE KELER rof. Irineu Gomes Vrell, BSc.,Lic.,Esp Direitos utoris reservdos - roibid reprodução. Todos os plnets do Sistem Solr movimentm-se obedecendo às chmds leis de Kepler. No início do século XVII, o strônomo lemão Johnnes Kepler (57-60) nlisndo um grnde quntidde de observções stronômics efetuds pelo strônomo dinmrquês Tycho Brhe (546-60), em especil ds posições do plnet Mrte no céu, concluiu, empiricmente, três leis do movimento plnetário, chmds leis de Kepler. ª Lei ou LEI DAS ÓRBITAS (609) : A órbit de cd plnet o redor do Sol é um elipse, situndo-se o Sol, em um de seus focos. A elípse é um curv pln e fechd que pode ser fcilmente construíd. O processo prático empregdo, por exemplo, pelos jrdineiros qundo constroem cnteiros ou jrdins com form elíptic, permite compreender s sus proprieddes básics. Fig. - Método prático pr o trçdo de um elipse

2 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell Consideremos dois pontos distintos F e F', interligdos por um fio inextensível e de comprimento L, mior que distânci FF'. Esticndo o fio com um lápis (fig.) e deslizndo-o pel folh de ppel, o completrmos o circuito teremos desenhdo um perfeit elipse. Imeditmente resslt su propriedde fundmentl: som ds distâncis de cd ponto d elipse os pontos F e F' é constnte e igul L ( comprimento do fio ). Assim, F + F' L. Um ret que contenh os pontos F e F' interceptrá elipse nos pontos A e B. O segmento AB é denomindo eixo mior d elipse (fig.). O segmento CD d meditriz de AB é o eixo menor. O ponto O, cruzmento dos eixos definidos nteriormente é o centro d elipse e os pontos F e F' são os seus focos. Em gerl, costum-se designr: AO OB semi-eixo mior d elipse, de modo que AB CO OD b semi-eixo menor d elipse, de mneir que CD b FO F'O c semi-distânci interfocl, de modo que FF' c Fig. - Elementos geométricos d elipse Chm-se excentricidde de um elipse, que se represent por ε, relção: ε FF' / AB c / c / A excentricidde represent, grosso modo, o "gru de chtmento" de um elipse. Qunto mior for o vlor de ε, mis "chtd" el é e, qunto menor o vlor de ε, mis próxim estrá elipse de um circunferênci. Qundo ocorrer c 0, que signific FO F'O 0, os três pontos F, F' e O coincidirão. Teremos, então circunferênci. Note que nesse cso ε 0. O vlor d excentricidde de um elipse está sempre compreendido entre 0 e, podendo eventulmente ser igul zero ( circunferênci ), porém, nunc igul.

3 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell Tods s órbits plnetáris são elipses de pequen excentricidde, como se depreende dos ddos d tbel. A órbit mis excêntric é de lutão (hoje considerdo plnet-não) e que mis se proxim de um circunferênci é do plnet Vênus. TABELA : EXCENTRICIDADES DAS ÓRBITAS LANETÁRIAS LANETA EXCENTRICIDADE LANETA EXCENTRICIDADE Mercúrio 0,056 Júpiter 0, Vênus 0,00677 Sturno 0, Terr 0,06709 Urno 0,04696 Mrte 0,0940 Netuno 0, Ceres 0,0786 lutão 0,4600 O fto ds órbits plnetáris serem elíptics e não circulres, implic que s distâncis dos plnets o Sol são vriáveis o longo do tempo. O digrm seguir ilustr órbit de um plnet hipotético que descreve um órbit de grnde excentricidde o redor do Sol. Qundo o plnet pss pelos pontos e A - extremiddes do eixo mior - encontr-se, respectivmente, n su mínim e n su máxim distânci o Sol. Os pontos e A são chmdos de periélio e félio. Sus distâncis o Sol, nesss ocsiões, são chmds, respectivmente, de distânci periélic (r ) e distânci félic (r A ). Fig. - Órbit de um plnet o redor do Sol e vrição de su distânci. Todos os vlores presentdos pr o plnet lutão form extridos de Cohen, C.J., Hubbrd, E.C., e Oesterwinter, C. - Antron. J., 7, 97 (967).

4 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell 4 ode-se verificr fcilmente que médi ritmétic entre s distâncis periélic e félic é igul o semi-eixo mior d órbit: r F O - FO - c r A FA FO + OA + c ( r + r A ) / [ ( - c ) + ( + c ) ] / / O vlor do semi-eixo mior d órbit d Terr é denomindo Unidde Astronômic (simbolo: A ou UA) e o seu vlor é km. Ness unidde, os semi-eixos miores ds órbits dos plnets, têm os seguintes vlores: TABELA : SEMI-EIXOS MAIORES DAS ÓRBITAS LANETÁRIAS LANETA SEMI-EIXO (A) LANETA SEMI-EIXO (A) Mercúrio 0,87 Júpiter 5,08 Vênus 0,7 Sturno 9,588 Terr,0000 Urno 9,80 Mrte,57 Netuno 0,0578.Ceres,766 lutão 9,5 Conhecendo-se os vlores do semi-eixo mior e d excentricidde d órbit de um plnet, podemos determinr s sus distâncis periélic e félic, como segue: r - c ( - c/ ) ( - ε ) r A + c ( + c/ ) ( + ε ) EXEMLO: r Terr, os vlores de r e r A são, proximdmente: r ( - ε ) ( - 0,067 ) km r A ( + ε ) ( + 0,067 ) km Adotndo-se um sistem de coordends polres com pólo no Sol e com eixo n direção Sol-periélio d órbit, orientdo nesse sentido, distânci de um plnet o Sol ( r ) pode ser clculd pr cd posição do plnet dd pelo ângulo θ, chmdo de nomli verddeir, contdo prtir d direção do periélio no sentido de movimento do plnet, pel expressão:

5 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell 5 r ( e ) + ecosθ onde é o semi-eixo mior d órbit e e excentricidde. O leitor poderá verificr que n pssgem periélic, θ 0 e, portnto, r.( - e), enqunto que, n pssgem félic, θ 80, o que crret em r A.( + e), como hvímos ntes obtido. Fig. 4 - osição de um plnet em su órbit ª Lei ou LEI DAS ÁREAS (609) : O rio vetor de um plnet vrre áres iguis em tempos iguis. O vetor ( r r ) com origem no centro do Sol e extremidde no centro do plnet é chmdo de rio vetor do plnet. Consideremos, como n figur 5, um plnet descrevendo um órbit o redor do Sol. Sejm,, e 4, qutro posições do plnet. Se os rcos de elipse e 4 forem percorridos no mesmo intervlo de tempo, então s áres dos triângulos S e S 4 serão iguis. Assim, se t t', então A A'. A grndez A/ t é chmd velocidde reolr. A segund lei de Kepler firm, então, que velocidde reolr dos plnets é constnte. El permite, ind, tirr conclusões sobre velocidde do plnet em su órbit o redor do Sol. Not-se, pel figur, que tendo os triângulos S e S 4 s mesms áres, porém lturs diferentes, segue-se que s sus bses serão diferentes tmbém. Como bse do triângulo S é mior que bse do triângulo S 4 e mbs form percorrids no mesmo intervlo de tempo, conclui-se que o rco de elipse foi percorrido com velocidde mior que o rco 4. Dest form, qundo distânci do plnet o Sol é pequen, su velocidde de trnslção é grnde e vice-vers.

6 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell 6 Fig. 5 - A lei ds áres. A velocidde de trnslção de um plnet, em quilômetros por segundo, pode ser clculd, pr cd vlor d distânci r ( em uniddes stronômics ) do plnet o Sol, pel expressão bixo: v 4, r onde é o semi-eixo mior d órbit, em uniddes stronômics. As velociddes no periélio e no félio estão dds, respectivmente, por: v 9, 78 + e e v A 9, 78 + e e tmbém em quilômetros por segundo e com em uniddes stronômics. TABELA : VELOCIDADES MÁXIMAS E MÍNIMAS DOS LANETAS LANETA V V A LANETA V V A Mercúrio 58,97 8,85 Júpiter,7,44 Vênus 5,5 4,78 Sturno 0,9 9, Terr 0,8 9,9 Urno 7, 6,49 Mrte 6,49,97 Netuno 5,48 5,8.Ceres 9,7 6,55 lutão 6,09,68

7 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell 7 ª Lei ou LEI HARMÔNICA (69) : A relção entre os cubos dos semi-eixos miores ds órbits de dois plnets quisquer é igul à relção entre os qudrdos dos seus períodos de trnslção o redor do Sol. Considerndo-se e os semi-eixos miores ds órbits de dois plnets cujos períodos de trnslção são, respectivmente, e, podemos escrever: Ou ind, se considerrmos,,... n, os semi-eixos miores ds órbits de n plnets o redor do Sol e,,,... n, os seus respectivos período de trnslção, teremos: n n K onde K é um constnte válid pr todos os plnets. r dois plnets que descrevem órbits com semi-eixos miores e ' e períodos e ', respectivmente, poderemos escrever: ' ' Se um dos plnets considerdos for Terr, pr qul, ' unidde stronômic e ' no, pr o outro plnet, teremos s relções: ou ou, ind, Assim, pr um plnet qulquer, o cubo do seu semi-eixo mior, expresso em uniddes stronômics, é numericmente igul o qudrdo de seu período orbitl, em nos. Foi dess mneir que Kepler determinou s distâncis dos plnets o Sol, prtindo do conhecimento de seus períodos de trnslção, que podim ser obtidos pels observções. Em 687, Isc Newton public os rincipi Mthemtic hilosophiæ Nturlis, no qul está lei d grvitção universl. Atrvés del, Newton demonstr s três leis de Kepler. Em prticulr, terceir lei de Kepler se express, em um sistem isoldo constituído pelo Sol e por um plnet, por: G ( + M S M ) 4π Seu vlor é, n relidde, pens proximdmente igul pr todos os plnets.

8 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell 8 onde, M S e M são, respectivmente, s msss do Sol e do plnet e G constnte de grvitção universl. O vlor do segundo membro depende, portnto, d mss de cd plnet, não sendo um constnte como Kepler supôs. N tbel 4 estão relciondos, pr todos os plnets, os vlores de /. O leitor poderá verificr que rzão nterior não é extmente igul pr todos eles. TABELA 4 : A TERCEIRA LEI DE KELER LANETA (A ) ( nos ) / (A /no ) / x 0 8 (m /s ) Mercúrio 0,87 0,408,0004,69 Vênus 0,7 0,65 0,9998,6 Terr,0000,0000,0000,67 Mrte,57,8808,0000,68 Júpiter 5,08,868,0009,648 Sturno 9,588 9,4565,000,66 Urno 9,80 84,005,0000,68 Netuno 0, ,7864,000,69 lutão 9,5 48,54,000,6 AS ÓRBITAS DOS COROS DO SISTEMA SOLAR A form e o tmnho ds órbits elíptics dos plnets e de outros corpos do Sistem Solr fic determind pelo conhecimento dos vlores de e e, isto é, do semi-eixo mior (tmnho) e d excentricidde orbitl (form). No entnto, esses vlores nd nos informm sobre como s órbits estão disposts no espço. Com doção de um sistem de referênci conveniente é possivel descrever situção ds órbits e, tmbém, obter posição dos corpos do sistem solr no espço. Como plno fundmentl de referênci, os strônomos dotm o plno d órbit d Terr o redor do Sol, denomindo de plno d Eclíptic. Consideremos, como n figur 6, órbit de um plnet o redor do Sol, não coplnr com órbit d Terr. A intersecção entre o plno d órbit do plnet e o plno d Eclíptic é ret NN', chmd linh dos nodos. Os pontos N e N', resultntes d intersecção d órbit do plnet com o plno d órbit d Terr, são chmdos, respectivmente, nodo scendente e nodo descendente. Qundo o plnet, em seu movimento orbitl o redor do Sol, pss pelo nodo scendente (N), ele cruz o plno d órbit d Terr dirigindo-se do hemisfério sul pr o hemisfério norte, determindos pelo plno d Eclíptic.

9 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell 9 Fig. 6 - osição de um órbit no espço. A posição do plno d órbit do plnet fic determind, no referencil dotdo, por dois ângulos: ) o ângulo diedro entre os plnos considerdos, chmdo de inclinção orbitl ou simplesmente inclinção e representdo por I, e b) pel posição d linh dos nodos, fornecid pelo ângulo Ω, entre s direções SA e SN, contdo prtir d direção SA no sentido do movimento de trnslção d Terr, denomindo longitude do nodo scendente. A orientção d órbit, em seu plno, fic determind pelo ângulo ω, chmdo de rgumento do periélio, contdo prtir d direção SN, no sentido do movimento do plnet, té direção S, indicndo posição do periélio do plnet. Note-se que os ângulos Ω e ω encontrm-se em plnos diferentes: o primeiro no plno d Eclíptic e o segundo no plno d órbit do plnet. Utiliz-se, lgums vezes, o invés do rgumento do periélio, quntidde ϖ Ω + ω, chmd de longitude do periélio. A vntgem dest últim reside no fto de que el está sempre definid, mesmo qundo inclinção orbitl é nul ( I 0 ), situção em que não estão definidos os ângulos Ω e ω, pois não há linh dos nodos. A posição de um plnet em su órbit é determind pelo ângulo L, chmdo de longitude do plnet n órbit, definido por: L Ω + ω + ν ϖ + ν onde θ é nomli verddeir que, como vimos, é o ângulo, situdo no plno d órbit do plnet, entre s direções S e S' e contdo no sentido de movimento do plnet o redor do Sol. Os vlores dos ângulos Ω, ω e θ são determindos pels equções d Mecânic Celeste.

10 Cœlum Austrle Ano III Nº 4 Setembro de 0 Irineu Gomes Vrell 0 TABELA 5 : ELEMENTOS ORBITAIS DOS LANETAS LANETA I ϖ Ω Mercúrio 07 00' 8" 077 7' " 048 9' 5" Vênus 0 ' 4" ' 49" ' 48" Terr ' 4" --- Mrte 0 50' 59" 6 0' 7" 049 ' 9" Júpiter 0 8' " 04 9' 5" 00 7' 5" Sturno 0 9' 0" 09 0' 4" 9' 56" Urno 00 46' 4" 7 00' 9" ' " Netuno 0 46' " ' 5" 47' 0" lutão 7 07' " 5' 5" 09 6' " IRINEU GOMES VARELLA - Astrônomo nscido em São ulo em 07 de setembro de 95. É formdo em Físic e em Mtemátic pel Universidde de São ulo e com ós-grdução em Astronomi pel Universidde de São ulo e pel Universidde Cruzeiro do Sul. Iniciou su crreir no lnetário e Escol Municipl de Astrofísic de São ulo em 968, tendo sido Diretor Gerl d Instituição de Ministrou mis de um centen de cursos e dezens de plestrs de Astronomi. Colborou durnte vários nos n edição do Anuário Astronômico do Instituto Astronômico e Geofísico d US. Escreveu dezens de textos de divulgção e ensino de Astronomi publicdos pelo lnetário de São ulo e em jornis, revists e outros periódicos de vários lugres do Brsil. Atulmente é professor d Escol Municipl de Astrofísic de São ulo e ministr disciplin "Sistem Solr" no curso de ós-grdução em Astronomi d Universidde Cruzeiro do Sul.