= = 4πε0 V b a

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1 4. Cálculo de cpcitâncis Com os métodos ue cominm lei de Guss com simetri, podemos clculr vlores de cpcitâncis pr três geometris de cpcitores. Pr um, este cálculo é exto e pr s demis geometris, é um proximção ue pode ser muito o dependendo dos prâmetros geométricos do cpcitor. Começmos com o cso d simetri esféric, ue permite um cálculo exto. Imgine um cpcitor ue consiste de um esfer condutor concentricmente posiciond dentro de um cvidde condutor tmém esféric. Sej o rio d esfer ern e o rio d cvidde. form extern do condutor com cvidde nem eress. Pr clculr cpcitânci deste rrnjo, imginmos um crg n esfer ern e um crg n extern. De fto neste cso crg no condutor externo tmém não terá nenhum importânci sore diferenç de potencil entre os condutores. Ms, pr mnter o esuem discutido n seção nterior, podemos imginr o no condutor com cvidde. r Fig Cpcitor esférico. Está mostrd tmém um superfície Gussin esféric de rio r e um cminho de egrção entre dois pontos P e P. Um mneir de clculr diferenç de potencil entre os P condutores é trvés do cmpo. Este cminho de cálculo é P indicdo undo determinção do cmpo é fcilitd pel simetri. No cso precismos do cmpo n região entre os condutores: r. Com os rgumentos de simetri, ue explicmos n seção.5, o cmpo elétrico nest região tem ue ter form E ( r, θ, ϕ ) = rˆ ( θ, ϕ) Er ( r) (4..1), onde r, θ e ϕ são s coordends esférics com origem no centro ds esfers do cpcitor. rˆ ( θ, ϕ ) é o vetor unitário ue pont n direção rdil pr for. Escolhendo um superfície Gussin esféric com rio r, temos com lei de Guss: Então o cmpo n região r é ( ) E ds = 4π r Er r = (4..). r E r θ ϕ = θ ϕ 4 π r (,, ) rˆ (, ) (4..3). Pr clculr diferenç de potencil, vmos usr um cminho de egrção reto num linh rdil e otemos: P B dr V V = E dl = = = 4π r 4π r P 1 1 = = 4π 4π Este resultdo pode ser sustituído n definição de cpcitânci: (4..4). 144

2 C = = 4π V C (4..5) Perceemos ue um mneir de oter vlores grndes pr cpcitânci é um escolh dos rios tl ue fiue peueno. Veremos um exemplo com vlores concretos pr duirir um uição respeito ds ordens de grnde de vlores de cpcitâncis. Vmos supor um esfer ern de um metro de diâmetro: então =,5 m e o rio pens um milímetro mior ue o. Neste cso otemos,5 m,51m = π = (4..6), 1m C 4 8,85 1 C N m,79 1 F Então, pesr d noss enção de escolher um vlor peueno pr, este cpcitor enorme tem pens um cpcitânci de proximdmente 8 nf! É eressnte ver o ue contece com cpcitânci undo mndmos pr infinito. C não se proxim de ero, ms o limite é 4π. Neste limite, não deve fer nenhum diferenç se sustituirmos form esféric d cvidde por um form geométric uluer. Então no limite de um cvidde com predes infinitmente fstds d esfer centrl, cpcitânci se torn um propriedde somente d esfer de rio. Por est rão o vlor 4π é tmém chmdo de cpcitânci de um esfer de rio. O luno tento ue está cursndo disciplin de Fenômenos de Trnsporte concomitntemente deve ter perceido ue o cálculo d cpcitânci de um cpcitor esférico é idêntico o cálculo d resistênci térmic de um isolção térmic esféric. O inverso d cpcitânci corresponde à resistênci térmic e o resultdo lim C = 4π (4..7) corresponde o resultdo curioso segundo o ul um cmd esféric de isolnte térmico infinitmente gross não result num isolmento térmico perfeito. gor vmos clculr cpcitânci de um cpcitor cujos condutores são plcs plns e prlels. Vmos supor discos circulres de rio R e vmos imginr estes discos muito próximos um do outro de tl form ue distânci d ue s sepr é muito menor ue o rio; d << R. Com s proximções ue fremos result ue espessur dos discos não influenci nos resultdos e não precismos especificr estes vlores. P B PB R figur 4.. mostr est configurção. Ms neste desenho distânci d nem é tão peuen em comprção com R. Mntivemos d reltivmente grnde pr poder enxergr os detlhes e deixmos condição d << R por cont d imginção. Então, por 6 fvor, imginem tlve um d / R 1 ou lgo ind menor. d Fig. 4.. Cpcitor de plcs prlels. figur mostr tmém dois cminhos entre pontos P, P B. 145

3 Primeirmente vmos clculr o cmpo elétrico n região entre s plcs do cpcitor e longe d eird ds plcs. Qundo estmos longe d eird, espermos ue distriuição de crg e o cmpo tenhm simetri pln. Vmos escolher coordends crtesins com o eixo perpendiculr às plcs e com o vlor = n superfície ern do condutor. Com superfície ern ueremos dier superfície ue está voltd pr o outro condutor. simetri implic ue o cmpo deve ter form E = ˆ E pr pontos entre s plcs e longe d eird (4..8). ( ) ( ) Fig Coordend pr descrição do cmpo n região entre s plcs e longe d eird. É mostrd tmém um superfície Gussin. Colocmos um índice n componente do cmpo pr indicr ue se refere somente à região ern do cpcitor e em longe d eird. Nest região vmos imginr um superfície Gussin em form de um cix cujo fundo fic dentro do condutor e cuj tmp de áre fic n distânci d superfície do condutor. Tl superfície está indicd n figur 4..3 com um peueno retângulo. O fluxo do cmpo elétrico trvés E. Como crg dentro d cix independe de dest superfície é ( ), segue, com lei de Guss, ue E ( ) não depende de. Então o cmpo entre s plcs e longe ds eirds é uniforme. Sej cix crg dentro d cix correspondente à superfície Gussin. Então lei de Guss inform ou E B E E = cix = = σ cix,, longe eird (4..9) (4..1) onde σ,, longe eird é densidde de crg superficil no ldo erno d plc n região longe d eird. (4..1) corresponde o resultdo (.4.15) de seção.4. Então simetri proximd válid longe d eird implic tmém ue est densidde é proximdmente constnte. Com o resultdo (4..1), podemos escrever voltgem no cpcitor em termos d densidde σ ;,, longe eird σ,, longe eird d V V = E dl = E d = (4..11) B B Flt determinr crg no condutor. N figur 4.. mostrmos tmém dois pontos P e P B nos respectivos condutores com s mesms coordends x e y e mos longe d eird dos discos. diferenç de potencil entre estes pontos pode ser clculd de dus forms: podemos egrr pelo cminho mis curto e otemos o resultdo E d, ou podemos egrr sindo pelo outro ldo d plc, do ldo externo, e seguir um linh de forç do cmpo elétrico pr tornr o ftor cosseno do produto esclr E dl mis simples. figur mostr um esoço deste cminho de egrção. É pens um esoço e não grnto ue linh de forç tenh extmente est form. Ms um cois é clr; este cminho é muito mis longo do ue o cminho reto. Lemrem 146

4 6 ue devemos imginr um d / R 1 e s figurs mostrm um d exgerdmente grnde! egrl neste cminho longo tmém tem ue dr o resultdo E d. Concluímos ue o cmpo n prte extern deve ser muito mis frco do ue o cmpo n prte ern. Com lei de Guss, densidde superficil n prte extern ds plcs é relciond com o cmpo n superfície extern (lemrem do resultdo n seção.4 d fórmul.4.15). Então, n vlição d crg totl no condutor, vmos simplesmente desprer crg loclid n prte extern d plc. Rest somente um região complicd, ser, região perto d eird (tnto n prte extern como n ern). Nest região densidde superficil de crg vri e fic n mesm ordem de grnde do vlor σ,, longe eird. O ue podemos fer com est contriuição pr crg em? O segue rgumento mostr ue est prcel tmém pode ser despred: untidde de crg n região ern vle π( R l ) σ,, longe eird, onde l é lrgur de eird onde s coiss começm ficr complicds. Pr grndes vlores de R, est prcel de crg cresce como R. Por outro ldo, crg n região d eird é proporcionl à circunferênci e cresce pens como R. Então pr vlores muito grndes de R prcel complicd d eird começ ser despreível. Com ests proximções podemos dier σ (4..1),, longe eird onde = π R é áre d fce ern d plc. Sustituindo este resultdo e (4..11) n definição d cpcitânci, otemos o vlor proximdo d cpcitânci de um cpcitor de plcs prlels: C = (4..13) d É eressnte comprr este resultdo com o resultdo do cpcitor esférico. Qundo olhmos um esfer num escl muito peuen em comprção com o rio d esfer, superfície esféric prece pln. Semos isto do nosso di di undo olhmos o chão deixo dos nossos pés ue é perfeitmente plno pesr de ser um pedcinho de esfer terrestre. Então espermos ue o resultdo do cpcitor esférico se trnsforme no resultdo (4..13) undo <<. De fto neste cso temos 4π 4π ; este vlor tom o ppel do d fórmul (4..13), e o é distânci entre os condutores. Fig Cpcitor com plcs prlels prcilmente superpostos. Somente prte superpost contriui precivelmente pr cpcitânci. Este resultdo é um crcterístic stnte gerl. Qundo distânci entre os condutores fic muito peuen, o vlor d cpcitânci pode proximdmente ser descrit pel expressão do cpcitor de plcs prlels. Isto é especilmente eressnte undo somente um prte dos condutores tem distâncis peuens. figur 4..4 mostr um exemplo com plcs plns. Neste cso s plcs estão lterlmente deslocds e prticmente somente prte sorepost ds plcs contriui precivelmente pr região com pouc crg região com pouc crg cpcitânci. prcel sorepost pode ser fcilmente lterd e isto pode ser usdo pr construir cpcitores cuj cpcitânci é justável. figur 4..5 mostr um 147

5 imgem deste tipo de cpcitor. Eles são usdos em rádios pr soni com um estção de rdio. Fig Cpcitor vriável. Um sistem de plcs prlels está montdo num eixo girtório ue permite mergulhr este sistem pr dentro de um segundo sistem de plcs prlels. Os dois sistems formm os dois condutores do cpcitor. Qunto mis um sistem fic mergulhdo dentro do outro, mior será cpcitânci. Com fórmul d cpcitânci (4..13) temos condições de entender mis lguns detlhes ds plicções de cpcitores. N seção nterior mencionmos plicções pr sensorimento e medições. Um om exemplo disso fornece o microfone de cpcitor. Um microfone é um dispositivo ue trnsform um virção mecânic, gerlmente vindo pelo r em form de ond sonor, num sinl elétrico. Imginem um cpcitor de plcs prlels com um plc fix e com outr em form de um filme fino de metl depositdo num memrn ue pode virr com o som. virção lter distânci entre s plcs e provoc um lterção d cpcitânci. Se tensão neste cpcitor for mntid constnte, ests lterções d cpcitânci provocm fluxos de crg ue podem ser registrds por um circuito eletrônico. O terceiro tipo de cpcitor ue pode ser trtdo com s técnics d lei de Guss é um cpcitor feito de cilindros coxiis. Este precis tmém de proximções. No cso ests proximções se tornm os undo diferenç do rio erno do condutor externo e do rio do condutor erno for muito peuen comprd com o comprimento do cpcitor. Seguindo o conselho didático ue não se deve tirr dos lunos possiilidde de descorir s coiss soinho, não vmos expor os detlhes deste cálculo ui. O exercício E 4.. corresponde o cálculo dest cpcitânci. Vle dr um conselho os lunos: O professor ue tir dos lunos possiilidde de descorir s coiss soinhos tu de form indeud. Ms nd dint tur de form cert, se o luno se furt est oportunidde uscndo s resposts n ernet! Os cpcitores cilíndricos precem nos lortórios nturlmente. Muitos sinis elétricos são envidos de um lugr pr outro trvés de cos coxiis. Estes têm um rme cilíndrico centrl e, isoldo dele, um tel metálic ue form um cilindro oco. Estes dois condutores formm um cpcitor cilíndrico. figur 4..6 mostr um co coxil cujs cmds form cortds de form esclond pr mostrr cd cmd. Em volt do condutor externo há ind um cp pret de plástico de proteção. Um moed de um Rel serve pr comprção de tmnho. Fig Co coxil. 148

6 Exercícios: E 4..1: esfer do nosso gerdor de lt tensão ue usmos, por exemplo, n experiênci d giol de Frdy (Fig..4.1), tem um diâmetro de 5 cm. Clcule cpcitânci dest esfer. Clcule untidde de crg rmend nel se diferenç de potencil entre esfer e o infinito (predes d sl) for de 1 kv. Clcule energi rmend no cpcitor formdo pel esfer e prede d sl nest condição. Qundo você lev um choue neste gerdor, est energi é depositd no seu corpo. Qundo você deix um mss m cir no seu pé de um ltur de um metro, você tmém deposit energi no seu corpo (no cso no pé). Clcule ul deve ser mss m pr ter o mesmo vlor de energi do choue elétrico. E 4..: Dedu um fórmul d cpcitânci de um cpcitor cilíndrico muito comprido. E 4..3: Escrev os pontos de destue dest seção. 149