Introdução à Inferência Estatística 65. confiança. Nas secções anteriores estudámos o comportamento da Média e da Proporção

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1 Itrodução à Iferêcia Estatística 65 Itrodução à Iferêcia estatística estimação itervalar ou itervalos de cofiaça 1 Itrodução Nas secções ateriores estudámos o comportameto da Média e da Proporção amostral, como estimadores, respectivamete, do valor médio de uma População e da proporção com que os elemetos da População verificam determiada característica. Verificámos que, quado se cosideram amostras diferetes, embora da mesma dimesão, a média ou a proporção variam de amostra para amostra, mas apresetam um comportameto característico, de uma distribuição aproximadamete simétrica, com pequea variabilidade, acetuado-se estas características à medida que a dimesão da amostra aumeta. Por exemplo, o caso da estimação do valor médio, o facto de a média variar de amostra para amostra, ão os permite saber, recolhida uma amostra, se a média dessa amostra é uma boa estimativa do valor médio da população subjacete à amostra (como temos feito várias vezes, estamos a idetificar população com a variável em estudo, cujo valor médio se pretede cohecer), isto é, ão podemos atribuir ehuma cofiaça a essa estimativa do valor médio. 2 Itervalo de cofiaça para o valor médio No estudo da distribuição de amostragem da média, cocluímos aida que quado se faz amostragem sem reposição e as Populações têm dimesão razoavelmete grade, ou o caso de a amostragem ser com reposição, Populações com qualquer dimesão, e as amostras também têm dimesão grade (maior ou igual a 30), a distribuição de amostragem da Média pode ser aproximada pela distribuição Normal (Teorema Limite Cetral). Este comportameto da distribuição de amostragem da Média tem cosequêcias muito importates, o que diz respeito ao problema da estimação do parâmetro valor médio, já que vamos aproveitá-lo para ecarar este problema de um outro âgulo. Em vez de procurarmos um valor estimativa potual, como aproximação do valor do parâmetro descohecido, vamos procurar obter um itervalo estimativa itervalar ou itervalo de cofiaça, que com uma determiada cofiaça coteha o valor do parâmetro. Vamos etão procurar um itervalo aleatório [A, B] que, com uma grade probabilidade, por exemplo 0.95, coteha o parâmetro µ: P([A, B] coter µ) = 0.95 Ora, é precisamete a costrução destes itervalos de cofiaça, que vamos aproveitar o facto de a distribuição de amostragem da Média poder ser aproximada Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

2 66 Itrodução à Iferêcia Estatística pelo modelo Normal, com valor médio igual ao valor médio µ da População (parâmetro que estamos a estimar) e desvio padrão igual a σ/, ode σ é o desvio padrão da população. Como o desvio padrão da População é quase sempre descohecido, vamos também estimá-lo a partir do desvio padrão amostral, s, pelo que um valor aproximado para o desvio padrão da média, também cohecido como erro padrão, é s/. Etão, tedo em cosideração as propriedades da distribuição Normal, podemos escrever: O valor 1.96 pode ser obtido cosultado uma tabela, a calculadora ou a folha de Excel. De (1) vem P(µ-1.96 S/ x µ+1.96 S/ ) 0.95 X µ P( ) 0.95 (1) S/ ou P( x S/ µ x S/ ) 0.95 Etão o itervalo aleatório que adávamos à procula é [ x 1.96 S/, x S/ ] Repare-se que o itervalo aterior é aleatório, já que o valor da média e do desvio padrão variam, depededo da amostra que se recolher. Se recolhermos duas amostras diferetes, ambas da mesma dimesão, vamos obter valores diferetes para a média e para o desvio padrão. Dizemos que este itervalo é um itervalo de cofiaça, com uma cofiaça ou um ível de cofiaça de 95%. Afial, o que sigifica um itervalo de 95 % de cofiaça? Sigifica que se recolhermos muitas amostras de dimesão, calcularmos as médias e os desvios padrões dessas amostras e costruirmos os itervalos de cofiaça respectivos, utilizado a expressão aterior, cerca de 95% desses itervalos coterão o valor médio µ, equato que os restates 5% ão coterão o parâmetro µ. Não temos a certeza que um dado itervalo, em particular, coteha o parâmetro descohecido, mas estamos cofiates que assim acoteça, isto é estamos 95% cofiates que o itervalo que calculámos a partir da amostra seleccioada (a prática só seleccioamos uma amostra), coteha o valor do parâmetro. Se a expressão (1) da probabilidade, mudarmos a probabilidade de 0.95 para 0.90, por exemplo, etão em vez de 1.96, devemos cosiderar 1.645:

3 Itrodução à Iferêcia Estatística 67 Assim, um itervalo de cofiaça, com 90% de cofiaça terá o seguite aspecto [ x S/, x S/ ] A forma geral do itervalo de cofiaça será, [ x z S/, x + z S/ ] ode o valor de z depederá da cofiaça com que se pretede costruir o itervalo. Algus valores (obtidos a partir da distribuição da Normal(0,1)), icluido os já cosiderados ateriormete, são: Cofiaça z 90% % % % % 3, % % % Como se verifica a partir da tabela aterior, quato maior for a cofiaça, maior é o valor de z, pelo que maior será a amplitude do itervalo. Como dimiuir a amplitude de um itervalo de cofiaça? De um modo geral pretede-se costruir um itervalo com pequea amplitude, pois os dá uma maior precisão. Como se depreede da forma desse itervalo, para dimiuir a sua amplitude, que é dada por 2 z maeiras: s podemos fazê-lo de duas ou dimiuir a cofiaça (o que faz com que dimiua o valor de z), o que ão é acoselhável; ou aumetar a dimesão da amostra cosiderada para calcular o itervalo. Por exemplo, se aumetar 4 vezes a dimesão da amostra, a amplitude do itervalo reduz-se a metade. Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

4 68 Itrodução à Iferêcia Estatística Nas cosiderações ateriores estamos a admitir que a dimesão da amostra iicial já é suficietemete grade, de modo que a estimativa s para o desvio padrão da população ão se altera sigificativamete quado utilizamos mais iformação (uma amostra de maior dimesão) para a calcular. Como casos extremos de itervalos de cofiaça, temos: o itervalo de cofiaça, com uma cofiaça 0%, que se reduz a um poto, que ão é mais do que a estimativa potual do valor médio, ou seja a média calculada a partir da amostra cosiderada; e temos aida o itervalo com uma cofiaça de 100%, que é a recta real (porque vem o valor de z igual a ifiito). Obviamete que ehum destes itervalos é de grade utilidade! Margem de erro A metade da amplitude de um itervalo de cofiaça, é costume chamar margem de erro. Exemplo Cosiderado a população dos deputados da X Legislatura, supohamos que estávamos iteressados em estimar o parâmetro idade média da população. Seleccioou-se uma amostra aleatória (com reposição) de dimesão 30 e registaramse as idades dos elemetos seleccioados. Os valores obtidos apresetam-se a seguite tabela: A média e o desvio padrão das idades ateriores são, respectivamete, 47.8 e 10.2 aos. Etão, um itervalo de 95% de cofiaça para a idade média da população é [ / 30, / 30 ] ou seja [44.2, 51.4], é um itervalo com uma cofiaça de 95%. Repare-se que o itervalo aterior cotém o parâmetro em estudo (esta é uma situação de excepção, em que a população é tão pequea, que facilmete se obtém o valor do parâmetro valor médio da Idade). Chamamos a ateção para que, se ão cohecêssemos o valor do parâmetro em estudo, ão poderíamos garatir que o itervalo que calculámos ateriormete o cotivesse. Apeas estamos cofiates em que isso acotecesse, pois se calculássemos 100 amostras de dimesão 30, como a aterior, esperávamos que cerca de 95 dos itervalos que se poderiam costruir com as médias e desvios padrões dessas amostras, cotivessem o parâmetro em estudo.

5 Itrodução à Iferêcia Estatística 69 Exemplo Cosidere a população costituída pelos empregados da empresa X, em Aexo. Supoha que estamos iteressados em estudar o parâmetro altura média. a) Seleccioe uma amostra de dimesão 30 e calcule um itervalo de 95% de cofiaça para o parâmetro em estudo. b) Seleccioe mais 99 amostras de dimesão 30, e a partir de cada uma delas costrua um itervalo de 95% de cofiaça. c) Quatos dos itervalos cosiderados ateriormete cotêm o valor do parâmetro? Comete. Resolução: a) A seguir apreseta-se a amostra seleccioada pelo processo de amostragem com reposição Média = Desvio padrão = 6.95 Itervalo de 95% de cofiaça [ x 6.95 [161.65, ] 30, x ] b) Seleccioámos mais 99 amostras aleatórias, para as quais calculámos a média e o desvio padrão e os respectivos itervalos de cofiaça, pelo mesmo processo que o calculado a alíea aterior. Apresetamos esses itervalos graficamete, a figura seguite: Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

6 70 Itrodução à Iferêcia Estatística Na figura aterior, a seta idica a posição do valor do parâmetro a estimar, ou seja a altura média da população. c) Verificamos que três dos itervalos costruídos ão cotêm o valor do parâmetro (Esperarávamos ecotrar um valor próximo de 5).

7 Itrodução à Iferêcia Estatística 71 3 Itervalo de cofiaça para a proporção No estudo da distribuição de amostragem da proporção, cocluímos que quado se faz amostragem sem reposição e as Populações têm dimesão razoavelmete grade, ou o caso de a amostragem ser com reposição, Populações com qualquer dimesão, e as amostras também têm dimesão grade (maior ou igual a 30), a distribuição de amostragem da Proporção amostral pode ser aproximada pela distribuição Normal (Teorema Limite Cetral). Este comportameto da distribuição de amostragem da Proporção, tal como vimos ateriormete para a Média, tem cosequêcias muito importates, o que diz respeito ao problema da estimação do parâmetro proporção populacioal, já que vamos aproveitá-lo para ecarar este problema de um outro âgulo. Em vez de procurarmos um valor estimativa potual, como aproximação do valor do parâmetro descohecido, vamos procurar obter um itervalo estimativa itervalar ou itervalo de cofiaça, que com uma determiada cofiaça coteha o valor do parâmetro. Represetado por ˆ p a proporção amostral, estimador do parâmetro p, sabemos do módulo 2 Itrodução à Estimação que, se a recolha da amostra for feita com reposição de uma População de dimesão qualquer, ou sem reposição de uma população de grade dimesão, e se a dimesão,, da amostra for grade, etão P( Pˆ p z) Φ(z) p( 1 p) Por um processo perfeitamete idêtico ao cosiderado para obter o itervalo de cofiaça para o valor médio, em que o caso em que a variâcia σ 2 da população, é descohecida, a substituímos pela variâcia amostral, também aqui, substituímos a variâcia da população p(1-p), o p por pˆ. Temos assim o itervalo de cofiaça para a proporção [ p ˆ - z p ˆ (1- p ˆ ), p ˆ + z p ˆ (1- p ˆ ) Fazedo a aalogia com o que se passa com o itervalo de cofiaça para o valor médio, o itervalo aterior, a proporção p ˆ, substituiu a média, e cosiderou-se p ˆ (1- p ˆ ) como estimador da variâcia populacioal p(1-p). Observação: Ao cotrário do que é usual, em que se cosidera a variável aleatória com letra maiúscula e um seu valor observado com letra miúscula, o caso da proporção ão é costume fazer essa distição. Assim, represeta-se idiferetemete por ˆ p tato a variável aleatória como um seu valor observado, depededo do cotexto em que está a ser utilizado a sua iterpretação como variável aleatória ou valor dessa variável aleatória. O valor de z depede da cofiaça com que se quer costruir o itervalo, como vimos para o caso do valor médio. ] Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

8 72 Itrodução à Iferêcia Estatística No caso particular de um itervalo de 95% de cofiaça, temos [ p ˆ p ˆ (1- p ˆ ), p ˆ p ˆ (1- p ˆ ) ] Em que codições é que se pode utilizar o itervalo aterior? Dissemos ateriormete que era ecessário que a dimesão da amostra fosse suficietemete grade. No etato, também já vimos que quato maior for a variabilidade presete a população de ode se recolhe a amostra, maior terá de ser a dimesão dessa amostra. Uma regra empírica acoselha-os a cosiderar p ˆ 10 e (1 - p ˆ ) 10 O itervalo aterior, obtido a partir de uma amostra de dimesão, tem amplitude igual a p ˆ (1- p ˆ ) Como já referimos para o itervalo de cofiaça para o valor médio, a metade da p ˆ (1- p ˆ ) amplitude do itervalo, ou seja à quatidade 1.96, chamamos margem de erro da sodagem. Exemplo Supoha que para a população dos empregados da empresa X se pretede estimar a proporção de mulheres casadas. Seleccioe uma amostra de dimesão 30 e obteha uma estimativa potual e uma estimativa itervalar ou itervalo de 95% de cofiaça para essa proporção. Resolução: Para facilitar o estudo, utilizámos uma folha de Excel e covertemos as categorias da característica populacioal estado civil, da seguite forma: Casada 1 Solteira 0 Casado 0 Solteiro 0 Divorciada 0 Divorciado 0 Obtivemos uma população de 0 s e 1 s, em que um elemeto da população assumia o valor 1 sempre que a característica em estudo se verificava. Seleccioada uma amostra aleatória, com reposição, de dimesão 30, obtivemos os seguites valores:

9 Itrodução à Iferêcia Estatística Proporção de mulheres casadas a amostra= 7/30 = Este valor é uma estimativa potual da proporção p de mulheres casadas a população, cujo valor é (Mais uma vez estamos uma situação em que foi fácil calcular o valor do parâmetro, atededo a que a população tiha uma dimesão muito pequea).. Um itervalo de 95% de cofiaça para a proporção de mulheres casadas a população é [ x ( ) 30, x ( ) 30 ], ou seja [0.082, 0.384]. O itervalo aterior tem uma margem de erro de Exemplo O Diário de Notícias a sua edição do dia 25 de Fevereiro de 1998, referia, relativamete a uma sodagem realizada em colaboração com a TSF/Uiversidade Modera, que a cofiaça dos portugueses é açambarcada pelos docetes, logo seguidos pelos médicos, adiatado aida que os políticos e sidicalistas partilham os últimos lugares. Apresetamos de seguida um excerto desse artigo. Barómetro de profissões Em relação às seguites profissões com importâcia a vida acioal, diga se tem ou ão cofiaça a sua acção Profissão Não tem cofiaça Tem cofiaça Não sabe/não respode Professores 9.1% 85.1% 5.8% Médicos 9.7% 85.0% 5.3% Juízes 26.9% 64.7% 8.4% Militares 30.9% 61.6% 7.4% Joralistas 30.8% 58.2% 11.1% Padres 31.8% 55.2% 13.0% Empresários 33.5% 53.6% 13.0% Polícias 38.6% 51.8% 9.6% Sidicalistas 49.6% 39.4% 11.0% Políticos 57.5% 30.9% 11.7% Ficha técica: Esta sodagem foi ecomedada pelo DN e pela TSF ao Cetro de Sodages da Uiversidade Modera. O trabalho de campo decorreu etre os dias 12 e 17 de Fevereiro de Os iquéritos foram realizados em 25 freguesias de Portugal cotietal. A amostra foi seleccioada aleatoriamete e, para cada uma das freguesias, foi feito um estudo demográfico com base os dados do Cesos 91 e do Stape. Foram validados 1303 iquéritos. O processo de iformação utilizado foi a recolha directa (porta a porta), através de um iquérito estruturado ode estava aexado o boletim com o ome de várias profissões com importâcia a vida acioal. Foi feita uma primeira validação pelos moitores, o local, a 10 por ceto dos iquéritos e, posteriormete, foram validados outros 20 por ceto telefoicamete. O Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

10 74 Itrodução à Iferêcia Estatística erro máximo, para um ível de cofiaça de 95%, é de A aálise dos resultados é da resposabilidade do DN. a) O valor de 85.1% apresetado para os Professores é uma estatística ou um parâmetro? b) Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para a percetagem da população que tem cofiaça os Professores. c) O itervalo aterior cotém ecessariamete a percetagem de idivíduos da população que têm cofiaça os Professores? d) Calcule a margem de erro dos itervalos de cofiaça, para a cofiaça associada às diferetes profissões cosideradas. e) Qual o valor máximo obtido para as marges de erro obtidas a alíea aterior? Isso estará de acordo com o que vem especificado a ficha técica? Resposta alíea d) 85.1% % % % % % % % % % Reparou que: a margem de erro é máxima para um valor da proporção próximo de p 0.5? Efectivamete se se fizer o estudo da fução f(ˆ p ) = 1.96 ˆ (1- p ˆ ), verifica-se que ela assume um valor máximo para ˆ p =0.5. Qual a dimesão da amostra que se deve recolher para obter um itervalo com um ível de cofiaça de 95% e com uma determiada precisão? Pretede-se que a margem de erro do itervalo de cofiaça seja meor ou igual que um valor d. Etão, temos de resolver a seguite desigualdade, em relação a : p 1.96 ˆ (1-p ˆ ) d de ode vem 1.96 d 2 p ˆ (1-p ˆ ) (1)

11 Itrodução à Iferêcia Estatística 75 Como, de um modo geral, ão se cohece o valor da proporção amostral, ates de recolher a amostra, cosidera-se o valor máximo para a expressão p ˆ (1- p ˆ ), que se obtém quado o valor da proporção é 0.5. Vem etão d No caso do exemplo aterior, a margem de erro relativamete aos portugueses que cofiam os professores, é de 1.93%. Se se pretedesse uma margem de erro ão superior a 1.5%, teríamos de cosiderar uma amostra de dimesão 2165, se etrarmos em cosideração com o valor da estimativa 0.851, a fórmula (1). Se descohecêssemos uma estimativa para a proporção, etraríamos com a fórmula (2) para calcular o valor da dimesão da amostra e obteríamos como valor ecessário para a dimesão da amostra 4269! 2 (2) Qual a dimesão da amostra que se deve recolher para obter um itervalo com uma determiada precisão, com um ível de cofiaça de 100(1-α)%? A cofiaça de um itervalo costuma exprimir-se a forma aterior, ode α é uma probabilidade relativamete pequea. Assim, se α=5%, temos um itervalo de 95% de cofiaça. Se represetarmos a fução desidade da Normal(0,1), o valor de z que aparece o itervalo de cofiaça geérico [ p ˆ - z p ˆ (1- p ˆ ), p ˆ + z p ˆ (1- p ˆ ) ão é mais do que o quatil de probabilidade 1-α/2, como se apreseta a seguir: ] pelo que se se pretede um itervalo de 100(1-α)% de cofiaça, com uma precisão ão iferior a d, a expressão (2) aterior, para a dimesão da amostra ecessária, toma a forma: z 2d 1 α / 2 2 Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

12 76 Itrodução à Iferêcia Estatística Aida sobre itervalos de cofiaça A iterpretação do que é um itervalo de cofiaça em sempre é feita correctamete. Vamos aproveitar o seguite diálogo para ficarmos com as ideias um pouco mais claras sobre este assuto. Supohamos que um cadidato à Câmara de Lisboa, o Dr. Getil Alves, pretedia saber qual a percetagem p, de eleitores (lisboetas) que pesavam votar ele. Ecomedou um estudo à empresa Sodagem, tedo esta questioado 785 lisboetas, escolhidos aleatoriamete, e verificado que a percetagem destes eleitores que pesavam votar o cadidato era 56%. Se este valor dava um certo aleto ao Dr. Getil Alves para se cadidatar, ão o deixava, o etato, descasado! Ele sabia que se fosse recolhida outra amostra, embora da mesma dimesão, quase de certeza obteria outro valor como estimativa de p e quem é que lhe garatia que ão era um valor iferior a 50%, o que o deixaria ifelicíssimo! Como iterpretar este valor de 56%? O Prof. Amável, um amigo estatístico do Dr. Getil Alves, ajudou-o esta tarefa. Relatamos a seguir a coversa que se passou etre ambos. Dr. Getil Alves Bom dia Amável, estás bem? Olha, ado um pouco preocupado com esta questão da cadidatura à Câmara de Lisboa. Numa sodagem realizada otem, deram-me uma percetagem de 56% de eleitores a votarem em mim. Mas com que cofiaça é que eu posso iterpretar este resultado? Posso estar seguro que teho a maioria? Prof. Amável Para te ser fraco, a cofiaça que podes ter esse resultado é ula! Tu próprio sabes que se tivessem sido outros eleitores escolhidos para a sodagem, quase certamete ão obterias 56%. Mas ão fiques muito preocupado, pois eu vou adiatarte mais alguma coisa. O valor de 56% vai-me servir para obter um itervalo de 95% de cofiaça. Deixa-me fazer aqui umas cotas que já te telefoo. Dr. Getil Alves Está bem. Muito obrigado. Prof. Amável Cá estou eu ovamete. Com esse valor que me adiataste costruí o itervalo (52.5%; 59.5%), que é um itervalo de 95% de cofiaça para a percetagem de lisboetas que pesam votar em ti. Estás cotete? Dr. Getil Alves Sigifica isso que existe uma probabilidade de 95% desse itervalo coter essa percetagem (p) de eleitores que pesam votar em mim? Prof. Amável Nada disso! Dr. Getil Alves Etão 95% é a probabilidade de p estar cotido o itervalo? Prof. Amável Que horror! Porvetura o p é uma variável aleatória? Nem o p em o itervalo que eu te dei. Assim ão podemos falar a probabilidade do p estar cotido o itervalo, em do itervalo coter o p! Os 95% de cofiaça sigificam o seguite: o processo que se utiliza para calcular os itervalos, como o que te apresetei, é um processo tal que se o utilizasse com todas as amostras possíveis (da mesma dimesão) que posso seleccioar da população, cerca de 95% das vezes produziria itervalos que cotêm o p e cerca de 5% das vezes itervalos que ão o cotêm. No que diz respeito a um itervalo particular, como o que te dei, ficaremos sempre a

13 Itrodução à Iferêcia Estatística 77 dúvida se é um dos que cotém p ou ão! Temos fé que sim, pois já era preciso ter azar irmos obter um dos poucos itervalos que ão cotêm p. Dr. Getil Alves Muito bem. Compreedi o que disseste, mas etão porque é que ão costruo itervalos com, por exemplo, 99% de cofiaça? Assim, só 1% dos itervalos possíveis de costruir é que ão coteriam o p, ão é verdade? Prof. Amável Muito bem observado! Mas uca ouviste dizer que sem ovos ão se fazem omeletes ou que ão há almoços grátis? Pois é! A cotrapartida para, com a mesma dimesão da amostra, termos itervalos de 99% de cofiaça, é que a margem de erro vem maior, isto é, vamos ter itervalos com maior amplitude, o que sigifica uma meor precisão. Em último caso costruiríamos itervalos com uma cofiaça de 100%! Sabes ao que chegávamos? A R! Não tes ehuma dúvida de que o itervalo está em R, pois ão? Não os adiata é ada! Já agora, com o valor de 56% obtido a amostra que a Sodagem recolheu, um itervalo de 99% de cofiaça seria (51.4%; 60.6%). Assim, equato que com o primeiro itervalo temos uma margem de erro de 3.5%, agora a margem de erro passou para 4.5%. Ficaste esclarecido? Dr. Getil Alves Peso que sim. Só mais uma questão. Haveria algum processo de, com a cofiaça de 99%, obter um itervalo com a margem de erro que obtive para o itervalo de 95% de cofiaça? Prof. Amável Mais uma vez estás a colocar uma questão iteressate. Efectivamete, podemos, matedo a cofiaça, dimiuir a margem de erro, agora à custa de recolhermos uma amostra de maior dimesão. Nada se faz sem custos, como estás a ver. Por exemplo, admitido que a percetagem de lisboetas, que pesam votar em ti, ão se alteraria muito se se recolhesse uma amostra de maior dimesão, etão teria de ser recolhida uma amostra de 1335 lisboetas, em vez de 785 (estou a cosiderar que a proprção de votos a teu favor, obtida ao questioar os 1335 lisboetas, é aproximadamete igual a 56%). Dr. Getil Alves Muito obrigada por estes esclarecimetos. Vou mesmo avaçar com a miha cadidatura. Passados 8 dias realizaram-se as eleições. O Dr. Getil Alves é o ovo presidete da Câmara de Lisboa. Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

14 78 Itrodução à Iferêcia Estatística Exercícios 3.1 Para cada uma das seguites situações diga se o parâmetro de iteresse é um valor médio ou uma proporção: a) Numa sodagem pergutou-se a cada um de 100 estudates quatas horas por semaa, gastavam a ver televisão. b) Numa sodagem pergutou-se a cada um de 100 estudates se passavam mais de 8 horas por semaa, a ver televisão. c) Numa sodagem, pergutou-se a 100 agregados familiares qual a percetagem do orçameto familiar que era gasto com a reda da casa. d) Num estudo sobre o cosume de bebidas alcoólicas, ivestigou-se juto de 50 restaurates, qual a percetagem de bebidas alcoólicas, de etre as bebidas cosumidas por semaa. e) Juto dos mesmos restaurates da alíea aterior, verificou-se que 35% dos restaurates vediam semaalmete mais bebidas alcoólicas, que ão alcoólicas. 3.2 Num Ceso, em que a dimesão da amostra é igual à dimesão da população, o erro padrão da média (ou da proporção amostral) é igual a zero. Explique porquê. 3.3 Supoha (Adaptado de Rossma, 2001) que pretede cohecer o tempo médio de soo que os aluos da sua escola dormiram, a última oite. Cosidere os seguites diagramas que apresetam os tempos de soo de aluos da escola, referetes a 4 amostras:

15 Itrodução à Iferêcia Estatística 79 a) As seguites estatísticas descritivas foram calculadas com base as amostras ateriores. Complete a tabela. Amostra º Dimesão da amostra Média Desvio padrão amostral b) O que é que todas as amostras têm em comum? c) Qual a característica que sobressai quado comparamos as distribuições correspodetes às amostras 1 e 2? d) Qual a característica que sobressai quado comparamos as distribuições correspodetes às amostras 1 e 3? Na seguite tabela apresetamos os itervalos de cofiaça para as amostras de dimesão 30 (cosegue obter os itervalos de cofiaça correspodetes às amostras de dimesão 10?): Amostra º Dimesão da amostra Média Desvio padrão amostral It. cofiaça (6.31; 6.89) (6.03; 7.17) Qual das 2 amostras produz uma estimativa para o tempo médio de soo, mais precisa? Qual a ifluêcia da variabilidade apresetada pela amostra, para a amplitude do itervalo de cofiaça? 3.4 Supoha que a sua escola, cada um dos 50 aluos de Matemática para as Ciêcias Sociais, foi ecarregue de recolher iformação juto de 10 adultos, se eram a favor do referedo da Costituição Europeia. O histograma costruído com as 50 proporções obtidas terá um aspecto que faz lembrar o modelo ormal? Justifique. 3.5 Supoha que a sua escola, cada um dos 45 aluos de Matemática A. Foi ecarregue de recolher iformação, juto de 30 aluos de outras escolas, se eram a favor do Novo Estatuto para o Aluo. O histograma costruído com as 45 proporções obtidas terá um aspecto que faz lembrar o modelo ormal? Justifique. 3.6 Na correcção de certo tipo de exames, feitos a ível acioal, em que cada exame é costituído por uma parte fechada e uma parte aberta, utiliza-se um leitor óptico para corrigir a parte fechada. Cada exame tem 50 questões, e a probabilidade de a máquia ler erradamete uma destas questões é p, a qual é costate de questão para questão e de exame para exame. Descohece-se este valor de p. a) Admitido que em 10 destes exames, a máquia leu erradamete 15 questões, obteha uma estimativa potual para p. b) Utilizado o resultado da alíea aterior: i) Obteha um itervalo, com uma cofiaça de 95%, para p; ii) Qual a margem de erro do itervalo que obteve? c) A empresa que vede as máquias de leitura óptica diz que a percetagem de erros que a máquia comete, ada à volta de 1%. Tedo em cota o itervalo de cofiaça obtido a alíea aterior, pesa que a empresa tem razão o que afirma? Justifique a sua resposta. (Se a alíea aterior ão coseguiu determiar o itervalo de cofiaça pretedido, admita o seguite itervalo (1.5%; 4.5%)). Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

16 80 Itrodução à Iferêcia Estatística Uma fábrica de calçado para adultos, pretede começar a produzir sapatos para criaça. Ecarregou uma empresa de sodages, de lhe fazer um estudo sobre qual seria o tamaho médio (em cm) do pé de criaças de determiada classe etária. Mesmo ates da empresa apresetar as coclusões, o doo da fábrica (que há muitos aos tiha tido uma disciplia de Estatística) teve acesso à seguite tabela de frequêcias e correspodete histograma, dos valores calculados para as médias de 500 amostras, de dimesão 30, recolhidas pela empresa: Classes Freq.rel. [31,075-31,225[ 0,0020 [31,225-31,375[ 0,0075 [31,375-31,525[ 0,0250 [31,525-31,675[ 0,0735 [31,675-31,825[ 0,1410 [31,825-31,975[ 0,2005 [31,975-32,125[ 0,2250 [32,125-32,275[ 0,1635 [32,275-32,425[ 0,0990 [32,425-32,575[ 0,0445 [32,575-32,725[ 0,0130 [32,725-32,875[ 0,0040 [32,875-33,025[ 0,001 5 Etão, a posse destes elemetos, pediu ao filho, que tiha frequetado a disciplia de MACS do 11º ao, que lhe respodesse às seguites questões: a) Este histograma pretede represetar a distribuição de amostragem, aproximada, de uma certa variável. Que variável? b) Utilizado a tabela aterior, obteha um valor aproximado para o valor médio da distribuição de amostragem da Média, para amostras de dimesão 30 (cosidere o valor aproximado às uidades). c) Tedo em cosideração que a estatística Média X, é um estimador cetrado do valor médio da população X, de ode se retiram as amostras, sugira um valor para o valor médio µ, da população X, costituída pelo tamaho do pé, das criaças da classe etária cosiderada. σ d) Sabedo que o desvio padrão de X, é igual a, ode σ é o desvio padrão 30 da população X, utilize a tabela dada para sugerir um valor para este desvio padrão σ. e) Como o histograma aterior sugere, e o Teorema Limite Cetral justifica, a distribuição de amostragem da Média pode ser aproximada por uma distribuição Normal (para amostras de dimesão, suficietemete grade, ou seja, 30). Admitido que um dos valores obtidos para a média de uma das 500 amostras de dimesão 30 cosideradas, foi , obteha um itervalo de 95% de cofiaça para o valor médio do comprimeto do pé. (Se a alíea d) ão coseguiu determiar o valor de σ, admita que é igual a 1.5). f) Admitido que a população X tem distribuição ormal, com o valor médio e desvio padrão obtidos, respectivamete, as alíeas c) e e), calcule a probabilidade de uma criaça, escolhida ao acaso, da classe etária em estudo, ter um comprimeto do pé superior a 32.5 cm. (Se ão resolveu as alíeas c) e e) cosidere os valores 32 cm e 1.5 cm, respectivamete para valor médio e desvio padrão de X.

17 Itrodução à Iferêcia Estatística Nas últimas eleições legislativas, passada uma hora do fecho das mesas de voto, apareceram os resultados para o cocelho de Sitra, dado uma percetagem de votos para JS e FS, respectivamete de 39% e 42%, com uma margem de erro de 3.5% e uma cofiaça de 95%. a) O locutor afirmou, ao apresetar aqueles resultados, que os cadidatos estavam empatados tecicamete. Explique, por palavras suas, o que quereria o locutor dizer. b) Passadas duas horas a margem de erro, dimiuiu para 2.5%. Admitido que a cofiaça era a mesma, dê uma explicação para a dimiuição da margem de erro. c) Numa sodagem realizada ates das eleições, JS tiha ecomedado uma sodagem, que lhe dava a vitória, quado afial veio a perder as eleições. Teremos que deixar de acreditar as sodages? 3.9 Uma sodagem da TSF/DN publicada a edição do DN de 2 de Julho de 2004, dizia: Portugueses querem referedo Maioria mostra-se favorável à eleição de um presidete e de um govero da Uião Europeia. E também quer exército comum Os portugueses maifestam tedêcia para o federalismo europeu: a maioria defede um presidete e um govero europeus, eleitos pelos cidadãos. São igualmete favoráveis à criação de um exército da Uião Europeia (UE). E, a aálise que fazem sobre o futuro comuitário, dizem aida que querem referedar a próxima reforma istitucioal da UE. A maioria já ouviu falar do Tratado de Nice, mas está loge de saber o que ele cotempla. Talvez por isso, a larga maioria ão sabe se o documeto deve ou ão ser aprovado pelos deputados. O Barómetro de Juho do DN/TSF/Marktest ão icluiu qualquer perguta directa sobre o federalismo europeu, mas os portugueses acabaram por prouciar-se esse setido. Seão vejamos: 62 por ceto dos iquiridos mostrou-se favorável à eleição de um presidete da UE e 53 por ceto disse também estar a favor de um govero europeu. É uma tese defedida equitativamete por mulheres e homes o que diz respeito à eleição de um presidete europeu. Nota-se, cotudo, alguma difereça quado a questão é a eleição de um govero europeu. Aqui, já são os homes que se mostram mais favoráveis. Sobre um e outro assuto é, claramete, a classe média a maior defesora de um executivo europeu. Quado questioados sobre a criação de um exército a UE, uma questão que até aqui tem levatado alguma polémica, 45 por ceto dos iquiridos afirmam ser defesores desta ideia. Embora o úmero daqueles que se opõem ão seja muito iferior - 36 por ceto. Sigificativa é também a percetagem dos que ão sabem o que respoder - 19 por ceto. Esta hipótese acolhe mais adeptos etre os etrevistados do sexo masculio (53 por ceto) e a faixa etária que poderá ser cotemplada pelas icorporações (igualmete 53 por ceto). E se a maioria dos portugueses refere já ter ouvido falar do Tratado de Nice, também são peremptórios a afirmar que ão fazem a mais pequea ideia das suas lihas gerais: 65 por ceto subliha que ão sabe o que está cosagrado o documeto. Uma resposta que justifica a elevada percetagem (62 por ceto) daqueles que ão sabe se os deputados devem ou ão aprovar o Tratado. A larga maioria dos iquiridos (60 por ceto) defede, por outro lado, que as mudaças a orgaização da Uião Europeia devem ser referedadas o osso País. O que ão deixa de ser curioso, já que as duas experiêcias ateriores (aborto e regiões) revelaram uma grade falta de participação dos cidadãos. Só 18 por ceto tem opiião cotrária e 22 por ceto optou por ão respoder a esta questão. O alargameto da Uião Europeia aos países do Cetro e de Leste do cotiete merece o acordo da maioria (64 por ceto), que se mostram covecidos de que essa reestruturação Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

18 82 Itrodução à Iferêcia Estatística itera vai tirar poderes a Portugal o seio da UE (46 por ceto). Mais de dois terços (67 por ceto) cosidera também que o processo de alargameto poderá reduzir a atribuição de fudos comuitários para Portugal. Embora ão seja referido o artigo aterior, segudo a otícia da TSF, a sodagem evolveu 813 idivíduos adultos, dos quais 421 eram mulheres e foi realizada via telefoe. É referido o artigo que 62% dos iquiridos se mostra favorável à eleição de um presidete da UE. a) Este valor de 62% é uma estatística ou um parâmetro? b) Seria possível ter obtido este valor, se a percetagem de portugueses adultos que se mostra favorável à eleição de um presidete da UE fosse 65%? c) Tedo em cota o resultado obtido pela sodagem da TSF/DN, acha plausível que a proporção de portugueses que se mostra favorável à eleição de um presidete da UE seja 68%? Porquê? 3.10 No dia x do mês y do ao z realizar-se-ão as Eleições Autárquicas. Relativamete à cidade de Lisboa, há dois cadidatos sobre os quais se criaram mais expectativas, omeadamete TT e MM. Supoha que, o dia das eleições, passado uma hora sobre o fecho das uras, altura em que começam a cotar os votos para cada cadidato, surgiram os primeiros resultados os caais televisivos. Relativamete a um daqueles cadidatos, o cadidato TT, apresetaram o seguite resultado: - O cadidato TT tem, este mometo, uma percetagem de 48.4%, com um erro máximo de 3.45% e uma cofiaça de 95%. 1. Explique, por palavras suas, o que sigifica o resultado aterior. 2. Qual a amplitude do itervalo de cofiaça, que pode costruir com os resultados apresetados o euciado do problema, para a percetagem de lisboetas que votaram o cadidato TT? 3. Acha razoável admitir que o cadidato TT, ao ouvir aquele resultado, pese que tem alguma Chace de gahar a Câmara de Lisboa, admitido que para gahar essa Câmara eram ecessários, pelo meos, 50% de votos favoráveis? 4. Passadas três horas do fecho das uras, o resultado auciado para o cadidato TT era: - O cadidato TT tem, este mometo, uma percetagem de 49.8%, com um erro máximo de 1.23% e uma cofiaça de 95%. a) Compare a amplitude do itervalo de cofiaça cosiderado a alíea 2, com a amplitude do itervalo de cofiaça, que pode costruir com os resultados agora auciados. b) Como é que iterpreta o resultado a que chegou a alíea aterior? 5. Quado todos os votos tiverem sido escrutiados, obtém o resultado para a percetagem de eleitores que votaram o cadidato TT, a forma de um itervalo de cofiaça, ou a forma de um valor? Explique porquê Numa altura em que se discutia o problema dos touros de morte, em Portugal, omeadamete por causa das festas de Barracos, uma cohecida estação de televisão propôs a seguite questão aos telespectadores, o fial do telejoral de uma 6ª feira: Se é a favor dos touros de morte, em Portugal, evie uma mesagem para 7771 Se é cotra os touros de morte, em Portugal, evie uma mesagem para 7772 No telejoral do dia seguite, sábado, apresetaram a seguite otícia, como sedo o resultado da sodagem efectuada: 72% dos portugueses são a favor dos touros de morte, em Portugal, equato que 28% são cotra! Acotece que o joral Expresso, desse sábado, publicou o seguite resultado de uma sodagem, ecomedada a uma coceituada empresa de sodages: 81% dos portugueses são cotra os touros de morte, em Portugal!

19 Itrodução à Iferêcia Estatística Alguma das amostras cosideradas para obter os resultados ateriores, pode ser cosiderada eviesada? Isso poderá explicar a discrepâcia obtida, as duas sodages, relativamete às percetages obtidas para os portugueses, que são cotra os touros de morte? 2. Qual dos resultados ateriores, 28% ou 81%, estará mais perto da percetagem de portugueses que são cotra os touros de morte em Portugal? Explique porquê 3. Admitido que o resultado obtido pela empresa de sodages, foi baseado uma amostra aleatória de dimesão 150, obteha um itervalo de 95% de cofiaça para a percetagem de portugueses que são cotra os touros de morte, em Portugal. 4. Calcule a margem de erro do itervalo obtido ateriormete. O que é que acoselharia a alguém, que lhe pergutasse como poderia obter um itervalo de cofiaça, com uma margem de erro iferior? 3.12 O Sr. Silva, fabricate de camisas para homem, recebeu uma ecomeda proveiete de Macau. Ficou um pouco preocupado, pois quado visitou este território, a sua viagem de lua-de-mel, apercebeu-se que os homes tiham, de um modo geral, os braços mais curtos. Sedo assim, ão poderia utilizar os moldes habituais. Pediu, etão, a uma empresa de sodages que lhe forecessem uma estimativa do comprimeto médio dos braços dos aturais de Macau. A empresa apresetou um estudo, que se pode resumir da seguite forma: Sr. Silva Apresetado os ossos cumprimetos, vimos apresetar os resultados do osso estudo: recolhemos uma amostra de dimesão 70, de outros tatos idivíduos adultos, do sexo masculio, a quem medimos o tamaho do braço, tedo obtido como média dos 70 valores observados, o valor 52 cm. Reiterado os ossos cumprimetos, aproveitamos para dizer que segue, em aexo, a factura do trabalho prestado. Ateciosamete o gerete (assiatura irrecohecível) O Sr. Silva ficou um pouco meos preocupado, mas cotiuava sem saber o que fazer: 1. Efectivamete, qual a cofiaça que poderia atribuir à estimativa obtida? Se tivesse sido outra a amostra obtida, seria de esperar obter o mesmo valor para a média? Explique porquê. 2. O Sr. Silva resolveu questioar a empresa e esta foreceu-lhe os seguites itervalos de cofiaça para o tamaho médio do braço dos aturais de Macau, com uma cofiaça de 50% e 75%, respectivamete, e obtidos a partir da mesma amostra: [51.4, 52.6] e [51.0, 53.0]. a. Qual a margem de erro dos itervalos ateriores? b. Se fosse o Sr. Silva, qual o itervalo que escolhia? O de meor amplitude ou o de maior amplitude? Explique porquê Laçou-se uma moeda 50 vezes e saiu cara 20 vezes. Tem a certeza que a moeda ão é equilibrada? Justifique. Sugestão: Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para a probabilidade de sair cara Pretede-se determiar um itervalo de cofiaça para a proporção p, de peças defeituosas produzidas por determiada máquia. Pretede-se que a precisão seja grade, pelo que ão queremos que a margem de erro seja superior a 3%. Temse a iformação de que a máquia em questão costuma produzir cerca de 2% de peças defeituosas, mas ão se tem a garatia que este valor ão esteja um pouco alterado. Qual a dimesão da amostra que deve recolher para costruir o itervalo pretedido? Maria Eugéia Graça Martis - DEIO

20 84 Itrodução à Iferêcia Estatística 3.15 (cotiuação de 3.14) Cosidere de ovo o exercício 3.14, mas admita que a percetagem de peças defeituosas que a máquia costuma produzir, ada à volta de 20%. Qual a dimesão da amostra que se deve recolher? 3.16 (cotiuação de 3.14 e 3.15) Admita agora que ão tiha qualquer iformação sobre a percetagem de peças defeituosas produzidas pela máquia. Qual a dimesão da amostra que teria de recolher? Compare o valor obtido para a dimesão da amostra com os valores obtidos em 3.14 e Comete os resultados obtidos Supoha que um curso com 350 raparigas e 150 rapazes quer seleccioar uma amostra de 50 aluos. a) Pode-se cosiderar que a população de ode está a seleccioar a amostra, tem dimesão suficietemete grade para poder ser cosiderada uma população ifiita? b) Cosidere a amostragem com reposição. Calcule o valor médio e o desvio padrão do estimador da proporção amostral de raparigas. Pode cotiuar a utilizar o mesmo valor médio e/ou o mesmo desvio padrão para o estimador da proporção amostral de raparigas, se a amostragem for feita sem reposição? c) Qual a distribuição de amostragem, aproximada, da proporção de raparigas uma amostra de dimesão 50? d) Qual a probabilidade, aproximada, do úmero de raparigas a amostra, estar etre 25 e 35? e) Se quisesse garatir a amostra, com uma probabilidade de 0.5, 25 raparigas, quatos aluos devia seleccioar?

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