Tabela de símbolos: tabelas de espalhamento

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1 Tabela de símbolos: tabelas de espalhamento Marcelo K. Albertini 14 de Janeiro de 2014

2 2/28 Resumo de complexidades Análises para operação efetuada após N inserções pior caso caso médio keys chave get put delete get put delete lista N N N N/2 N N/2 não equals() vetores log N N N log N N/2 N/2 sim compareto() paralelos ABB N N N log N log N? sim compareto() ARN log N log N log N log N log N log N sim compareto() Se não necessitarmos de operações ordenadas, podemos fazer melhor: número constante de operações!

3 3/28 Tabelas de espalhamento Tabelas de espalhamento = Tabelas hash = Hashtable Hash significa cortar em pedaços ou informalmente misturar, bagunçar Porquê espalhar ajudaria na busca? Espalhamos elementos em um espaço limitado e montamos uma tabela para saber a posição. A tabela é definida por uma função pré-definida que associa chaves com a posição na tabela.

4 4/28 Hash table encadeada

5 5/28 Hashing Valores são mantidos em uma tabela indexada pela chave. Função hash Um método para computar a posição de uma chave em uma tabela. Questões Como computar a função hash Necessitamos ser capazes de comparar por igualdade Resolução de colisão: o que acontece quando a hash de duas chaves diferentes são iguais

6 6/28 Balanceamento entre custo de espaço e tempo Sem limitação de espaço: valor é diretamente associado à chave Sem limitação de tempo, colisões podem ser resolvidas com número linear de comparações Limitações de tempo e espaço: hashes

7 7/28 Função hash Meta computação da hash é barata boa distribuição das chaves nas posições da tabela (cada posição da tabela tem igual chance de receber chaves) Exemplo: números de telefones Ruim: três primeiros dígitos Melhor: três últimos dígitos Necessário Um cálculo de Hash diferente para cada tipo de chave

8 8/28 Em Java Todas as class herdam o método int hashcode() Obrigatório: Se x.equals(y) então x.hashcode() == y.hashcode() Meta: Se!x.equals(y) então x.hashcode()!= y.hashcode() Implementação padrão Uso do endereço de memória do objeto Implementações por tipo Integer, Double, String, File, Url, Date,

9 9/28 Implementações do Java Double Integer 1 int hashcode() { 2 return value ; 3 } Boolean 1 int hashcode() { 2 if ( value ) 3 return 1231; 4 else 5 return 1247; 6 } 1 int hashcode() { 2 // xor das metades do binario 3 long bits = doubletolongbits( this. doublevalue () ) ; 4 return ( int )( bits ˆ( bits >>> 32)) ; 5 } String 1 //s [0] 31ˆ(n 1)+s [1] 31ˆ(n 2)+...+s [ n 1] 2 public int hashcode() { 3 int h = 0; 4 for ( int i = 0; i < s. length ; i++) 5 h = s [ i ] + (31 hash) ; 6 return h; 7 }

10 10/28 Função hash para strings Função Hash de Jenkins Processa uma letra por vez 1 int jenkins (char [] chave) { 2 int hash = 0, i ; 3 int tam = chave. length ; 4 5 for ( i = 0; i < tam; ++i ) { 6 hash += chave [ i ]; 7 hash += (hash << 10) ; 8 hash ˆ= (hash >> 6) ; 9 } 10 hash += (hash << 3) ; 11 hash ˆ= (hash >> 11) ; 12 hash += (hash << 15) ; 13 return hash ; 14 } O operador << desloca bits à esquerda e >> à direita. O operador ˆ realiza a operação de OU exclusivo, o XOR, bit a bit. 10 ˆ 1 == ˆ 8 == ˆ 0001 == ˆ 1000 == 0010

11 11/28 Exemplo para tipo composto 1 class Transacao { 2 String quem; 3 Date quando; 4 double quanto ; 5 6 int hashcode() { 7 int hash = 17; 8 hash = 31 hash + quem. hashcode() ; 9 hash = 31 hash + quando.hashcode() ; 10 hash = 31 hash + ((Double) quanto). hashcode() ; 11 return hash ; 12 } 13 }

12 12/28 Hash para tipo composto Como fazer Se campo for primitivo, usar o hashcode() do wrapper Integer para int Double para double Se campo for tipo composto, usar hashcode() Se campo for array, usar hash para cada campo Se campo for null, usar 0 Combinar cada campo x na hash com a operação 31 hash+x.hashcode()

13 13/28 Hashing modular Hashcode: valor int entre 2 31 e Função hash: índice da tabela de 0 a M 1 para tabela com M posições 1 hash(chave c) { // Cógigo ERRADO 2 return c.hashcode() % M; // BUG 3 } Código errado! Problema com negativos.

14 13/28 Hashing modular Hashcode: valor int entre 2 31 e Função hash: índice da tabela de 0 a M 1 para tabela com M posições 1 hash(chave c) { // Cógigo ERRADO 2 return c.hashcode() % M; // BUG 3 } Código errado! Problema com negativos. 1 hash(chave c) { 2 return Math. abs(key. hashcode() ) % M; // BUG 3 } Código errado! Problema com Math.abs( 2 31 ) < 0!

15 13/28 Hashing modular Hashcode: valor int entre 2 31 e Função hash: índice da tabela de 0 a M 1 para tabela com M posições 1 hash(chave c) { // Cógigo ERRADO 2 return c.hashcode() % M; // BUG 3 } Código errado! Problema com negativos. 1 hash(chave c) { 2 return Math. abs(key. hashcode() ) % M; // BUG 3 } Código errado! Problema com Math.abs( 2 31 ) < 0! 1 int hash(chave c) { // Código CERTO 2 return (c.hashcode() & 0 x7fffffff ) % M; 3 }

16 14/28 Premissa do espalhamento uniforme Cada chave é igualmente provável a ser mapeada para um inteiro entre 0 e M-1. Propriedades conhecidas Duas chaves terão a mesma posição na tabela (colidirão) após cerca de πm/ chaves aleatórias Cada inteiro terá sido utilizado para mapear pelo menos uma vez após MlnM chaves Após M chaves, o inteiro mais mapeado foi usado Θ(logM/loglogM) vezes

17 15/28 Funções hash: colisões Uma boa função hash deve espalhar uniformemente valores no array. Colisões Valores distintos mapeados na mesma posição de um array são chamados de colisões Com uma hash perfeita, se as chaves são conhecidas de antemão, não haverá colisões.

18 16/28 Colisões Desafio Tratar colisões eficientemente é muito caro evitar colisões (memória O(n 2 )) colisões são uniformemente distribuídas

19 17/28 Tabela de símbolos com encadeamento separado Usar array de M < N de listas encadeadas Hash: mapear chave para [0,M 1] Inserção: inserir se não estiver nela Busca: percorrer cadeia Número de operações equals() e hashcode() para inserção e busca é proporcional a N/M Se M muito grande, muitas cadeias vazias Se M muito pequeno, cadeias muito longas Escolha típica: M N/5

20 18/28 Análise: Tabela de símbolos com encadeamento separado pior caso caso médio keys chave get put delete get put delete lista N N N N/2 N N/2 não equals() vetores log N N N log N N/2 N/2 sim compareto() paralelos ABB N N N log N log N? sim compareto() ARN log N log N log N log N log N log N sim compareto() hash: escadeamento log N log N log N não equals()

21 19/28 Tabela de símbolos: sondagem linear Endereçamento aberto Usar apenas o array da tabela. Não usar listas igadas. Ideia: inserção Se houver uma colisão, buscar algum lugar vazio nas posições seguintes Busca Verificar se o elemento na posição da hash da chave é o procurado Procurar nas posições seguintes até encontrar um vazio Array tem que maior que o número de elementos a serem inseridos.

22 20/28 Análise: sondagem linear Knuth: problema do estacionamento Sob a premissa de espalhamento uniforme, a média de sondagem de uma tabela hash de tamanho M que contém N = αm chaves, 0 < α < 1 é: Para( busca (encontrando) ) α Para( inserção (ou ) busca sem encontrar) (1 α) 2

23 21/28 Análise: sondagem linear Avaliação de carga de uma hash table: risco de colisões taxa de ocupação α = número de elementos tamanho da tabela Quando taxa de ocupação α = N/M Se M alto, muitas posições vazias no array Se M pequeno, tempo de busca aumenta devido a agrupamento Com α = 1/2, sondagens para busca é cerca de 3/2. Com α = 1/2, sondagens para inserção é cerca de 5/2

24 22/28 Análise: sondagem linear pior caso caso médio keys chave get put delete get put delete lista N N N N/2 N N/2 não equals() vetores log N N N log N N/2 N/2 sim compareto() paralelos ABB N N N log N log N? sim compareto() ARN log N log N log N log N log N log N sim compareto() hash: log N log N log N não equals() escadeamento hash: sondagem log N log N log N não equals()

25 23/28 Variações de hashing Hashing encadeado duplo Obter 2 hashes para uma chave e inserir na cadeia menor Reduz tamanho esperado da maior cadeia para loglogn Hashing com dupla sondagem Usar sondagem linear com saltos variáveis maiores que 1 Reduz agrupamento Cuckoo hashing Faz 2 hashes por chave; insere chave em uma das posições; se ocupado reinsere a chave deslocada na posição alternativa (com recorrência) (com recorrência) Pior caso constante para busca

26 24/28 Tabela hash vs. ABB balanceada Tabela Hash Mais fácil para codificar Bom para chaves sem ordem Rápido para chaves simples ABB balanceada Garantia de desempenho Permite operações ordendas Mais fácil implementar compareto() que hashcode()

27 25/28 Complexidade computacional Complexidades para a operação de consulta de um valor associado a uma chave pior caso - quando tudo sai errado (colisões) Ataque a uma função hash exploração do pior caso Solução família de funções hash para criação aleatória melhor caso - custo da função hash

28 26/28 Família de funções hash Se na família há m membros selecionados aleatoriamente e colisões tem probabilidade de 1/m. Essa família de funções hash é chamada de hashing universal. Aplicações Evitar ataques a uma função hash exploração do pior caso Reconstrução da hash quando fator de balanceamento é mostra risco de colisão

29 Construindo uma família universal de hashes Método da matriz Chave x tem u bits. Tamanho da tabela M é uma potência de 2. Assim, um índice tem b bits tal que M = 2 b. É universal pois a probabilidade de colisão é igual ou menor que 1/M. Passos do algoritmo de hash obter representacao binária x da chave definir aleatoriamente uma matriz h de tamanho b u com valores 0 ou 1 obter o hash usando a multiplicação h(x) = hx e fazendo soma resto 2. Exemplo: h = x = h(x) = 1 (1) Existe uma chance de 1/2 b de colisão. 27/28

30 28/28 Hashing universal perfeito método espaço quadrático Hashing é perfeito se não existe colisões. Se podemos usar O(n 2 ) de espaço e as temos n chaves a serem armazenadas, podemos testar uma família de hashes como a anterior e testamos. Existe uma chance de 50% de não ocorre colisões. Se houver, gerar outra matriz h aleatória.

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