ARITMÉTICA MODULAR E ALGUMAS DE SUAS APLICAÇÕES

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1 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 1 ARITMÉTICA MODULAR E ALGUMAS DE SUAS APLICAÇÕES Introdução: Ilydio Pereir de Sá 1 Um ds ferrments mis importntes n teori dos números é ritmétic modulr, que envolve o conceito de congruênci. Um congruênci é relção entre dois números que, divididos por um terceiro - chmdo módulo de congruênci - deixm o mesmo resto. Por exemplo, o número 9 é congruente o número 2, módulo 7, pois mbos deixm resto 2, o serem divididos por 7. Representmos ess congruênci do exemplo por 9 2, mod. 7. Foi o brilhnte Guss que observou que usávmos com muit freqüênci frses do tipo dá o mesmo resto que b qundo divididos por m e que ess relção tinh um comportmento semelhnte à iguldde. Foi Guss então que introduziu um notção específic pr este fto e que denominou de congruênci. Muito se tem escrito sobre esse tem, principlmente nos livros sobre teori dos números. É um conceito muito importnte e que está relciondo com divisibilidde e os restos de um divisão de números inteiros. O que não é muito comum é o estudo ds muits plicções que o tem possui no cotidino de tods s pessos. Diferentes códigos numéricos de identificção, como códigos de brrs, números dos documentos de identidde, CPF, CNPJ, ISBN, ISSN, criptogrfi, clendários e diversos fenômenos periódicos estão diretmente ligdos o tem, conforme mostrremos em nosso estudo. É um tem bstnte tul e que pode ser trblhdo já ns clsses do Ensino Fundmentl e gerdor de excelentes oportuniddes de contextulizção no processo de ensino / prendizgem de mtemátic. Inicilmente vmos mostrr lguns elementos teóricos sobre ritmétic modulr e, n segund prte do trblho teremos presentção de lguns exemplos de plicção desse importnte e interessnte tem d áre de teori dos números. 1) Noções básics d ritmétic modulr 1.1) Exemplos iniciis: Antes de presentrmos s definições e proprieddes relcionds à congruênci, vmos desenvolver três exemplos que poderim ser colocdos lunos d Educção Básic, ind não fmilirizdos com o tem, como introdução o ssunto. Exemplo 1: Vmos presentr um questão retird do bnco de questões do site d OBMEP (Olimpíd Brsileir de Mtemátic ds Escols Públics). Lá sempre temos encontrdo questões interessntes e provoctivs pr o prepro de nossos lunos d Educção Básic. A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de poio que um rnh us pr construir su tei, conforme mostr figur. A rnh continu seu trblho. Sobre qul fio de poio estrá o número 118? 1 Ilydio Pereir de Sá Mestre em Educção Mtemátic, professor d UERJ, d Universidde Severino Sombr e do Colégio Pedro I, Rio de Jneiro.

2 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 2 Vejmos o que está contecendo? SOLUÇÃO: FIOS A B C D E F G H É clro que lgum pesso bem pciente poderi continur construindo tbel té que precesse o número 118. Assim el sberi em qul fio rnh iri estr. Convenhmos que não seri um solução muito prátic e nem rápid. Imgine se questão perguntsse o fio correspondente o número 890? Podemos observr que os fios se repetem cd oito números e ess periodicidde fz com que os números de cd fio formem um progressão ritmétic de rzão igul 8, ou sej, umentem de oito em oito. Observmos tmbém que cd fio pode ser representdo prtir dos múltiplos de 8. O fio A corresponde os números que são múltiplos de 8, ou sej, números que divididos por 8 deixm resto zero (8. n, com n IN). O fio B corresponde os números que são múltiplos de 8, mis 1, ou sej, números que divididos por 8 deixm resto 1 (8.n + 1, com n IN). O fio C corresponde os números que são múltiplos de 8, mis 2, ou sej, números que divididos por 8 deixm resto 2 (8.n + 2, com n IN) e ess lógic se mntém té o fio H, definido pelos números que divididos por oito deixm resto 7. É clro que pr sber sobre qul fio estrá o número 118, bst verificrmos qul desss fmílis tl número pertence e isso pode ser fcilmente obtido o dividirmos 118 por 8. Vejmos: Verificmos que o número 118 é igul , ou sej, pertence à fmíli dos números que estão no fio G. Todos os números de nosso exemplo, que estão no mesmo fio, tem um prticulridde em comum, deixm o mesmo resto o serem divididos por 8 e, como já comentmos n introdução, são congruentes entre si, no módulo 8. O número 14, por exemplo, é congruente o número 22, no módulo 8, e isso signific que esses dois números deixm o mesmo resto qundo divididos por 8 (verifique que mbos estão sobre o fio G). Verificndo:

3 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá Simbolicmente, poderemos escrever: 14 22, mod. 6 Exemplo 2: Aritmétic do relógio Trt-se de um cso de congruênci, módulo 12 (nos relógios nlógicos, é clro). Note que 13 hors é congruente 1 hor, no módulo 12. Ambos divididos por 12, deixm resto hors é congruente 5 hors, módulo 12. Tnto 17, como 5, divididos por 12, deixm resto 5... e ssim, sucessivmente , mod , mod 12 Assim s hors mrcds num relógio nlógico constituem tmbém um cso clássico de congruênci, nesse cso com módulo 12. Exemplo 3: Vejmos um plicção interessnte sobre o tem, relciond os clendários: Vmos supor que você sib em qul di d semn ciu o di 1º de jneiro de um determindo no. Em 2006, por exemplo, foi um domingo. Imginemos que você desej sber qundo cirá um outro di qulquer (vle pr qulquer no). É só montr um tbel pr ess primeir semn, que no cso será: Domingo 1 Segund 2 Terç 3 Qurt 4 Quint 5 Sext 6 Sábdo 7 Verificmos qui que estmos novmente dinte de um cso de congruênci, módulo 7 nesse cso. Digmos que estivéssemos interessdos em descobrir em que di d semn ciu o di 5 de julho (e não temos um clendário em mãos, é clro). Primeiro precismos ver quntos dis existem de 1 de jneiro té 5 de julho. Vejmos: Jneiro = 31 dis Fevereiro = 28 dis (2006 não é bissexto) Mrço = 31 dis Abril = 30 dis Mio = 31 dis Junho = 30 dis Julho = 5 dis Totl = 186 dis. Agor, é como se tivéssemos um fil de 186 dis e estmos desejndo sber, n congruênci de módulo 7 (7 dis d semn) qul o correspondente o186. Acho que você concord que estmos

4 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 4 dinte de um situção bem semelhnte à que vimos no problem d rnh e tmbém no problem dos relógios nlógicos. Se dividirmos 186 por 7, teremos: Logo, o 186 é congruente o 4, no módulo 7. Como o di 4 de jneiro de 2006 foi um qurtfeir, o 186º desse mesmo no tmbém o será e, é clro, que tods s demis qurt-feirs deste no serão ocupdos por números congruentes o 4, módulo 7. Assim, com os três exemplos que mostrmos, podemos observr que em nosso cotidino existem inúmers situções onde se fz presente noção de congruênci, módulo k. Clendários, relógios nlógicos e problems em gerl envolvendo repetições periódics. Mostrremos em nosso estudo que n criptogrfi e em diversos números de documentos de identificção (como no CPF, por exemplo), tmbém está presente Aritmétic Modulr e noção de congruênci. 1.2) Conceitos Básicos d Congruênci módulo k Se os inteiros e b dão o mesmo resto qundo divididos pelo inteiro k (k > 0) então podemos dizer que e b são côngruos, módulo k e podemos representr: b mod k Um mneir equivlente de dizer isso é firmr que diferenç ( b) ou (b ) é divisível por k, ou que k é divisor dess diferenç. Vej um exemplo: mod 4, logo (47 43) é divisível por 4. A congruênci define um equivlênci, pois tende às proprieddes reflexiv, simétric e trnsitiv, ou sej:, mod k (reflexiv) b, mod k, então b, mod k (simétric) b, mod k e b c, mod k, então c, mod k (trnsitiv) Algums proprieddes d congruênci Se b, mod k e c d, mod k, então: + c b + d, mod k; - c b - d, mod k;. c b. d, mod k É clro que tods esss proprieddes precism ser demonstrds. Vejmos demonstrção d primeir. Se b, mod k, então b é divisível por k, nlogmente, se c d, mod k, então c d tmbém é divisível por k, pr provrmos que + c b + d, teremos que mostrr que ( + c) (b + d) é divisível por k. Vmos colocr ess diferenç n form ( b) + (c d) e verificr se é divisível por k. Como, pel hipótese, ( b) e (c d) erm divisíveis por k, é clro que som ( b) + (c d) é tmbém divisível por k, o que demonstr primeir propriedde. Tente fzer s demis demonstrções, de modo nálogo.

5 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 5 2) Algums plicções d congruênci 2.1) Sistems de identificção Em qulquer texto, um erro de ortogrfi num plvr pode ser fcilmente percebido, pois ou plvr não fz prte do idiom ou não fz sentido com o contexto. Por exemplo, se digitmos engenheior, logo percebemos que fizemos um inversão ds dus últims letrs. Ms, qundo isso ocorre com os lgrismos de um número, de um código de identificção qulquer, não terímos como perceber troc num simples olhr. Pr isso e tmbém pr minimizr frudes, form cridos os chmdos dígitos de controle ou verificção. Tis dígitos são normlmente bsedos n noção de congruênci que mostrmos nteriormente. Mostrremos seguir lguns desses csos de dígitos de controle usdos como identificdores ) ISBN Um dos exemplos mis ntigos é o sistem Interntionl Stndrd Book Number (ISBN) de ctlogção de livros, CD-Roms e publicções em brile, que foi crido em A necessidde que s editors têm de ctlogr os seus livros e informtizr o sistem de encomends serviu de motivção n gerção desse código. A vntgem é que, por ser um código numérico, ultrpss s dificulddes gerds pelos diversos idioms do mundo, bem como grnde diversidde de lfbetos existentes. Dess form, poderímos, por exemplo, identificr trvés do ISBN um livro jponês. Em tl sistem, s publicções são identificds trvés de 10 lgrismos, sendo que o último (dígito de controle) é clculdo trvés d ritmétic modulr envolvendo operções mtemátics com os outros nove dígitos. Esses nove primeiros dígitos são sempre subdivididos em 3 prtes, de tmnho vriável, seprds por hífen, que trnsmitem informções sobre o pís, editor e sobre o livro em questão. Por exemplo, língu ingles é identificd somente pelo lgrismo 0 e editor McGrw-Hill tem um código de 2 lgrismos que identific, dess form, restm ind 6 lgrismos pr identificção de sus publicções, hvendo pois possibilidde de 10 6 = de títulos. Vejmos como se process o cálculo do dígito finl do ISBN (controle). Representndo por seqüênci formd pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplic-los, ness ordem, pel bse {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} e somr os produtos obtidos. O dígito que está fltndo, que vmos representr por 10 deve ser o menor vlor possível, tl que o ser crescentdo à som obtid, deve gerr um múltiplo de 11, isto é, se som obtid é S, o número S + 10 deve ser múltiplo de 11, ou sej, S mod 11. Vejmos um exemplo: N contrcp do livro Tems e Problems Elementres, d Coleção Professor de Mtemátic, d SBM, temos o seguinte código do ISBN: Vejmos o cálculo do dígito de controle que, como estmos observndo, é igul Efetundo s multiplicções correspondentes e somndo os produtos obtidos, teremos: =

6 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 6 = = Pr obtermos um múltiplo de 11, o crescentrmos o décimo lgrismo, o menor vlor que tende tl condição será o número 8, pois 11 3 = 8. O que confere o vlor presentdo no código ddo. Isso signific dizer que = 341 é um múltiplo de 11, ou ind, que mod 11. Um outro exemplo: O livro Mtemátic Aplicd à Administrção, Economi e Contbilidde, d Editor Thompson, tem o seguinte código ISBN ? Qul o seu dígito de controle? Solução: Efetundo som dos produtos correspondentes, teremos: = Dess form, o dígito de controle será igul 2 (11 9 = 2). Podemos observr que os dois livros que usmos como exemplo tem o prefixo 85, que identific livros publicdos no Brsil. Vejmos um exemplo de outro pís: O livro Hilbert, de Constnce Reid, publicdo em lemão (Berlim), tem o seguinte código ISBN: Fçmos verificção do cálculo do dígito de controle (1) = Logo, o dígito é igul 1 (11 10). OBSERVAÇÕES: No ISBN, se o dígito for igul 10 (no cso do resto d divisão por 11 ser igul 1), é usd representção do 10 em lgrismos romnos, ou sej us-se um X.

7 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 7 Em todos os csos que iremos mostrr, que usm ritmétic modulr, são usds bses de multiplicção que operds com os dígitos do número germ um determindo vlor S. A esse vlor obtido deve ser somdo ou subtrído um vlor x, de modo que exist um congruênci o zero, num módulo que normlmente é 11 ou 10, conforme o cso. A prtir de jneiro de 2007 os códigos do ISBN estão sendo representdos com 13 dígitos. No cso dos livros editdos no Brsil há um créscimo dos dígitos 978 ntes do ) CÓDIGO DE BARRAS EAN-13 Um dos códigos de brrs mis usdos no mundo todo é o EAN-13, constituído de 13 lgrismos, sendo que o último é o dígito de controle. Nesse cso é usd congruênci módulo 10 e os ftores que compõem bse de multiplicção são os dígitos 1 e 3, que vão se repetindo d esquerd pr direit. Se seqüênci formd pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, ness ordem, pel bse {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somr os produtos obtidos. Vmos representr por S som obtid. O dígito que está fltndo, que vmos representr por 13 deve ser tl que o ser somdo com S, deve gerr um múltiplo de 10, isto é, o número S + 13 deve ser múltiplo de 10, ou sej, S mod 10. Vejmos um exemplo: Num emblgem de um grrf pr bebids, de Portugl, temos o seguinte código de brrs: Vmos efetur os cálculos pr determinção do dígito de controle (que estmos vendo ser o dígito 7) (est é bse de multiplicção, nesse cso) Efetundo os produtos, teremos: = Logo, o dígito de controle será igul 7 (10 3). Note que = 90 (múltiplo de 10) Sbemos tmbém que, no código de brrs com 13 lgrismos, os três primeiros dígitos do código representm o pís de registro do produto (verifique que pr produtos filidos no Brsil teremos sempre os dígitos 7, 8 e 9); os qutro dígitos seguintes identificm o fbricnte; os

8 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 8 próximos cinco dígitos identificm o produto e o último, como já sbemos, é o dígito verificdor ou de controle, que se pode clculr trvés d congruênci, módulo ) Cdstro ds pessos físics n Receit Federl CPF Outro exemplo importnte, do nosso cotidino: Verificção dos dois dígitos de controle do CPF de um pesso: O número de CPF de um pesso, no Brsil, é constituído de 11 dígitos, sendo um primeiro bloco com 9 lgrismos e um segundo, com mis dois lgrismos, que são, como no ISBN e nos códigos de brr, dígitos de controle ou de verificção. A determinção desses dois dígitos de controle é mis um cso de plicção d noção de congruênci. No cso do CPF, o décimo dígito (que é o primeiro dígito verificdor) é o resultdo de um congruênci, módulo 11 de um número obtido por um operção dos primeiros nove lgrismos. Se é seqüênci formd pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, ness ordem, pel bse {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somr os produtos obtidos. O dígito que está fltndo, que vmos representr por 10 deve ser tl que o ser subtrído d som obtid, deve gerr um múltiplo de 11, isto é, se som obtid é S, o número S - 10 deve ser múltiplo de 11, ou sej, S mod 11. Note que tl número será o próprio resto d divisão por 11 d som obtid. Por exemplo, se o CPF de um pesso tem os seguintes 9 primeiros dígitos: , o primeiro dígito de controle será obtido d seguinte mneir: Escrevemos os nove primeiros e, bixo deles, bse de multiplicção com os dígitos de Efetundo s multiplicções correspondentes, teremos: 2 x x x x x x x x x 9 = 116. Dividindo o número 116 por 11, teremos: Dess form, o primeiro dígito de controle será o lgrismo 6. A determinção do segundo dígito de controle é feit de modo similr, sendo que gor crescentmos o décimo dígito (que é o que cbmos de clculr) e usmos um bse de multiplicção de 0 9. Vejmos: Efetundo s multiplicções, teremos: 2 x x x x x x x x x x 9 = 145 Dividindo o número 145 por 11, teremos:

9 Logo, o segundo dígito de controle é o 2. Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 9 Concluímos então que, no nosso exemplo, o CPF completo seri: Se o resto d divisão fosse 10, ou sej, se o número obtido fosse congruente o 10, módulo 11, usrímos, nesse cso, o dígito zero. 2.2) Congruênci e Criptogrfi Gpukpq Hwpfcogpvcn Com certez frse cim nd signific pr você. Prece lgum idiom desconhecido ou de outro plnet. Experimente gor substituir cd letr pel segund letr que vem ntes del, n seqüênci do lfbeto completo (26 letrs, incluindo k, w e y). Sem grnde dificuldde você terá escrito Ensino Fundmentl. De um form simplificd é o que ocorre n criptogrfi, qundo lguém desej trnsmitir lgum informção que não desej prtilhr com os outros, não ser o destintário finl e combin um chve qulquer pr trnsmissão e recepção d informção. O receptor, de posse d chve, decodific mensgem, trnsformndo- novmente pr que poss entender e ler o que lhe foi envido. No exemplo que demos, que é bstnte simples, o emissor substituiu cd letr do lfbeto por um outr que ficv dus posições depois del, no lfbeto. O receptor, sbendo d chve dess criptogrfi, plicv operção invers n frse recebid, ou sej, substituí cd letr recebid pel que ficv dus posições ntes del, no lfbeto. Se designrmos por x letr originl e por y letr que substituirá no código, é como se tivéssemos um função, definid por y = x + 2. Sbe-se que primeir plicção de criptogrfi foi inventd pelo imperdor romno Julio Césr, que enviv mensgens os seus generis trocndo letrs do lfbeto prtir de um simples regr, similr à que exemplificmos cim, que seri "pule três" (chve 3). Atrvés deste esquem, s letrs erm trocds pel terceir letr nterior no lfbeto. Dest form, somente quem soubesse d regr consegui desfzer o lgoritmo e ler mensgem originl. Vej como funcionv ess chve 3, de Julio Césr: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Ou sej, um plvr simples como "tcr seri codificd como "xqxzxo". Este sistem e outros similres, obtidos trvés de permutções, em que s letrs são "embrlhds", são muito simples e, não difíceis de serem decifrdos, ms por muito tempo servirm pr esconder mensgens. Vejmos um exemplo mis completo e relção que tem com ritmétic modulr: b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z Chve: Somr 4 Cd letr fic representd por um número que represent su posição no lfbeto. Com ess chve, el fic substituíd pel letr cujo número corresponde o número originl, umentdo de 4. Qundo contecer do resultdo ser superior o 26, voltmos o início do lfbeto. Por exemplo, o número 28 corresponderá à letr b, pois 28 = e, como já sbemos 28 2 mod 26.

10 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 10 Atividdes como ess, plicds ns clsses do Ensino Fundmentl, levrão os lunos perceber que, n trdução d mensgem envid eles terão, que plicr operção invers d que foi usd pelo emissor d mensgem, n crição d mensgem criptogrfd. Em clsses do Ensino Médio o professor poderi representr cd chve por um função bijetor (pr que tivesse invers) e o receptor d mensgem criptogrfd teri que obter função invers, pr trduzir mensgem recebid. Aind no Ensino Médio chve poderi ser representd por mtrizes inversíveis e decodificção pelo receptor seri trvés d mtriz invers Atrvés d chve dd como exemplo (somr 4 ou y = x + 4), se mensgem ser envid fosse CIDADE MARAVILHOSA, o grupo emissor teri que criptogrfá-l como: GMHEHI QEVEZMPLSWE. O grupo receptor d mensgem, sbendo que chve foi somr 4, teri gor que subtrir 4 uniddes dos números que representm cd letr d mensgem criptogrfd, pr obter mensgem originl, decifrndo o código. Vejmos: G 7 4 = 3 = C M 13 4 = 9 = I H 8 4 = 4 = D E 5 4 = 1 = A H = D I 9 4 = 5 = E Q 17 4 = 13 = M E 5 4 = 1 = A V 22 4 = 18 = R E = A Z 26 4 = 22 = V M 13 4 = 9 = I P 16 4 = 12 = L L 12 4 = 8 = H S 19 4 = 15 = O W 23 4 = 19 = S E = A Durnte segund guerr mundil sistems eletromecânicos n codificção e decodificção ds mensgens form muito usdos. Nestes dispositivos, rotores incorporvm internmente um permutção e su instlção em mecnismos precidos com "counters" (ou contdores) permitim trnsformções polilfbétics produzindo um quntidde impressionnte de combinções. Grçs os mis de sete mil ingleses que trblhrm no fmoso Qurtel Generl ds Comunicções Governmentis ("Government Communictions Hedqurters") em "Bletchey Prk", os códigos lemães form quebrdos. Eles trtvm em torno de qutro mil sinis lemães por di e, secretmente, mntinhm os comndos britânico e mericno muito bem informdos. Aind durnte guerr computdores (como o "Colossus") form usdos n "quebr" de códigos lemães, itlinos e jponeses e, desde então, Criptogrfi pssou ser estudd de form mis científic. Depois d Segund Guerr Mundil, com o desenvolvimento dos computdores, áre relmente floresceu incorporndo complexos lgoritmos mtemáticos. N verdde, esse trblho criptográfico formou bse pr ciênci d computção modern. Diversos filmes e livros têm explordo de form inteligente esse tem, como Um Mente Brilhnte um filme estreldo por Russel Crowe e que contv históri do brilhnte mtemático

11 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 11 John Nsh. Os livros Fortlez Digitl e Código D Vinci, de Don Brown tmbém trtm desse tem. Ms como funcion ritmétic modulr n Criptogrfi? Imginemos um csl, Alice e Bob, que vivem isoldos e pens podem comunicr trvés do correio. Eles sbem que o crteiro é um tremendo fofoqueiro e que lê tods s sus crts. Alice tem um mensgem pr Bob e não quer que el sej lid. Que é que pode fzer? El pensou em lhe envir um cofre com mensgem, fechdo cdedo. Ms como lhe frá chegr chve? Não pode envir dentro do cofre, pois ssim Bob não o poderá brir. Se envir chvem em seprdo, o crteiro pode fzer um cópi. Depois de muito pensr, el tem um idéi. Envi-lhe o cofre fechdo com um cdedo. Sbe que Bob é esperto e cbrá por perceber su idéi. Com mis um id e um volt do correio, e sem nunc terem trocdo chves, mensgem cheg té Bob, que bre o cofre e lê. Como é que você ch que resolverm o problem? Pense bem no ssunto, tente responder questão. É simples... depois que você descobrir, é clro. O truque usdo foi o seguinte: Bob colocou um outro cdedo no cofre e ele tinh chve desse segundo cdedo. Devolve o cofre Alice por correio, dest vez fechdo com os dois cdedos. Alice remove o seu cdedo, com chve que possui e reenvi o cofre pelo correio só com o cdedo colocdo por Bob. É clro que Bob tem pens que brir o cofre, com su própri chve e ler mensgem envid pel su md. O crteiro não tem como sber o conteúdo do cofre. CRATO, N,. Alice e Bob. Expresso / Revist, 22 de Setembro, pp (2001) N criptogrfi usm-se chves que, de cert form, são nálogs à estrtégi usd pelos nmordos de noss históri. Est históri relt velh chrd do sigilo ns comunicções e um de sus brilhntes soluções. Tlvez tenh servido de inspirção pr os três jovens norte-mericnos, Whitefield Diffie, Mrtin Hellmn e Rlph Merkle, o construirem em 1976 um sistem de criptogrfi em que o segredo d comunicção é ssegurdo por dus chves, que os comunicntes não precism trocr entre si, como conteceu n historinh do Bob e d Alice. Foi est invenção que inspirou o sistem de criptogrfi RSA. Alice e Bob são persongens fictícios, ms são nomes sistemticmente utilizdos pelos especilists de criptogrfi. É mis interessnte do que flr pens no emissor e receptor, ou pens em A e B. Costum se crescentr eles um terceir persongem, representd n noss históri pelo crteiro, que costum receber o nome de Ev - «Eve», em inglês - e que represent quel que se põe à escut - ou sej, quel que evesdrop". Até à descobert de Diffie, Hellmn e Merkle, comunicção de mensgens cifrds exigi um troc d chve d cifr, como fizemos ns tividdes nteriores e como er feito ns chves de Júlio Césr. Er preciso que Alice e Bob se encontrssem previmente e combinssem um chve que pens eles dois conhecessem. Só isso lhes permitiri, posteriormente, trocr mensgens à distânci sem que Ev, sempre à escut, conseguisse percebê-ls. Assim funcionrm s mensgens secrets desde os tempos de Césr té os tempos modernos, ssim funcionrm espiões, conspirdores e simples mntes. A chve poderi ser simples, ms er sempre necessário que Alice e Bob combinssem tudo ntes, e nem sempre isso er possível. A idéi de Diffie, Hellmn e Merkle é pois revolucionári. Segundo o esquem que propuserm, Alice e Bob começm por cordr em dois números. E estes podem ser públicos, pois mesmo que Ev os consig descobrir não terá como descobrir chve do processo. Cd um deles escolhe um outro número, que mntém secreto. Feits lgums conts, bseds em ritmétic modulr,

12 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 12 mbos chegm um mesmo resultdo: um número que mis ninguém conhece e que será chve de codificção ds sus mensgens. O processo que inventrm é reltivmente simples, embor muito engenhoso, e será mostrdo no qudro bixo. Tudo se pss de form precid com d históri dos dois cdedos. As chves não são trocds, ms cd um cb por poder brir o cofre, sem que o crteiro, o consig. O processo inventdo por Diffie, Hellmn e Merkle mrc o nscimento d criptogrfi com chves públics, que funcionm em conjunto com chves secrets que não precism ser trocds. Bsei-se n ritmétic modulr, que consiste, essencilmente, em trblhr com os restos d divisão inteir por um número determindo, chmdo módulo. Esse processo foi denomindo de congruênci, módulo k, pelo fmoso gênio d Mtemátic Guss, conforme já observmos introdução desse rtigo. Simon Singh, no seu Livro dos Códigos, dá um exemplo que retrt bem o processo mtemático d ritmétic modulr, envolvido nesss chves públics. Os comunicntes, como Alice e Bob combinm nos números que servem: o primeiro de bse pr um potencição e o segundo pr o módulo d congruênci. Digmos que tenhm optdo pelos números 5 e 11. Estrim então se referindo o cálculo de 5 x e d congruênci no módulo 11. (O expoente x seri secreto, à escolh de cd um deles). Alice escolhe 3 pr seu número secreto (expoente d potênci) Alice clcul 5 3 = 125 e, trvés de congruênci módulo 11, ger o número 4, pois 125 dividido por 11 deix resto 4. Alice envi o resultdo, 4, pr Bob. Bob escolhe 6 pr seu número secreto (novmente o expoente d potênci) Bob clcul 5 6 = e, trvés de congruênci módulo 11, ger o número 5, pois dividido por 11 deix resto 5. Bob envi o resultdo, 5, pr Alice Note que, mesmo que esses dois números que eles envirm um o outro, fossem interceptdos, s pessos não terim como sber chve finl do processo. Alice peg o resultdo de Bob, 5, e o seu número secreto, 3, e clcul 5 3 = 125 = 4 (mod 11). 125 dividido por 11 deix resto 4. Bob peg o resultdo de Alice, 4, e o seu número secreto, 6, e clcul 4 6 = 4096 = 4 (mod 11) dividido por 11 tmbém deix resto 4. Vej que Alice e Bob encontrrm o mesmo número, 4, sem que tivessem informdo um o outro os seus números secretos pessois. Esse número seri gor usdo como chve pr composição ds mensgens criptográfics. A congruênci, como foi plicd qui, funcionou extmente como históri dos cdedos e do correio, contd por Crto. Tente fzer com outros números secretos, verifique que você sempre irá obter resultdos iguis. É trvés d criptogrfi que, dirimente, trvés d internet, um lut sempre se process: de envir ddos e de tentr cptr esses ddos (são os fmigerdos hckers). É clro que o tem criptogrfi é muito mis complexo do que mostrmos qui. O que exemplificmos, trvés de chves criptográfics simples, foi pr mostrr relção que existe entre esse tem e ritmétic modulr. É um ssunto bstnte tul, interessnte, e que pode ser usdo em clsses d Educção Básic, relciondo conceitos importntes d Mtemátic, como Operções Inverss, divisibilidde e Funções.

13 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá ) Criptogrfi e clendários: Em que di d semn você nsceu? No sábdo, di 22 de julho de 2006, eu ssisti o progrm Cldeirão do Huck, d Rede Globo de televisão qundo, num cert prte do progrm, preceu um rpz de São Pulo que foi presentdo como o brsileiro possuidor d melhor memóri. Ele representri o Brsil num cmpeonto mundil de memorizção. Esse rpz, lém d proez de um memóri bem treind, mostrou um truque que surpreendeu todos: ele er cpz de descobrir o di d semn correspondente um dt qulquer que s pessos escolhessem. O progrm, muito bem produzido, colocou no telão um softwre que, pós pesso ter escolhido um dt qulquer, mostrv o clendário do mês e do no escolhidos, destcndo o di menciondo pel pesso. O rpz, com um vend colocd nos olhos, certou todos. N entrevist que deu o presentdor do progrm, o rpz comentou que ess tividde não se trtv tnto de memóri, ms sim de um cálculo que ele efetuv e que envolvi o número 7. Lembrei que já tinh visto vários truques similres e que n Internet existem diversos sites com softwres onde você digit um dt qulquer e imeditmente prece o di d semn correspondente. Algums clculdors finnceirs tmbém têm progrms prontos (função clendário ) que fzem o mesmo. O que me ocorreu n hor é que, normlmente, justifictiv do método usdo não é dd. As pessos seguem certs regrinhs decords e conseguem descobrir os dis d semn desejdos, que são normlmente dts de nscimento, csmento etc. Após lgum pesquis e com fundmentl jud do meu filho Vinícius, presento qui um desss regrinhs, compnhd de su justifictiv mtemátic. Aos professores informo que é mis um excelente tividde pr sl de ul, envolvendo novmente ritmétic modulr (congruênci módulo 7). Vejmos regr prátic, lguns exemplos e, finlmente, explicção. O procedimento que escolhemos funcion pr dts entre 1900 e 2399 (devido um prticulridde dos nos bissextos termindos em 00 ). Com lgums modificções, contudo, pode ser dptdo pr tender quisquer dts. 1) Clcule quntos nos se pssrm desde 1900 té o no em que você nsceu. Por exemplo, se você nsceu em 1980, irá notr 80. Vmos chmr ess quntidde de A. 2) Clcule quntos 29 de fevereiro existirm depois de Pr isso, bst dividir por 4 o vlor A, sem considerr o resto d divisão. Vmos chmr ess nov quntidde de B. 3) Considerndo o mês do nscimento, obtenh o número ssocido ele, que está n tbel logo bixo. Procure o mês e note o número que está o ldo dele. Vmos chmr esse número de C. Tbel dos meses Jneiro 0 Julho 6 Fevereiro 3 Agosto 2 Mrço 3 Setembro 5 Abril 6 Outubro 0 Mio 1 Novembro 3 Junho 4 Dezembro 5

14 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 14 4) Considere o di do nscimento (x). Clcule x 1, que vmos chmr de D. 5) Some gor os qutro números que você obteve ns etps nteriores (A + B + C + D). Divid ess som obtid por sete (7) e verifique o vlor do resto dess divisão. 6) Finlmente, procure esse resto n tbel seguir. Você terá o di d semn do seu nscimento ou de qulquer outr pesso que queir descobrir. SEGUNDA-FEIRA 0 SEXTA-FEIRA 4 TERÇA-FEIRA 1 SÁBADO 5 QUARTA-FEIRA 2 DOMINGO 6 QUINTA-FEIRA 3 Vejmos um exemplo. Vmos imginr um pesso que tenh nscido em 16 de fevereiro de Qul foi o di d semn? 1) 18 ( ), logo, A = 18 2) 18:4 = 4 (desconsidere o resto), logo, B = 4 3) O mês é Fevereiro, então C = 3 (ver n tbel) 4) x = 16 (di do nscimento), logo, D = 15 (x 1) 5) Somndo os qutro números, teremos = : 7 = 5 e resto 5. N tbel o 5 é um SÁBADO. Só pr conferir, fomos procurr um clendário de 1918, destcndo o mês de fevereiro. Vej que o di 16 foi relmente um SÁBADO. Interessnte, não? Justifictiv mtemátic: Fevereiro D S T Q Q S S Fto número 1. O lgoritmo (regrinh) que foi montdo prtiu do fto de que o di 1º de jneiro de 1900 foi um segund-feir (0, n tbel). Todos os pssos que form colocdos n regr prátic vism determinr o deslocmento, n seqüênci de dis d semn, que dt procurd tem em relção àquel segund-feir, 01/01/1900, que é nosso ponto de prtid. Fto número 2. Cd no de 365 dis vê seu primeiro de jneiro fstdo de um posição pr direit no ciclo dos dis d semn (segund, terç, qurt, quint, sext, sábdo, domingo, segund, etc.) em relção o di-d-semn em que ciu o primeiro de jneiro do no nterior. Isto porque 365 dividido por 7 deix resto 1. Qundo pesso fz diferenç entre o no de seu nscimento e o no 1900, está descobrindo quntos fstmentos, ou deslocmentos, ess dt primeir sofreu em relção o àquele 01/01/1900. Qundo descobrimos, n fse seguinte, quntidde de nos bissextos (o dividir o resultdo nterior por 4), estmos crescentndo o deslocmento dicionl de mis um cs, no ciclo de dis d semn, pr cd no bissexto

15 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 15 considerdo. Isto porque os nos bissextos fstm o primeiro de jneiro do no seguinte não em 1 cs, ms em 2, já que 366 deix resto 2 qundo dividido por 7. Os dois primeiros pssos do processo servirm pens pr loclizr o di 1º de jneiro do no considerdo, ou sej, té qui pens o ANO d dt desejd foi considerdo. Agor é vez de crescentrmos os deslocmentos gerdos pelo mês e pelo di d dt procurd. Fto número 3 Se todos os meses do no tivessem 28 dis (que ger resto zero o ser dividido por 7), todos os meses terim o seu di primeiro extmente no mesmo di d semn que o primeiro de jneiro do no considerdo. Ms como temos meses com mis de 28 dis, todos esses meses (trnscorridos de jneiro té o mês considerdo) empurrm o seu di primeiro um certo número de css dinte no ciclo dos dis d semn. A tbel crid pr o nosso lgoritmo está relciond à ritmétic modulr, ou sej, à congruênci módulo 7. Vejmos como surgirm os números d tbel. Jneiro é noss referênci, logo não há qulquer fstmento em relção ele próprio (não há qulquer mês ntes dele, empurrndo seu di primeiro pr direit, no ciclo, em relção o próprio 1º de jneiro do no em questão). Por isso, n tbel dd, o ldo do mês de jneiro, temos o número zero. Como o mês de jneiro tem 31 dis e 31 dividido por 7 deix resto 3, esse mês vi empurrr o primeiro di do mês seguinte 3 css pr direit em relção o primeiro de jneiro dquele no. Por isso, o mês de fevereiro recebe o número 3 n tbel. Como fevereiro tem 28 dis e 28 dividido por 7 deix resto 0, esse mês não irá crescentr qulquer deslocmento dicionl o mês seguinte. Logo, o primeiro di do mês de mrço cirá no mesmo di d semn que o primeiro de fevereiro dquele no, ou sej, será deslocdo pens ds mesms 3 css pr direit, em relção o primeiro de jneiro dquele no. Por isso, n tbel dd, o mês de mrço tmbém tem o número 3. Como mrço tem 31 dis e 31 dividido por 7 deix resto 3, esse mês vi empurrr os dis do mês seguinte um totl de ( ) css pr direit, já que como num dominó em csct, esses deslocmentos são cumultivos. Por isso n tbel, o mês de bril tem o número 6. Como bril tem 30 dis e 30 dividido por 7 deix resto 2, esse mês vi empurrr os dis do mês seguinte um totl de ( ) css, ms como semn só tem 7 dis, n congruênci módulo 7 o número 8 corresponde o 1 (8 : 7 = 1 e resto 1). Isto é, vnçr oito css no ciclo de dis d semn é o mesmo que vnçr um cs pens. Por isso o mês de mio n tbel tem o número 1. Assim por dinte, justificm-se fcilmente os números que estão o ldo dos outros meses. Os pssos que demos té qui determinrm quntidde de css em que o primeiro di do mês d dt considerd está dinte, no ciclo dos dis d semn, do di primeiro de jneiro de Precismos gor, pr finlizr, determinr quntidde de deslocmentos necessários pr tingirmos o exto di procurdo. Or, se loclizmos o di 1 e queremos loclizr o di x de um determindo mês, precismos ind de um deslocmento correspondente (x 1) pssos. Vej, por exemplo, se dt procurd fosse o di 4 de um determindo mês, terímos ind mis 3 = 4 1 deslocmentos à direit no ciclo de dis d semn. Se o di primeiro dquele mês ciu num terç-feir, por exemplo, o di 4 cirá num sext-feir (que está, evidentemente, 3 css dinte de terç-feir, no ciclo). É clro que som dos qutro números obtidos ns etps do processo terá sempre de ser dividid por 7, pois são sete os dis d semn e o ciclo se repete sempre.

16 Aritmétic modulr e lgums de sus plicções Ilydio P. de Sá 16 Ess tividde, ou brincdeir, ou truque é um outro exemplo interessnte d noss congruênci módulo k, que nesse cso é igul 7. Que tl mis um exemplo? Vmos descobrir em qul di d semn ciu o Ntl do no Abixo todos os pssos do processo. 1) 100 ( ). A = 100 2) 100 : 4 = 25 (nos bissextos). B = 25 3) Mês dezembro, n tbel = 5. C = 5 4) Ntl = di 25, x = 25, logo D = 24 (x 1) Somndo A + B + C + D, teremos: = 154 Clculndo o resto d divisão por : 7 = 22, resto 0. N tbel, temos 0 = 2ª feir. Vejmos o clendário de dezembro de 2000 Dezembro D S T Q Q S S O rpz que compreceu o progrm de TV devi usr ess regr ou outr semelhnte e só teve que decorr tbel dos meses e, é clro, ter fcilidde pr cálculo mentl. Referêncis BRASIL, RPM, Revist do Professor de Mtemátic. Volumes 12 e 45. Sociedde Brsileir de Mtemátic. BUCHMANN, J. Introdução à Criptogrfi. São Pulo: Berkeley, BURNETT, S. & PAINE, S. Criptogrfi e Segurnç: o Gui Oficil RSA. São Pulo: Cmpus, CRATO, N,. Alice e Bob. Expresso / Revist, 22 de Setembro, pp (2001) MARTINI, R. Criptogrfi e Ciddni Digitl. Rio de Jneiro: Ciênci Modern, SINGH, S. O Livro dos Códigos. São Pulo: Record, TERADA, R. Segurnç de Ddos: Criptogrfi em Redes de Computdores. São Pulo: Edgrd Blucher, 2000.