Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil CIV 107. Resistência dos Materiais e Estruturas

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia Civil CIV 07 Resistência dos Materiais e Estruturas Geraldo Donizetti de Paula Jaime Florencio Martins Ouro Preto, Agosto/ 04

2 ALFABETO GREGO Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas Alfa Alfa α Α Vita Beta β Β Gama Gama γ Γ Delta Delta δ Epsilo Èpsilón ε Ε Zeta Dzeta ζ Ζ Ita Eta η Η Tita Theta Θ Iota Iota ι Ι Capa Capa κ Κ Landa Lambda λ Λ Mi Mü µ Μ Ni Nü ν Ν Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ Ômicron Òmicrón ο Ο Pi Pi π Π Rô Ró ρ Ρ Sigma Sigma Σ Tau Tau τ Τ Ípsilon Üpsilón υ Υ Fi Fi φ Φ Khi Khi χ Χ Psi Psi ψ Ψ Ômega Omega ω Ω

3 ALFABETO GREGO Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas Alfa Alfa α Α Vita Beta β Β Gama Gama γ Γ Delta Delta δ Epsilo Èpsilón ε Ε Zeta Dzeta ζ Ζ Ita Eta η Η Tita Theta Θ Iota Iota ι Ι Capa Capa κ Κ Landa Lambda λ Λ Mi Mü µ Μ Ni Nü ν Ν Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ Ômicron Òmicrón ο Ο Pi Pi π Π Rô Ró ρ Ρ Sigma Sigma Σ Tau Tau τ Τ Ípsilon Üpsilón υ Υ Fi Fi φ Φ Khi Khi χ Χ Psi Psi ψ Ψ Ômega Omega ω Ω

4 Capítulo Estática Fundamental. Objetivos da Resistência dos Materiais: É a ciência que estuda as tensões e deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças eternas a eles aplicadas. A Resistência dos Materiais também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos. Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos. Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os fluidos tomam a forma do recipiente em que está colocado..- Histórico da Resistência dos Materiais Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais utilizados pelo homem para construir. As primeiras pontes surgiram de forma natural pela queda de árvores sobre os rios ou vales. Ferro fundido: A fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de.500 a. C. O ferro fundido oida com facilidade. Aço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a,%. Se o teor de carbono da liga for maior do que,% e menor do que 6,67% a liga é chamada ferro fundido. Os gregos Aristóteles e Arquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam, freqüentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras empíricas (baseadas na eperiência) para construir templos e pirâmides. Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas foi perdido durante a idade média. Leonardo da Vinci estudou a resistência de colunas eperimentalmente. Galileu Galilei foi o primeiro cientista a estudar a fleão de vigas. É considerado o pai do método eperimental e da Resistência dos Materiais.. Definições: a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. E.: aço doce (aço de construção), alumínio.

5 b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com pequena deformação. A resistência à tração é diferente da resistência à compressão. E.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz. c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou momentos. d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação. e) Barra - placa bloco Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Eemplo: vigas. Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas dimensões (L b ; L>> h). Eemplos: lajes e cascas. Bloco: quando: L h b f) Eio da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eio que é o conjunto de pontos dos centróides das seções transversais. g) Barra prismática: barra de eio reto e seção transversal constante..4 - Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de resistir às cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, pilares, lajes e fundação. Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em consideração a economia e a segurança..5 Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático. Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no espaço: F 0 F 0 F z 0

6 Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço: F 0 ; M 0 F 0 ; M 0 F z 0 ; M z Apoios Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e três rotações. A função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações nas direções dos movimentos impedidos. Apoios do primeiro gênero Apoios do segundo gênero (ou articulação ou rótula): Retiram dois graus de liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e permitem a rotação. Apoios do terceiro gênero (ou engaste): Retiram três graus de liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e impedem a rotação.

7 4.7 Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio plano Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano O) as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio são três: F 0 ; F 0 ; M 0 Para estas estruturas três casos podem ocorrer com relação à estabilidade e estacidade: o caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio da estática (). A estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável. o caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio da estática (). A estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável. o caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio da estática (). A estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é estável. São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio, então, a viga é duas vezes hiperestática.

8 5 As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio das estruturas hiperestáticas. Além das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como a estrutura se deforma (para impor condições de deslocamento e/ou de rotação). Observação: Casos particulares: A viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaio possui quatro reações e o equilíbrio também é instável..8 Sistema de Unidades Unidades básicas do Sistema Internacional m (metro): para comprimento quilograma (kg): para massa segundo (s): para tempo Unidades de força no SI (unidade derivada) N kg.m/s Sistema inglês polegada in,54 cm pé (foot) ft in 0,48 cm libra 45,59 gramas

9 6.9 Esforços eternos: São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser: a) Concentrados b) Distribuídos Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o peso específico (γ) pela área da seção transversal (A). c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com o tempo. E.: peso próprio de vigas. d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. E.: efeito do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, pontes.

10 .0- Esforços internos: Os esforços eternos produzem esforços internos que são em número de quatro. 7 Força normal (N) Força cortante (V) Momento fletor (M) Momento de torção ou torque (T) Força normal (N) é a força normal (perpendicular) a uma área. A força normal pode ser de tração ou compressão. Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se: Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N N N esfoço eterno e N esforço interno Força cortante (V) é a força que está contida em uma seção transversal.

11 8 Momento fletor (M) é o momento de uma força que produz fleão em uma barra. Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor positivo: Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M M M esfoço eterno e M esforço interno Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor positivo (traciona em baio). Força vertical com o sentido para baio produz momento fletor negativo (traciona em cima). Momento de torção ou torque (T) é o momento de uma força que produz torção em uma barra.

12 9 Não eiste convenção de sinais para o momento de torção.. Eemplos de estruturas a) Treliças: As treliças ideais são formadas por barras, as etremidades são rotuladas e o carregamento atua nas rótulas (chamadas nós). As barras das treliças ideais estão solicitadas apenas por forças normais (tração ou compressão). OBS.: O contraventamento permite que a treliça resista aos esforços horizontais como, por eemplo, a ação do vento. Tirante: elemento estrutural que trabalha à tração. Escora: elemento estrutural que trabalha à compressão.

13 b) Vigas: As vigas estão solicitadas, geralmente, por momento fletor e força cortante. 0 Qualquer parte ou ponto de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. Fazendo-se um corte imaginário na viga acima, os esforços que eram internos tornamse eternos e devem equilibrar a parte recortada. c) Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: Estas estruturas estão solicitadas por força normal, força cortante e momento fletor (torção é igual a zero). No pórtico (a) têm-se cinco (5) reações de apoio, portanto, este pórtico é duas vezes hiperestático. O pórtico (b) também tem cinco reações de apoio, mas possui uma rótula a

14 mais. Impondo-se que o momento fletor nesta rótula é nulo, obtém-se mais uma equação. Desta forma, o pórtico (b) é uma vez hiperestático. As rótulas transmitem força, mas não transmitem momento fletor. c) Grelhas: O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu plano. As grelhas estão solicitadas por momento fletor, força cortante e torção (força normal é igual a zero).. Eemplos de vigas isostáticas

15 . Relação entre momento fletor e força cortante de onde: dm dm + Vd 0 V d F Y 0 V qd (V + dv) 0 dv d q Derivando-se a relação entre M e V em relação a, tem-se: d M d dv d d M q d

16 Capítulo Tensão e deformação. Tensão normal (): Por definição: F (.) A onde: : tensão normal dada em N/m (no Sistema Internacional) F : Força normal aial A : área da seção transversal da barra Por convenção: de tração é positiva e de compressão é negativa. Fazendo ensaios de tração Galileu demonstrou que a resistência à tração de uma barra é proporcional à área da seção transversal e independe do comprimento longitudinal. A tensão normal no Sistema Internacional é dada em Pascais. Por definição Pa N/m. Então: MPa 0 6 N/m. Uma vez que m.000 mm ( m) (.000 mm) m 0 6 mm 6. Então: MPa 0 N / m N / mm Tensão admissível ( onde: R Tensão de ruptura C S Coeficiente de segurança ( C S >,0) adm ou ): É a tensão que está dentro dos limites de segurança. adm R CS

17 4 Definição matemática de tensão normal: A definição de tensão normal dada pela equação (.) somente pode ser usada se ocorre distribuição uniforme das tensões normais na seção transversal. Uma vez que esta condição nem sempre é satisfeita devese usar a definição matemática de tensão normal: A 0 F A df (.) da. Deformação linear específica (ε): Por definição: L ε (.) L ε é adimensional e também conhecida como deformação específica normal, deformação específica ou deformação normal. Fluência: deformação lenta de um corpo submetido a uma tensão constante.. Coeficiente de Poisson (ν): Quando uma barra é tracionada o alongamento longitudinal é acompanhado de contrações laterais, isto é, o comprimento da barra aumenta e a seção transversal diminui. A relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal é chamada coeficiente de Poisson (ν): ν deformação lateral deformaçãolongitudinal ν ε ε O coeficiente de Poisson é adimensional e sempre positivo. O sinal negativo na epressão acima é necessário porque se a deformação ε for positiva ε será negativa, e viceversa.

18 Material isotrópico: é um material que apresenta as mesmas propriedades físicas em todas as direções. Em um material isotrópico: ε ε ν ε ε.4 Diagrama tensão - deformação z ε ε.4. Aço doce (aço usado na construção civil com baio teor de carbono) Em um ensaio de tração sendo a força aplicada gradualmente (sem impacto) os diversos pares F - L são anotados e podem ser colocados em um gráfico. z ' 5 O diagrama tensão deformação permite obter dados sobre o material sem considerar as suas dimensões (área da seção transversal (A) e comprimento longitudinal (L)). Tensão de proporcionalidade (ou limite de proporcionalidade): É a maior tensão que P pode ser aplicada à barra sem que haja perda da proporcionalidade entre a tensão e a deformação (ponto a). Tensão de escoamento (limite de escoamento): Neste ponto, a deformação aumenta Y sem que haja acréscimo de tensão (ponto c). Encruamento: endurecimento, enrijecimento (ponto d). Tensão última: É a maior tensão que a barra suporta. Esta tensão também é conhecida U como resistência do material (ponto e). Tensão de ruptura: (ponto f). R Fase elástica: Nesta fase a deformação desaparece com a retirada da tensão, não há deformação permanente. Esta fase vai do início do carregamento até o ponto b. Fase plástica: Descarregando-se a barra ela não retorna às suas dimensões iniciais, isto é, surgem deformações permanentes (ou deformações plásticas). Esta fase vai do ponto b até à proimidade da ruptura.

19 6 Resiliência: É a energia armazenada por unidade de volume quando uma barra se deforma até atingir o limite de proporcionalidade ( P ). A resiliência faz com que a barra retorne às suas dimensões iniciais quando descarregada. O aço usado na fabricação de molas é um material com alta resiliência. Estricção: Durante o alongamento ocorre contração lateral (estricção), portanto, a área da seção transversal diminui. A estricção somente ocorre nos materiais dúcteis. Obs.: O diagrama tensão deformação convencional não leva em consideração que a área da seção transversal diminui durante o alongamento da barra Alumínio No diagrama tensão deformação do alumínio, não eiste o ponto de escoamento definido como no diagrama do aço doce. Neste caso, a tensão de escoamento Y é obtida tomando-se no eio das deformações o valor ε 0,% e por este ponto traça-se uma reta paralela ao trecho linear do diagrama. Onde esta reta cortar a curva ε tem-se a tensão de escoamento Y Material frágil: Rompe-se com uma deformação relativamente pequena.

20 .4.4 Material elástico-plástico idealizado Lei de Hooke Em 678, Robert Hooke enunciou a lei Ut tensio sic vis (o estiramento é proporcional à força ou F K). Hooke aplicou esta lei na invenção da balança de mola e do relógio sem pêndulo. Thomas Young, em 807, sugeriu que a aplicação da Lei de Hooke nos sólidos deve estabelecer a dependência linear entre tensão e deformação: A tensão é proporcional à deformação, ou seja: onde: tensão normal ε deformação linear específica Ε. ε Ε constante de proporcionalidade e é chamado de módulo de elasticidade ou módulo de Young e tem a mesma dimensão de tensão: N/m 9 No SI o módulo de elasticidade é dado em GigaPascal: GPa 0 N / m 0 Eemplos: Ε aço 00 GPa; Ε liga de titânio 0 GPa; Ε liga de alumínio 70 GPa. Nota: A Lei de Hooke é válida até a tensão de proporcionalidade. N / mm tg α ε tgα ε ; então: Ε tgα

21 Capítulo - Tração e Compressão 8. Alongamento de barras carregadas aialmente A variação do comprimento ( L) de uma barra prismática solicitada por uma força aial constante pode ser calculada usando-se a lei de Hooke: Lembrando que: Ε ε F L e que: ε, tem-se: A L de onde: F A E L L L A epressão acima somente pode ser aplicada no regime de validade da Lei de Hooke, ou seja, para tensões menores ou iguais que P. FL EA Para se calcular o alongamento de barras não prismáticas e/ou solicitadas por força aial variável tem-se que usar o conceito de integral: F()d L F()d d EA() d L 0 EA() L F()d 0 EA()

22 9 Considere-se, agora, uma barra prismática, suspensa por uma etremidade. Deseja-se determinar a epressão do alongamento ( L) da barra produzido pela ação de seu peso próprio. d F() d E A() L L F() d 0 E A() Considerando-se o equilíbrio de forças verticais da parte recortada, tem-se: F() γ.a. Então: L L γ A d E A γ E 0 L d γ E 0 L 0 Portanto: L γl E

23 .- Princípio da superposição dos efeitos 0 Se em uma estrutura estão aplicadas várias forças podem-se calcular os deslocamentos referentes a cada força, como se atuasse separadamente, e somar os resultados correspondentes obtendo-se, assim, o resultado da ação de todas as forças. L. Sistemas estaticamente indeterminados n i Fi L i E A i i Para as estruturas hiperestáticas as três equações de equilíbrio não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio. Além das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações obtidas com as condições de deslocamentos da estrutura..4 Efeitos da variação da temperatura A variação da temperatura pode provocar tensão normal nas estruturas. A tensão normal somente ocorrerá se o deslocamento (movimentação) devido à variação da temperatura estiver impedido. α L t (fórmula empírica) L t onde L t : variação do comprimento da barra devida à variação da temperatura (m) α : coeficiente de dilatação térmica (/ 0 C) L : comprimento inicial (m) t : variação da temperatura ( 0 C) Observação: nos problemas envolvendo variação da temperatura usam-se as fórmulas: α L t ; L t FL L ; EA F A

24 Capítulo 4 Cisalhamento Puro 4. Força cortante (V) A força cortante está contida no plano da área e provoca deslizamento. A força cortante produz tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (tau), que tem o mesmo sentido da força. 4. Cisalhamento Puro Se em uma área atua apenas força cortante, ela fica solicitada por cisalhamento puro. 4. Teorema de Cauch Em um ponto, as tensões de cisalhamento são iguais nos planos perpendiculares entre si.

25 τ F A F τ A + M0 0 τ d d τ d d 0 Portanto: τ τ 4.4 Lei de Hooke no cisalhamento Solicitando-se um material ao cisalhamento puro, pode-se estabelecer a relação entre a tensão e a deformação de cisalhamento. Chamando de τ α γ tg τ ( tg α) γ G tg α, tem-se a lei de Hooke no cisalhamento: τ G γ onde: τ tensão de cisalhamento em N/m G módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento em N/m γ distorção (deformação de cisalhamento) em radianos Relação entre E, G e ν Pode-se demonstrar que: G E ( + ν)

26 4.5 Ligações parafusadas Por hipótese, a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída na seção transversal do parafuso. Na ligação acima tem-se um parafuso que transmite a força de uma chapa para a outra. A tensão de cisalhamento média no parafuso é dada por: τ méd F A onde A é a área da seção transversal do parafuso. Para uma ligação com "n" parafusos deve-se dividir a força F por n e pelo número de áreas de corte (n A ). Geralmente, n A é igual a (uma área de corte) ou igual a (duas áreas de corte). É interessante observar que a força F produz tensão normal () nas chapas e tensão cisalhante (τ) no parafuso.

27 Capítulo 5 Torção Introdução - A torção ocorre: Na ação do vento em edifícios altos Nos eios de transmissão Nos chassis de ônibus, caminhão, avião Momento de inércia à torção ( J ) para barras com seção circular vazada dα r dr α Por definição: onde: da r dα dr J A r da di de re J π r dr d α ri 4 r J 4 r r e i. α 0 π 0 4 J re ri 4 π 4 J r e ri 4 4 ( ). ( π - 0) π 4 4 Ou em função dos diâmetros eterno e interno: J ( d e d ) Particularizando para seções cheias: ( 0) 5. Hipóteses: π 4 d i : J ( d ) As deformações são pequenas; É válida a Lei de Hooke no cisalhamento ( τ G γ ); O momento de torção provoca apenas tensão de cisalhamento ( τ ); As tensões de cisalhamento são perpendiculares e variam linearmente com o raio (esta hipótese é válida somente para eios de seção transversal circular). i Observações: ) A tensão cisalhante tem o mesmo sentido do momento de torção ) A tensão cisalhante máima ocorre na superfície do eio.

28 Tensão e deformação nos eios de seção circular solicitados por momento de torção T γ L B B R T B B R T Onde: : ângulo de torção (giro relativo entre duas seções transversais) γ : distorção (deformação por cisalhamento) na superfície do eio Da figura acima, têm-se as epressões: BB tg γ γ e L R Portanto: γ L tg BB R df τ da e dt τ da r T τ r da ou: τ r T da r A Onde então: A τ é uma constante (por hipótese a tensão cisalhante varia linearmente com o raio), r Por definição: J r da, então: A τ T r A r T τ r De onde se tem a tensão de cisalhamento produzida por momento de torção em barras de seção transversal circular: J da τ T r J

29 6 A maior tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eio: TR τ má J Aplicando-se a Lei de Hooke no cisalhamento ( τ G γ ) na superfície do eio, tem-se: TR R G J L de onde tem-se o giro relativo ( ) entre duas seções transversais: TL GJ 5.5 Torção de barras com seção vazada de parede fina com espessura t constante Linha do esqueleto: linha média da espessura da seção transversal t: espessura Sendo a espessura t constante (não varia ao longo da linha do esqueleto e também invariável ao longo do comprimento longitudinal), pode-se demonstrar que a tensão de cisalhamento média τméd é dada por: τ T méd At e o ângulo de torção () é dado por: TLP 4A G t onde: A: área limitada pela linha do esqueleto P: perímetro da linha do esqueleto L: comprimento longitudinal

30 Capítulo 6 Fleão Simples 6. Diagramas de momento fletor e força cortante em vigas isostáticas 6. Introdução à fleão Fleão é o ato de dobrar, curvar. Quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor ela fica curvada. Neste caso, dizemos que a estrutura está fleionada. O objetivo deste capítulo é obter as tensões e deformações que surgem nas estruturas quando estão solicitadas por momento fletor. A fleão de uma estrutura pode ser pura, simples, oblíqua ou composta Fleão pura A fleão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD da viga abaio. Neste trecho, a força cortante é nula e o momento fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços internos. É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho CD, as forças P são simétricas e desprezamos o peso próprio da estrutura na presença das forças P. Todas as estruturas que vamos abordar neste item e no próimo (fleão simples), possuem, pelo menos, um plano de simetria longitudinal. (a) Viga e carregamento (b) Diagrama de momento fletor (c) Diagrama de esforço cortante Figura 6. - Viga sobre dois apoios e diagramas de esforços internos (M e V)

31 P 8 P z Figura 6. Viga em perspectiva Hipóteses: - O carregamento atua em um plano de simetria longitudinal. Uma vez que queremos obter as tensões que surgem na fleão pura, deve atuar apenas momento fletor, e se o carregamento atuar fora do plano de simetria, a viga ficará solicitada também por momento de torção. - O carregamento é perpendicular ao eio da viga. Se as forças P forem inclinadas teremos componentes horizontais que são forças normais. - Seções planas permanecem planas depois de aplicado o carregamento. Esta hipótese é chamada fundamental e deve-se ao fato que no trecho CD: T V 0. Estes dois esforços provocam a deformação distorção (γ). Uma vez que no trecho CD estes dois esforços são nulos, as seções transversais permanecem planas depois de aplicado o carregamento. 4- A maior tensão que surge na viga é a tensão de proporcionalidade. Portanto, podemos usar a lei de Hooke. 5- O material da viga é homogêneo e os módulos de elasticidade à tração e à compressão são iguais. 6- O carregamento é aplicado sem impacto. Vamos analisar o trecho L - a, onde atua apenas momento fletor. A ação do momento fletor faz com que este trecho da viga se curve (Figura 6.4). O momento fletor é constante neste trecho, sendo assim, a curvatura é também constante. A Figura 6.4 mostra que a parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a parte superior diminuiu. Havendo variação de comprimento L, temos deformação específica ε. Portanto, podemos afirmar que o momento fletor produz tensão normal. Esta tensão provoca a variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra diminuiu de comprimento eiste uma superfície que separa as duas regiões e não tem o seu comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra e está indicada na Figura 6.4 pelo arco CD. O arco CD é dado por: CD r.

32 P P 9 C E D F a L - a a Figura 6. O r O centro da curvatura da superfície neutra. M E C D F M r raio de curvatura da superfície neutra. Figura 6.4 O arco EF, que está abaio do arco CD, é dado por: EF ( r + ) É interessante observar que esta variação linear de EF só é possível se a seção transversal permanecer plana. Por definição: ε L Então, a deformação específica ε de EF é: Ou ε EF L EF CD ε EF CD ( ) r + r r Simplificando-se a epressão anterior, tem-se: ε EF r

33 Utilizando-se a lei de Hooke, E ε, pode-se obter a tensão normal que provocou o alongamento de EF: 0 EF E (6.) r A Figura 6.5 mostra um corte imaginário na viga da Figura 6.. A linha neutra divide, na seção transversal, as regiões tracionada e comprimida. P Linha neutra Intersecção da superfície neutra com a seção transversal L z N Figura 6.5 Vamos impor a condição que: da A 0 Esta condição deve-se ao fato de não eistir força normal atuando na seção transversal. Uma vez que da df, a soma de todas as forças elementares df é igual a zero. Colocando-se a equação (6.) na equação acima, tem-se: E da 0 A r Por hipótese, o módulo de elasticidade E é o mesmo à tração e à compressão, portanto, não varia na área. Sendo assim, a epressão acima pode ser colocada da seguinte forma: E r da 0 A Como o módulo de elasticidade E não pode ser igual a zero e o raio r não pode ser infinito (neste caso não haveria fleão), tem-se que: da 0 A A integral acima é, por definição, o momento estático da área da seção transversal em relação à linha neutra. O momento estático de uma área em relação a qualquer eio que passa pelo centróide é igual a zero. Portanto, a linha neutra passa pelo centróide da área da seção transversal. A outra condição a ser imposta é que: da M A

34 Esta condição deve-se ao fato que da dm e somando-se o momento de todas as forças elementares tem-se o momento fletor aplicado. Ou, em outras palavras, a toda ação corresponde uma reação em sentido contrário. A reação ao momento fletor aplicado é produzida pela soma de todos os momentos das forças elementares. Colocando-se a equação (6.) na equação acima, tem-se: Ou Por definição: A E r E da M r da M A A da I z (6.) O eio tem origem na linha neutra da área da seção transversal, sendo assim, o momento de inércia I z, calculado pela epressão acima, é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eio horizontal do centróide. Colocando-se a epressão acima em (6.), o momento fletor assume a forma: M E r Isolando-se o raio da curvatura r, tem-se: r E I M Substituindo-se a epressão de r na epressão (6.), tem-se: I z z Ou: E E I z M M (6.) I z Portanto, a tensão normal referente ao momento fletor varia linearmente em uma seção transversal. 6.4 Fleão simples A fleão simples ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada por momento fletor e força cortante. Este é o caso dos trechos AC e DB da estrutura da apresentada na Figura 6.. Vamos admitir, a priori, que a tensão normal nos trechos AC e DB, da mesma forma que no trecho CD, varie linearmente.

35 P P f g M f g M + dm A C D f g d B f d g Figura 6.6 O momento fletor varia ao longo do comprimento d. A tensão normal nas seções transversais f-f e g-g são, respectivamente, dadas pelas epressões: M I z e ( ) M + dm A força normal resultante na seção transversal é nula, conforme já visto. Entretanto, temse força resultante em uma área genérica A. A força resultante F (Figura 6.7) é dada pela epressão: e a força resultante F + df dada por: F da A F + df A A I z M da I z ( M + dm) I Z da F + df A L N d A. F d (a) Figura 6.7 (b) Nas três faces eternas do elemento da Figura 6.7(b) não ocorre nenhuma ação. Portanto, no plano de corte e no sentido da força F eistem tensões cisalhantes τ que mantêm o equilíbrio de forças (Figura 6.8).

36 F + df F d F τ d F + df Figura 6.8 O equilíbrio de forças na direção da força F fornece a epressão: ( F + df) 0 F + τ b d onde b representa a largura da seção transversal. Colocando-se as epressões de F e de A M da + τ b d I A Simplificando a epressão anterior, tem-se: z F+ df na equação acima, tem-se: ( M + dm) dm τ b d da 0 A I z I z da 0 O momento fletor e o momento de inércia não variam na área, isto é, dependem apenas da coordenada. Sendo assim, a epressão acima pode ser colocada da seguinte forma: b I dm da d A τ z A integral acima é, por definição, o momento estático da área A em relação ao eio z. A derivada do momento fletor em relação à coordenada fornece a força cortante, então: V Q z τ (6.4) b I z Uma vez que as tensões cisalhantes são iguais nos planos perpendiculares entre si (Teorema de Cauch), a seção transversal também está solicitada por τ (Figura 6.9). Estas tensões τ produzem a deformação distorção (γ) fazendo com que as seções transversais inicialmente planas não permaneçam planas depois de aplicado o carregamento. b d Figura 6.9 Entretanto, em alguns casos, a força cortante desempenha um papel secundário. Sejam, por eemplo, as duas vigas da Figura 6.0. As duas vigas têm a mesma altura h e estão solicitadas pela mesma força cortante (P). Na viga da Fig. 6.0(a), onde L >> h, o momento fletor é predominante, desta forma as seções planas permanecem praticamente planas depois de aplicado o carregamento.

37 4 (a) (b) Figura 6.0 Ensaios em laboratórios mostram que as epressões (6.) e (6.4) podem ser usadas nas estruturas em que: L h 5 Nas estruturas em que a relação acima é verificada são chamadas vigas. OBS.: No cisalhamento puro (Fig. 6.0(b)), conforme já visto, a tensão de cisalhamento é dada por: τ F/A. Na fleão simples (M+V) a tensão cisalhante é dada pela equação (6.4). 6.5 Distribuição das tensões de cisalhamento A força cortante V, o momento de inércia I z e a largura b, no caso geral variam segundo a coordenada. Sendo assim, em uma seção transversal qualquer a tensão de cisalhamento varia apenas em função do momento estático. Seção transversal retangular O momento estático de uma área _ A é dado por: _ Q A Onde é a distância do centróide da área A até o centróide da figura. Uma vez que o momento estático tem variação parabólica a tensão cisalhante também varia segundo uma equação do segundo grau. Nos pontos com coordenadas h/ e h/ a tensão cisalhante é nula. O valor máimo da tensão cisalhante é obtido nos pontos com coordenada 0, isto é, a tensão cisalhante é máima na linha neutra e seu valor é calculado da seguinte forma: τ má V A Figura 6. Gráfico referente à distribuição das tensões e τ

38 5 Seção transversal em forma de " T" e "I" c τ má τ c τ má Figura 6. Gráfico referente à distribuição das tensões e τ 6.6 Módulo elástico de resistência à fleão ( W ) Em uma viga solicitada por momento fletor a maior tensão normal é dada por: Mmá d má I M má I d onde I é o momento de inércia da seção transversal e d é a distância da linha neutra até um ponto localizado na superfície da viga. Por definição: W I d τ Então: má M má W Se a seção transversal não tiver eio de simetria horizontal é evidente que: Dimensão do módulo elástico de resistência à fleão ( W ): [ ] L W W. s i Para vigas com seção transversal retangular, tem-se: W bh W i h s W W s i bh 6 Para vigas de seção transversal circular, tem-se: W s 4 πd W 64 i D W s W i πd Para uma viga com seção transversal em forma de T, com as dimensões mostradas na figura abaio, o momento de inércia em relação ao eio z é igual a 6,5 0 m 4. Então:

39 6 W s 6,5 0 0,7 W,8 0 s m W i 6,50 0,8 W,6 0 i m 6.7 Deformações na fleão Linha elástica: Por definição, linha elástica é a curva na qual se transforma o eio da viga depois de aplicado o carregamento. P o d v d v d linha elástica Onde: v : defleão (flecha) do ponto d (componente vertical do deslocamento do ponto d). d A defleão é uma função da coordenada. Métodos de cálculo Método da integração direta Método da energia Métodos numéricos Outros métodos. Hipóteses Despreza-se a contribuição da força cortante no cálculo das defleões; As defleões são pequenas quando comparadas com as dimensões da viga (base, altura e comprimento); É válida a Lei de Hooke.

40 7 Método da integração direta Para ΕΙ constante e analisando-se o sinal da segunda derivada (considerando-se o sentido do eio das defleões ( v ) positivo para baio), tem-se: E I v () M() Condições de contorno (ou condições de etremidades) v 0 v v 0 Eemplos de defleões (flechas) de vigas isostáticas com ΕΙ constante

41 8 Contra-flecha Durante a construção de uma viga recomenda-se provocar deslocamentos em sentido contrário aos deslocamentos que ocorrerão quando for aplicado o carregamento. Este procedimento é chamado de contra-flecha.

42 Capítulo 7 Solicitações compostas 9 7. Introdução: Nos estudos precedentes foram obtidas as epressões das tensões ( e τ) provocadas pelos quatro esforços internos N, V, T e M : Força normal ( N ): Força cortante ( V ): N A Momento de torção ( T ): V τ (cisalhamento puro) ou A π 4 4 τ onde J ( D e D ) Tr J para barras que tem seção transversal circular) VQ τ (fleão simples: M + V) bi i (Observação: fórmula válida Momento fletor ( M ) : M I Fleão pura: quando uma estrutura fica solicitada somente por momento fletor (M) Fleão simples: quando uma estrutura fica solicitada por M + V Fleão composta: quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor + força normal ou momento fletor + momento de torção Fleo-tração: momento fletor + força normal de tração Fleo-compressão: momento fletor + força normal de compressão Fleo-torção: momento fletor + torção Equação da fleão composta para vigas solicitadas por força normal aial e por momento fletor M z : N A + M z. I z

43 40 Capítulo 8 Flambagem 8. Introdução Barras esbeltas solicitadas à compressão rompem por fleão quando a força atinge um valor crítico (P cr ). Barra esbelta: quando o comprimento longitudinal é muito maior que as dimensões da seção transversal. Para estudar-se o fenômeno da flambagem tem-se que usar a teoria de a ordem. Teoria de a ordem: para calcularem-se os esforços internos esta teoria permite confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas cargas. Teoria de a ordem: tem-se que levar em consideração a posição deslocada da estrutura para calcularem-se os esforços internos. 8. Carga crítica de barras bi-articuladas solicitadas por força aial (caso fundamental) P L v () E I v () M () M () P. v() v P Então: EIv () P.v() ou: EIv () + P.v() 0 Dividido-se a epressão acima por E I, tem-se: P v () + v() 0 EI

44 4 Chamando-se de v P k, tem-se: EI () + k v() 0 equação diferencial de segunda ordem homogênea Solução: v() C. e β, onde: β i k ou: v() A sen k + B cos k A equação da linha elástica v() condições de contorno: A sen k + B cos k tem que satisfazer as ª) para 0 v 0; v 0 A sen k.0 + B cos k.0; 0 A.0 + B. B 0 ª) para L v 0; v (L) 0 A sen k.l; Se A 0 solução trivial não eiste elástica não eiste flambagem. Então: sen k.l 0 kl nπ n {...,-4,-,-,-,0,,,,4,...} A solução é: n,,,4... Lembrando que: k P EI k P EI Utilizamos o menor valor de P, isto é, n : P EI nπ P n π n π P EI L EI L L P cr π EI L equilíbrio. P cr é chamada de carga crítica de Euler. A flambagem é um problema de Formas de equilíbrio: estável, instável, indiferente. 8. Tensão crítica ( cr ) P cr A π EI L A cr π EI L A Por definição, o raio de giração i é dado por: i I A [i m, cm, mm]

45 4 π Ei Então: cr L Chamando de: tem-se: L λ, onde λ é conhecido como índice de esbeltez e é adimensional, i cr π E λ Obs.: No cálculo do raio de giração usa-se o menor momento de inércia. Se ocorrer flambagem, ela acontecerá na direção perpendicular ao eio de menor inércia: i min I min A 8.4 Fórmula de Euler para outros casos de vinculação L fl K L : A fórmula de Euler torna-se geral se considerarmos o comprimento de flambagem P cr π EI e L min fl π E cr onde λ λ L i fl min L K,0 K,0 K 0,7 K 0,5

46 4 8.5 Validade da fórmula de Euler O maior valor que a tensão crítica pode assumir é a tensão de proporcionalidade: cr p Por eemplo: Aço CA 5 : Ε N/m p N/m π E π cr 0.0 λ π.05.0 λ 98, 6 6 λ 0.0

47 44 Capítulo 9 Introdução ao estudo das tensões 9. Introdução Determinar as tensões que atuam nos planos inclinados ( e τ ); Determinar as tensões normais etremas e as direções dos planos onde atuam Determinar a maior tensão de cisalhamento. 9. Análise de tensões em uma barra solicitada por força aial F F O F F F A F F Retirando-se um ponto da barra tracionada: O A sen 90- A sen A τ A A τ F 0 F τ 0. A.A sen.cos(90 ) 0. sen τ. A +.A sen.sen(90 ) 0 τ.sen cos Obs.: ) má ) cálculo de τ má dτ 0 ( sen + cos d sen + cos , 5 0, 5 0 e 5 0 τmín sen( 45 ).cos ( 45 ) τ mín ) d sen cos d cos sen

48 45 τ sen( 5 ).cos( 5 ) má τ má 5º 45º Em uma barra tracionada (ou comprimida) τ é máimo nos planos que formam um ângulo de 45º com OX. 9.- Tensões normais em duas direções perpendiculares O A sen 90- A sen A cos τ A A A F 0 A F τ 0 A sen sen A cos cos 0 sen + cos τ τ A + A sen cos A cos sen 0 ( ) sen cos Estado geral de tensões planas É caracterizado por: ; 0; τ 0 0 z τ z τ z 0 Convenção de sinais: positiva de tração e negativa de compressão; τ positiva quando tende girar o elemento no sentido horário; τ positiva quando possui o sentido indicado na figura abaio;

49 46 τ O τ τ τ A τ A A F 0 A F τ 0 τ A sen A cos τa cos sen τa cos sen 0 sen + cos + τ cos sen (9.) A + A sen cos A cossen τa sen sen + τa cos cos 0 ( ) cos + τ ( sen cos ) τ sen (9.) Eercício: Calcule as tensões e τ nos planos que formam ângulos de 45 o e 5 o com o eio O. Mostre os resultados em um elemento orientado. Para 45 o (ou para 5 o ) têm-se as tensões: o o o o 80sen cos 45 + ( 5)sen 45 cos45 40 MPa τ ( )sen 45 o cos45 o + ( 5)(sen 45 o cos 45 o ) τ 65MPa Para 5 o (ou 45 o ) têm-se: 0 MPa e τ 65 MPa.

50 Circunferência de Mohr As equações de e τ constituem uma equação paramétrica da circunferência. Da trigonometria, têm-se as seguintes equações: sen cos cos sen ( cos ) + ( cos ) sen Com as epressões acima, e τ podem ser reescritas da forma: ou: ou: ( cos ) + ( + cos ) + τ sen + cos + τ sen (a) ( ) sen + τ ( cos ) ( + cos ) τ τ sen τ cos (b) Elevando-se as epressões (a) e (b) ao quadrado e somando-as, tem-se: + + τ sen cos + ( ) cos. τ ( ) sen. τ cos + τ cos sen + τ sen + Donde: + + τ + τ Convenção de sinais para a circunferência de Mohr: τ e τ são positivas quando tendem girar o elemento no sentido horário; é positivo quando o giro é realizado no sentido anti-horário.

51 48 Dado um estado plano de tensão onde as tensões, e τ são conhecidas pode-se construir a circunferência de Mohr. Para esta demonstração, sem perder a generalidade, supõe-se que >. e são as tensões normais etremas e conhecidas como tensões principais é a maior tensão normal e é a menor tensão normal τ O ponto P é o pólo: origem de todos os planos + + τ tg τ tg τ direção do plano onde atua a maior tensão normal direção do plano onde atua a menor tensão normal e são chamadas direções principais. Da circunferência conclui-se que: τ má + τ ou: τ má ; tg τ ( + τ )0,5 má direção do plano onde atua a maior tensão de cisalhamento. τ má, calculada pela fórmula acima, refere-se à maior tensão de cisalhamento do plano das tensões (plano XOY). Pode eistir tensão de cisalhamento maior em outro plano.

52 Elipse de tensões O A sen A Y X A cos F h 0 XA A sen 0 Fv 0 YA A cos 0 sen cos X Y X Y + sen + cos X Y + Elipse de Lamé 9.7 Análise de tensões em três dimensões Pelo teorema de Cauch: τ i j τ j i A Figura (b) apresenta um corte imaginário no elemento da Figura (a), onde X, Y e Z são as componentes de tensão que atuam no plano inclinado BCD nas direções, e z, respectivamente. A direção do plano BCD é determinada com o auílio de um vetor perpendicular a esse plano. Chamando-se de, e z os ângulos que o vetor N forma, N

53 50 respectivamente, com as componentes de tensão X, Y e Z, tem-se os co-senos diretores l, m e n que determinam a direção do vetor N. l cos ; m cos ; n cos z A área do plano BCD é chamada A e as outras três áreas do tetraedro são obtidas em função dos co-senos diretores e de A. O equilíbrio de forças na direção do eio O fornece a epressão: XA Al τ Am τzan 0 Simplificando-se o termo comum A e fazendo-se raciocínio análogo para as direções e z: Tensões principais: X Y τ Z τ z l + τ l + l + τ z m + τ m + τ m + São calculadas determinando-se as raízes da seguinte equação do terceiro grau: z z z n n n ( + + z ) + ( + z + z τ z τ z τ ) + ( z ττzτz + τz + τz + zτ ) 0 A equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são as tensões principais, e do estado geral de tensões. A seguir, é apresentado o método de Cardano para calcularem-se as raízes de uma equação do terceiro grau quando todas as raízes são reais. Dada uma equação da seguinte forma: As três raízes são: onde: X Y + ax X Y + bx + c 0 X Y X Y a / a / a / P cos( / ) Y P cos(40 + / ) 0 sendo: Y P cos(0 + / ) 0

54 5 arccos(q / P ) P e Q são dados por: P a b 9 ; Q 9ab a 7c 54 Sendo, e raízes reais, tem-se as propriedades: z z + z τz τ z τ ( z ττ zτz + τz + τz + zτ ) Círculo de Mohr para tensões em três dimensões Para o caso geral de tensões não eiste representação gráfica. Entretanto, para um elemento solicitado por três tensões principais pode ser feita a representação gráfica. A convenção adotada é: τ O ESTADO HIDROSTÁTICO: τ má P τ P - P P Em todas as direções de um estado hidrostático: P e τ 0

55 5 9.8 Lei de Hooke generalizada τ τ z τ τ z z z τ z τ z Material isotrópico: é um material que possui as mesmas propriedades físicas em todas as direções. Superposição dos efeitos: Aplicando-se a tensão normal (de tração), têm-se as componentes de deformação ε, ε e ε z : ε E ε E ε ε z ν ε ε z νε ε ε z ν ε ε E Fazendo-se raciocínio análogo quando aplicam-se as tensões normais de tração e z e somando as três componentes de deformação têm-se a lei de Hooke generalizada: ε ε ε z E E E [ ν( + )] [ ν( + )] [ ν ( + )] z z z A Lei de Hooke Generalizada é demonstrada para tensões normais de tração. Se alguma tensão for de compressão troca-se o sinal da tensão. Porque não se leva em consideração as tensões de cisalhamento no cálculo da deformação ε? Porque as tensões de cisalhamento provocam distorção γ. τ G γ τ τ τ z z γ ; γz ; γz Etensão da lei de Hooke G G G

56 5 9.9 Dilatação cúbica específica d, d e dz comprimentos iniciais d + d, d + d e dz + dz comprimentos finais d dz d V volume inicial V + V volume final V d d dz V + V V + V V + V d V + V dddz V + V V V + V ( d + d) ( d + d) ( dz + dz) ( d + ε d)( d + εd) ( dz + εzdz) ( + ε ) d ( + ε ) dz ( + εz ) ( + ε + ε + εε ) ( + εz ) ( + ε + ε + ε z ) V + V( ε + ε + ε ) z Portanto: V V ε +ε + ε z (dilatação cúbica específica) Caso particular de um elemento solicitado por três tensões iguais de tração z ε [ ν ( + ) ] ε ε εz ( ν) ε ε εz ( ν) E V V E E ( ν) E V V 0 ν 0 ν ν 0 ν 0,5 válido na fase elástica-linear.

57 54 Capítulo 0 Critérios de escoamento 0. Introdução O objetivo dos critérios de escoamento é informar se um componente estrutural está escoando quando submetido a diferentes solicitações. Por eemplo, uma barra tracionada não estará escoando enquanto a tensão normal estiver abaio da tensão de escoamento Y, sendo que a tensão Y é obtida em ensaios de laboratório usando-se corpos-de-prova de mesmo material que a barra tracionada. Esta comparação entre a tensão solicitante e a tensão Y é o critério utilizado para julgar se uma barra tracionada está escoando. No entanto, pela comparação direta com os ensaios de laboratório, torna-se inconveniente investigar se um componente estrutural solicitado por um estado de tensões mais geral está escoando, uma vez que inúmeras combinações de tensões podem ocorrer. Com base em teorias e ensaios de laboratório, eistem vários critérios para analisar tais casos, são os chamados critérios de escoamento. Um determinado critério pode ser comprovado eperimentalmente para um material e não aceito em um outro com características diferentes. Sendo assim, em função da variedade de materiais usados na engenharia, não se pode adotar um único critério. Um material elástico-plástico idealizado é aquele que segue a lei de Hooke até a tensão de proporcionalidade e, então, inicia-se o escoamento sob tensão constante. Na Figura abaio, representa a tensão de escoamento do material. Y Y Y Material elástico-plástico idealizado. ε No caso de um material elástico-plástico idealizado três casos podem ocorrer quando compara-se a tensão atuante e a tensão de escoamento Y : Se < Y : a barra não está escoando; Se Y : a barra está escoando. Se > : Y corresponde a uma situação física impossível, uma vez que a maior tensão que pode ser aplicada à barra é Y. Uma vez que nem sempre se trabalha com material elástico-plástico ideal estas três situações são reduzidas em duas: Se < Y : a barra não está escoando; Se : a barra está escoando. Y 0. Energia de deformação ( U) O trabalho realizado por uma força eterna em uma estrutura quando esta se deforma é total ou parcialmente convertido em energia de deformação (U).

58 55 p tensão de proporcionalidade f e f p f.e fase elástica Y p f p fase plástica Na fase elástica: W W ; ou: W e U e i ε e 0. Energia específica de deformação (U ) e Por definição, (U ) é a relação entre a energia de deformação ( U) e o volume ( V) : U U e V e Pode-se demonstrar que para um estado geral de tensões, (U ) U e [ + + ν( + + )] é dada por: z z z + ( τ + τ z + τ z ) E G τ τ z τ τ z τ z z z τ z e Uma vez que U é a energia por unidade de volume, pode-se determinar esta energia usando-se as tensões principais, e ) : U e U pode ser dividida em duas partes: onde: e ( [ + + ν( + + )] (a) E e e U U V + e U v é a parte da energia referente à variação de volume e U e d e U d referente à distorção ' + ' Tensão esférica ' Tensões desviadoras

59 56 + onde: + + Portanto: V Dilatação cúbica específica das tensões desviadoras: ε + ε + ε V ε [ ν + ] E ε [ ν( + )] E ε [ ν( + )] E Onde: ( ) ( ν) ( + + ) 0 ε + ε + ε E V ou seja: 0 V V V Tensões desviadoras: distorcem o elemento sem variar o volume; Tensões esféricas: variam o volume sem produzir distorções. ( ν) ( + + ) 0 E Mas U e Determina-se U v por meio da substituição das tensões esféricas na equação (a): e U v [ + + ν( + + ) ] E [ ( ) ( ) ] e U v ν E e d e U e v e v ( ν) ( ) 6E + + U U, assim, colocando-se as epressões de U U U U e d E e e U e v, tem-se: ( [ ( )] ) ν + + ν + + ( + + ) ( + ν ) [( + ) + ( + ) + ( + )] e d e d 6E ( + ν) ( ) ( ) + + ( ) 6E [ ] 6E

60 Critério da máima energia de distorção (von Mises) Critério utilizado para materiais dúcteis. Baseia-se na observação de que o escoamento dos materiais dúcteis é provocado por tensões de cisalhamento. Y 45º Y Y 0 U e dy ( + ) ( + ν) Y Y. Se 6E e d e dy U < U não há escoamento ( + ν) ( ) + ( ) + ( ) 6E ( + ν) Y < Ou: ( ) ( ) ( ) 6E + + < Y (.) Particularizando-se o critério para estados planos de tensão e chamando-se de b as tensões principais não nulas: a e ( a b ) + ( b 0) + ( 0 a ) < Y a ab + b + a + b < Y a a b + b < Y b Y Elipse de von Mises - Y a Y - Y Observação: O critério da máima energia de distorção, equação (.), pode ser colocado em função de tensões não principiais, ou seja, em função de,, z, τ, τ z e τ z. Usando-se o primeiro e o segundo invariantes de tensão, pode-se demonstrar que a equação (.) assume a seguinte forma: + + z z z + ( τ + τ z + τ z ) < Y Particularizando para estados planos de tensão: 0; 0; τ 0; z τ z τ z 0: + + τ < Y Particularizando para cisalhamento puro: τ 0; z τ z τ z 0, tem-se: τ < Y τ Y <

61 Critério da máima tensão de cisalhamento (Tresca) Usado para materiais dúcteis. Y τ Y Y τ má < Y < Y < Y τ τ má Y Y Particularizando o critério de Tresca para o estado plano de tensões ( a e b tensões principais não nulas). b b Y Y - Y Y a - Y Y a - Y - Y (a) Heágono de Tresca (b) Comparação entre os dois critérios 0.6 Critério da máima tensão normal (Rankine) Usado para materiais frágeis. Para que não ocorra ruptura: < U. Ou: < U, onde: U tensão última 0.7 Critério de Mohr Usado para materiais frágeis. envoltória de Mohr zona sem ruptura τ zona de ruptura zona de ruptura

62 Critério de Mohr-Coulomb É o mais usado na Mecânica dos solos. Baseia-se no fato de que os solos rompem por cisalhamento. A envoltória de Mohr é substituída pela reta de Coulomb. τ reta de Coulomb (resistência ao cisalhamento dos solos) φ ângulo de atrito c coesão τ τ tg φ τ zona sem ruptura c c τ c + tg φ φ φ zona sem ruptura φ φ (a) solo coesivo (b) solo não coesivo Interpretação do critério de Mohr-Coulomb: Impõe-se uma reta tangente ao círculo de Mohr correspondente às tensões normais etremas ( e ). Calcula-se um ângulo α para que isto ocorra e compara-se com o valor do ângulo de atrito φ: se α < φ: não vai haver ruptura; se α φ o elemento está na iminência da ruptura; se α > φ o elemento vai romper. τ τ - r φ r α L c tg φ L c tg φ (a) (b) r Da figura (b) acima, tem-se a epressão: sen α L r Ou: sen α Ou ainda: c tgφ ( )tgφ sen α c ( + )tgφ

63 ANEXO 60 Ι Propriedades de áreas planas Ι. Momento estático (Q): Seja a área A situada no plano YOZ. Sendo e z as coordenadas de um elemento de área da, o momento estático da área A, por definição, é dado por: Dimensão de Q: [ L ] O momento estático de uma área, dependendo da posição do sistema de referência, pode ser positivo, negativo ou nulo. Ι. Centróide: Por definição as coordenadas do centróide ( z ; ) de uma área são dadas por: Observação: o momento estático de uma área finita em relação a um eio que passa pelo centróide é nulo.

64 Ι. Momento de inércia (Ι): Por definição: 6 O momento de inércia de uma área é sempre positivo. Dimensão de Ι : [ L ] 4 Teorema dos eios paralelos (ou teorema de Steiner): O momento de inércia de uma área em relação a um eio de seu plano é igual ao momento de inércia em relação a um eio paralelo que passa pelo seu centróide acrescido ao produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eios.

65 6 Resumo das equações de M() e V() dos carregamentos mais usados na Engenharia Carregamento M () V () M 0 P P q q q 6L q L q q + 6L q q + L BIBLIOGRAFIA BEER, F. P. & JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais McGraw-Hill.98. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais 7 a ed. Prentice Hall PFEIL, W. & PFEIL M. Estruturas de Aço Dimensionamento Prático LTC Editora POPOV, E. P. Resistência dos Materiais Prentice Hall SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural v.. Editora Globo. 97. TIMOSHENKO, S. P. & GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos LTC Editora. 98.