EXPERIÊNCIAS PEDAGÓGICAS SIGNIFICANDO A FORMAÇÃO INICAL DE PROFESSORES: O CASO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

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1 EXPERIÊNCIAS PEDAGÓGICAS SIGNIFICANDO A FORMAÇÃO INICAL DE PROFESSORES: O CASO DA Resumo Apresentamos uma experiência vivida por docentes e acadêmicos do curso de Matemática Licenciatura de um Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do RS. Nesta analisamos o processo de aprendizagem da equação do 2º grau por alunos do 8º ano de uma escola pública. A experiência foi organizada para (re)significar o olhar dos acadêmicos sobre os processos de aprendizagem dos alunos. O planejamento didático, a ação pedagógica e a análise das aprendizagens significaram discussões desenvolvidas em componentes curriculares do curso, em uma Prática como Componente Curricular (PPC). Utilizamos o Algeplan e os softwares Equação do 2º grau e Parábola como recursos didáticos. Como fundamentos teóricos utilizamos a teoria dos registros de representação semiótica, de materiais didáticos (MD) e softwares. Da experiência destacamos os recursos didáticos como produtores de registros de representações diferentes que possibilitam transformações e aprendizagens. O olhar dos acadêmicos sobre os alunos nas aprendizagens permitiu aproximar a rotina da sala de aula à formação inicial e, com isso, significar discussões desenvolvidas no curso. Roberto Preussler Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Farroupilha roberto.preussler@sr.iffarroupilha.edu.br Neiva Ignês Grando UPF neiva@upf.br Palavras chave: Formação inicial. Aprendizagem da equação do 2º grau. Representações semióticas. Materiais didáticos X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.1

2 Introdução Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) postulam a necessidade de rever a formação inicial e continuada de professores de matemática. Solicitam aos professores práticas pedagógicas que utilizem materiais didáticos e que orientem os processos de ensino e aprendizagem. Para isso é necessário valorizar as tendências da Educação Matemática que orientam os fundamentos da aprendizagem, os procedimentos metodológicos e a utilização de recursos didáticos. Consubstanciam Grando e Marasini (2012) quando ressaltam a necessidade das escolas avaliarem suas práticas e compreendê las teoricamente. A demanda da Educação Matemática advinda da sociedade complexa, em que os recursos tecnológicos se fazem presentes primeiro na vida individual e social e, depois, na escolar, requer uma formação de professores não mais projetada para um futuro profissional, mas, sim, para uma ação pedagógica presente, atenta e sensível às modificações e aos recursos do contexto. Com olhar qualitativo, acompanhada pelos acadêmicos do 5º semestre da Licenciatura, desenvolvemos uma experiência pedagógica que contemplasse o ciclo compreender, planejar, executar e avaliar situações de ensino e de aprendizagem (BRASIL, 2001, p. 54) proposto pelo Conselho Nacional de Educação (CNE) ao orientar a Prática como Componente Curricular (PCC) às licenciaturas. A experiência teve como objetivo analisar o processo de aprendizagem da equação de 2º grau por alunos do 8º ano do Ensino Fundamental e (re)significar discussões desenvolvidas em componentes curriculares da Licenciatura. Para viver a experiência, buscamos recursos nos materiais didáticos (MD) e softwares. O desafio na escolha do tema equação do segundo grau foi dos acadêmicos. Inicialmente por considerar um conteúdo difícil de ensinar e, também, porque relatavam que na época de estudantes aprenderam de forma abstrata, de um modo convencional, com quadro e giz, sem qualquer recurso auxiliar. Esses motivos desafiaram a construção, a experimentação e a avaliação de uma prática pedagógica que trouxesse uma experiência verdadeira de sala de aula para ser discutida durante a formação inicial. Uma perspectiva interdisciplinar perpassa o planejamento quando se envolvem conceitos relacionados a vários componentes estudados na Licenciatura. Com isso seria X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.2

3 possível trazer a vida da escola para (re)significar algumas aprendizagens acadêmicas. A proposta construída pelos acadêmicos e orientada pelo professor tinha como princípios: valorizar a autonomia intelectual dos alunos; sua ação enquanto sujeitos da aprendizagem; as capacidades criadoras e a utilização de recursos didáticos como provocadores de registros de representações. A seguir apresentamos os fundamentos da teoria dos registros de representação semiótica que orientaram o olhar sobre as aprendizagens. Algumas discussões sobre o uso de materiais didáticos e softwares e, alguns significados construídos pelos acadêmicos ao viver a experiência. 1 Fundamentos da aprendizagem Ao relatarem pesquisa em que analisam percepções e procedimentos dos estudantes da educação básica sobre procedimentos algébricos, Grando e Marasini destacam que é necessário elaborar propostas que consideram princípios pedagógicos fundamentados teoricamente e que despertem no estudante o desejo de aprender matemática. (2013, p. 419). Ao encontro, Raymond Duval descreve que a originalidade de uma abordagem cognitiva deve descrever o funcionamento cognitivo do pensamento matemático. Salienta que, uma teoria deve possibilitar ao aluno compreender, efetuar e controlar ele próprio a diversidade de processos matemáticos que lhe são propostos em situações de ensino. (2003, p. 12). Considerando isso, a prática posicionou os alunos como sujeitos no processo de aprendizagem, de modo a motivá los a aprender. Assim seria possível avaliar a postura do professor (neste caso os acadêmicos) ao dirigir a aprendizagem dos alunos. Os pressupostos da experiência posicionaram o professor como alguém que organiza a situações de ensino e de aprendizagem em que a autonomia na ação do aluno é privilegiada. A teoria dos registros de representação semiótica destaca a variedade de representações utilizadas em matemática além do sistema de numeração, existem as figuras geométricas, as escritas algébricas e formais, as representações gráficas e a língua X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.3

4 natural (DUVAL, 2003). O autor observa que para a compreensão de um objeto matemático é necessária a coordenação de ao menos dois registros de representações semióticas (2003, p. 15). Essa coordenação pressupõe uma transformação do objeto matemático nos dois registros. Descreve que a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de troca a todo o momento de registro de representação (2003, p. 14). Assim, para a compreensão e transposição dos fundamentos teóricos ao planejamento da experiência, com os acadêmicos necessitamos estudá los. A seguir apresentamos alguns dos conceitos teóricos propostos por Duval para entender o desenvolvimento dos conhecimentos (2009, p. 37) que pautaram as discussões acadêmicas. Apresentamos os conceitos de transformação, sistema de representação, coordenação entre registros, diversificação dos registros de representação e objeto matemático. Duval destaca que existem dois tipos de transformação de representações semióticas. Uma chamou de tratamento e outra de conversão. Os tratamentos são transformações que ocorrem dentro de um mesmo sistema de registro, normalmente utilizando procedimentos de justaposição. De um ponto de vista pedagógico, trata se de algumas vezes procurar o melhor registro de representação a ser utilizado para que os alunos possam compreender (2003, p. 15). Já as conversões são transformações de registros que ocorrem com mudança de sistema de representação, mantendo se o mesmo objeto representado. Afirma o autor que a conversão implica a coordenação de registros mobilizados (2003, p. 15). A mudança de sistema pode ocorrer com a transformação do objeto da escrita algébrica para a representação gráfica, por exemplo. Na análise do desenvolvimento dos conhecimentos e de alguns obstáculos encontrados nas representações fundamentais relativas a raciocínios e à aquisição de tratamentos lógicos matemáticos, Duval destaca três fenômenos que aparecem estreitamente ligados (2009, p. 37, grifo do autor). O primeiro deles é o da diversificação dos registros de representação semióticos (2009, p. 37, grifo do autor). Explica que uma posição clássica de diversificação pode ser feita entre a linguagem X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.4

5 natural e as linguagens simbólicas. Elas constituem dois sistemas de registros diferentes. O autor exemplifica para sistemas diferentes: os esquemas, as figuras geométricas, os gráficos cartesianos, ou as tabelas (2009, p. 38). O segundo fenômeno é a diferenciação entre representante e representado (2009, p. 38, grifo do autor), ou seja, é a diferença entre a forma utilizada para a representação e o seu conteúdo. Ressaltamos a complexidade quando Duval afirma que, essa diferenciação entre forma e conteúdo não é adquirida de imediato, independente do registro e do estágio do desenvolvimento. Ela normalmente está associada a compreensão do que uma representação representa e, então, à possibilidade de associar a ela outras representações e de integrá las nos procedimentos de tratamento. (2009, p. 38). O outro fenômeno é o que chamou de coordenação entre os diferentes registros (2009, p. 38, grifo do autor). Para ele, na coordenação entre os registros, obstáculos de não congruência podem ocorrer, dificultando a. Mas, evidencia que os estudos sobre as aprendizagens devem considerar os três fenômenos. Nesse sentido, Duval afirma que, se o objeto é acentuar a compreensão de uma noção matemática, pode ser importante que tais sequências sejam construídas por dois ou três pares de registros [...] (2003, p. 27, grifo do autor). Refere se propondo que, para a compreensão do objeto matemático deve se considerar sua articulação nos dois sentidos da conversão. Para ele a conversão entre registros ocorre com a mudança de registro, por exemplo, um objeto escrito na forma algébrica passa a ser representado na forma gráfica. Para a articulação entre os registros de representação semiótica Duval descreve que A constituição das seqüências depende evidentemente da natureza dos fenômenos que se deseja estudar. Quando se trata da articulação entre dois registros em relação à representação de um objeto matemático, duas ou três condições devem ser efetivamente respeitadas: primeiramente, a seqüência deve ser construída de uma série de tarefas que tratem dos dois sentidos da conversão; em segundo lugar, para cada sentido da conversão deve haver tarefas que comportem casos de congruência e casos mais ou menos complexos de não congruência. (2003, p. 27, grifos do autor). X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.5

6 No desenvolvimento da proposta buscou se organizar a série de tarefas de modo que os recursos didáticos permitissem as transformações do objeto matemático nos diferentes sentidos da conversão. Ao docente e aos acadêmicos o desafio inicial foi entender os conceitos teóricos, visando sua transposição na materialização da experiência. A escolha dos recursos, uma análise sobre eles foi desenvolvida observando suas possibilidades de representação. Esses recursos são apresentados a seguir. 2 Os recursos didáticos Material didático (MD) é qualquer recurso ou ferramenta favorável ao processo de ensino e aprendizagem (LORENZATO, 2006). Para o autor, este auxilia o professor a tornar o ensino mais atraente e acessível e, aumentar o interesse e o envolvimento dos alunos. Como sua função mediadora depende dos objetivos propostos ele serve como o terceiro elemento na relação entre o professor e o aluno. Ao analisar as funções dos MD, Lorenzato sugere algumas questões: Os MD podem desempenhar várias funções, conforme o objetivo a que se prestam, e, por isso, o professor deve perguntar se para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar um assunto, para motivar os alunos, para auxiliar a memorização de resultados, para facilitar a redescoberta pelos alunos? São as respostas a essas perguntas que facilitarão a escolha do MD mais conveniente à aula. (2006, p. 18). Nesse sentido, entende se que a ação na sala de aula depende da escolha dos MD adequados aos objetivos de ensino. A adequação dos MD, as formas de utilização e os desafios provocadores de aprendizagens são planejados pelo professor orientados pelos pressupostos teóricos e metodológicos. Então a escolha dos materiais utilizados na experiência passou por várias discussões. No debate acadêmico, as possibilidades de representações permitidas pelos recursos foram discutidas visando às aprendizagens da equação de 2º grau. Mesmo assim, o MD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não substitui o professor (2006, p. 18). Entende se que o sucesso da atividade também relaciona variáveis subjetivas que estão ligadas ao estado X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.6

7 de cada aluno e, para isso, é necessário uma atividade mental dele com o MD em busca de relações e do objeto matemático. A ação e a reflexão do aluno constituem se o movimento que o leva à abstração das regularidades matemáticas. Assim sendo, os MD devem permitir ações externas de modo que o aluno construa reflexões internas que levam às aprendizagens. Nesse processo, a criatividade, a descoberta e a qualidade das relações produzidas podem levar o aluno a ampliar sua autonomia diante da aprendizagem e, com isso, valorizar sua forma particular de aprender. Passos escreve que [...] os conceitos matemáticos que eles devem construir, com a ajuda do professor, não estão em nenhum dos materiais de forma que possam ser abstraídos deles empiricamente. Os conceitos serão formados pela ação interiorizada do aluno, pelo significado que dão às suas ações, às formulações que enunciam, às verificações que realizam. (2012, p. 81). A concepção de aprendizagem evidenciada pela autora serviu de base para nossa experiência. Colaboram ainda, Rego e Rego quando ressaltam que nas relações com os MD os alunos devem i) ampliar sua linguagem e promover a comunicação de ideias matemáticas; ii) adquirir estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações; iii) desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais; iv) iniciar se as métodos de investigação científica e na notação matemática; v) estimular sua concentração, perseverança, raciocínio e criatividade; vi) promover a troca de ideias por meio de atividades em grupos; vii) estimular sua compreensão de regras, sua percepção espacial, discriminação visual e a formação de conceitos. (2012, p ). Com isso, destacamos a dimensão de possibilidades dos Materiais Didáticos. Vale salientar que, por si só, o MD não garante aprendizagem, mas especialmente, o modo como o planejamento didático conduz a utilização dos MD pode levar às aprendizagens. Os materiais descritos a seguir foram pensados para permitir aos alunos as transformações necessárias ao desenvolvimento dos conhecimentos sobre equação do 2º grau. X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.7

8 2.1 O Algeplan Consiste num conjunto de peças quadradas e retangulares que devem ser relacionadas às equações do 2º grau. Para a experiência, as peças foram confeccionadas em EVA de cores diferentes, as vermelhas significando valores positivos e as cinza os valores negativos. As formas de utilização dependem dos objetivos de ensino e, para objetivos diferentes existem outras versões do Algeplan. No nosso caso, pretendíamos calcular o valor das raízes da equação do 2º grau pelo método da fatoração. A figura 1 expressa o formato do Algeplan utilizado. Figura 1 Formato das peças do Algeplan. Equação do 2º grau é toda equação de incógnita x que pode ser escrita na forma em que a 0 e, a, b e c são os coeficientes da incógnita x (CARAÇA, 1951). Para exemplificar, apresenta se a equação, em que os coeficientes a = 1, b = 6 e c = 5. Na solução de uma equação de 2º grau encontramos as raízes, que, substituídas pela incógnita tornam a sentença verdadeira. Então, para essa equação, temos as raízes 1 e 5, como visualizamos na sequência: Para cálculo das raízes da equação de 2º grau utilizamos o método da fatoração. Consiste em identificar os fatores que multiplicados levam a equação original. Eles são X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.8

9 obtidos a partir da soma dos lados na disposição das peças do Algeplan (figura 2). A disposição das peças do Algeplan varia para cada equação. Assim, fatorar uma equação do 2º grau constitui se em organizar um quebra cabeça. Para o exemplo, é necessário separar as peças que representam a equação x² + 6x + 5 = 0, ou seja: 1 quadrado grande representado x², 6 retângulos representado 6x e, 5 quadrados pequenos representando 5 unidades (figura 2). Todos da mesma cor por tratar se de valores positivos. Figura 2 Representação geométrica da equação x² + 6x + 5 = 0 no Algeplan. A equação x² +6x + 5 = 0 que terá como fatores (x + 5) e (x + 1). Para cálculo das raízes é necessário igualar os fatores a zero. Assim, as raízes da equação x² +6x + 5 = 0 são 5 e 1. Os alunos utilizaram procedimento semelhante para solucionar as equações propostas na experiência. Sugerimos que registrassem as respostas nas fichas das atividades. No segundo momento utilizamos o software Equação do 2º Grau (figura 3) para certificação do cálculo das raízes. X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.9

10 2.2 Os softwares Com a presença das tecnologias da informática no ambiente escolar é necessário um repensar as práticas educativas. Uma reflexão foi desenvolvida com os acadêmicos para entender algumas orientações do uso desses recursos nas aprendizagens em matemática. Naquele momento foi oportuno um afirmação de Miskulin (2006) quando orienta que o ambiente tecnológico, por mais rico e construtivo que seja, por si só, não é suficiente para promover contextos propícios à exploração e construção do conhecimento. Para que a aprendizagem aconteça é necessário um planejamento adequado que estabeleça as formas de utilização da informática e as ações de pensamento dos alunos. Com isso é possível que alunos e professores assumam o papel de sujeitos críticos no processo de aprendizagem. Os softwares Equação do 2º Grau e Parábolas (figura 4) foram pensados para atribuir autonomia ao pensamento dos alunos e, também, como produtores de outras formas de registros semiótico, contribuindo com as aprendizagens. As figuras 3 e 4 apresentam as telas dos softwares. Figura 3 Software Equação do 2º grau. Fonte Software. As representações algébricas das equações do 2º grau foram transformadas em geométricas com o Algeplan. Esse movimento de transformações algébrica e geométrica X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.10

11 foi constante no cálculo das raízes, porém, buscamos ainda representá las graficamente e, para isso, utilizamos o software Parábolas (figura 4). Figura 4 Software Parábolas. Fonte Software. Os PCNs orientam o uso das tecnologias em sala de aula como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem ou como auxiliar no processo de construção de conhecimento e, também, como meio para desenvolver autonomia que possibilite pensar, refletir e criar soluções (BRASIL, 1998). Nesse sentido Gravina e Santarosa explicam que os softwares permitem mudar os limites entre o concreto e o formal (1988, p. 8). Quando relacionam ao contexto da matemática, sugerem que as ações iniciem sobre objetos concretos para que se transformem em esquemas. Esses, logo após num estágio mais avançado são as ações sobre objetos abstratos que se transformam em conceitos e teoremas. Assim, pensamos que os softwares poderiam contribuir com a aprendizagem da equação do 2º grau. Algumas discussões são desenvolvidas a seguir. 3 Apresentação e discussão da experiência Inicialmente os alunos foram orientados ao reconhecimento do Algeplan, suas formas e características (figura 1). Informamos que o quadrado maior representa x², o retângulo representa x, o quadrado menor representa as unidades, e, quanto às cores, as peças vermelhas representam números positivos e as peças cinza números negativos. X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.11

12 Após análise, os alunos representaram as formas geométricas e descreveram suas medidas. Figura 5 Representação das formas do Algeplan por duas duplas. Em seguida, foram orientados a: (1) identificar nas equações de 2º grau os coeficientes numéricos a, b e c; (2) representar as equações com o Algeplan dispondo suas peças em forma de retângulo; (3) observar os fatores formados pela soma da medida dos seus lados uma equação de 1º grau; (4) desenhar a figura (retângulo) que se formou ao dispor as peças do Algeplan e escrever as medidas ao lado; (5) por fim, igualar cada fator a zero e calcular as raízes da equação. Aos alunos foi fornecida uma tabela com equações diferentes (tabela 1). Essa deveria ser preenchida com os valores calculados. Tabela 1 Ficha para registro da atividade desenvolvida ao disporem as peças do Algeplan: identificação dos coeficientes, organização dos fatores e cálculo das raízes. Para identificação dos fatores os alunos necessitavam manusear o Algeplan. Ao obter os fatores da primeira equação: x² + 2x + 1 = 0 um aluno comentou: Mas profe a figura não devia ser um retângulo? Aqui formou um quadrado. Por isso, foi necessário X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.12

13 retomar que todo quadrado é um retângulo (DOLCE e POMPEO, 2005, p. 110). Nesse exemplo, a disposição do Algeplan forma um quadrado e, nesses casos as raízes coincidem. Não percebemos dificuldades dos alunos ao dispor o Algeplan, representar as equações e identificar os fatores. Algumas intervenções foram necessárias na diferenciação das peças vermelhas e cinza, quando haviam valores positivos e negativos, como mostram a figura 6. Figura 6 Alunos representando as equações do 2º grau com o Algeplan. Em seguida deveriam calcular as raízes das equações a partir dos fatores encontrados. Para esses cálculos percebemos algumas dificuldades. A figura 7 apresenta o resultado encontrado por uma dupla. Figura 7 Registro da atividade de cálculo das raízes. Na última atividade do primeiro encontro, o objetivo era observar se os alunos conseguiam resolverem as equações do 2º grau sem o uso do Algeplan. Para isso, sugerimos a utilização de desenhos, escritas ou o que entendessem ser necessário. Nessa atividade dois alunos desenham o Algeplan e os outros realizaram somente cálculos. Isso X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.13

14 nos permitiu uma observação interessante, somente os alunos que fizeram desenhos conseguiram respostas corretas ao calcular as raízes das equações do 2º grau. Outro fator interessante foi a forma como eles desenharam o Algeplan, pois a mesma equação foi representada de forma distinta (figura 8). Com essas ações podemos perceber modos de pensar diferentes e entendimentos individuais. Figura 8 Representação geométrica para a equação x² + 4x +3 = 0. Ao finalizar o primeiro encontro, alguns significados tornaram se presentes na análise da experiência realizada com os acadêmicos: (1) os alunos demonstraram se familiares no manuseio do MD, mesmo não os conhecendo. Com isso (re)significamos alguns (pre)conceitos ao uso de MD; (2) ao perceber que somente os alunos que desenharam a forma geométrica do Algeplan acertaram os cálculos das raízes, os acadêmicos (re)discutem a importância que a representação escrita registro pedagógico exerce na mobilização do pensamento. Ficou evidente que a visualização do registro geométrico na transformação algébrica influenciou na aprendizagem; (3) foi importante perceber que há momentos em que é necessário deixar os alunos interagir e, em outros, são necessárias intervenções dos professores. Isso significou o olhar dos acadêmicos sobre o aluno no momento da aprendizagem, evidenciando a necessidade de um tempo para o aluno analisar, pensar e apreender; (4) as dificuldades de alguns alunos foram percebidas ao realizar os cálculos. Situação não esperada, pois, tratavam se de operações simples que estavam habituados a desenvolver. Esperava se que as dificuldades estivessem relacionadas ao uso do MD que não conheciam, mas, isso não observamos; (5) percebemos também que, devemos valorizar o modo pessoal de cada aluno agir. Observamos as diferenças na representação do pensamento dos alunos ao X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.14

15 realizar as atividades. Com isso ressaltamos a necessidade de valorizar os alunos na sua individualidade e, refletimos com os acadêmicos, o ensino coletivo homogêneo dirigido pelo professor aos alunos no ensino convencional. Ao iniciarmos o segundo encontro, retomamos a atividade anterior e apresentamos o software Equação do 2º grau. Esse calcula as raízes da equação e, com ele, conferimos todos os cálculos realizados no primeiro encontro. Em seguida, apresentamos o software Parábolas. Ele constrói a representação gráfica das equações. Os elementos das funções estudadas algebricamente deveriam agora ser representados no gráfico. A figura 9 apresenta os registros da atividade de um aluno quando desenvolve todo o processo para duas equações: x² 4x + 4 = 0 e x² + 4x 3 = 0. Nesse momento ele atribui sentido às raízes da equação, pois observa e relaciona as raízes aos pontos onde toca o eixo das abscissas (x) no gráfico. Figura 9 Relação entre o Algeplan, Equação de 2º grau e Parábolas. Na sequência da experiência, orientamos os alunos para que utilizassem a linguagem escrita para expressar suas conclusões. Com isso pretendíamos que registrassem suas compressões. Uma questão solicitava a análise relacionando as X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.15

16 atividades do Algeplan ao software Equação do 2º Grau e Parábolas (figura 10). Após as discussões, registraram. Figura 10 Resposta de uma dupla. No segundo encontro também surgiram alguns significados que foram discutidos com os acadêmicos, que são numerados a seguir. Quando se expressam é a mesma coisa, referem se ao objeto matemático estudado (6). Essa expressão permitiu nos (re)significar os fundamentos teóricos da aprendizagem utilizados na experiência. Observamos na avaliação com os acadêmicos que, a compreensão manifestada pelos alunos foi resultado das transformações do objeto matemático em seus diferentes registros. Os acadêmicos percebem que a diversificação dos recursos utilizados, permitindo as diferentes formas de registro semiótico, foram decisivas para isso. Em outra questão, os alunos relacionaram o sinal do coeficiente a com a concavidade da parábola e, assim registram (figura 11): Figura 11 Relação entre o sinal do coeficiente a com a concavidade da parábola. Observamos na resposta dos alunos que relacionam a positivo ao gráfico crescente e a negativo ao decrescente, o que é equivocado. Nesse momento intervimos diferenciando crescente e decrescente de para cima e para baixo e, relacionamos com a concavidade da parábola. Esse fato (7) permitiu com os acadêmicos várias discussões. Evidenciou a necessidade do olhar atento do professor/acadêmicos sobre o que X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.16

17 expressam os alunos nos momentos da aprendizagem. O equívoco observado não representava um erro, mas sim, um não saber de quem estava pela primeira vez estudando esses conceitos. Os acadêmicos percebem que se essa resposta estivesse numa avaliação convencional, provavelmente o aluno receberia um erro por algo que ainda não sabia. Por isso, (re)significamos a necessidade do olhar atento do professor sobre/durante o processo de aprendizagens dos alunos. E, em especial, a necessidade de com seu saber matemático, intervir no momento adequado, a fim de, significar de forma correta os objetos estudados. Esses fatores da experiência fizeram emergir discussões sobre os saberes (8) da matemática e os fundamentos da educação aliados ao cuidado e a sensibilidade que o professor deve desenvolver na prática docente. Em outro momento, os alunos foram instigados a relacionar as raízes da equação do 2º grau calculadas no Algeplan e no software Equação do 2º grau com o gráfico (figura 12): Figura 12 Resposta dos alunos quando relacionam as raízes com o gráfico. Observar que os alunos identificam a representação algébrica que a raiz possui no gráfico, caracterizou segurança (9) dos acadêmicos no fundamento teórico da aprendizagem, especialmente, quando orienta os dois sentidos que as transformações devem possuir. Para significar essa observação, solicitamos aos alunos que multiplicassem os fatores encontrados e observassem o resultado comparando com a equação original (figura 13). X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.17

18 Figura 13 Resposta dos alunos ao analisar o produto dos fatores. Na avaliação final da experiência, os acadêmicos se manifestam potencializam as discussões, especialmente no sentido de desvincular o discurso do senso comum presente inicialmente na experiência (achismos, prejulgamento à escolas, professores e suas práticas...), e voltam se para um discurso/olhar mais acadêmico, relacionando os fundamentos teóricos e metodológicos necessários ao ensino e a aprendizagem da matemática. Além de que, se inserem no contexto dos professores e se (co)responsabilizam com eles. Considerações finais O vivenciar com os acadêmicos experiências pedagógicas que aproximam a sala de aula da educação básica na formação inicial de professores, faz com que (re)signifiquem os componentes curriculares e reflitam criticamente acerca dos fundamentos da aprendizagem necessários à prática docente. A PCC pode tornar se um espaço ímpar para pesquisas na formação inicial. Envolver os acadêmicos e alunos da educação básica em experiências de ensino, testando materiais didáticos e observando processos de aprendizagem podem contribuir com a formação. Percebemos que as reflexões produzidas a partir da prática docente possuem significado especial aos acadêmicos. Permitem (re)avaliar os elementos do planejamento, que inicialmente foram organizados para dar certo e podem ter se tornado incompletos. Observam com segurança os fundamentos teóricos da aprendizagem e as possibilidades dos recursos didáticos para as representações matemáticas. Eles mudam qualitativamente a sua relação com o curso de formação, redirecionando se e comprometendo se com as necessidades dos professores e das X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.18

19 escolas de educação básica. Ao significar o que é ser sujeito da sua aprendizagem, reveem a autonomia do aluno diante da aprendizagem e da postura pedagógica do professor enquanto alguém que permite aprender. Seria grandioso afirmar que a vivência de pesquisa sobre a prática do professor em sala de aula, durante a formação inicial, pode levar os acadêmicos a avaliar seus próprios modos de ensinar. Isso atribui um caráter científico à formação inicial e à prática docente, reinventando a e qualificando a. Referências BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática. Brasília: MEC/SEF, v BRASIL. MEC/CNE/CP. Diretrizes Curriculares Nacionais para Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Parecer CNE/CP nº 9/2001. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. 8. ed. 7ª reimp. v. 9. São Paulo: Atual, DUVAL, Raymond. Registro de representação semiótica e o funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, Sílvio Dias Alcântara (Org.). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. São Paulo: Papirus, p Semioses e pensamento humano registros semióticos e aprendizagens intelectuais (Fascículo I). 1 ed. Tradução: Lênio Fernandes Levy e Marisa Roâni Abreu da Silveira. São Paulo, Editora Livraria da Física, GRANDO, Neiva Ignês. MARASINI, Sandra Mara. Análise da percepção e procedimentos algébricos de estudantes da Educação Básica. Práxis Educativa, Ponta Grossa, v. 7, n. 2, p , jul./dez GRAVINA, Maria Alice; SANTAROSA, Maria Lucila. A aprendizagem de matemática em ambientes informatizados. Disponível em: < Acesso em: 10 nov LORENZATO, Sergio (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. 3. ed. Campinas: Autores Associados, X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.19

20 MISKULIN, Rosana Giaretta Sguerra. Resolução de problemas potencializando processos formativos de professores que aprendem e ensinam em comunidades. Disponível em < Acesso em: 12 dez PASSOS, Carmem Lucia Brancaglion. Materiais manipuláveis como recurso didático na formação de professores de matemática. In: LORENZATO, Sergio (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. 3. ed. Campinas: Autores Associados, p REGO, Rômulo Marinho do; REGO, Rogéria Gaudêncio. Desenvolvimento e uso de materiais didáticos no ensino de matemática. In: LORENZATO, Sergio (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. 3. ed. Campinas: Autores Associados, p X ANPED SUL, Florianópolis, outubro de p.20