Equipe de Elaboração
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- Salvador Covalski Castelo
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2 Governador de Pernambuco Paulo Henrique Saraiva Câmara Secretário de Educação Frederico da Costa Amancio Secretário Executivo de Planejamento e Coordenação Severino José de Andrade Júnior Secretária Executiva de Desenvolvimento da Educação Ana Coelho Vieira Selva Secretário Executivo de Educação Profissional Paulo Fernando de Vasconcelos Dutra Secretário Executivo de Administração e Finanças Ednaldo Alves de Moura Júnior Secretário Executivo de Gestão da Rede João Carlos de Cintra Charamba Gerente de Políticas Educacionais do Ensino Médio Raquel de Queiroz Chefe de Unidade do Ensino Médio Carolina Araújo Equipe de Elaboração Matemática Aldenita Dias Cláudio Barros Edvaldo Braz Elisângela Espíndola Fernando Augusto Ledevande Martins 2
3 APRESENTAÇÃO Prezado (a) professor (a): Elaboramos este material visando subsidiar as atividades dos professores na Ação de Fortalecimento da Aprendizagem no que se refere ao componente curricular de matemática, da rede estadual de ensino de Pernambuco, com foco no ensino-aprendizagem, contemplando os descritores da Matriz de Referência do SAEPE que apresentaram baixo desempenho no ano letivo Apresentamos aqui o material norteador das ações pedagógicas que serão desenvolvidas ao longo desta ação. Sua elaboração teve como critérios a análise dos resultados das avaliações do SAEPE e as propostas apresentadas pelos (as) professores (as) nas discussões proporcionadas pelas formações de Matemática do Ensino Médio. Na área Matemática, este caderno foi preparado de modo a contemplar os cinco eixos da matriz de referência e os dez descritores com os percentuais mais baixos, conforme apresentado em tabela, mais adiante. Dessa maneira, esperamos contribuir com o seu trabalho em sala de aula e também contar com a sua participação para construirmos uma aprendizagem significativa, eficaz e eficiente que os estudantes da rede estadual de Pernambuco merecem. Equipe de Elaboração 3
4 TABELA Descritores (%) atingido D4 Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta. D8 Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação. D11 Resolver problema envolvendo perímetro de figuras planas. (18,5%) (20,7%) (19,3%) (22,2%) D12 Resolver problema envolvendo área de figuras planas. (20,1%) D22 Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes. D23 Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico, ou vice-versa. D26 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial. D27 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial. D29 Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades. (19,4%) (19,0%) (13,6%) (19,5%) (22,9%) Que a tua fala, seja tua prática (Paulo Freire) Que a nossa fala seja refletida nas nossas ações. (Equipe de Matemática) 4
5 EIXO GEOMETRIA Descritor D2 - Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais. Percentual de acerto 18,3% Para resolver questões que contemplam este descritor, os estudantes precisam reconhecer as figuras geométricas (planas e espaciais), conhecer as relações métricas do triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras), ter clareza nos conceitos de cateto e hipotenusa e efetuar os cálculos que as questões necessitam. 1ª QUESTÃO: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de: a) 12 m. b) 30 m. c) 15 m. d) 17 m. e) 20 m. RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D Para resolver a questão é preciso primeiro perceber o triângulo retângulo formado pela escada, a altura da parede (do solo até onde a escada alcança) e a distância no solo (da escada até o edifício). Como em todo triângulo retângulo podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar um de seus lados, quando dispomos dos outros dois. E, além desse teorema é necessário utilizar no seu desenvolvimento as operações de adição, subtração e potenciação. Considerando: a =? (comprimento da escada) b = 8m c = 15m Aplicando com os valores o Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 a 2 = a 2 =
6 a 2 = 289 a = 289 a = 17, logo o comprimento da escada solicitado é 17m. 2ªQUESTÃO: O Pedro e o João estão a «andar» de gangorra, como indica a figura: A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. Qual o comprimento do gangorra? a) 150 cm b) 160 cm c) 180 cm d) 190 cm e) 200 cm RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D Através desta questão é possível que o estudante revise conhecimentos relativos à transformação de unidades de medida de comprimento, Teorema de Pitágoras, Potenciação, Radiciação e Equação do 2º Grau. Mediante a representação da gangorra, o estudante pode identificar que as duas crianças nas posições que se encontram no desenho formam um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a distância entre elas e os catetos são respectivamente, a altura em que se encontra a criança à direita em relação ao solo e à distância da projeção do plano inclinado em relação ao solo. 6
7 Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha tracejada forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão. 1,8 m = 180 cm H 2 = H 2 = H 2 = H H Logo, o comprimento da gangorra é de aproximadamente 190 cm. 3ª QUESTÃO: A figura representa um barco à vela. De acordo com os dados da figura, quais são os valores de x e y? RESOLUÇÃO COMENTADA Nesta questão o estudante precisa perceber que existem dois triângulos retângulos presentes na figura do barco. O menor desses triângulos, com a hipotenusa e um dos catetos com medidas disponibilizadas e o outro cateto y desconhecido. O maior dos triângulos, também possui a hipotenusa e um cateto conhecidos e o outro formado pela soma de x com y. Essa percepção é fundamental para se definir qual incógnita que devemos encontrar primeiro, já que os dois triângulos são retângulos e o uso do Teorema de Pitágoras deve ser usado duas vezes: primeiro para encontrar a = 7
8 (soma de x com y) e depois para encontrar y. Depois, com os valores de a e y, utilizando-se de uma equação de 1º grau chegaremos ao valor de x. Assim, tanto o Teorema de Pitágoras quanto equação do 1º grau foram usados para resolver a questão. Aplicando o Teorema de Pitágoras encontramos y e a. Abaixo, usando equação de 1º grau encontramos o valor de x. SUGESTÕES DE ATIVIDADE Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula : Nesta etapa de escolarização, as relações métricas no triângulo retângulo devem ser consolidadas. O professor deve deixar que o estudante estabeleça as relações por meio de semelhança de triângulos, sem induzir às relações e à nomeação dos segmentos, a fim de evitar a memorização de letras, sem o devido entendimento de como a relação foi obtida. No caso do Teorema de Pitágoras, por exemplo, é importante que seja estabelecida a sua recíproca, ou seja, se os lados de um triângulo retângulo obedecem à relação (a2 = b2+c2), então esse triângulo será retângulo. A compreensão da terna pitagórica (triângulos cujos lados derivam de 3, 4 e 5) deve ser destacada, pois permitirá resolver rapidamente problemas envolvendo o Teorema de Pitágoras. A questão da incomensurabilidade de alguns segmentos deve ser explorada e discutida com os estudantes e deve-se aproveitar para fazer o elo 8
9 com a necessidade de ampliação dos conjuntos numéricos. É importante consolidar a ideia de congruência de figuras planas, a partir da utilização de softwares de geometria dinâmica (GeoGebra, por exemplo), explorando atividades com transformações isométricas. Esse trabalho pode ser articulado ao trabalho com Números, no que se refere aos segmentos incomensuráveis. EIXO GEOMETRIA Descritor D4 - Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. Percentual de acerto 22,6% O estudante, para resolver questões que contemplem o D4 deverá conhecer as figuras espaciais, especialmente os sólidos platônicos, identificando suas principais características vértices, faces e arestas, para assim, a partir desses comprovar o que determina a relação de Euler e aplicá-la corretamente. 4ª QUESTÃO: (SEAPE) Observe a figura abaixo, e diga quantos vértices tem a mesma. A)24 B) 18 C) 12 D) 10 E) 8 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 9
10 Na face frontal vemos 6 vértices. Essa mesma quantidade de vértices encontramos na face oculta (de traz), logo o total de vértices é = 12. 5ª QUESTÃO: Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. (A)28 B) 30 C) 32 D) 36 E) 38 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C Temos que o número de vértices é igual a 20 V = 20. As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja: A = 5 x 20 2 A = 50 De acordo com a relação de Euler, temos que: F + V = A + 2»F + 20 = F = F = 32 O poliedro em questão possui 32 faces. 6ª QUESTÃO: Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. O número de faces, de vértices e arestas desse poliedro é: A) F = 7 A = 15 V = 10 B) F = 7 A = 10 V = 15 C) F = 10 A = 15 V = 7 D) F = 15 A = 10 V = 7 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A 10
11 Na questão não foram fornecidos nenhum dos valores solicitados, mas temos informações suficientes para encontrar as três incógnitas, utilizando-se da resolução de um sistema de equações. Admitindo: V = F = V 3 A =.V V: vértice A: arestas F: faces F = V 3» F = 10 3» F = 7 O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices. A equação dessa reta é: EIXO GEOMETRIA Descritor D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta. Percentual de acerto (20,7%) Através da observação do gráfico, encontramos os valores dos coeficientes angulares representado pela interceptação do eixo x e lineares representado pela 11
12 intersecção do eixo y. Daí, de posse destes valores substituindo na forma da equação da reta y= mx+n encontraremos a representação algébrica.recomendamos no trabalho com questões deste tipo associar as representações algébricas e geométricas. 7ª QUESTÃO: (SAEB- adaptada) Mateus representou uma reta no plano cartesiano abaixo. A equação representada nesta reta é: A) y = x + 1 B) y = x - 1 C) y = x 1 D) y= 2x-1 E)y= -x RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C Os valores m e n são respectivamente coeficientes angular e linear e nesta questão o m= tg 45º. e n= -1 sendo a expressão y= mx+n.sendo assim, m=1 e n= -1, a alternativa C y= x-1 é a que representa a equação da reta. 12
13 EIXO GEOMETRIA Descritor D8 - Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação. Percentual de acerto 19,3 % Para resolver questões relacionadas ao D-8 é necessário que o estudante consiga identificar pelo menos dois dos pares ordenados (x, y) disponíveis na representação gráfica ou avaliar os coeficientes da equação da reta de forma y=mx+n,onde m e n são inclinações angular e n linear respectivamente. 8ª QUESTÃO: O gráfico abaixo mostra uma reta em um plano cartesiano. A equação da reta representada no gráfico é: A) x y 5 = 0 B) x + y 5 = 0 C) x + y + 5 = 0 D) x + y 4 = 0 E) x + y = 6 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B Para encontrar a solução basta usarmos os pares (x,y) que dão origem a reta. Para chegar à alternativa B basta substituir as coordenadas cartesianas (4,1) e (2,3) nas equações dadas e obter como resultado o valor zero. X + y 5 = 0 x + y 5 = = = 0 Em nenhuma das outras equações encontramos resultado zero. 13
14 9ª QUESTÃO: (Prova Brasil)- Um engenheiro quer construir uma estrada de ferro entre os pontos de coordenadas (2,3) e (4,7), devendo a trajetória da estrada ser retilínea. Qual é a equação dareta que representa essa estrada de ferro? A) y= 2x + 3 B) 4x = 7y C) Y = 2x 1 D) Y = + 2 E) Y = + 5 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C Para resolver esta questão pode-se utilizar a fórmula do coeficiente angular da reta, e em seguida aplicar a fórmula da equação da reta a partir de um dos dois pontos, por exemplo. Assim encontramos a equação da reta, conforme mostram os cálculos abaixo. 10ª QUESTÃO: (Saresp). A reta r, representada no plano cartesiano da figura, corta o eixo y no ponto (0,4) e corta o eixo x no ponto ( 2, 0). Qual é a equação dessa reta? A) Y = x + 4 B) Y = 4x + 2 C) Y = x 2 D) Y = 2x
15 E) Y = x - 4 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D Para resolver esta questão também pode-se utilizar a fórmula do coeficiente angular da reta e, em seguida escolhendo-se um dos dois pontos. O ponto por exemplo pode ser usado, e aplicando-se a fórmula da equação da reta, encontra-se a equação da mesma Assim demonstram os cálculos abaixo. SUGESTÃO DE ATIVIDADES Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula: O trabalho relativo às projeções ortogonais deve ser iniciado de forma bastante intuitiva, a fim de facilitar o entendimento por parte dos estudantes e possibilitar, nas etapas futuras, uma eficaz articulação entre geometria e álgebra. Por exemplo, a queda de um giz pode simbolizar a projeção ortogonal de um ponto (giz) no plano representado pelo piso da sala de aula. O professor pode improvisar um jogo de luz e sombra, em uma vareta ou uma folha de papel, para facilitar o entendimento de que existem outras projeções (e começar a distinguir, dentre elas, a ortogonal) e as possibilidades de obtenção de diferentes formas projetadas que uma figura (a vareta, a folha de papel) pode produzir no plano representado pelo piso ou parede da sala. Após a realização desse trabalho, o professor deve levar o estudante a concluir que, para localizar um ponto no plano, são necessárias duas informações (no mínimo). É importante discutir a questão dos referenciais. O estudante deve ser levado a concluir que, para informar a outro aluno onde foi feita uma marcação bem pequena na parede, não basta ele dizer que o ponto está a 60 cm do piso (tomando o piso como referência); é preciso dizer, também, que está a 1 metro da parede do quadro, por exemplo. Em seguida, o sistema de eixos cartesiano deve ser retomado e a representação de pontos, por meio de suas coordenadas, aprofundada. Nesse 15
16 momento, pode-se retomar o uso do jogo de Batalha Naval e a localização de cidades no mapa, por meio de suas coordenadas geográficas e do uso do GPS. A explicação do termo par ordenado deve ser discutida com o estudante. Por que par? Por que ordenado? (x,y) é o mesmo que (y,x)? O sentido geométrico dos coeficientes da equação de uma reta pode ser facilmente explorado com a utilização de um software que represente (desenhe) a reta a partir de sua equação (usar o software Winplot, por exemplo). Na impossibilidade de se utilizar o software, o estudante deve ser levado a representar diferentes retas em um mesmo plano cartesiano, a partir de equações previamente (e convenientemente) selecionadas pelo professor. O estudante deve ser levado a perceber o efeito do coeficiente angular (se positivo ou negativo) na representação da reta no plano. Deve, ainda, reconhecer que, em retas paralelas, o coeficiente angular permanece constante e que existe uma relação entre os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares. Nesta etapa de aprendizagem, um sistema de equações pode ter sua solução interpretada sob o olhar da geometria; um sistema de duas equações e duas incógnitas pode e deve ser associado ao estudo da posição relativa de duas retas no plano. A existência ou não de soluções desse sistema deve ser interpretada geometricamente e associada ao caso de retas coincidentes, secantes e paralelas. EIXO GEOMETRIA Descritor D29 Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades. Percentual de acerto 19,3 % O estudante deverá ter informações sobre as funções: seno, cosseno e tangente quanto ao domínio e a imagem, além de interpretar dados contidos em tabelas que referenciam os pontos dos gráficos das funções trigonométricas. 16
17 11ª QUESTÃO: Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0, 2pi ]? (A) y =cos x (B) y =sen x (C) y =sen(2x) (D) y =sen2x (E) y =2. senx RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA E No gráfico verificamos que seu ponto de origem é uma característica da função seno, e analisando a imagem verificamos que a mesma sofre uma ampliação do dobro, em decorrência disso a alternativa y= 2 sen x é a correta. EIXO GRANDEZAS E MEDIDAS Descritor D 12 - Resolver problema envolvendo área de figuras planas. Percentual de acerto 16,7 % O estudante deverá reconhecer dentre as figuras planas aquelas cujas áreas poderão ser calculadas diretamente e utilizando-se das formulas encontrar estas áreas. Nas figuras onde não é possível encontrar suas áreas diretamente, o estudante deverá ser capaz de dividir a figura dada, em duas ou mais figuras que 17
18 possibilitem o cálculo de suas áreas para logo após serem somadas ou subtraídas de acordo com o problema apresentado. É importante no trabalho com área das figuras planas, associar o conceito de perímetro. 12ª QUESTÃO: (PUC-RIO 2008). A área da figura abaixo: A) 24 cm 2 B) 30 cm 2 C) 33 cm 2 D) 36 cm 2 E) 48 cm 2 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B Para resolver esta questão, primeiro é preciso perceber que na figura acima não é possível encontrar sua área com um único cálculo, com uma única fórmula. Assim, ele deve identificar pelo menos uma possibilidade para dividir a figura, de modo que possa encontrar as áreas dessas partes e soma-las, obtendo assim a área total da figura dada. Pode-se encontrar nessa divisão da figura duas possibilidades: um triângulo e um retângulo, ou um trapézio e um retângulo. Logo, se mobilizará os conhecimentos de Multiplicação, Adição, Cálculo de Área (trapézio, triângulo, retângulo) para resolver a questão de duas formas diferentes. 1ª Solução: (dividindo a figura em triângulo e retângulo) Área do triângulo: A = = Área do retângulo: A= Área total: Área do triângulo + Área de triângulo retângulo 18
19 2ª Solução: (dividindo a figura em trapézio e retângulo) Área do trapézio: A= Área do retângulo: A= Área total = Área do trapézio + Área do retângulo 13ª QUESTÃO: (UDESC 2010). O projeto de uma casa é apresentado em forma retangular e dividido em quatro cômodos, também retangulares, conforme ilustra a figura. Sabendo que a área do banheiro (wc) é igual a 3m² e que as áreas dos quartos 1 e 2 são, respectivamente, 9m² e 8m², então a área total do projeto desta casa, em metros quadrados, é igual a: A) 24 m 2 B) 32 m 2 C) 44m 2 D) 72 m 2 E) 56 m 2 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C Essa questão é de Lógica, não envolve grandes cálculos. 19
20 O objetivo da questão é descobrir as medidas dos lados do retângulo maior. Nesse tipo de questão a base é sempre a menor célula, o WC (o banheiro). 1- A área do WC =1 x 3 ou 3 x o quarto 2 tem uma das paredes igual a do WC, logo não pode medir 3m (3 não é divisor de 8 ), então é 1m. 3 - o quarto 2 mede 1m x 8m, daí, o quarto 1 mede 3 vezes o WC 4-Logo, podemos concluir que o retângulo maior tem largura = = 4m e o comprimento = 8+3 =11m. 5-Assim, a área completa da planta é igual a 4 x 11 = 44 m 2 14ª QUESTÃO: Qual é a medida da área em centímetros, do triângulo abaixo? A) 16 3 B) 8 C) 16 D) 8 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A Na questão o que é solicitado é que encontre a área do triângulo dado. Para encontra-la precisamos da base dada (4 +4) = (8) e da altura h (desconhecida).para determinar a altura podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, considerando a= 8, b= h e c = 4. Assim, a 2 = b 2 + c = h
21 64 = h H 2 = H 2 = 48 H = H = 4 Logo, a área do triângulo é; A = A = A = : 2 A= 16 15ª QUESTÃO: (UFMG 2008). O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura: Então, é CORRETO afirmar que a área do quadrado PQRS é: A) dm² B) dm² C) dm² D) dm² RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C Para resolver a questão, inicialmente precisa-se perceber que o octógono da figura é regular, portanto possui os lados e os ângulos internos congruentes (iguais). 21
22 Utilizando-se dessa propriedade e considerando, como podemos observar que quatro dos lados do octógono que valem 1 dm formam com os quatro vértices do quadrado triângulos retângulos isósceles. Utilizado-se de um desses triângulos, considerando o lado do octógono como a hipotenusa e os outros dois como os catetos (de mesma medida) que chamamos de a nos cálculos abaixo utilizando o Teorema de Pitágoras obtêm-se o valor de a igual. De onde podemos observar o lado do quadrado que está circunscrito ao octógono regular da figura dada correspondente ao lado 2a +1. Assim, obtemos a área desse quadrado, desenvolvendo o produto notável e fazendo as substituições devidas, chegamos à solução ( ). ( ) ( ) 16ª QUESTÃO: (PUC-RIO) Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a altura. Então a área é: A) 200 B) 300 C) 100 D) 50 E) 30 SOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A 22
23 A questão só fornece o perímetro = 60 e a indicação de que a altura é uma medida desconhecida (que chamaremos de x) e a base é o dobro dessa medida (que chamaremos de 2x). Partindo do valor do perímetro encontramos os lados desse retângulo. Assim: P = x + 2x + 2x + x P = 6x» 60 = 6x» X = 10 é a altura do retângulo, e a base é seu dobro 2x = 2 x 10 = 20. Assim, tendo base e altura podemos calcular a área. A = b x h A = 20 x 10 A = ª QUESTÃO: (UFPR 2010). A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83 cm². Qual é a área do quadrado maior? A) 36 cm² B) 20 cm² C) 49 cm² D)42 cm² E) 64 cm² RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C A figura é composta por três quadrados, todos com as medidas de seus lados desconhecidas. A área total 83 cm² e as medidas 4, 2 e x, são as bases que teremos para responder à pergunta. 23
24 A questão envolve além do cálculo da área do quadrado, redução de termos semelhantes, produtos notáveis, radiciação, fração, multiplicação, adição e subtração. Organizando a soma das áreas dos três quadrados e igualando à 83, temos: x 2 + (x + 2) 2 + ( x + 2 4) 2 = 83 x 2 + (x + 2) 2 + ( x 2) 2 = 83 x 2 + x 2 + 4x x 2-4x + 4 = 83 3x = 83 3x 2 = x 2 = 75 x 2 = x 2 = 25, logo o valor de x é 5, já que só pode assumir valores positivos. O quadrado maior tem lado igual a x + 2, portanto seu lado é 5+2 = 7. Logo a área desse quadrado é: A = L x L A= 7 x 7 = 49 cm 2 EIXO GRANDEZAS E MEDIDAS Descritor D11 Resolver problema envolvendo perímetro de figuras planas. Percentual de acerto 16,7 % Para responder questões relacionadas ao descritor acima é necessário a compreensão do que é perímetro, e o reconhecimento das figuras planas, além de efetuar as operações de adição e multiplicação. Recomendamos que no trabalho com cálculos de perímetros associar ao conceito de área. 24
25 18ª QUESTÃO: André possui um terreno retangular de perímetro 96 m, cujo comprimento é o triplo da largura. Qual é a medida da largura e do comprimento, respectivamente, desse terreno? A) 8,0 cm e 24,0 cm. B) 12,0 cm e 36,0 cm. C) 22,5 cm e 25,5 cm. D) 24,0 cm e 72,0 cm. E) 46,5 cm e 49,5 cm. RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B Perímetro desta figura será a+a+3a+3a=8ª, então 8a=96. Isto implica que o valor de a será a=12m. Largura= a então, L=12m Comprimento=3a, C=3.12=36m SUGESTÃO DE ATIVIDADES Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula: O estudo com as grandezas geométricas, nesta etapa, deve favorecer que o estudante reconheça as diferentes grandezas que descrevem, qualitativamente, os diferentes conceitos ou figuras geométricas e que, nas medições, as grandezas são expressas por um número real, representando, quantitativamente, as unidades de medida apropriadas dessas grandezas. Por exemplo, em um quadrado de lado medindo 4 cm, podemos considerar o lado do quadrado, representado por um segmento de reta, cuja grandeza a ele associada é o comprimento. A unidade de medida adotada é o cm e o número real que expressa quantitativamente essa grandeza é 4. Para estabelecer as fórmulas e determinar a medida da área e do volume de figuras geométricas, é recomendável que o professor retome, ainda que brevemente, o trabalho de composição e decomposição de figuras, já realizado em etapas anteriores, e a planificação de sólidos (área lateral e área total). Ao visualizar que todo retângulo, cuja área é dada por Base x Altura, pode ser dividido em dois 25
26 triângulos, fica claro perceber e formalizar que a área do triângulo é dada por base altura 2. Essa mesma ideia ajuda a calcular a medida da área e do perímetro de figuras planas limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência. Para retomar os estudos sobre área do círculo, de setores circulares e coroas, o professor deve considerar as ideias de ângulo central, comprimento do raio e proporcionalidade, que já vinham sendo relacionadas em anos anteriores, para formalizar os resultados. Por exemplo, metade do círculo, um quarto do círculo (ângulos de 180, 90 ). Além disso, especial atenção deve ser dada ao número p nas fórmulas do comprimento e área do círculo. Embora possa aparecer, a partir da fórmula do comprimento da circunferência (C = 2pR), a expressão p = C 2R, isso não é uma contradição. O professor deve alertar para o fato de que se trata de um valor aproximado para p, já que este é um número irracional (e, portanto, não pode ser escrito como uma razão). Ainda nesta etapa, o professor deve levar o estudante a mobilizar conceitos e propriedades já trabalhados em anos anteriores (como cálculo de áreas e alturas), a fim de torná-lo apto a estabelecer as fórmulas para o cálculo da medida de volumes de prismas e cilindros, a exemplo do que já vinha sendo feito no 9 ano. O recurso à História da Matemática pode ajudar bastante nessa compreensão. EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES Descritor D23 Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico ou vice-versa. Percentual de acerto 22,3 % Esse descritor aborda o conceito de função e suas diferentes representações, enfatizando a relação algébrica e gráfica. O estudante necessita para resolver questões relacionadas ao D23, a este necessita saber que toda representação de função do 1º grau é uma reta inclinada transversal, conseguir representar graficamente e algebricamente. Esse descritor aborda o conceito de função e suas diferentes representações. 26
27 19 ªQUESTÃO: O gráfico a seguir representa a altura (h) de uma planta, dada em centímetros, em função do tempo (t), expresso em meses. A expressão algébrica que representa a função esboçada é: B) H = t + 5 C) H = 2t + 10 D) H = 5t + 10 E) H = 10t + 2 A) H = 5t SOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A Para responder a questão basta observar no gráfico os pontos: (0,0) a origem, onde não contamos o tempo e portanto, não há crescimento; (2,10) _ quando o tempo é dois a altura passa a ser 10. Assim, usando os valores do segundo par ordenado nas expressões dadas como opções encontramos a solução da questão, conforme cálculo abaixo. H = 5 x t H = 5 x 2 H = 10 (quando t = 2, h = 10), logo h = 5t. 20ª QUESTÃO: Em uma promoção de venda de camisas, o valo (P) a ser pago pelo consumidor é calculado pela expressão 27
28 P(x) = - x + 35, onde x é a quantidade de camisas compradas (0 x 20). RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A Para chegar a alternativa correta basta utilizar o ponto x = 0 para encontrar P = 35 e o valor do coeficiente angular (- ) para identificar que a função é decrescente e também utilizar o que diz o enunciado: a função é válida dentro do intervalo de (0 x 20). Assim procedendo identificamos o primeiro gráfico como resposta. 21ª QUESTÃO: Na figura a seguir está representada uma reta num plano cartesiano: Essa reta é o gráfico da função Resposta: Como a reta apresentada passa pela origem do sistema de coordenadas, ela é o gráfico de uma função linear, que tem a forma y = ax. Como o ponto (3, 2) 28
29 pertence ao gráfico, tem-se que essa equação é verdadeira para x = 3 e y = 2. Nesse caso, obtém-se 2 = 3a, ou seja,. Logo, alternativa C. Por outro lado, podemos pensar em situações que envolvam contextos para ser analisados nas diferentes representações. Veja a atividade a seguir. EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES Descritor D26 identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial. Percentual de acerto 20,1 % 22 ª QUESTÃO: Entre os gráficos abaixo, aquele que representa adequadamente a função y= 7 x é: A) B) C) D) E) RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA E 29
30 O gráfico a função A representa uma parábola, função quadrática. O gráfico da função B representa uma reta, função afim. O gráfico da função C representa uma hipérbole, função recíproca. O gráfico da função D é uma reta paralela ao eixo das abscissas, função constante. E finalmente, o gráfico da função E é uma curva com característica com comportamento de função crescente com fator de aumento positivo, portanto, o gráfico da letra E é uma função exponencial. 23ª QUESTÃO: (Vunesp). Certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei, em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine o valor de a. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 30
31 A função exponencial passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048). Substituindo esses pontos na função, temos: SUGESTÕES DE ATIVIDADE Orientações para o ensino: No estudo de funções, ao considerar o modelo linear (f(x) = ax), devem-se evidenciar as ideias de crescimento e proporcionalidade direta. Características dos gráficos da função linear e da função afim devem ser trabalhadas simultaneamente, de preferência com o auxilio de softwares (Winplot ou Geogebra, por exemplo). O estudante deve ser levado a reconhecer que, na função linear, o gráfico passa pelo ponto (0,0) e, na função afim (f(x) = ax + b), a intersecção com o eixo das ordenadas é o ponto (0,b). Deve-se ressaltar o significado de zero da função e, igualmente, devem ser discutidos os significados do coeficiente linear e do coeficiente angular de uma função afim, no que se refere aos seus significados no plano cartesiano. Situações abordando a realidade e o meio social do aluno (conta de luz, preço de estacionamento etc.) podem ser utilizadas para o estudo das funções definidas por mais de uma sentença polinomial do primeiro grau. No estudo da função polinomial do segundo grau, é importante que os alunos compreendam o significado dos principais elementos do gráfico, como zeros, intersecção com o eixo das ordenadas, 31
32 eixo de simetria, concavidade e pontos de máximo/mínimo. Sugere-se que esses conceitos sejam abordados a partir de desafios em que é preciso encontrar um certo ponto de máximo (problemas clássicos de determinação de área máxima, por exemplo). Quanto aos coeficientes, preferencialmente com a utilização de softwares, o professor deve explorar a construção e análise de gráficos, variando os seus valores e discutindo com o estudante as transformações ocorridas. Por exemplo, o estudante deve ser levado a concluir que, ao variar o valor do coeficiente c na representação algébrica y=ax2+bx+c, a parábola sofre translações ou, ainda, que a concavidade da parábola está relacionada com o sinal de a. O vértice da parábola é um ponto importante e merece uma atenção especial para sua determinação ou identificação. É importante, nesse momento, recuperar a ideia de eixo de simetria da parábola; com essa ideia e conhecendo os zeros da função, caso existam, é possível determinar as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo (a abscissa desse ponto é a média aritmética das raízes). Recomenda-se a não apresentação de fórmulas de imediato (muitas vezes, desnecessárias), mas explorar exemplos apropriados que levem o estudante a concluí-las. No que se refere ao estudo da função exponencial, deve-se ressaltar seu padrão de crescimento e levar o estudante a perceber diferenciações entre o modelo de crescimento/decrescimento da função exponencial em relação às funções lineares e quadráticas. Assim como foi feito para a função quadrática, com o auxílio de software, o professor deve estimular o estudante a perceber as transformações sofridas pelo gráfico da função exponencial com modificações nos coeficientes de sua expressão algébrica. Uma articulação natural entre o estudo da progressão aritmética e a ideia de crescimento linear de uma função de domínio discreto deve ser estimulada pelo EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES Descritor D27 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial. Percentual de acerto 18,6% 32
33 24ª QUESTÃO: Observe o gráfico abaixo: Que função esse gráfico representa? a) y = log₂x b) y = -log₂x c) y = 2 x d) y = -2 x e) y = 2x RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A A questão solicita que se estabeleça a relação entre a representação algébrica e a representação gráfica de uma função logarítmica. A função logarítmica representada pelo gráfico é padrão log x com o ponto P (1,0) e crescente de onde podemos deduzir que a base do logaritmo é positivo (2) ilustrado pelo comportamento crescente da função. Daí, podemos concluir que a representação algébrica da função é y = log₂x. 25ª QUESTÃO: Abaixo estão representados dois gráficos: 33
34 De acordo com os gráficos: A) Y = 2x está representado no gráfico 1 B) Y = x está representada no gráfico 2. C) Y = está representada no gráfico 2. D) Y = 2 x está representada no gráfico 2. E) Y = log x está representada no gráfico 2. RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C A opção A diz que o gráfico 1 representa y = 2x, que é uma função de 1º grau, portanto deveria ser uma reta. Não é reta, portanto a afirmação é falsa. A opção B diz que o gráfico 2 representa y = x 2 + 1, que é uma função de 2º grau, portanto deveria ser parábola. Não é parábola, portanto a afirmação é falsa. A opção C diz que o gráfico 2 representa y = log₂x o que é correto, tornando a alternativa verdadeira. A opção D diz que o gráfico 2 representa y = 2 x que é uma função exponencial, mas ele é uma função logarítmica, portanto a alternativa é falsa. A opção E diz que o gráfico 2 representa Y = log x função logarítmica diferente da representada no gráfico 2, portanto a alternativa é falsa. 26ª QUESTÃO: Um automóvel parte da cidade de Monte Verde em direção a cidade de Alegre. Durante as 3 primeiras horas de viagem, ele mantém uma velocidade constante de 80km/h. Daí em diante, começa a aumentar sua velocidade 34
35 até atingir 110km/h e permanece nessa velocidade. Dentre os gráficos abaixo, aquele que ilustra a velocidade do automóvel em função do tempo é RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B Resposta: Do enunciado temos que durante as três primeiras horas o automóvel mantém sua velocidade constante de 80km/h, após esse período sua velocidade vai aumentando até atingir 110km/h, ou seja é crescente, permanecendo nessa velocidade. Diante destes dados, o único gráfico que ilustra a velocidade do automóvel em função do tempo é a alternativa B. 35
36 REFERÊNCIAS INEP. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Matriz de Referencia ENEM. Disponível em PERNAMBUCO. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DE PERNAMBUCO. Matriz de Referencia do SAEPE. Disponível em PARÂMETROS NA SALA DE AULA - MATEMÁTICA (ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO). Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco. Recife, Sites consultados files.gracinhaprof.webnode.com/.../exercicios%20descritor%
37 37
A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y
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