( ) ( ) ( ) Questão 02 Das afirmações abaixo sobre números complexos z

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1 ITA i z z conjunto dos números naturais conjunto dos números inteiros conjunto dos números racionais conjunto dos números reais conjunto dos números complexos unidade imaginária i = conjugado do número z módulo do número z "A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo" Galileu Galilei A \ B = { x x A e x B} [a, b[ = {x a x < b} [ a, b ] = { x ]a, b[ = { x a x b} M m n ( ) conjunto das matrizes reais m n det M P ( determinante da matriz M conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n ( número de elementos do conjunto finito A AB segmento de reta unindo os pontos A e B ABC ângulo formado pelos segmentos AB e BC, com vértice no ponto B k a x n = n n a < x < b} = a + a x + a x ak x k, k Observação Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. Questão Dado z = B) C) D) E) ( ) + i, então 89 z n é igual a n = 89 i i. 6 z= + i = cos + i sen z = cos 4 + i sen 4 = i

2 z = cos6 + isen 6 = 89 Observamos que a sequência (,,,..., ) z z z z é cíclica e seu ciclo é de em. Como 89 = 9 +, temos que 89 n z = + i i+ 9 + i i n= 89 n= n z = 9 = Alternativa B Questão Das afirmações abaixo sobre números complexos z e z I z z z z. II z z = z z. ( ) ( ) III Se z = z cos θ+ i sen θ, então z = z cos θ isen θ. é(são) sempre verdadeira(s) apenas I. B) apenas II. C) apenas III. D) apenas II e III. E) todas. I. (Falso) Desigualdade triangular z z z z z + z II. (Falso) Contra exemplo z = e z III. (Verdadeiro) z = z ( cosθ+ isen θ) z cos( ) sen( ) z cos isen z = = θ + i θ θ+ θ ( ) ( ) cos sen z = z θ i θ Alternativa C Questão A soma de todas as soluções da equação em. B) i. C). D) E). i z + z + iz = é igual a Seja z = a+ bi, com a e b reais, substituindo na equação temos ( a bi) a b i( a bi) = a + abi + b i + a + b + ai + bi = ( ) ( ) a b + ab+ a i = a b = b= a ab + a = a( b+ ) =

3 ( ) a 4a = a = ou 4a = a = ou a = b= = z = i = i a = b= = 4 z = i a = b= = 4 z = i Seja S a soma das raízes S = i+ i i = i Alternativa E a =± Numa caixa com 4 moedas, 5 apresentam duas caras, são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é 7. 8 Questão 4 B) 5. 7 C) 5. 8 Nas 5 moedas de duas caras, temos um total de caras. Nas moedas normais, temos um total de caras e coroas. Nas 5 moedas restantes, temos um total de 5 coroas. Assim, a probabilidade condicional pedida é P( moeda ter coroas \ face observada é coroa) 5 P( moeda ter coroas) 4 5 = = = P( face observada é coroa) Obs. O exercício parece buscar o gabarito (incorreto) 5 5 P = = 5 7 (Sem resposta) D). 5 E). 7 Questão 5 Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n({cc B\A}) = 8. Então, das afirmações abaixo I n B n A é único; ( ) ( ) II n( B) + n( 8 ; III a dupla ordenada ( ( ), ( )) é (são) verdadeira(s) apenas I. B) apenas II. C) apenas III. D) apenas I e II. E) nenhuma. n A n B é única; O conjunto { C C B\ A} é o conjunto das partes de \ Como A B, então n( B\ = n( B) n(, logo n( B) n( = 7. Portanto n B n A é único e igual a 7. I - ( ) ( ) n( B\ B A, ou seja, n( { C C B\ A} ) = = 8, logo ( ) n B\ A = 7.

4 II - O conjunto A pode ter qualquer quantidade de elementos, com a condição do conjunto B ter 7 elementos a mais, portanto n A + n B não tem valor máximo. ( ) ( ) III - Como o conjunto A pode ter qualquer quantidade de elementos e n( B) = n( + 7, segue que o par ordenado ( n( A ), ( ) único. Alternativa A n B ) não é Questão 6 O sistema x + y+ z = a y+ z = b x y 5cz = é possível, a, b, c. 7b B) é possível quando a = ou c. C) é possível quando c =, a, b. 7 b D) é impossível quando a, c. 7b E) é possível quando c = e a. Associemos o sistema à sua matriz completa para escaloná-lo a b 5c Indicando por L, L, L as linhas de matriz, substituímos L por L+ L a b 7 9 5c a Substituímos agora L por 7 L + L a b 5 5c 7b a O sistema será impossível se, e somente se, 5 5c = e 7b a. 5 5c = e 7b a c = e a 7 b. logo o sistema será possível se, e somente se, c ou Alternativa B a = 7 b. Questão 7 Considere as afirmações abaixo I Se M é uma matriz quadrada de ordem n >, não-nula e não-inversível, então existe matriz não-nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula. II Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que ( M M) n, tal que MX = X. det =, então existe matriz não-nula X, de ordem 4

5 cos θ sen θ III A matriz tg θ θ sen sec θ Destas, é(são) verdadeira(s) apenas II. B) apenas I e II. C) apenas I e III. D) apenas II e III. E) todas. π é inversível, θ + kπ, k. I Como M é não-inversível, o sistema linear homogêneo M X = é possível e indeterminado, logo existem infinitas matrizes coluna X que satisfazem o sistema. A matriz N pode ser uma matriz em que suas colunas são soluções deste sistema homogêneo. Observação Em M X =, X é uma matriz coluna e O é uma matriz coluna nula. ( M M) M ( M I) ( M) ( M I) ( M I) II det = det = det det = det = Deste último resultado, segue que existe uma matriz coluna não nula X, tal que ( M I) X = M X X = M X = X. III Como tg θ = sen θ e sec θ Portanto todas são verdadeiras. Alternativa E θ = θ, então a matriz referida é sec cos cos θ sen θ sen θ cos θ cuja inversa é cosθ sen θ sen θ cos θ Questão 8 4 Se é uma raiz de multiplicidade da equação x + x + ax+ b=, com a, b, então a b é igual a 64. B) 6. C) 8. D) 8. E) 7. Seja 4 Px ( ) = x + x + ax+ b 4 P() = + + a + b= a+ b= () P'( x) = 4x + x+ a P a a '() = = = 6 Voltando em () b = 4 ( ) a b = = Observação P`( x ) representa a derivada de Px ( ). Alternativa C Questão 9 O produto das raízes reais da equação 5. B). C). D). E) 5. + = x x x x x+ = x I) x x+ = x x 5x+ 5= Δ= 5 = 5 5

6 x = + ; x = II) x x+ = x+ x x = Δ= + 4= x = + ; x4 = O produto de todas as raízes reais é P = x x x x4 P = 5 Alternativa A Questão Considere a equação algébrica ( x a ) k 4 k =. Sabendo que k = geométrica com a = e soma 6, pode-se afirmar que a soma de todas as raízes é 5. B) o produto de todas as raízes é. C) a única raiz real é maior que zero. D) a soma das raízes não reais é. E) todas as raízes são reais. 4 k x a = ( k ) k = ( x a ) ( x a ) ( x a ) + + = x = é raiz a + a a = () x = é uma das raízes e que (,, ) a a a é uma progressão Seja q a razão da P.G. a =, a = q, a = q e q + q = q = ou q = + q+ q = 6 Lembrando da equação (), temos q = a =, a = 4 e a = 8 Na equação original x + x+ 4 + x 8= ( ) ( ) x x x 5 + = Seja S a soma de todas as raízes ( 5) S = = 5 Alternativa A Questão A expressão x y x y 4e 9e 6e 54e =, com x e y reais, representa o conjunto vazio. B) um conjunto unitário. C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. D) um conjunto com um número infinito de pontos. { + = } x y E) o conjunto ( x y) ( e ) ( e ),. 6

7 4e x + 9e y 6e x 54e y + 6 = ( e x e x ) ( e y e y ) = Completando os quadrados 4 e x 4e x e y 6e y = ( ) ( ) x y ( e ) + ( e ) = x y ( e ) ( e ) + = 9 4 x y Mudança de variáveis e = u, e = v v = e y u = e x Logo, existem infinitos valores possíveis de, x y u v = e, e ( ) ( ) Correspondendo cada um a um par ( x, y ). Logo existem infinitos pares ( x, y ). Alternativa D Questão Com respeito à equação polinomial 4 x x x 6x + = é correto afirmar que todas as raízes estão em. B) uma única raiz está em e as demais estão em \. C) duas raízes estão em e as demais têm parte imaginária não-nula. D) não é divisível por x. E) uma única raiz está em \ e pelo menos uma das demais está em \ = () () () = 4 x = e x = são raízes da equação x x x + 6x = Fatorando 4 x x x + 6x = x x x ( )( )( ) As outras duas raízes vêm da equação x = x =± Alternativa E Questão x = 7

8 m Sejam m e n inteiros tais que n = e a equação 6x + 6y + mx+ ny = representa uma circunferência de raio r = cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm, é igual a 8. B) 4. C). D). 9 E). 9 Da equação da circunferência temos m n 6 x + y + x+ y = m n x + y + x+ y = m n m + x+ + y+ = + n m n C, 7 7 e m + n r = m + n = 87 Como m n = m= n, logo 4 n + n = 87 9 n = 6848 n = 96 n =± 6 e m =± 4 m n Como C, é ponto no segundo quadrante 7 7 m= 4, n = 6 e C, Assim A y C, b b B Pelo Teorema de Pitágoras b = b = + Logo 4 8

9 b h 4 cm S = = = 9 Alternativa D Questão 4 Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a. π B). 6 π C) 4. π D) 5. π E) 7. π π rad 6 π v H = = rad/min 6min 6 πrad π v M = = rad/min 6min Escrevendo as equações horárias π π sm = + t e sh =α+ t 6 π π 6 α sm = sh t =α+ t t = 6 π π π 6α π 6 sm = sh + π t =α+ t + π t = + 6 π π π 6 7 Δ t = t t = = min π π rad 7 Δ sm = vm Δ t = min min 4π Δ s M = rad Alternativa C Questão 5 Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente. Se D é um ponto AB e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD, em cm, é igual a. 4 5 B). 6 5 C). 4 5 D). 4 5 E). 9

10 C 6 cm x B 8 x D x A 8 cm Pelo teorema de Pitágoras x = 6 + ( 8 x) x = x+ x 6x = 5 x = cm 4 Alternativa D Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB. Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é cm, a medida do segmento AE, em cm, é igual a. B) 5. C). D) 5. E). Questão 6 y x y A E B x x Seja BC = x e AE = y D x C SABCD S S BEDC ADE = x ( x y) x = xy = z (,, ) S S S é uma P.A ABCD BEDC ADE SADE SBEDC = SBEDC SABCD xy x y x x y x = xy x + xy = x xy x ( ) ( ) x xy = x Como x

11 y = x Soma da P.A ( x y) x xy x + + = 4x x x + + = 6 6x + 4x + x = x = x = x = cm x y = y = cm Alternativa C Num triângulo ABC o lado AB mede cm, a altura relativa ao lado AB mede cm, o ângulo ponto médio de AB. Então a medida de BAC + BMC, em radianos, é igual a 5 π. B) 4 π. C) π. Questão 7 ABC mede 5º e M é o D) 8 π E) 5 π. ABC + H BC = 8º HBC = 45º HB= HC= cm H C Seja BAC =α e BMC =β tg α=, tg β= tg tg tg ( α+β ) = α+ β tg α tg β + tg ( α+β ) = 5 tg ( α+β ) = π tg ( α+β ) = α+β= 4 Alternativa B A M B Questão 8

12 Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, BC mede 6cm e a bissetriz do ângulo ABC intercepta a circunferência no ponto D. Se α é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e β é a área comum aos dois, o valor de α β, em cm, é igual a 4. B) 5. C) 6. D) 7. E) 8. B 6 C E 5 A D 8 Pelo teorema da bissetriz interna EC 6 EA = Como EA + EC = 8, concluímos que EA = 5, EC = A área pedida é S ABC + S ADB S EAB = S BCE + S EAD No ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Δ BCE, temos 5 EB = e S( BCE) Como ΔEAD ΔBCE, então S( EAD) 5 = S ( EAD) = 5 S( BCE) 5 Portanto, S( BCE) + S( EAD) = 4 Alternativa A 6 = = 9 Questão 9 Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede cm e a aresta da base mede Então o raio da esfera, em cm, é igual a cm.. B). C) 5 4. D). E).

13 V r O r T r O M B A Sejam O e No O ' o centro da esfera e da base da pirâmide. Seja T um ponto de tangência da esfera com face lateral da pirâmide. Δ AO' B (equilátero), OM ' é altura OM= ' = 5. Assim, pelo teorema de Pitágoras no Temos ainda ΔVOT ΔVO' M r r = r = 5 Δ VO' M, temos VM =. Alternativa E Questão Considere as afirmações I Existe um triedro cujas faces têm a mesma medida a = º. II Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, º, 45º, 5º, 5º e 7º. III Um poliedro convexo que tem faces triangulares, face quadrangular, e face pentagonal e faces hexagonais tem 9 vértices. IV A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com vértices é 88º. Destas, é(são) correta(s) apenas II. B) IV. C) II e IV. D) I, II e IV. E) II, III, e IV. I (Falso) O triplo de a = º deveria ser menor que 6º. II (Verdadeiro) Tal ângulo poliédrico existe pois º + 45º + 5º + 5º + 7º < 6º e 7º < º + 45º + 5º + 5º. III (Falso) - F = = A = = V + F = A+ V = A+ F = + 7= 7 IV (Verdadeira) S = V 6º ( ) S = ( ) 6º S = 88º Alternativa C

14 Questão Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não-vazios, tais que ( \ ) ( \ ) A B B A = A. Com A, B e ( A \ B) ( B\ = A, vamos analisar ( B\. Se ( B\, então temos ( B \ A, o que contradiz a afirmativa A = ( A\ B) ( B\, logo ( B\ ) Com B, para ( B\ A ) = é necessário que B A, resultado impossível, pois assim teríamos ( A \ B) logo ( A \ B) = A e com isto A e B seriam disjuntos. Portanto não existem A, B e ( A \ B) ( B\ = A. A =. = A, Questão n Sejam n ímpar, z \{} e z, z,..., z n as raízes de z =. Calcule o número de valores zi zj, i, j =,,..., n, com i j, distintos entre si. Os afixos das raízes n-ésimas da unidade, z, z,..., z n, formam no plano complexo um polígono regular de n lados, com n ímpar, conforme a figura abaixo Z 4 Z Z Z n eixo de simetria Z Z n Z Z n n Z n Z n Z n 5 Os valores z i z j são as distâncias entre os vértices deste polígono. Tomando z como referência, por exemplo, contamos distâncias de z ao demais vértices, considerando-se a simetria da figura. n Questão Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros de história, 4 de biologia e de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos. Seja P a probabilidade pedida P P5 P4 P P = P P = ! P = 55 Questão 4 Resolva a inequação em log ( x x+ 9 ) 5 6 <. 4 log ( x x+ 9 ) 5 6 < 4 log ( 9) 5 x x+ 4 < 4 ( ) ( x x+ ) log5 9 4 < 4 4

15 Como a base da inequação exponencial é maior que, 5 ( x x ) < log + 9 Como a base do logaritmo é maior que, x x+ 9 > 5 x x 6> Logo, S = { x / x> ou x< } Questão 5 Determine todas as matrizes ( ) M M tais que MN NM =, N ( ) M. x x y Sejam M =, z w Se MN = NM então a b N = c d x y a b a b x y = z w c d c d z w ax + cy bx + dy ax + bz ay + bw =, a az + cw bz + dw cx + dz cy + dw, a, b, c, d, b, c, d. ax + cy = ax + bz cy = bz Ora, cy = bz para quaisquer b, c reais implica y = z =.. bx + dy = ay + bw bx = bw x = w. az + cw = cx + dz cw = cx x = w, já obtido 4. bz + dw = cy + dw bz = cy, já obtido anteriormente. y = z = Logo a matriz M é do tipo x y x M = = z w x Assim x M = = x I x, x. Determine todos os valores de m tais que a equação ( ) maiores que zero. m e ( m) ( m)( m) m Questão > garantem duas raízes reais e distintas. m x + mx+ m+ = tenha duas raízes reais distintas e 5

16 m ( m) ( m)( m) 4 + > m > m > ou m < Respeitadas as condições acima, partimos para a condição das raízes x e x serem positivas x > e x+ x > x m + > m e m > m i) m + > < m < m + ii) m > m < m + ou m > De i e ii < m < Do exposto e observando o diagrama, concluímos m m m m, Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6cm e um plano que dista cm de C. Determine a área da intersecção do plano com uma cunha esférica de º em Ω que tenha aresta ortogonal a. Questão 7 C º A C 6 B Desejamos calcular a área do setor AC' B, de ângulo central º e raio AC' = BC'. Aplicando o teorema de Pitágoras no Δ AC' C AC ' = Assim a área do setor AC' B é ( ) 8π π = cm 6

17 Questão 8 Calcule π π π π π π cos sen cos sen cos sen π π B) Usando o resultado do item anterior, calcule sen cos. 5 π π π π π π cos sen cos sen cos sen = Lembrando que cos a = cos a sen a e sen a = sen a cosa π π π π cos cos sen sen = 5 5 π π 5π π cos + = cos = cos = 5 B) Do item anterior temos π π π π π π = cos sen cos sen cos sen π π π π π cos cos = sen cos sen π π Isolando o termo sen cos 5 π π cos cos π π sen cos = 5 5 π sen 5 π π π Desmembrando sen = sen cos 5 π π cos cos π π sen cos = 5 5 π π sen cos π cos π π sen cos = 5 5 π 4sen π π π π e são complementares, assim cos = sen 5 5 Logo sen π cos π = 5 4 Questão 9 Num triângulo AOB o ângulo AOB mede 5º e os lados AB e OB medem cm e cm, respectivamente. A C B. circunferência de centro em O e raio igual à medida de OB intercepta AB no ponto ( ) Mostre que OAB mede 5º. B) Calcule o comprimento de AC. 7

18 B C A 6 sen5º = sen ( 45º º ) = 4 Pela lei dos senos na Δ AOB, temos = senoab = sen OAB sen5º ( ) 6 Dado que =, então 4 6 sen OAB = = sen5º 4 Como OAB é agudo, segue que OAB = 5º B) Do item ( concluímos que OBA = º Como OB = OC ; então BOC = º. Assim AOC = 5º Daí AOC = O AC e portanto, o Δ AOC é isósceles. Logo AC = OC =. Considere um triângulo equilátero cujo lado mede cm. No interior deste triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo. Este círculo tangencia externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam lados do triângulo. Determine o valor de r. B) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos. C) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do centro ao vértice mais próximo. Questão A r O G O O B cm C 8

19 sen º = r r AO r AO = AO = Portanto AG = 4r. Como ( ) 4r = r = cm. AG = h, em que h é a altura do triângulo equilátero, temos B) Sendo S a área pedida ( ) S = 4 π S = ( π) cm 4 C) Chamando de d tal distância e usando o resultado da letra A temos d = r d = d = cm 9

20 Professores Bruno Fraga Lafayete Marcelo Moraes Ney Marcondes Digitação e Diagramação Érika Rezende João Paulo Valdivina Pinheiro Colaboradores Aline Alkmin, Lilian Aparecida, Luis Antônio, Thays Freitas, Filipe Sousa e Mateus Grangeiro Ilustrações Thaís Dourado Vinícius Ribeiro Projeto Gráfico Mariana Fiusa Vinícius Ribeiro Supervisão Editorial José Diogo Valdivina Pinheiro Copyright Olimpo As escolhas que você fez nessa prova, assim como outras escolhas na vida, dependem de conhecimentos, competências e habilidades específicos. Esteja preparado.