Modelagem Automática de Escoamentos em Meios Porosos via Método dos Elementos Finitos

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1 Sumário Modelagem Automática de Escoamentos em Meios Porosos via Método dos Elementos Finitos Mestrando: Bruno Luna Orientador: Paulo Lyra Co-orientador: Ramiro Willmersdorf Seminário de Dissertação - Mestrado/PPGEM - UFPE Fevereiro

2 Sumário 1 2 Equação da Pressão Equação da Saturação 3 Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares 4 Estrutura Geral FEniCS/Dolfin 5 Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico 6

4 Motivação Sumário Gerenciamento de Reservatórios de Petróleo Agilidade na Resposta Métodos Numéricos Programas de Simulação Numérica Codificação Complexa e Demorada Geração Automática do Código Sist. Eq. Lineares Velocidade para Viabilização do Uso Aceleração de Convergência

11 Objetivos Sumário Simulador de Escoamentos Bifásicos Óleo-Água em Meios Porosos Método dos Elementos Finitos (FEM) Domínios Homo- e Heterogêneo Tensores Iso- e Anisotrópicos Automatização do Desenvolvimento Pacotes Disponíveis Publicamente (Fenics/Dolfin) Gerenciamento e Expansão do Código Técnica de Aceleração de Convergência Multigrid Algébrico (AMG) Precondicionador para CG/GMRES

17 Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação 1 2 Equação da Pressão Equação da Saturação 3 Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares 4 Estrutura Geral FEniCS/Dolfin 5 Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico 6

18 Suma rio Motivac a o e Objetivos Formulac a o Matema tica Formulac a o Nume rica Implementac a o Concluso es Equac a o da Pressa o Equac a o da Saturac a o Conceitos Amostra Porosidade Absoluta Matriz Sólida Poros φ= Vp Vt

19 Suma rio Motivac a o e Objetivos Formulac a o Matema tica Formulac a o Nume rica Implementac a o Concluso es Equac a o da Pressa o Equac a o da Saturac a o Conceitos Amostra Porosidade Efetiva Matriz Sólida Poros Fase Água Fase Óleo φ= Vpconec Vt

20 Conceitos Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Permeabilidade Absoluta K, md K = K xx K xy K xz K yx K yy K yz K zx K zy K zz Porosity, %

21 Conceitos Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Permeabilidades Relativas k rw k ro Permeabilidade Relativa k r k o rw k rα = K α K 1 k rw (S wn ) = k o rw S nw wn k row (S wn ) = (1 S wn ) nw S wn

22 Conceitos Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação S w = 0 S w = 1 S wi r S w Sor w Saturação Normalizada S w S wi S wn (S w ) = 1 S wi S orw S wn S wn = 0 S wn = 1

23 Sumário Hipóteses Simplificadoras Equação da Pressão Equação da Saturação Meio poroso totalmente saturado; Rochas e fluidos incompressíveis; Fluidos imiscíveis; Escoamento isotérmico; Lei de Darcy válida para as velocidades consideradas.

24 Conservação de Massa Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Lei de Darcy v α = K α µ α (p α ρ α g z) Conservação por Fase α (ρ α v α ) + q α = (φρ αs α ) t Sistema Acoplado para Escoamento Multifásico em Meios Porosos ( ) ρα Kk rα (p α ρ α g z) + q α = (φρ αs α ) µ α t

25 Conservação de Massa Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Lei de Darcy v α = K α µ α (p α ρ α g z) Conservação por Fase α (ρ α v α ) + q α = (φρ αs α ) t Sistema Acoplado para Escoamento Multifásico em Meios Porosos ( ) ρα Kk rα (p α ρ α g z) + q α = (φρ αs α ) µ α t

26 Equação da Pressão Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Expansão da Derivada Temporal φ (ρ α v α ) + q α = ρ α S α t + φs dρ α p α α dp α t + φρ α S α t Divisão por ρ α, hipótese de incompressibilidade e soma das eqs. das fases v t + Q t = φ (S w + S o ) t n α=1 S α = 1 -> Eq. da Pressão para escoamentos bifásicos v t = Q t

27 Equação da Pressão Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Expansão da Derivada Temporal φ (ρ α v α ) + q α = ρ α S α t + φs dρ α p α α dp α t + φρ α S α t Divisão por ρ α, hipótese de incompressibilidade e soma das eqs. das fases v t + Q t = φ (S w + S o ) t n α=1 S α = 1 -> Eq. da Pressão para escoamentos bifásicos v t = Q t

28 Equação da Pressão Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Definição de pressão média e capilar p avg = p w + p o 2 p c = p o p w Definição de mobilidade da fase α λ α = k rα µ α Forma expandida da Eq. da Pressão ( ( K (λ w + λ o ) p avg + λ )) w λ o p c (λ w ρ w + λ o ρ o ) g z = Q t 2

29 Equação da Pressão Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Definição de pressão média e capilar p avg = p w + p o 2 p c = p o p w Definição de mobilidade da fase α λ α = k rα µ α Forma expandida da Eq. da Pressão ( ( K (λ w + λ o ) p avg + λ )) w λ o p c (λ w ρ w + λ o ρ o ) g z = Q t 2

30 Equação da Pressão Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Desprezando a pressão capilar e considerando um fluxo horizontal: Forma segregada da Eq. da Pressão (Kλ t p avg ) = Q t

31 Equação da Saturação Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Considerando as velocidades para um caso bifásico mais geral v w = Kλ w ( p w ρ w g z) v o = Kλ o ( p o ρ o g z) Utilizando pressão capilar, velocidade e mobilidade totais λ t v w = λ w v t + Kλ o λ w ( p c + (ρ w ρ o ) g z) Fluxo fracional e função da saturação para simplificar notação f α = λ α λ t h w = λ oλ w λ t dp c ds w

32 Equação da Saturação Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Manipulando a Eq. de Conservação e usando as definições anteriores: Forma expandida da Eq. da Saturação (φρ w S w ) t = (ρ w (f w v t Kh w S w + Kλ o f w (ρ w ρ o ) g z)) + q w

33 Equação da Saturação Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Assumindo novamente as hipóteses de incompressibilidade do meio e do fluido, desprezando a pressão capilar e considerando um fluxo horizontal: Forma segregada da Eq. da Saturação φ S w t = (f w v t ) + Q w

34 Equação da Saturação Sumário Equação da Pressão Equação da Saturação Não-linearidade devido à função de fluxo fracional 2.0 Fluxo Fracional e Derivada f w (S w ) df w /ds w 1.5 f w ; df w /ds w S w

35 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares 1 2 Equação da Pressão Equação da Saturação 3 Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares 4 Estrutura Geral FEniCS/Dolfin 5 Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico 6

36 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Método dos Elementos Finitos - Galerkin Problem (Contínuo - Forma Fraca da Eq. da Pressão) Encontre p P tal que: A(p, w) = f (w) w W com P = {p H 1 (Ω); p = p D em Γ D } W = {w H 1 (Ω); w = 0 em Γ N } A(p, w) = λk p wdω p, w P, W Ω f (w) = Ω q t wdω w W

37 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Método dos Elementos Finitos - Galerkin Solução da EDP tem que existir em um espaço de funções com derivadas contínuas (forma forte). Espaço de Sobolev de grau 1 exigido pela forma fraca permite funções com derivadas descontínuas. Espaços de funções onde H k (Ω) = {w L 2 (Ω); w,x L 2 (Ω);... ; w,x }. {{.. x L } 2 (Ω)} k vezes L 2 (Ω) = {w w 2 dω < } Ω

38 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Método dos Elementos Finitos - Galerkin Problem (Discreto - Forma fraca da Eq. da Pressão) Encontre p h P h tal que: A(p h, w h ) = f (w h ) w h W h com P h = {p h H 1 (Ω h ); p h P k (E i ); p h = p D em Γ D } W h = {w h H 1 (Ω h ); w h P k (E i ); w h = 0 em Γ N } A(p h, w h ) = λk p h w h dω p h, w h P h, W h Ω h f (w h ) = Q t w h dω w h W h Ω h

39 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Método dos Elementos Finitos - Galerkin P k (E i ) define funções de forma de Lagrange com ordem k para o elemento finito E i (a) Triângulo Linear (b) Triângulo Quadrático (c) Triângulo Cúbico

40 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Método dos Elementos Finitos Mistos (MEFM) Método de Galerkin calcula apenas a pressão Velocidade a partir da Lei de Darcy -> Baixa convergência Método dos Elementos Finitos Mistos calcula simultaneamente pressão e velocidade.

41 Sumário MEFM - Obtenção da Forma Fraca Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Equação da Pressão v = Q Espaço de Sobolev para funções vetorias H(div, Ω) = {ζ = (ζ 1, ζ 2 ) (L 2 (Ω)) 2 ; ζ L 2 (Ω)} V = {ζ H(div, Ω); ζ n = 0 em Γ N } Produto interno em L 2 (Ω) (v, w) = v(x)w(x)dx Ω

42 Sumário MEFM - Obtenção da Forma Fraca Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Equação da velocidade v = Kλ p Multiplicando a Eq. da velocidade por ζ V e rearranjando os termos ( ) K 1 λ v, ζ = ( ζ, p) Multiplicando a Eq. da pressão por um w W = L 2 (Ω) ( v, w) = (Q, w)

43 Sumário MEFM - Obtenção da Forma Fraca Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Problem (Contínuo - Forma Fraca da Eq. da Pressão e Velocidade) Encontre p W e v V tal que: A(p, w, v, ζ) = f (w) ζ V, w W com V = {ζ H(div, Ω); ζ n = 0 em Γ N } W = L 2 (Ω) ( ) K 1 A(p, w, v, ζ) = λ v, ζ ( ζ, p) ( v, w) f (w) = (Q, w)

44 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares MEFM - Discretização da Forma Fraca Várias alternativas na literatura que atendem a condição de estabilidade para combinação de espaços. Utilizados os espaços finitos de Brezzi-Douglas-Marini (BDM). BDM com mesma ordem de convergência para velocidade que Raviart-Thomas, porém possui dimensão menor. Espaços BDM para cada elemento: V h (E i ) = ( P k (E i ) ) 2 W h (E i ) = P k 1 (E i )

45 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares MEFM - Discretização da Forma Fraca Problem (Discreto - Forma fraca da Eq. da Pressão e Velocidade) Encontre p h W h e v h V h tal que: A(p h, w h, v h, ζ h ) = f (w h ) ζ h V h, w W h com A(p h, w h, v h, ζ h ) = ( K 1 λ v h, ζ h ) ( ζ h, p h ) ( v h, w h ) f (w h ) = (Q h, w h )

46 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares MEFM - Discretização da Forma Fraca Para k = 1, V h (E i ) = {ζ h = ( a 1 E i + a 2 E i x 1 + a 3 E i x 2, a 4 E i + a 5 E i x 1 + a 6 E i x 2 ) } Para k = 1, G.L. em V h são os valores das componentes normais das funções em dois pontos diferentes para cada aresta do elemento Para k = 1, W h é constante em cada elemento (d) Triângulo de Ordem 1 (e) Triângulo de Ordem 2 (f) Triângulo de Ordem 3

47 Sumário MEF com Estabilização via SUPG Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares MEF de Galerkin acurado para soluções suaves. Presença de instabilidades para equações hiperbólicas. Ponderação com peso maior na direção do fluxo (Idéia do Upwind) SUPG -> Função de ponderação não mais corresponde ao espaço da função tentativa utilizada -> w s = w + τ s v w Figura: Comparação entre diferentes definições da função de ponderação.

48 Sumário MEF com Estabilização via SUPG Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Aplicando procedimento parecido ao MEF de Galerkin, porém com função w s : Problem (Discreto - Forma fraca da Eq. da Saturação) Dados S n+1 h, f,s e v h, encontre S n+1 h X h tal que: com F (S n+1 h, w h ) = 0 w h W h X h = {S h H 1 (Ω h ); S h P 1 (E i ); S h = S D em Γ D } W h = {w h H 1 (Ω h ); w h P k (E i ); w h = 0 em Γ N } F (S n+1 h, w h ) = ( ) wφ Sn+1 S n Ω t dω + Ω wf,sv n+1 S n+1 dω+ ( E i v n+1 w ) τ s r n+1 dω E i

49 Sumário MEF com Estabilização via SUPG Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Dois primeiros termos equivalem ao MEF de Galerkin. Terceiro termo responsável pela estabilização. Termo adicional mantém consistência pois é basedo no resíduo r descrito por: Resíduo r n+1 = φ S n+1 S n t + f,s v n+1 S n+1

50 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares MEF com Estabilização via SUPG + Difusão Artificial Utilizado termo de estabilização simples: τ s = SUPG não elimina todas as oscilações. h 2 v Adição de dissipação numérica artificial para diminuir oscilações espúrias. Adição de difusão artificial F (S n+1 h, w h )+ = ν shock w S n+1 h dω E E i i ν shock = { βh r n+1 2 S n h se S n h 0 0 caso contrário

51 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares MEF com Estabilização via SUPG + Difusão Artificial Exemplo para Advecção Linear: MEF Galerkin 1.0 Advecção Linear Sol. Numérica Sol. Analítica C(x) x

52 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares MEF com Estabilização via SUPG + Difusão Artificial Exemplo para Advecção Linear: MEF + SUPG 1.0 Advecção Linear Sol. Numérica Sol. Analítica C(x) x

53 Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares MEF com Estabilização via SUPG + Difusão Artificial Exemplo para Advecção Linear: MEF + SUPG + Dif. Artificial 1.0 Advecção Linear Sol. Numérica Sol. Analítica C(x) x

54 Multigrid Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares Figura: Comparação dos métodos Multigrid Geométrico e Algébrico (Trottenberg, 2001).

55 Multigrid Sumário Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares A f p f = f f A f ˆp f f f = r h A f p f A f ˆp f = r h A f p f = r h A c p c = If c r f pˆ f = ˆp f + Ic f p c

56 Sumário Estrutura Geral FEniCS/Dolfin 1 2 Equação da Pressão Equação da Saturação 3 Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares 4 Estrutura Geral FEniCS/Dolfin 5 Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico 6

57 Pré-Processamento Sumário Estrutura Geral FEniCS/Dolfin

58 Sequencial Impĺıcito Sumário Estrutura Geral FEniCS/Dolfin

59 Sequencial Impĺıcito Sumário Estrutura Geral FEniCS/Dolfin

60 Sumário Estrutura Geral FEniCS/Dolfin FEniCS/Dolfin (

61 Sumário Estrutura Geral FEniCS/Dolfin Método dos Elementos Finitos - Galerkin Forma Variacional A(p, w) = w λk pdω f (w) = Ω wfdω gwdγ Ω Γ Código Python Python def Galerkin(self, delfinevar, parameter):. # Define variational form a = inner(grad(v), K*mob*grad(u))*dx L = v*f*dx - g*v*ds

62 Sumário Estrutura Geral FEniCS/Dolfin Método dos Elementos Finitos Mistos Forma Variacional A(p, w, v, ζ) = Ω ( K 1 λ 1 v ζ ζp vw ) dω f (w) = fwdω Ω Código Python Python def MixedFEM(self, delfinevar, parameter):. # Define variational form a = (dot((invk/mob)*v, zeta) - div(zeta)*p - div(v)*w)*dx L = - f*w*dx

63 Sumário MEF Estabilizado via SUPG Estrutura Geral FEniCS/Dolfin Forma Variacional F (S, w) = ( ) wφ Sn+1 S n Ω t dω + Ω wf,sv n+1 S n+1 dω+ ( E i v n+1 w ) τ s r n+1 dω E i r n+1 = φ S n+1 S n t τ s = + f,s v n+1 S n+1 h 2 v n+1

64 Sumário MEF Estabilizado via SUPG Estrutura Geral FEniCS/Dolfin Código Python Python def SUPG(self, delfinevar, parameter):. # Galerkin variational problem F = w*phi*((s-s0)/dt)*dx + (w*fs*dot(v, grad(s))*dx # Residual r = phi*((s-s0)/dt) + fs*(dot(v, grad(s))) # SUPG stabilization terms tau = h/(2.0*sqrt(dot(v, v))) F += tau*dot(v, grad(w))*r*dx # Create bilinear and linear forms a = lhs(f) L = rhs(f)

65 Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico 1 2 Equação da Pressão Equação da Saturação 3 Método dos Elementos Finitos Resolução do Sistema de Equações Lineares 4 Estrutura Geral FEniCS/Dolfin 5 Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico 6

66 Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Definição do Problema Tensor Isotrópico Tensor de Permeabilidade : ( ) 1 0 K = 0 1 Condição de Contorno: u = cos(πx) para 0 < x < 1 e y = 0 u = cos(πx) para 0 < x < 1 e y = 1 u n = 0 para 0 < y < 1 e x = 0, 1 Termo Fonte: f (x, y) = 2π 2 cos(πx) cos(πy)

67 Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Evolução do Resíduo Tensor Isotrópico Resíduo Normalizado Evolução do Resíduo CG AMG+CG AMG Iteração

68 Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Erro e Taxa de Convergência Tensor Isotrópico (a) Triângulo Linear N E max q max 8 2.5e e e e e e (b) Triângulo Quadrático N E max q max 8 6.4e e e e e e

69 Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Definição do Problema Tensor Anisotrópico Tensor de Permeabilidade : ( ) 2 1 K = 1 2 Condição de Contorno (e Solução Anaĺıtica): u(x, y) = e xy Termo Fonte: f (x, y) = 2(1 + x 2 + xy + y 2 )e xy

70 Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Evolução do Resíduo e do Erro Tensor Anisotrópico Resíduo Normalizado Evolução do Resíduo CG AMG+CG AMG AMG+GMRES GMRES Iteração (c) Norma Máxima do Erro N E max q max 8 2.1e e e e e e

71 Sumário Definição do Problema Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Tensor de Permeabilidade : ( ) 1 0 se x K = ( ) 2 1 α se x > Condição de Contorno (e Solução Anaĺıtica): { [2 sin(y) + cos(y)]αx + sin(y) se x 0 u(x, y) = α exp(x) sin(y) se x > 0 Termo { Fonte: [ 2 sin(y) cos(y)]αx sin(y) se x 0 f (x, y) = 2α exp(x) cos(y) se x > 0

72 Solução Numérica Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico (a) α = 1 (b) α = 10

73 Solução Numérica Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico (c) α = 100 (d) α = 1000

74 Sumário Comparação com Solução Anaĺıtica Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico (d) α = 100 N E max q max E L2 q L e e e e e e e e e e (e) α = 1000 N E max q max E L2 q L e e e e e e e e e e

75 Evolução do Resíduo Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Resíduo Normalizado Evolução do Resíduo CG AMG+CG AMG AMG+GMRES GMRES Iteração

76 Sumário Definição do Problema Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico u n = 0 q=-0.25 Tensor de ( Permeabilidade : ) K 1 = ( ) K 2 = u n = 0 u n = 0 K 1 K 2 Sw=1 u n = 0 q=0.25 Cond. Iniciais e Propriedades: Sw(x, 0) = 0.0 N o = N w = 4.0 µ = cte = 1.0 φ = cte = 1.0

77 Solução Numérica Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Figura: Perfil de Saturação de poço a poço

78 Solução Numérica Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Figura: Campo de Saturação e Velocidade para t = 0.3 PVI

79 Buckley-Leverett 1-D Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Resolução da Eq. de Buckley Leverett em 1-D com v t = Buckley-Leverett Sol. Numérica S(x) x

80 Buckley-Leverett 1-D Sumário Eĺıptico - Homogêneo Eĺıptico - Heterogêneo e Anisotrópico Eĺıptico/Hiperbólico - Heterogêneo e Isotrópico Comparação com sol. anaĺıtica da Eq. de Buckley Leverett em 1-D com v t = 1.0 e t = S(x) x Snum T=0.3

82 Sumário Desenvolvimento rápido (< 1 ano meio expediente). Malhas não-estruturadas; Domínios homogêneos e heterogêneos; Tensores de permeabilidade iso- e anisotrópicos. Boa concordância das soluções numéricas com anaĺıticas. Facilidade para acrescentar novos métodos ou acessórios no código. Testadas diferentes metodologias do MEF (Galerkin, MEFM, MEF+SUPG+Dif. Artif.). SUPG + Dif. Artif. fundamentais para estabilizar a parte hiperbólica. Multigrid Algébrico acelera consideravelmente a convergência.

83 Sumário Trabalhos Futuros Adicionar estabilização anisotrópica. Mais Física : Capilaridade, Gravidade e Modelo Black-oil. Computação paralela (MPI/OpenMP).

84 Agradecimentos Sumário PADMEC FACEPE CNPQ