Keywords: Elementos finitos descontínuos, Difusão de nêutrons, Aproximação espectro-nodal, Cálculos de criticalidade

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1 MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS LINEAR DESCONTÍNUO COM APROXIMAÇÃO ESPECTRO-NODAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE AUTOVALOR DE DIFUSÃO EM DOMÍNIOS UNIDIMENSIONAIS Rogério V. M. Rocha- Dany S. Dominguez- Susana M. Iglesias- Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas DCET, Universidade Estadual de Santa Cruz UESC, Campus Soane Nazaré de Andrade Rodovia Jorge Amado, Km 16, CEP , Ilhéus, BA - Brasil URL da Homepage: Ricardo C. Barros- rcbarros@pesquisador.cnpq.br Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico. Rua Bonfim, Vila Amélia, CEP Nova Friburgo, RJ - Brasil URL da Homepage: Resumo. Na produção de energia elétrica em reatores nucleares de fissão é encontrado o fenômeno físico de transporte de nêutrons. Esse fenômeno pode ser tratado como um processo difusivo e pode ser simulado computacionalmente pelo modelo matemático do Sistema de Equações Diferenciais de Difusão (SEED). O SEED é um modelo simples que fornece resultados acurados para a distribuição do fluxo neutrônico e o coeficiente efetivo de multiplicação. Na maioria dos problemas de interesse prático a solução exata do modelo é impraticável, dessa forma, recorre-se a métodos numéricos no intuito de obter soluções aproximadas desse modelo. Neste artigo, é apresentada uma nova formulação numérica baseada no método de elementos finitos linear descontínuo com aproximação espectro-nodal que resolve a equação unidimensional de difusão para problemas de autovalor em aproximação de uma velocidade. Essa nova formulação aproxima o fluxo e a corrente neutrônica por polinômios de primeira ordem obtidos a partir da análise espectral da equação da difusão. Com o objetivo de validar a nova formulação e avaliar seu desempenho computacional, problemas modelos em meios heterogêneos foram resolvidos; os resultados obtidos mostram que a formulação proposta é precisa e eficiente. Keywords: Elementos finitos descontínuos, Difusão de nêutrons, Aproximação espectro-nodal, Cálculos de criticalidade 1. INTRODUÇÃO O fenômeno físico de transporte de partículas está presente em diversas aplicações das ciências exatas e engenharias, dentre elas podemos destacar os aceleradores de partículas, cálculos de blindagem, medicina nuclear, reatores nucleares, dentre outros. A produção de energia elétrica em reatores nucleares de fissão, uma das fontes energéticas mais importantes dentre as várias existen-

2 tes, transformou-se em um dos principais interesses em aplicações nucleares. Essa energia é obtida do rompimento do núcleo atômico, o que caracteriza a fissão nuclear. Na fissão nuclear são emitidas algumas partículas, dentre elas destacamos o nêutron, devido a ausência de carga elétrica, esta partícula interage facilmente com o núcleo atômico (Stasiulevicius & Rodrigues, 1995). Problemas de autovalor associados ao cálculo de criticalidade em reatores nucleares de fissão para produção de energia elétrica, aparecem em meios hospedeiros multiplicativos, onde a interação nêutron-núcleo produz novos nêutrons (Lamarsh & Baratta, 2001). Nesses meios hospedeiros os nêutrons se difundem de regiões com alta densidade neutrônica para regiões com baixa densidade neutrônica, caracterizando a migração de partículas. As mudanças nas populações de nêutrons no núcleo do reator influem na estabilidade e operação da usina nuclear. Por este motivo, torna-se necessário investir em estudos do comportamento da população de nêutrons no interior de um reator nuclear de fissão. Tais estudos contribuem para os projetos e análises de instalações de reatores nucleares, onde, a operação segura do reator exige que seja realizado um balanceamento entre a produção e perda dos nêutrons no interior do reator. Esse controle visa manter dentro de limites estritos as taxas de interação entre nêutrons e núcleos atômicos no meio hospedeiro multiplicativo. Ferramentas computacionais, capazes de simular de forma precisa e eficiente a distribuição do fluxo neutrônico e a potência gerada no interior do reator nuclear de fissão, são indispensáveis à segurança de instalações nucleares e a proteção ao meio ambiente. Tais ferramentas além de propiciarem economia em tempo, finanças e espaços operacionais, garantem a segurança na exploração desse tipo de atividade. A modelagem física do fenômeno de transporte de nêutrons consiste na descrição da migração de partículas neutras no interior de um meio hospedeiro e na probabilidade de interação destas com os núcleos dos átomos deste meio (Bell & Glasstone, 1970). Muitos pesquisadores tratam o fenômeno físico de transporte de nêutrons como processos difusivos, dessa forma, um dos principais e mais utilizados modelos matemáticos que descreve a migração de nêutrons de forma simples e acurada é o Sistema de Equações Diferenciais de Difusão (SEDD) (Duderstadt & Hamilton, 1975). Devido à complexidade em tratar analiticamente este modelo em meios heterogêneos, recorre-se a métodos numéricos que sejam capazes de fornecer soluções aproximadas para a distribuição do fluxo neutrônico e o coeficiente efetivo de multiplicação. A utilização desses métodos numéricos na resolução de equações diferenciais conduzem a um sistema de equações lineares e algébricas (SELA), sendo assim, vários esquemas diretos ou iterativos são usados para auxiliar na obtenção da solução do SELA. Muitos pesquisadores têm dado ênfase no desenvolvimento de métodos numéricos precisos e eficientes, uma vez que as soluções numéricas precisas fornecidas por métodos de malhas finas exigem um alto custo computacional. Nesse artigo apresentamos o desenvolvimento de um novo método numérico determinístico e seu respectivo código computacional baseado no método de elementos finitos linear descontínuo com aproximação espectro-nodal (MEF-LD-EN), o qual combina os fundamentos da aproximação linear do Método de Elementos Finitos (Zienkiewicz, 1971) com as aproximações quase-analíticas do Método Espectro-Nodal (Spectral Green s Fuction) (Barros & Larsen, 1992), (Dominguez & Hernandez & Barros, 2010), resultando em um método numérico híbrido convergente que preserva as soluções analíticas espectrais no interior das células espaciais, e que considera as condições de continuidade nas interfaces dessas células, respeitando as condições de contorno do domínio explorado. Na próxima seção apresentamos o SEDD, e o esquema de discretização utilizado. Na seção

3 3. são oferecidos os fundamentos matemáticos da formulação híbrida. Resultados numéricos aparecem na seção 4.. Por último, na seção 5. apresentamos nossas conclusões e os desdobramentos futuros desta pesquisa. 2. MODELO MATEMÁTICO A modelagem matemática determinística para o problema de autovalor de transporte de nêutrons neste artigo é baseada no SEDD, onde foi considerado o modelo estacionário, com apenas uma das variáveis espaciais e desprezando a dependência energética. Esse sistema é composto por duas equações diferenciais; a equação da difusão monoenergética e a chamada lei de Fick (Duderstadt & Hamilton, 1975), as quais aparecem em geometria cartesiana com aproximação de uma velocidade conforme as equações, e, dj(x) dx + Σ a(x)φ(x) = 1 k ef νσ f (x)φ(x), (1) J(x) = D(x) dφ(x), 0 x L, (2) dx respectivamente, onde, J(x) representa a corrente neutrônica, φ(x) é o fluxo neutrônico, D(x) o coeficiente de difusão neutrônica, Σ a (x) é a seção macroscópica de absorção, Σ f (x) é a seção macroscópica de fissão, ν é o número médio de nêutrons emitidos por ato de fissão, k ef representa o coeficiente efetivo de multiplicação, e L é a longitude do domínio unidimensional. Foram consideradas as condições de contorno do tipo Albedo para o domínio de interesse, as quais são representadas pelas equações, J(0) = α L φ(0), J(L) = α R φ(l). (3) 2.1 Discretização espacial A obtenção da solução numérica, de forma geral, para um sistema de equações diferenciais, está diretamente associada à discretização da região onde se procura a solução. Em virtude disso, define-se uma malha espacial uniforme Ω i, a qual será chamada de célula espacial. A equação da difusão para o problema de autovalor Eq. (1) e a equação da lei de Fick Eq. (2), para uma célula espacial Ω i são escritas na forma, dj(x) dx + Σ aiφ(x) = 1 k ef νσ fi φ(x), (4) J(x) = D i dφ(x) dx. i = 1 : I, x i 1/2 x x i+1/2 ; (5) as condições de contorno do tipo Albedo (3) aparecem discretizadas como, J 1/2 = α L φ 1/2, J I+1/2 = α R φ I+1/2. (6) As equações de balanço espacial discretizadas são obtidas aplicando o operador, 2l + 1 xi+1/2 ( ) 2(x xi ) P l dx, (7) x i 1/2

4 em cada termo das equações discretizadas de difusão Eqs. (4) e (5), onde P l representa o polinômio de Legendre (Attar, 2009) de grau l. Neste artigo, as equações de balanço de ordem zero e primeira ordem utilizam os polinômios de Legendre de grau zero, P 0 (x) = 1, e de primeiro grau, P 1 (x) = x, respectivamente. As equações de balanço espacial discretizadas para os momentos de ordem zero, considerando P 0 no operador (7), aparecem na forma, 1 (J i+1/2 J i 1/2 ) + Σ ai φ i = 1 νσ fi φ i, (8) k ef J i = D i (φ i+1/2 φ i 1/2 ), (9) onde, o fluxo médio na célula (momento de ordem zero do fluxo) é definido como: φ i = 1 xi+1/2 x i 1/2 φ(x)dx, (10) e a corrente média na célula (momento de ordem zero da corrente) como: J i = 1 xi+1/2 x i 1/2 J(x)dx. (11) As equações de balanço de primeira ordem, considerando P 1 no operador (7) e aplicando-o no sistema de equações de difusão (4) e (5), aparecem como, 3 (J i+1/2 + J i 1/2 2J i ) + Σ ai φi = 1 νσ fi φi, (12) k ef Ĵ i = 3D i (φ i+1/2 + φ i 1/2 2φ i ), (13) onde, o momento de primeira ordem do fluxo é definido como, φ i = 3 xi+1/2 ( ) 2(x xi ) φ(x)dx, (14) x i 1/2 e o momento de primeira ordem da corrente na forma, Ĵ i = 3 xi+1/2 ( ) 2(x xi ) J(x)dx. (15) x i 1/2 Destaca-se que as grandezas φ i e Ĵi não tem interpretação física. 3. FORMULAÇÃO HÍBRIDA (MEF-LD-EN) A formulação híbrida desenvolvida neste artigo se baseia na combinação da aproximação linear do método de elementos finitos (MEF) com a aproximação quase-analítica do método espectronodal (SGF). O MEF obtém a solução das equações diferenciais do problema por meio de funções de aproximação que satisfazem condições descritas por equações integrais no domínio do problema.

5 Para o SEDD, duas funções polinomiais de primeira ordem foram escolhidas como funções de aproximação da corrente e do fluxo neutrônico no interior da célula espacial Ω i. Por outro lado, o SGF aproxima a solução do SEDD por dois parâmetros espectrais α i e β i obtidos a partir da análise espectral do modelo matemático utilizado para descrever o fenômeno físico, a qual visa obter as soluções analíticas gerais do SEDD, preservando as soluções analíticas espectrais dessas equações no interior de cada célula espacial Ω i. As soluções analíticas gerais do SEDD, representadas por, φ(x) = k 1 e x/µ i + k 2 e x/µ i, J(x) = D ik 1 µ i e x/µ i + D ik 2 µ i e x/µ i. (16) foram obtidas utilizando a técnica de análise espectral, proposta em Case & Zweifel (1967), onde, k 1 e k 2 são constantes arbitrárias, e µ i são os autovalores do problema na forma apresentada em Orellana (2000). Para obtermos a formulação híbrida, acoplamos os parâmetros espectrais nas funções polinomiais de primeira ordem do MEF, o resultado dessa combinação pode ser representado pelas equações, φ(x) = α i φ i + 2β i (x x i ) φ i, J(x) = α i J i + 2β i (x x i )Ĵi. (17) Dessa forma as Eqs. (17) representam as equações auxiliares da formulação híbrida. A discretização das Eqs. (17), passa pela avaliação nos extremos da célula. Entretanto, dependendo da localização da célula no domínio, um dos extremos da célula (x i+1/2 ou x i 1/2 ) é escolhido para avaliar as equações auxiliares. Para as células da primeira metade do domínio, as Eqs. (17) são avaliadas no extremo direito x i+1/2, obtendo, φ i+1/2 = α i φ i + β i φi, J i+1/2 = α i J i + β i Ĵ i. (18) Para as células na segunda metade, as Eqs. (17) são avaliadas no extremo esquerdo x i 1/2, obtendo, φ i 1/2 = α i φ i β i φi, J i 1/2 = α i J i β i Ĵ i. (19) No caso, em que a quantidade de células espaciais Ω i escolhidas seja um número ímpar, iguala-se as equações do fluxo neutrônico (19) e (18) e as equações da corrente neutrônica (19) e (18) no interior da célula espacial Ω i, obtendo as equações, 2β i φi φ i+1/2 + φ i 1/2 = 0, 2β i Ĵ i J i+1/2 + J i 1/2 = 0. (20) as quais são utilizadas na célula espacial central Ω i. Os parâmetros espectrais α i e β i foram calculados escolhendo-se uma das funções φ(x) ou J(x), a propósito escolhemos a função φ(x), discretizamos a solução analítica geral do fluxo Eq. (16) e avaliamos em um dos extremos da célula (x i+1/2 ou x i 1/2 ). Em seguida, obtemos as grandezas φ i e φ i substituindo a solução analítica geral do fluxo Eq. (16) nas expressões (10) e (14). Após obtidas as grandezas φ i+1/2 ou φ i 1/2, φ i e φ i, substituimos as mesmas em uma das equações Eq. (18) ou Eq. (19), e resolve-se para α i e β i, garantindo que a expressão seja satisfeita independentemente dos valores das constantes k 1 e k 2. A depender do caráter real ou imaginário do autovalor µ i, obtém-se duas alternativas,

6 (i). Se Σ ai > 1 k ef νσ fi α i = γ i coth (γ i ), β i = sinh (γ i ) 3 cosh (γ i ) γ i 3 sinh (γ i) γ 2 i ; (21) (ii). Se Σ ai < 1 k ef νσ fi α i = γ i cot (γ i ), β i = sin (γ i ) 3 cos (γ i ) γ i 3 sin (γ i) γ 2 i ; (22) onde, γ i = 2µ i. As expressões (21) e (22) garantem que as equações (18), (19) e (20) preservem a solução analítica geral no interior de cada célula espacial Ω i. Para obter a formulação numérica o MEF-LD-EN utiliza as equações de balanço espacial de ordem zero (8) e (9) e de primeira ordem (12) e (13). Deste modo, o SELA obtido pela aplicação do MEF-LD-EN, é composto por 6I + 2 incógnitas espaciais e 6I + 2 equações discretizadas, sendo, 4I equações de balanço espacial, 2I equações auxiliares e 2 equações de contorno. O sistema pôde ser reduzido após alguns procedimentos algébricos que resultaram na eliminação dos momentos de ordem zero e primeira ordem do fluxo e da corrente, (φ i, J i, φ i e Ĵi), para um sistema equivalente contendo 2I + 2 incógnitas espaciais e 2I + 2 equações discretizadas. 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO Com o objetivo de quantificar a precisão e o desempenho computacional do novo método desenvolvido foram obtidos neste artigo resultados que comparam a utilização do MEF-LD-EN no SEDD aos métodos convencionais Diamond Difference (MDD) e MEF. O MDD é considerado um método de malha fina convencional e têm um elevado custo computacional, pois só apresentam uma boa precisão para malhas de pequenas dimensões. O MEF, por sua vez, é considerado um método de malha média convencional. Na tarefa escolhida para os experimentos computacionais, foi considerado um domínio de 150 cm de comprimento dividido em 6 regiões com parâmetros materiais distintos descritos na Tabela 1, e uma condição de contorno reflexiva para o extremo esquerdo, onde, α l = 0, e vácuo para o extremo direito do domínio, onde, α r = 0, 5. A tolerância para a convergência no coeficiente efetivo de multiplicação escolhida foi de 10 6 e a potência nominal do reator considerada foi de 10 MW. Foram obtidos resultados para distribuição do fluxo neutrônico nos pontos x = 0, 30, 60, 90, 120 e 150 cm para os métodos MDD em uma malha fina com 240 nodos, MEF em uma malha média com 60 nodos e MEF-LD-EN em uma malha grossa com 30 nodos. A solução de referência foi gerada com uma malha de 960 nodos, utilizando o MEF. Com os parâmetros materiais utilizados, a distribuição do fluxo neutrônico tem fortes variações em algumas regiões do domínio, nessas regiões os métodos convencionais têm extrema dificuldade em aproximar o fluxo neutrônico. A distribuição do fluxo neutrônico sob as condições descritas aparece da Figura 1. Podemos constatar, na Figura 1, que o MEF-LD-EN se aproxima mais que os outros métodos, nos pontos x = 30 e 90 cm localizados em regiões com fortes variações do fluxo especialmente.

7 Tabela 1: Parâmetros materiais D cm 1 Σ a cm 1 νσ f cm 1 comprimento (cm) Região 1 1 0, 24 0, Região 2 1, 3 0, 22 0, Região 3 1 0, 44 0, Região 4 1, 3 0, , Região 5 2, 7 0, 046 0, Região 6 1 0, 3 0, Figura 1: Distribuição do fluxo neutrônico nas arestas.

8 Na Figura 2 mostramos os desvios relativos obtidos no cálculo da potência na região limitada pelos pontos x = 60 e x = 100 cm em função da quantidade de nodos utilizada pelos métodos MDD, MEF e MEF-LD-EN. Constatamos que o MEF-LD-EN apresenta melhores resultados para qualquer grade espacial quando comparado ao MDD. Destacamos que ao comparar o MEF com o MEF-LD-EN, este último apresenta resultados semelhantes com apenas 1/3 dos nodos que o MEF utiliza. Portanto o método MEF-LD-EN mostra-se mais preciso que o MDD e o MEF. Figura 2: Desvios relativos da potência na região (60-100) cm. Os resultados referentes ao coeficiente efetivo de multiplicação podem ser verificados na Tabela 2, a qual apresenta o valor do coeficiente efetivo de multiplicação e os respectivos desvios relativos para os métodos MDD com 1440 nodos, MEF com 90 nodos e MEF-LD-EN com 30 nodos, essas malhas foram escolhidas no intuito de obter um desvio relativo da ordem de 10 1 por cento para a potência calculada na região entre os pontos x = 60 e x = 100 cm. Ao analisarmos a Tabela 2 constatamos que o MEF-LD-EN se sobressai dentre os outros métodos com um desvio relativo da ordem de 10 5 por cento, quando comparado com a solução de referência com 960 nodos, utilizando o MEF. Tabela 2: Coeficiente efetivo de multiplicação Método (nro nodos) kef Desvio Relativo (%) MDD (1440) 1,140416E+00 1,671843E-04 MEF (90) 1,140417E+00 1,107401E-04 MEF-LD-EN (30) 1,140419E+00 7,634042E-05 Solução Referência MEF (960) 1,140418E+00.. O tempo de processamento das simulações foi auferido em segundos para os métodos MDD com 1440 nodos, MEF com 90 nodos e MEF-LD-EN com 30 nodos. Os tempos de processamento aparecem na Tabela 3. A Tabela 3 nos permite concluir que o MEF-LD-EN tem um menor tempo

9 de processamento em relação aos demais métodos avaliados, isso se deve a menor quantidade de nodos utilizada pelo MEF-LD-EN para se obter a precisão desejada no cálculo da potência. Tabela 3: Tempo de processamento para a potência na região (60-100) cm MEF-LD-EN (30) MEF (90) MDD (1440) Tempo (s) 1,478320E-02 3,214840E-02 6,546120E CONCLUSÃO Neste artigo propomos uma nova formulação para resolver problemas de autovalor de difusão em domínios unidimensionais a uma velocidade. Esta formulação, chamada MEF-LD-EN, combina elementos do métodos de elementos finitos linear descontínuo com aproximações quaseanalíticas espectrais próprias dos métodos espectro-nodais. O MEF-LD-EN mostrou-se superior aos métodos convencionais MDD e MEF em relação ao tempo de processamento e precisão numérica, para a distribuição do fluxo neutrônico e o coeficiente efetivo de multiplicação, em cálculos de malha grossa. Esses resultados positivos se devem a combinação das aproximações lineares do MEF com os coeficientes espectrais de aproximação do SGF que permitem preservar a solução analítica geral no interior das células espaciais. Por fim, conclui-se que a formulação desenvolvida para o MEF-LD-EN é superior às formulações dos métodos convencionais MDD e MEF; e recomenda-se o seu uso para resolver problemas de autovalor de difusão neutrônica em domínios unidimensionais. Como trabalhos futuros, sugerimos estender a utilização do MEF-LD-EN em problemas unidimensionais a dois grupos de energia, e em problemas multi-dimensionais. Agradecimentos Agradecemos a UESC pelo apoio no desenvolvimento desse artigo, ao CNPq e a FAPESB pelo apoio financeiro a esta pesquisa, e ao NBCGIB pela infraestrutura disponibilizada para a realização dos experimentos computacionais. REFERÊNCIAS Attar, R.E., Legendre Polynomials and Functions. CreateSpace, ISBN: Barros, R. C. & Larsen, E. W., A Spectral Nodal Method for One-Group X,Y-Geometry Discrete Ordinates Problems. Nuclear Science and Engineering, ESTADOS UNIDOS, v. 111, p Bell, G.I. & Glasstone, S., Nuclear reactor theory. Van Nostrand Reinhold Co., lccn: Case, K. M. & Zweifel, P. F., Linear transport theory. Addison-Wesley series in nuclear engineering. Dominguez, D. S. & Hernandez, C. R. G. & Barros, R. C., Spectral nodal method for numerically solving two-energy group X,Y geometry neutron diffusion eigenvalue problems. International Journal of Nuclear Energy, Science and Technology (Print), v. 5, p. 66.

10 Duderstadt J. J. & L. J. Hamilton, Nuclear Reactor Analysis. John Wiley & Sons Inc, NY - USA. Lamarsh, J. R. & Baratta, A. J., Introduction Nuclear Engineering. Prentice Hall. ISBN ed. Third. Orellana, E. T. V., Modelagem Computacional da Distribuiçâo Axial de Potência em Reatores Nucleares Segundo um Modelo Cinético de Difusão. Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional), Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ, Rio de Janeiro - RJ - Brasil. Stasiulevicius, R. & Rodrigues, C., Uso do nêutron como partícula de prova nas diversas áreas de investigações. Anais do III Encontro de Aplicações Nucleares. vol. 39, num. 12, pp Zienkiewicz O. C., The Finite Element Methods in Engineering Science. McGraw-Hill, NY - USA, ed. Second. LINEAR DISCONTINUOUS FINITE ELEMENT METHOD WITH SPECTRAL NODAL APPROXIMATION TO SOLVE EIGENVALUE ONE-DIMENSIONAL PROBLEMS Abstract. In the production of electricity in nuclear fission reactors, is found the physical phenomenon of neutron transport. This phenomenon can be treated as diffusive processes and can be computationally simulated by the mathematical model of the Diffusion Equation (DE). The DE is a simple model that provides accurate results for the distribution of neutron flux and the effective multiplication coefficient. In problems of practical interest the exact solution of the model is impractical, thus, we use numerical methods in order to approximate the solutions of this model. This paper presents a new numerical formulation based on the linear discontinuous finite element method with spectral nodal aproximation that solves the one-dimensional diffusion equation for eigenvalue problems in one speed aproximation. The novelty of this formulation is to approximate the spatial moments of the distribution of neutron flux and neutron current by first-order polynomials obtained from the spectral analysis of the diffusion equation. In order to validate the new formulation and evaluate its computational performance, heterogeneous problems were solved. Keywords: Discontinuous finite element, Diffusion of neutrons, Approximation spectral nodal, Criticality calculations