DETERMINAÇÃO DE ÁREAS DE ABRANGÊNCIA DE AGÊNCIA BANCÁRIA PELO DIAGRAMA DE VORONOI COM OBSTÁCULOS

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1 DETERMINAÇÃO DE ÁREAS DE ABRANGÊNCIA DE AGÊNCIA BANCÁRIA PELO DIAGRAMA DE VORONOI COM OBSTÁCULOS Gudlnes for artcles formatted to publcatons n Bulletn of Geodetc Scences ANA MARIA DOS SANTOS CARNASCIALI 1 LUCIENE STAMATO DELAZARI 2 DANIEL RODRIGUES DOS SANTOS 2 1 Insttuto Braslero de Pós-Graduação e Extensão - IBPEX Rua Treze de Mao, 538 Centro Curtba PR. ana.carnascal@gmal.com 2 Unversdade Federal do Paraná UFPR Curso de Pós-Graduação em Cêncas Geodéscas - CPGCG Departamento de Geomátca Curtba PR, Brasl lucene@ufpr.br; danelsantos@ufpr.br RESUMO Os dagramas de Vorono permtem a subdvsão das regões em um conunto de áreas de abrangênca, a fm de estabelecer relações de proxmdades. Város estudos foram realzados para a determnação de áreas de abrangênca com o uso dos dagramas de Vorono. Entretanto, anda é necessáro aprofundar as nvestgações com o desenvolvmento de novas proposções, com vstas à determnação de áreas de abrangênca que se aproxmem da realdade topográfca das cdades. Para tal, é necessáro que seam consderados os obstáculos, ou sea, barreras lneares e fechadas. De acordo com a lteratura consultada, não exstem pesqusas que tenham avançado nesse sentdo, o que enfatza a sua mportânca, sendo este tema desenvolvdo nessa pesqusa descrta no presente artgo. Assm, fo realzada a mplementação computaconal dos dagramas de Vorono ordnáro e por potênca (power Vorono) com a consderação dos obstáculos, bem como realzadas análses espacas a partr dos mesmos, estabelecendo-se relações de proxmdade com os estabelecmentos dos bancos concorrentes. A partr dos resultados verfcou-se que a nclusão das barreras modfcou sensvelmente as fronteras dos dagramas de Vorono e que, com o método proposto, evtam-se conclusões ncorretas pelos usuáros. Isso se explca pelo fato de que as áreas de abrangênca determnadas com

2 Carnascal, A. M. S. et al. 201 a consderação das barreras lneares e fechadas ncorporam-se à realdade topográfca das cdades. Palavras-chave: Localzação; Dagrama de Vorono; Áreas de Abrangênca; Agêncas Bancáras. ABSTRACT Vorono dagrams allow the subdvson of a set of coverage areas n order to establsh proxmty relatons. Several studes have been conducted to determne coverage areas by usng Vorono dagrams. However, t s stll necessary to undertake further research wth the development of new proposals obectng the determnaton of coverage areas whch take nto account the real topography of ctes. Ths wll requre obstacles consderaton,.e., lnear as well as closed barrers. Accordng to the lterature, there are no studes that have advanced n that drecton, whch emphaszes the mportance of ths research. Ths paper proposes to determne coverage areas by usng the Vorono dagram consderng lnear and closed barrers smultaneously. A computatonal mplementaton of ordnary and power Vorono dagrams consderng obstacles was performed. Spatal analyses were conducted from ordnary and power Vorono dagrams establshng proxmty relatonshps between compettor banks. From the results, t was found that the ncluson of barrers notceably change the boundares of Vorono dagrams and that the proposed method avods ncorrect conclusons, snce the coverage areas determned consderng lnear and closed barrers ndeed approached the real topography of ctes. Keywords: Locaton; Vorono Dagram; Coverage Areas; Bank Agences. 1. INTRODUÇÃO Um tópco mportante no estudo da localzação geográfca de um ponto, representatvo de uma varável, é a determnação de sua área de abrangênca ou nfluênca. Essas áreas podem ser defndas através de estruturas geométrcas denomnadas dagramas de Vorono. Os dagramas de Vorono permtem a subdvsão das regões em um conunto de áreas de abrangênca, a fm de estabelecer relações de proxmdades, por exemplo, de uma empresa com seus concorrentes. Dversos estudos foram realzados com a utlzação dos dagramas de Vorono para a determnação de áreas de abrangênca de supermercados, hosptas e escolas, o que comprova suas amplas possbldades de aplcação (REZENDE et al., 2000; LOBO, 2003; GALVÃO et al., 2006; NOVAES et al., 2009). A determnação de áreas de abrangênca com os dagramas de Vorono anda requer estudos que consderem os obstáculos, sto é, barreras lneares e barreras fechadas, concomtantemente. Este trabalho apresenta a determnação de áreas de abrangênca das agêncas do Banco HSBC de Curtba (PR) pelo dagrama de Vorono, levando em conta os obstáculos. Assm, fo desenvolvdo um programa computaconal para a

3 202 Determnação de áreas de abrangênca de agêncas bancáras pelo... determnação do dagrama de Vorono consderando os obstáculos, bem como para a realzação de análses espacas a partr do dagrama de Vorono ordnáro e por potênca sem e com a consderação das barreras lneares e fechadas, estabelecendose relações de proxmdades com os bancos concorrentes. Através dos resultados constatou-se que a ncorporação das barreras modfcou consderavelmente as fronteras dos dagramas de Vorono e que, com o método proposto, evtam-se conclusões ncorretas pelos usuáros, pos as áreas de abrangênca determnadas com a consderação dos obstáculos se ncorporam à realdade topográfca das cdades. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 Dagrama de Vorono Ordnáro O dagrama de Vorono para um conunto de pontos de nteresse (pontos geradores) é um conunto de células. Cada célula está assocada a um ponto gerador e contém todos os pontos mas próxmos de seu ponto gerador do que de qualquer outro ponto gerador (AURENHAMMER, 1991). De acordo com Okabe, Boots e Sughara (1992), a formulação matemátca para este conceto é: Sea P = {p 1, p 2, p 3, p 4,..., p n } um conunto de pontos no plano eucldano, com 2 n <. Cada ponto p tem coordenadas cartesanas (x, y ) e p p para, e {1, 2,..., n}. Toma-se um ponto p qualquer do plano Eucldano com coordenadas (x, y). A dstânca eucldana de p até p é dada por: d( p, p ) = 2 ( x x) + ( y y ) 2 = p p (1) Se d(p, p ) d(p, p ), com, o ponto p é desgnado para p e a regão V(p ), chamada regão de Vorono assocada ao ponto p, é defnda por: V ( p ) = { ptal que d ( p, p ) d ( p, p ), para } (2) Ao dagrama V gerado por P chama-se dagrama de Vorono, dado por: V= { V ( p ), V ( p2),..., V ( p )} 1 n (3) Denomna-se p de ponto gerador e o conunto P = {p 1, p 2, p 3, p 4,..., p n } corresponde ao conunto gerador do dagrama de Vorono V. No dagrama de Vorono ordnáro assume-se que os pontos geradores têm o mesmo peso e sua construção depende apenas da dstânca entre eles.

4 Carnascal, A. M. S. et al Generalzações do Dagrama de Vorono A concepção do dagrama de Vorono ponderado é análoga à do dagrama ordnáro. Parte-se do conunto de pontos geradores P = {p 1, p 2, p 3, p 4,..., p n } R m, com 2 n < e um peso assocado a cada p. Esse peso é representado por um conunto de parâmetros W = {w 1, w 2,..., w n }. Com esse peso é defnda uma dstânca d w (p, p ) de p para p, denomnada dstânca ponderada. A regão de domíno de p sobre p, com a dstânca ponderada é escrta como: Dom( p, p ) = { p tal que d ( p, p ) d ( p, p ), com } (4) w w e a regão de Vorono ponderada V(p ) assocada ao ponto p é a nterseção das regões de domíno de p sobre todos os p, ou sea, V p ) = I Dom( p p ) (5) (, Exstem dferentes formas de calcular a dstânca ponderada o que resulta em varações nas formas das regões de domíno assocadas a p. Para cada uma das dferentes formas, o dagrama recebe um nome, como por exemplo, dagrama de Vorono por potênca (power Vorono) apresentado a segur. 2.3 Dagrama de Vorono por Potênca (Power Vorono) Segundo Okabe, Boots e Sughara (1992), esse dagrama é caracterzado pela dstânca ponderada dada por: Dom d pw ( p, p ) = p p w (6) A regão de domíno de p sobre p é escrta como segue: pw ( p, p 2 2 ) = { ptal que p p w p p w } } (7) Quando w e w são guas a zero, a frontera entre as duas regões de Vorono concde com a medatrz da reta que une os dos pontos geradores e o dagrama concde com o ordnáro. Ao varar w e w, há um deslocamento lnear em dreção ao mas baxo valor de w (SILVA, 2004). Nesse dagrama, as regões assocadas a cada ponto gerador são sempre convexas. 2.4 Dagrama de Vorono com Obstáculos O dagrama de Vorono é defndo em função da dstânca eucldana, assumndo-se, com sso, que sea sempre possível fazer uma lgação em lnha reta entre quasquer dos pontos do plano. Porém, em mutas aplcações reas sto não é 2

5 204 Determnação de áreas de abrangênca de agêncas bancáras pelo... possível. Por exemplo, uma regão com parques e lagos, que não possam ser atravessados. Segundo Okabe, Boots e Sughara (1992), se esses obstáculos se encontram entre a lnha reta que une uma orgem e um destno, pode-se presumr que exsta uma manera de contorná-lo. Quando sso ocorre, dz-se que o problema é com obstáculos. Sea o conunto de pontos geradores P = {p 1, p 2, p 3, p 4,..., p n } R 2, com 2 n < e o conunto de obstáculos O = {o 1, o 2, o 3, o 4,..., o no } R 2, 1 n o <, que não podem ser transpostos dretamente. Assume-se que os obstáculos não podem ser sobrepostos (o o = Ø, ), bem como que os pontos de P não podem stuar-se sobre os obstáculos (p o = Ø, ). Os obstáculos são fechados e não contêm aberturas (holes), assume-se que os obstáculos são polígonos, não necessaramente convexos (OKABE; BOOTS; SUGIHARA, 1992). De acordo com a Fgura 1 defne-se a dstânca entre o ponto p e o ponto p 1, pertencente ao conunto gerador P = {p, p 1, p 2, p 3 }, pelo comprmento do menor camnho contínuo possível que os conecte sem nterceptar os obstáculos pertencentes ao conunto O = {o 1, o 2 }. Essa dstânca é denomnada de dstânca do camnho mas curto (shortest-path) entre p e p 1 e denota-se por d sp. Fgura 1 Dstânca do Camnho Mas Curto. Fonte: Adaptado de OKABE; BOOTS; SUGIHARA (1992). A dstânca do camnho mas curto é obtda com os polígonos de vsbldade e com os grafos de vsbldade. Um polígono de vsbldade, denotado por VIS(p ), com respeto a p, corresponde ao conunto de pontos que são vsíves por p. VIS(p ) é defndo pela expressão: VIS( p ) = { ptal que p p I[ O \ O ]= Ø, p R na qual: p p = segmento; 2, Ino (8)

6 Carnascal, A. M. S. et al. 205 [O \ O ] = obeto restrto à frontera, não ao nteror do polígono; e In = índce de nós do grafo. o De acordo com Okabe, Boots e Sughara (1992), o grafo de vsbldade é defndo sobre um outro grafo. A Fgura 2 lustra o grafo (A) e o grafo de vsbldade (B) e assume-se que o conunto O = {o 1, o 2 } não é transparente, ou sea, não permte vsbldade, por exemplo, entre p 1 e q 1. Consdera-se que o arco vsível L vs é gual ao conunto de segmentos de reta por q, sto é: L vs q de tal modo que q sea vsível q = q q tal que q VIS( q ), < ;, In } (9) { o a expressão (9) smbolza todas as lnhas representadas na Fgura 2 (B), sendo o conunto de nós Q = {q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, p 1, p}. Note-se que os segmentos em L vs podem se nterceptar. Fgura 2 Grafo e Grafo de Vsbldade. Fonte: Adaptado de OKABE; BOOTS; SUGIHARA (1992). (A) (B) O grafo de vsbldade de G(Q, L) é defndo como um grafo composto de Q e L VIS e é denotado por G(Q, L VIS ). Com o auxílo do grafo de vsbldade procura-se o camnho mas curto entre pontos (OKABE; BOOTS; SUGIHARA, 1992). Para facldade de entendmento de como a dstânca do camnho mas curto é obtda com os polígonos de vsbldade e com os grafos de vsbldade, apresenta-se a sequênca descrta em Okabe, Boots e Sughara (1992): Consdera-se G(Q, L), o conunto Q dado pelos nós dos obstáculos de O e pelos pontos de P e L, sendo L dado pelos arcos dos obstáculos (Fgura 2 (A)); Constró-se o grafo de vsbldade G(Q, L vs ) (Fgura 2 (B)); Resolve-se o problema do camnho mas curto (utlzando-se um algortmo como o de Dkstra (CORMEN et al., 2002).

7 206 Determnação de áreas de abrangênca de agêncas bancáras pelo Método da Malha sobre uma Regão A determnação do dagrama de Vorono com obstáculos fo feta pelo método de uma malha defnda sobre uma regão. Esse método é aplcado para resolver problemas onde a resolução analítca do dagrama de Vorono é dfícl, ou sea, se torna dfícl pelo fato de fazer uso de equações de retas e círculos (SILVA, 2004). Esse método fo dealzado por Slva (2004). Segundo o autor, o procedmento para determnar a dvsão do dagrama de Vorono basea-se em verfcar de qual ponto gerador cada nó da malha está mas próxmo. Convencona-se, por exemplo, o vértce superor esquerdo de cada elemento que forma a malha como sua dentfcação. Assm, se esse ponto está mas próxmo do ponto gerador, todos os pontos desse elemento da malha também estão. Para efeto de lustração, na Fgura 3 a regões 1, 2 e 3 correspondem aos pontos geradores 1, 2 e 3, respectvamente. Fgura 3 Vorono Sobre a Malha. Fonte: Adaptado de SILVA (2004). Legenda Vorono sobre a malha Elementos da malha Nós da malha Ponto gerador 3. MATERIAIS Fo utlzada a base cartográfca dgtal de Curtba (PR), adqurda unto ao Insttuto de Pesqusa e Planeamento Urbano de Curtba (IPPUC), edção Os endereços das agêncas do HSBC foram fornecdos pelo Departamento de Admnstração de Imóves (DAI) referentes a mao/2009. Os endereços das agêncas dos bancos concorrentes foram obtdos unto ao Banco Central do Brasl (BC) através da Dvsão de Gestão de Sstemas de Informações Cadastras, Contábes e Econômco-Fnanceras (DINFO) referentes a mao/2009. Para a determnação dos dagramas de Vorono ordnáro e por potênca, fo utlzado o programa desenvolvdo neste trabalho denomnado Dagrama de Vorono com Obstáculos (DVO). O mesmo fo desenvolvdo em Vsual Basc 6.0. Para a tabulação dos dados fo utlzado o software Mcrosoft Excel (2003). Na geocodfcação das agêncas HSBC e agêncas dos bancos concorrentes, fo utlzado o software ArcGIS 9.3 (ESRI). Para a extração dos fatores, que descrevem os relaconamentos entre as varáves, em termos de poucas varáves fundamentas, utlzou-se o software Statgraphcs Centuron XV. Todos os softwares anterormente ctados estão dsponíves na Unversdade Federal do Paraná (UFPR). Fo utlzado um computador Pentum core 2 duo T8400, 4 Gb de RAM, Wndows Vsta 64 bts.

8 Carnascal, A. M. S. et al MÉTODOS A segur serão apresentados os métodos empregados para a realzação do trabalho, que engloba as barreras lneares e fechadas, a geocodfcação, a seleção das varáves que caracterzam os pontos geradores, a sua ponderação e a mplementação do dagrama de Vorono com obstáculos. 4.1 Barreras Lneares e Fechadas Para o muncípo de Curtba (PR) dentfcaram-se como barreras lneares as rodovas e os ros. Como barreras fechadas, os cemtéros, clubes/assocações recreatvas, condomínos/loteamentos fechados, glebas/terrenos vagos, nstalações comercas (shoppngs e atacadstas), nstalações de transportes (aeroportos, termnas rodováros e ferrováros), nstalações educaconas/culturas (camp unverstáros, escolas), nstalações esportvas (estádos de futebol), nstalações hosptalares, nstalações ndustras, nstalações mltares (quartés), bosques, parques, Jardm Botânco Francsca Mara Garfunkel Rschbeter, Passeo Públco, Setor Esportvo Peladeros, lagos e ferrovas (cercada). Com exceção dos bosques, parques, Jardm Botânco, Passeo Públco, Setor Esportvo Peladeros e os lagos, as demas barreras fechadas foram dentfcadas e delmtadas. As barreras podem ser transpostas apenas em pontos específcos, que não correspondem, dessa manera, à totaldade de suas extensões. Elas podem ser transpostas por vadutos, trncheras, passarelas e pontes, que foram denomnados de pontos de passagem. 4.2 Geocodfcação Como as 29 agêncas do HSBC e as 236 agêncas dos bancos concorrentes: ABN AMRO Real S/A, Bradesco S/A, Ctbank S/A, Banco do Brasl S/A, Itaú S/A, Santander S/A, Bankboston S/A, Caxa Econômca Federal e Unbanco S/A, não fazem parte da base cartográfca dgtal do IPPUC, fo feta a geocodfcação a partr dos endereços, no software ArcGIS 9.3 (ESRI), utlzando-se a função geocode. No processo de geocodfcação, fo realzada a nterpolação ao longo dos trechos de logradouro, observando-se as faxas de numeração predal assocadas a cada trecho, sendo mapeado cada regstro das tabelas. A base cartográfca contém um campo chamado TRECHO_RUA que fo utlzado para a geocodfcação. Nele está ncluída além da numeração predal ncal e fnal de cada trecho, a denomnação e codfcação ofcas das ruas. 4.3 Varáves que Caracterzam os Pontos Geradores Os pontos geradores foram as agêncas do HSBC. Nas áreas de abrangênca determnadas pelo dagrama de Vorono ordnáro, os pontos geradores possuem o mesmo peso e sua construção depende apenas da dstânca entre eles. Nos dagramas de Vorono ponderados, os pontos geradores podem assumr pesos

9 208 Determnação de áreas de abrangênca de agêncas bancáras pelo... dferencados. Assm, segundo esse conceto, fo realzada a determnação de varáves que os caracterzem. Conuntamente, com os especalstas do DAI e especalstas dos Bancos Bradesco e do extnto Bamerndus, foram seleconadas as varáves: categora, vgênca, horáro, área, caxas, auto-atendmento, publcdade, vagas de estaconamento, santáros e acesso a portador de defcênca físca/mobldade reduzda. Tas varáves foram seleconadas pelo fato de permtr a comparação das agêncas bancáras em termos de servços, facldades para os clentes e publcdade/apoo. 4.4 Ponderação dos Pontos Geradores Para descrever os relaconamentos entre as varáves ctadas no tem 4.3, em termos de poucas varáves fundamentas, denomnadas fatores, fo necessára a realzação de uma análse fatoral. Para a extração dos fatores, fo aplcado o método das componentes prncpas (JOHNSON; WICHERN, 1988) e utlzou-se o crtéro de Kaser, que selecona aqueles que apresentam autovalor (λ) maor do que 1.0 (FIELD, 2005). Analsados os valores referentes à percentagem acumulada, verfcou-se que três fatores extraídos explcam 75,028% da varabldade dos dados orgnas. Portanto, fo consderado esse número de fatores. Para nterpretar os fatores, os mesmos foram rotaconados pelo método Varmax. A partr dos fatores rotaconados foram obtdos os escores brutos para cada ponto gerador, que correspondem aos pesos. Para a sua determnação utlzou-se a equação: m λ f = 1 Escb = m λ = 1 = m (10) no qual λ = autovalor e = escore fatoral. f Os pesos resultaram: Ag. Avenda/Matrz, 1,984, Ag. Com. Araúo, 1,242, Ag. Centro Cívco, 0,896, Ag. Água Verde, 0,841, Ag. João Negrão 0,493, Ag. Juvevê, 0,453, Ag. Portão, 0,375, Ag. Bacacher, 0,044, Ag. Mercês, 0,011, Ag. Cdade Industral, 0,004, Ag. Alto da XV, 0,004, Ag. Paroln, -0,087, Ag. Mal Deodoro, - 0,090, Ag. Passarela, -0,158, Ag. Mal Florano, -0,164, Ag. Brasílo Itberê, -0,197, Ag. Pnhernho, -0,226, Ag. Crsto Re, -0,240, Ag. Ahú, -0,265, Ag. Salgado Flho, -0,283, Ag. Santa Felcdade, -0,399, Ag. Novo Mundo, -0,449, Ag. Av. Brasíla, -0,456, Ag. Champagnat, -0,475, Ag. Jardm Socal, -0,501, Ag. Hauer, - 0,502, Ag. Semnáro, -0,515, Ag. Orleans, -0,518, Ag. Ceasa, -0,824. Esses pesos foram utlzados na determnação dos dagramas de Vorono por potênca sem e com a consderação das barreras. No dagrama de Vorono por potênca é possível perceber o deslocamento lnear das fronteras entre as regões na dreção do ponto gerador assocado ao peso de valor mas baxo (Quadro 1 e Fgura 9). Quando o peso é menor que zero ocorre uma dmnução da área, quando é maor que zero a área aumenta.

10 Carnascal, A. M. S. et al Implementação do Dagrama de Vorono com Obstáculos (Dvo) Neste trabalho o método da malha ctado no tem 2.5, fo modfcado para resolver problemas com obstáculos, não apenas lneares, mas também fechados. Para as barreras fechadas fo aplcado o conceto de envoltóro convexo. Assm, utlzou-se o algortmo QuckHull que calcula o fecho convexo de um conunto de pontos no plano (PREPARATA; SHAMOS, 1985). Como as barreras fechadas não poderam ser transpostas, foram desconsderadas as dagonas nternas do envoltóro convexo que as crcula, pos essas dagonas poderam resultar em uma dstânca de camnho mas curto que não corresponde a uma opção de transposção. Para a determnação da dstânca do camnho mas curto, foram utlzados os concetos de vsbldade entre dos pontos e grafo de vsbldade, descrtos no tem 2.4. A partr da determnação das dstâncas dos camnhos mas curtos fo efetuada a dvsão do Vorono ordnáro. Para a determnação do dagrama de Vorono com obstáculos, o método empregado fo o mesmo utlzado para efetuar a dvsão do dagrama de Vorono ordnáro, trocando-se a dstânca eucldana pela dstânca do camnho mas curto em um grafo. Maores detalhes e resultados prátcos foram apresentados nos expermentos. 5. EXPERIMENTOS Para a defnção da resolução da malha fo gerado o dagrama de Vorono ordnáro com o software ArcGIS e com o programa DVO, de modo a possbltar uma comparação entre as áreas de abrangênca resultantes. O software ArcGIS apresenta a função Create Thessen Polygons (CTP) que permte traçar apenas esse tpo de dagrama, sem consderar as barreras lneares ou fechadas. Ao traçar o dagrama a função CTP gera automatcamente um retângulo. Como o retângulo gerado nterrompeu as áreas de abrangênca das agêncas 2, 6, 8, 11, 13, 15, 22, 24, 27 e 28, que fazem contato com a sua borda, foram calculadas as áreas das agêncas 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 26 e 29, totalzando 19 agêncas. A partr do programa DVO, foram testadas dvsões da malha com elementos quadrados de lados 25 m, 50 m, 100 m e 200 m, para determnar com que valor trabalhar. Essas meddas foram seleconadas consderando-se a menor dstânca entre duas agêncas, que no caso correspondem às agêncas Avenda/Matrz e Mal. Deodoro, cua dstânca lnear resultou em 458 m. Partndo-se do dagrama de Vorono ordnáro, defnram-se as lnhas de frontera entre dos pontos a partr da medatrz que os une. Assm, a mesma estara a 229 m, o que levou a escolha de elementos quadrados de lados guas ou nferores a 200 m. Foram calculadas as áreas das mesmas 19 agêncas anterores, referentes aos elementos quadrados de lados 25 m, 50 m, 100 m e 200 m. Para possbltar a comparação entre as áreas de abrangênca determnadas com o ArcGIS e o DVO fo calculada a dferença percentual, resultando como

11 210 Determnação de áreas de abrangênca de agêncas bancáras pelo... máxmas dferenças do DVO em relação ao ArcGIS para elementos quadrados de 25 m, 50 m, 100 m e 200 m, 0,38%, 0,57%, 2,63% e 5,94%, respectvamente, e como médas das dferenças 0,08%, 0,17%, 0,83% e 1,72%. Foram seleconados os elementos quadrados de 50 m para compor a malha. Esta escolha fo baseada em: a) nenhuma dferença percentual da malha de 50 m resultou gual ou superor a 1%, quando comparadas com as dferenças percentuas das malhas de 100 m e 200 m; b) a quadra corresponde ao menor elemento da base cartográfca a ser consderado, cua menor extensão lnear é 60 m. A resolução da malha gual a 50 m fca dentro desse lmte. Para uma resolução de 25 m a mesma extrapola os 60 m da quadra, o que não ustfca a sua escolha, pos a mesma equvale à dmensão lnear de um lote; c) a quantdade de dvsões da malha para elementos quadrados de lados 50 m, resultou em X = 420 e Y = 680, totalzando elementos que compõem a malha, ou sea, cálculos de dstânca. Se fossem consderados elementos quadrados de lados 25 m (X = 840 e Y = 1360) os elementos que compõem a malha totalzaram , ou sea, quatro vezes superor ao da malha de 50 m. 6. ANÁLISE DOS RESULTADOS A fm de estabelecer as relações de proxmdade das agêncas HSBC com as agêncas dos bancos concorrentes, foram determnadas as áreas de abrangênca das 29 agêncas do HSBC pelos dagramas Vorono Ordnáro Sem Barreras (VOSB), Vorono Ordnáro Com Barreras (VOCB), Vorono Power Sem Barreras (VPSB) e Vorono Power Com Barreras (VPCB), a partr do programa DVO. 6.1 Vororno Ordnáro sem e com Barreras A Fgura 4 lustra a área de abrangênca da agênca HSBC 9, com as agêncas dos bancos concorrentes determnadas com os dagramas VOSB (A) e VOCB (B), respectvamente. As ses agêncas dos bancos concorrentes que apresentaram mudanças de áreas de abrangênca com os dagramas VOSB e VOCB, foram: Caxa Economca Federal da Av. Canddo de Abreu, 127, Banco Itaú S.A. da Av. Desembargador Hugo Smas, 526 e R. Izaac Ferrera da Cruz, 113, Banco Bradesco S.A. da R.Gra Ncco, 3173, Banco do Brasl S.A. da R. Francsco Derosso, 4006 e R. Engenhero Costa Barros, 1551(Fgura 4).

12 Carnascal, A. M. S. et al. 211 Fgura 4 Áreas de Abrangênca Determnadas com os Dagramas VOSB e VOCB e Agêncas dos Bancos Concorrentes. Fonte: CARNASCIALI, (A) (B) A fm de exemplfcar a mudança de áreas de abrangênca, consderou-se a área de abrangênca da agênca do Banco Bradesco S/A, da Rua Gra Ncco, 113, que de acordo com o VOSB, fcou localzada na área de abrangênca da agênca HSBC 22 (Fgura 5 (A)) e pelo VOCB fcou localzada na área de abrangênca da agênca HSBC 29 (Fgura 5 (B)). Pode-se observar que a mudança de área de abrangênca de ambas as agêncas fo devda à nclusão das barreras (VOCB), no caso correspondentes à barrera lnear referente à rodova e as barreras fechadas correspondentes às nstalações ndustras e condomínos/loteamentos fechados. Fgura 5 Localzação da Agênca Bradesco da Rua Gra Ncco. Fonte: CARNASCIALI, 2010.

13 212 Determnação de áreas de abrangênca de agêncas bancáras pelo... (A) VOSB (B) VOCB 6.2 Vororno por Potênca sem e com Barreras A Fgura 6 lustra a área de abrangênca da agênca HSBC 9, com as agêncas dos bancos concorrentes determnadas com os dagramas VPSB (A) e VPCB (B), respectvamente. Fgura 6 Áreas de Abrangênca Determnadas com os Dagrama VPSB e VPCB Agêncas dos Bancos Concorrentes. Fonte: CARNASCIALI, (A) (B) As sete agêncas dos bancos concorrentes que apresentaram mudanças de áreas de abrangênca com os dagramas VPSB e VPCB, foram: Bankboston S.A. da Av. Cânddo de Abreu, 285, Banco Bradesco S.A. da Av. Cânddo de Abreu, 427, Banco Itaú S.A. da Av. Desembargador Hugo Smas, 526, Banco Bradesco S.A. da R.Gra Ncco, 113, Banco Itaú S.A. da R. Izaac Ferrera da Cruz, 3173, Banco do Brasl S.A. da R. Francsco Derosso, 4006 e R. Engenhero Costa Barros, De acordo com a Fgura 7, ao se comparar as áreas de abrangênca entre os dagramas VPSB e VPCB, é possível perceber uma sobreposção entre as fronteras de ambos os dagramas. Isso ocorre porque ambos os dagramas correspondem ao dagrama de Vorono por potênca. As dferenças das fronteras se evdencam pela nclusão das barreras lneares e fechadas.

14 Carnascal, A. M. S. et al. 213 Fgura 7 Comparatvo das Áreas de Abrangênca pelos Dagramas VPSB E VPCB. Fonte: CARNASCIALI, Vororno Ordnáro sem Barreras e por Potênca com Barreras De acordo com a Fgura 8, ao se comparar as áreas de abrangênca entre os dagramas VOSB e VPCB, é possível perceber que as fronteras de ambos os dagramas não se sobrepõem. Isso ocorre devdo à nclusão das barreras lneares e fechadas, bem como pelos pesos assocados aos pontos geradores do dagrama de Vorono por potênca. Para subsdar o entendmento da não sobreposção das fronteras entre os dagramas VOSB e VPCB, devdo aos pesos assocados aos pontos geradores, fo elaborado o Quadro 1 correspondente à Agênca Hauer e as agêncas HSBC confrontantes. A Fgura 9 lustra os dagramas VOSB e VPCB para a Agênca Hauer e as agêncas HSBC confrontantes. Para o dagrama de Vorono ordnáro, os pesos são guas a zero e a frontera entre duas regões de Vorono concde com a medatrz da reta que une os dos pontos geradores. Para o dagrama de Vorono por potênca é possível perceber o deslocamento lnear da frontera entre as regões 14 e 23, na dreção do ponto gerador 14, pelo fato do mesmo estar assocado ao peso de valor mas baxo. O mesmo acontece entre as regões 14 e 26, 14 e 4, 14 e 24, 14 e 27, há um deslocamento lnear da frontera na dreção do ponto gerador 14, pelo fato do mesmo estar assocado ao peso de valor mas baxo.

15 214 Determnação de áreas de abrangênca de agêncas bancáras pelo... Fgura 8 Comparatvo das Áreas de Abrangênca com os Dagramas VOSB e VPCB. Fonte: CARNASCIALI, Quadro 1 Deslocamento Lnear das Fronteras Agênca Hauer. Fonte: CARNASCIALI, 2010 Pontos Geradores Agênca HSBC 14 Agênca Hauer Peso Ag.HSBC -0,50245 Agênca HSBC Confrontante Peso Agênca HSBC Confrontante Deslocamen to lnear de para 23-0, , , , , Fgura 9 Comparatvo das Áreas de Abrangênca com os Dagramas VOSB e VPCB para a Agênca Hauer. Fonte: CARNASCIALI, 2010.

16 Carnascal, A. M. S. et al CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Fo realzada a mplementação computaconal dos dagramas de Vorono ordnáro e por potênca consderando as barreras lneares e fechadas. O programa desenvolvdo fo denomnado Dagrama de Vorono com Obstáculos (DVO). O DVO mostrou potencaldade para tratar adequadamente os obstáculos, que corresponderam a 192 barreras fechadas e a 26 barreras lneares. A fase mas crítca no tempo de processamento fo na determnação do camnho mas curto pelo algortmo de Dkstra, porque cada ponto da malha teve que buscar todos os pontos geradores, o que resultou em cálculos de dstânca. O tempo de processamento, desde a letura dos dados de entrada até o cálculo do dagrama, fo em torno de 14 horas. Reduzr o tempo de processamento não fo obetvo neste trabalho, pos o método proposto vsa auxlar a tomada de decsão, e não exge resposta em tempo real. Como dfculdades de mplementação pode-se destacar o número de segmentos que compõem as barreras. Em Slva (2004), foram consderadas somente barreras lneares correspondentes a dos ros. Os mesmos totalzaram em torno de 50 segmentos. Neste trabalho, para as barreras lneares e fechadas, o número de segmentos fo em torno de De acordo com a complexdade do algortmo Dkstra (O(n²)), consderando-se o número de segmentos usados neste trabalho pelo número de segmentos de Slva (2004), ou sea, dvddos por 50, que resultam 120, para achar um camnho mas curto, o custo equvale a 120², sto é, vezes maor. Partndo-se dos cálculos de dstânca efetuados, multplcados por , resultam em vezes mas custoso se comparados a Slva (2004). O cálculo do grafo de vsbldade pode ser apontado como outra dfculdade devdo ao número de segmentos das barreras. A nclusão tanto das barreras fechadas como as lneares, fo mportante para as análses, porque as áreas de abrangênca com a consderação dos obstáculos, fcam mas próxmas da realdade topográfca, como pode ser constatado pelas análses espacas. A vantagem do método proposto quando comparado aos estudos anterores está relaconada à consderação de barreras reas, que mutas vezes são fechadas. Entretanto, problemas maores que o deste trabalho, anda demandam estudos devdo à complexdade computaconal na mplementação das barreras fechadas. A determnação de áreas de abrangênca pode ser generalzada para qualquer ponto de nteresse, ou sea, ndepende do domíno da aplcação, o que muda são as varáves que caracterzam os pontos geradores. Quanto mas próxmas as áreas de abrangênca estverem da realdade topográfca das cdades, melhores serão as respostas alcançadas através das análses espacas. Dessa forma, evtam-se conclusões ncorretas pelos usuáros, auxlandoos nas tomadas de decsões com respeto à amplação ou redução da rede de atendmento, na escolha da melhor localzação de um novo ponto ou de um ponto á exstente, bem como na prospecção de novos clentes.

17 216 Determnação de áreas de abrangênca de agêncas bancáras pelo... Como recomendações para a contnudade desta pesqusa destacam-se: a utlzação dos dagramas de Vorono gerados computaconalmente para a determnação de áreas de abrangênca de pontos, combnados com ndcadores socoeconômcos, através de um Sstema de Informações Geográfcas (SIG), o que ampla as possbldades de análses espacas; a geocodfcação de clentes pessoa físca e urídca, que uma vez representados nas áreas de abrangênca das agêncas, possbltam análses de prospecção de novos clentes. AGRADECIMENTOS À Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor (CAPES) pela concessão da bolsa. Ao HSBC Bank Brasl S/A Departamento de Admnstração de Imóves pela colaboração no desenvolvmento do trabalho. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AURENHAMMER, F. Vorono dagrams: a survey of a fundamental geometrc data structure. ACM Computng Surveys, v. 23, n. 3, p , CARNASCIALI, A. M. S. Determnação de áreas de abrangênca de pontos pelo dagrama de Vorono com obstáculos. 156 f. Tese (Doutorado em Cêncas Geodéscas) Setor de Cêncas da Terra, Unversdade Federal do Paraná, Curtba, CORMEN, T. H. et al. Algortmos: teora e prátca. Tradução da segunda edção. Ro de Janero: Campos, p. Curtba. Insttuto de Pesqusa e Planeamento Urbano de Curtba IPPUC. Mapa Dgtal de Curtba. Curtba, EXCEL. Apostla do excel: básco ntermedáro e avançado. Sergo Boudart Dsponível em: < Acesso em: 22/09/2008. FIELD, A. Dscoverng statstcs usng SPSS. Sage Publcatons Ltd: London, p. GALVÃO, L. et al. A multplcatvely-weghted Vorono dagram approach to logstcs dstrctng. Computers and Operatons Research. n. 33. p JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. Appled multvarate statstcal analyss. 2 ed. New Jersey: Prentce-Hall, p. LOBO, D. S. Dmensonamento e otmzação locaconal de undades de educação nfantl. 155 f. Tese (Doutorado em Engenhara da Produção) - Departamento de Transportes e Logístca, Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols, Dsponível em: < Acesso em: 18/09/2007. NOVAES, A. G. N. et al. Solvng contnuous locaton-dstrctng problems wth Vorono dagrams. Computers and Operatons Research, n. 36, p , 2009.

18 Carnascal, A. M. S. et al. 217 OKABE, A.; BOOTS, B.; SUGIHARA, K. Spatal tessellatons: concepts and applcatons of Vorono dagrams. Chchester: John Wley, p. PREPARATA, F. P.; SHAMOS, M. I. Computatonal geometry: an ntroducton. New York: Sprnger-Verlag, p. REZENDE, F. et al. Dagramas de Vorono para a defnção de áreas de abrangênca de hosptas públcos no Muncípo do Ro de Janero. Cadernos de Saúde Públca. Ro de Janero, v. 16, n. 2, p , SILVA, A. C. L. Estratéga para dvsão de áreas de estudo em problemas logístcos: uso do dagrama de Vorono com obstáculos. 131 f. Tese (Doutorado em Engenhara de Produção) - Departamento de Transportes e Logístca, Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols, STATGRAPHICS centuron xv. User manual. StatPont, Inc, Dsponível em: < Acesso em: 22/09/2008. (Recebdo em novembro de Aceto em mao de 2011.)

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