MATEMÁTICA SEGUNDO ANO - PARTE UM

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1 MATEMÁTICA SEGUNDO ANO - PARTE UM TRIGONOMETRIA NOME COMPLETO: Nº TURMA: TURNO: ANO: 1

2 Revisão pitágoras: Teorema de Pitágoras (hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2. (a) 2 = (b) 2 + (c) 2. Exemplos: 1. Encontre o valor de x: a) b) Exercícios: 1. Calcule o valor de x nos triângulos retângulos: X = 10 X = 3 X = 9 X = 4 X = 3 X = 5 2. A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura. Qual o comprimento da escada que está encostada na parte superior do prédio? X = 17 2

3 3. A figura mostra uma antena retransmissora com 72 m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aço que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30 m do pé da antena. Qual a quantidade, aproximada de cabo, em metros, gasta para sustentar a antena? X = 234 m 4. Qual a distância em centímetros percorrida pela bolinha de tênis? X = 200 cm 5. Um fio de aço será esticado do topo de uma torre até o da outra. Quantos metros de fio serão necessários? X = 17 m Revisão: razões trigonométricas: Vejamos o triângulo retângulo abaixo: Observe que ele tem um ângulo de 30 graus marcado. O seguimento BC é o lado oposto ao ângulo marcado, desta forma o chamamos de cateto oposto. Já o seguimento AC está junto ao ângulo marcado, a este damos o nome de cateto adjacente. O seguimento AB é chamado hipotenusa, pois este é o seguimento oposto ao ângulo reto. cos x 3

4 Para efeito de cálculo utilizar: Para finalizar os resultados dos problemas use: = 1,41 e = 1,73 Exemplos: 1. Encontre x e y na figura abaixo: 2. Um foguete é lançado de uma rampa situado sob um angulo de 60. A altura que o foguete está do solo ao percorrer 12km, valê: Exercícios: 6. Determine: (caso precise utilize pitágoras ) a) sen x b) tg x c) cos x 7. Ao calcular a distância entre as margens de um rio (segmento BC), um topógrafo fez o seguinte esquema. Com base nas medições realizadas por esse topógrafo, qual é a largura nesse trecho do rio? d = 42m 4

5 8. Por segurança, vai ser necessário ligar a ponta de um poste de 12m de altura a um gancho no chão. Quando esticado, o cabo deverá fazer ângulo de 45 com o chão. Qual é o comprimento do cabo? A que distância do poste está o gancho? d = 12 m e x = 12 m 9. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30 (supondo que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é? d = 500 m 10. Jorginho estava empinando pipa. Quando ele soltou os 50m de linha, o vento estava tão forte que a linha ficou inclinada 60 em relação ao solo. Nesse momento qual a altura da pipa sabendo que Jorginho mede 1,56m? Usar d 44,81 m 11. Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5m de altura quando o sol está 30 acima do horizonte. m 12. Qual o perímetro do retângulo. Obs: perímetro é a soma de todos os lados. Usar = 1,73 P 32,76 e A 62, Um ajudante de pedreiro estava descarregando areia de um caminhão através de uma rampa de madeira apoiada à caçamba. Se a rampa tem 3 m de comprimento e forma com o solo um ângulo de 30, qual é a altura entre a caçamba e o solo, representado por h? h 1,5m ou h = m 5

6 14. Determinar o valor de x. x = x = 15. Parte de uma pista de skate é constituída por uma rampa com 2 metros de comprimento e 45º de inclinação. Qual é a altura dessa rampa? h = 2 m 16. Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma escada rolante, conforme a figura. A altura H, em metros, atingida pela pessoa ao chegar ao segundo pavimento é: H = 5 m 6

7 TRIGONOMETRIA NO CIRCULO CONCEITOS BÁSICOS ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA Consideremos um móvel descrevendo a trajetória circular indicada na figura. Suponhamos que o móvel parta do ponto A e chegue até o ponto B percorrendo a circunferência no sentido anti-horário. Observemos que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Tanto a parte I como a parte II são chamadas de arcos de circunferência. Se A coincide com B, diz-se que temos o arco (I) e o arco de volta (II). Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida. 1. UNIDADES PARA MEDIR ARCOS Para medir arcos e ângulos, utilizaremos o grau e o radiano. Grau Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual 1 da circunferência que contem o arco. 360 Então, podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 360. Radiano O radiano (símbolo: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco igual ao raio da circunferência que contém o arco. 7

8 Sabemos em Geometria que a medida C do comprimento da circunferência (AB) é dada por: C=2 r onde r= raio (medida do centro da circunferência até uma das extremidades). Então para r = 1 rad, podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 2 rad. 360 = 2 π rad 90 = π/2 rad 180 = π rad 270 = π + π/2= 3π/2 rad Relação entre graus e radianos Dizemos que uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se são medidas de um mesmo arco;essa equivalência nos permite transformar medidas em radianos em graus e vice-versa. Para tanto usamos a relação: 180 rad Vejamos alguns exemplos. 1 exemplo: Expressar 300 em rad. 2 exemplo: Expressar 4 rad em graus. Comprimento da circunferência: Para calcular o comprimento de uma circunferência usamos: C=2 r 1º exemplo: Qual o comprimento de uma circunferência que possui raio 5cm. Usar =3,14 (para efeito de cálculo). 2º exemplo: Qual o tamanho de meia circunferência, sabendo que seu diâmetro é 12 cm. 8

9 3º exemplo: Qual o comprimento do arco AB de 45º de uma circunferência de 8cm de raio? Relação entre o tamanho de um arco e o raio, da a medida do ângulo em radiano. O ângulo tem relação entre o tamanho do arco e o raio. Assim L raio L= tamanho do arco r= raio 4º exemplo: Seja um arco AB de 8 cm de comprimento sobre uma circunferência de 4cm de raio. Calcular a medida em radiano, de ângulo central correspondente ao arco AB. Relação entre ângulo e os ponteiros do relógio Observe os relógios: Primeiro vamos pensar: 1 circunferência tem 360, logo se pensarmos no relógio essa circunferência estará dividida em 12 partes (360 :12= 30 ). Sempre que o ponteiro dos minutos se desloca 60 mim, o ponteiro das horas desloca 30. Qual o menor ângulo formado entre o ponteiro das horas e dos minutos às: a) 12h e 45 mim Pensando nos ponteiros: entre 12 e o 45 (9) temos 3h logo: = 90 Pensando nos minutos: 45/ =0, =22,30 Assim: ,30 = 112,5 ou

10 b) 14h e 25 mim Pensando nos ponteiros: entre 14 e o 25 (3) temos 3h logo: = 90 Pensando nos minutos: 25/ =0, =12,5 Assim: 90-12,5 = 77,50 Existe também uma formula para calcular o ângulo formado o= 30. H 5,5. mim Exemplo usando a fórmula: a) 12h 45 mim o= 30. H 5,5. mim ,5. 45 = ,5 = 112,5 b) 14h e 20 mim atenção 14h é o mesmo 2h o= 30. H 5,5. mim ,5. 25 = ,5 = 77,5 Atenção: caso você utilize 14h o= 30. H 5,5. mim ,5. 25 = ,5 = 282,5 (cuidado ele calculou o ângulo maior assim, pra saber o menor descontar 360 ( ,5= 77,5 Exercícios: 1. Determine a medida, em radiano, dos arco: a) 20º b)36º c)90º d)180º e)200º f)270º 2. Transforme em graus: 4 2 a) rad b) rad c) 96 rad d) rad e) 3 rad f) rad 6 3. Resolva os problemas abaixo: a) Seja um arco AB de 8 cm de comprimento sobre uma circunferência de 2cm de raio. Calcular a medida em radiano, di ângulo central correspondente ao arco AB. 10

11 b) Um atleta corria em uma pista circular de 48m de raio. Quando faltava a quarta parte para completar a primeira volta, ele teve de interromper a corrida. Quantos metros aproximadamente ele percorreu? c) Qual o comprimento de uma circunferência que possui raio 4cm? d) Qual o comprimento do arco AB de 50º de uma circunferência de 2cm de raio? e) Qual o comprimento de uma circunferência que possui diâmetro 10 cm? f) Fernando correu a terça parte de uma pista circular, sabendo que a pista tem um raio de 10 m. qual o comprimento percorrido por ele? g) Um arco AB de 80 está sobre uma circunferência de 10m de raio. Qual o comprimento deste arco? 4. Determine o menor ângulo formado entre o ponteiro das horas e dos minutos às: a) 1h e 40 mim b)9h c)2h e 30m d)15h e 35 mim e)9h e 30 mim f) 13h e 20 mim g)11h e 15 mim h)16h e 20 mim O ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica: É uma circunferência de raio unitário, cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano. Por convenção escolhemos o sentido anti-horário como sendo positivo e consequentemente o horário para o negativo. 11

12 Observe os arcos abaixo: Arcos côngruos: são arcos de mesma origem e mesma extremidade. Por exemplo: a) 390 e 30 são arcos côngruos b) são arcos côngruos Marque o arco no ciclo trigonométrico 12

13 Determinação positiva de um arco e/ou negativa: Sendo: 1225º de a primeira determinação positiva e negativa. A 1º determinação positiva é 145º e a determinação negativa é -215º 145º -360º = -215º (é o que falta para 360 ) Sendo 42º a determinação 1ª determinação positiva encontre a negativa 42º é um arco que está no 1º determinação, já a determinação negativa é -318º. Pois 42º - 360º= -318 (é o que falta para 360 ) Agora você: Encontre a 1º determinação positiva e negativa dos arcos abaixo: a) 1225 b) Exercícios: 5. De a 1º determinação positiva e negativa dos arcos abaixo: a) b) c) rad d) rad 13

14 6. Desenhe um ciclo trigonométrico e localize cada um dos arcos e determine em qual o quadrante eles se encontram: a) 135 b) 20 c) 210 d) 300 Com base no triângulo observe as relações: seno: cosseno: tangente: Razões inversas: Cossecante Secante: Cotangente: Projeções no ciclo trigonométrico: 14

15 Sinais: sen cos tg cotg cossec sec Sinais I Q IIQ IIIQ IV Q 15

16 Roteiro: Construindo o ciclo trigonométrico Marcar os arcos da circunferência em graus e radianos Preencher no ciclo os valores dos arcos notáveis 7. Completar as tabelas abaixo: Complete as tabela abaixo: Ângulo Sen Cos Tg Ângulo sen cos tg cossec sec cotg 16

17 Redução para o primeiro quadrante 2 para 1 quadrante: 3 para o 1 quadrante: 4 para o 1 quadrante Dica: 2 para 1 = quanto falta de para 1= quanto passa de para 1= quanto falta 360 Cuidado!!!! Não esqueça de verificar o sinal da função. Exemplos: (fazer no caderno) 1. Reduza para o 1 quadrante os arcos e de calcule o valor do seno, cosseno, tangente, cotangente, cossecante e secante: a)150 b) 210 c) 315 d) Resolva o valor da expressão: sen120. cos tg 45 + cossec sec Resolva o valor da expressão: Exercícios: (fazer no caderno) 8. Em que quadrante temos simultaneamente: a) sen x < 0 e cos x < 0; b) sen x > 0 e cos x > 0; c) sen x < 0 e cos x > 0. 17

18 9. O valor de é: 10. Assinale a alternativa correta: sen 300 < sen 230 < sen 200 sen 230 < sen 300 < sen 200 sen 230 < sen 200 < sen 300 sen 200 < sen 230 < sen 300 sen 300 < sen 200 < sen Determine a expressão tg cotg + sen + cos 12. O valor de sen 30 - cos 60 é: 13. Calcule os valores das expressões: sen135º. cos 720º a) sen 350º cos b) sen cos 2 3. sen 2 2 c)2. sen 45º 3. sen 45º 5.cos 180º sen 270 d) tg 60 tg O valor da expressão : 18

19 15. Calcule o valor das expressões: Relação fundamental da trigonometria: Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do teorema de Pitágoras: sen² Ө + cos² Ө = 1 Relação fundamental e outras relações: sen² α + cos² α=1 sec² α= 1+tg² α cossec² α = cotg² α +1 Exemplos: (fazer no caderno) 1. Considere sen x=, com, determine cosseno de x. 2. Considere sen x=, com, determine: a) cos x b) tg x 3. Sendo tg x=, com, vamos achar: a) cos x b) sec x 19

20 Exercícios: (fazer no caderno) 16. Sabe-se que é a medida de um arco de 2 quadrante e que tg = - 2,4. Calcular sen e cos. 17. Sabendo que cossec x = e que x pertence ao 1 Quadrante, determine tg x. Sabendo que cos e que, calcular: sen tg sec 20