MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA KLEDSON FLÁVIO SILVEIRA SANTIAGO ANÁLISE DA RESOLUÇÃO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOS UTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE NUMÉRICA Rio de Jaeiro 22

2 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA KLEDSON FLÁVIO SILVEIRA SANTIAGO ANÁLISE DA RESOLUÇÃO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOS UTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE NUMÉRICA Dissertação de Mestrado apresetada ao Curso de Mestrado em Egeharia Mecâica do Istituto Militar de Egeharia, como requisito parcial para obteção do título de Mestre em Ciêcias em Egeharia Mecâica. Orietador: Prof. Leoardo S. de B. Alves, Ph.D. Rio de Jaeiro 22

3 c22 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Praça Geeral Tibúrcio, 8-Praia Vermelha Rio de Jaeiro-RJ CEP Este exemplar é de propriedade do Istituto militar de Egeharia, que poderá icluí-lo em base de dados, armazear em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivameto. É permitida a meção, reprodução parcial ou itegral e a trasmissão etre bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou veha a ser fixado, para peqsquisa acadêmica, cometários e citações, desde que sem fialidade comercial e que seja feita a referêcia bibliográfica completa. Os coceitos expressos este trabalho são de resposabilidade do autor e do orietador. 62. Satiago, Kledso Flávio Silveira 5235a Aálise da Resolução Espacial de Termos Difusivos Utilizado Ordem de Erro e Estabilidade Numérica/Kledso Flávio Silveira Satiago; orietado por Leoardo Satos de Brito Alves. Rio de Jaeiro: Istituto Militar de Egeharia, p.: il. Dissertação (mestrado) Istituto Militar de Egeharia. Rio de Jaeiro, 22.. Egeharia Mecâica. 2. Ordem de Erro 3. Estabilidade Numérica. 4. Resolução Espacial. I. Alves, Leoardo Satos de Brito. II. Istituto Militar de Egeharia. CDD 62. 2

4 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA KLEDSON FLÁVIO SILVEIRA SANTIAGO ANÁLISE DA RESOLUÇÃO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOS UTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE NUMÉRICA Dissertação de Mestrado apresetada ao Curso de Mestrado em Egeharia Mecâica do Istituto Militar de Egeharia, como requisito parcial para obteção do título de Mestre em Ciêcias em Egeharia Mecâica. Orietador: Prof. Leoardo S. de B. Alves, Ph.D. Aprovada em 9 de setembro de 22 pela seguite Baca Examiadora: Prof. Leoardo S. de B. Alves, Ph.D. da UFF - Presidete Prof. Rodrigo Otávio de Castro Guedes, Ph.D. do IME Prof. Leadro Alcoforado Sphaier, Ph.D. da UFF Rio de Jaeiro 22 3

5 Aos meus pais Tiago e Zilda, aos meus irmãos Fábio e Pricila, e à miha amorada Thayza. 4

6 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramete a meu Deus que esteve ao meu lado ão só esse mestrado, mas em toda miha vida. Miha família por sempre estar comigo e acreditar em mim. A miha amorada Thayza que esteve ao meu lado dado-me todo apoio e compaheirismo que precisei. Ao meu orietador professor Leoardo por sua ajuda e ateção. Aos meus amigos de laboratório Gabriel, Oberda, Ricardo, Vaessa, e em especial Rea e Eduardo, que passaram um pouco de sua experiêcia pra poder ajudar. E ao Istituto Militar de Egeharia pela oportuidade de realização do curso de Mestrado em Egeharia Mecâica. 5

7 "Jutamete com a Assembléia de Westmister e todos que a precederam eu creio que o fim pricipal do homem é glorificar a Deus e apreciá-lo para sempre." JAMES CLERK MAXWELL 6

8 SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES LISTA DE TABELAS LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS INTRODUÇÃO Revisão Bibliográfica Objetivo MODELAGEM MATEMÁTICA Equações de Govero Equações de Navier-Stoes Compressível Equação do Calor Modelagem do Termo Difusivo Resolução Temporal Aálises de Erro Ordem Teórica Ordem Real Método da Solução Maufaturada Número de Oda Modificado RESOLUÇÃO ESPACIAL Método de Difereças Fiitas Formulações de Seguda Ordem Formulação Não-Coservativa Formulação Coservativa Formulações de Quarta Ordem Formulação Não-Coservativa Formulação Coservativa Método dos Volumes Fiitos Formulações de Seguda Ordem Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Tradicioal Formulação Coservativa de Volumes Fiitos SA

9 3.2.2 Formulações de Quarta Ordem Formulação Coservativa de Volumes Fiitos de Zigg & Pulliam Formulação Coservativa de Volumes Fiitos SA RESULTADOS Ordem de Erro Formulações de Seguda Ordem Formulações de Quarta Ordem Erro e Estabilidade Numérica Aálise Espectral CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICES APÊNDICE : Formulação Não-Coservativa de Difereças Fiitas - 2 a ordem APÊNDICE 2: Formulação Coservativa de Difereças Fiitas - 2 a ordem APÊNDICE 3: Formulação de Volumes Fiitos Tradicioal - 2 a ordem APÊNDICE 4: Formulação Coservativa de Volumes Fiitos SA 2() APÊNDICE 5: Formulação Coservativa de Volumes Fiitos SA 2() APÊNDICE 6: Formulação Coservativa de Volumes Fiitos SA 2(2) APÊNDICE 7: Formulação Não-Coservativa de Difereças Fiitas - 4 a ordem APÊNDICE 8: Formulação Coservativa de Difereças Fiitas - 4 a ordem APÊNDICE 9: Formulação de Volumes Fiitos de Zigg & Pullia APÊNDICE : Formulação Coservativa de Volumes Fiitos SA 4(2) APÊNDICE : Formulação Coservativa de Volumes Fiitos SA 4(3) APÊNDICE 2: Formulação Coservativa de Volumes Fiitos SA 4(4) APÊNDICE 3: Erro Numérico

10 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIG.2. Coditividade Térmica para diferetes valores de θ FIG.2.2 Temperatura para diferetes valores de θ FIG.4. FIG.4.2 FIG.4.3 FIG.4.4 FIG.4.5 FIG.4.6 FIG.4.7 FIG.4.8 FIG.4.9 FIG.4. FIG.4. FIG.4.2 FIG.4.3 FIG.4.4 FIG.4.5 Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas de Seguda Ordem Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas de Seguda Ordem Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação SA 2() Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação SA 2() Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação SA 2() Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação SA 2() Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação SA 2(2) Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação SA 2(2) Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas de Quarta Ordem Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas de Quarta Ordem Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação de Zigg & Pullia Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação SA 4(2)

11 FIG.4.6 Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação SA 4(2) FIG.4.7 Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação SA 4(3) FIG.4.8 Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação SA 4(3) FIG.4.9 Ordem umérica com malha de, 2 e 4 potos. Formulação SA 4(4) FIG.4.2 Ordem umérica com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação SA 4(4) FIG.4.2 K x em fução de K x, para seguda derivada FIG.7. FIG.7.2 FIG.7.3 FIG.7.4 FIG.7.5 FIG.7.6 FIG.7.7 FIG.7.8 FIG.7.9 FIG.7. FIG.7. FIG.7.2 Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos.

12 FIG.7.3 FIG.7.4 FIG.7.5 FIG.7.6 FIG.7.7 FIG.7.8 FIG.7.9 FIG.7.2 FIG.7.2 FIG.7.22 FIG.7.23 FIG.7.24 FIG.7.25 FIG.7.26 FIG.7.27 FIG.7.28 FIG.7.29 Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos.

13 FIG.7.3 FIG.7.3 FIG.7.32 FIG.7.33 FIG.7.34 FIG.7.35 FIG.7.36 FIG.7.37 FIG.7.38 FIG.7.39 FIG.7.4 FIG.7.4 FIG.7.42 FIG.7.43 FIG.7.44 FIG.7.45 FIG.7.46 Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. 2

14 FIG.7.47 FIG.7.48 FIG.7.49 FIG.7.5 FIG.7.5 FIG.7.52 FIG.7.53 FIG.7.54 FIG.7.55 FIG.7.56 FIG.7.57 FIG.7.58 FIG.7.59 FIG.7.6 FIG.7.6 FIG.7.62 FIG.7.63 Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Volumes Fiitos Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. 3

15 FIG.7.64 FIG.7.65 FIG.7.66 FIG.7.67 FIG.7.68 FIG.7.69 FIG.7.7 FIG.7.7 FIG.7.72 FIG.7.73 FIG.7.74 FIG.7.75 FIG.7.76 FIG.7.77 FIG.7.78 FIG.7.79 FIG.7.8 Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. 4

16 Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem FIG.7.8 FIG.7.82 FIG.7.83 FIG.7.84 FIG.7.85 FIG.7.86 FIG.7.87 FIG.7.88 FIG.7.89 FIG.7.9 FIG.7.9 FIG.7.92 FIG.7.93 FIG.7.94 FIG.7.95 FIG.7.96 Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Modificada 2 de Seguda Ordem

17 FIG.7.97 Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.98 Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.99 Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7. Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7. Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.2 Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.3 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.4 Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.5 Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.6 Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.7 Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.8 Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.9 Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7. Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7. Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.2 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Não-Coservativa. Quarta ordem FIG.7.3 Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem

18 FIG.7.4 Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.5 Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.6 Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.7 Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.8 Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.9 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.2 Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.2 Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.22 Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.23 Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.24 Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.25 Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.26 Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.27 Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.28 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação Coservativa de Difereças Fiitas. Quarta ordem FIG.7.29 Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.3 Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação de Zigg & Pullia

19 FIG.7.3 Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.32 Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.33 Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.34 Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.35 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.36 Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.37 Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.38 Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.39 Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.4 Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.4 Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.42 Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.43 Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.44 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação de Zigg & Pullia FIG.7.45 Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.46 Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.47 Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem

20 FIG.7.48 Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.49 Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.5 Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.5 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.52 Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.53 Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.54 Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.55 Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.56 Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.57 Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.58 Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.59 Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.6 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada. Quarta Ordem FIG.7.6 Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.62 Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.63 Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.64 Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem

21 FIG.7.65 Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.66 Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.67 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.68 Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.69 Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.7 Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.7 Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.72 Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.73 Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.74 Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.75 Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.76 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 2. Quarta Ordem FIG.7.77 Ordem umérica para θ = com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.78 Ordem umérica para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.79 Ordem umérica para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.8 Ordem umérica para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.8 Ordem umérica para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem

22 FIG.7.82 Ordem umérica para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.83 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.84 Ordem umérica para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.85 Ordem umérica para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.86 Ordem umérica para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.87 Ordem umérica para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.88 Ordem umérica para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.89 Ordem umérica para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.9 Ordem umérica para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.9 Ordem umérica para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.92 Ordem umérica para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos. Formulação modificada 3. Quarta Ordem FIG.7.93 Erro Relativo para θ = com malha de, 2 e 4 potos FIG.7.94 Erro Relativo para θ = 2 com malha de, 2 e 4 potos FIG.7.95 Erro Relativo para θ = 3 com malha de, 2 e 4 potos FIG.7.96 Erro Relativo para θ = 4 com malha de, 2 e 4 potos FIG.7.97 Erro Relativo para θ = 5 com malha de, 2 e 4 potos FIG.7.98 Erro Relativo para θ = 6 com malha de, 2 e 4 potos FIG.7.99 Erro Relativo para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos FIG.7.2 Erro Relativo para θ = 2 com malha de 2, 4 e 8 potos FIG.7.2 Erro Relativo para θ = 3 com malha de 2, 4 e 8 potos FIG.7.22 Erro Relativo para θ = 4 com malha de 2, 4 e 8 potos FIG.7.23 Erro Relativo para θ = 5 com malha de 2, 4 e 8 potos FIG.7.24 Erro Relativo para θ = 6 com malha de 2, 4 e 8 potos

23 FIG.7.25 Erro Relativo para θ = 7 com malha de 2, 4 e 8 potos FIG.7.26 Erro Relativo para θ = 8 com malha de 2, 4 e 8 potos FIG.7.27 Erro Relativo para θ = 9 com malha de 2, 4 e 8 potos FIG.7.28 Erro Relativo para θ = com malha de 2, 4 e 8 potos

24 LISTA DE TABELAS TAB.4. Ordem de Erro míima e média para malha -2-4 potos, formulação Não-Coservativa Aalítica TAB.4.2 Ordem de Erro míima e média para malha -2-4 potos, formulação Não-Coservativa Numérica TAB.4.3 Ordem de Erro míima e média para malha potos, formulação Não-Coservativa Aalítica TAB.4.4 Ordem de Erro míima e média para malha potos, formulação Não-Coservativa Numérica TAB.4.5 Ordem de Erro míima e média para malha -2-4 potos, formulação Não-Coservativa Aalítica de Quarta Ordem TAB.4.6 Ordem de Erro míima e média para malha -2-4 potos, formulação Não-Coservativa Numérica de Quarta Ordem TAB.4.7 Ordem de Erro míima e média para malha potos, formulação Não-Coservativa Aalítica de Quarta Ordem TAB.4.8 Ordem de Erro míima e média para malha potos, formulação Não-Coservativa Numérica de Quarta Ordem TAB.4.9 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha -2-4 potos. θ = TAB.4. Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha -2-4 potos. θ = TAB.4. Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha -2-4 potos. θ = TAB.4.2 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha -2-4 potos. θ = TAB.4.3 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha -2-4 potos. θ = TAB.4.4 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha -2-4 potos. θ = TAB.4.5 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ = TAB.4.6 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ =

25 TAB.4.7 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ = TAB.4.8 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ = TAB.4.9 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ = TAB.4.2 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ = TAB.4.2 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ = TAB.4.22 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ = TAB.4.23 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ = TAB.4.24 Erro Relativo Máximo e Médio, e CFL Máximo, para malha potos. θ =

26 LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS E Eergia itera total por uidade de massa h Coeficiete de trasferêcia de calor por covecção L Comprimeto do meio P Pressão q Termo fote T Temperatura T Solução maufaturada T L Temperatura do fluido extero Codutividade térmica K Número de oda K Número de oda modificado u i Compoetes do vetor velocidade µ Viscosidade diâmica θ Parâmetro de cotrole dos gradietes, e úmero de potos a malha espacial ρ Massa específica ρc p Capacidade térmica a pressão costate 25

27 RESUMO O presete estudo apreseta uma extesa ivestigação umérica sobre o tratameto da difusão de eergia com propriedades variáveis. Para tal, foram realizados testes uméricos em um problema uidimesioal trasiete de codução de calor. Testes foram realizados com esquemas cetrados para resolução espacial, iicialmete com seguda ordem de precisão e, posteriormete, com quarta ordem. Foram empregadas, para ambos os esquemas, as formulações coservativas e ão-coservativas do método de difereças fiitas. Os mesmos testes foram aida realizados empregado uma formulação itrisecamete coservativa do método de volumes fiitos. Visado avaliar a estabilidade umérica dos esquemas espaciais aalisados, o impacto destes a marcha temporal foi ivestigado através do passo máximo o tempo obtido com o método de Euler. Também foram realizadas aálises de erro, ordem do erro e também resolução espectral dos esquemas estudados. Por fim, foi proposta uma ova formulação para resolução espacial de termos difusivos com propriedades variáveis que teta agregar as melhores características de cada esquema aalisado. Os resultados obtidos pelo método proposto foram cosideravelmete superiores aos demais esquemas aalisados. 26

28 ABSTRACT This study presets a extesive umerical ivestigatio o the treatmet of diffusive terms with variable properties. I order to accomplish this, several tests were performed o the oedimesioal trasiet heat coductio problem. Firstly, tests were performed employig a secod order accurate cetered scheme for spatial resolutio, further, fourth order schemes were aalyzed as well. For both formulatios, coservative ad o-coservative fiite differece methods were employed. Further the same tests were performed usig a itrisically coservative formulatio of Fiite Volume method. I order to evaluate the ifluece of the treatmet of diffusive terms o umerical stability of these time-marchig schemes, ivestigatios were doe cosiderig the maximum time step allowable with the Euler method. Amog other umerical features, were aalyzed the behavior of the error ad the order of accuracy produced by these schemes. Fially, we proposed a ew formulatio for diffusive terms of spatial resolutio with variable properties that combies otable features of each aalyzed scheme. The results obtaied by the proposed method were cosiderably better the the other schemes aalyzed. 27

29 INTRODUÇÃO Ao logo das últimas décadas, o desevolvimeto de ovos métodos uméricos para resolução espacial das equações de govero em feômeos de trasporte cocetrou maiores esforços a costrução de aproximações discretas para seus termos advectivos, dado meor ateção aos termos difusivos. Isto se deve a maior complexidade do primeiro, quado comparado ao segudo. Um exemplo está a área aeroespacial (LANEY, 998), ode a simulação de escoametos compressíveis de alta velocidade utiliza as equações de Euler para modelar a propagação de odas de choque e expasão, detre outros feômeos. O presete trabalho teta preecher esta lacua. Ele está voltado para o estudo de termos difusivos cotedo propriedades variáveis, como os existetes as equações de Navier-Stoes.. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Ates de discutir o tratameto uméricos dos termos difusivos, é preciso distiguir etre as duas abordages mais comumete utilizadas a mecâica dos fluidos e trasferêcia de calor computacioal. Elas são os métodos de difereças fiitas e volumes fiitos (LOMAX et al., 2). A primeira abordagem é baseada o uso de expasões em série de Taylor ao redor de um poto discreto, aplicadas diretamete à forma diferecial das equações de govero (TAN- NEHILL et al., 997). Ela possui duas grades vatages, a dedução matemática rigorosa da ordem de erro e da estabilidade umérica de seus esquemas discretos e também a flexibilidade a escolha de formulações coservativas ou ão-coservativas para seus esquemas. Já a seguda abordagem é baseada a forma itegral das equações de coservação (VERSTEEG e MALA- LASEKERA, 995). Ela possui duas grades vatages, sua formulação itrisecamete coservativa e sua capacidade de lidar com geometrias irregulares aturalmete. Devido a estas difereças etre os métodos de difereças e volumes fiitos, as pricipais características dos esquemas utilizados para discretização dos termos difusivos podem variar sigificativamete. Termos difusivos ão possuem uma direção preferecial de propagação, como ocorre com os termos advectivos devido ao trasporte promovido pelo movimeto do fluido. Logo, sua discretização é mais simples e tradicioalmete feita através de aproximações cetradas. Por esta razão, a maior parte da literatura sobre o assuto está cotida em livros, como os citados acima. Ecotrar artigos recetes sobre o assuto ão é uma tarefa trivial. Desta forma, a revisão bibliográfica desta dissertação se cocetrou a discretização dos termos difusivos utilizada 28

30 para simulação de escoametos modelados pelas equações de Navier-Stoes. Um destes estudos é o trabalho de BASSI e REBAY (997), que utiliza simulação umérica para computar o escoameto viscoso compressível em toro de aerofólios. Os autores utilizam um método de elemetos fiitos para solução umérica das equações de Navier-Stoes compressíveis. O estudo estede uma discretização descotiua de elemetos fiitos origialmete cosiderada para sistemas hiperbólicos, tais como as equações de Euler, para o caso das equações de Navier-Stoes tratado os termos viscosos com uma formulação mista. As derivadas de primeira ordem das variáveis coservativas coduzem as derivadas de quarta ordem quado se avalia o divergete dos fluxos viscosos. Etretato, as derivadas de seguda ordem ão podem ser aplicadas diretamete uma formulação variacioal fraca utilizado um espaço de fução descotíua. O método combia diferetes características comumete associadas a elemetos fiitos e métodos de volumes fiitos. Assim como em métodos clássicos de elemetos fiitos, de fato, a precisão é obtida por meio de aproximação poliomial de alta ordem detro de um elemeto, em vez de estêcis de largura, como o caso de regimes de volumes fiitos. A física de propagação de odas é, o etato, represetada por resolver os problemas (aproximados) de Riema, que surgem a partir da represetação descotíua da solução. A este respeito o método é semelhate a de um esquema de volume fiito. Outro trabalho é o estudo feito por ZHONG (998). Em seu estudo ele utiliza simulação umérica direta para estudar o feômeo da trasição lamiar-turbuleta em camadas limites supersôicas a preseça de odas de choque. Ele utiliza um método de difereças fiitas com alta ordem de resolução temporal e espacial. Neste estudo, a codição de cotoro é a própria oda de choque para evitar erros uméricos causados o tratameto desta descotiuidade. No que diz respeito ao tratameto do termo difusivo, o autor descreve as duas formulações tradicioais em difereças fiitas: coservativa e ão-coservativa. A primeira garate coservação dos fluxos difusivos, que são os fluxos codutivos ou viscosos o caso das equações de Navier-Stoes. Ela é obtida essecialmete aplicado-se a aproximação discreta para a primeira derivada duas vezes. Isto é mais fácil de se implemetar, porém leva a um estêcil cotedo um maior úmero de potos. Já a formulação ão-coservativa expade o operador difusivo, fazedo aparecer a seguda derivada explicitamete. A discretização desta versão leva ao meor úmero de potos possível o estêcil para uma dada ordem de erro. Por esta razão, a estabilidade umérica da formulação ão-coservativa é maior que a da versão coservativa, porém ela ão garate coservação dos fluxos difusivos. Em uma sequecia de trabalhos publicados por RANGO e ZINGG (2), ZINGG (2) e RANGO (2), uma aálise comparativa de diferetes tipos de discretização espacial para as equações de Navier-Stoes é apresetada. Eles utilizam o escoameto turbuleto, subsôico 29

31 e trasôico ao redor de aerofólios como problema base para comparação das simulações. O pricipal foco destes estudos são os termos advectivos, mas uma ova discretização dos termos difusivos também é apresetada. Como os autores utilizam volumes fiitos, a primeira aproximação, relacioada a primeira derivada extera, é feita em relação as faces dos volumes. O termo resultate, que iclui a multiplicação de uma propriedade do fluido e a primeira derivada itera, é etão aproximado usado iformações os cetros dos volumes. Por esta razão, o úmero de potos do estêcil é meor que o utilizado pela formulação coservativa equivalete do método de difereças fiitas, mas aida é maior que o utilizado pela formulação ão- coservativa equivalete deste método. Os autores afirmam que a perda de precisão ão é sigificativa, porém ão apresetam resultados pra ordem de erro obtida umericamete. O trabalho feito por LELE (992) aalisa esquemas compactos de difereças fiitas cetradas com variadas ordem de erro. Versões parcialmete atrasadas e avaçadas também são forecidas para uso em problemas com codições de cotoro ão-periódicas. O autor efatiza uma aálise do úmero de oda e velocidade de fase modificados destes esquemas, demostrado que esquemas compactos se aproximam mais do ideal espectral do que esquemas explícitos para um mesmo úmero de potos o estêcil. Desta forma, ão há prejuízos sigificativos a estabilidade umérica destes esquemas. Fórmulas para a primeira e seguda derivadas são forecidas, podedo ser utilizadas para termos difusivos. No estudo de SANDHAM et al. (22) é discutido esquemas de etropia cosistetes para simulação de escoametos turbuletos complexos. Tratado a preservação de vorticidade como uma variável secudária, os desafios ieretes a essa metodologia residem a solução umérica das equações dos sistemas ão-lieares com restrições o método de discretização. Os autores ressaltam que o uso destes esquemas para termos difusivos das equações de Navier-Stoes ão é trivial devido à derivação de termos que já cotém derivadas. Este procedimeto causa uma desacoplameto par-ímpar que deve ser evitado por itroduzir oscilações de alta frequêcia a solução. Por esta razão, uma formulação ão-coservativa é recomedada. NAGARAJAN et al. (23) apresetam um esquema cetrado de alta ordem compacto para simulação de grades vórtices dos escoametos compressíveis turbuletos. Os autores comparam esquemas compactos clássicos de difereças fiitas com suas respectivas versões para volumes fiitos, ou seja, com potos avaliados a iterface em vez do cetro das células. Estas duas abordages também são chamadas de colocadas e deslocadas, respectivamete. Utilizado uma aálise do úmero de oda modificado, eles mostram que a versão deslocada possui comportameto muito superior as regiões de alto úmero de oda, tato para a primeira quato para a seguda derivadas. Além disso, a formulação coservativa deslocada para os termos difusivos apreseta uma degradação muito pequea para altos úmero de oda, ao cotrário da 3