UM ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO MULTIOBJETIVO APLICADO AO PLANEJAMENTO OPERACIONAL DE LAVRA EM MINAS A CÉU ABERTO

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1 UM ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO MULTIOBJETIVO APLICADO AO PLANEJAMENTO OPERACIONAL DE LAVRA EM MINAS A CÉU ABERTO Guido Pantuza Jr Mestrando em Engenharia Mineral UFOP gpantuza@demin.ufop.br Marcone Jamilson Freitas Souza Prof. do Departamento de Computação UFOP marcone@iceb.ufop.br RESUMO Este trabalho apresenta um Algoritmo Genético Híbrido Multiobjetivo para o problema de planejamento de lavra em minas a céu aberto. Neste problema, sabe-se que cada frente possui características de qualidade diferentes e que o ritmo de lavra deve ser realizado de forma proporcional, gerando uma alimentação que atenda a metas de qualidade e produção requeridas, otimizando o uso dos caminhões. Para atender essas metas utilizou-se uma abordagem multiobjetivo, ou seja, utiliza-se um conjunto de soluções denominadas Paretoótimas ou eficientes, cabendo ao decisor escolher qual solução deve ser adotada. Dado sua complexidade combinatória, o problema é resolvido utilizando um algoritmo genético combinado com um método de busca local. Resultados computacionais mostram que o algoritmo proposto apresenta um bom desempenho em termos de qualidade de soluções e tempo de execução. Palavras-chave: Planejamento de Lavra; Otimização Multiobjetivo; Algoritmo Genético. ABSTRACT This work presents a Multiobjective Hybrid Genetic Algorithm for the problem of open pit mine planning. In this problem, one knows that each front has different characteristics of quality and that the rhythm of exploitation must be carried through of proportional form, generating a feeding that takes care of to the goals of required quality and production, optimizing the use of the trucks. To take care of these goals a multiobjective boarding was used, that is, uses a set of Pareto-excellent or efficient called solutions, fitting to the decisionmaker to choose which solution it must be adopted. Because the computational complexity, the problem are decided using a genetic algorithm with a method of local search. Computational results show that the considered algorithm presents one good performance in terms of quality of solutions and time of execution. Keywords: Open pit mine planning; Multiobjective Optimization; Genetic Algorithm. 1

2 INTRODUÇÃO Durante o último ano, o surgimento de uma nova crise mundial obrigou as empresas do setor mineral a reduzirem seus gastos para garantirem a sua saúde financeira e, dessa forma, assegurarem a sua competitividade no mercado internacional. Dentro desse contexto, algumas empresas optaram pela paralisação temporária das operações da mina ou até mesmo pela desativação destas. Para garantir o vigor econômico e a competitividade de uma empresa é necessário uma gestão otimizada e uma melhora contínua de seu processo produtivo visando à redução de gastos. Uma forma eficiente de reduzir gastos, é através de um planejamento operacional de lavra otimizado, minimizando assim, os gastos operacionais com a explotação do minério, o desperdício de recursos e as multas por atraso ou por produtos fora da especificação requisitada. O problema de planejamento operacional de lavra em minas à céu aberto, considerando alocação dinâmica de caminhões, POLAD, consiste em alocar os equipamentos de carga às diversas frentes de lavra, bem como determinar o número de viagens por hora a serem realizadas por cada caminhão a cada frente de lavra respeitando as restrições operacionais da mina, as especificações de qualidade e a meta de produção para o produto requerido utilizando o menor número de caminhões possível. Neste trabalho consideramos dois pontos de descarga para o material lavrado, sendo o britador primário para descarga de minério e a pilha de estéril para descarga de estéril. Ao contrário dos trabalhos anteriores encontrados na literatura, também consideramos o tempo de ciclo dos equipamentos como uma variável que depende da frente de lavra, do tipo de equipamento, e do tipo de material transportado. Isto porque, além de cada modelo de caminhão levar um tempo diferente para percorrer um mesmo trajeto e este tempo também ser influenciado pelo tipo de carga (minério ou estéril), a trajetória até a pilha de estéril está cada vez mais distante devido às normas de proteção ambiental. O planejamento operacional de lavra, quando feito de forma manual, demanda muito tempo do decisor e geralmente não conduz a bons resultados. A utilização de um sistema computacional de auxílio à tomada de decisão pode garantir uma economia de tempo e dinheiro para a empresa, uma vez que através deste é possível otimizar o número de equipamentos utilizados, respeitando as metas de produção e qualidade. Entre as abordagens encontradas na literatura para o POLAD, destacam-se a otimização mono-objetivo Merschmann e Pinto (2001); Costa et al. (2004); Souza et al. (2007); Ribas et al. (2009) e a otimização multiobjetivo Pantuza Jr. e Souza (2009). Enquanto a abordagem mono-objetivo considera um único objetivo a ser otimizado, a otimização multiobjetivo considera vários objetivos conflitantes entre si, o que torna o sistema mais flexível, uma vez que ela apresenta diversas soluções diferentes, cabendo ao decisor escolher a que for mais conveniente. O restante deste trabalho está organizado como segue. A próxima seção apresenta uma breve fundamentação teórica sobre otimização multiobjetivo e na seguinte é descrita a metodologia utilizada para tratar o problema. Na sequência são apresentados o cenário utilizado para testar 2

3 o algoritmo proposto, bem como os resultados encontrados. Na última seção são apresentadas as conclusões e apontados os trabalhos futuros. OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO O POLAD é composto por metas conflitantes (número de caminhões utilizados e metas de produção e qualidade), ou seja, não existe uma solução única que otimize todas elas ao mesmo tempo. Segundo Arroyo (2009), para tal classe de problemas pode-se buscar um conjunto de soluções eficientes. Problemas dessa natureza são chamados de problemas de otimização multiobjetivo por envolverem minimização (ou maximização) simultânea de um conjunto de objetivos satisfazendo a um conjunto de restrições. Neste caso, a tomada de decisão será de responsabilidade do decisor, que poderá escolher a solução que melhor se adapta às necessidades de produção dentre as soluções eficientes. O conjunto de soluções eficientes também é conhecido como soluções Pareto-ótimas. Segundo Pareto (1896), o conceito de Pareto-ótimo constitui a origem da busca na otimização multiobjetivo. Por definição, um conjunto de soluções S é Pareto-ótimo se não existe um outro conjunto de soluções viáveis S que possa melhorar algum objetivo, sem causar uma piora em pelo menos um outro objetivo. Em outras palavras, uma solução s pertence ao conjunto de soluções Pareto-ótimo se não existe solução s que domine s. Considerando um problema de minimização, temos: s domina s se, e somente se, s j s j j e s j < s j para algum j; s e s são indiferentes ou possuem o mesmo grau de dominância se, e somente se, s não domina s e s não domina s. Para a resolução de problemas multiobjetivos, os métodos variam entre métodos exatos e heurísticos. Para a abordagem exata temos a certeza de uma solução ótima mas, geralmente, para problemas complexos, o tempo despendido é superior ao tempo disponível para a tomada de decisão. A utilização de métodos heurísticos é recomendada quando se busca uma boa solução em tempo hábil, mas esse método não garante a otimalidade da solução para o problema. Entre os métodos exatos, destacam-se a programação por metas ou goal programming, a qual consiste na atribuição de pesos aos diferentes objetivos, convertendo assim, os múltiplos objetivos em um único. Esse método considera que as soluções de interesse são aquelas em que as variáveis de desvio estão mais próximas de zero. Porém, para alguns autores, como Pereira (2004), esse procedimento de solução aplicado aos problemas multiobjetivos apresenta restrições de uso, sendo ineficiente por priorizar um objetivo em detrimento de outro. Neste caso, devemos buscar novos métodos de otimização para esta gama de problemas. 3

4 Entre os inúmeros trabalhos relacionados à abordagem heurística multiobjetiva, destacam-se como os mais utilizados, os Algoritmos Genéticos, os quais são baseados na teoria da evolução. Nos Algoritmos Genéticos Multiobjetivos, a cada geração, ou iteração, tem-se um conjunto de indivíduos, ou soluções-pais, sobre os quais são aplicados operadores genéticos (por exemplo, recombinação e mutação) para gerar uma nova população de soluções formada pelas soluções-pai e soluções-filho. Entre os inúmeros Algoritmos Genéticos Multiobjetivos, destacamos: VEGA, MOGA, NPGA, SPEA e NSGA. No Vector Evaluated Genetic Algorithm (VEGA), a cada geração, um grupo de indivíduos que supera os demais de acordo com um dos n objetivos é selecionado, até que n grupos sejam formados. Então os n grupos são misturados conjuntamente e os operadores genéticos são aplicados para formar a próxima geração. No Multiobjective Genetic Algorithm (MOGA), cada indivíduo i é classificado em um nível de acordo com o número de indivíduos que esse indivíduo i domina. Todos os indivíduos não dominados são classificados no nível 1. A aptidão de cada indivíduo é atribuída de acordo com uma interpolação entre o melhor e o pior nível. A aptidão final atribuída a todos os indivíduos de um mesmo nível é a mesma e igual à média da aptidão do próprio nível. Dessa forma, todos os indivíduos do mesmo nível são indiferentes entre si. No Niche Pareto Genetic Algorithm (NPGA), a seleção dos indivíduos se dá através de um torneio baseado no conceito de dominância de Pareto. Dois indivíduos são selecionados e comparados com um subconjunto da população de soluções, sendo selecionado para a próxima geração aquele que não for dominado. No algoritmo Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA), é utilizada a seleção baseada na relação de dominância para avaliar e selecionar as soluções. Para avaliar essa relação de dominância e classificar os indivíduos em níveis de dominância, o SPEA usa um conjunto adicional da população. Porém, ao contrário dos algoritmos anteriores, os quais descartam os indivíduos não selecionados, ele utiliza os indivíduos não dominados da população da geração anterior para determinar a aptidão dos indivíduos da população corrente. No algoritmo Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA), os indivíduos são classificados em níveis de acordo com seu grau de dominância, tal como nos algoritmos anteriores. Entretanto, é atribuído um valor de aptidão a cada indivíduo de acordo com seu nível e sua distância em relação às outras soluções do mesmo nível, a chamada distância de multidão. A seleção é feita através de torneios utilizando o valor de aptidão até que todas as vagas para a próxima geração sejam preenchidas. Como o POLAD é classificado como NP-difícil segundo Costa et al. (2005), neste trabalho utilizou-se um Algoritmo Genético Híbrido Multiobjetivo (AGHM) para a resolução do problema, uma vez que, segundo Arroyo (2009), geralmente, um AGHM é mais eficiente que um Algoritmo Genético Puro Multiobjetivo (AGPM). 4

5 METODOLOGIA AGHM aplicado ao POLAD O algoritmo proposto começa sua execução partindo de uma população inicial P 0 gerada aleatoriamente, sendo o número máximo de indivíduos N ind da população definido através de testes empíricos. Após esse passo, os indivíduos são classificados em diversos níveis Ni 1, Ni 2,, Ni k, de acordo com o grau de dominância de tais indivíduos. Após isso, é formada uma nova geração Q de indivíduos pela aplicação dos operadores genéticos tradicionais. Os indivíduos mais aptos são definidos e selecionados para integrar a próxima geração. Este processo é repetido até que se atinja o número máximo de gerações G max, que também foi definido através de testes empíricos. O Algoritmo 1 apresenta o pseudocódigo do AGHM proposto. Algoritmo 1: AGHM Representação de um Indivíduo Para cada indivíduo são utilizadas T matrizes inteiras S de dimensões N (N + 1), em que: T é o conjunto de equipamentos de transporte. N é o conjunto de nós, composto pelo conjunto de frentes de lavra F, pelos pontos de descarga (britador (Brit) e pilha de esteril (PEst)), pelo nó origem (Ori) e pelo nó destino (Dest). T Essa matriz S pode ser decomposta em duas submatrizes C e V, isto é: S N (N+1) V O D. = C N 1 A submatriz C N 1 representa a alocação dos equipamentos de carga ao conjunto N de nós e os respectivos status desses equipamentos que podem estar ativos ou não. A submatriz V O D representa o número de vezes que cada equipamento de transporte (caminhões) Cam l T utiliza o arco (O;D), sendo O o nó de origem e D o nó de destino, com O,D N. 5

6 Cada matriz S T, pertencente ao indivíduo, representa a rota a ser usada pelo caminhão Cam l T. Enquanto a coluna Carga, que é a mesma para todos os caminhões Cam l T de um mesmo indivíduo, representa a alocação dos equipamentos de carga às frentes de lavra, as linhas representam os nós de origem O e as outras colunas, os nós de destino D do arco (O;D). A Fig. 1 ilustra um exemplo de solução para o problema. Pode-se observar, nessa figura, o valor (Car 2,1) na linha F 1 da coluna Carga. Esse valor indica que o equipamento de carga Car 2 está alocado à frente F 1 e está ativo. Na coluna Carga, linha F 2, o valor (Car 8,0) indica que o equipamento de carga Car 8 está alocado à frente F 2, mas está inativo. Ainda nessa coluna, linha F F, o valor (D, 0) indica que esta frente está disponível, pois não há equipamento de carga alocado a ela. A letra X na linha F 4 representa a incompatibilidade entre o caminhão Cam 1 e a carregadeira Carga 4. O símbolo # na coluna Carga significa que nenhuma carregadeira pode ser alocada à frente correspondente. Enquanto o valor na linha Ori, coluna Brit representa o número total de viagens que o caminhão Cam l faz às frentes de minério; na coluna PEst dessa mesma linha representa-se o número total de viagens que o caminhão Cam l realiza às frentes de estéril. Os demais valores representam a rota do caminhão Cam l. Cam l Carga Ori F 1 F 2 F 3 F F Brit PEst Dest Ori # F 1 Car 2, F 2 Car 8, F 3 Car 3, F 4 Car 4,1 X X X X X X X X F F (D;0) Brit # Pest # Dest # Figura 1: Representação de um indivíduo Geração de uma População Inicial O processo de determinação da população inicial pode ser dividido em dois estágios, cada qual repetido para cada indivíduo até que se atinja o número máximo de indivíduos N ind da população. No primeiro estágio, para cada equipamento de carga disponível, uma frente de lavra é escolhida aleatoriamente na submatriz C, sendo que cada frente recebe, no máximo, um único equipamento. O segundo estágio é repetido para toda frente que possua uma carregadeira alocada. Para cada caminhão que seja compatível operacionalmente com a carregadeira, é atribuído como número de viagens desse caminhão a essa frente um valor aleatório menor que o número 6

7 máximo de viagens que o caminhão T pode realizar em uma hora, considerando o tempo de ciclo desse caminhão à essa frente, bem como a sua taxa de utilização. Esse valor é atribuído à célula V FF ; Brit, se a frente for de minério, ou à célula V FF ; PEst, se a frente for de estéril. Essa atribuição é feita para a carregadeira até que a sua produtividade máxima seja alcançada ou até que não haja mais caminhões disponíveis. Um caminhão só é utilizado na frente F se sua taxa máxima de utilização não tiver sido atingida. Avaliação de Um Indivíduo Para a seleção dos pais, os indivíduos são avaliados segundo a relação de dominância de Pareto. Cada indivíduo é classificado em um nível de acordo com o seu grau de dominância em relação aos outros indivíduos. Ou seja, a cada objetivo, um indivíduo é comparado a outro, definindo-se assim, a relação de dominância entre eles. Para calcular a relação de dominância do indivíduo s considera-se o número total de caminhões utilizados, o ritmo de lavra (produção de minério) e a qualidade do produto final. A produção de minério referente a um indivíduo i da população é mensurada segundo a equação (1). na qual: f p s = θ p P Pr (1) P Pr θ p : Produção de minério (t); : Meta de produção de minério (t); : Peso associado à avaliação da produção; O valor da produção de minério P pode ser obtido através do somatório das cargas de todas as viagens feitas pelos equipamentos de transporte às frentes de minério, multiplicadas pelas suas respectivas capacidades. A qualidade do produto final depende da quantidade de minério de cada frente de lavra utilizada na mistura e dos valores dos j-ésimos parâmetros de controle. Essa qualidade é calculada segundo a equação (2). f q q j s = θ j trj t j j S (2) sendo: t j : Teor encontrado para o parâmetro j (%); tr j : Meta de qualidade para o parâmetro j (%); q θ j : Peso associado à avaliação da qualidade do parâmetro j; Cada frente de lavra i possui um valor t ij para o parâmetro de controle j, o valor total do parâmetro de controle j obtido na mistura de minérios pode ser obtido através da média ponderada entre t ij e a produção de cada frente de minério xi. 7

8 Outros objetivos desejáveis, como a relação estéril / minério, a produtividade das carregadeiras e a taxa de utilização dos caminhões também são avaliados, mas não são utilizados para calcular a relação de dominância. Eles são utilizados apenas para garantir a viabilidade das soluções. A relação estéril / minério deve estar compreendida entre um valor máximo e mínimo e a produtividade das carregadeiras e a taxa de utilização dos caminhões deve ser menor que um valor máximo desejado. Operador Genético Recombinação A seleção dos pais é feita por meio de um torneio. Dois indivíduos são selecionados e aquele que possuir menor nível Ni k é selecionado. No caso de empate, é calculada a distância de multidão dist s, e aquele que possuir maior valor de dist s é selecionado. A distância de multidão é calculada de acordo com a Eq. (3): dist s = dist s + F m Ni s+1 F m Ni s 1 (3) na qual, dist s é o valor da distância de multidão do s-ésimo indivíduo do nível Ni k e F m S i é o valor da m-ésima função objetivo. O cálculo da distância de multidão permite que os indivíduos mais espalhados passem a ocupar as últimas vagas disponíveis da próxima população P k+1, garantindo, assim, a diversidade das soluções (Deb et al., 2000). Após a seleção dos indivíduos, apenas a submatriz C contendo as carregadeiras alocadas a cada frente é mantida. A submatriz V é reconstruída pelo procedimento descrito na subseção População Inicial. Mutação O operador genético mutação é aplicado a todos os indivíduos-filho. Ele consiste em uma busca local baseada em estruturas de vizinhanças conhecida como Método de Descida em Vizinhança Variável ou Variable Neighborhood Descent (VND). Inicialmente, o VND considera um conjunto de r vizinhanças distintas, cada qual definida por um tipo de movimento. A seguir, o VND parte de um indivíduo, o chamado indivíduo corrente, e analisa todos os indivíduos que estejam na sua primeira vizinhança, movendo-se para aquele que representar uma melhora segundo a função de avaliação. Esse procedimento é repetido até que não se encontre um indivíduo de melhora. Nesse caso, parte-se para a procura do melhor indivíduo na segunda vizinhança. Havendo melhora, retorna-se à primeira estrutura de vizinhança; caso contrário, passa-se para a próxima vizinhança. O método termina quando é encontrado um indivíduo que não tem vizinho melhor que ele em qualquer das vizinhanças consideradas. Seu pseudocódigo é mostrado no Algoritmo (2). 8

9 Algoritmo 2 VND Estruturas de vizinhanças Para explorar o espaço de soluções do problema foram utilizados 4 movimentos usados em Costa (2005), apresentados a seguir: 1. Acrescentar o número de viagens de um caminhão em uma frente NNPV(s): Este movimento consiste em aumentar em uma unidade o número de viagens de um equipamento de transporte t em uma frente i onde exista um equipamento de carga compatível e em operação. 2. Diminuir o número de viagens de um caminhão em uma frente NNNV(s): Este movimento consiste em diminuir em uma viagem o número de viagens de um equipamento de transporte t em uma frente i onde exista um equipamento de carga compatível e em operação. 3. Trocar equipamentos de carga e número de viagens NTCV(s): Este movimento consiste em trocar uma carregadeira de uma frente para outra frente que esteja disponível, mantendo-se as viagens dos caminhões à ela alocados. 4. Realocar viagem de uma frente para outra NRVF(s): Este movimento consiste em selecionar um caminhão e realocar uma viagem de uma frente para outra frente, mantendo-se assim o número de viagens do caminhão selecionado. População Sobrevivente Para definir a população sobrevivente é aplicada a regra de elitismo para cada objetivo. Isto é, sobrevivem os indivíduos mais aptos de cada objetivo, ou seja, os de menor valor do objetivo correspondente. Para definir o número de indivíduos por objetivo, é feita uma escolha aleatória do objetivo garantindo-se que cada objetivo seja escolhido pelo menos uma vez. Na definição da 9

10 população sobrevivente não se aceita a geração de clones, ou seja, cada indivíduo é selecionado uma única vez. RESULTADOS O algoritmo AGHM proposto foi desenvolvido na linguagem C, usando o compilador C++ Builder 5.0 da Borland. Ele foi testado em um PC Pentium Core 2 Duo, com 2,4 GHz e 4 GB de RAM sob plataforma Windows Vista. Para testá-lo foi considerada uma mina virtual, cujo processo produtivo é inspirado em dados de uma mineração de ferro da região de Ouro Preto (MG). Nessa mina virtual, há 6 carregadeiras, com capacidade de produção de 1000 toneladas/hora, 12 frentes de minério, 5 de estéril e 10 parâmetros de controle de qualidade, todos químicos. A frota, com um total de trinta caminhões, é heterogênea, sendo três grupos diferentes de caminhões com dez caminhões em cada grupo. O primeiro grupo de caminhões possui capacidade de 50 e 45 toneladas para minério e estéril respectivamente, o segundo grupo possui capacidade de 80 e 70 toneladas e o terceiro, de 150 e 135 toneladas para minério e estéril, respectivamente. A meta de produção e os limites superior e inferior são apresentados na Tabela (1). Tabela 1: Meta de Produção Produção de Minério (t/h) Limite Superior : 4300 Meta : 2900 Limite Inferior : 2500 Inicialmente, o AGHM foi submetido a uma bateria preliminar de testes para calibrar os diversos parâmetros existentes, tais como os pesos dos objetivos, número máximo de gerações e tamanho da população. Os valores adotados para os desvios de produção, de qualidade e número de caminhões utilizados são, respectivamente, 10, 100 e 100. Para o número máximo de gerações e tamanho total da população foram adotados, respectivamente, 200 gerações e 8 indivíduos. A Tabela (2) mostra o melhor, o pior e o valor médio para cada valor de objetivo alcançado, descontado o valor do respectivo peso, depois de uma bateria de 100 execuções. Tabela 2: Resultados do POLAD Melhor Média Pior Meta de Produção (t) : Qualidade (%) : 0,01 2,037 16,13 Caminhões Utilizados :

11 Na Tabela 2, a coluna Melhor apresenta o melhor resultado alcançado para cada objetivo, o valor na linha Meta de Produção indica o menor desvio, em toneladas, em relação à meta de produção requerida, o valor na linha Qualidade mostra o menor desvio médio, em percentagem, para os parâmetros de qualidade e a linha Caminhões Utilizados informa o menor número de caminhões utilizados nas 100 execuções. Nas colunas Pior e Média são apresentados, respectivamente, o pior valor e o valor médio encontrado para cada objetivo dentre todas as execuções. Com relação ao tempo computacional demandado pelo algoritmo, o menor tempo gasto foi de 7,61 segundos, o tempo médio foi de 12,45 segundos, enquanto o maior tempo foi de 23,19 segundos. CONCLUSÕES Este trabalho apresentou um Algoritmo Genético Híbrido Multiobjetivo, chamado de AGHM, para a resolução do problema de planejamento operacional de lavra em uma mina a céu aberto (POLAD). Para tornar o modelo mais aplicável considerou-se, ao contrário de outros trabalhos anteriores, dois pontos de descarga diferentes, capacidades diferentes para as cargas de minério e estéril dos caminhões, além do tempo de ciclo dos caminhões dependente da distância entre as frentes de lavra e os pontos de descarga, do tipo de carga (se minério ou estéril) e do tipo de caminhão. Considerou-se também que a frota de equipamentos de carga é heterogenia, ou seja, com diferentes taxas de utilização e produção, entretanto os tempos médios de carregamento são semelhantes, mesmo para diferentes caminhões. O algoritmo proposto combina os procedimentos heurísticos VND e Algoritmos Genéticos com o conceito de dominância de Pareto, explorando, dessa forma, as vantagens da Otimização Multiobjetivo. Os resultados computacionais mostraram a eficiência e flexibilidade da Otimização Multiobjetivo. De fato, a cada resolução obtém-se um conjunto de soluções eficientes, as quais ou priorizam alguma meta ou, então, estão equilibradas entre os diversos valores dos objetivos. Com a apresentação dessas alternativas, dá-se mais flexibilidade ao trabalho do decisor responsável pelo despacho dos caminhões na mina. Como trabalhos futuros propõem-se a inserção de novas estruturas de vizinhança para o método de busca local VND de forma a melhorar, ainda mais, a qualidade dos indivíduos resultantes. REFERÊNCIAS Arroyo, J. E. C. (2009).. Heurísticas e metaheurísticas para otimização combinatória multiobjetivo. Tese de doutorado., Unicamp, 11

12 Costa, F. P. (2005). Aplicações de técnicas de otimização a problemas de planejamento operacional de lavra em minas a céu aberto. Dissertação de mestrado, PPGEM / UFOP, Ouro Preto, M.G. Costa, F. P.; Souza, M. J. F. e Pinto, L. R. (2004). Um modelo de alocação dinâmica de caminhões visando ao atendimento de metas de produção e qualidade. Relatório técnico, CBMA. Costa, F. P.; Souza, M. J. F. e Pinto, L. R. (2005). Um modelo de programação matemática para alocação estática de caminhões visando ao atendimento de metas de produção e qualidade. Revista da Escola de Minas, v. 58, p Deb, K.; Agrawal, S.; Pratab, A. e Meyarivan, T. (2000). A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization: Nsga-II. Relatório técnico, Indian Institute of Technology. Merschmann, L. H. C. e Pinto, L. R. (2001). Planejamento operacional da lavra de mina usando modelos matemáticos. Relatório técnico, Revista Escola de Minas - REM, Ouro Preto, M. G. Pantuza Jr., G. e Souza, M. J. F. (2009). Modelo de simulação computacional para validação dos resultados de alocação dinâmica de caminhões com atendimento de metas de qualidade e de produção em minas a céu aberto. Anais do XVI Simpósio de Engenharia de Produção SIMPEP, Bauru, SP. Pareto, V. (1896). Cours D Economie Politique, volume 1. F. Rouge. Pereira, G. W. (2004). Aplicação da técnica de recozimento simulado em problemas de planejamento florestal multiobjetivo. Dissertação de mestrado, UFMG, Belo Horizonte, MG. Ribas, S.; Coelho, I. M.; Souza, M. J. F. e Menotti, D. (2009). Parallel iterated local search aplicado ao planejamento operacional de lavra. Anais SBPO, Porto Seguro, BA. Souza, M. J. F.; Pantuza Jr., G. e Guimarães, I. F. (2007). Modelo de simulação computacional para validação dos resultados de alocação dinâmica de caminhões com atendimento de metas de qualidade e de produção em minas a céu aberto. Anais do XIV Simpósio de Engenharia de Produção SIMPEP, Bauru, SP. 12