Notas das Aulas Teóricas de CDI-I

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1 Nots ds Auls Teórics de CDI-I Prof. Responsável: Ctrin Crvlho, o Semestre de 205/206 Aul 5/9/205 Informções sobre cdeir: págin Fénix. Números Reis e Sucessões Nests primeirs uls vmos ver como se pode definir os números reis prtir de lgums regrs básics dds como verddeirs - os chmdos Axioms, ds quis tudo o resto se deduz. Aproveitmos pr rever/introduzir lguns conceitos que serão muito úteis (e utilizdos) n cdeir: resolução de inequções, módulos e distâncis, números nturis e recorrênci, método de indução mtemátic, supremos e infimos. Há 3 tipos de xioms ( regrs básics ) que definem os números reis: I. Algébricos: proprieddes d som e multiplicção; II. Ordem: comprção, medid; III. Completude (do supremo): existênci de limites. Começmos por tomr, como termo primitivo, um conjunto R, cujos elementos se designm por números reis, onde estão definids dus operções: som e multiplicção. I. Axioms de Corpo Algébrico:, b, c 2 R () Comuttividde: + b = b +, b = b. (2) Associtividde: ( + b) + c = + (b + c), (b)c = (bc). (3) Distributividde: (b + c) = b + c. (4) Elemento neutro: Existem elementos diferentes 0 e tis que + 0 = =. (5) Simétrico: A equção + x = 0 tem solução em R. (6) Inverso: Se, 0, equção y = tem solução em R.

2 CDI-I o S 205/6 (Tods) s proprieddes lgébrics vosss conhecids seguem dests, e chmm-se Teorems ou Proposições. Por exemplo, Teorem.. Leis do Corte: Pr u, v, 2 R, (i) u + = v + ) u = v, (ii) Se, 0: u= v) u = v. A título de exemplo, vejmos como se provri (i) ds proprieddes (I.) - (I.6): tom-se x tl que + x = 0, de (I.5) e, usndo (I.2) e (I.4), Proprieddes: u + = v + ) (u + ) + x = (v + ) + x u + ( + x) = v + ( + x) ) u + 0 = v + 0 u = v.. Unicidde dos elementos neutros: se + x = = + 0 então d Lei do Corte, x = 0, e se y= =, então =. 2. Unicidde de soluções de + x = 0ex = : vê-se d mesm form, definimos o simétrico eoinverso, respectivmente como sendo esss soluções: + x = 0, x =, x=, x =,, 0. Podem então definir-se dus novs operções: Subtrção: b = b + ( ), Divisão: b = b. (que não são ssocitivs nem comuttivs - ver proprieddes seguintes). É clro que b = b. Outrs proprieddes (Exercício: provr usndo pens proprieddes cim): pr, b 2 R, temos ) 0 = 0 = 0; 2) b= 0, = 0 ou b = 0; 3) ( ) =, ( + b) = b, =, (b) = b ; 4) (b) = ( )b = ( b), ( )( b) = b;( b) = b ; 5) Csos notáveis: ( b)( + b) = 2 b 2,( ± b) 2 = 2 ± 2b+ b 2 (em que 2 =,2 = +...) 6) b ± c d d ± cb =, bd b c d = d bc. 2

3 CDI-I o S 205/6 Reprem que ests proprieddes não são exclusivs de R: Q e C verificm, N e Z não verificm. Tlvez mis surpreendente é o próximo exemplo, que mostr que s proprieddes lgébrics por si sónão dão estrutur esperd o nosso conjunto R. Exemplo.2. Considere Z 2 = {0, } com s operções +, definids pels tbels seguintes: Éfácil ver que Z 2 verific (I.) (I.6). Por outro ldo, verifique que simétrico de é ). = (ou sej, que o Aul 2 7/9/205 Vimos s proprieddes lgébrics básics de R. Veremos gor os xioms de ordem, que drão estrutur geométric que temos como intuitiv d rect rel. Notem que tmbém temos como ssumido d estrutur intuitiv de rect que o posicionrmos o número 0 dividimos os reis em dus prtes, disjunts. É isso que os proximos xioms grntem. II. Axioms de Ordem: Existe um subconjunto designdo por R + R, dito dos reis positivos, tl que () Fecho em relção + e : se, b 2 R + então + b 2 R +, b2 R + (2) Tricotomi: qulquer 2 R verific um, e um só, ds condições seguintes: 2 R +, ou = 0, ou 2 R +. É clro que o corpo lgébrico Z 2 não verific (II.2), já que ter-se-i simultnemente 2 R + e 2 R +. Podemos definir os reis negtivos como Neste cso, (II.2) poderi escrever-se R = {x 2 R : x 2 R + }. R = R + [{0}[R, em que R + \ R = ;, 0 < R + [ R Dqui prece noção de ordem (o que é mior ). Definimos, pr, b 2 R, > 0 se 2 R + e > b, b 2 R +. Escreve-se b <, > b, e (II.2) é equivlente dizer que pr, b 2 R verific-se um, e um só, de três csos possíveis: > b _ = b _ < b. 3

4 CDI-I o S 205/6 Em prticulr todos os elementos são compráveis, relção de ordem totl (estrutur de rect com sentido crescente). Temos R + = {x 2 R : x > 0} e R em R d form seguinte = {x 2 R : x < 0} e definem-se como é usul intervlos ], b [= {x 2 R : < x < b}, ], +[= {x 2 R : < x}, ], b [= {x 2 R : x < b}. (d mesm form ], b], etc.) Teorem.3 (Trnsitividde). Pr, b, c 2 R, se < b e b < c então < c. Porque: se b 2 R + e c b 2 R + então (b ) + (c b) 2 R +, c 2 R +, < c. Algums proprieddes muito úteis n resolução de inequções (e que se ssumem sbids):. > b, < b (já que b 2 R +, b ( ) 2 R +.) 2. Regrs de sinis: i) b > 0, ( > 0 ^ b > 0) _ ( < 0 ^ b < 0) ii) b < 0, ( > 0 ^ b < 0) _ ( < 0 ^ b > 0). 3. Leis do Corte: i) + c > b + c, > b. ii) c > bc, ( > b ^ c > 0) _ ( < b ^ c < 0). Si de 2.i) com b =, 0, que pr qulquer, 0, 2 > 0. Est observção simples tem váris consequêncis imedits: C não verific os Axioms de ordem, já que i 2 = < 0. = 2 > 0, e 2 = + > > 0, 3 = 2 + > 0, etc. Por outro ldo, e têm sempre o mesmo sinl, já que = > 0, e portnto s proprieddes nteriores tmbém são válids pr quocientes, por exemplo Exercício: Prove tmbém que Exemplos: > 0, ( > 0 ^ b > 0) _ ( < 0 ^ b < 0). b ( > b > 0 _ 0 > > b) ) < b, > 0 > b ) > b ) 4

5 CDI-I o S 205/6. x 2 ( x) pple x 2 x pple 0 x 2 x 2 < x. 4. Resolver, em R, x <. Qul o erro n resolução seguinte: (O conjunto solução é], 0[[], +[.) x <, < x, x >? Módulo ou vlor bsoluto: Define-se, pr x 2 R, x = ( x, x 0 x, x < 0. () Geometricmente, x represent distânci de x 0. Algums proprieddes (Exercício: provr). x 0e x = 0, x = x = x. 3. xy = x y e x 2 = x 2 = x Desiguldde tringulr: x + y pple x + y. 5. Se R > 0, x < R, x > R ^ x < R, R < x < R. x > R, x < R _ x > R. 6. x 2 < 2, x <. Pr 2 R fixo, éfácil ver que x represent distânci de x o ponto. Definição.4. Define-se vizinhnç de centro e rio >0, V () = {x 2 R : x < } = ], + [ como os conjunto dos pontos cuj distânci é inferior. 5

6 CDI-I o S 205/6 Por exemplo, V (0) =], [, V 0. ( ) =] 0.9,.[, V () =] 2 2, 3 2 [. Se estivermos proximr por x então x represent o erro cometido n proximção e o fzermos x <, estmos dmitir um mrgem de erro de, no máximo,. Por exemplo, pr proximrmos com erro no máximo de 0 2 queremos x tl que x < 0 2, podemos fzer x = 3, 4 (por defeito) ou x = 3, 5 (por excesso) ou x = 3, 425 (ou...) Exemplos: resolver em R. x < x + 4 >. 3. x 2 < x x 2 9 pple 0. x + x x 0. Aul 3 8/9/205 Vmos ver em mis detlhe gor lguns subconjuntos de R. Começmos pelos chmdos números nturis. Intuitivmente, (e té sbemos que > 0, + = 2 >, etc.) Um conjunto A R diz-se indutivo se 2 A, x 2 A ) x + 2 A. N = {, + = 2, + + = 3,...} É clro que R é indutivo, ssim como R +, [, +[,] 2, +[, e por ex. R, [, 0000] não são indutivos. Queremos definir N consistindo precismente dos sucessores de (e neste cso, todos os outros conjuntos indutivos o contêm), ou sej, N é menor conjunto indutivo: Definição.5. Define-se o conjunto N dos números nturis como N := {n 2 R : n 2 qulquer subconjunto indutivo de R} = intersecção de todos os conjuntos indutivos. Em prticulr, se A N e é indutivo, então A = N. Sej A N o conjunto ddo por A = {n 2 N : P(n) é verddeir}, pr um dd proposição ( firmção ) P(n), dependente de n 2 N. Este conjunto é indutivo se P() é verddeir e se P(n) verddeir ) P(n + ) verddeir. Neste cso, concluímos que A = N ou sej que P(n) é verddeir, pr qulquer n 2 N. Acbámos de ver um método muito útil pr provr firmções dependentes de um prâmetro (vriável) nturl: Est firmção é equivlente P(n) ) P(n + ), já que se P(n) for fls, implicção é sempre verddeir. 6

7 CDI-I o S 205/6 Teorem.6 (Método de Indução Mtemátic). Sej P(n) um proposição, n 2 N. Se P() é verddeir P(n) ) P(n + ), pr qulquer n 2 N, então P(n) é verddeir, pr qulquer n 2 N. Exemplos:. Provr que N R + : queremos ver que n > 0, pr qulquer n 2 N. Com P(n) firmção n > 0 : P() é verddeir, já que > 0. P(n) ) P(n + ): se n > 0 então n + > > 0, logo n + > 0 (por trnsitividde). (D mesm form: n, 8n 2 N.) 2. Provr que 4 n émúltiplo de 3, pr qulquer n 2 N. P() é verddeir, já que 4 = 3 émúltiplo de 3. P(n) ) P(n+): ssumindo, pr ddo n (fixo, ms rbitrário) que 4 n de 3, temos 4 n+ = ( + 3)4 n = 3 4 n + (4 n ) émúltiplo de 3. émúltiplo 3. 2 n n pr qulquer n 2 N. P() é verddeir, já que 2 0. P(n) ) P(n + ): ssumindo, por hipótese de indução, que pr ddo n (fixo) se tem 2 n n queremos provr que 2 n n +. Então: 2 n n ) 2 n 2n n + já que n (logo n + n n + ). Por trnsitividde, 2 n n +, como querímos mostrr. 4. Em gerl: pr > 0 fixo, temos desiguldde de Bernouilli: ( + ) n + n, pr qulquer n 2 N. Exercício: 3 2 n + n 2 NOTAS:. Provr que P(n) ) P(n + ) pr todo n 2 N não é suficiente! Por exemplo, sej P(n) firmção sen(2n ) = 2, n 2 N, que é obvimente fls, pr qulquer n. Ms éfácil ver que P(n) ) P(n + ), já que pr qulquer n 2 N, sen(2(n + ) ) = sen(n ). 7

8 CDI-I o S 205/6 2. É clro que se quisermos provr um determind proposição pens pr n n 0, começmos por verificr P(n 0 ) e provmos P(n) ) P(n + ) como ntes (é suficiente ver pr n n 0 ). Exemplo: Mostrr que n! 2 n, pr n 4 Exercício. Reprem que o método de indução é prticulrmente útil qundo os termos envolvidos estão definidos por recorrênci: por ex. r n, n!: 8 8 ><! =, >< r = r, >: (n + )! = (n + )n!, n 2 N, >: r n+ = r r n n 2 N. Um outro exemplo é ddo por soms com número de prcels dependente de n: Exemplo: Mostrr que, pr qulquer n 2 N, (2n ) = n 2. Se P(n) represent iguldde cim temos: P() é verddeir: = 2. P(n) ) P(n + ): ssumindo, por hipótese de indução, que pr ddo n (fixo) se tem (2n ) = n 2 queremos provr que (2n ) + (2(n + ) ) = (n + ) 2. Ms por HI, temos (2n ) + (2(n + ) ) = n 2 + (2(n + ) ) = n 2 + 2n + = (n + ) 2 como querímos mostrr. Aul 4 22/9/205 Vimos o conjunto N,método de Indução Mtemátic. Somtórios. Somtórios: Dd um sucessão de números reis, 2,..., n,... 0 X Xn+ nx k =, k = B@ k C A + n+ k= k= k= Proprieddes:. P n k= ( k + b k ) = P n k= k + P n k= b k (propriedde ditiv); 8

9 CDI-I o S 205/ P n k= (c k) = c P n k= k pr qulquer constnte c 2 R (homogeneidde); P n k= ( k k+ ) = n+ (propriedde telescópic). P n k= k = P p+n k=p+ k p pr qulquer p 2 N. Pr mostrr por exemplo propriedde telescópic: por indução n = : temos P k= ( k k+ ) = 2. P(n) ) P(n + ): Xn+ ( k k+ ) = k= nx ( k k+ ) + n+ n+2 = n+ + n+ n+2 = n+2. k= Exemplos:. Pr qulquer n 2 N, P n k= = n. (Em prticulr, qulquer número nturl é sucessor de.) 2. Pr qulquer n 2 N: n = nx k = k= n(n + ). 2 n = : temos = P(n) ) P(n + ): ( + ). 2 Xn+ k = k= nx k + (n + ) = k= n(n + ) 2 + n + = n(n + ) + 2(n + ) 2 = (n + 2)(n + ) Pr qulquer r 2 R, r,, n 2 N 0 : + r + r r n = n = 0: temos = r r. P(n) ) P(n + ): nx r k = rn+ r. k=0 Xn+ r k = k=0 nx r k + r n+ = r k=0 rn+ + r n+ = rn+ + r n+ ( r) r = rn+2 r. (Tmbém se vê fcilmente sem usr indução: exercício.) NOTA: tmbém temos nx r k = r p ( r n p ) = r r k=p p rn p+. 9

10 CDI-I o S 205/6 Proprieddes de N (podem provr-se por indução): pr n, m 2 N. n + m, nm 2 N 2. n > ) n = k +, k 2 N 3. n > m ) n m 2 N ) n m + 4. n, m ) n m. Podemos gor definir Definição.7. O conjunto dos números inteiros Z eoconjunto dos números rcionis Q: ( ) p Z = N [{0}[{ N}, Q := : p, q 2 Z, q, 0. q (onde { N} = { n : n 2 N}). É clro que N Z Q. Voltndo os Axioms / proprieddes que crcterizm R, vemos que C e Z 2 stisfzem xioms de corpo, ms não de ordem, Z stisfz xioms de ordem, ms não tem inversos, Q stisfz xioms de ordem e de corpo. Portnto os elementos de R \ Q terão que ser definidos prtir de outrs proprieddes. Proposição.8. Se x 2 = 2 então x < Q. Vmos mostrr por redução o bsurdo ou sej, supomos que não é verdde e chegmos um contrdição (impossibilidde). Logo, firmção será verddeir. Suponhmos então que x 2 = 2ex = p q, com p, q 2 Z e que p q é frção irredutível (p e q não têm divisores comuns). Então: p 2 q 2 = 2, p2 = 2q 2, ou sej p 2 será pr. Tem-se que neste cso p tmbém será pr. Escrevendo p = 2k, k 2 Z, temos gor 4k 2 = 2q 2, q 2 = 2k 2. Usndo o mesmo rciocínio, concluímos que q é tmbém pr, o que contrri o fcto de p q ser irredutível. Conclui-se que equção x 2 = 2não tem solução em Q. Exercício.9. ) Mostrr que se p 2 é pr então p é pr (Sug.: comece por mostrr que se p é impr, p 2 é impr). 2) Mostre que pr m 2 N primo, equção x 2 = m não tem solução em Q. (Pode ssumir que se p 2 é multiplo de m então p é multiplo de m.) 3) A equção 2 x = 3não tem solução em Q. 0

11 CDI-I o S 205/6 O próximo Axiom / propriedde de R grnte, em prticulr, que equção x 2 = 2 tem de fcto solução em R - portnto distingue R de Q edá-nos um form de definir números irrcionis. Supremo e ínfimo de um conjunto Definição.0. Sej A R. i) A diz-se mjordo se existe b 2 R tl que x pple b, pr qulquer x 2 A. Neste cso, b diz-se um mjornte e A ], b ]. ii) A diz-se minordo se existe 2 R tl que x um mjornte e A [, + [., pr qulquer x 2 A. Neste cso, b diz-se iii) A diz-se limitdo se é mjordo e minordo. Neste cso, existem, b 2 R tl que pple x pple b, pr qulquer x 2 A e A [, b ]. Exemplo: [, 3], {, 3}, {, 2, 3}, [, 2[[{3} são conjuntos limitdos, e têm todos o mesmo conjunto de mjorntes e minorntes: Mjorntes = [3, +[, Minorntes =], ]. R não mjordo nem minordo, R + minordo, não mjordo Definimos máximo e mínimo de um conjunto como o mior e o menor dos seus elementos (se existirem), ou sej: mx A = M se M é mjornte e M 2 A e min A = m se m é minornte e m 2 A. Temos mx[, 3] = 3, min[, 3] = e que mx e min de ], 3[ não existem. Definição.. Sej A R. Define-se o supremo eoínfimo de A como: sup A é o menor dos mjorntes de A, se existir. inf A é o mior dos minorntes de A, se exitir. É clro que sup A pode ou não pertencer A. Aliás, A tem máximo se, e só se, sup A 2 A e neste cso mx A = sup A. Exemplos: sup], 3[= 3, inf ], 3[=, sup{, 2, 3} = 3 = mx{, 2, 3}, inf{, 2, 3} = = min{, 2, 3}. É fácil ver que existem conjuntos mjordos sem máximo. Será que existem conjuntos mjordos sem supremo? Est é últim propriedde que precismos pr crcterizr R, e que não é verificd por Q. III. Axiom do Supremo (ou d Completude) Qulquer subconjunto A R mjordo e não vzio tem supremo em R. Segue que tmbém qulquer conjunto minordo e não vzio tem ínfimo (por ex., notndo que inf A = sup( A)).

12 CDI-I o S 205/6 Aul 5 24/9/205 Exemplos:. A = { 00}[[0, 00[: sup A = 00 < A logo A não tem máximo, inf A = 00 2 A logo min A = A = { 00, 0, 00}: sup A = mx A = 00, inf A = min A = Qulquer conjunto finito (i.e., com número finito de elementos) tem máximo e mínimo. NOTA: Se A B então os mjorntes de B são mjorntes de A, logo sup A pple sup B, já que sup B é mjornte de A (e sup A é o menor mjornte de A). É útil pensr em sup A e inf A como s melhores proximções por excesso e por defeito de A, como é expresso n seguinte definição equivlente (pr o infimo é nálogo): Proposição.2. Sej A R. Então s = sup A se e só se s é mjornte de A e pr qulquer ">0, V " (s) \ A, ;. Demonstrção. Se s = sup A então s é mjornte por definição logo x pple s, pr qulquer x 2 A. Pr ver que V " \ A, ;, pr qulquer >0ddo, ou sej, que existe x 2 A\]s, s], notmos que se não fosse esse o cso, terímos x pple s, pr qulquer x 2 A,es <sseri mjornte, o que é impossível, ddo que s é o menor dos mjorntes. 2 Se s é mjornte e pr qulquer ">0, V " (s) \ A, ;, vmos ver que s é o menor mjornte: se t < s então existe x 2 A tl que t < x pple s (tomndo um vizinhnç de s de rio menor que distânci de t s, ou sej <s t). Logo t < x 2 A e t não é mjornte. A condição cim express que qulquer vizinhnç de s contém elementos de A (clro que neste cso x 2 A\]s, s], um vez que x pple s, pr x 2 A) ou sej, existem elementos de A tão perto qunto se queir de s. Temos s = sup A, s é mjornte e ]s, s] \ A, ;, pr qulquer >0, = inf A, é minornte e [, + [\A, ; pr qulquer >0. Exemplos:. A = [0, ] [{2}, então V (2) \ A = {2} pr <. 2. A =]0, [, então V () \ A =], [, V (0) \ A =]0, [, 0 < < (se >, intersecção coincide com A). 3. Qulquer conjunto A N mjordo, ie, tl que = sup A 2 R existe, tem máximo. Como não é mjornte, existe k 2 A tl que < k pple <k +. Como ]k, k + [\A = ; (já que A N e distânci entre dois nturis é pelo menos ), temos k = 2 A. (OU: neste cso A é finito.) 2 Se A tem máximo, i.e., s 2 A, então é evidente que s 2 V " \ A, ;. 2

13 CDI-I o S 205/6 Aplicções:. A equção x 2 = 2 tem solução em R: consideremos o conjunto A = {x 2 R : x 2 < 2}. Este conjunto énão vzio, por exemplo 2 A, e mjordo, por exemplo por 2 (se x > 2 então x 2 > 4ex < A, ou sej, qulquer x 2 A ) x pple 2). Conclui-se que tem supremo 2 R,eé clro que pple pple 2. Pode ver-se que neste cso 2 = 2: temos 2 < 2 _ 2 = 2 _ 2 > 2, procede-se por eliminção. Note-se primeiro que se x 2 V ( ) com 0 < <, tem-se 0 < x < 3e x 2 2 = x x + < 5, < x 2 < Se fosse 2, 2, poderímos tomr 0 < < 2 2 5, e neste cso: se 2 < 2, então 5 <2 2 e vem que x 2 < 2, ou sej x 2 A, pr qulquer x 2 V ( ), o que é impossível ddo que = sup A (não seri mjornte). se 2 > 2, então 5 < 2 2 e vem que x 2 > 2, pr qulquer x 2 V ( ), em prticulr V ( ) \ A = ;, o que é de novo impossível por ser = sup A. Logo 2 = 2. Em prticulr, vemos que A não tem supremo em Q, ou sej Q não verific o Axiom do Supremo. 2. = sup{áres de polígonos inscritos circuferênci rio } (e tmbém e = sup n P n k=0 k! : n 2 No - veremos mis trde). 3. Dizims periódics: por exemplo 8 9 nx >< 3 >= 0, 3(3) = sup{0, 3, 0, 33, 0, 333,...} = sup : n 2 N >: 0 k >;. k= Exercício: Definindo P 0, 9(9) como cim, mostre que 0, 9(9) =. primeiro que n k= 9 = 0 n - use exemplo 3. do fim d ul 3.) 0 k Mis exemplos: (Sugestão: vej. N não é mjordo, Z, Q não são mjordos nem minordos. Se N fosse mjordo teri máximo 2 N, o que é bsurdo já que < + 2 N. 2. Propriedde Arquimedin: ddos >0eR > 0, existe n 2 N com n >R. 3 Como N não é mjordo, existe n 2 N com n > R. 3 Ou sej: dd um unidde de medid - pequen - podemos cobrir distânci R - grnde, repetindo- um numero n - suficentemente grnde - de vezes. 3

14 CDI-I o S 205/6 3. A = n n : n 2 No : é limitdo, sup A = mx A =. Vemos que inf A = 0: é clro que 0 é minornte (e < A). Por outro ldo, ddo >0 temos V (0) \ A, ; já que pr n >, temos n <. 4. A = {2 n : n 2 N}: inf A = min A = 2, não é mjordo, já que pr qulquer n 2 N, 2 n > n +. (Em gerl: se r > 0, então r n + n(r ) - desiguldde de Bernoulli, logo se r >, {r n : n 2 N} não é mjordo.) 5. Q + = R + \ Q não é mjordo, tem inf = 0, não tem mínimo. Reprem que segue do Exemplo 3 cim que V (0) \ Q, ;, pr todo o >0, logo qulquer vizinhnç de zero tem infinitos rcionis (já que N é infinito). p Por outro ldo tmbém V (0) \ R \ Q, ;, pr todo o >0 (tom-se por ex. 2 m ), logo qulquer vizinhnç de zero tem infinitos irrcionis. Mis gerlmente: Proposição.3. Ddos, b 2 R com < b: i) existem p q 2 Q tl que < p q < b ou sej, p 2], b [, q ii) existe t 2 R \ Q tl que < t < b ou sej, t 2], b [. Demonstrção. Sejm n, m 2 N tis que p 2 n < b e m < b podemos tomr k 2 N tl que. D propriedde Arquimedin, k n > > (k ) n ) < k n < + n < b (já que n < b )e k n 2 Q. D mesm form, pode tomr-se j 2 N tl que j p 2 m > > (j ) p 2 m ) < j p 2 m < + p 2 m < b e j p 2 m 2 R \ Q. Vrindo o intervlo, pode concluir-se que: Qulquer intervlo em R contem infinitos números rcionis e infinitos números irrcionis. Em prticulr, qulquer número rel pode ser proximdo com erro rbitrrimente pequeno por rcionis (e por irrcionis tmbém...) 4

15 CDI-I o S 205/6 Aul 6 25/9/205 Sucessões Como sbem, um sucessão é um função u : N! R, que veremos como um sequênci de números reis u, u 2,..., u n,..., n 2 N. Escreve-se hbitulmente u n = u(n), o chmdo termo gerl d sucessão. Ao conjunto {u n : n 2 N} chm-se o conjunto dos termos d sucessão (ou sej, o contrdomínio de u). Recorde-se que: u n é monóton crescente se u n+ u n, pr qulquer n 2 N (estritmente se u n+ > u n ), u n é monóton decrescente se u n+ pple u n, pr qulquer n 2 N (estritmente se u n+ < u n ). A sucessão u n diz-se limitd se o conjunto {u n : n 2 N} for limitdo, i.e., mjordo e minordo. Neste cso, existem s = sup u n e r = inf u n e temos r pple u n pple s, pr qulquer n 2 N. Clro que um sucessão decrescente é sempre mjord (por u ) e um sucessão crescente é sempre minord. Exemplos. u n = n p, p 2 N: decrescente, limitd, mx u n =, inf u n = 0. 8 >< 2. u n = ( ) n, se n é pr = >:, se n é ímpr. Énão monóton, limitd, mx u n =, min u n = u n = ( >< )n n n =, se n é pr >: se n é ímpr. n, Énão monóton, limitd, min u n =, mx u n = Progressão ritmétic: por recorrênci, em N 0, u 0 =, u n+ = 2 + u n, n 2 N. Por indução vê-se que u n = + 2n, 8n 2 N é crescente, não mjord, min u n = 3. u n verific u n+ u n = 2 é constnte. A sucessões com est propriedde chmmos progressões ritmétics, de rzão 2 neste cso. O termo gerl de um progressão ritmétic de rzão r é u n = + rn. 5

16 CDI-I o S 205/6 5. Progressões geométrics: por recorrênci, em N 0, Por indução vê-se que u 0 = 3, u n+ = 2u n, n 2 N. é crescente, não mjord, min u n = 3. u n = 3 2 n 8n 2 N u n verific u n+ u n = 2, é constnte. A sucessões com est propriedde chmmos progressões geométrics, de rzão 2 neste cso. O termo gerl de um progressão geométric, de rzão r e u 0 =, é u n = r n. (Ver Fichs pr mis proprieddes ds progressões geométrics e ritmétics.) Notem que ( ) n tmbém é progressão geométric, de rzão. 6. u n = ( 2) n = ( ) n 2 n :não monóton, não mjord, não minord. (É um progressão geométric de rzão 2.) Limite de sucessões Temos um noção intuitiv do que é um sucessão convergir pr um ddo número, ou proximr-se rbitrrimente de um ddo número, qundo n!:, 2, 3,, n,!0, 0, 0.3, 0.33, 0.333,! 3, Ms se vos for dd um sucessão definid por recorrênci, por exemplo d form 8 >< u =, >: u n+ = u n 2 + u n, não é de todo imedito qul será o seu limite, ou sequer se est sucessão proxim lgum vlor. Por est e outrs rzões precismos de um definição rigoros de limite, que nos permit estbelecer de form inequivoc se um sucessão converge pr um ddo número, e tmbém pr construir um teori que leve o cálculo simples de limites. Como formlizr: u n proxim-se rbitrrimente de qundo n!? O erro dess proximção é ddo por u n. Por exemplo, pr u n = n : já vimos que 0 = inf{u n : n 2 N} e que dí vem que qulquer vizinhnç V " (0) tem termos u n, ou sej tis que u n 0 < ". Est condição por si só não cheg, 4 ms vemos que mis do que isso é verdde: se /N 2 V " (0) tmbém teremos /n 2 V " (0), pr n N Por ex. u n = /n pr n pr, e u n = 2 /n pr n ímpr tmbém verific e neste cso u n não converge pr 6

17 CDI-I o S 205/6 Exemplo: u n = n. É intuitivo que u n se proxim de pr n grnde. Vmos clculr o erro cometido o proximr por u n ou sej, distânci entre e u n : u n = n. Se quisermos grntir um mrgem de erro de ">0 então resolvemos u n <", por ex. " = 0, : u n < 0., n < 0., n > 0 " = 0, 00 : u n < 0.00, n < 0.00, n > 000 " = 0 00 : u n < 0 00, n < 0 00, n > Diz-se que u n!, u n converge pr, ou proxim, se o erro u n puder ser feito tão pequeno qunto se queir (i.e., <"), desde que se tome n suficientemente grnde, n > N, pr lgum N 2 N (dependente de "). Definição.4. Sej u n um sucessão rel e 2 R. Diz-se que u n converge pr, lim u n = (ou u n! ) se ddo um ">0 rbitrário, existe N 2 N tl que n > N ) u n < ". O vlor ">0 é visto como mrgem de erro permitid n proximção de por u n. No exemplo cim, tinhmos " = 0, ) N = 0, " = 0 3 ) N = 000, e pr cd vlor de " ddo conseguimos replicr com um N: bst tomr N /". (A ordem N que grnte erro <"em gerl depende de " e tipicmente ument qundo " diminui - mior exigênci. 5 ) Exemplos:. u n = n! 0 Pr ver que de fcto lim n = 0: Logo, podemos tomr N 2 N com N ". u n 0 <", n <", n <", n > ". 2. u n = ( )n! 0 n Temos e procedemos como cim. u n 0 = ( )n n = n 5 Clro que por ex. se u n = c for constnte, podemos tomr sempre N = independentemente de ". 7

18 CDI-I o S 205/6 NOTA: Um sucessão converge pr sse o erro n proximção convergir pr 0, ou sej u n!, u n!0. Aul 7 29/9/205 Vimos noção de limite e de sucessão convergente: u n!, u n!0 se erro n proximção convergir pr 0, ou sej, se ddo >0, temos erro = u n que n > N, pr lgum N 2 N. Exemplos: <, desde. u n =! 0, p 2 N,jáque np u n 0 <", n p <", n > pp " e pr ddo ">0 bst tomr N pp ". 2. u n = 2 n! u n = 2 n!! 2. Notem que estes exemplos são de sucessões monótons e limitds. sempre: Teorem.5. Qulquer sucessão monóton e limitd é convergente:. u n crescente e mjord ) u n convergente e lim u n = sup u n, Neste cso temos 2. u n decrescente e minord ) u n convergente e lim u n = inf u n. Demonstrção. : Sej u n um sucessão monóton e limitd, com s = sup{u n : n 2 N} e r = inf{u n : n 2 N} (que existem, pelo Axiom do Supremo). Vemos que se u n é crescente, então u n! s (neste cso, é sempre minord e r = min u n = u ). A demostrção pr decrescente é completmente nálog. Dd um vizinhnç V " (s) qulquer, sbemos que, por s ser supremo, existe N 2 N tl que u N 2 V " (s) ou sej, u N s <". Como u n é crescente, pr n > N tem-se s u n u N. Logo, pr n > N, u n s <"eportnto, d rbitrriedde de ">0, u n! s. Vimos então um primeiro exemplo de um (sub)clsse de sucessões convergentes: monótons e limitds (com sup se forem crescentes, com inf se forem decrescentes). Se um sucessão não for monóton pode ou não ser convergente:. u n = ( )n n p! 0, p 2 N,já que u n 0 = ( )n n p = n p! 0. 8

19 CDI-I o S 205/6 2. u n = n = ( )n 2 2 n! u n = ( ) n é divergente: vmos ver que u n 9 (de form nálog se pode ver que u n 9, 8 2 R). Clculndo 8 >< 0, se n é pr u n = >: 2, se n é ímpr. Se "<2, condição u n <"éverificd pens, e por todos, os nturis pres. Pr qulquer n ímpr o erro é sempre 2. Como o conjunto dos números impres énão mjordo, não podemos grntir que o erro é < 2 tomndo n > N. (Notem que temos (n > N ) u n <"), (n > N ) n é pr) que é sempre fls, 8N.) Veremos divergênci dest sucessão de form mis simples usndo subsucessões. 4. u n = ( ) n + n é divergente. É importnte distinguir entre sucessão limitd (ie mjord e minord) e sucessão convergente (proxim-se de um vlor). O exemplo u n = ( ) n mostr que podemos ter sucessões limitds que não são convergentes. Temos no entnto sempre que: Teorem.6. Qulquer sucessão convergente é limitd. Demonstrção. Sej u n! 2 R. Então, d definição de limite (com " =, por ex.), temos que existe N 2 N tl que n > N ) < u n < +. Podemos escrever {u n : n 2 N} = {u,, u N }[{u n : n > N}. Como {u,, u N } é um conjunto finito, logo limitdo, 6 e {u n : n > N} ], + [ é tmbém limitdo, conclui-se que {u n : n 2 N} é limitdo, ou sej, u n é sucessão limitd. Exemplo: As sucessões são divergentes, porque não são limitds. n p, p 2 N, n, >, n!, ( n) n IMPORTANTE: O recíproco do Teorem nterior não é verdde: há (muits...) sucessões limitds que não são convergentes, por ex.: n ( ) n (2 + ( ) n )n +, + cos(n ), sen,, etc. 2 n Ests sucessões (necessrimente) não são monótons. Limite e operções lgébrics: Veremos gor lguns resultdos que são úteis no cálculo de limites. (Voltremos todos eles no cso mis gerl ds funções em R.) 6 tem té máximo e mínimo 9

20 CDI-I o S 205/6 Proposição.7. Se u n ev n são convergentes, u n! ev n! b, então tmbém u n ± v n,u n v n, u n v n (se b, 0) convergem e (i) u n ± v n! ± b, (ii) u n v n! b, (iii) u n v n! b, se b, 0. Demonstrção. Vemos (i) título de exemplo: como ntes, tom-se N = mx{n, N 2 } tl que se n > N então u n < "/2e v n < "/2. D desiguldde tringulr: (u n ± v n ) ( ± b) = (u n ) ± (v n b) pple u n + v n b < ". Pr (ii), escreve-se u n v n b = u n v n u n b + u n b b = u n (v n b) + (u n )b e procede-se como cim. Pr (iii), bst ver que se v n! b, 0 então v n! b (Exercício.) Exemplos:. 2 + ( ) n! n 2 +! 2. n n + 3 2n + = + 3/n 2 + /n! 2. (n + ) 3 + (2n + ) 3! 8. PROPRIEDADES:. O limite, se existir, é único: se u n tivesse limites e b, então ddo qulquer ">0, pode ver-se que b < ", pr qulquer ">0 ) = b. (Existirim N, N 2 tis que u n < "/2, se n > N e u n b < "/2, se n > N 2. Tomndo um n > mx{n, N 2 }, temos b pple u n + u n b < "/2 + "/2 = ".) 2. Um sucessão converge pr sse o erro n proximção convergir pr 0, ou sej u n!, u n!0. 3. A convergênci de um sucessão não depende de um número finito de vlores, ou sej, só depende de n grnde. Por exemplo, éfácil ver que sucessão 8 >< n n, n pple 0000 u n = >: n, n > 0000 é convergente pr. Neste cso, ordem N prtir d qul se grnte um determindo erro pode ser diferente/mior do que no Exemplo. cim por ex. u n < 0., n > A sucessão énão monóton, limitd: mx u n = , min u n = Se u n! > 0 então u n > 0, pr n > N e lgum N 2 N. Mis, gerlmente se r < então u n > r, prtir de determind ordem N e se r > então u n < r, n > N. 20

21 CDI-I o S 205/6 Aul 8 /0/205 Revisão ul pssd: convergente ) limitd. Ms: convergente (tem um limite, proxim-se de um vlor), limitd (mjord e minord, está entre dois vlores, i.e., o seu gráfico encontr-se num fix horizontl do plno). limitd + monóton ) convergente (crescente: lim u n = sup u n, decrescente: lim u n = inf u n ). Limite de sucessões por recorrênci: Tomemos por exemplo sucessão seguinte: 8 >< u = 2, >: u n+ = 2 + u n Como clculr o limite, ou decidir se u n é divergente? Se ssumirmos, ou se já soubermos, que u n é convergente, com u n! L 2 R, então podemos determinr os cndidtos limite d seguinte form: u n+! L, porque u n+ é subsucessão de u n, 2 + u n 3! 2 + L, pels proprieddes lgébrics do limite. 3 Tomndo o limite n expressão por recorrênci, temos então 3, L = 2 + L 3, 2L 3 = 2, L = 3. Ou sej: se u n é convergente em R então lim u n = 3. Ms reprem que os cálculos cim não grntem de todo convergênci de u n (liás, se u n! ± - veremos seguir - são ind válidos).váris forms pr mostrr que u n tem limite em R, quse sempre envolvendo indução mtemátic. Neste cso, veremos que u n é monóton e limitd, e portnto convergente: (i) 2 pple u n < 3: por indução u = 2, logo verddeiro pr n = ; se 2 pple u n < 3 então Logo, 2 < u n+ < pple 2 + u n 3 < , 8 3 pple u n+ < 3. (ii) u n é monóton crescente: u n+ u n = 2 + u n 3 u n = 2(3 u n) 3 > 0, pr qulquer n 2 N. 2

22 CDI-I o S 205/6 Exemplo: Aproximr p 2 Considere-se sucessão definid pr n 2 N 0 por 8 >< u 0 =, >: u n+ = u n 2 + u n, Procedendo como cim, vemos que se u n! L 2 R então L = L 2 + L, L2 = 2, L = ± p 2. Éfácil ver (por indução) que u n > 0, pr qulquer n 2 N 0, logo, terímos L = p 2. Pr ver que é convergente, pode ver-se que p p (u n 2) 2 u n+ 2 = 0, n 2 N 0. 2u n Temos então u n p 2, pr n 2 N (i.e n ). (Exercício: mostre que un é decrescente, n 2 N, e portnto tem limite em R.) Veremos de um form lterntiv, que nos permite ind estimr o erro cometido n proximção: do cálculo cim temos, porque u n, n 2 N 0, p p (u n 2) 2 u n+ 2 pple. 2 Exercício: mostre por indução que, pr qulquer n 2 N 0, u n p 2 pple2 4 2 n. Segue-se (d definição de limite ou do princípio ds sucessões enqudrds) que lim u n = p 2. Por outro ldo, se quisermos proximr p 2 com mrgem de erro ">0, é suficiente chr N 2 N tl que 2 N 2 <", 4 4 2N > 2 ". (Determine N pr " = convergênci é muito rápid.) Notem que u n 2 Q, pr todo n 2 N 0 - provr por indução. Subsucessões Vimos que sucessão u n = ( ) n não é convergente, ms fzendo n = 2k e n = 2k, k 2 N, obtemos dus novs sucessões, gor convergentes (constntes) v k = u 2k =, k 2 N, w k = u 2k =, k 2 N. Em gerl: dizemos que v k = u nk é subsucessão de u n se n k 2 N é um sucessão estritmente crescente de indices. As sucessões v k = u 2k e w k = u 2k são exemplos de subsucessões de u n : dos termos de ordem pr, e dos termos de ordem ímpr. Há muito mis: u 3k, u k+0, u k! etc. 22

23 CDI-I o S 205/6 u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6... u 2k u 2 u 4 u 6... u 2k u u 3 u 5... u 3k u 3 u 6... u k+ u 2 u 3 u 4 u 5 u 6... Um sublimite é um limite de um subsucessão. Exemplo:. ( ) n tem 2 sublimites:,. 2. cos n tem 3 sublimites:, 0,. 2 Pode ver-se que: Teorem.8. Se u n é convergente, então tods s sus subsucessões tmbém são e pr o mesmo limite. Em prticulr, u n tem um único sublimite em R. O resultdo nterior dá-nos um critério de divergênci: Se (u n ) tem (pelo menos) dois sublimites diferentes, então é divergente. Conclui-se que s sucessões vists cim são divergentes. Aul 9 2/0/205 Informlmente, vimos que há essencilmente dois tipos de fenómenos que levm que um sucessão sej divergente: (i) u n énão mjord / minord, (ii) u n oscil, no sentido em que há subsucessões com comportmentos diferentes nível de convergênci. Clro que podemos ter (i) + (ii) (por ex. u n = n ( )n ) Vimos que um se um sucessão é convergente pr 2 R, tods s sus subsucessões tmbém serão convergentes pr 2 R. O recíproco tmbém é verdde, usremos n seguinte form: Proposição.9. Se lim u 2k = lim u 2k = então u n é convergente e lim u n =. Demonstrção. Ddo ">0, sejm N, N 2 tis que u 2k < ", se 2k > N u 2k < ", se 2k > N 2. Tomndo N = mx{n, N 2 }, temos n > N ) u n < ". 23

24 CDI-I o S 205/6 Exemplos:. ( ) n converge pr 0 n 2. sen n 2 n 2 converge pr ( ) n : diverge, sublimites 0, ( + ( ) n )n: diverge porque énão mjord, ou lim u 2k = lim 0 = 0 e lim u 2k = lim 4k não existe em R. (Reprem que só tem um sublimite 0 em R.) Nos dois primeiros exemplos cim podímos ver convergênci usndo um outro critério muito útil: Teorem.20 (Sucessões enqudrds). Se v n pple u n pple w n, pr n > Nelim v n = lim w n então u n é convergente e lim u n =. Demonstrção. Ddo ">0, tommos N = mx{n, N 2 } em que Pr n > N, temos então n > N ) v n < ", n > N ) w n < ". "<v n pple u n pple w n < + " logo tmbém u n 2 V " (), ou sej, u n <". Por ex. pode ver-se convergênci de. u n = ( )n n 2. u n = + sen(n) n! e lim! 0já que n! já que n! = lim + n! =. pple ( )n n pple n. sen(n) pple + pple + n! n! n! Um consequênci muito útil n prátic: se u n! 0eb n é um sucessão limitd, m pple b n pple M, então mu n pple u n b n pple Mu n e por enqudrmento, lim u n b n = 0. Ou sej: O produto de um infinitésimo por um sucessão limitd é um infinitésimo. NOTA: Em gerl, se u n e v n são convergentes, com u n! e v n! b então 24

25 CDI-I o S 205/6. < b ) u n < v n, pr n > N. (Porque: tomndo "<(b )/2 temos que existe N tl que se n > N, então u n 2 V " () e v n 2 V " (b), em prticulr u n < + "<b "<v n.) 2. u n < v n, n > N ) pple b. (Exercício.) (Notem que no teorem nterior convergênci de u n não er dd, foi provd prtir do enqudrmento.) Pr terminr o nosso estudo de sucessões, vmos estender noss noção de limite lgums sucessões não limitds. A rect cbd define-se como R = R [ {±} em que, por definição, x < +, 8x 2 R e x >, 8x 2 R. Podemos então escrever R = [, +]. É clro que qulquer subconjunto de R é mjordo/minordo em R (se A R énão mjordo em R, sup A =+em R). Definição.2 (Limites infinitos). Sej u n um sucessão. Diz-se que (i) lim u n =+, ou u n! + em R se ddo R > 0 qulquer, existe N 2 N tl que n > N ) u n > R. (ii) lim u n =, ou u n! em R se ddo R > 0 qulquer, existe N 2 N tl que n > N ) u n < R. (Considerndo R = [, +], é nturl definir V R (+) =]R, +[ ev R ( ) =], R[ como s vizinhnçs à esquerd e à direit de + e, respectivmente. 7 Nesse sentido, definição de limite dd cim coincide com dd nteriormente em R - usndo vizinhnçs.) Exemplo:. u n = p n! +: ddo R > 0 resolvemos u n > R, p n > R, n > R 2. Tomndo N R 2 temos o pretendido. PROPRIEDADES:. Qulquer sucessão monóton tem limite em R. 2. Um sucessão é convergente em R, tem um único sublimite (em R). 7 Por vezes define-se V " (+) =]/", +[, por form que " 0 <") V " 0(+) V " (+). 25

26 CDI-I o S 205/6 3. Pode ver-se (exercício): u n v n e v n! + ) u n! +, u n pple v n e v n! ) u n!. Exemplos:. As sucessões n p, p 2 N, n, >, n!, n n são tods convergentes pr + em R -são crescentes, não mjords. 2. u n = ( + ( ) n )n é divergente em R 3. Progressão geométric n : é divergente em R se <, divergente em R (e em R) se =, convergente pr 0 se < e pr se =, convergente pr + em R se >. Os resultdos vistos pr operções lgébrics mntêm-se válidos em R, respeitndo s seguintes convenções: + (±) = ±, 8 2 R; 8 >< ±, se > 0, ± = >:, se < 0, ; (+) + (+) =+, ( ) + ( ) = (±)(+) = ±, (±)( ) =, ± = 0, 2 R, 0 + =+, 0 =. 8 Exemplos:. lim n 2 (n 2 + ) = 2 (+) =. 2. lim 2 n n = 0 + = 0. Aul 0 6/0/205 Símbolos de indeterminção (ou indeterminções): 0 0, 0, ).,0,, 0 (veremos mis trde: 0 Notem que s convenções lgébrics em R, ie envolvendo, são n relidde sobre limites: por ex. (+) =+ quer dizer que pr quisquer sucessões (funções) u n com limite e v n com limite +, temos lim u n v n =+. No cso ds indeterminções, o limite 8 Ms pode não convergir em R. 0 26

27 CDI-I o S 205/6 dependerá ds sucessões considerds: por ex., é clro que ns indeterminções podemos ter lim n0 n000 = 0, lim n000 n 0 =+, lim Kn0 = K 2 R. + n0 Se u n, v n são infinitmente grndes, ou infinitésimos, o lim u n v n dá-nos informção sobre como comprr s ordens de crescimento, respectivmente decrescimento, de u n e de v n. Notção: se u n, v n > 0, e lim u n = lim v n =+, ou lim u n = lim v n = 0, escreve-se u n << v n se lim u n v n = 0. elê-se u n é desprezável em relção v n ou muito menor que v n. Neste cso lim v n v n >> u n ( muito mior ). Por ex. n 0 << n 000 e n 000 << n 0. u n =+ e Em gerl, temos n p << n q, se p < q. (Ms reprem que não é verdde pr p = q: não temos n 2 << 2n 2...) Não é tão clro neste momento como comprr outros infinitmente grndes, ou sej, quis serão, por ex., os limites lim np n, Nestes csos, o seguinte critério é muito útil: n n! lim, lim n! n n. Proposição.22. Sej n > 0. Se lim n+ n (i) se L > então lim n =+; = L então (ii) se L < então lim n = 0. Note-se que se L = nd se pode concluir: pr qulquer n!, 0 temos n+ n! (porquê?) Demonstrção. Se lim n+ n = L > então n+ > pr n suficientemente grnde, logo n é crescente prtir de determind ordem n > N. Se n fosse limitd, seri convergente n!, 0eL = - impossível. Assim n énão limitd e como é crescente pr n > N, tem-se n! +. Se lim n+ n = L <, tom-se b n = n e plic-se (i). Escl de sucessões: se p > 0 e >, então n p << n << n! << n n. (i) lim np n = 0 porque fzendo n = np n, temos lim n+ n = < pr >. (ii) lim n n! = 0 porque fzendo n = n n!, temos lim n+ n = 0 <. 27

28 CDI-I o S 205/6 (iii) lim n! n n = 0 porque fzendo n = n! n n, temos lim n+ n = e <. NOTA: O primeiro limite será tmbém consequênci do levntmento de indeterminções no contexto ds funções de vriável rel, que veremos seguir (os outros limites não, porquê?) Tmbém se pode ver que ln n << n p, pr p > 0. Devem sber est relção de ordem e podem usá-l no cálculo de outros limites: Exemplos:. lim 22n + n 3 5 n + n 2 = 0 2. lim 2n + n 5 n! + = 0 3. lim nn n! + 00 n =+ 4. lim n5 2 n = 0 (Não si d escl de sucessões directmente.) n! + 5. lim nn 3 n = 0: tmbém não si d escl de sucessões directmente. n! Em gerl: lim nn n nn n! = 0, se > e e lim n n! =+, se < e. Indeterminções de tipo potênci: 0 0, 0,. Lidremos com ests indeterminções mis gerlmente no contexto ds funções. Dois csos importntes:. lim + n n = e: é indeterminção. Mis gerlmente, se u n! +, v n! 2 R e v n u n! 0, então lim + v un n = e. u n NOTA: O número e pode definir-se como o limite d sucessão cim: prov-se que sucessão é crescente e que os seus termos estão em [2, 3[, logo será convergente, e o seu limite denomin-se por e. Tmbém veremos que e = lim nx k=0 k!. 2. Riz índice n: se n 0, define-se u n = np n = ( n ) n, n 2 N. se n =, 0, constnte, então lim np = lim n = 0 =. 28

29 CDI-I o S 205/6 Exemplos: se n!, 0, por enqudrmento, lim np n = 0 =. se n! 0 ou n!, temos indeterminções 0 0 ou 0. Veremos como levntr est form de indeterminção em gerl qundo virmos funções em R.. lim 2 n+ 2 n = e /2 (ind ) 2. lim n r 2n + 5 n + 3 = 20 =. (Não é indeterminção.) 3. lim np 3 n+ + n 2 = lim 3 n q 3 + n2 3 n = 3 (ind 0 ). 4. lim np 2 n + n n = lim 2 n q + 2n n n = /2 (ind 0 0 ). 29

30 CDI-I o S 205/6 2 Funções Reis: Limite e Continuidde Vmos pssr gor o estudo de funções com domínio qulquer D R, f : D! R. Começmos por rever lguns conceitos conhecidos que usremos n cdeir. O conjunto D diz-se o domínio de f e R é o conjunto de chegd. O contrdomínio ou imgem de f é ddo por CD f = f (D) = { f (x) :x 2 D}. Por vezes escrevemos CD f = f (D). Em gerl, ddo um subconjunto A D, escrevemos f (A) = { f (x) :x 2 A} - corresponde à imgem dos pontos de A. f diz-se limitd (mjord / minord) se CD f é limitdo (mjordo / minordo) em R, ou sej, se existem M, m 2 R tis que m pple f (x) pple M, pr qulquer x 2 D. Define-se, qundo existm, sup f = sup CD f, inf f = inf CD f, mx f = mx CD f, min f = min CD f. 9 O gráfico de f é um subconjunto do plno R 2 G( f ) = {(x, f (x)) 2 R 2 : x 2 D}. ( f é limitd, o seu gráfico está entre dus rects horizontis y = m e y = M.) f diz-se pr se f ( x) = f (x), e ímpr se f ( x) = o domínio é simétrico). f (x) pr todo x 2 D f (ssumindo que f é monóton crescente (em D) se x 2 > x ) f (x 2 ) f (x ), pr todos x, x 2 2 D (estritmente se f (x 2 ) > f (x )). f é monóton decrescente se (estritmente se f (x 2 ) < f (x )). x 2 > x ) f (x 2 ) pple f (x ), pr todos x, x 2 2 D Notem que se D = N, i.e, se f é um sucessão, definição cim é equivlente à que demos f (n + ) f (n), pr n 2 N. Em R não é verdde! Aliás, qulquer função periódic de período verific f (x + ) f (x) enão é monóton ( menos que sej constnte). Exercício: dê um exemplo de f tl que f (x + ) > f (x), pr todo x 2 R + e f não é crescente. Exemplos: 9 Estes máximo e mínimo serão mis trde qulificdos como bsolutos. 30

31 CDI-I o S 205/6. f (x) = x 2 + pr, minord min f = (minimiznte em x = 0), não mjord, decrescente em ], 0], crescente em [0, +[, CD f = f (R) = [, +[. 2. f (x) = (x ) 3 não é pr nem ímpr (simétric em relção x = ), não minord nem mjord, crescente em R, CD f = f (R) = R. 3. f (x) = x, D f = R \{0}, ímpr, não mjord, não minord, crescente em ], 0[ e em ]0, +[, não monóton em R \{0}, CD f = f (R \{0}) = R \{0}. Veremos: 4. Função de Hevisde 8 ><, se x 0 H(x) = >: 0, se x < 0. Limitd, monóton crescente (não estritmente), CD H = H(R) = {0, }. 5. Função de Dirichlet 8 ><, se x 2 Q d(x) = >: 0, se x < Q. Limitd, não monóton, pr, periódic com qulquer período rcionl (d(x + r) = d(x), pr qulquer x 2 R, r 2 Q), CD d = {0, }. Aul 8/0/205 Grnde prte ds funções que considermos neste curso são dds por soms, produtos e composição ds chmds funções elementres: polinomiis e rcionis, exponenciis e logritmics, trigonométrics e sus funções inverss. Reprem que, sem ser no cso ds polinomiis e rcionis (que só envolvem soms, produtos e quocientes) não sbemos clculá-ls, nem defini-ls rigorosmente, ind. NOTA: Assumiremos conhecids s principis proprieddes dests clsses de funções, lgums dels veremos / justificremos o longo do semestre. Convém (re)verem ests clsses e conhecerem os seus gráficos - ver por exemplo, Folhs de CDI-I, Secção 2.2, ou livro J. P. Sntos - secção 3. Fremos qui pens um revisão breve. Clsses de funções elementres: 3

32 CDI-I o S 205/6. Funções polinomiis f (x) = 0 + x n x n, D f = R, no máximo n zeros (rever fctorizção). Gráficos: f (x) = x p, p pr, e p ímpr f (x) = (x 2 4)(x + ), f (x) = (x 2 4)( x 2 ) 2. Funções rcionis: f (x) = p(x) q(x), com p(x), q(x) polinomiis, D f = {x 2 R : q(x), 0} Gráficos: f (x) =, p pr, e p ímpr xp f (x) = + x Função exponencil: f (x) = e x, com D f = R, contrdomínio R +. Pode definir-se como e x = lim n! + x n n (ou definindo primeiro e p q com p q 2 Q e fzendo e x = sup{e p q : p/q < x}). Ou definindo logritmo e tomndo invers. Temos: e x crescente em R, e x+y = e x e y, (e x ) y = e xy. Outrs exponenciis: x = e x ln. Notem que se 0 < < então x é decrescente em R. Gráficos 4. Função logritmo: f (x) = ln x com D f = R +, contrdomínio R. Pode definir-se como invers de e x, ou geometricmente: se >, ln é áre d região de ordends positivs bixo do gráfico de /x, com x entre e, se <, é negtivo d áre. 0 Temos ln x crescente em R +, ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x y ) = y ln x. Outros logritmos: log x = ln x. ln 5. Funções trigonométrics: podem definir-se geometricmente prtir do circulo trigonométrico: sen x, cos x com D = R, periódics com período 2, sen ímpr, cos pr, e tmbém tods periódics de período. tn x = sen x cos x, sec x = cos x, D = R \{ 2 + k, k 2 Z} cotg x = cos x sen x, cosec x = sen x, D = R \{k, k 2 Z}, 0 Neste cso, o número e poderi definir-se como bciss tl que áre =, ie, tl que ln e =. 32

33 CDI-I o S 205/6 Fórmul fundmentl: sen 2 x + cos 2 x =, dividindo por cos 2 x, temos tmbém + tg 2 x = cos 2 x = sec2 x. (Relembrr outrs fórmuls trigonométrics: sen(2x) = 2 sen x cos x, cos 2x = cos 2 x sen 2 x - usremos). Operções lgébrics: f : D f! R, g : D g! R então f ± g, fg: D f \ D g! R, f g : D f \{x 2 D g : g(x), 0}!R. Composição: f : D f! R, g : D g! R então f g : {x 2 D g : g(x) 2 D f }!R, ( f g)(x) = f (g(x)). É clro que est operção não é comuttiv: f g, g f em gerl! Exemplos:. f (x) = x, g(x) = p x, h(x) = 2x + : 2. Domínio de f (x) = ln(4 x 2 ): D f =] 2, 2[. 3. Domínio de f (x) = Função invers f f (x) = x, g g(x) = 4p x, h h = 4x + 3, h g(x) = 2 p x +, g h(x) = p 2x + sen x cos x + tg(2x): D f = R \{ k 4 : k 2 Z}. Dd f : D! R, queremos inverter plicção f, ou sej, se x 7! f (x) = y, queremos recuperr o vlor x prtir do vlor y = f (x), pr definir um função y 7! x = f (y) sse y = f (x). É clro que: i) A equção y = f (x) tem solução se, e só se, y 2 CD f = f (D), ou sej o domínio de f será CD f ; ii) x só fic unívocmente determindo prtir de y 2 f (D) se f for injectiv, ou sej, se x, x 2 ) f (x ), f (x 2 ), pr todo x 2 D. Neste cso, equção f (x) = y tem no máximo um solução em D (se existir, é únic). Exercício: Se f é estritmente monóton, então é injectiv. O recíproco não é verdde: por ex. f (x) = /x é injectiv, ms énão monóton em D = R \ 0 (porquê?) 33

34 CDI-I o S 205/6 Dd f : D! R injectiv, CD f = f (D), define-se função invers de f como f : f (D)! D R, y 7! f (y) = x tl que f (x) = y. É clro que temos sempre, qundo definids, ( f f )(y) = y, y 2 D f = CD f, ( f f )(x) = x, x 2 D f, ( f g) = g f. (Relembrem que o gráfico de um função e d su invers são simétricos em relção à rect y = x.) Pode ver-se tmbém (Exercício) que f crescente / decrescente em D ) f crescente / decrescente em f (D). NOTA: f diz-se sobrejectiv se CD f = R, ssumindo f : D! R, ou sej equção f (x) = y tem sempre, pelo menos, um solução em D, pr qulquer y 2 R. f : D! R diz-se bijectiv se for injectiv e sobrejectiv. Neste cso, equção f (x) = y tem sempre solução únic em D, pr todo y 2 R e respectiv função invers está definid em R. Exemplos:. f (x) = x p, p ímpr, é sobrejectiv, su invers é f : R! R tl que f (y) = pp y y = x p, x = pp y. 2. f (x) = x p, p pr, não é injectiv. Pr definirmos um função invers, restringimos o domínio R + 0 onde f é injectiv, ou sej resolvemos equção y = xp, x 0. A su invers é f : R + 0! R+ 0 R tl que f (y) = pp y y = x p ^ x 0, x = pp y. 3. f (x) = x, D f = R \{0} é injectiv, su invers é f = f. Mis gerlmente, f (x) = x p então f (y) = R +, se p é pr. p, definid em R \{0}, se p é ímpr, e em y 4. f (x) = e x é injectiv, com contrdomínio R +. A su invers é f (y) = ln y. Funções trigonométrics inverss: As funções sen, cos e tg não são injectivs em R, são té periódics, e portnto não têm invers definid: pr cd y 2 [, ], equção sen x = y tem infinits soluções. f : A! B diz-se sobrejectiv se f (A) = B, ou sej, se imgem é todo o conjunto de chegd B - ddo. 34

35 CDI-I o S 205/6 Ms se restringirmos o domínio um intervlo onde função sen é injectiv, por convenção, D = h 2, i 2 2 temos pens um solução, que chmmos rcsen y: 8 >< sen x = y >: x 2 h 2, i, x = rcsen y. 2 h Por exemplo, rcsen = 2,jáque rcsen = x, sen x = ^ x 2 2, i 2, x = 2, e d mesm form, rcsen 0 = 0, rcsen 2 = 6. Define-se ssim um função, crescente (já que sen é crescente em h 2, i 2 ) tl que pple rcsen : [, ]! 2, 2 R. Pr o cos procede-se de form semelhnte, ms temos de escolher um outro intervlo pr os ngulos (ou os rcos) pretendidos (cos não é injectivo em h 2, i 2...) Vmos tomr o intervlo [0, ], onde cos é injectivo e tom todos os vlores de [, ]: 8 >< cos x = y, x = rccos y. >: x 2 [0, ] Define-se ssim um função decrescente (já que cos é decrescente em [0, ]) tl que rccos : [, ]! [0, ] R. Pr tg escolhe-se o intervlo i 2, h 2 : 8 >< tg x = y >: x 2 i h, x = rctg y. 2, 2 Nestes cso, função invers está definid em R, já que o contrdomínio d tg é R, e temos um função crescente em R e limitd, rctg : R! 2, pple. 2 Aul 2 9/0/205 Funções trigonométrics inverss: Exemplos: pple rcsen : [, ]! 2, 2, rccos : [, ]! [0, ], rctg : R! 2, pple. 2 rcos( ) =, rcos(/2) = /3, rcos(cos( /3)) = /3, rctg() = /4, rctg( ) = /4, rctg( p 3) = /3, 2 Há muitos outros intervlos que podímos escolher, ms est escolh é convenção usul. 35

36 CDI-I o S 205/6 rcsen( p 2/2) = /4, rcsen( p 3/2)) = /3. Antes de pssrmos à definição de limite, vemos ind um outr clsse de funções, definids prtir de exponenciis. Funções hiperbólics: definem.se s funções seno hiperbólico e coseno hiperbólico, de domínio R, como cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x. 2 2 e tnh x = sinh x sinh x cosh x, coth x = cosh x. Temos sh é ímpr, ch é pr, e sh x + ch x = ex. Éfácil ver que ests funções verificm cosh 2 x sinh 2 x = e que portnto o ponto (cosh t, sinh t) está n linh de equção x 2 y 2 =, que é um hiperbole. (Ver fichs pr mis proprieddes dests funções.) A função sh é injectiv em R, com contrdomínio R, e ch é injectiv em R +, com contrdomínio [, +[. As sus inverss 0 são rgsh : R! R, rgch : [, +[! R + 0 R. Exercício: encontrr expressões pr inverss (dependendo de ln) Limite de funções em R Queremos gor definir um ds noções centris do cálculo: noção de limite pr funções em R, que será essencil n definição de derivd, no estudo de funções, de integrl, já que nos permite definir noções novs (como dividir por 0 por ex.), proximndo por quntiddes conhecids, e tomndo o limite. Limites qundo x! ±: Vmos primeiro considerr lim x!+ f (x), que são nálogos à noção que já definimos de limite pr sucessões (ou sej, funções em N, com n! +, n 2 N). Reprem que nem sempre fz sentido considerr estes limites, só se o dominio D de f contiver pontos rbitrrimente grndes, ou sej tl que D \ [R, +[, ;, 8R > 0. 3 Ento (s) seguinte(s) definições são nturis: Definição 2. (Limites no infinito). Sej f : D! R, D como cim. (i) lim x!+ f (x) = b se ddo >0 (mrgem de erro em y) existe R > 0 tl que x 2 D ^ x > R ) f(x) b <. E tmbém: 3 Por exemplo, se o domínio for [, ] nõ fz sentido considerr o comportmento no infinito, já que função não está definid. 36

37 CDI-I o S 205/6 (ii) lim x!+ f (x) =+ se ddo M > 0 existe R > 0 tl que x 2 D ^ x > R ) f (x) > M. (iii) lim x!+ f (x) = se ddo M > 0 existe R > 0 tl que x 2 D ^ x > R ) f (x) < M. Tmbém podemos considerr x!, fzendo lim f (x) = lim f ( x), x! x!+ (ssumindo gor que D\], R[, ;, 8R > 0), por exemplo, lim x! f (x) = b se ddo >0existe R > 0 tl que x 2 D ^ x < R ) f(x) b <. Exemplos:. lim x!+ x p = 0, p > 0, já que, pr x > 0, x p 0 =, e, ddo >0, xp r x p <, x > p, logo podemos tomr R = p r. Tmbém temos lim x! x p = 0. x 2. lim x!+ =, já que, pr x > 0, x + x x + = x + = x + <", x > ". Por exemplo, temos 0.99 < x x + Tmbém temos lim x! 3. lim x!+ e x = lim x! e x = 0 x x + =. 4. lim x!+ e x = lim x! e x =+ < se tomrmos qulquer x > 0 2 = 99. Limite num ponto 2 R: Definimos lim x! f (x) pr pontos suficientemente próximos do domínio D de f, ms não necessrimente 2 D. Genericmente, idei é: existirá limite = b qundo x! se se puder fzer o erro f (x) b, ns ordends, tão pequeno qunto se queir, desde que x 2 D se proxime o 37