Curso de Biomedicina

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1 Curso de Bomedcna Dscplna 5EMA080: Bostatístca E APLICAÇÕES NO SOFTWARE R 0 BIMESTRE Profa. Dra. Ana Vergna Lbos Messett LONDRINA 016

2 Aula 8 - PROBABILIDADE Introdução - A probabldade é usada por qualquer ndvíduo que toma decsão em stuações de ncerteza. Conhecendo ou não regras para o seu cálculo, mutas pessoas nteressam-se por eventos lgados às probabldades. Do contráro, como poderíamos explcar o grande número de ndvíduos que jogam em loteras, bngos, corrdas de cavalo etc. A utlzação das probabldades ndca a exstênca de um elemento do acaso ou de ncerteza, quanto à ocorrênca ou não de um evento Expermento Aleatóro (E) - É um processo de coleta de dados relatvo a um fenômeno que acusa varabldade em seus resultados. Exemplo E 1 = Lançamento de uma moeda. E = lançamento de um dado e a observação da face voltada para cma. E 3 = Lançamento de três moedas. Espaço Amostral (S) - Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíves de um expermento aleatóro, cada resultado, é um ponto amostral. Seja o expermento um lançamento de três moedas, logo o espaço amostral será: Exemplo 8.1 S 1 = { (c, k)} S = {1,,3,4,5,6} S 3 = {(c, c, c); (c, c, k); (k, c, c); (c, k, c); (k, k, k); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k)} Eventos - Evento é um subconjunto do espaço amostral. Exemplo 8.1 A: ocorrer cara. A = {c} B: ocorrer número par. B = {,4,6} C: ocorrer pelo menos duas caras. A = {(c, c, c) (c, c, k) (c, k, c) (k, c, c)} Operações com conjuntos - Aplcando-se aos eventos de um espaço amostral (S) as operações sobre conjuntos, obtêm-se outros eventos de S. Assm, se A e B são eventos, então: A B É o evento que ocorre, se e somente se, A ou B ocorrem; A B É o evento que ocorre, se e somente se, A e B ocorrem; A É o evento que ocorre, se e somente se, não ocorre A. A é o complemento de A. Exemplo 8. - Seja o expermento o lançamento de um dado. E = {1,,3,4,5,6}. Sejam os eventos: A - Número par; B - Número maor que ; C - Número 6 Determne os eventos: A; B; C; A B; B C; Eventos Mutuamente Exclusvos - Dos eventos A e B são mutuamente exclusvos, se eles não ocorrerem smultaneamente, sto é, se forem dsjuntos, ou seja: A B Defnção de Probabldade - em qualquer expermento aleatóro, há sempre uma ncerteza quanto á ocorrênca, ou não, de determnado evento, portanto, chama-se probabldade de um evento A, A S, ao número:

3 n( A) número de vezes em que o evento pode ocorrer A), n( S) número de casos possíves Exemplo 8.: Seja o expermento, o lançamento de um dado. Qual a probabldade de ocorrer número maor que? B) = = 0,6667 Propredades da probabldade - De mportânca fundamental entre todas as regras da probabldade são os seguntes axomas: Campo de varação das probabldades: 0 P ( A) 1 Probabldade do espaço amostral: S) = 1; onde S é o espaço amostral Probabldade do evento mpossível: ) = 0 Probabldade de um evento complementar: A) 1 A) Teorema da Soma: Dado dos eventos A e B, a probabldade de pelo menos um deles ocorrer é gual a soma das probabldades de cada um menos a probabldade de ambos ocorrerem smultaneamente, ou seja: Probabldade da adção de um evento não mutuamente exclusvo A B) A) B) A B) Probabldade da adção de um evento mutuamente exclusvo A B) A) B) pos A B) Exemplo 8.3a: Seja o expermento, o lançamento de um dado. Sejam os eventos; M: ocorrer par; N: ocorrer número maor que. Qual a probabldade de ocorrer número par ou número maor que? Qual a probabldade de não ocorrer número par? Exemplo 8.3b - Seja o expermento, o lançamento de dos dados. Sejam os eventos; M: ocorrer soma 7; N: ocorrer a soma 11. No lançamento dos dos dados: Qual a probabldade de ocorrer a soma 7 ou soma 11? Qual a probabldade de não ocorrer soma 7? Probabldade Condconal - Sejam dos eventos A e B quasquer, B) >0. A probabldade condconal de A dado B é denotado por A/B): Qual a probabldade de ocorrer A, dado que B já ocorreu? Isto é o que se chama A B) Probabldade Condconal. A / B) B) 3

4 Se houver nteresse no oposto, sto é, na probabldade de ocorrênca de B condconada à A B) ocorrênca préva de A, sendo A)>0, tem-se: B/ A) A) Exemplo 8.4a - Seja o lançamento de dados não vcados e a observação das faces voltadas para cma. Calcule a probabldade de ocorrer faces guas (E1), sabendo-se que a soma é menor ou gual a 5 (E). Regra do produto - Uma das consequêncas da expressão da probabldade condconal é a regra do produto, obtda ao solar a probabldade de ntersecção: A B) A). B/ A) Para três eventos: A B C) A). B / A). C / A B) Exemplo 8.4b: Uma caxa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retramos, ao acaso, cartões, um após o outro, sem reposção, e observamos as cores dos dos cartões: a) Dagrama da árvore de probabldades: alocar as probabldades a todos os elementos do espaço amostral? b) Qual é a probabldade de que ambos sejam amarelos? c) Qual é a probabldade de ocorrer exatamente 1 cartão amarelo? Eventos Independentes - Dos eventos são ndependentes quando a realzação ou não de um dos eventos não afeta a probabldade da realzação do outro e vce-versa. Se dos eventos são ndependentes, a probabldade para que eles se realzem smultaneamente é gual ao produto das probabldades de realzação dos dos eventos. Logo; A B) A). B) ou mas eventos A A... A ) A ).A )... A ) 1 n 1 n Exemplo 8.4c: Uma caxa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retramos, ao acaso, cartões, um após o outro, com reposção, e observamos as cores dos dos cartões: a)dagrama da árvore de probabldades: Como alocar as probabldades a todos os elementos do espaço amostral? b) Qual é a probabldade de que ambos sejam amarelos? c) Qual é a probabldade de ocorrer exatamente 1 cartão amarelo? Teorema de Bayes Aplcação da probabldade condconal Teorema da Probabldade Total - Consdere o espaço amostral partconado em k eventos, C 1, C,...C k ; satsfazendo às seguntes condções: a) C C j = para todo j (eventos mutuamente exclusvos); b) C C... C 1 k S (eventos exaustvos); c) C ) > 0 para =1,,...,k. 4

5 Seja o evento A qualquer referente ao espaço amostral S. Então: A= (A C1) ( AC)... ( ACk ) onde os eventos (A C ) (=1,,...,k) são mutuamente exclusvos entre s. Logo em termos de probabldade A): A) = P[A C1] + P[A C] + P[A C3]... P[A C k ] usando a regra do produto, temos a segunte equação, conhecda como Teorema da probabldade total: k A) = C). A/ C) 1 O Teorema de Bayes permte obter a probabldade de que um evento C I ocorra, sabendo-se que o evento A ocorreu. C ). A/ C ) C / A) ou A) C / A) n 1 C ). A/ C ) C ) * A/ C ) Exemplo 8.5a Três profssonas (agrônomo, bólogo, engenhero cvl). Cada um deles plantou 10 mudas de álamos em vasos numa casa de vegetação. Sobrevveram 9 plantas (agrônomo); sobrevveram 5 (do bólogo) e sobrevveram (do engenhero). Dos 30 vasos escolhe um vaso ao acaso, e verfca se sobrevveu. Se sobrevveu, qual a probabldade de ter sdo plantada pelo engenhero cvl? Exemplo8.5b Suponha que em um levantamento de dados uma determnada população fo classfcada de acordo com uma das característca: C 1 : Heterossexuas 63% ; C : Homossexuas 18%; C 3 : Hemofílcos 5%; C 4 : Usuáros de drogas njetáves: 14%. Levantamentos estatístcas anterores permtem presumr que o rsco de transmssão do HIV entre heterossexuas é da ordem de,3% entre a população de homossexuas de 9,3% entre hemofílcos 1% e entre usuáros de droga 17,1%. Qual a probabldade de transmssão de HIV? E qual a probabldade de um transmssor HVI ser provenente do grupo de heterossexuas? E qual a probabldade de um transmssor HVI ser provenente do grupo de usuáros de droga? 8.6 Avalação da qualdade de um exame de dagnóstco Uma aplcação mportante da teora das probabldades na medcna esta relaconada à avalação da capacdade de um determnado exame ter de acertar o verdadero dagnóstco. Os resultados de exames realzados em laboratóros nterferem dretamente no dagnóstco, no desenvolvmento de uma ação para o tratamento ou no própro montoramento da terapa do pacente. Todos os métodos são desenvolvdos segundo normas regulamentadores naconas e nternaconas, obedecendo a crtéros de qualdade rgorosos. Além dsso, passam por uma fase de testes clíncos antes que possam ser aplcados na prátca. A metodologa empregada em um laboratóro deve garantr que os testes sejam capazes de detectar, quantfcar ou medr substâncas, pos fornecerá nformações mportantes sobre uma doença, estado de saúde, tratamento ou montoramento de um pacente. Os quatro prncpas ndcadores utlzados para determnar a confabldade de um teste laboratoral são exatdão, precsão, especfcdade e sensbldade. A exatdão e precsão refletem a qualdade dára dos métodos realzados, enquanto a especfcdade e sensbldade ndcam como o teste é capaz de dstngur a doença da ausênca de doença. O quadro 1 mostra de manera esquemátca os possíves resultados assocados à comparação do resultado do exame que está sendo avalado e o resultado defntvo ou dagnóstco de certeza. 5

6 Quadro 1: Resultado de um exame dagnóstco versus um dagnóstco de certeza Dagnóstco de certeza Doença (+) Doença (-) Totas Exame (+) a (++) b (+-) a +b Exame (-) c (-+) d (--) c +d Totas a +c b +d a+ b+ c+ d a- Indvíduos com resultado verdadero - postvo b- Indvíduos com resultado falso - postvo c- Indvíduos com resultado falso- negatvo d- Indvíduos com resultado verdadero - negatvo a+b Todos os ndvíduos com resultado postvo c+d Todos os ndvíduos com resultado negatvo a+c Todos ndvíduos com a doença b+d Todos ndvíduos sem a doença a+b+c+d Todos ndvíduos do estudo. Falso-postvo: Indvíduo sado cujo exame resultou postvo. Evento Falso-postvo: Indvíduo sado cujo exame resultou postvo (b) Probabldade do falso postvo: b/a+b Falso-negatvo: Indvíduo doente cujo exame resultou negatvo. Evento Falso negatvo (c) Probabldade do falso negatvo: c/c+d Propredades estáves - Quando as proporções dferentes de pacentes sados e doentes são testadas, os seus valores não se alteram. São duas propredades: SENSIBILIDADE : é defnda como a proporção entre o número de ndvíduos cujo exame resultou postvo e tem a doença, e o número total de ndvíduos doentes. De acordo com o quadro 1: Sensbldade = quanto mas próxmo de 1 estver a sensbldade melhor o teste Expressa o total de acertos do exame sobre o ve rdadero número de doentes. Fazendo (1-sensbldade) ou c/(a+c) temos a proporção de ndvíduos doentes que o exame dexou de dagnostcar. Proporção de falsos- negatvos no total de pessoas doentes. ESPECIFICIDADE: é defnda como a proporção entre o número de ndvíduos sados cujo exame resultou negatvo e o número total de ndvíduos sados. Então: Especfcdade = quanto mas próxmo de 1 estver a especfcdade melhor o teste 6

7 Expressa o total de exames corretamente negatvos sobre o total de ndvíduos sados. Fazendo (1- especfcdade) ou b/((b+d) temos a proporção de falso-postvos no total de ndvíduos. Exemplo 8.6 Suponha que um laboratóro quera realzar um estudo para verfcar a confabldade de um teste rápdo de gravdez com uso de um teste casero. Os autores compararam os resultados do teste realzado pela detecção qualtatva de gonadotrofna corônca humana (hcg) na urna de mulheres supostamente grávdas. O dagnóstco defntvo de gravdez fo confrmado no exame de sangue. Os resultados na tabela 1. Tabela 1 Resultado da avalação do teste rápdo para gravdez em 800 mulheres = p145 Resultado do teste Resultado rápdo grávda Não grávda Total Postvo Negatvo Total Sabendo que a precsão do teste é dada pelos ndcadores sensbldade e especfcdade. Determne os ndcadores e a proporção de falso-negatvo e a proporção de falso-postvo. ATIVIDADE 8 - PROBABILIDADE 1) Suponha que uma gaola contém 10 camundongos, cnco de cada sexo. Consdere que seja retrado ao acaso um camundongo de cada vez para ser submetdo a um teste. Fnalzando o anmal é rentroduzdo na gaola. Denomnando os evento F: fêmea e M: machos, a probabldade de: a) retrar uma fêmea duas vezes? b) serem seleconadas quatro fêmeas segudas? c) ser seleconado duas vezes o mesmo camundongo? ) Supondo que mennos e mennas tem a mesma probabldade de nascer (desconsderando gêmeos). Num planejamento de famíla com três flhos, construa o dagrama da árvore de probabldade e responda: qual a probabldade de a) dos serem homens? b) um ser homem? c) nenhum ser homem? 3) Consdere o tabela abaxo com 15 ndvíduos classfcados quanto às varáves obesdade e sedentarsmo. Seja o evento A: obesdade e o evento B: sedentarsmo. As respostas foram representadas por S: sm e N: não. a) Qual a probabldade de o ndvíduo aleatóro ser obeso? b) a probabldade de o ndvíduo aleatóro ser sedentáro? c)qual a probabldade de ser obeso ou sedentáro? Tabela - Indvíduos classfcados como obesos e sedentáros. Ind A N N S N S S N N N S N N S N N B S N S S N S N S S S N N S N S 4) Os eventos E representam as procedêncas das peças (fornecedores 1,,3,4), e o evento F representa peça não conforme (defetuosas). Repare que os eventos E os fornecedores são mutuamente exclusvos, pos a peça somente pode ser orgnára de um dos fornecedores; e que o evento F tem ntersecção com cada um deles. Suponha que a probabldade para todos 7

8 fornecedores E1) = E) = E3) = E4) =0,5 e as probabldades de não conforme para cada fornecedor sejam: p1= F/E1) = 0,1; p= F/E)=0,1; p3= F/E3)= 0,; p4= F/E4)=0,4. Calcule a probabldade de não conforme? Sabendo que a peça é não conforme, qual é a probabldade de que ela tenha vndo do fornecedor 4? 5) Para seleconar seus funconáros, uma clínca odontológca oferece aos canddatos um curso de trenamento durante uma semana. No fnal do curso, eles são submetdos a uma prova e 5% são classfcados como bons (B), 50% como médos (M) e os restantes 5% como fracos (F). Para facltar a seleção, a empresa pretende substtur o trenamento por um teste contendo questões referentes à conhecmentos geras e específcos. Para sso, gostara de conhecer qual a probabldade de um ndvíduo aprovado no teste ser consderado fraco F/A)=? caso fzesse o curso. Assm, neste ano, antes do níco do curso, os canddatos foram submetdos ao teste e receberam o conceto aprovado (A) ou reprovado (R). No fnal do curso, obtveram-se as seguntes probabldades condconas: A/B)=0,80; A/M)= 0, 50 e A/F)=0, 0. 6) Os dados da tabela 3, fo extraído da publcação Como ler revstas médcas, do departamento de Epdemologa Clínca e Boestatístca do Centro de Cêncas da Saúde da Unversdade de MacMaster, cdade de Hamlton, Ontaro, Canadá, para o programa braslero de Epdemologa desenvolvdo com o apoo da SEPLAN e o CNPQ. Tabela 3 Eletrocardograma de esforço como ndcador de estenose das coronáras quando a doença está presente em metade dos homens examnados. Mas de 75% de estenose Eletrocardograma Doença (+) Doença (-) Totas Exame (+) Exame (-) Totas Sabendo que o dagnóstco de certeza fo obtdo por arteroscopa, calcule a sensbldade e especfcdade. Determne a proporção de falso (-) e a proporção de falso (+). AULA 9 Varáves Aleatóras Dscretas Varável aleatóra: Qualquer característca que pode ser medda ou categorzada é chamada varável. Se uma varável pode assumr uma sére de valores dferentes tal que qualquer resultado partcular seja determnado pela sorte, ela é uma varável aleatóra (v.a.). Varável Aleatóra Dscreta (v.a.d): Uma varável aleatóra X será dscreta se o número de valores possíves de X for nfnto ou nfnto enumerável Função de probabldade: Seja X uma varável aleatóra dscreta. A função f: R(x) [0, 1] é defnda como Função de Probabldade de X, se para cada x R(x), com R(x) = {x 1, x,......,x n }, satsfzer as condções: ) X= x ) = f(x ) 0 ; ) P ( X x ) f(x) 1 n 1 n 1 8

9 9.3 - Dstrbução de probabldade: Ao conjunto formado pelos pares [x ; p(x )] denomnamos dstrbução de probabldade. Exemplo 9.1: Seja o expermento, o lançar de duas moedas. Determne a dstrbução de probabldade, consderando a varável aleatóra número de coroas. Determne a esperança e desvo padrão da v.a. Méda ou Esperança Matemátca E(X) ou x Seja X uma varável aleatóra dscreta, com os valores x 1, x,..., x n e suas respectvas probabldades p 1, p,..., p n, então o seu valor esperado E(X) é: E( X ) x p( x ) X n 1 Varânca: A varânca de uma varável aleatóra mede a dspersão dos dados e é defnda pela n expressão: E( X ) x p( x ) logo V(X) = (X) = E(X ) [E(X)] 1 Desvo padrão: É a raz quadrada da varânca. x Var x Exemplo 9. (Valores do exemplo 8.4c): Uma caxa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retramos, ao acaso, 3 cartões, um após o outro, com reposção, e observamos as cores dos dos cartões. Construa a dstrbução de probabldade [x ; p(x )] consderando os cartões vermelhos como a varável aleatóra. Determne a méda (esperança) da varável aleatóra. ATIVIDADE 9 Varáves Aleatóras Dscretas 1) Apresente a dstrbução de probabldade para as seguntes varáves aleatóras: a) Número de caras obtdo com lançamento de uma moeda honesta. b) Número de caras obtdo no lançamento de duas moedas. c) Número de peças com defeto em uma amostra de duas peças, sorteadas aleatoramente de um lote, em que 40% das peças são defetuosas (expermento com reposção). d) Número de peças com defeto em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoramente de um lote, em que 40% das peças são defetuosas (expermento com reposção). )Um casal planejam três flhos. Seja a varável aleatóra o número de mennas. Determne a dstrbução de probabldade e a méda da varável aleatóra. 3) Uma caxa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retramos, ao acaso, 3 cartões, um após o outro, sem reposção, e observamos as cores dos três cartões. Construa a dstrbução de probabldade [X; p(x)] e consderando a varável aleatóra os cartões vermelhos. 9

10 AULA 10 Dstrbuções de probabldades dscretas A segur serão apresentados os prncpas modelos probablístcos para varáves dscretas e contínuas Dstrbução de Bernoull - Se na realzação de um expermento só pode ocorrer sucesso ou fracasso, sto é, somente dos possíves resultados então teremos: X = {0, 1} 0 Fracasso; 1 Sucesso Se a probabldade de sucesso é p, então a probabldade de fracasso será q = 1- p pos p q 1, logo essa varável terá uma dstrbução de Bernoull, onde: Esperança será: E(X) = p, pos: X 0 1 X) q p n E(X) x p( ) E(X) 0q 1 p E(X) p 1 x Varânca será: V(X) p q V ( X ) E( X V(X) = p -[p] p(1- p), como V(X) = p q ) [ E( X )] 0 q 1 p 1- p = q p, logo Dstrbução bnomal - Se a tentatva de Bernoull é repetda n vezes, onde: Cada tentatva tem dos possíves resultados: Sm ou Não, Sucesso ou Fracasso, etc.; A probabldade de sucesso permanece a mesma para cada tentatva; As n tentatvas são ndependentes.. Seja X o número de sucessos em n tentatvas do expermento que só admte sucesso (p) ou fracasso (q) em cada tentatva, essa dstrbução é chamada de bnomal, com a função de x x nx n! probabldade dada por: X) Cn p q, onde C x n x(! n x)! notação: B(x, n, p) Esperança: E(X) = n p; Varânca: V(X) = n p q; Desvo padrão: Exemplo 10.1 Um estudo para nvestgar a probabldade de em um pacente pcado com agulha nfectada com hepatte B realmente desenvolva a doença (varável aleatóra: desenvolver a doença). a) Se 70% dos pacentes que estão expostos à hepatte B são nfectados, suponha que numa amostra de 10 pacentes exatamente 4 pacentes desenvolvam a hepatte B? b) Qual a probabldade de mas de cnco pacentes desenvolvam a hepatte B? c) qual o número médo de pacentes que desenvolvera a doença? e o desvo padrão? 10

11 Exemplo10. A varável aleatóra segue uma dstrbução bnomal com os seguntes parâmetros abaxo. Determne os resultados no software R. B (0, 10, 0.11); B (1, 10, 0.11); B (, 0, 0.11); B( X, 10, 0.11); B (X 1, 10, 0.11) ; B(X<, 10, 0.11); B (X 1,10,0.11) Dstrbução de Posson - Se X representa o número de ocorrêncas de algum ntervalo específco de tempo (espaço, área, volume..) tal que o número médo de ocorrêncas com a varânca da população são guas a lâmbda:, X tem uma dstrbução de Posson com parâmetro. A varável aleatóra pode assumr qualquer valor ntero [0, um valor partcular é dada pela função de probabldade:, a probabldade que X assuma - x e X) x! notação: x, ) Esperança: E(X) ; Varânca: V(X) ; Desvo padrão: Exemplo 10.3 Um estudo a respeto da possível dfusão de dftera avalou quantos casos pode-se esperar em um determnado ano. Seja X a varável aleatóra com dstrbução de Posson com parâmetro de 3 casos de dftera/ano. Qual a probabldade de: a) que nenhum caso de dftera seja regstrado num determnado ano. b) menos de três casos de dftera seja regstrado num determnado ano? c) mas de cnco casos de dftera num período de dos anos? Obs: e =, Quadro - Valores para fórmula de Posson e 1 0,3678 0,1353 0,0497 0,0183 0, ,0047 0, ,00033 Exemplo A varável aleatóra segue uma dstrbução de Posson com o segunte parâmetro apresentado abaxo. Determne os resultados no software R. 0, =4); X, =5); X, =5); < X < 5, =5); X 5, =5) ATIVIDADE 10 Dstrbuções de probabldades Dscretas 1) Calcule as probabldades bnomas dretamente pela fórmula B(x; n, p). Apresente em cada tem a função do software R para resolver as questões. a) B (3; 8,0.6) b) B (5; 8, 0.6) c) B[3 X 5 ; 8, 0.6)] d) B (X < 1; 0,0.75) e) B (X 1; 0,0.75) f) B (X > ; 8, 0.3) g) B ( X ; 8, 0.3) 11

12 ) Em uma determnada população, 80% das pessoas apresentam grupo sanguíneo com fator Rh postvo. Objetvando estudar a presença do fator Rh na população temos Rh+ o (sucesso) e Rhfracasso. a) Retrou-se uma amostra de 6 ndvíduos, qual a probabldade: a) de entre os 6 ndvíduos apresentem fator Rh postvo? b) Qual a probabldade em uma amostra de 10 ndvíduos, 4 delas apresentem o fator Rh+? c) de pelo menos ndvíduos (n=10) apresentem o fator Rh+? 3) Suponha que a probabldade de que um embrão seja fxado na parede do útero é de 5%. Consdere o mplante de cnco embrões, e determne a probabldade de: a)de que resulte em gravdez? b) de que a gravdez seja únca? c) de que a gravdez seja múltpla? d) gêmeos? 4) Consdere uma dstrbução de Posson com méda = 3 (tem a e b), determne. Apresente os resultados, e em cada tem escreva a função do software R para resolver as questões. a) 0), 1), f(), f(3) b) X 1), X ), X < 1), X > ) c) P (1< X < 4; ʎ= ) ; 1 X 4; ʎ= ); 1< X 4 ; ʎ= ) 5) O número de quebras cromossômcas em um roedor, em qualquer período de um da, num local poluído, pode ser uma varável aleatóra com dstrbução de Posson e parâmetro gual 0.1 (em méda haverá uma quebra cromossômcas a cada 10 das. Supondo que este roedor fcará 0 das neste local poluído para experênca, qual a probabldade: a) encontrarem menos de 3 quebras cromossômcas? b) encontrarem mas de duas quebras cromossômcas? 6) Num certo ano o Insttuto do Meo Ambente e dos recursos naturas renováves (IBAMA) regstrou, numa área de reserva do ltoral catarnense, 18 mortes de golfnhos. a) qual a probabldade de, num determnado mês, ocorrerem menos de mortes? b) a probabldade de, num determnado semestre do próxmo ano, ocorrerem duas mortes? AULA 11 Varáves Aleatóras Contínuas 11.1 Defnção: Seja X uma varável aleatóra. Se o conjunto dos possíves valores de X, no R(x) for um ntervalo ou coleção de ntervalos, ou seja, um conjunto nfnto não enumerável, denomnará X de Varável Aleatóra Contínua. Exemplo: Sejam X: Altura de ndvíduos, então R(x) = {x / x > 0}. 11. Função densdade de probabldade: Seja X uma v.a. contínua. A função densdade de probabldade (f.d.p.) da v.a. X é uma função densdade de probabldade se satsfaz às seguntes condções: ) f(x) 0, x R(x) ) f ( x) dx = f(x) dx = 1 R(x) 1

13 Obs.: Por defnção temos que para quasquer a, b R(x) com a < b, em lnguagem de cálculo. P[a X b] b a f(x) dx P[a X b] = P[a X b] = P[a < X b] = P[a X < b] P[X x] 0, R(x) Esperança de uma varável aleatóra contínua: A esperança E(X) é defndo por: Varânca: Defne-se a varânca de uma v.a. contínua como sendo: V(X) E[X E(x)] E(X ) [E(X)] onde E(X ) = x. px 00 E(X ) = x p(x ) dx -00 dx Desvo padrão: É a raz quadrada da varânca. x Var x Exemplo 11.1 Seja X uma varável contínua com f.d.p. dada por: 1 =, para x [1;4] f(x) 3 = 0, para x [1; 4] a)verfque se é função densdade de probabldade. b) Probabldade no ntervalo: P (< X< 4) ATIVIDADE 11 Varáves Aleatóras Contínuas 1) Seja a função f(x) = x 3 0, se 1 x para outros valores. Determne 0 x 1) kx, se 0 x 1 ) Seja f(x) 0 paraoutros valores a) Determne K afm de que f(x) seja f.d.p b) Probabldade no ntervalo: 0 < x < ½). c) A esperança da varável aleatóra AULA 1 Dstrbuções de probabldades contínuas 1.1. Dstrbução normal - A dstrbução Normal é a dstrbução contínua mas utlzada em todas as áreas, porque representa com boa aproxmação mutos fenômenos naturas e físcos, prncpalmente quando se trabalha com grandes amostras. 13

14 Se X tem dstrbução Normal, então sua função, denomnada, função densdade de probabldade (f.d.p.) é dada por: ( x) x 1 f( x) e, para 0 dz-se que x tem dstrbução normal com méda µ e varânca, ou X ~ N(µ, z ). 1. Gráfco: Esta função tem algumas propredades: 1) É smétrca em relação à méda. ) Méda = Moda = Medana. No entanto, o cálculo de probabldade é dfícl, por exemplo: 3 1 X 3) e dx 3) É assíntota em relação ao exo das abcssas. - (x- ) Admtndo-se que se conhece e, e não é possível tabelar, pos depende dos dos parâmetros. Para soluconar esse problema, fez-se uma mudança varável, obtendo-se assm a dstrbução Normal Reduzda Varável normal reduzda - A mportânca da Normal Reduzda está no fato dela estar tabelada sempre que X tver dstrbução N(, ), poderemos sempre obter a forma reduzda, dada por: Defnção: Seja X uma v.a com dstrbução normal méda e varânca, defnmos Z como x sendo Z ( ), onde Z tem dstrbução normal reduzda com função densdade dada por: Se X~ N(μ; ) lê-se a varável aleatóra X tem dstrbução normal com méda μ e varânca. Se Z~ N(0; 1) lê-se a varável aleatóra Z tem dstrbução normal com méda 0 e varânca 1. Ou, smplesmente, dstrbução normal padrão. A função densdade de probabldade (f.d.p.) de Z é : f ( z) 1 e 1 z p/ (- < z < +) 14

15 Exemplo Uso da tabela normal padrão. Seja Z uma varável aleatóra com dstrbução normal padrão. Encontre as seguntes probabldades. P[0 Z 1] ; P[0 Z 1,5]; P[-1,5 Z 0]; P[ -1,5 Z 1,5]; P[-,55 < Z < 1,]; P[1, 5 < Z < 1,73] P[Z > 1,93] ; P[Z 1,93]; P[Z < 1,35] ; P[Z < -0,4]; P[ Z > - 0,4] ; P[-1,4 < Z < -0,4] ; P[-1,4 < Z < 0] ; P[0 < Z < 0.4]; o valor de z, tal que -z < Z < +z) = 0,90 o valor de z, tal que -z < Z < +z) = 0,95 o valor de z, tal que -z < Z < +z) = 0,99 Exemplo 1. - Em uma materndade o peso de cranças ao nascer apresenta uma dstrbução normal, com méda gual a 3300 gramas e desvo padrão de 150 gramas. Para efeto de estatístca nterna do hosptal, o admnstrador deseja saber qual a proporção de cranças nascdas entre: a) 3300 gramas e 3500 gramas? b) Qual a proporção de cranças com peso acma de 3500 gramas? c) A proporção de cranças com peso abaxo de 900 gramas? d)quas os valores de X que delmtam o prmero e tercero quarts? e) As cranças prematuras (outlers) estão stuadas abaxo de 0.% da curva normal padrão, são pesos nferores da méda. Qual o peso (gramas) que uma crança é consderada prematura? ATIVIDADE 1 Dstrbuções de Probabldades Contínuas 1) Uso da tabela normal padrão. Dado que Z é uma v.a. normal padrão, calcule as probabldades. Apresente em cada tem a função do software R para resolver as questões. a) P[0 < Z < 1]; b) P[-1 < Z < 0] ; c) P[1, 5 < Z < 1,73] d) P[Z > 1,3] ; e) P[Z < 1,35] ; f) P[Z > -0,97]; g) P[ Z < 0,4] ; h) P[Z < -0,4] ; ) P[-0,4< Z <0,4] ; j) Z > 1,6); k) Z < 1,6); l) -1 < Z < +1); m) P ( - < Z < +); n) -3 < Z < +3); o) Z > - 0,48) p) Z < - 0, 4) ; q) -0,31 < Z < +1,68) r) o valor de z, tal que -z < Z < +z) = 0,90 s) o valor de z, tal que -z < Z < +z) = 0,95 t) valor de z, tal que -z < Z < +z) = 0,99 ) A quantdade de colesterol em 100ml de plasma sanguíneo humano tem dstrbução normal com méda de 00mg e desvo padrão de 0mg. a) Qual a probabldade de uma pessoa apresentar entre 00 e 5mg de colesterol por 100 ml de plasma? b) E qual a probabldade de uma pessoa apresentar menos do que 195mg de colesterol por 100 ml de plasma? 15

16 3) Se X~N(150, ), com desvo padrão desconhecdo. Ou, X tem dstrbução normal padrão de méda gual a 150, mas 97.5% dos valores de X são menores do que 10, qual o valor do desvo padrão? 4) Suponha que o comprmento de recém-nascdos do sexo femnno não portadores de anomalas congêntas seja uma v.a. com dstrbução aproxmadamente normal de méda 48,54cm e desvo padrão de.5 cm; sgnfca que X ~ N(48.54,.50). a) A probabldade de um recém-nascdo, escolhdo ao acaso, ter um comprmento superor a méda? Os próxmos tens são útl na construção de curvas de crescmento ou pôndero-estaturas (peso, estatura, perímetro encefálco...) b) Determne o comprmento de 5% das cranças de maor comprmento? c) E 5% das cranças com menor comprmento consderado com mcroencefala. 5) Admtndo que os tempos de duração dos efetos de uma determnada concentração de xlocaína, aplcada localmente, são dstrbuídos normalmente com méda de 0 mnutos e desvo padrão de 3 mnutos, determne a probabldade de o anestésco causar o efeto: a) por mas de 3 mnutos? b) entre 1.5 e 3 mnutos? 16