Sistemas de Controle 1

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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 1 Cap3 Modelagem no Domínio do Tempo Prof. Filipe Fraga

2 Sistemas de Controle 1 3. Modelagem no Domínio do Tempo 3.1 Introdução 3.2 Algumas Observações 3.3 A Representação Geral no Espaço dos Estados 3.4 Aplicando a Representação no Espaço dos Estados 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço dos Estados 3.6 Convertendo do Espaço dos Estados para a Função de Transferência 3.7 Linearização

3 3.1 Introdução Abordagens para análise e projeto de sistemas de controle com retroação: Técnica clássica, ou no domínio da frequência Vantagens Simplifica os cálculos Substitui equação diferencial por uma equação algébrica Simplifica a modelagem modelagem de subsistemas interconectados. Desvantagens Aplicabilidade limitada Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo Aproximações para esses sistemas Os novos avanços e requisitos de sistemas de controle tornaram esse tipo de modelagem inadequada Abordagem no Espaço dos Estados (ou abordagem moderna ou no domínio do tempo) Vantagens Representa também sistemas não lineares (dotados de folga, saturação e zona morta) Representa sistemas variantes no tempo (mísseis com níveis de fluído variável) Manipula de forma adequada sistemas com condições iniciais não nulas Manipula sistemas com múltiplas entradas e saídas Desvantagens Não é muito intuitiva Muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente * Abordagem do livro é limitada a modelos lineares e invariantes no tempo ou que possam ser linearizados. Abordagem aprofundada é assunto para cursos de pós-graduação. 3

4 3.2 Algumas Observações Exemplos de modelagem no espaço dos estados Exemplo 1: Considere que existe uma corrente inicial i(0). 1. Selecionando i(t) para ser variável de estado: Equação da malha: Aplicando a Transformada de Laplace: Equação de Estado Transf. De Laplace para o degrau unitário Admitindo que a entrada v(t) seja um degrau unitário u(t): Isolando I(s) Inversa de Laplace 4

5 3.2 Algumas Observações Exemplos de modelagem no espaço dos estados Exemplo 1: Sabendo i(t) e v(t) é possível calcular os valores de todas variáveis possíveis do circuito (ou de todos estados possíveis) 2. Resolvendo algebricamente todas as outras variáveis do circuito em termos de i(t) e v(t): Resistor: Indutor: Derivada da corrente: 5

6 3.2 Algumas Observações Exemplos de modelagem no espaço dos estados Exemplo 1: Representação no espaço dos estados para o circuito RL: Representação no espaço de estados Equação de estado Equações de saída A equação de estado utilizada não é única, ela poderia ter sido escrita em função de qualquer outra variável do circuito. Exemplo: i = v R R Equação de Estado 6

7 3.2 Algumas Observações Exemplos de modelagem no espaço dos estados Exemplo 2: Representação no espaço dos estados para o circuito RLC: Circuito de segunda ordem 2 equações diferenciais de primeira ordem 2 variáveis de estado: i(t) e q(t) 2 equações diferenciais de primeira ordem e linearmente independentes Equações de Estado 7

8 3.2 Algumas Observações Exemplos de modelagem no espaço dos estados Exemplo 2: Calculando as outras variáveis do circuito: Tensão no indutor: Combinação linear das variáveis de estado: i(t) e q(t) Representação no espaço dos estados: Representação no espaço de estados Essa representação não é única Equações de estado Equação de saída

9 3.2 Algumas Observações Exemplos de modelagem no espaço dos estados Exemplo 2: Outra possível escolha de variáveis de estado: Tensão no resistor: Tensão no capacitor: Equações de estado Restrição para escolha de variáveis de estado: Nenhuma das variáveis de estado pode ser representada como uma combinação linear das outras variáveis de estado.

10 3.2 Algumas Observações Exemplos de modelagem no espaço dos estados Representação matricial: Equações de estado Logo:

11 3.2 Algumas Observações Exemplos de modelagem no espaço dos estados Representação matricial: Equação de saída Logo: Representação no espaço de estados

12 3.2 Algumas Observações Exemplo de modelagem no espaço dos estados Forma de abordagem: 1. Selecionar subconjunto particular de todas as variáveis do sistema para serem as variáveis de estado. 2. Para um sistema de ordem n, escrever n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas em termos das variáveis de estado. 3. Conhecendo os valores das variáveis de estado para a condição inicial t0 e para t>t0 é possível calcular seus valores para outros momentos t1>t0. 4. Equação de saída: combinação algébrica das variáveis de estado com a entrada. 5. Representação do sistema no espaço dos estados: equações de estado + equações de saída. 12

13 3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados Representação no espaço de estados Exemplos: Descrição das variáveis 13

14 3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados Definições: Combinação linear Independência linear Diz-se que um conjunto de variáveis é linearmente independente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combinação linear das outras Variável de sistema Qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais em um sistema Variáveis de estado O menor conjunto linearmente independente de variáveis de sistema Exemplo: i(t) e q(t)

15 3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados Definições: Vetor de estado Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado Espaço de estados O espaço n-dimensional cujos eixos são as variáveis de estado Equações de estado Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, com n variáveis, onde as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado Equação de saída A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de um sistema como combinações lineares das variáveis de estado e das entradas

16 3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados Exemplo de representação geral: Sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t) Se houver uma única saída:

17 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito

18 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia Variáveis de Estado:

19 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Nó 1 Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter i c e v L em termos das variáveis de estado, v c e i L Equação no nó 1: Equação na malha externa: v t + v L + v C = 0

20 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 4 Obter as equações de estado: equações de estado Passo 5 Obter a equação de saída:

21 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Representação no espaço dos estados

22 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados * Observa-se que esse circuito possui uma fonte de corrente dependente de tensão.

23 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito

24 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia Variáveis de estado

25 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter i c e v L em termos das variáveis de estado, v c e i L LKT na malha com L e C: LKC no nó 1: Corrente em R2:

26 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Montando o sistema: v L = v c R 2 i L i(t) 1 (1 4R 2 ) R 2 1 R 1 1 Resolvendo por Cramer: i C = (1 4R 2 ) v c 1 R 1 i L i(t) (1 4R 2 ) R 2 1 R 1 1 (1 4R 2 ) R 2 1 R 1 1 v L i C = v c i L i(t)

27 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 4 Obter as equações de estado: Equações de estado:

28 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Passo 5 Obter a equação de saída: Equações de saída na forma matricial:

29 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

30 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Escrever equações no domínio da transformada de Laplace por inspeção e em seguida aplicar a transformada inversa. Equações de movimento: s 2 M 1 + sd + K X 1 s KX 2 = 0 KX 1 + s 2 M 2 + K X 2 s = F(s)

31 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Fazer a relação entre movimento e velocidade: Escolher as variáveis de estado: x 1, v 1, x 2 e v 2

32 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Organizando equações de estado:

33 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Escrevendo na forma matricial:

34 3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Se a saída do sistema for x 2 então a equação da saída será: y = x

35 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 1) Transformar função de transferência em equação diferencial. Multiplicar cruzado Aplicar Transformada Inversa de Laplace considerando condições iniciais nulas:

36 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 2) Selecionar conjunto de variáveis de estado variáveis de fase Variáveis de fase Nas variáveis de fase temos que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior.

37 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 3) Derivar variáveis de fase para encontrar c Variáveis de fase Derivadas das variáveis de fase c

38 3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados c 4) Organizando o sistema 5) Montando matrizes