Física C. Milan Lalic

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1 Física C Milan Lalic São Cristóvão/SE 11

2 Física C Elaboração de Conteúdo Milan Lalic Projeto Gráfico e Capa Hereson Alves de Menezes Copyright 11, Universidade Federal de Sergipe / CESAD. Nenhua parte deste aterial poderá ser reproduzida, transitida e gravada por qualquer eio eletrônico, ecânico, por fotocópia e outros, se a prévia autorização por escrito da UFS. FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE L195f Lalic, Milan. Física C/ Milan Lalic. -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, Física.. Ondas. 3.Movientos oscilatório 4. Eletroagnetiso I. Título. CDU 537.6/.8

3 Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância Carlos Eduardo Bielschowsky Reitor Josué Modesto dos Passos Subrinho Chefe de Gabinete Ednalva Freire Caetano Coordenador Geral da UAB/UFS Diretor do CESAD Antônio Ponciano Bezerra Vice-coordenador da UAB/UFS Vice-diretor do CESAD Fábio Alves dos Santos Vice-Reitor Angelo Roberto Antoniolli Diretoria Pedagógica Clotildes Farias de Sousa (Diretora) Diretoria Adinistrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor) Sylvia Helena de Aleida Soares Valter Siqueira Alves Coordenação de Cursos Djala Andrade (Coordenadora) Núcleo de Foração Continuada Roseeire Marcedo Costa (Coordenadora) Núcleo de Serviços Gráficos e Audiovisuais Giselda Barros Núcleo de Tecnologia da Inforação João Eduardo Batista de Deus Anselo Marcel da Conceição Souza Raiundo Araujo de Aleida Júnior Assessoria de Counicação Edvar Freire Caetano Guilhere Borba Gouy Núcleo de Avaliação Hérica dos Santos Matos (Coordenadora) Carlos Alberto Vasconcelos Coordenadores de Curso Denis Menezes (Letras Português) Eduardo Farias (Adinistração) Haroldo Dorea (Quíica) Hassan Sherafat (Mateática) Hélio Mario Araújo (Geografi a) Lourival Santana (História) Marcelo Macedo (Física) Silara Pantaleão (Ciências Biológicas) Coordenadores de Tutoria Edvan dos Santos Sousa (Física) Geraldo Ferreira Souza Júnior (Mateática) Janaína Couvo T. M. de Aguiar (Adinistração) Priscila Viana Cardozo (História) Rafael de Jesus Santana (Quíica) Ítala Santana Souza (Geografi a) Trícia C. P. de Sant ana (Ciências Biológicas) Vanessa Santos Góes (Letras Português) Lívia Carvalho Santos (Presencial) NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO Hereson Menezes (Coordenador) Arthur Pinto R. S. Aleida Lucas Barros Oliveira Marcio Roberto de Oliveira Mendoça Neverton Correia da Silva Nycolas Menezes Melo UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Cidade Universitária Prof. José Aloísio de Capos Av. Marechal Rondon, s/n - Jardi Rosa Elze CEP São Cristóvão - SE Fone(79) Fax(79)

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5 Suário AULA 1 Principais características do oviento oscilatório... 7 AULA Principais características do oviento ondulatório AULA 3 Alguns tipos couns das ondas ecânicas AULA 4 Ondas sonoras AULA 5 Interferência, ondas estacionárias, ondas não harônicas AULA 6 Ondas eletroagnéticas AULA 7 Espectro eletroagnético; efeito Doppler; ondas estacionárias AULA 8 Propagação da luz nos eios ateriais: reflexão, refração e dispersão.177 AULA 9 Polarização e espalhaento de ondas eletroagnéticas; princípio de Huygens...7 AULA 1 Interferência e difração das ondas eletroagnéticas... 31

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7 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DO MOVIMENTO OSCILATÓRIO Aula 1 META Introduzir aos alunos conceitos básicos do oviento oscilatório OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deverá: Descrever oscilações e teros de aplitude, período e frequência angular. Fazer cálculos co oviento harônico siples. Utilizar conceitos da energia para analisar oviento harônico siples. Reconhecer realizações práticas do oviento harônico siples: pêndulo siples e pêndulo físico. Analisar o que e coo aortece todas as oscilações reais. Identificar características das oscilações forçadas e do fenôeno da ressonância. PRÉ-REQUISITO Trigonoetria básica; cálculo diferencial básico; ecânica.

8 Introdução Todo oviento que se repete e intervalos de tepo iguais é chaado de periódico. Podeos definir oviento oscilatório coo qualquer oviento periódico (ou repetitivo) que se realiza e torno de ua posição de equilíbrio. A últia se define coo ua posição e que o objeto que executa o oviento não sente nenhua força. Existe uitos tipos de ovientos oscilatórios (ou oscilações): corpo ligado a ua ola, pêndulo, vibração de corda, vibração de átoos que copõe ua olécula ou u sólido..., são soente alguns dos exeplos. Alguns desses ovientos são be coplexos e coplicados. Poré, ostra-se que todos eles pode ser analisados e teros de oscilação ais siples possível, que se chaa oviento harônico siples (MHS). Esse fato justifica a atenção que dareos ao esse tipo de oviento específico. Coeçareos nosso estudo aprendendo exataente as características principais do MHS. Depois disso, sereos ais capazes de entender e descrever oscilações que acontece na vida real: oscilações aortecidas e forçadas, be coo o fenôeno de ressonância. 1.1 Moviento Harônico Siples (MHS) Identificação da causa do MHS Ao invés de definir o MHS iediataente através das funções ateáticas, vaos escolher outra estratégia. Vocês já sabe que qualquer oviento é causado por algua força (segunda lei do velho Isaac Newton). Então, vaos definir o MHS a partir da sua causa, i.e., da força que o provoca! Para facilitar, considerareos o oviento de u sistea concreto: u objeto co a assa ligado a ua ola leve, cuja assa pode ser desprezada (figura 1.1). Iagine ainda que a superfície na qual o objeto se ove é tão lisa que podeos considerar que não existe nenhu atrito. Assi, a única força exercida sobre o objeto é força da ola, F. 8

9 Figura 1.1. O corpo ligado a ua ola ovendo-se e ua superfície se atrito. (a) Quando o corpo se encontra a direita do equilíbrio (x>), a força da ola aponta para esquerda. (b) Quando o corpo está e equilíbrio (x=), a força da ola é zero. (c) Quando o corpo está à esquerda do equilíbrio (x<), a força da ola aponta para direita. Quando a ola ne é copriida ne esticada, o corpo não sente força e não se ove. Essa é a posição de equilíbrio, e por razões práticas, sepre colocareos nesta posição a orige de sistea de coordenadas. Coo o oviento ocorre e ua só diensão, para descrevê-lo precisareos soente de u eixo, x, e a posição de equilíbrio será descrita co x=. Agora use sua iaginação para prever o que vai acontecer se você esticasse a ola até o certo ponto x=a! Neste ponto o corpo sofre a força no sentido do ponto de equilíbrio, e coeça a se over nessa direção. Ficando cada vez enos esticada, a ola exerce cada vez enor força sobre o corpo, até que ele atinja o equilíbrio e força se iguale à zero. O corpo passará o ponto de equilíbrio devido à sua inércia (prieira lei do velho Isaac Newton) e coeçará a copriir a ola (passando para o outro lado de eixo x, x-negativo). Nesse lado o corpo sofrerá de novo a força e direção ao ponto de equilíbrio, que desta vez se opõe ao seu oviento. Finalente, ele vai conseguir chegar até o ponto x=-a, onde vai parar nu instante, coeçando o oviento na direção oposta. Então, o corpo vai executar u oviento oscilatório entre os pontos x=-a e x=+a sob influência de ua única força que sepre aponta para a posição de equilíbrio e fica ais intensa quando o corpo se encontra ais longe dele. Esta força, que é proporcional ao deslocaento, chaa-se força restauradora, pois sepre te tendência de devolver o corpo à sua posição de equilíbrio. Mateaticaente, ela é descrita coo: F kx (1.1) e é ela que provoca o oviento harônico siples! No caso do nosso exeplo corpoola, a força restauradora (1.1) é a força elástica da ola (obedecendo a lei de Hook). Poré, podeos generalizar as coisas e dizer o seguinte: Qualquer que seja o sistea observado, o objeto que se ove sob influência de ua única força restauradora (co a fora ateática 1.1) vai executar o oviento harônico siples. 9

10 Descrição ateática do MHS Agora, sabendo qual força provoca o MHS, podeos descrevê-lo ateaticaente aplicando a segunda lei de Newton. d x kx d x k x (1.) Definindo: chega-se a equação diferencial ordinária de segunda orde: k (1.3) d x x (1.4) cuja solução é qualquer cobinação linear das funções sin(x) e cos(x), ou e fora ais copacta: x ( t) Acos( t ) (1.5) Essa função descreve ateaticaente coo o deslocaento do objeto (x) que executa MHS se coporta e função do tepo (t). Quando t cresce a função cossenos uda de u valor extreo (-1) para o outro (+1), e o deslocaento x passa de A para +A. Portanto, o objeto oscila entre A e A, e nós sabeos exataente onde ele se encontra e qualquer instante t! Características do MHS Vaos agora analisar a equação (1.5) definindo e explicando os síbolos ateáticos que aparece lá. O deslocaento x(t) frequenteente se chaa elongação. A elongação de ua oscilação é a distância contada a partir da posição de equilíbrio e que o corpo se encontra no instante considerado. A é aplitude de oscilação. Define-se coo áxia elongação, isto é, a aior distância que o corpo alcança a partir da posição de equilíbrio e sua oscilação. é constante de fase que define o deslocaento no instante t=. Observe que se essa constante seria sepre x() A, i.e., no início da contage de tepo o corpo se encontraria sepre na esa posição! é a frequência angular, ua quantidade que descreve periodicidade do oviento. Qualquer oviento oscilatório se repete após algu tepo que costuaos chaar o período de oviento e anotaos co letra T. Mais preciso, o período é o tepo 1

11 necessário para u objeto percorrer u ciclo copleto de oscilação. No nosso exeplo corpo-ola, é o tepo preciso para que o objeto, saindo da posição x=a, volte à esa, percorrendo então a distância 4A. Qualquer que seja a posição do objeto e algu instante t, após u período ele se encontrará de novo na esa posição, ou ateaticaente: Levando e conta fórula (1.5), segue: x( t T ) x( t) Acos[ ( t T ) ] Acos( t ) A equação acia será satisfeita soente se os arguentos da função cosseno estivesse iguais ou diferenciados por, ( t T ) t T ou seja, (1.6) T Agora podeos interpretar a frequência angular : ela é definida coo a fração de radianos percorridos pelo oscilador durante o período T. A unidade de é rad/s. A frequência linear f de u oviento oscilatório é o inverso do período e representa o núero de oscilações realizado por unidade do tepo: f 1 (1.7) T A unidade de frequência é o inverso da unidade de tepo, ou seja, 1/segundo. Esta unidade é tabé chaada de "hertz" (Hz). Eliinando T das equações (1.6) e (1.7) podeos obter a conexão entre as frequências linear e angular: f (1.8) As equações (1.6), (1.7) e (1.8) são gerais e válidas para qualquer oviento periódico. No caso específico do MHS, poré, está valendo a equação (1.3) que estabelece u resultado uito iportante: k T k f 1 k (1.9) Ou seja: a frequência e o período no MHS depende soente da rigidez da força restauradora (edida pela constante k) e da assa do corpo, e não das condições iniciais do oviento (i.e., quanto a ola foi inicialente esticada, no exeplo corpoola). 11

12 Sabendo coo a elongação depende do tepo (1.5), podeos facilente calcular a velocidade e a aceleração de u corpo que executa MHS: dx vt () Asin( t ) (1.1) d x () cos( ) at A t (1.11) Abas são funções harônicas do tepo e varia entre valores extreos: k váx A A ; k (1.1) aáx A A Lebre-se que velocidade e aceleração são quantidades vetoriais e o sinal negativo perfeitaente faz sentido: ele aponta para direção negativa do eixo x! Coo as funções seno e cosseno difere soente pela diferença de fase (de 9 ), podeos correlacionar elongação, velocidade e aceleração do MHS e apresentá-las coo na figura 1.. Para entender o significado dos gráficos, vaos analisar as seguintes situações: entre t = e t = T/4 o corpo se ove na direção negativa do eixo x (partindo da posição x=+a para a posição de equilíbrio); a velocidade cresce no eso sentido enquanto aceleração diinui. No instante t = T/4 o corpo se encontra na posição de equilíbrio, se aceleração (a força é zero) e co velocidade áxia. entre t = T/4 e t = T/ o corpo continua se ovendo na direção negativa do eixo x; a velocidade está diinuindo, enquanto aceleração está auentando. No instante t = T/ o corpo se encontra na posição de aplitude x=-a, possuindo velocidade zero e aceleração áxia (devido à força áxia). entre t = T/ e t = 3T/4 o corpo se ove na direção positiva do eixo x; sua velocidade cresce no eso sentido e sua aceleração decresce. No instante t = 3T/4 o corpo passa de novo pela posição do equilíbrio, possuindo velocidade áxia e aceleração zero. entre t = 3T/4 e t = T o corpo continua se ovendo na direção positiva do eixo x; a velocidade está diinuindo e aceleração está auentando. No instante t = T o corpo se encontra na posição de aplitude x=+a, executando u ciclo copleto de MHS 1

13 Figura 1.. Gráficos de elongação, velocidade e aceleração de u corpo que executa o oviento harônico siples. As considerações discutidas acia são feitas para u caso particular, quando o oviento coeça a partir da posição da aplitude x=+a (que corresponde à condição na equação (1.5)). Poré, no caso geral, usando as propriedades das funções seno e cosseno, podeos confirar que a fase da velocidade difere da fase da elongação por 9 enquanto a aceleração e elongação estão sepre e contra-fase (difere por 18 ): x Acos( t) vacos( t ) (1.13) a A t cos( ) Observe que nas equações (1.13), que descreve o MHS, a frequência angular (1.3) é característica do oviento, i.e., não depende das condições iniciais do oviento (quanto, por exeplo, nós esticaos a ola para iniciar as oscilações). A aplitude A e a constante de fase, poré, depende das condições iniciais do oviento. Exercício: Desenhe os gráficos de x(t), v(t) e a(t) no caso das seguintes condições iniciais: x(t=)= e v(t=)=. Representação do MHS pelos fasores 13

14 O MHS pode ser representado pelo oviento circular de u vetor, coo ostrado na figura 1.3. a) xt ( ) Acos b) xt ( ) Acos( t) Figura 1.3: Rotação unifore de u vetor co copriento A, co velocidade angular. A projeção desse vetor no eixo x e qualquer instante representa o MHS (equação 1.5). A relação entre elongação, velocidade e aceleração de u corpo que executa o MHS, já discutida anteriorente, pode ser representada e teros de fasores, coo na figura 1.4. Nesta figura, os três vetores co agnitudes A, A e A executa rotação unifore ao longo de eixo z (saindo do plano do papel para seu olho), antendo os ângulos entre eles constantes durante a rotação (/ e, respectivaente). As projeções desses vetores no eixo x representa elongação, velocidade e aceleração do MHS, respectivaente, e qualquer instante t. Os vetores ostrados nas figuras 1.3 e 1.4 chaa-se fasores. A representação do MHS e teros de fasores é uito útil quando é preciso cobinar dois ou ais ovientos harônicos, pois essa cobinação se reduz siplesente na adição de dois ou ais vetores. 14

15 Figura 1.4: Rotação unifore de vetores co coprientos A, A e A co velocidade angular. Energia do oviento harônico siples Conhecendo as equações cineáticas que descreve o MHS (equações 1.5, 1.1 e 1.11), podeos agora analisar a questão da energia envolvida no oviento. A energia cinética varia co tepo, já que a velocidade te a esa propriedade: 1 1 K t v () t A sin ( t ) (1.14) Usando a identidade trigonoétrica sin ( ) cos ( ) 1 junto co a fórula (1.5), podeos expressar a energia cinética de outra aneira: 1 1 Kt () A1 cos( t ) A x() t (1.15) que facilita a concluir que K atinge o valor áxio quando o corpo está na posição de equilíbrio (x=), e o valor ínio (i.e., zero) nos pontos extreos do oviento ( x A ). A energia potencial U depende da elongação e tabé varia co tepo: 1 1 Ut () kx() t Acos( t ) (1.16) 15

16 onde foi usado o fato de que k pela equação (1.3). Utatinge ( ) o valor áxio nas posições extreas do corpo (aplitudes) x A, e fica igual a zero quando o corpo está e posição de equilíbrio x. A energia total do sistea é a soa das energias cinética e potencial. A partir das fórulas (1.14) e (1.16) é fácil verificar que: 1 1 E K U A ka (1.17) i.e., de que E não depende do tepo. Portanto, a energia total do corpo que realiza o MHS é constante durante o oviento. Esse resultado é esperado porque a força restauradora é conservativa (não depende explicitaente do tepo), não existe forças dissipativas (coo atrito, por exeplo), e consequenteente a energia ecânica deve ser conservada (lebre-se de lições da ecânica). O que acontece no oviento MHS, na verdade, é a transforação da energia cinética e energia potencial e vice-versa, as de aneira que a soa dessas energias esteja constante e qualquer instante t! Esse fato é ilustrado na figura 1.5. Figura 1.5: Energia cinética, potencial e total de u corpo que executa o MHS, coo funções do deslocaento dele a partir de equilíbrio. Observe que para qualquer posição x (i.e., para qualquer instante t) K+V=E. No ponto x=a toda energia do corpo consiste apenas da energia potencial U (neste ponto o corpo não se ove e, portanto sua energia cinética é zero). Movendo-se para posição de equilíbrio (x=), U diinui, as K auenta. Alcançando ponto de equilíbrio, o corpo perde toda energia potencial que se transforou e energia cinética. Continuando a se locoover, a energia cinética do corpo coeça diinuir por conta do auento da energia potencial, até que corpo chegue ao ponto x=-a, onde toda energia 16

17 cinética se transforou e energia potencial. O processo se repete infinitaente, já que não há nenhu ecaniso de dissipação da energia. Exeplo 1 do MHS: pêndulo siples. U pêndulo siples consiste de u corpo pontual co assa suspenso por u fio leve e inextensível de copriento L (figura 1.6). Figura 1.6: Ilustração de oviento de u pêndulo siples e das forças que atua sobre o corpo e u ponto arbitrário da trajetória, descrito pelo ângulo. Quando o pêndulo é deslocado da sua posição de equilíbrio, ele oscila sob a ação da força do seu peso, apresentando u oviento periódico. O parâetro que define a posição do pêndulo é o ângulo, que é o ângulo que o fio faz co a vertical. Para que possaos descrever o oviento do pêndulo, precisaos saber coo este ângulo uda e função do tepo, i.e., precisaos deterinar a função (t). A posição de equilíbrio é obviaente definida por =. Estudareos o oviento do pêndulo ao longo das direções radial e tangencial. Na ausência do atrito do ar (que pode ser desprezado), as forças que age sobre o corpo são apenas duas: seu peso, g, vertical para baixo, e a tração do fio T de direção radial e sentido indicado na figura 1.6. Na direção radial a força T é equilibrada co o coponente do peso g cos, e, portanto não há oviento. Na direção tangencial a coponente do peso g sin sepre age na direção de, contrária ao deslocaento. Podeos identificar esta força, então, coo força restauradora. A segunda lei de Newton resulta e: a g sin (1.18) t 17

18 onde a t ds, e s é o arco circular percorrido pelo corpo. Quando o ângulo é pequeno, a relação entre ele e o arco é uito siples: s (1.18) se transfora e: L. Portanto, a t d L, e d L g sin ou: d g sin (1.19) L A equação (1.19) não é a equação do tipo (1.4), que define o MHS, portanto deveos concluir que o oviento que executa o pêndulo siples não é MHS! Poré, desenvolvendo o sin e série de Taylor, teos: sin... 3! 5! 7! Se o ângulo fosse pequeno ( 5 o ), podeos cortar a expansão e aproxiar sin. Neste caso, a equação diferencial (1.19) se torna e: d g (1.) L que é exataente a fora da equação que deterina o MHS. Portanto, o pêndulo siples executa o MHS soente para ângulos uito pequenos! Nesse caso, podeos escrever a solução da equação (1.), usando analogia co equação (1.5): () t cos( t ) (1.1) ax onde a frequência do oviento é: e o período: g (1.) L T L (1.3) g As equações (1.1)-(1.3) descreve o MHS que executa pêndulo siples. A fórula (1.1) deterina o ângulo (elongação) para qualquer instante t, enquanto as fórulas (1.) e (1.3) nos dize que a frequência e o período do oviento não depende 18

19 ne da assa do corpo ne da aplitude, as soente do copriento de pêndulo. A aplitude ax e a diferença de fase, poré, depende das condições iniciais do oviento. Exeplo do MHS: o pêndulo físico. O pêndulo físico é u corpo rígido que gira se atrito e torno de qualquer ponto O que não esteja o seu centro de assa (figura 1.7). Figura 1.7: Ilustração de oviento de u pêndulo físico e das forças que atua sobre o corpo e u ponto arbitrário de trajetória, descrito por ângulo. O oviento de u corpo rígido pode ser descrito e teros do oviento do seu centro de assa (CM na figura 1.7), cuja distância a partir do ponto O é d. A coponente tangencial do peso do corpo que atua na direção tangencial, sepre direcionada para o ponto de equilíbrio ( ), pode ser identificada coo a força restauradora. Aplicando a segunda lei de Newton na direção tangencial, teos: I (1.4) onde I é o oento da inércia do corpo rígido (e relação ao eixo que passa pelo d ponto O), é a aceleração angular, e gd sin é o torque resultante provocado pela força tangencial g sin. Portanto, a equação (1.4) se transfora e: d I gdsin (1.5) 19

20 Siilarente, coo no caso do pêndulo siples, essa equação não é do tipo da equação (1.4), e, portanto o pêndulo físico, e geral, não realiza o MHS. Mas, para ângulos be pequenos, sin, e equação do oviento uda para: d gd (1.6) I Essa equação já te a fora que define o MHS. Coparando ela co equação (1.4) e a sua solução (1.5), chegaos à conclusão de que o ângulo varia co o tepo de acordo co a fórula: ( t) cos( t ) (1.7) áx co frequência angular e co período T gd (1.8) I I (1.9) gd Mas lebre-se sepre, as últias fórulas são válidas soente quando as oscilações do corpo são be pequenas! 1. Oscilações aortecidas U oscilador harônico que executa o MHS oscilará eternaente co a esa aplitude, pois nunca perderá nenhua parte da sua energia ecânica. Você tê que aditir que essa situação não é uito realística. No undo real sepre existe algu atrito que causa dissipação da energia, diinuição gradual da aplitude, e afinal acaba co as oscilações. Portanto, a equação do oviento (1.), que define o MHS, não é copleta. Para que possaos descrever a situação real, teos que adicionar ais ua força ao sistea: a força de atrito! A equação do oviento de tal oscilador real e ua diensão (ao longo de direção x) é: d x dx kx (1.3) O prieiro tero no lado direito é a nossa conhecida força restauradora. O segundo tero representa a força do atrito, que é proporcional à velocidade do objeto (ne sepre isso é verdade, as frequenteente é ua aproxiação be razoável). A constante descreve rigidez da força do atrito, e o sinal enos significa que a força sepre se opõe ao oviento. A equação (1.3) descreve o oviento de u oscilador aortecido, cuja solução é:

21 t () cos( ) xt Ae t (1.31) onde x() t é a elongação, e Ae t é a aplitude de oscilação. Veja que a aplitude não é constante, as diinui co tepo co a taxa proporcional a, que é a constante que define o aorteciento do sistea (figura 1.8). A frequência angular das oscilações aortecidas: (1.3) é enor do que a frequência das oscilações harônicas (i.e., MHS): k que a partir de agora chaareos de frequência natural de oscilação do objeto (pois depende soente da assa e da rigidez da força elástica, e não depende das condições externas, coo, por exeplo, atrito). Figura 1.8: Elongação de u objeto que executa oscilações aortecidas e função do tepo. A aplitude decai exponencialente, e depois algu tepo o oviento se encerra. A frequência de oscilação de u oscilador aortecido depende da sua frequência natural, be coo da relação entre essa frequência e o aorteciento. Analisando a fórula (1.3), podeos concluir que pode atingir o valor zero quando: 1

22 i.e., co a condição de: k 4 k (1.33) A partir da fórula (1.33), podeos distinguir três situações diferentes. 1.) Quando k acontece u aorteciento subcrítico, ou sub-aorteciento. Objeto realiza várias oscilações co frequência deterinada pela fórula (1.3). A aplitude de oscilação diinui exponencialente, coo é ostrado na figura 1.8..) Quando k e acontece o aorteciento crítico. O objeto deslocado do equilíbrio retorna para o últio se oscilar! 3.) Quando k, acontece u super-aorteciento. O objeto deslocado do equilíbrio retorna para o últio ainda ais lentaente do que no caso do aorteciento crítico. As três situações são representadas na figura 1.9. Figura 1.9: Elongação de u objeto que executa oscilações aortecidas, e função do tepo. (a) oscilações sub-aortecidas, (b) oscilações co aorteciento crítico e (c) oscilações co super-aorteciento. Nos casos (b) e (c) não existe nenhua frequência angular associada ao oviento. A energia ecânica de u oscilador aortecido não se conserva durante o tepo, coo no caso de u oscilador harônico (MHS). A taxa da perda dessa energia pode ser avaliada a partir do seguinte cálculo.

23 1 1 E v kx (energia total = energia cinética + energia potencial) (1.34) Diferenciando a expressão acia pelo tepo, segue: de dv dx v kx va kxv v( a kx) (1.35) Sabendo que a equação de oviento do oscilador aortecido é: a kx v a kx v e substituindo últia expressão e (1.35), chegaos à seguinte fórula: de (1.36) v A fórula (1.36) descreve a taxa da perda de energia ecânica E, e expressa o fato de que a energia do oscilador aortecido constanteente diinui, qualquer que esteja sua velocidade, positiva ou negativa! Muitos exeplos de oscilações aortecidas encontra-se no nosso dia-dia. Às vezes, elas não são desejadas (não quereos que as vibrações das cordas do violão ou diapasão seja aortecidas). Às vezes, elas são indispensáveis, coo no exeplo do aortecedor de u carro. 1.3 Oscilações forçadas e o fenôeno da ressonância Se u oscilador aortecido é deixado livre, ele vai parar de oscilar depois de algu tepo devido à dissipação da sua energia ecânica. Poré, é possível copensar a perda dessa energia aplicando ua força externa, i.e., fazendo acoplaento do oscilador a u sistea que lhe forneça energia. Você já deve ter passado pela experiência de epurrar u balanço co algu prio seu sentado nele. No início o balanço não responde de fora satisfatória (te que se fazer uita força), as após certo intervalo de tepo o balanço coeça a oscilar da fora desejada, e você te que aplicar soente ua força pequena de vez e quando para anter a aplitude de oscilação. Na verdade, você aplicou ua força externa periódica à balança, transforando-a e u oscilador forçado! E geral, u oscilador forçado é definido coo u oscilador real (aortecido), ipulsionado por ua força externa periódica, que pode ser descrita por: Ft () Fsint (1.37) O oviento desse sistea é deterinado pela seguinte equação diferencial (segunda lei de Newton): 3

24 d x dx sin kx F t (1.38) O prieiro tero no lado direito representa a força restauradora (elástica), o segundo tero descreve a força do atrito (que aortece as oscilações), e o terceiro tero é a força externa periódica que bobeia periodicaente a energia para o sistea, co ua frequência angular. O sinal positivo da força periódica significa que esta força sepre age e favor do oviento, e não se opõe a ele. A solução da equação (1.38): xt ( ) Acos( t ) (1.39) deterina a elongação do oscilador forçado e função do tepo, cuja fora ateática nos revela iediataente dois fatos iportantes. (1) O objeto oscila co a esa frequência da força externa. Esse fato ocorre no regie estacionário do oviento, após algu tepo inicial necessário para que esse regie seja alcançado. () A aplitude de oscilação é constante (não uda co tepo coo no caso das oscilações aortecidas). Esse fato perite que oscilações forçadas possa ser consideradas e teros de oviento harônico siples. Poré, neste caso a agnitude de aplitude depende de uitos outros fatores: A F (1.4) i.e., da aplitude da força externa, da assa, da frequência natural do oscilador e do aorteciento, coo pode ser visto a partir da fórula (1.4). O fato ais interessante que esta fórula revela é a possibilidade de que a aplitude A das oscilações seja treendaente auentada sob deterinadas condições. Veja be o que aconteceria se a frequência da força externa fosse próxia à frequência natural do oscilador e o aorteciento do sistea fosse pequeno. Nesse caso o denoinador da fórula (1.4) torna-se uito pequeno e, consequenteente, a aplitude A torna-se uito grande! Digaos que a força externa entrou e ressonância co oscilador, auentando espetacularente a aplitude das suas oscilações. O efeito se chaa siplesente ressonância. Representação gráfica da equação (1.4) é ostrada na figura 1.1. O auento significativo de aplitude ocorre soente quando a frequência da força externa está próxia da frequência natural do oscilador. A fora da curva A( ) depende da agnitude de aorteciento do sistea. Ela se torna ais larga a edida que o aorteciento auenta. 4

25 Figura 1.1: Aplitude das oscilações forçadas e função da frequência da força externa. O fenôeno da ressonância te uitas iplicações na nossa vida cotidiana. Aqui nós vaos encionar soente dois exeplos, as você deve se lebrar de uitos outros. Exeplo 1: terreotos Quando ocorre u terreoto, o que causa a destruição das casas, prédios, estradas, pontes e outras estruturas feitas por hoe? Exataente a ressonância. Quando a terra coeça a vibrar, ela força as estruturas a vibrare tabé co a esa frequência. A força da terra coporta-se coo ua força periódica externa aplicada a u oscilador real (prédio, por exeplo). Se a força da terra tivesse ua frequência próxia a frequência natural do prédio, o prédio coeçaria vibrar co aplitude tão alta que a estrutura não aguentaria: o prédio iria desabar! Por causa disso, a estrutura de casas e, especialente, prédios não pode ter frequência natural perto da frequência da vibração da terra no terreoto (que é aproxiadaente 1-15 Hz). Alé disso, é preciso incorporar aorteciento suficiente nessas estruturas, pois o grande aorteciento causa diinuição da aplitude de oscilação. Projetando as casas e prédios, os arquitetos e engenheiros tê que levar e conta seriaente esses fatos! Exeplo : pontes Você já sabia que os soldados são proibidos de desfilar e archa sobre as pontes? Você sabe qual é a razão? De novo por causa do efeito da ressonância! E 1831 ua ponte na Inglaterra caiu enquanto u regiento de soldados archava e cia dela. A frequência da archa era próxia da frequência natural da vibração da ponte. Ainda ais faoso é o exeplo da queda da ponte Tacoa nos Estados Unidos no ano de 194. A queda foi provocada por u vento forte que causou turbulências e vórtices de ar co frequência próxia a frequência natural da vibração da ponte (veja a Fig. 1.1). 5

26 Figura 1.11: O colapso da ponte Tacoa Narrows nos Estados Unidos provocada pelos ventos fortes. Fonte: Se estiver interessado, você pode achar na internet os vídeos da queda dessa ponte. Basta entrar no Google ou outro navegador, colocar Tacoa bridge (ponte Tacoa e inglês), pressionar a tecla Enter, que vai sair uita coisa! 6

27 Bibliografia consultada Alonso, M. S. e Finn, E. J., Física, Ed. Edgard Blucher Editora, São Paulo, Young, H. D. e Freedan, R. A. Física II - Terodinâica e Ondas, Pearson Education do Brasil (qualquer edição). Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. Fundaentos de Física - Gravitação, Ondas e Terodinâica, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. (qualquer edição). EXERCÍCIOS Descrição ateática do oviento harônico siples 1. U arqueiro puxa a corda de seu arco para trás,4 exercendo ua força na corda que auenta uniforeente de zero a 3 N. (a) Qual é a constante de força equivalente do arco? (b) Quanto trabalho o arqueiro realiza ao puxar o arco?. Deixa-se cair ua bola de ua altura de 4,. Ela faz ua colisão perfeitaente elástica co o solo. Supondo que nenhua energia é perdida devido à resistência do ar, (a) deonstre que o oviento que se segue é periódico, (b) deterine o período do oviento. (c) O oviento é harônico siples? Explique. Resposta (a) No coeço (t=), a energia ecânica total da bola é a sua energia potencial gl. Quando a bola cai e toca no chão (x=), essa energia é copletaente transforada e energia cinética. Depois da colisão, quando a bola coeça subir, essa energia cinética é de novo transforada e energia potencial. Qual altura a bola vai atingir? A esa do coeço, L, pois não há nenhua perda de energia total, e a bola vai parar quando toda energia cinética se transforar e energia potencial gl! Então, a bola vai cair da altura L e depois da colisão co chão voltará a essa esa altura. O processo vai se repetir infinitaente, i.e., o oviento é periódico! (b) O período T do oviento é o tepo que a bola precisa para cair e voltar a altura L. Coo o tepo de caída da bola ( t c ) é igual ao tepo de subida ( t s ), T t c. Aplicando segunda lei de Newton para obter equação do oviento, segue: 7

28 d x g (E1) Integrando duas vezes essa equação: dx gt c1 (E) 1 x gt c1t c (E3) As constantes c 1 e c pode ser deterinadas a partir das condições iniciais: t x L, vdx : c1 e L c. Portanto, E3 se transfora e: 1 x gt L i.e., 1 x() t L gt Agora, quando t t, x : c 1 x( tc) L gt c t c T L i.e., g T 8L g Coo L 4, e g 9.81 s, o período do oviento é 1.81s T. (c) O oviento não é MHS, pois não existe força restauradora (equação E1.1 não te a fora da equação que deterina MHS). 3. A posição de ua partícula é dada pela expressão x(4, )cos(3, t ), onde x está e etros e t e segundos. Deterine (a) a frequência e o período do oviento, (b) a aplitude do oviento, (c) a constante da fase e (d) a posição da partícula e t,5 s. Resposta Coparando a posição da partícula co a expressão geral (1.5): xt () Acos( t ), podeos concluir que: A 4., 3 rad s e rad. Portanto: (a) f 3 rad s 1.5Hz rad ; 1 1 T.67 s f 1.5s 1 (b) A 4. (c) rad 8

29 (d) 7 x( t.5 s) (4. ) cos(3.5 ) (4. ) cos( ) Ua partícula realiza u oviento harônico siples co ua frequência de 3, Hz e ua aplitude de 5, c. (a) Qual é a distância total que a partícula percorre durante u ciclo de seu oviento? (b) Qual a sua velocidade áxia? Onde ela ocorre? (c) Encontre a aceleração áxia da partícula. E que ponto do oviento ocorre a aceleração áxia? Resposta (a) 45. c. c 1 (b) vax A f A3,14 rad3,,5,94 ; ocorre na posição s s de equilíbrio. (c) aax A( f) A 17,75 ; ocorre nos pontos extreos s 5. E u otor, u pistão oscila co oviento harônico siples de aneira que sua posição varie de acordo co a expressão x (5, c)cos(t 6), e que x está e centíetros e t e segundos. E t = encontre (a) a posição da partícula, (b) sua velocidade, e (c) sua aceleração. (d) Encontre o período e a aplitude do oviento. 6. Ua ola estica 3,9 c quando u corpo de 1, g é pendurado nela e repouso. Se esse corpo for substituído por u corpo de 5, g colocado e oviento harônico siples, calcule o período do oviento. Resposta Para calcular o período T, onde k, 5kg, precisaos encontrar a constante da ola k. Isso pode ser feito a partir da condição de equilíbrio da ola: a força do peso do corpo (atuando para baixo) se iguala a força restauradora, que atua para cia. Então: g 1 kx g 1, 1 kg 9,81 k s,51 kg x,39 s 9

30 ,5kg Portanto: T 3,14,63s,51kg s 7. Ua partícula que se ove ao longo do eixo x e oviento harônico siples parte de sua posição do equilíbrio, a orige, e t = e ove-se para a direita. A aplitude de seu oviento é, c e a frequência é 1,5 Hz (a) Deonstre que a posição da partícula é dada por x (, c)sen(3, t). Deterine (b) a velocidade áxia e o prieiro instante (t> ) no qual a partícula te esta velocidade, (c) a aceleração áxia e o prieiro instante (t> ) e que a partícula te esta aceleração, e (d) a distância total percorrida entre t = e t = 1, s. 8. U corpo de 7, kg é pendurado da extreidade inferior de ua ola vertical presa a u suporte acia dela. O corpo é posto e oscilações verticais que tê u período de,6 s. Encontre a constante da força da ola. 9. A posição inicial e a velocidade inicial de u corpo realizando u oviento harônico siples são x i, v i, e a i ; a frequência angular da oscilação é. (a) Deonstre que a posição e a velocidade do corpo para qualquer tepo pode ser escritas coo vi xt ( ) xi cost sent vt ( ) xsent + v cost i (Dica: e vez de considerar a elongação na fora xt ( ) Acos( t ) e procurar constantes A e, considere a elongação na fora x( t) Acos( t) Bsen( t) e procure as constantes A e B a partir das condições iniciais do oviento. As duas foras da elongação são equivalentes, i.e., a segunda fora tabé é solução da equação 1.4 que define o MHS.) (b) Se a aplitude do oviento for A, deonstre que i v axv a x A i i i (Dica: neste caso use a prieira fora ateática de elongação do MHS). Energia no oviento harônico siples 1. U autoóvel que te ua assa de 1 kg é dirigido contra ua parede de tijolo e u teste de segurança. O aortecedor se coporta coo ua ola co 6 constante de 5, 1 N/ e se coprie 3,16 c enquanto o carro atinge o repouso. Qual era a velocidade do carro antes do ipacto supondo que a energia ecânica do carro se anté constante durante o ipacto contra a parede? Resposta 3

31 1 Antes do ipacto, o carro tinha energia E1 v, que é soente energia cinética. Depois do ipacto, quando atinge o repouso, a energia do carro é soente 1 potencial, co agnitude E kx, onde x é 3,16 c. Coo a energia 1 1 ecânica se anteve durante o ipacto, E 1 E e, portanto: v kx k v x, 3 s 11. U bloco de assa desconhecida é unido a ua ola co ua constante de força de 6,5 N/ e realiza oviento harônico siples co ua aplitude de 1, c. Quando o bloco está no eio do cainho entre sua posição do equilíbrio e o ponto final, sua velocidade edida é de 3, c/s. Calcule (a) a assa do bloco, (b) o período do oviento e (c) a aceleração áxia do bloco. Resposta 1 1 N Energia total do oscilador é: E ka 6,5 (,1 ),35 J. Essa energia peranece constante durante o oviento. Quando a posição do oscilador é de x 5,c, sua velocidade é de v 3 c e sua energia total é, claro, s E, 35 J. Então: E ka kx v e resolvendo essa equação por, achaos que assa do bloco é,54 kg. (b) (c) T 1,81s k k aax A A1, s 1. U bloco de g está unido a ua ola horizontal e executa o oviento harônico siples e ua superfície se atrito co u período de,5 s. Se a energia total do sistea é de, J, encontre (a) a constante de força da ola e (b) a aplitude do oviento. 13. U sistea ola-bloco oscila co ua aplitude de 3,5 c. Se a constante de força é 5 N/ e a assa é,5 kg, deterine (a) a energia ecânica do sistea, (b) a velocidade áxia do bloco e (c) a aceleração áxia. 14. U bloco de 5, g conectado a ua ola co ua constante de força de 35, N/ oscila sobre ua superfície horizontal se atrito co ua aplitude de 4, c. Encontre (a) a energia total do sistea e (b) a velocidade do bloco quando o 31

32 deslocaento é de 1, c. Encontre (c) a energia cinética e (d) a energia potencial quando o deslocaento é de 3, c. 15. U bloco de, kg é unido a ua ola e colocado e ua superfície horizontal lisa. Ua força horizontal de, N é necessária para anter o bloco e repouso quando é puxado, de sua posição de equilíbrio. O bloco é liberado agora do repouso a partir deste ponto e realiza subsequenteente u oviento harônico siples. Encontre (a) a constante de força da ola, (b) a frequência das oscilações e (c) a velocidade áxia do bloco. Onde ocorre essa velocidade áxia? (d) Encontre a aceleração áxia do bloco. Onde ela ocorre? (e) Encontre a energia total do sistea oscilante. Encontre (f) a velocidade e (g) a aceleração quando a posição se iguala a u terço do valor áxio. Resposta A situação inicial é ostrada na figura do lado. Coo o sistea está e repouso, há equilíbrio entre as forças atuando no bloco: a força externa ( F E ) se iguala a força restauradora ( kx ). Coo o bloco é liberado a partir deste ponto, a distância x será igual à aplitude A do oviento siples. harônico (a) FE kx FE, N N k 1, x, k (b) f f 1 k 1,13 Hz (c) v A f A s ; ocorre no ponto x. s 1 ax 3,14 1,13, 1,4 aax A f A 1,7 ; ocorre nos pontos extreos x A. s (d) (e) 1 E ka, J A (f) A posição é: x,67 ; nesta posição a soa das energias potencial e 3 cinética do bloco é igual a energia total: 3

33 1 1 1 E ka kx v k 1, 33 s v A x A (g) Na posição x o bloco sente a força cuja intensidade é 3 segunda lei de Newton, a aceleração do bloco nesta posição é: N F 1, ka a 3,33 3 3,kg s A F kx k. Pela 3 Pêndulo siples e físico 16. U pêndulo siples te ua assa de,5 kg e u copriento de 1,. Ele é deslocado por u ângulo de 15, e então liberado. Calcule (a) a velocidade áxia, (b) a aceleração angular áxia e (c) a força restauradora áxia. Resposta Vaos considerar que o oviento do pêndulo seja o MHS (ebora o ângulo inicial não seja uito pequeno). Nesse caso, o ângulo que o fio do pêndulo faz co a vertical uda co tepo da seguinte aneira: () t ax cos( t) onde o ax 15 e a constante de fase é zero (porque quando t, ax ). (a) A relação entre a velocidade linear ( v ) e a velocidade angular ( ) é a seguinte: d v L L L sen( ) ax t. Portanto, a velocidade áxia é: vax Lax. Para calcular essa velocidade, sabeos que a frequência angular do pêndulo é g L, e precisaos expressar ax e radianos. O últio pode ser feito a partir da regra de três: 18 corresponde ao radianos, então corresponde a x radianos. Portanto: x 15 x, i.e., 18 ax, 6 rad. Agora teos todos os ingredientes para calcular a velocidade áxia: vax L g ax glax 9,81 1,,6,81 L s s d (b) A aceleração angular é: ax cos( t). A aceleração áxia é, g rad portanto: ax ax ax,55. L s 33

34 (c) A força restauradora é igual a: F gsen( ) g, para ângulos pequenos. Portanto, a força áxia é: Fax gax, 5kg9,81, 6rad, 64 N. s 17. A posição angular de u pêndulo siples é representada pela equação (,3 rad)cost, onde está e radianos e = 4,43 rad/s. Deterine o período e o copriento do pêndulo. 18. Ua partícula de assa desliza se atrito dentro de ua cavidade heisférica de raio R. Deonstre que se a partícula parte do repouso co u pequeno deslocaento da posição de equilíbrio, ela se ove e oviento harônico siples co frequência angular igual à de u pêndulo siples de copriento R (isto é, g R ). Resposta A única força que atua na partícula é o seu peso g. O oviento ocorre na direção tangencial da curva da cavidade. Projetando a força do peso nessa direção, podeos aplicar a segunda lei de Newton: a g sen( ) t ds onde at é aceleração tangencial, definida coo segunda derivada teporal do arco circular s percorrido pela partícula. Coo s R a t d R, e a d d g equação do oviento fica: R gsen( ), i.e. ( ) sen. Para o R pequeno, sen( ), e a equação se torna a equação que define MHS, co g frequência angular. R 19. U pêndulo físico na fora de corpo plano realiza oviento harônico siples co ua frequência de,45 Hz. Se o pêndulo te ua assa de, kg e o pivô está localizado a,35 do centro de assa, deterine o oento da inércia do pêndulo ao redor do pivô. 34

35 Oscilações aortecidas. U pêndulo co u copriento de 1, é liberado de u ângulo inicial de 15,. Após 1 s, sua aplitude foi reduzida pelo atrito a 5,5. Qual é o valor de? Resposta t Aplitude diinui co tepo da seguinte aneira: At () A() e. () t At At () e, i.e. t ln A() A() 1 A() ln t A( t) 1 Coo t 1 s, A() 15 e At ( 1 s) 5,5,1s Oscilações forçadas 1. U corpo de, kg unido a ua ola é ipulsionado por ua força externa dada por F (3, N)cos( t). Se a constante de força da ola é, N/, deterine (a) o período e (b) a aplitude do oviento. (Dica: suponha que não existe aorteciento, isto é, que ). Resposta A força externa te fora Ft () F cos( t). Portanto, a aplitude da força é F 3, N e a sua frequência angular é rad s. (a) A frequência angular do corpo é igual à frequência angular da força externa. O rad período é: T 1, s rad s (b) A aplitude é: A F. Sabendo que a frequência natural do oscilador é k N 1, rad, kg s, e que a, todos os parâetros na fórula da aplitude fica conhecidos.. O aorteciento é desprezível para u corpo de,15 kg pendurado e ua ola leve de 6,3 N/. O sistea é ipulsionado por ua força oscilante co ua aplitude de 1,7 N. E que frequência a força fará a assa vibrar co ua aplitude de,44? 35

36 Resuo da aula Moviento que se repete e intervalos de tepo iguais é chaado de periódico. Moviento oscilatório é o oviento periódico que se realiza e torno de ua posição de equilíbrio. Moviento harônico siples (MHS) é u oviento oscilatório que é descrito e teros de funções harônicas, i.e., o deslocaento, a velocidade e a aceleração do objeto que executa o MHS são funções senoidais do tepo. x( t) Acos( t ) dx vt () Asin( t) d x () cos( ) at A t A força que causa o MHS se chaa força restauradora e te fora: F kx A frequência angular, a frequência e o período e MHS depende soente da assa do objeto e da constante da ola k : k ; f 1 k ; T 1 f k A energia total no MHS se conserva e pode ser expressa e teros da constante da ola e da aplitude: E K U v kx A ka O deslocaento de u oscilador aortecido te a seguinte fora: t () cos( ) xt Ae t Sua frequência angular k é diferente da frequência natural. A aplitude das oscilações diinui co tepo, co ua taxa que depende do aorteciento do sistea. A energia do sistea se dissipa, diinuindo co a taxa de v. U oscilador real (aortecido), ipulsionado por ua força externa periódica Ft () Fsint executa oscilações forçadas. O deslocaento do objeto é: 36

37 xt () Acos( t) onde a frequência angular do oviento é igual à frequência angular da força externa. A aplitude das oscilações forçadas é dada pela fórula: A F Quando a frequência da força externa se aproxia a frequência natural do oscilador, e o aorteciento do sistea for pequeno, ocorre u fenôeno chaado ressonância: a aplitude das oscilações auenta espetacularente, eso aplicando ua força externa odesta. Conclusão Nessa aula apreendeos a reconhecer, descrever e analisar o oviento oscilatório. Este tipo de oviento ocorre frequenteente na natureza e é bastante utilizado e nosso dia-dia. Ele tabé está intiaente conectado co o oviento ondulatório, coo vereos nas próxias aulas. Inforações sobre a próxia aula Na próxia aula coeçareos a estudar as características do oviento ondulatório. Investigareos coo se propaga ua onda ecânica através de u eio aterial. Vereos que o oviento oscilatório está intiaente conectado co o oviento ondulatório, pois as partículas do eio realiza oscilações durante a passage de ua onda. Então, aprenda be o aterial dessa aula, pois vaos usá-lo durante todo curso! 37

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