Resolução: (I) Correta. 1 a Lei de Kepler. Resposta: e. 4 A 2 a Lei de Kepler (Lei das áreas) permite concluir que: Resposta: b

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1 90 AE II DINÂICA ópico Aotano o Sol como referencial, aponte a alternativa que coniz com a a Lei e Kepler a ravitação (Lei as órbitas): a) As órbitas planetárias são quaisquer curvas, ese que fechaas b) As órbitas planetárias são espiralaas c) As órbitas planetárias não poem ser circulares ) As órbitas planetárias são elípticas, com o Sol ocupano o centro a elipse e) As órbitas planetárias são elípticas, com o Sol ocupano um os focos a elipse As órbitas planetárias poem ser eventualmente circulares Isso está e acoro com a a Lei e Kepler, já que a circunferência é uma elipse e focos coincientes esposta: e Na f igura a seguir, está representaa a órbita elíptica e um planeta em torno o Sol: A Q a) Se os arcos e órbita Q e S são percorrios em intervalos e tempo iguais, qual a relação entre as áreas A e A? b) Em que lei física você se baseou para responer ao item a? a) Se Δt Δt A A A Logo: A b) a Lei e Kepler espostas: a) A ; b) A a Lei e Kepler (UC-) A f igura abaixo representa o Sol, três astros celestes e suas respectivas órbitas em torno o Sol: Urano, Netuno e o objeto na écaa e 990, escoberto, e nome 996 L 66 Sol A Urano Netuno S 996 L 66 Analise as af irmativas a seguir: I Essas órbitas são elípticas, estano o Sol em um os focos essas elipses II Os três astros representaos executam movimento uniforme em torno o Sol, caa um com um valor e velociae iferente o os outros III Dentre os astros representaos, quem gasta menos tempo para completar uma volta em torno o Sol é Urano Inique: a) se toas as af irmativas são corretas b) se toas as af irmativas são incorretas c) se apenas as af irmativas I e II são corretas ) se apenas as af irmativas II e III são corretas e) se apenas as af irmativas I e III são corretas (I) Correta a Lei e Kepler (II) Incorreta Os movimentos são variaos (III) Correta Quanto menor for o raio méio e órbita, menor será o períoo e revolução ( a Lei e Kepler) esposta: e A a Lei e Kepler (Lei as áreas) permite concluir que: a) as áreas varrias pelo vetor-posição e um planeta em relação ao centro o Sol são iretamente proporcionais aos quaraos os respectivos intervalos e tempo gastos; b) a intensiae a velociae e um planeta ao longo e sua órbita em torno o Sol é máxima no periélio; c) a intensiae a velociae e um planeta ao longo e sua órbita em torno o Sol é máxima no afélio; ) o intervalo e tempo gasto pelo planeta em sua translação o afélio para o periélio é maior que o intervalo e tempo gasto por ele na translação o periélio para o afélio; e) o movimento e translação e um planeta em torno o Sol é uniforme, já que sua velociae areolar é constante esposta: b 5 O astrônomo alemão Johannes Kepler apresentou três generalizações a respeito os movimentos planetários em torno o Sol, conhecias como Leis e Kepler Funamentao nessas leis, analise as proposições a seguir: (0) O quociente o cubo o raio méio a órbita pelo quarao o períoo e revolução é constante para qualquer planeta o Sistema Solar (0) Quaruplicano-se o raio méio a órbita, o períoo e revolução e um planeta em torno o Sol octuplica (0) Quanto mais próximo o Sol (menor raio méio e órbita) gravitar um planeta, maior será seu períoo e revolução (08) No Sistema Solar, o períoo e revolução os planetas em torno o Sol cresce e ercúrio para Netuno (6) Quano a erra está mais próxima o Sol (região o periélio), a estação preominante no planeta é o verão Dê como resposta a soma os números associaos às proposições corretas

2 ópico ravitação 9 (0) Correta K p ( a Lei e Kepler) (0) Correta 8 (0) Incorreta Quanto menor for o raio méio a órbita, menor será o períoo e revolução ( a Lei e Kepler) (08) Correta (6) Incorreta As estações o ano estão relacionaas com a inclinação o eixo a erra, não com a sua istância em relação ao Sol esposta: 6 (Cesgranrio-J) Um satélite e telecomunicações está em sua órbita ao reor a erra com períoo Uma viagem o Ônibus Espacial fará a instalação e novos equipamentos nesse satélite, o que uplicará sua massa em relação ao valor original Consierano que permaneça com a mesma órbita, seu novo períoo será: a) 9 ) b) e) 9 c) O períoo e revolução o referio satélite só epene a massa a erra esposta: c a) Em que ponto a órbita o planeta tem velociae e translação com intensiae máxima? E em que ponto sua velociae e translação tem intensiae mínima? b) Seguno Kepler, a linha imaginária que liga o planeta ao centro o Sol varre áreas iguais em intervalos e tempo iguais Funamentao nessa informação, coloque em orem crescente os intervalos e tempo necessários para o planeta realizar os seguintes percursos: ABC, BCD, CDA e DAB a) A velociae e translação tem intensiae máxima no ponto A (periélio) e intensiae mínima no ponto C (afélio) b) Quanto menor for a área varria pela linha imaginária que liga o planeta ao centro o Sol, menor será o corresponente intervalo e tempo gasto na varreura ortanto: Δt DAB < Δt ABC Δt CDA < Δt BCD espostas: a) áxima no ponto A e mínima no ponto C; b) Δt DAB < Δt ABC Δt CDA < Δt BCD 9 E Consiere um planeta hipotético gravitano em órbita circular em torno o Sol Amita que o raio a órbita esse planeta seja o quáruplo o raio a órbita a erra Nessas conições, qual o períoo e translação o citao planeta, expresso em anos terrestres? Sejam: r : raio a órbita a erra (r ); r H : raio a órbita o planeta hipotético (r H ); : períoo e translação a erra (ano a erra); H : períoo e translação o planeta hipotético (ano o planeta) 7 Com relação às Leis e Kepler, poemos af irmar que: a) não se aplicam ao estuo a gravitação a Lua em torno a erra; b) só se aplicam ao Sistema Solar a que pertencemos; c) aplicam-se à gravitação e quaisquer corpos em torno e uma grane massa central; ) contrariam a ecânica e Newton; e) não preveem a possibiliae a existência e órbitas circulares erra laneta hipotético esposta: c 8 (Unicamp-S) A f igura a seguir representa a órbita escrita por um planeta em torno o Sol O sentio e percurso está inicao pela seta Os pontos A e C são colineares com o Sol, o mesmo ocorreno com os pontos B e D O ponto A inica o local e maior aproximação o planeta em relação ao Sol e o ponto C, o local e maior afastamento D A B Sol C Aplicano a a Lei e Kepler (Lei os períoos) para os ois planetas, temos: r K (constante e Kepler) p Assim: r H para o planeta hipotético: K p (I) para a erra: r H K p (II) Comparano (I) e (II), segue que: laneta r H H r H r H r

3 9 AE II DINÂICA Como estabelecemos que r H e r, temos: Logo: H H 6 H 8 O ano o planeta hipotético é oito vezes o terrestre 0 Dois satélites e um planeta têm períoos e revolução iguais a ias e 56 ias, respectivamente Se o raio a órbita o primeiro satélite vale 5 uniaes, qual o raio a órbita o seguno? 56 Done: (5) 6 (5) 0 uniaes esposta: 0 uniaes Em torno e um planeta f ictício gravitam, em órbitas circulares e coplanares, ois satélites naturais: aurus e Centaurus Sabeno que o períoo e revolução e aurus é 7 vezes o e Centaurus e que o raio a órbita e Centaurus vale, etermine: a) o raio a órbita e aurus; b) o intervalo e valores possíveis para a istância que separa os ois satélites urante seus movimentos em torno o planeta a) C C 7 C C 9 b) máx 9 + máx 0 mín 9 mín 8 espostas: a) 9 ; b) Amita que o períoo e revolução a Lua em torno a erra seja e 7 ias e que o raio a sua órbita valha 60, seno o raio a erra Consiere um satélite geoestacionário, esses utilizaos em telecomunicações Em relação ao referio satélite, respona: a) Qual o períoo e revolução? b) Qual o raio e órbita? a) Os satélites geoestacionários têm órbitas contias no plano equatorial a erra e seu períoo e revolução é igual ao períoo e rotação a erra, isto é, h b) S S L S 6,7 L S 7 espostas: a) h; b) S 6,7 (60 ) (UFS-S) Um planeta escreve trajetória elíptica em torno e uma estrela que ocupa um os focos a elipse, conforme inica a f igura abaixo Os pontos A e C estão situaos sobre o eixo maior a elipse e os pontos B e D, sobre o eixo menor B C Estrela laneta D Se t AB e t BC forem os intervalos e tempo para o planeta percorrer os respectivos arcos e elipse, e se F A e F B forem, respectivamente, as forças resultantes sobre o planeta nos pontos A e B, poe-se af irmar que: a) t AB < t BC e que F A e F B apontam para o centro a estrela b) t AB < t BC e que F A e F B apontam para o centro a elipse c) t AB t BC e que F A e F B apontam para o centro a estrela ) t AB t BC e que F A e F B apontam para o centro a elipse e) t AB > t BC e que F A e F B apontam para o centro a estrela (I) De A (periélio) para C (afélio), o movimento o planeta é retarao; logo: t AB < t BC (II) F m ( Lei e Newton) F A e F B apontam para o centro a estrela e, como A < B, ecorre que F A > F B esposta: a Duas partículas e massas respectivamente iguais a e m estão no vácuo, separaas por uma istância A respeito as forças e interação gravitacional entre as partículas, poemos af irmar que: a) têm intensiae inversamente proporcional a ; b) têm intensiae iretamente proporcional ao prouto m; c) não constituem entre si um par ação-reação; ) poem ser atrativas ou repulsivas; e) teriam intensiae maior se o meio fosse o ar Lei e Newton: m F F é iretamente proporcional ao prouto m e inversamente proporcional ao quarao e esposta: b 5 (Unifor-CE) A força e atração gravitacional entre ois corpos e massas e m, separaos e uma istância, tem intensiae F Então, a força e atração gravitacional entre ois outros corpos e massas e m, separaos e uma istância, terá intensiae: F a) b) F c) F ) F e) F A

4 ópico ravitação 9 m o caso: F o caso: F F m F F esposta: c 6 E Consiere uma estrela A e ois planetas B e C alinhaos em eterminao instante, conforme inica a f igura A massa e A vale 00 e as massas e B e C, e, respectivamente A C B Sabeno que as massas e A, B e C valem, respectivamente, 5, e, etermine a relação entre as intensiaes as forças gravitacionais que B recebe e A e e C (I) F AB 5 F () AB 5 (II) F CB m F () CB 8 (III) 5 F AB F CB 8 Done: F AB F CB 0 esposta: 0 5x x 8 Na situação esquematizaa na f igura, os corpos e estão f ixos nas posições inicaas e suas massas valem 8 e, respectivamente Seno aa a istância x e a Constante a ravitação (), calcule, no instante a f igura, a intensiae a força resultante as ações gravitacionais e A e C sobre B A B C D E x x x x x x O planeta B é atraío gravitacionalmente pela estrela A e pelo planeta C, recebeno, respectivamente, as forças F AB e F CB, representaas no esquema abaixo: A C B 5x As intensiaes e F AB e e F CB f icam eterminaas pela Lei e Newton a Atração as assas 00 F AB F (5x) AB 8 x F CB F x CB x A intensiae (F) a força resultante as ações gravitacionais e A e C sobre B é calculaa por: F F AB F CB F 8 Done: x x F AB F 6 x F CB Nota: A força resultante calculaa é irigia para a estrela A x Deve-se f ixar no segmento que une a um terceiro corpo, e massa, e moo que a força resultante as ações gravitacionais os ois primeiros sobre este último seja nula Em que posição eve-se f ixar? a) A b) B c) C ) D e) E Seno a istância entre as posições e e, tem-se: F, F, 8 ( 6x ) 6x 6x x x x ( ponto D) esposta: 9 E Um satélite e massa m escreve uma órbita circular e raio em torno e um planeta e massa Seno a Constante a ravitação, respona: a) Qual a velociae angular ω o satélite? b) O valor e ω epene e m? a) 7 Em eterminao instante, três corpos celestes A, B e C têm seus centros e massa alinhaos e istanciaos, conforme mostra o esquema abaixo: A B C ω m F

5 9 AE II DINÂICA A força gravitacional F esempenha a função e resultante centrípeta no movimento circular e uniforme o satélite F F cp Seno F m e F m cp ω, vem: m ω Done: ω ω b) O valor e ω inepene e m Nota: Satélites iferentes percorreno uma mesma órbita circular não coliem entre si, já que suas velociaes angulares são iguais 0 (UEL-) O planeta Vênus escreve uma trajetória praticamente circular e raio,0 0 m ao reor o Sol Seno a massa e Vênus igual a 5,0 0 kg e seu períoo e translação,7 ias (,0 0 7 segunos), poe-se af irmar que a força exercia pelo Sol sobre Vênus é, em newtons, aproximaamente: a) 5,0 0 b) 5,0 0 0 c),5 0 5 ) 5,0 0 e),5 0 F F cp F ω F m Seno m 5,0 0 kg,,0 0 7 s,,0 0 e aotano-se,, obtém-se: F 5,0 0,,0 0,0 0 (N) 7 Done: F,8 0 N esposta: a (Fuvest-S) Um satélite artif icial move-se em órbita circular ao reor a erra, f icano permanentemente sobre a ciae e acapá a) Qual o períoo e revolução o satélite em torno a erra? b) or que o satélite não cai sobre a ciae? a) rata-se e um satélite estacionário, por isso, seu períoo e translação é igual ao períoo e rotação a erra: h b) elo fato e o satélite estar em movimento ao longo a órbita Nesse caso, a força gravitacional aplicaa pela erra sobre ele esempenha a função e resultante centrípeta, servino apenas para alterar a ireção a velociae vetorial espostas: a) h; b) elo fato e o satélite estar em movimento ao longo a órbita Nesse caso, a força e atração gravitacional a erra sobre ele esempenha a função e resultante centrípeta, servino apenas para alterar a ireção a velociae vetorial Sabemos que a Constante a ravitação vale, aproximaamente, 6,7 0 N m /kg Nessas conições, qual é a orem e graneza, em newtons, a força e atração gravitacional entre ois navios e 00 tonelaas e massa caa um, separaos por uma istância e,0 km? a) 0 b) 0 6 c) 0 ) 0 5 e) 0 0 Lei e Newton: F F 6, (,0 0 ) (N) Done: F,7 0 6 N Orem e graneza (potência e 0 mais proxima o resultao): 0 6 esposta: b Nasa quer construir base espacial próxima à Lua Embora a construção a Estação Espacial Internacional (EEI) aina esteja longe e acabar, a NASA está fazeno e tuo para eixar claro que seu programa espacial tripulao não para por aí Durante o Congresso Espacial unial, que começou na última quinta-feira e vai até sábao, em Houston, EUA, a agência espacial norte-americana apresentou o próximo item em sua lista e prioriaes aeronáuticas: uma nova base no espaço () A base, apeliaa e L ateway, f icaria mais e 800 vezes mais istante a erra que a EEI Sua localização seria no primeiro os cinco pontos e Lagrange o sistema erra-lua (aí o L o nome) O ponto e Lagrange, nesse caso, é um local o espaço em que as graviaes a erra e a Lua se compensam, fazeno com que um objeto ali colocao f ique mais ou menos no mesmo lugar (com relação à erra e à Lua) o tempo too () (Folha e Saulo, 5/0/0) Consiere que a massa a erra seja cerca e 8 vezes a massa a Lua Seno D a istância entre os centros e massa esses ois corpos celestes, a istância entre o local esignao para a base L ateway e o centro a erra eve corresponer a que porcentagem e D? erra (8) D L ateway (m) No ponto e equilíbrio gravitacional: F L F m (D ) 8 m 8 D D 9 9 D D 0,90 D 90% D esposta: 90% D F F L Lua () E Consiere um satélite estacionário e massa m,5 0 kg escreveno uma órbita circular e centro coinciente com o centro a erra, amitia esférica, com raio 6, 0 6 m Supono conhecias a massa o planeta ( 6,0 0 kg) e a Constante a ravitação ( 6,7 0 N m /kg ), calcule:

6 ópico ravitação 95 a) a que altura em relação ao solo terrestre, em km, encontra-se o satélite; b) a intensiae a sua velociae e translação ao longo a órbita em km/s a) A força e atração gravitacional exercia pela erra sobre o satélite esempenha a função e resultante centrípeta no movimento circular e uniforme escrito por ele F F cp m m ω Seno ω π, vem: π π Done: π Sabeno que 6,7 0 N m /kg, 6,0 0 kg e h s, calculemos, que é o raio a órbita o satélite: 6,7 0 6,0 0 (8,6 0 ) (m) π, 0 6 m A altura h o satélite em relação ao solo terrestre f ica, então, eterminaa por: h h, 0 6 6, 0 6 h 5,9 0 6 m h 6 0 km b) Chamano e v a intensiae a velociae e translação o satélite ao longo a órbita, temos: v π π, 0 v (km/s) v, km/s Nota: anto h como v inepenem a massa m o satélite 5 retene-se colocar um satélite em órbita circular em torno a erra, a uma altitue e 70 km acima a superfície terrestre Seno conhecias a Constante a ravitação ( 6,7 0 N m /kg ), a massa a erra ( 6,0 0 kg) e o raio o planeta ( 6, 0 6 m), etermine: a) a intensiae a velociae linear que o satélite manterá ao longo a órbita; b) o períoo e revolução o satélite a) F cp F v m v v m + h Seno 6,7 0 N m /kg, 6,0 0 kg, 6, 0 6 m e h 70 0 m, obtém-se: v 6,7 0 6,0 0 (m/s) 6, ,7 0 6 v 7,8 0 m/s 7,8 km/s b) v π π ( + h) v, (6, ,7 0 6 ) (s) 7,8 0 5, 0 s 89 min s espostas: a) 7,8 km/s; b) 89 min s 6 Consiere o raio méio a órbita e lutão (planeta-anão) cem vezes maior que o raio méio a órbita e ercúrio e 0 vezes maior que o raio méio a órbita a erra Sabeno que a uração aproximaa o ano e ercúrio é e três meses terrestres e que a velociae orbital a erra tem intensiae igual a 0 km/s, etermine: a) a uração o ano e lutão expressa em anos terrestres; b) a intensiae a velociae orbital e lutão a) 00 b) F F cp v v v,7 km/s m m v 50 anos v v 0 0 espostas: a) 50 anos; b),7 km/s 7 (UFJ) A tabela abaixo ilustra uma as leis o movimento os planetas: a razão entre o cubo a istância méia D e um planeta ao Sol e o quarao o seu períoo e revolução em torno o Sol é constante ( a Lei e Kepler) O períoo é meio em anos e a istância em uniaes astronômicas (UA) A uniae astronômica é igual à istância méia entre o Sol e a erra Suponha que o Sol esteja no centro comum as órbitas circulares os planetas laneta ercúrio Vênus erra arte Júpiter Saturno 0,058 0,78,00,5 868 D 0,058 0,78,00,5 868 Um astrônomo amaor supõe ter escoberto um novo planeta no Sistema Solar e o batiza como planeta X O períoo estimao o planeta X é e 5 anos Calcule: a) a istância o planeta X ao Sol em UA; b) a razão entre o móulo a velociae orbital o planeta X e o móulo a velociae orbital a erra a) D x x D D x 5 D x D x 5 UA b) F cp F m v D x D m D

7 96 AE II DINÂICA v v x v v x v D Dx D D D x 5 v x v 5 espostas: a) 5 UA; b) 5 8 (Fuvest-S) Um anel e Saturno é constituío por partículas girano em torno o planeta em órbitas circulares a) Em função a massa o planeta, a Constante a ravitação Universal e o raio e órbita r, calcule a intensiae a velociae orbital e uma partícula o anel b) Sejam i o raio interno e e o raio externo o anel Qual a razão entre as velociaes angulares ω i e ω e e uas partículas, uma a bora interna e outra a bora externa o anel? a) F F cp m r b) v i v e ω i ω e i e i m v r e ω i i ω e e espostas: a) v ω i ω e e i ; b) ω i r ω e v e i e i 9 Leia com atenção os quarinhos abaixo: 006 aws, Inc All ights eserve/dist by Atlantic Synication r Consiere as proposições apresentaas a seguir: (0) Num planeta em que a aceleração a graviae for menor que a a erra, o gato arf iel apresentará um peso menor (0) Num planeta em que a aceleração a graviae for menor que a a erra, o gato arf iel apresentará uma massa menor (0) Num planeta e massa maior que a a erra, o gato arf iel apresentará um peso maior (08) Num planeta e raio maior que o a erra, o gato arf iel apresentará um peso menor (6) Num planeta e massa uas vezes maior que a a erra e e raio uas vezes maior que o terrestre, o gato arf iel apresentará um peso equivalente à metae o apresentao na erra () O peso o gato arf iel será o mesmo, inepenentemente o planeta para one ele vá Dê como resposta a soma os números associaos às proposições corretas (0) Correta O peso tem intensiae iretamente proporcional ao móulo a aceleração a graviae m g (0) Incorreta A massa e um corpo não se altera quano ele mua e planeta (0) Incorreta O móulo a aceleração a graviae e um planeta epene a sua massa e o seu raio g 0 (08) Incorreta (6) Correta 0 mg mg 0 Done: () Incorreta esposta: 7 () 0 0 E Sabe-se que a massa a erra é cerca e 8 vezes a massa a Lua e que o raio a erra é aproximaamente,7 vezes o a Lua Desprezano os efeitos ligaos à rotação, calcule o móulo a aceleração a graviae na superfície a Lua (g L ) em função o móulo a aceleração a graviae na superfície a erra (g ) oemos calcular g L por: oemos calcular g por: g L L L (I) g Diviino as equações (I) e (II), vem: (II) L g L L g g L g L L

8 ópico ravitação 97 Seno 8 L e,7 L, vem: g L g 8 (,7) g L 6 g Na superfície lunar, o móulo a aceleração a graviae é aproximaamente um sexto aquele eterminao na superfície terrestre Em um planeta X, one a aceleração a graviae tem intensiae,0 m/s, uma pessoa pesa 0 N Aotano para a aceleração a graviae terrestre o valor 0 m/s, respona: qual a massa e qual o peso a pessoa na erra? Em X: x m g x 0 m,0 m 60 kg Na erra: m g 60 0 (N) 600 N espostas: 60 kg e 600 N Um planeta hipotético tem massa um écimo a terrestre e raio um quarto o a erra Se a aceleração a graviae nas proximiaes a superfície terrestre vale 0 m/s, a aceleração a graviae nas proximiaes a superfície o planeta hipotético é e: a) 0 m/s ; ) 6,0 m/s ; b) 6 m/s ; e),0 m/s c) 0 m/s ; 0 6 0,6 g,6 0 (m/s ) 6 m/s esposta: b Na erra, one a aceleração a graviae vale 0 m/s, um astronauta vestio com seu traje espacial pesa,0 0 N Sabeno que o iâmetro e arte é a metae o a erra e que a massa e arte é um écimo a terrestre, etermine: a) a massa o conjunto astronauta-traje em arte; b) o peso o conjunto astronauta-traje em arte a) Na erra: m g,0 0 m 0 m,0 0 kg g 0 g 0 0 (m/s ) g,0 m/s m g,0 0,0 (N) 8,0 0 N espostas: a),0 0 kg; b) 8,0 0 N E Amita que, na superfície terrestre, esprezaos os efeitos ligaos à rotação o planeta, a aceleração a graviae tenha intensiae g 0 Seno o raio a erra, a que altitue a aceleração a graviae terá intensiae g 0 6? h B A No ponto A: g 0 (I) No ponto B: g 0 6 ( + h) (II) (I) em (I): 6 ( + h) + h 6 + h h 5 (Ufal) ara que a aceleração a graviae num ponto tenha intensiae e, m/s (nove vezes menor que na superfície a erra), a istância esse ponto à superfície terrestre eve ser: a) igual ao raio terrestre ) o sêxtuplo o raio terrestre b) o obro o raio terrestre e) nove vezes o raio terrestre c) o triplo o raio terrestre Na superfície: g 0 (I) No ponto consierao: g 0 g g ( + h) 0 g (II) ( + h) Comparano-se (I) e (II), vem: g ( + h) + h g b) (I) Em arte: g h esposta: b h

9 98 AE II DINÂICA 6 Amita que, na superfície terrestre, esprezaos os efeitos ligaos à rotação o planeta, a aceleração a graviae tenha intensiae 0 m/s Seno o raio a erra aproximaamente igual a 6 00 km, a que altitue a aceleração a graviae terá intensiae 0,0 m/s? Na superfície: g 0 (I) No ponto consierao: g (II) ( + h) Diviino-se (II) por (I), vem: g ( + h) g 0 + h 0,0 0 + h 0,0 + h + h 5 h 600 (km) h 5600 km esposta: km 7 (Vunesp-S) Um astronauta flutua no interior e uma nave em órbita em torno a erra Isso ocorre porque naquela altura: a) não há graviae b) a nave exerce uma blinagem à ação gravitacional a erra c) existe vácuo ) o astronauta e a nave têm aceleração igual à a graviae, isto é, estão numa espécie e quea livre e) o campo magnético terrestre equilibra a ação gravitacional esposta: 8 (UCDB-) Em julho e 997, a sona norte-americana ars athf iner chegou a arte para uma nova exploração as conições o planeta Nessa ocasião, os jornais publicaram comparações entre a erra e arte Numa matéria publicaa no jornal Folha e Saulo, verif ica-se que o raio e arte é 5% o raio a erra e a massa e arte é % a massa a erra artino esses aos e consierano que a aceleração a graviae na erra é 0 m/s, poemos concluir que a aceleração a graviae na superfície e arte, em m/s, é um valor mais próximo e: a),0 b),0 c),0 ) 5,0 e) 6,0 Em arte: g Na erra: g g g g 0 0, g,9 m/s esposta: c 0,5 9 E Um planeta perfeitamente esférico A tem raio A e ensiae absoluta μ A, enquanto outro planeta B, também perfeitamente esférico, tem raio 5 A e ensiae absoluta μ A Seno g A o móulo a aceleração a graviae na superfície e A e g B o móulo a aceleração a graviae na superfície e B, calcule a relação g B /g A Despreze os efeitos ligaos às rotações e A e e B Consiere um planeta esférico genérico e massa, raio, volume V e ensiae absoluta μ assa ; volume V A ensiae absoluta o planeta poe ser expressa por: μ V Seno V π (volume a esfera), vem: μ π π μ (I) O móulo a aceleração a graviae na superfície o planeta é calculao por: g (II) Substituino (I) em (II), obtemos: g π μ g π μ ara o planeta B, temos: g B π μ 5 A A (III) ara o planeta A, temos: g A π μ A A (IV) Diviino (III) por (IV), obtemos: g B g A π μ A 5 A π μ A A g B g A 0 0 A aceleração a graviae na superfície e um planeta hipotético, suposto esférico, vale 6 m/s Se o volume o planeta for multiplicao por oito, mantia a mesma massa, qual será a nova aceleração a graviae na sua superfície? Despreze os efeitos ligaos à rotação (I) V π V V (II) g (III) g g esposta:,0 m/s 8 V V g 6 g,0 m/s

10 ópico ravitação 99 Dois planetas esféricos e têm raios respectivamente iguais a e 5 Desprezaos os efeitos ligaos às rotações, verif ica-se que a intensiae a aceleração a graviae na superfície e é g 0 e na superfície e é 0 g 0 Qual a relação entre as ensiaes absolutas e e? µ V π π µ (I) g (II) Substituino (I) em (II), temos: g π µ Done: g π µ laneta : g 0 π µ (III) laneta : 0 g 0 π µ 5 (IV) Diviino-se (III) por (IV), vem: g 0 0 g 0 Da qual: esposta: π µ π µ 5 µ µ E (Fuvest-S) ecentemente lutão foi rebaixao, pereno sua classif icação como planeta ara avaliar os efeitos a graviae em lutão, consiere suas características físicas, comparaas com as a erra, que estão apresentaas, com valores aproximaos, no quaro a seguir assa a erra ( ) 500 assa e lutão ( ) aio a erra ( ) 5 aio e lutão ( ) Note e aote: F m eso mg Intensiae a aceleração a graviae na erra: g 0 m/s a) Determine o peso, na superfície e lutão ( ), e uma massa que na superfície a erra pesa 0 N ( 0 N) b) Estime a altura máxima H, em metros, que uma bola, lançaa verticalmente com velociae V, atingiria em lutão Na erra, essa mesma bola, lançaa com a mesma velociae, atinge uma altura h,5 m a) Desprezano-se os efeitos e rotação, temos: F mg m Done: g Em lutão: (I) Na erra: g (II) Diviino (I) e (II) membro a membro: g g Done: 0,5 m/s Em lutão: mg p (III) Na erra: mg (IV) Diviino-se (III) e (IV) membro a membro: Done: m mg,0 N g b) ovimento uniformemente variao: V V 0 + α Δs Na subia: 0 V 0 + ( g) H H V 0 g Em lutão: H V 0 g p (V) Na erra: H V 0 g (VI) Diviino-se (V) e (VI) membro a membro: H H V 0 V 0 g H H g g p 0 0,5 0 H,5 0 0,5 H 0 m (IE-J) Um astronauta com seu traje espacial e completamente equipao poe ar pulos verticais e atingir, na erra, alturas máximas e 0,50 m Determine as alturas máximas que esse mesmo astronauta poerá atingir pulano num outro planeta e iâmetro igual a um quarto o a erra e massa específ ica equivalente a ois terços a terrestre Amita que nos ois planetas o astronauta imprima aos saltos a mesma velociae inicial (I) g π µ g µ µ g µ µ 6 g

11 00 AE II DINÂICA (II) UV: v v 0 + a Δs 0 v 0 + ( g) H H v 0 g H H v 0 g v 0 esposta:,0 m H 0,50 6 H,0 m Um meteorito aentra o campo gravitacional terrestre e, sob sua ação exclusiva, passa a se mover e encontro à erra, em cuja superfície a aceleração a graviae tem móulo 0 m/s Calcule o móulo a aceleração o meteorito quano ele estiver a uma altitue e nove raios terrestres a g a ( + h) a a ( + 9 ) 00 a 00 g a (m/s ) a 0,0 m/s esposta: 0,0 m/s 5 (Fuvest-S) O gráf ico a f igura a seguir representa a aceleração a graviae g a erra em função a istância ao seu centro g (m/s ) (II) g g g 0 m/s esposta: e 6 E Amita que a aceleração a graviae nos polos a erra tenha intensiae 0 m/s e que o raio terrestre valha 6, 0 6 m Chamemos e ω 0 a velociae angular e rotação o planeta nas circunstâncias atuais Se a velociae angular e rotação a erra começasse a crescer a partir e ω 0, estabelecer-se-ia um valor ω para o qual os corpos situaos na linha o Equaor apresentariam peso nulo a) Qual o valor e ω? espona em função e ω 0 b) Qual seria a uração o ia terrestre caso a velociae angular e rotação o planeta fosse igual a ω? a) O períoo atual e rotação a erra é 0 h 8600 s Logo: ω 0 π ω 0 π (ra/s) ω 0 π 00 (ra/s) (I) A intensiae (aparente) a aceleração a graviae na linha o Equaor é g e, aa por: g e ω ou g e g 0 ω No caso em que g e anula-se, vem: g 0 g 0 ω ω 0 Seno g 0 0 m/s e 6, 0 6 m, calculemos ω (0 6 m) ω 0 6, 0 (ra/s) ω (ra/s) (II) Consiere uma situação hipotética em que o valor o raio a erra seja iminuío para, seno 0,8, e em que seja mantia (uniformemente) sua massa total Nessas conições, os valores aproximaos as acelerações a graviae g à istância e g a uma istância igual a o centro a erra hipotética são, respectivamente: g (m/s ) g (m/s ) a) 0 0 b) 8 6, c) 6,, ),5 0 e) 5,6 0 g (I) ( ) g g 0 g 0,8 5,6 m/s De (I) e (II), temos: b) ω 7ω 0 ω 800 ω 0 π 00 ω 7 ω 0 π π h 7, h h 5 min 7 Chamemos e I e I as inicações e um inamômetro ieal para o peso e um mesmo corpo no Equaor e no olo Sul, respectivamente Nas uas meições, o corpo é epenurao no inamômetro e o conjunto é mantio em repouso em relação ao solo Supono conhecios o raio a erra (), sua velociae angular e rotação (ω) e a massa o corpo (m), calcule o valor a iferença I I No Equaor: m ω + I Da qual: I m m m ω

12 ópico ravitação 0 No polo sul: I m Fazeno I I, temos: esposta: m ω I I m ω 8 (Fatec-S) As quatro estações o ano poem ser explicaas: a) pela rotação a erra em torno e seu eixo b) pela órbita elíptica escrita pela erra em torno o Sol c) pelo movimento combinao e rotação e translação a erra ) pela inclinação o eixo principal a erra urante a translação e) pelo movimento e translação a erra A erra apresenta três movimentos principais: translação, rotação e precessão, que consiste e o semieixo imaginário em torno o planeta executar um movimento semelhante ao o eixo e um pião É evio a esse movimento que ocorrem as quatro estações o ano esposta: 9 Um planeta orbita uma estrela, escreveno trajetória circular ou elíptica O movimento esse planeta em relação à estrela: a) não poe ser uniforme; b) poe ser uniformemente variao; c) poe ser harmônico simples; ) tem características que epenem e sua massa, mesmo que esta seja esprezível em relação à a estrela; e) tem aceleração exclusivamente centrípeta em pelo menos ois pontos a trajetória Se a trajetória for circular, a aceleração será exclusivamente centrípeta ao longo e toa a circunferência e, se for elíptica, a aceleração será exclusivamente centrípeta apenas no afélio e no periélio esposta: e 50 (Olimpíaa Brasileira e Física) Consiere que a órbita a erra em torno o Sol seja circular e que esse movimento possua períoo Seno t o tempo méio que a luz o Sol leva para chegar à erra e c o móulo a velociae a luz no vácuo, o valor estimao a massa o Sol é: a) b) (c t) π c) (c ) e) π t π F F cp (c t) ) π Done: π m π m ω (c ) t (I) (c t) π ovimento uniforme a luz: c c t (II) t Substituino (II) em (I), temos: π esposta: b (c t) 5 (Fuvest-S) Se fosse possível colocar um satélite em órbita rasante em torno a erra, o seu períoo seria Seno a Constante e ravitação universal, expresse a massa específ ica méia (ensiae méia) a erra em função e e F F cp v π m π m v π π Do qual: µ V π esposta: π 5 (Faap-S) Em um planeta, um astronauta faz o seguinte experimento: abanona uma bola na frente e uma tela vertical, que possui marcaas linhas horizontais, separaas por 50 cm; simultaneamente, é acionaa uma máquina fotográf ica e fl a s h -múltiplo, seno o intervalo entre os fl a s h e s e 0,0 s A partir a fotograf ia a quea a bola, inicaa na f igura, o astronauta calcula a razão entre a massa o planeta e a a erra, pois ele sabe que o raio o planeta é o triplo o terrestre Qual é o valor encontrao? Dao: aceleração a graviae na erra 0 m/s (I) UV: h g t,5 g (0,5) g 0 m/s (II) g g 0 0 g esposta: 8 g 8 5 Um astronauta abanonou uma bolinha e aço a partir e um ponto situao a uma altura H em relação ao solo, na erra e em Vênus No primeiro caso, o intervalo e tempo gasto na quea foi e,0 s e, no seguno caso, foi igual a Sabe-se que a massa e Vênus vale aproxi- Volume V a esfera

13 0 AE II DINÂICA maamente 0,0 e que seu iâmetro é a orem e 0, D, em que e D são, respectivamente, a massa e o iâmetro a erra Desprezano os efeitos ligaos à rotação os planetas, calcule o valor e (I) g g v g v V g V 0,5 g g v g (II) UV: h g t t t V t Done: h V g V g h,0 s esposta:,0 s 0,0 h g 0,,0 H 0,5 g g H 5 (Unicamp-S) A Lua tem sio responsabilizaa por vários fenômenos na erra, tais como apressar o parto os seres humanos e os emais animais e aumentar o crescimento e cabelos e plantas Sabe-se que a aceleração gravitacional a Lua em sua própria superfície é praticamente 6 aquela a erra (g 0 m/s ) e que a istância entre a superfície a erra e o centro a Lua é a orem e 00 raios lunares ara estimar os efeitos gravitacionais a Lua na superfície a erra, calcule: a) a intensiae a aceleração gravitacional provocaa pela Lua em um corpo na superfície a erra b) a variação no peso e um bebê e,0 kg evio à ação a Lua a) g L g L com o objeto totalmente suspenso etornano à erra, repetiu-se o experimento, observano-se uma eformação x,0 0 m Ambas as eformações estavam na faixa linear a mola Determine a razão entre o raio o planeta istante e o raio a erra Daos: ) a massa o planeta é 0% a massa a erra; ) móulo a aceleração a graviae terrestre: 0,0 m/s (I) F e No equilíbrio: F e m g k x Done: g k m x g k x p m k x m x x 8,0 0 0,0 0 0 g,0 m/s (II) g g g g g 0, 0,0,0 erra Lua Done: 00 L g g L g L g L L 00 L g L, 0 5 m/s b) Δ m g L Δ,0, 0 5 (N) Δ,5 0 N espostas: a), 0 5 m/s ; b),5 0 N 55 (IE-J) Um objeto foi achao por uma sona espacial urante a exploração e um planeta istante Essa sona possui um braço ligao a uma mola ieal presa a garras especiais Aina naquele planeta, observou-se no equilíbrio uma eformação x 8,0 0 m na mola, esposta: 56 (Fuvest-S) Um satélite artif icial em órbita circular em torno a erra mantém um períoo que epene e sua altura em relação à superfície terrestre Note e aote: aio a erra: 6, 0 6 m Intensiae a aceleração a graviae nas proximiaes a erra: g 0 m/s Desprezano-se os efeitos a atmosfera e aotano-se π, etermine:

14 ópico ravitação 0 a) o períoo 0 o satélite, em minutos, quano sua órbita está muito próxima a superfície, ou seja, quano está a uma istância o centro a erra praticamente igual ao raio o planeta; b) o períoo o satélite, também em minutos, quano sua órbita está a uma istância o centro a erra aproximaamente igual a quatro raios terrestres a) F cp F m ω m b) π g 0 π 6, (s) (min) g 0 6 (80) 60 min espostas: 0 80 min e 60 min s 80 min 57 Um planeta escreve uma órbita elíptica em torno e uma estrela, conforme representa o esquema Os pontos e inicaos corresponem ao periélio e ao afélio, respectivamente, e, nesses pontos, o planeta apresenta velociaes vetoriais e intensiaes v e v Supono conhecias as istâncias e e ao Sol ( e ), mostre que v v v Estrela v Devio à simetria, nos pontos (periélio) e (afélio) o raio e curvatura a elipse é o mesmo (); logo: onto : F cp F m v m ( v ) (I) onto : F cp F m v m ( v ) (II) Comparano (I) e (II), vem: ( v ) ( v ) v v A conclusão acima está e acoro com a conservação o movimento angular o sistema planeta-estrela esposta: Ver emonstração 58 Consiere o planeta arte com raio e ensiae absoluta méia igual a µ Supono que o satélite Fobos escreva em torno e arte uma órbita circular e raio r e representano por a Constante a ravitação, calcule o períoo e revolução e Fobos (I) F F cp v r m r π r m v r r π r π r (I) r (II) µ V π π µ (II) (II) em (I), vem: π r Da qual: esposta: π µ π r µ π r µ 59 Amita que a erra tenha raio e ensiae absoluta méia µ e escreva em torno o Sol uma órbita circular e raio r, com períoo e revolução igual a Calcule, em função esses aos, a intensiae a força e atração gravitacional que o Sol exerce sobre a erra F F cp F m v F m r π r F π r m F π r m π π Seno m µ, temos: π F 6 π esposta: µ r 6 π µ r 60 Seja a Constante a ravitação e o períoo e rotação e um planeta imaginário enominao lanton Sabeno que no equaor e lanton um inamômetro e alta sensibiliae á inicação nula para o peso e qualquer corpo epenurao na sua extremiae, calcule a ensiae méia esse planeta Se no equaor e lanton o peso aparente os corpos é nulo, temos: F F cp m m v

15 0 AE II DINÂICA π m π π Seno µ, temos: π µ µ esposta: µ π π 6 (Olimpíaa Brasileira e Física) Em seu trabalho sobre gravitação universal, Newton emonstrou que uma istribuição esférica homogênea e massa surte o mesmo efeito que uma massa concentraa no centro a istribuição Se no centro a erra fosse recortao um espaço oco esférico com metae o raio a erra, o móulo a aceleração a graviae na superfície terrestre iminuiria para (g é o móulo a aceleração a graviae na superfície terrestre sem a caviae): a) 8 g b) g c) 5 8 g ) g e) 7 8 g (I) erra maciça: µ v µ v µ π (I) erra com a caviae: 6 (Olimpíaa Ibero americana e Física) Uma estrela tripla é formaa por três estrelas e mesma massa que gravitam em torno o centro e massa C o sistema As estrelas estão localizaas nos vértices e um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência que correspone à trajetória por elas escrita, conforme ilustra a f igura E C E E rajetória as estrelas Consierano-se como aos a massa e caa estrela, o raio a circunferência que elas escrevem e a constante e gravitação universal, etermine o períoo no movimento orbital e caa estrela (I) Cálculo a istância entre uas estrelas: cos 0 C 0 E m cav µ π µ π µ π 8 µ π 7 8 µ π (II) Comparano (I) e (II), conclui-se que: 7 8 (II) g g g 7 8 g Caviae E (II) Cálculo a intensiae a força e atração gravitacional entre uas estrelas: F m F ( ) F (III) Cálculo a intensiae a força resultante em uma as estrelas: F F + F + F F cos 60 F F + F F F F F (IV) F tem a função e resultante centrípeta no CU e caa uma as estrelas F cp F ω π Do qual: π esposta: e esposta: π

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